Važan preduslov za kvalitet gradnje regresijski model prema OLS-u je nezavisnost vrijednosti slučajnih odstupanja od vrijednosti odstupanja u svim ostalim opažanjima. Odsustvo zavisnosti garantuje odsustvo korelacije između bilo kakvih odstupanja, tj. 
a posebno između susjednih devijacija 
.
Autokorelacija (serijska korelacija) ostaci definira se kao korelacija između susjednih vrijednosti slučajnih odstupanja tokom vremena (vremenske serije) ili prostora (podaci poprečnog presjeka). Obično se javlja u vremenskim serijama i vrlo rijetko u prostornim podacima.
Moguće sledećim slučajevima :
Ovi slučajevi mogu ukazivati na priliku da se jednačina poboljša procjenom nove nelinearne formule ili uključivanjem nove varijable koja objašnjava.
U ekonomskim problemima, pozitivna autokorelacija je mnogo češća od negativne autokorelacije.
Ako je priroda odstupanja slučajna, onda možemo pretpostaviti da se u pola slučajeva znaci susjednih odstupanja poklapaju, a u pola su različiti.
Autokorelacija u rezidualima može biti uzrokovana nekoliko razloga različite prirode.
1. Može biti povezan sa izvornim podacima i uzrokovan prisustvom mjernih grešaka u vrijednostima rezultirajuće karakteristike.
2. U nekim slučajevima, autokorelacija može biti posljedica pogrešne specifikacije modela. Model možda ne uključuje faktor koji ima značajan uticaj na rezultat i čiji se uticaj reflektuje na reziduale, usled čega se potonji mogu pokazati kao autokorelirani. Vrlo često je ovaj faktor faktor vremena.
Situacije kada uzrok autokorelacije leži u netačnoj specifikaciji funkcionalnog oblika modela treba razlikovati od prave autokorelacije reziduala. U tom slučaju trebate promijeniti oblik modela umjesto da ga koristite posebne metode izračunavanje parametara regresione jednadžbe u prisustvu autokorelacije u rezidualima.
Za otkrivanje autokorelacije koristi se ili grafička metoda. Ili statistički testovi.
Grafička metoda sastoji se od iscrtavanja grešaka u odnosu na vrijeme (u slučaju vremenskih serija) ili objašnjavajućih varijabli i vizualnog određivanja prisustva ili odsustva autokorelacije.
Najpoznatiji kriterij za otkrivanje autokorelacije prvog reda je kriterij Durbin-Watson. Statistika DW Durbin-Watson je dat u svim posebnim kompjuterskim programima kao jedan od najvažnije karakteristike kvaliteta regresijskog modela.
Prvo se pomoću konstruirane empirijske regresijske jednadžbe određuju vrijednosti odstupanja 
. A onda se Durbin-Watsonova statistika izračunava pomoću formule:
.
Statistika DW varira od 0 do 4. DW=0 odgovara pozitivno autokorelacija, sa negativan autokorelacija DW=4 . Kada nema autokorelacije, koeficijent autokorelacije je nula, a statistika DW = 2 .
Algoritam za identifikaciju autokorelacije reziduala na osnovu Durbin-Watsonovog testa je sljedeći.
Postavlja se hipoteza o odsustvu autokorelacije reziduala. Alternativne hipoteze sastoje se, respektivno, u prisustvu pozitivne ili negativne autokorelacije u rezidualima. Zatim, pomoću posebnih tablica, određujemo kritične vrijednosti Durbin-Watsonov test (- donja granica za prepoznavanje pozitivne autokorelacije) i ( -gornja granica prepoznavanje odsustva pozitivne autokorelacije) za dati broj opservacija, broj nezavisnih varijabli u modelu i nivo značajnosti. Na osnovu ovih vrijednosti, numerički interval je podijeljen na pet segmenata. Prihvatanje ili odbacivanje svake hipoteze sa vjerovatnoćom vrši se na sljedeći način:
– pozitivna autokorelacija, prihvaćena;
– zona neizvjesnosti;
– nema autokorelacije;
– zona neizvjesnosti;
– negativna autokorelacija, prihvaćeno.
 |
Ako stvarna vrijednost Durbin-Watsonovog testa padne u zonu neizvjesnosti, tada se u praksi pretpostavlja postojanje autokorelacije reziduala i hipoteza se odbacuje.
