Některé úlohy ve fyzice a matematice lze řešit pomocí vlastností číselných řad. Dvě nejjednodušší číselné řady vyučované ve školách jsou algebraické a geometrické. V tomto článku se blíže podíváme na otázku, jak najít součet nekonečné klesající geometrické posloupnosti.
Geometrická progrese
Tato slova znamenají řadu reálných čísel, jejichž prvky ai splňují výraz:
Zde i je číslo prvku v řadě, r je konstantní číslo nazývané jmenovatel.
Tato definice ukazuje, že pokud znáte kteréhokoli člena progrese a jejího jmenovatele, můžete obnovit celou řadu čísel. Pokud je například znám 10. prvek, pak jeho dělením r dostaneme 9. prvek, dalším dělením dostaneme 8. a tak dále. Tyto jednoduché argumenty nám umožňují zapsat výraz, který je platný pro uvažovanou řadu čísel:
Příkladem progrese se jmenovatelem 2 by byla následující řada:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Pokud je jmenovatel roven -2, získá se zcela jiná řada:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geometrická progrese je mnohem rychlejší než algebraická, to znamená, že její členy rychle rostou a rychle klesají.
Součet i podmínek progrese
Pro řešení praktických problémů je často nutné vypočítat součet několika prvků uvažované číselné posloupnosti. Pro tento případ platí následující vzorec:
Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Je vidět, že k výpočtu součtu i členů potřebujete znát pouze dvě čísla: a 1 a r, což je logické, protože jednoznačně určují celou posloupnost.
Klesající posloupnost a součet jejích členů
Nyní uvažujme speciální případ. Budeme předpokládat, že modul jmenovatele r nepřekročí jednu, tedy -1 Je zajímavé uvažovat o klesající geometrické progresi, protože nekonečný součet jejích členů má tendenci ke konečnému reálnému číslu. Získáme vzorec pro součet.To lze snadno udělat, pokud napíšete výraz pro S i uvedený v předchozím odstavci. My máme: Si = a 1 *(r i -1)/(r-1) Uvažujme případ, kdy i->∞. Protože modul jmenovatele je menší než 1, jeho zvýšení na nekonečnou mocninu dá nulu. To lze zkontrolovat pomocí příkladu r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Výsledkem je, že součet členů nekonečné klesající geometrické progrese bude mít tvar: Tento vzorec se v praxi často používá například pro výpočet ploch obrazců. Používá se také k vyřešení paradoxu Zeno z Elea s želvou a Achillem. Je zřejmé, že uvažování součtu nekonečné geometrické rostoucí progrese (r>1) povede k výsledku S ∞ = +∞. Ukažme si, jak aplikovat výše uvedené vzorce na příkladu řešení problému. Je známo, že součet nekonečné geometrické posloupnosti je 11. Navíc její 7. člen je 6krát menší než třetí člen. Jaký je první prvek pro tuto číselnou řadu? Nejprve si vypišme dva výrazy pro určení 7. a 3. prvku. Dostaneme: Vydělením prvního výrazu druhým a vyjádřením jmenovatele máme: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 /a 3) Vzhledem k tomu, že poměr sedmého a třetího členu je uveden v problému, můžete jej nahradit a najít r: r = 4 √ (a 7 /a 3) = 4 √ (1/6) ≈ 0,63894 Vypočítali jsme r na pět desetinných míst. Protože výsledná hodnota je menší než jedna, progrese je klesající, což ospravedlňuje použití vzorce pro jeho nekonečný součet. Zapišme výraz pro první člen přes součet S ∞: Do tohoto vzorce dosadíme známé hodnoty a dostaneme odpověď: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Zeno z Elea je slavný řecký filozof, který žil v 5. století před naším letopočtem. E. Řada jeho vrcholů či paradoxů dospěla až do současnosti, v níž se formuluje problém nekonečně velkého a nekonečně malého v matematice. Jedním ze slavných Zenónových paradoxů je soutěž mezi Achillem a želvou. Zeno věřil, že pokud Achilles poskytne želvě nějakou výhodu na dálku, nikdy ji nebude schopen dohnat. Nechte například Achilla běžet 10x rychleji, než se plazí zvíře, které je například 100 metrů před ním. Když válečník uběhne 100 metrů, želva se odplazí o 10 metrů. Když Achilles znovu uběhne 10 metrů, Achilles vidí, že se želva plazí ještě 1 metr. Můžete takto argumentovat donekonečna, vzdálenost mezi soupeři se