Zakon o raspodjeli. Poligon distribucije

Stranica 2

Grafički zakon raspodjele diskretna vrijednost je dat u obliku takozvanog poligona distribucije.

Grafički prikaz serije distribucije (vidi sliku 5) naziva se poligon distribucije.

Za karakterizaciju zakona distribucije, diskontinuirano slučajna varijablaČesto se koriste red (tabela) i distributivni poligon.

Da bi se to prikazalo, tačke (Y Pi) (x - i Pa) su konstruisane u pravougaonom koordinatnom sistemu i povezane linijskim segmentima. Poligon distribucije daje približan vizuelni prikaz prirode distribucije slučajne varijable.

Radi jasnoće, zakon distribucije diskretne slučajne varijable može se prikazati i grafički, za koje se tačke (x/, p) konstruišu u pravougaonom koordinatnom sistemu, a zatim povezuju linijskim segmentima.Rezultirajuća figura se naziva poligon distribucije.

M (xn; pn) (hp - - moguće vrijednosti Xt pi - odgovarajuće vjerovatnoće) i povežite ih ravnim segmentima. Dobivena figura naziva se poligon distribucije.

Razmotrimo distribuciju vjerovatnoće zbira bodova na kockice. Slike ispod prikazuju poligone distribucije za slučaj jedne, dvije i tri kosti.

U ovom slučaju, umjesto poligona distribucije slučajne varijable, konstruiše se funkcija gustoće distribucije, koja se naziva diferencijalna funkcija raspodjele i predstavlja zakon diferencijalne distribucije. U teoriji vjerovatnoće, gustina distribucije slučajne varijable x (x Xr) se shvata kao granica omjera vjerovatnoće da vrijednost x padne u interval (x, x - Ax) do Ax, kada je Al; teži nuli. Pored diferencijalne funkcije, integralna funkcija distribucije, koja se često naziva jednostavno funkcija distribucije ili integralni zakon distribucije, koristi se za karakterizaciju distribucije slučajne varijable.

Sa ovom konstrukcijom, relativne frekvencije pada u intervale će biti jednake površinama odgovarajućih traka histograma, kao što su vjerovatnoće jednake površinama odgovarajućih krivolinijskih trapeza.Ako se pretpostavljena teorijska raspodjela dobro slaže s eksperimentom, tada sa dovoljno velikim n i uspješnim izborom intervala (YJ-I, y Ponekad, radi jasnoće poređenja, poligon distribucije se konstruiše uzastopnim povezivanjem srednjih tačaka gornjih baza traka histograma.

Davanjem m različitih vrijednosti od 0 do i dobijaju se vjerovatnoće PQ, P RF - Pn, koje su ucrtane na grafikon. Dato p; z11, konstruirati poligon distribucije vjerovatnoće.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je svaka korespondencija između njenih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća. Zakon se može specificirati tabelarno (distribucijski niz), grafički (distribucijski poligon, itd.) i analitički.

Pronalaženje krivulje raspodjele, drugim riječima, uspostavljanje distribucije same slučajne varijable, omogućava dublje proučavanje fenomena koji je daleko od potpunog izražaja datim specifičnim nizom distribucije. Crtanjem pronađene krivulje distribucije nivelacije i poligona distribucije koji je konstruiran iz djelomične populacije, istraživač može jasno vidjeti karakteristike svojstvene fenomenu koji se proučava. Zahvaljujući tome, statistička analiza usmjerava pažnju istraživača na odstupanja uočenih podataka od neke prirodne promjene u pojavi, a pred istraživačem je zadatak da otkrije razloge tih odstupanja.

Zatim se iz sredine intervala povlače apscise (na skali), koje odgovaraju broju mjeseci sa potrošnjom u ovom intervalu. Krajevi ovih apscisa su povezani i tako se dobija poligon, odnosno poligon distribucije.

Tačke koje daju grafički prikaz zakona raspodjele diskretne slučajne varijable na koordinatnoj ravni vrijednosti veličine - vjerovatnoće vrijednosti, obično se povezuju ravnim segmentima i rezultirajući rezultat nazivamo geometrijska figura distributivni poligon. Na sl. 3 u tabeli 46 (kao i na slikama 4 i 5) prikazani su poligoni distribucije.