Može se pokazati da statistika DW je usko povezan sa koeficijentom autokorelacije prvog reda:
Odnos se izražava formulom: 
.
Vrijednosti r variraju od –1 (u slučaju negativne autokorelacije) do +1 (u slučaju pozitivne autokorelacije). Blizina r na nulu ukazuje na odsustvo autokorelacije.
U nedostatku tablica kritičnih vrijednosti DW možete koristiti sljedeće „grubo“ pravilo: sa dovoljnim brojem zapažanja (12-15), sa 1-3 objašnjavajuće varijable, ako 
, onda se odstupanja od linije regresije mogu smatrati međusobno nezavisnim.
Ili primijenite transformaciju koja smanjuje autokorelaciju na podatke (na primjer, transformaciju autokorelacije ili metodu pokretnog prosjeka).
Postoji nekoliko ograničenja za korištenje Durbin-Watsonovog testa.
1. Kriterijum DW odnosi se samo na one modele koji sadrže lažni izraz.
2. Pretpostavlja se da se slučajna odstupanja određuju korištenjem iterativne šeme
,
3. Statistički podaci moraju imati istu učestalost (ne bi trebalo biti praznina u zapažanjima).
4. Durbin-Watsonov kriterij nije primjenjiv na autoregresivne modele koji među faktorima sadrže i zavisnu varijablu sa vremenskim kašnjenjem (lag) od jednog perioda.
,
gdje je procjena koeficijenta autokorelacije prvog reda, D(c)– uzorkovana varijansa koeficijenta za zaostalu varijablu y t -1 , n– broj zapažanja.
Obično se vrijednost izračunava pomoću formule 
, A D(c) jednak kvadratu standardne greške S c procjene koeficijenta With.
Ako postoji autokorelacija reziduala, rezultirajuća formula regresije se obično smatra nezadovoljavajućom. Autokorelacija greške prvog reda ukazuje na pogrešnu specifikaciju modela. Stoga biste trebali pokušati prilagoditi sam model. Nakon što pogledate graf greške, možete potražiti drugu (nelinearnu) formulu zavisnosti, uključiti faktore koji ranije nisu uzeti u obzir, pojasniti period izračunavanja ili ga podijeliti na dijelove.
Ako sve ove metode ne pomognu i autokorelacija je uzrokovana nekim unutrašnjim svojstvima niza ( e i), možete koristiti transformaciju tzv autoregresivna shema prvog reda AR(1). (autoregresijom ova konverzija se zove jer je vrijednost greške određena vrijednošću iste veličine, ali sa zakašnjenjem. maksimalno kašnjenje je 1, onda je ovo autoregresija prva narudžba).
Formula AR(1) ima oblik: . 
.
Gdje je koeficijent autokorelacije prvog reda grešaka regresije.
Hajde da razmotrimo AR(1) koristeći uparenu regresiju kao primjer:
.
Tada susjedna zapažanja odgovaraju formuli:
(1),
(2).
Pomnožite (2) sa i oduzmite od (1):
Napravimo promjene varijabli
uzimamo u obzir :
(6)
.
Pošto slučajne varijanse zadovoljavaju OLS pretpostavke, procjene A * I b imat će svojstva najboljih linearnih nepristrasnih procjena. Na osnovu transformiranih vrijednosti svih varijabli, procjene parametara se izračunavaju pomoću običnih najmanjih kvadrata. A* I b, koji se onda može koristiti u regresiji.
To. ako su reziduali iz originalne regresione jednadžbe autokorelirani, tada se za procjenu parametara jednadžbe koriste sljedeće transformacije:
1) Pretvorite originalne varijable at I X formirati (3), (4).