skutečně zmenší, ale želva bude vždy vepředu. Vedl Zeno k závěru, že pohyb neexistuje a všechny okolní pohyby předmětů jsou iluzí. Starověký řecký filozof se samozřejmě mýlil. Řešení paradoxu spočívá v tom, že nekonečný součet neustále se zmenšujících segmentů směřuje ke konečnému číslu. Ve výše uvedeném případě pro vzdálenost, kterou Achilles uběhl, dostaneme: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Použitím vzorce pro součet nekonečné geometrické posloupnosti získáme: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metrů Tento výsledek ukazuje, že Achilles želvu dožene, když se plazí pouze 11 111 metrů. Staří Řekové neuměli v matematice pracovat s nekonečnými veličinami. Tento paradox však lze vyřešit, pokud nebudeme dbát na nekonečný počet mezer, které musí Achilles překonat, ale na konečný počet kroků, které běžec potřebuje k dosažení svého cíle. Účel lekce: seznámit studenty s novým typem posloupnosti - nekonečně klesající geometrickou progresí. Lekce na dané téma „Nekonečně klesající geometrický postup“ (algebra, 10. třída) Účel lekce: seznamování studentů s novým typem sekvence - nekonečně klesající geometrickou progresí. úkoly: formulování počáteční představy o limitu číselné posloupnosti; seznámení s dalším způsobem převodu nekonečných periodických zlomků na obyčejné pomocí vzorce pro součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti; rozvoj intelektuálních vlastností osobnosti školáků, jako je logické myšlení, schopnost hodnotit a zobecňovat; podpora aktivity, vzájemné pomoci, kolektivismu a zájmu o věc. Zařízení: počítačová třída, projektor, plátno. Typ lekce: lekce - učení se nového tématu. Během vyučování I. Org. moment. Uveďte téma a účel lekce. II. Aktualizace znalostí studentů. V 9. třídě jsi studoval aritmetiku a geometrické posloupnosti. Otázky 1. Definice aritmetický postup.
(Aritmetický postup je sekvence, ve které každý člen Počínaje druhým se rovná předchozímu členu přidanému ke stejnému číslu). 2. Vzorec č člen aritmetické progrese 3. Vzorec pro součet prvního n termíny aritmetické progrese. (nebo) 4. Definice geometrické posloupnosti. (Geometrická posloupnost je posloupnost nenulových čísel Každý člen, počínaje druhým, se rovná předchozímu členu vynásobenému Stejné číslo). 5. Vzorec č člen geometrické posloupnosti 6. Vzorec pro součet prvního n členy geometrické progrese. 7. Jaké další vzorce znáte? (, Kde ; ; ;
,
)
Úkoly 1. Aritmetický postup je dán vzorcem a n = 7 – 4n . Najděte 10. (-33) 2. V aritmetickém postupu a 3 = 7 a a 5 = 1. Najděte 4. (4) 3. V aritmetickém postupu a 3 = 7 a a 5 = 1. Najděte 17. (-35) 4. V aritmetickém postupu a 3 = 7 a a 5 = 1. Najít S 17. (-187) 5. Pro geometrický postupnajít pátý termín. 6. Pro geometrický postup najít n-tý termín. 7. Exponenciálně b3 = 8 a b5 = 2. Najít b 4 . (4) 8. Exponenciálně b3 = 8 a b5 = 2. Najděte b 1 a q. 9. Exponenciálně b3 = 8 a b5 = 2. Najděte S5. (62) III. Učení nového tématu(ukázka prezentace). Uvažujme čtverec se stranou rovnou 1. Nakreslíme další čtverec, jehož strana je poloviční než první čtverec, pak další, jehož strana je poloviční než druhá, pak další atd. Pokaždé je strana nového čtverce rovna polovině toho předchozího. V důsledku toho jsme obdrželi sekvenci stran čtvercůtvořící geometrickou posloupnost se jmenovatelem.
A co je velmi důležité, čím více takových čtverců postavíme, tím menší bude strana čtverce. Například , Tito. Jak se číslo n zvyšuje, členy progrese se blíží nule. Pomocí tohoto obrázku můžete zvážit další sekvenci. Například posloupnost oblastí čtverců: A znovu, pokud n se neomezeně zvětšuje, pak se oblast blíží nule tak blízko, jak chcete. Podívejme se na další příklad. Rovnostranný trojúhelník se stranami rovnými 1 cm. Sestrojme následující trojúhelník s vrcholy ve středních bodech stran 1. trojúhelníku podle věty o střední čáře trojúhelníku - strana 2. je rovna polovině strany prvního, strana 3. se rovná polovině strany 2. atd. Opět získáme posloupnost délek stran trojúhelníků. Na . Pokud uvažujeme geometrickou progresi s záporný jmenovatel.