Diskretno naziva se slučajna varijabla koja može poprimiti odvojene, izolirane vrijednosti sa određenim vjerovatnoćama.

PRIMJER 1. Koliko se puta grb pojavljuje u tri bacanja novčića. Moguće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, njihove vjerovatnoće su jednake redom:

P(0) = ; R(1) = ; R(2) = ; R(3) = .

PRIMJER 2. Broj neispravnih elemenata u uređaju koji se sastoji od pet elemenata. Moguće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5; njihove vjerovatnoće zavise od pouzdanosti svakog elementa.

Diskretna slučajna varijabla X može se dati nizom raspodjele ili funkcijom distribucije (integralni zakon raspodjele).

Blizu distribucije je skup svih mogućih vrijednosti Xi i njihove odgovarajuće vjerovatnoće Ri = P(X = xi), može se specificirati kao tabela:

x i				x n
p i				r n

Istovremeno, vjerovatnoće Ri zadovoljiti uslov

Ri= 1 jer

gdje je broj mogućih vrijednosti n može biti konačan ili beskonačan.

Grafički prikaz serije distribucije naziva poligon distribucije . Da biste ga konstruirali, moguće vrijednosti slučajne varijable ( Xi) su iscrtani duž x-ose i vjerovatnoće Ri- duž ordinatne ose; bodova Ai sa koordinatama ( Xi,ri) povezani su isprekidanim linijama.

Funkcija distribucije slučajna varijabla X zove funkcija F(X), čija vrijednost u tački X jednaka je vjerovatnoći da je slučajna varijabla X bit će manja od ove vrijednosti X, to je

F(x) = P(X< х).

Funkcija F(X) Za diskretna slučajna varijabla izračunato po formuli

F(X) = Ri , (1.10.1)

gdje se sumiranje vrši po svim vrijednostima i, za koji Xi< х.

PRIMJER 3. Iz serije koja sadrži 100 proizvoda, od kojih je 10 neispravnih, nasumično se bira pet proizvoda kako bi se provjerila njihova kvaliteta. Konstruirajte seriju distribucija slučajni broj X neispravne proizvode sadržane u uzorku.

Rješenje. Budući da u uzorku broj neispravnih proizvoda može biti bilo koji cijeli broj u rasponu od 0 do uključujući 5, tada su moguće vrijednosti Xi slučajna varijabla X su jednaki:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Vjerovatnoća R(X = k) da uzorak sadrži tačno k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) neispravni proizvodi, jednako

P (X = k) = .

Kao rezultat izračunavanja koristeći ovu formulu sa tačnošću od 0,001, dobijamo:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Korištenje jednakosti za provjeru Rk=1, uvjeravamo se da su proračuni i zaokruživanje obavljeni ispravno (vidi tabelu).

x i
p i

PRIMJER 4. Dat je niz distribucije slučajne varijable X :

x i
p i

Pronađite funkciju distribucije vjerovatnoće F(X) ove slučajne varijable i konstruisati je.

Rješenje. Ako X 10 funti onda F(X)= P(X<X) = 0;

ako 10<X 20 funti onda F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

ako 20<X 30 funti onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

ako 30<X 40 funti onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

ako 40<X 50 funti onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Ako X> 50, onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

odgovor: Razmotrite diskontinuiranu slučajnu varijablu X sa mogućim vrijednostima. Svaka od ovih vrijednosti je moguća, ali nije sigurna i vrijednost X može prihvatiti svaki od njih sa određenom vjerovatnoćom. Kao rezultat eksperimenta, vrijednost Xće poprimiti jednu od ovih vrijednosti, tj. dogodit će se jedan od kompletne grupe nekompatibilnih događaja:

Označimo slovima vjerovatnoće ovih događaja R sa odgovarajućim indeksima:

Odnosno, distribucija vjerovatnoće različitih vrijednosti može se specificirati pomoću tablice distribucije, u kojoj su sve vrijednosti ​​uzete od date diskretne slučajne varijable navedene u gornjem redu, a vjerovatnoće odgovarajućih vrijednosti​ su naznačeni u donjem redu. Budući da nekompatibilni događaji (3.1) čine potpunu grupu, onda je, odnosno, zbir vjerovatnoća svih mogućih vrijednosti slučajne varijable jednak jedan. Raspodjela vjerojatnosti kontinuiranih slučajnih varijabli ne može se prikazati u obliku tabele, jer je broj vrijednosti takvih slučajnih varijabli beskonačan čak iu ograničenom intervalu. Štaviše, vjerovatnoća dobivanja bilo koje određene vrijednosti je nula. Slučajna varijabla će biti u potpunosti opisana sa probabilističke tačke gledišta ako specificiramo ovu distribuciju, odnosno naznačimo tačno koju vjerovatnoću svaki od događaja ima. Time ćemo uspostaviti takozvani zakon raspodjele slučajne varijable. Zakon distribucije slučajne varijable je svaki odnos koji uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Za slučajnu varijablu reći ćemo da je podložna datom zakonu raspodjele. Uspostavimo formu u kojoj se može specificirati zakon distribucije diskontinuirane slučajne varijable X. Najjednostavniji oblik specificiranja ovog zakona je tabela koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerovatnoće:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	str 1	str 2	× × ×	p n

Takvu tabelu ćemo nazvati nizom distribucija slučajne varijable X.

Rice. 3.1

Da bi seriji distribucije dali vizuelniji izgled, često pribjegavaju njenom grafičkom prikazu: moguće vrijednosti slučajne varijable se crtaju duž apscisne ose, a vjerovatnoće tih vrijednosti se crtaju duž ordinatne ose. Radi jasnoće, rezultirajuće tačke su povezane ravnim segmentima. Takva figura se naziva poligon distribucije (slika 3.1). Poligon distribucije, kao i distribucijski niz, u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu. to je jedan od oblika zakona raspodjele. Ponekad je zgodna takozvana "mehanička" interpretacija serije distribucije. Zamislimo da je određena masa jednaka jedinici raspoređena duž ose apscise tako da je in n mase su koncentrisane na pojedinačnim tačkama, respektivno . Tada se serija distribucije tumači kao sistem materijalnih tačaka sa nekim masama koje se nalaze na osi apscise.

Slučajna varijabla je veličina koja, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti jednu ili drugu vrijednost koja nije unaprijed poznata. Postoje slučajne varijable diskontinuirano (diskretno) I kontinuirano tip. Moguće vrijednosti diskontinuiranih količina mogu se unaprijed navesti. Moguće vrijednosti kontinuiranih veličina ne mogu se unaprijed navesti i kontinuirano popunjavati određeni jaz.

Primjer diskretnih slučajnih varijabli:

1) Koliko se puta grb pojavljuje u tri bacanja novčića. (moguće vrijednosti 0;1;2;3)

2) Učestalost pojavljivanja grba u istom eksperimentu. (moguće vrijednosti)

3) Broj neispravnih elemenata u uređaju koji se sastoji od pet elemenata. (Moguće vrijednosti 0;1;2;3;4;5)

Primjeri kontinuiranih slučajnih varijabli:

1) Apscisa (ordinata) tačke udara kada se ispaljuje.

2) Udaljenost od tačke udara do centra mete.

3) Vrijeme rada uređaja (radio lampa).

Slučajne varijable su označene velikim slovima, a njihove moguće vrijednosti su označene odgovarajućim malim slovima. Na primjer, X je broj pogodaka sa tri hica; moguće vrijednosti: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Razmotrimo diskontinuiranu slučajnu varijablu X sa mogućim vrijednostima X 1, X 2, ..., X n. Svaka od ovih vrijednosti je moguća, ali nije sigurna, a vrijednost X može uzeti svaku od njih sa određenom vjerovatnoćom. Kao rezultat eksperimenta, vrijednost X će poprimiti jednu od ovih vrijednosti, odnosno dogodit će se jedan od kompletne grupe nekompatibilnih događaja.