2) Koristeći uobičajenu metodu najmanjih kvadrata za jednačinu (6), odredite procjene A * I b.
4) Pišite originalna jednadžba(1) sa parametrima A I b(Gdje A- iz tačke 3, a b uzima se direktno iz jednačine (6)).
Za pretvaranje AR(1) važno je procijeniti koeficijent autokorelacije ρ . To se radi na nekoliko načina. Najjednostavnije je procijeniti ρ na osnovu statistike DW:
,
Gdje r uzeto kao procjena ρ . Ova metoda dobro funkcionira s velikim brojem zapažanja.
U slučaju kada postoji razlog za vjerovanje da je pozitivna autokorelacija odstupanja vrlo velika ( 
), može biti korišteno metoda prve razlike (metoda detrenda), jednačina poprima oblik
.
Iz jednačine metodom najmanjih kvadrata procjenjuje se koeficijent b. Parametar A ovdje nije direktno određeno, ali je poznato iz najmanjih kvadrata da .
U slučaju potpune negativne autokorelacije odstupanja ()
Dobijamo jednačinu regresije:
ili 
.
Izračunavaju se prosjeci za 2 perioda, a zatim iz njih A I b. Ovaj model se zove model regresije pokretnog prosjeka.
Durbin-Watsonov test (ili DW test) je statistički test koji se koristi za pronalaženje autokorelacije prvog reda elemenata sekvence koja se proučava. Najčešće se koristi u analizi vremenskih serija i reziduala regresionih modela. Kriterijum je nazvan po Jamesu Durbinu i Geoffreyu Watsonu. Durbin-Watsonov kriterij se izračunava korištenjem sljedeće formule
gdje je ρ1 koeficijent autokorelacije prvog reda.
U nedostatku autokorelacije d = 2, sa pozitivnom autokorelacijom d teži nuli, a sa negativnom autokorelacijom - 4:
U praksi se primjena Durbin-Watsonovog testa zasniva na upoređivanju vrijednosti d sa teorijskim vrijednostima dL i dU za dati broj opservacija n, broja nezavisnih varijabli modela k i nivoa značajnosti α.
Ako d< dL, то гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно присутствует положительная автокорреляция);
Ako je d > dU, hipoteza se ne odbacuje;
Ako dL< d < dU, то нет достаточных оснований для принятия решений.
Kada izračunata vrijednost d prelazi 2, tada se ne poredi sam koeficijent d sa dL i dU, već izraz (4 − d).
Takođe, korišćenjem ovog kriterijuma detektuje se prisustvo kointegracije između dve vremenske serije. U ovom slučaju testira se hipoteza da je stvarna vrijednost kriterija nula. Koristeći Monte Carlo metod, dobijene su kritične vrijednosti za date nivoe značajnosti. Ako stvarna vrijednost Durbin-Watsonovog kriterija prelazi kritičnu vrijednost, onda se nulta hipoteza o odsustvu kointegracije odbacuje.
Nedostaci:
Nesposoban za otkrivanje autokorelacije drugog i višeg reda.
Daje pouzdane rezultate samo za velike uzorke.
13. Uporedivi pokazatelji bliskosti veze
Uporedivi pokazatelji bliskosti komunikacije uključuju:
1) koeficijenti parcijalne elastičnosti;
2) standardizovani koeficijenti parcijalne regresije;
3) parcijalni koeficijent odlučnost.
Ako faktorske varijable imaju neuporedive mjerne jedinice, tada se odnos između njih mjeri korištenjem uporedivih indikatora bliskosti veze. Koristeći uporedive indikatore bliskosti veze, karakterizira se stepen zavisnosti između faktorskih i rezultatskih varijabli u modelu. višestruka regresija.
Parcijalni koeficijent elastičnosti izračunava se pomoću formule:
– prosječna vrijednost faktorske varijable xi za populaciju uzorka,
– prosječna vrijednost rezultantne varijable y za populaciju uzorka;
– prvi izvod rezultantne varijable y u odnosu na faktor varijablu x.