Pak opět s rostoucím počtem n podmínky progrese se blíží nule. Věnujme pozornost jmenovatelům těchto posloupností. Všude byly jmenovatele menší než 1 v absolutní hodnotě. Můžeme dojít k závěru: geometrická progrese bude nekonečně klesající, pokud bude modul jejího jmenovatele menší než 1. Frontální práce. Definice: Geometrická progrese se nazývá nekonečně klesající, pokud je modul jeho jmenovatele menší než jedna..
Pomocí definice se můžete rozhodnout, zda geometrická progrese bude nekonečně klesat nebo ne. Úkol Je posloupnost nekonečně klesající geometrickou posloupností, pokud je dána vzorcem: Řešení: Pojďme najít q. ;
;
;
.
tato geometrická progrese se nekonečně zmenšuje. b) tato sekvence není nekonečně klesající geometrickou progresí. Uvažujme čtverec se stranou rovnou 1. Rozdělte jej na polovinu, jednu z polovin na polovinu atd. Plochy všech výsledných obdélníků tvoří nekonečně klesající geometrický průběh: Součet ploch všech takto získaných obdélníků bude roven ploše 1. čtverce a roven 1. Ale na levé straně této rovnosti je součet nekonečného počtu členů. Uvažujme součet prvních n členů. Podle vzorce pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti se rovná.
Pokud n roste bez omezení, pak nebo . Proto, tzn. . Součet nekonečně klesající geometrické posloupnostiexistuje limit sekvence S 1, S 2, S 3, …, S n, …. Například pro postup,
my máme Protože Součet nekonečně klesající geometrické progreselze zjistit pomocí vzorce.
III. Pochopení a upevnění(dokončení úkolů). №13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Shrnutí. S jakou sekvencí jste se dnes seznámili? Definujte nekonečně klesající geometrickou progresi. Jak dokázat, že geometrická progrese je nekonečně klesající? Uveďte vzorec pro součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti. V. Domácí úkol. 2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet Google a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com Důsledně přemýšlet, soudit na základě důkazů a vyvracet nesprávné závěry by měl umět každý: fyzik i básník, traktorista i chemik. E. Kolman V matematice bychom si měli pamatovat nikoli vzorce, ale procesy myšlení. V.P. Ermakov Je snazší najít druhou mocninu kruhu, než přelstít matematika. Augustus de Morgan Jaká věda by mohla být pro lidstvo vznešenější, obdivuhodnější, užitečnější než matematika? Franklin Nekonečně klesající stupeň geometrické progrese 10 já Aritmetické a geometrické posloupnosti. Otázky 1. Definice aritmetické progrese. Aritmetická progrese je posloupnost, ve které se každý člen, počínaje druhým, rovná předchozímu členu přidanému ke stejnému číslu. 2. Vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti. 3. Vzorec pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti. 4. Definice geometrické posloupnosti. Geometrická posloupnost je posloupnost nenulových čísel, z nichž každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu členu vynásobenému stejným číslem 5. Vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti. 6. Vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti. II. Aritmetický postup. Úkoly Aritmetický postup je dán vzorcem a n = 7 – 4 n Najděte a 10 . (-33) 2. Při aritmetickém postupu je a 3 = 7 a a 5 = 1. Najděte 4. (4) 3. V aritmetickém postupu a 3 = 7 a a 5 = 1. Najděte 17. (-35) 4. Při aritmetickém postupu je a 3 = 7 a a 5 = 1. Najít S 17. (-187) II. Geometrická progrese. Úkoly 5. Pro geometrickou posloupnost najděte pátý člen 6. Pro geometrickou posloupnost najděte n-tý člen. 7. V geometrickém postupu b 3 = 8 a b 5 = 2. Najít b 4 . (4) 8. V geometrickém postupu b 3 = 8 a b 5 = 2. Najděte b 1 a q. 9. V