Označimo vjerovatnoće ovih događaja slovima p sa odgovarajućim indeksima:

Pošto nekompatibilni događaji čine kompletnu grupu, onda

to jest, zbir vjerovatnoće svih mogućih vrijednosti slučajne varijable jednak je 1. Ova ukupna vjerovatnoća je nekako raspoređena između pojedinačnih vrijednosti. Slučajna varijabla će biti u potpunosti opisana sa vjerovatnoće gledišta ako definiramo ovu distribuciju, odnosno naznačimo tačno koju vjerovatnoću svaki od događaja ima. (Ovo će uspostaviti takozvani zakon raspodjele slučajnih varijabli.)

Zakon raspodjele slučajne varijable je bilo koja relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće. (Za slučajnu varijablu ćemo reći da ona podliježe datom zakonu distribucije)

Najjednostavniji oblik specificiranja zakona distribucije slučajne varijable je tabela koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće.

Tabela 1.

X i	X 1	X 2	…	Xn
P i	P 1	P2	…	P n

Ova tabela se zove blizu distribucije slučajne varijable.

Da bi seriji distribucije dali vizuelniji izgled, pribjegavaju njenom grafičkom prikazu: moguće vrijednosti slučajne varijable su iscrtane duž apscisne ose, a vjerovatnoće ovih vrijednosti su nacrtane duž ose ordinate. (Radi jasnoće, rezultirajuće tačke su povezane ravnim segmentima.)

Slika 1 – poligon distribucije

Ova cifra se zove distributivni poligon. Poligon distribucije, kao i serija distribucije, u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu; to je jedan od oblika zakona raspodjele.

primjer:

izvodi se jedan eksperiment u kojem se može pojaviti ili ne mora dogoditi događaj A. Vjerovatnoća događaja A = 0,3. Razmatramo slučajnu varijablu X - broj pojavljivanja događaja A u datom eksperimentu. Potrebno je konstruisati seriju i poligon distribucije X vrijednosti.

Tabela 2.

X i
P i	0,7	0,3

Slika 2 - Funkcija distribucije

Funkcija distribucije je univerzalna karakteristika slučajne varijable. Postoji za sve slučajne varijable: i diskontinualne i nekontinuirane. Funkcija distribucije u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu sa vjerovatnoće, odnosno jedan je od oblika zakona raspodjele.

Da bi se kvantitativno okarakterisala ova distribucija verovatnoće, zgodno je koristiti ne verovatnoću događaja X=x, već verovatnoću događaja X

Funkcija distribucije F(x) se ponekad naziva i kumulativna funkcija raspodjele ili kumulativni zakon raspodjele.

Svojstva funkcije distribucije slučajne varijable

1. Funkcija distribucije F(x) je neopadajuća funkcija svog argumenta, odnosno za ;

2. Na minus beskonačno:

3. Na plus beskonačnost:

Slika 3 – graf funkcije distribucije

Grafikon funkcije distribucije općenito, to je graf neopadajuće funkcije čije vrijednosti počinju od 0 i idu do 1.

Poznavajući red distribucije slučajne varijable, moguće je konstruisati funkciju distribucije slučajne varijable.

primjer:

za uslove prethodnog primera, konstruisati funkciju distribucije slučajne varijable.

Konstruirajmo funkciju distribucije X:

Slika 4 – funkcija distribucije X

Funkcija distribucije od bilo koje diskontinuirane diskretne slučajne varijable uvijek postoji diskontinuirana koračna funkcija, čiji se skokovi javljaju u tačkama koje odgovaraju mogućim vrijednostima slučajne varijable i jednake su vjerojatnosti ovih vrijednosti. Zbir svih skokova funkcije distribucije jednak je 1.

Kako se broj mogućih vrijednosti slučajne varijable povećava i intervali između njih se smanjuju, broj skokova postaje veći, a sami skokovi postaju manji:

Slika 5

Stepenasta kriva postaje glatkija:

Slika 6

Slučajna varijabla se postepeno približava kontinuiranoj vrijednosti, a njena funkcija distribucije približava se kontinuiranoj funkciji. Postoje i slučajne varijable čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval, ali za koje funkcija distribucije nije svugdje kontinuirana. I u određenim trenucima se lomi. Takve slučajne varijable se nazivaju mješovite.