Parcijalni koeficijent elastičnosti mjeri se u procentima i karakteriše iznos promjene rezultirajuće varijable y pri promjeni za 1% od prosječnog nivoa faktorske varijable xi, pod uslovom da su sve ostale faktorske varijable uključene u regresijski model konstantne.
Za model linearne regresije, koeficijent parcijalne elastičnosti se izračunava pomoću formule:
gdje je βi koeficijent modela višestruke regresije.
Da bi se izračunali standardizovani koeficijenti parcijalne regresije, potrebno je izgraditi model višestruke regresije na standardnoj (normalizovanoj) skali. To znači da su sve varijable uključene u regresijski model standardizirane pomoću posebnih formula. Kroz proces standardizacije, referentna tačka za svaku normalizovanu varijablu se postavlja na njenu prosječnu vrijednost u populaciji uzorka. U ovom slučaju, njegova standardna devijacija β se uzima kao jedinica mjere standardizirane varijable.
Faktor varijabla x se pretvara u standardiziranu skalu koristeći formulu:
gde je xij vrednost varijable xj u i-tom posmatranju;
G(xj) – standardna devijacija faktorske varijable xi;
Rezultirajuća varijabla y se pretvara u standardiziranu skalu koristeći formulu:
gdje je G(y) standardna devijacija rezultantne varijable y.
Standardizirani koeficijenti parcijalne regresije karakteriziraju koliki će se udio svoje standardne devijacije G(y) rezultujuća varijabla y promijeniti kada se faktorska varijabla x promijeni za vrijednost njene standardne devijacije G(x), pod uslovom da sve ostale faktorske varijable uključene u regresiju model su konstantni.
Standardizovani koeficijent parcijalne regresije karakteriše stepen direktne ili direktne zavisnosti između varijabli ishoda i faktora. Ali zbog činjenice da postoji zavisnost između faktorskih varijabli uključenih u model višestruke regresije, faktorska varijabla ima ne samo direktan, već i indirektan učinak na varijablu ishoda.
Parcijalni koeficijent determinacije koristi se za karakterizaciju stepena indirektnog uticaja faktorske varijable x na rezultantnu varijablu y:
gdje je βi standardizirani koeficijent parcijalne regresije;
r(xixj) – parcijalni koeficijent korelacije između faktorskih varijabli xi i xj.
Parcijalni koeficijent determinacije karakterizira postotak varijacije varijable ishoda uzrokovane varijacijom i-te faktorske varijable uključene u model višestruke regresije, pod uslovom da su sve ostale faktorske varijable uključene u regresijski model konstantne.
Standardizirani koeficijenti parcijalne regresije i koeficijenti parcijalne elastičnosti mogu dati različite rezultate. Ovo odstupanje se može objasniti, na primjer, prevelikom standardnom devijacijom jedne od faktorskih varijabli ili dvosmislenim efektom jedne od faktorskih varijabli na varijablu ishoda.
1 izračunajte d-statistiku (Durbin-Watsonov test)
2 izračunati prvi koeficijent autokorelacije r(1)
Pripremićemo se za proračune -
∑e 2 (t) = 14,6 - koristite Excel fx/mathematical/SUMMKV),
∑(e(t)-e(t-1)) 2 = 32,32 – koristite Excel fx/mathematical/SUMMARVARIE) – 1 niz osim prvog, 2 niza osim posljednjeg.
d=∑(e(t)-e(t-1)) 2 / ∑e 2 (t) = 32,32/14,6=2,213699
Koristeći tablicu Vrijednosti Durbin-Watsonovog d-kriterijuma, utvrđujemo da je d 1 = 1,08 i d 2 = 1,36
One. naš d=2,213699 ? (1.08;1.36), stoga je potrebna dodatna provjera, nađimo d’=4-d=4-2.213699=1.786301, tj. d’ ? (1.36;2)
nije završeno Provjera završena d’=4-d
stoga je zadovoljeno svojstvo nezavisnosti nivoa određenog broja rezidua, ostaci su nezavisni.