geometrickém postupu b 3 = 8 a b 5 = 2. Najděte S5. (62) definice: Geometrická progrese se nazývá nekonečně klesající, pokud je modul jejího jmenovatele menší než jedna. Úloha č. 1 Je posloupnost nekonečně klesající geometrickou posloupností, je-li dána vzorcem: Řešení: a) tato geometrická posloupnost je nekonečně klesající. b) tato posloupnost není nekonečně klesající geometrickou progresí. Součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti je limitou posloupnosti S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Například pro progresi máme Od součtu nekonečně klesající geometrické progrese lze najít pomocí vzorce Dokončení úkolů Najděte součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti s prvním členem 3, druhým 0,3. 2. č. 13; č. 14; učebnice, s. 138 3. č. 15(1;3); č.16(1;3) č.18(1;3); 4. č. 19; č. 20. S jakou sekvencí jste se dnes seznámili? Definujte nekonečně klesající geometrickou progresi. Jak dokázat, že geometrická progrese je nekonečně klesající? Uveďte vzorec pro součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti. Otázky Slavný polský matematik Hugo Steinhaus vtipně tvrdí, že existuje zákon, který je formulován takto: matematik to udělá lépe. Totiž, když pověříte dva lidi, z nichž jeden je matematik, aby vykonávali jakoukoli práci, kterou neznají, pak výsledek bude vždy následující: matematik to udělá lépe. Hugo Steinhaus 14.01.1887-25.02.1972 ČÍSELNÉ SEKVENCE VI § l48. Součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti Až dosud jsme u součtů vždy předpokládali, že počet členů v těchto součtech je konečný (například 2, 15, 1000 atd.). Ale při řešení některých problémů (zejména vyšší matematiky) se člověk musí vypořádat se součty nekonečného počtu členů S= A
1 + A
2 + ... + A
n
+ ... . (1) Jaké jsou tyto částky? A-převorství součet nekonečného počtu členů A
1 , A
2 , ..., A
n
, ... se nazývá limita součtu S n
První P
čísla kdy P
-> ∞
: S=S n
= (A
1 + A
2 + ... + A
n
). (2) Limit (2) samozřejmě může a nemusí existovat. Podle toho říkají, že součet (1) existuje nebo neexistuje. Jak můžeme zjistit, zda v každém konkrétním případě existuje součet (1)? Společné rozhodnutí Tato problematika daleko přesahuje rámec našeho programu. Nyní však musíme zvážit jeden důležitý zvláštní případ. Budeme mluvit o sčítání členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti. Nechat A
1 , A
1 q
, A
1 q
2, ... je nekonečně klesající geometrický průběh. To znamená, že | q
|< 1. Сумма первых P
podmínky tohoto postupu jsou stejné Ze základních vět o limitách proměnných (viz § 136) získáme: Ale 1 = 1, a qn
= 0. Proto Součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti se tedy rovná prvnímu členu této posloupnosti děleném jednou mínus jmenovatel této posloupnosti. 1) Součet geometrické posloupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... se rovná a součet geometrické posloupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... rovná se 2) Převeďte jednoduchý periodický zlomek 0,454545 ... na obyčejný. Chcete-li tento problém vyřešit, představte si tento zlomek jako nekonečný součet: Pravá část Tato rovnost je součtem nekonečně klesající geometrické posloupnosti, jejíž první člen je roven 45/100 a jmenovatel je 1/100. Proto Pomocí popsaného způsobu jej lze také získat obecné pravidlo převod jednoduchých periodických zlomků na obyčejné (viz kapitola II, § 38): Chcete-li převést jednoduchý periodický zlomek na obyčejný zlomek, musíte udělat následující: do čitatele vložte období desetinného zlomku a do jmenovatele - číslo skládající se z devítek, které se bere tolikrát, kolik je číslic v období. desetinného zlomku.