Slika 7

Koncept slučajne varijable. Zakon distribucije slučajne varijable

Slučajne varijable (skraćeno: r.v.) su označene velikim latiničnim slovima X, Y, Z,...(ili mala grčka slova ξ (xi), η (eta), θ (teta), ψ (psi), itd.), a vrijednosti koje uzimaju su odgovarajuće malim slovima x 1 , x 2 ,…, u 1 , u 2 , u 3 …

Primjeri With. V. može poslužiti: 1) X- broj bodova koji se pojavljuju prilikom bacanja kocke; 2) Y - broj hitaca prije prvog pogotka u metu; 3) Z- vrijeme nesmetanog rada uređaja itd. (visina osobe, kurs dolara, broj neispravnih dijelova u seriji, temperatura zraka, dobitak igrača, koordinata točke ako je nasumično odabrana, dobit kompanije, . ..).

Slučajna varijabla XΏ w

X(w), tj. X= X(w), w O Ώ (ili X = f(w)) (31)

Primjer 1. Eksperiment se sastoji od bacanja novčića 2 puta. Na PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), gdje je w 1 = GG, ž 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, možete uzeti u obzir str. V. X- broj pojavljivanja grba. S.v. X je funkcija elementarnog događaja w i : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. sa vrijednostima x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S R(A) = R(H< X).

X- d.s. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

p i , Gdje i = 1,2,3, ...,n,… .

Zakon distribucije d.s. V. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

With. V. X x i. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
P	p 1	p2	….	p n	…

Od događaja (X = x 1 ), (X = x 2 ),…, (X = x n), tj. .

(x 1 , p 1 ), (x 2 , p 2),..., (x n , p n) se nazivaju poligon(ili poligon) distribucija(vidi sliku 17).

Slučajna vrijednost X je diskretan, ako postoji konačan ili prebrojiv skup brojeva x 1 , x 2 , ..., x n takav da P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) str 1 + p2 + p 3 +…= 1 (32)

Iznos d.s. V. X, uzimajući vrijednosti x i sa vjerovatnoćama p i = R(H = x i), i = 1,2,3,...,n, i d.s. V. Y, uzimajući vrijednosti y j sa vjerovatnoćama p i = R(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, naziva se d.s. V. Z = X + Y, uzimajući vrijednosti z ij = x i + y j sa vjerovatnoćama p ij = P( X = x i,Y = y j), za sve navedene vrijednosti i i j. Ako se neki sumi x i + y j poklapaju, odgovarajuće vjerovatnoće se zbrajaju.

Po razlici d.s. V. X, uzimajući vrijednosti x i sa vjerovatnoćama p i = R(H = x i), i = 1,2,3,...,n, i d.s. V. Y, uzimajući vrijednosti y j sa vjerovatnoćama p i = R(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, naziva se d.s. V. Z = X - Y, uzimajući vrijednosti z ij = x i – y j sa vjerovatnoćama p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), za sve navedene vrijednosti i i j. Ako se neke razlike x i – y j poklapaju, dodaju se odgovarajuće vjerovatnoće.

Posao d.s. V. X, uzimajući vrijednosti x i sa vjerovatnoćama p i = R(H = x i), i = 1,2,3,...,n, i d.s. V. Y, uzimajući vrijednosti y j sa vjerovatnoćama p i = R(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, naziva se d.s. V. Z = X × Y, uzimajući vrijednosti z ij = x i × y j sa vjerovatnoćama p ij = P( X = x i,Y = y j), za sve navedene vrijednosti i i j. Ako se neki produkti x i × y j poklapaju, dodaju se odgovarajuće vjerovatnoće.

d.s. V. sH, s x i r i = R(H = x i ).

X i Y događaji (X = x i) = A i i (Y = y j) = B j su nezavisni za bilo koje i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, tj.

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Primjer 2. U urni se nalazi 8 kuglica, od kojih su 5 bijele, a ostale crne. Iz njega se nasumično izvlače 3 loptice. Pronađite zakon raspodjele broja bijelih kuglica u uzorku.