Za provjeru normalna distribucija bilansa izračunavamo R/S - statistiku
R/S=e max -e min / S e
e max - maksimalni nivo određenog broja ostataka,
e min - minimalni nivo određenog broja ostataka,
e max =2,2333333 koristiti Excel fx/statistic/MAX),
e min = -2,466666667 koristite Excel fx/statistic/MIN),
Se=1,444200224 1. tabela Regresija rezultata „standardna greška”
Dakle, R/S=2,2333333 - (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396
Kritični interval (2.7;3.7), tj. R/S=3.254396? (2.7;3.7), svojstvo normalne raspodjele reziduala je zadovoljeno.
Sumirajući rezultate testa, možemo zaključiti da se model ponaša adekvatno.
Da bismo procenili tačnost modela, izračunavamo prosek relativna greška aproksimacija E rel = |e(t)/Y(t)|*100%, koristeći dobijene vrijednosti, odredite prosječnu vrijednost (fx/matematički/PROSEK)
odnosi potopiti |
| 28,88888889 |
| 6,19047619 |
| 7,333333333 |
| 8,787878788 |
| 2,222222222 |
| 2,156862745 |
| 4,444444444 |
| 8,933333333 |
| 10,72463768 |
E rel av =8,853564 – dobar nivo tačnost modela
Da bismo izračunali prognozu tačaka, zamjenjujemo odgovarajuće vrijednosti t=10 i t=11 u konstruirani model:
y 10 =1,166666667+2,7*10=28,16666667
y 11 =1,166666667+2,7*11= 30,86666667,
Očekivana potražnja za kreditnim resursima finansijska kompanija za sedmicu 10 bi trebalo da bude oko 28,16666667 miliona rubalja, a za nedelju 11 oko 30,86666667 miliona rubalja.
Na nivou značajnosti L=30%, verovatnoća poverenja je jednako 70%, a Studentov test za k=n-2=9-2=7 je jednak
t cr (30%;7)=1,119159 (fx/statistics/STUDARIST),
S e =1,444200224 1. tabela rezultata regresije, red “standardna greška”,
t’ av = 5(fx/matematički/PROSEK) - prosečan nivo za razmatranu tačku u vremenu,
∑(t-t’ avg)=60 (fx/statistički/QUADROTCL),
Širina interval povjerenja Izračunajmo ga koristeći formulu:
U 1 =t*Se*√1+1/n+(t*-t') 2 /∑(t-t' avg)= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5 ) 2 /60=1,997788
U 2 =t*Se*√1+1/n+(t*-t') 2 /∑(t-t' avg)=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5 ) 2 /60= 2,11426
u donji =28,16666667-1,997788=26,16888
u vrh =28,16666667+1,997788=30,16445
u donji =30,86666667-2,11426=28,75241
u donji =30,86666667+2,11426= 32,98093
Potražnja za kreditnim resursima finansijske kompanije za 10. sedmicu kreće se od 26,16888 miliona rubalja. do 30,16445 miliona rubalja, a za 11. nedelju od 28,75241 miliona rubalja. do 32,98093 miliona rubalja.
Napravimo raspored:
Ai je potrošnja sirovina po jedinici proizvodnje; B - ukupne zalihe sirovina; W - područje dozvoljenih ograničenja; Tema 2. Metod matematičko modeliranje u ekonomiji. 2.1. Koncept “modela” i “simulacije”. Dvije klase problema povezuju se sa konceptom „modeliranja ekonomskih sistema“ (kao i matematičkih, itd.): 1) problemi analize, kada je sistem podvrgnut dubinskom proučavanju svojih...
Dužina vremena. U pravilu se radi o problemu čije rješenje podrazumijeva formulisanje srodnih ili sličnih problema. Poglavlje 2. Ekonomsko-matematičko modeliranje procesa donošenja upravljačkih odluka. Klasifikacija odluka prema vremenu djelovanja izražava princip njihove cikličnosti, određenog hronološkog slijeda, čiji vremenski okvir neminovno mora biti uzet u obzir u procesu...