3) Převeďte smíšený periodický zlomek 0,58333 .... na obyčejný zlomek. Představme si tento zlomek jako nekonečný součet: Na pravé straně této rovnosti tvoří všechny členy počínaje 3/1000 nekonečně klesající geometrickou posloupnost, jejíž první člen je roven 3/1000 a jmenovatel je 1/10. Proto Pomocí popsané metody lze získat obecné pravidlo pro převod smíšených periodických frakcí na obyčejné frakce (viz kapitola II, § 38). Záměrně jej zde neuvádíme. Toto těžkopádné pravidlo není třeba pamatovat. Mnohem užitečnější je vědět, že jakýkoli smíšený periodický zlomek může být reprezentován jako součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti a určitého čísla. A vzorec pro součet nekonečně klesajícího geometrického postupu si musíte samozřejmě pamatovat. Jako cvičení vám doporučujeme, abyste se kromě níže uvedených problémů č. 995-1000 ještě jednou obrátili na problém č. 301 § 38. Cvičení
995. Jak se nazývá součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti? 996. Najděte součty nekonečně klesajících geometrických posloupností: 997. V jakých hodnotách X
postup nekonečně klesá? Najděte součet takového průběhu. 998. V rovnostranném trojúhelníku se stranou A
nový trojúhelník je vepsán spojením středů jeho stran; stejným způsobem je do tohoto trojúhelníku vepsán nový trojúhelník a tak dále ad infinitum. a) součet obvodů všech těchto trojúhelníků; b) součet jejich ploch. 999. Čtverec se stranou A
nový čtverec je vepsán spojením středů jeho stran; stejným způsobem je do tohoto čtverce vepsán čtverec a tak dále ad infinitum. Najděte součet obvodů všech těchto čtverců a součet jejich ploch. 1000. Sestavte nekonečně klesající geometrickou posloupnost tak, aby její součet byl roven 25/4 a součet druhých mocnin jejích členů se rovnal 625/24. Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například: Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich je). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které je první, které druhé a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady: Posloupnost čísel je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo. Například pro naši sekvenci: Přiřazené číslo je specifické pouze pro jedno číslo v sekvenci. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (stejně jako th číslo) je vždy stejné. Číslo s číslem se nazývá n-tý člen posloupnosti. Obvykle nazýváme celou posloupnost nějakým písmenem (například) a každý člen této posloupnosti je stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: . V našem případě: Nejběžnější typy progrese jsou aritmetické a geometrické. V tomto tématu budeme hovořit o druhém typu - geometrická progrese. Už ve starověku se italský matematik mnich Leonardo z Pisy (známější jako Fibonacci) zabýval praktickými potřebami obchodu. Mnich stál před úkolem určit, jaký nejmenší počet závaží lze použít k vážení produktu? Fibonacci ve svých dílech dokazuje, že takový systém vah je optimální: Toto je jedna z prvních situací, kdy se lidé museli vypořádat s geometrickou progresí, o které jste již pravděpodobně slyšeli a máte ji minimálně obecný koncept. Jakmile plně pochopíte téma, zamyslete se nad tím, proč je takový systém optimální? V současné době se v životní praxi projevuje geometrická progrese při investování peněz do banky, kdy se výše úroku připisuje k částce nastřádané na účtu za předchozí období. Jinými slovy, pokud dáte peníze na termínovaný vklad do spořitelny, tak po roce se vklad navýší o původní částku, tzn. nová částka se bude rovnat příspěvku vynásobenému. V dalším roce se tato částka zvýší o, tzn. částka získaná v té době bude opět vynásobena a tak dále. Podobná situace je popsána v úlohách výpočtu tzv složený úrok- procento se bere pokaždé z částky, která je na účtu, s přihlédnutím k předchozímu úroku. O těchto úkolech si povíme trochu později. Existuje mnohem více jednoduchých případů, kdy je aplikována geometrická progrese. Například šíření chřipky: jeden člověk nakazil druhého člověka, ten zase nakazil dalšího člověka, a tak druhá vlna nákazy je člověk a ten zase nakazil dalšího... a tak dále... . Mimochodem, finanční pyramida, stejný MMM, je jednoduchý a suchý výpočet založený na vlastnostech geometrické progrese. Zajímavý? Pojďme na to přijít. Řekněme, že máme číselnou řadu: Okamžitě odpovíte, že je to snadné a název takové posloupnosti je aritmetickým postupem s rozdílem jejích členů. Co třeba tohle: Pokud odečtete předchozí číslo od dalšího čísla, uvidíte, že pokaždé dostanete nový rozdíl (a tak dále), ale posloupnost rozhodně existuje a je snadné si ji všimnout – každé následující číslo je krát