Proizvodna funkcija, modeli ponašanja firme, modeli opšte ekonomske ravnoteže, prvenstveno model L. Walrasa i njegove modifikacije. Poglavlje 2. Istorija razvoja ekonomskog i matematičkog modeliranja u SAD Da bih okarakterisao matematički pravac u ekonomiji u poslednjih 80–90 godina, daću samo nekoliko rezultata koji su odigrali značajnu ulogu u njegovom razvoju. Kao i teoretski,...
Pitanja se postavljaju tokom marketinga i projektovanja i istraživanja tokom faze projektovanja sportskih objekata. I već u ovoj fazi, ekonomske i matematičke metode su aktivno uključene u proces, a koristi se postojeći aparat matematičkog modeliranja i predviđanja. Ove metode i kalkulacije su apsolutno neophodne za određivanje: perioda otplate za pojedinačna preduzeća...
Durbin-Watsonov test koristi se za otkrivanje autokorelacije, koja se pokorava autoregresivnom procesu 1. reda. Pretpostavlja se da je vrijednost ostataka e t u svakom t-to zapažanje nezavisno od njegovih vrednosti u svim drugim zapažanjima. Ako je koeficijent autokorelacije ρ pozitivan, onda je autokorelacija pozitivna, ako je ρ negativna, onda je autokorelacija negativna. Ako je ρ = 0, onda nema autokorelacije (tj. četvrta premisa normalnog linearnog modela je zadovoljena).Durbin-Watsonov kriterijum se svodi na testiranje hipoteze:
- H 0 (glavna hipoteza): ρ = 0
- H 1 (alternativna hipoteza): ρ > 0 ili ρ
Za testiranje glavne hipoteze koristi se statistika Durbin-Watsonovog testa - DW:gdje je e i = y - y(x)
Ovo se radi pomoću tri kalkulatora:
- Jednačina trenda (linearna i nelinearna regresija)
Razmotrimo treću opciju. Linearna jednadžba trend ima oblik y = at + b
1. Metodom pronađite parametre jednačine najmanjih kvadrata kroz online usluga Jednačina trenda.
Sistem jednačina
Za naše podatke sistem jednačina ima oblik
Iz prve jednačine izražavamo 0 i zamjenjujemo ga u drugu jednačinu
Dobijamo 0 = -12,78, a 1 = 26763,32
Jednačina trenda
y = -12,78 t + 26763,32
Procijenimo kvalitetu jednadžbe trenda koristeći apsolutnu grešku aproksimacije.
Budući da je greška veća od 15%, nije preporučljivo koristiti ovu jednačinu kao trend
Prosječne vrijednosti
Disperzija
Standardna devijacijaIndeks determinacije
, tj. u 97,01% slučajeva utiče na promjene podataka. Drugim riječima, tačnost odabira jednačine trenda je visoka.t y t 2 y 2 t∙y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t)) 2 (t-t p) 2 (y-y(t)) : y 1990 1319 3960100 1739761 2624810 1340.26 18117.16 451.99 148.84 28041.86 1996 1288 3984016 1658944 2570848 1263.61 10732.96 594.99 38.44 31417.53 2001 1213 4004001 1471369 2427213 1199.73 817.96 176.08 1.44 16095.92 2002 1193 4008004 1423249 2388386 1186.96 73.96 36.54 0.04 7211.59 2003 1174 4012009 1378276 2351522 1174.18 108.16 0.03 0.64 210.94 2004 1159 4016016 1343281 2322636 1161.4 645.16 5.78 3.24 2786.55 2005 1145 4020025 1311025 2295725 1148.63 1552.36 13.17 7.84 4155.05 2006 1130 4024036 1276900 2266780 1135.85 2959.36 34.26 14.44 6614.41 2007 1117 4028049 1247689 2241819 1123.08 4542.76 36.94 23.04 6789.19 2008 1106 4032064 1223236 2220848 1110.3 6146.56 18.51 33.64 4758.73 20022 11844 40088320 14073730 23710587 11844 45696.4 1368.3 271.6 108081.77 Durbin-Watsonov test za prisustvo autokorelacije reziduala za vremensku seriju.
y y(x) e i = y-y(x) e 2 (e i - e i-1) 2 1319 1340.26 -21.26 451.99 0 1288 1263.61 24.39 594.99 2084.14 1213 1199.73 13.27 176.08 123.72 1193 1186.96 6.04 36.54 52.19 1174 1174.18 -0.18 0.03 38.75 1159 1161.4 -2.4 5.78 4.95 1145 1148.63 -3.63 13.17 1.5 1130 1135.85 -5.85 34.26 4.95 1117 1123.08 -6.08 36.94 0.05 1106 1110.3 -4.3 18.51 3.15 1368.3 2313.41
Kritične vrijednosti d 1 i d 2 određuju se na osnovu posebnih tabela za traženi nivo značajnosti a, broj opažanja n i broj eksplanatornih varijabli m.
Bez pozivanja na tabele, možete koristiti približno pravilo i pretpostaviti da ne postoji autokorelacija reziduala ako je 1,5< DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .Primjer. Na osnovu podataka za 24 meseca konstruisana je regresiona jednačina za zavisnost profita poljoprivredne organizacije od produktivnosti rada (x1): y = 300 + 5x.
Dobijeni su sljedeći međurezultati:
∑ε 2 = 18500
∑(ε t - ε t-1) 2 = 41500
Izračunajte Durbin-Watsonov kriterijum (sa n=24 i k=1 (broj faktora), donja vrijednost d = 1,27, gornja vrijednost d = 1,45. Izvedite zaključke.Rješenje.
DW = 41500/18500 = 2,24
d 2 = 4- 1,45 = 2,55
Budući da je DW > 2,55, postoji razlog za vjerovanje da ne postoji autokorelacija. Ovo je jedna od potvrda Visoka kvaliteta rezultirajuća jednačina regresije je y = 300 + 5x.
Durbin-Watsonov test (ili DW statistika).
Ovo je najpoznatiji test za otkrivanje autokorelacije prvog reda. Durbin-Watson statistika je data u svim specijalnim kompjuterskim programima kao jedna od najvažnijih karakteristika kvaliteta regresionog modela.
Prvo, prema konstruiranoj empirijskoj jednadžbi regresije
vrijednosti odstupanja se određuju Izračunati
statistika
0 pozitivna autokorelacija;
d t zona neizvjesnosti;
d u - d u - nema autokorelacije;
- 4 - d u
- 4 - d/ negativna autokorelacija.
Može se pokazati da je statistika (2.64) usko povezana sa koeficijentom autokorelacije prvog reda: 
Odnos se izražava formulom:
To implicira značenje statističke analize autokorelacije. Pošto vrednosti G varirati od -1 do +1, DW kreće se od 0 do 4. Kada nema autokorelacije, koeficijent autokorelacije je nula i statistika DW jednako 2. Statistika D.W. jednak 0, odgovara pozitivnoj autokorelaciji kada je izraz u zagradama jednak nuli (g= +1). Sa negativnom autokorelacijom (g= - 1), DW= 4 i izraz u zagradama je jednak dva.
Ograničenja Durbin-Watsonovog kriterija su sljedeća.
- 1. Statistika DW odnosi se samo na one modele koji sadrže lažni izraz.
- 2. Pretpostavlja se da se slučajna odstupanja određuju korištenjem iterativne šeme
- 3. Statistički podaci moraju imati istu učestalost (ne bi trebalo biti praznina u zapažanjima).
- 4. Durbin-Watsonov kriterij nije primjenjiv na autoregresivne modele oblika
Za modele (2.66) predlaže se Durbinova r-statistika:
gdje je p procjena prvog reda p (2.65);
D(c)- uzorak varijanse koeficijenta za varijablu sa kašnjenjem y, _ b P- broj zapažanja.
Sa velikim P i valjanost nulte hipoteze H 0: p = 0 I- statistika ima standardnu distribuciju h ~ N( 0, 1). Stoga, na datom nivou značajnosti, kritična tačka se određuje iz uslova: 
i L-statistika se poredi sa iar.. Ako I > ia/2 , tada treba odbaciti nultu hipotezu da nema autokorelacije. U suprotnom se ne odbija.
Obično se p vrijednost izračunava kao prva aproksimacija pomoću formule p&1-DIV/2, a D(c) jednak kvadratu standardne greške t s procjene koeficijenta With. Treba napomenuti da je izračunavanje /r-statistike nemoguće kada nD(c) > 1.
Autokorelacija je najčešće uzrokovana pogrešnom specifikacijom modela. Stoga treba pokušati prilagoditi sam model, posebno uvesti neki neuračunati faktor ili promijeniti oblik modela, na primjer, iz linearnog u polulogaritamski ili hiperbolički. Ako sve ove metode ne pomognu i autokorelacija je uzrokovana nekim unutrašnjim svojstvima niza (e,), možete koristiti transformaciju koja se zove autoregresivna shema prvog reda AR(1).
Pogledajmo /Sh1) koristeći uparenu regresiju kao primjer:
Tada, prema (2.68), susjedna opažanja odgovaraju sljedećim formulama:
Ako su slučajna odstupanja određena izrazom (2.65), gdje je koeficijent p poznat, onda transformacija formula (2.69) i (2.70) daje:
Napravimo promjene varijabli u (2.71): dobijamo, uzimajući u obzir izraz (2.65):
Pošto slučajna odstupanja y zadovoljavaju pretpostavke OLS-a, procjene A I b jednadžbe (2.73) će imati svojstva najboljih linearnih nepristrasnih procjena. Na osnovu transformiranih vrijednosti svih varijabli, procjene parametara se izračunavaju pomoću običnih najmanjih kvadrata. A I b, koji se onda može koristiti u regresiji (2.68).
Međutim, način na koji se izračunavaju transformirane varijable (2.72) rezultira gubitkom prvog opažanja ako nema informacija o prethodnim opservacijama. To smanjuje broj stupnjeva slobode za jedan, što nije značajno za velike uzorke, ali za male uzorke dovodi do gubitka efikasnosti. Zatim se prvo zapažanje vraća korištenjem Price-Winsten korekcije:
Za transformaciju /Sh1), kao i kod uvođenja korekcija (2.74), važno je procijeniti koeficijent autoregresije p. To se radi na nekoliko načina. Najjednostavnije je procijeniti p na osnovu statistike
Gdje G uzima se kao procjena p.
Formula (2.75) dobro radi za veliki broj opservacija.
Postoje i druge metode za procjenu p: Cochran-Orcutt metoda i Hildreth-Lu metoda. Pogledajmo Cochran-Orcutt metod korak po korak:
- 1. Prvo, uobičajeni OLS se primjenjuje na netransformirane izvorne podatke, za koje se izračunavaju reziduali.
- 2. Zatim se njegova OLS procjena u regresiji (2.65) uzima kao približna vrijednost koeficijenta autoregresije p.
- 3. Originalne varijable se transformiraju prema formulama (2.72), a metoda najmanjih kvadrata primjenjuje se na transformirane podatke kako bi se odredile nove procjene parametara A I b.
- 4. Postupak se ponavlja počevši od koraka 2.
Proces se obično završava kada se sljedeća aproksimacija p malo razlikuje od prethodne. Ponekad je broj iteracija jednostavno fiksiran. Ovaj postupak je implementiran u većini ekonometrijskih kompjuterskih programa.
gdje je Du, = y, - y 1, Dx, = x, - x,_ 1 - takozvane prve razlike (unazad).
Iz jednačine (2.76) koeficijent se procjenjuje korištenjem najmanjih kvadrata. b. Parametar A ovdje nije direktno određeno, ali se iz najmanjih kvadrata zna da a = y -bx.
U slučaju p = -1, zbrajanjem (2.69) i (2.70) uzimajući u obzir (2.65), dobijamo jednačinu regresije.