větší než to předchozí! Tento typ číselné řady se nazývá geometrická progrese a je určeno. Geometrická posloupnost () je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti. Omezení, že první člen ( ) není stejný a nejsou náhodná. Předpokládejme, že žádné nejsou a první člen je stále stejný a q se rovná, hmm.. nechme to být, pak to dopadne: Souhlaste, že toto již není progrese. Jak jste pochopili, dostaneme stejné výsledky, pokud existuje jiné číslo než nula, a. V těchto případech jednoduše nedojde k žádné progresi, protože celá číselná řada bude buď všechny nuly, nebo jedno číslo a všechny ostatní budou nuly. Nyní si povíme podrobněji o jmenovateli geometrické posloupnosti, tedy o. Opakujeme: - toto je číslo kolikrát se každý následující termín změní? geometrická progrese. Co by to podle vás mohlo být? To je pravda, pozitivní a negativní, ale ne nula (o tom jsme mluvili trochu výše). Předpokládejme, že ten náš je pozitivní. Nechť v našem případě a. Jakou hodnotu má druhý termín a? Na to můžete snadno odpovědět: To je správně. Pokud tedy, pak všechny následující podmínky progrese mají stejné znaménko - oni jsou pozitivní. Co když je negativní? Například a. Jakou hodnotu má druhý termín a? To je úplně jiný příběh Zkuste si spočítat podmínky tohoto postupu. kolik jsi dostal? Mám. Pokud tedy, pak se znaménka členů geometrické posloupnosti střídají. To znamená, že pokud vidíte progresi se střídajícími se znaky u jejích členů, pak je její jmenovatel záporný. Tyto znalosti vám mohou pomoci otestovat se při řešení problémů na toto téma. Nyní si trochu procvičíme: zkuste určit, které číselné řady jsou geometrickou posloupností a které aritmetickou posloupností: Mám to? Porovnejme naše odpovědi: Vraťme se k našemu poslednímu postupu a pokusme se najít jeho člena, stejně jako v aritmetickém. Jak už asi tušíte, existují dva způsoby, jak ho najít. Každý výraz postupně násobíme. Tedy, tý člen popsané geometrické posloupnosti je roven. Jak jste již uhodli, nyní sami odvodíte vzorec, který vám pomůže najít jakýkoli člen geometrické posloupnosti. Nebo jste jej již vytvořili pro sebe a popisujete, jak krok za krokem najít th člen? Pokud ano, zkontrolujte správnost své úvahy. Ukažme si to na příkladu nalezení druhého členu této progrese: Jinými slovy: Zjistěte si sami hodnotu členu dané geometrické posloupnosti. Stalo? Porovnejme naše odpovědi: Vezměte prosím na vědomí, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, když jsme postupně násobili každým předchozím členem geometrické posloupnosti. Odvozený vzorec platí pro všechny hodnoty – kladné i záporné. Ověřte si to sami výpočtem členů geometrické posloupnosti s následující podmínky: , A. Počítal jsi? Porovnejme výsledky: Souhlaste s tím, že by bylo možné najít termín progrese stejným způsobem jako termín, existuje však možnost nesprávného výpočtu. A pokud jsme již našli tý člen geometrické posloupnosti, co by mohlo být jednodušší než použít „zkrácenou“ část vzorce. Nedávno jsme mluvili o tom, že může být větší nebo menší než nula, existují však speciální hodnoty, pro které se geometrická progrese nazývá nekonečně klesající. Proč si myslíte, že je toto jméno uvedeno? Vidíme, že každý následující člen je o faktor menší než ten předchozí, ale bude tam nějaké číslo? Okamžitě odpovíte - "ne". Proto nekonečně klesá – klesá a klesá, ale nikdy se nestane nulou. Abychom jasně pochopili, jak to vypadá vizuálně, zkusme nakreslit graf našeho postupu. Takže pro náš případ má vzorec následující formu: Na grafech jsme zvyklí vykreslovat závislost na: Podstata výrazu se nezměnila: v prvním vstupu jsme ukázali závislost hodnoty člena geometrické posloupnosti na jeho pořadovém čísle a ve druhém vstupu jsme prostě vzali hodnotu člena geometrické posloupnosti jako , a označil pořadové číslo nikoli jako, ale jako. Zbývá už jen sestavit graf. Vidíš? Funkce klesá, má tendenci k nule, ale nikdy ji nekříží, takže nekonečně klesá. Vyznačme si na grafu naše body a zároveň, co souřadnice a znamená: Pokuste se schematicky znázornit graf geometrické progrese, pokud je její první člen také stejný. Analyzujte, jaký je rozdíl od našeho předchozího grafu? Zvládli jste to? Zde je graf, který jsem vymyslel: Nyní, když jste plně pochopili základy tématu geometrické posloupnosti: víte, co to je, víte, jak najít její termín, a také víte, co je to nekonečně klesající geometrická posloupnost, přejděme k její hlavní vlastnosti. Pamatujete si na vlastnost členů aritmetické posloupnosti? Ano, ano, jak najít hodnotu určitého čísla progrese, když existují předchozí a následující hodnoty podmínek této progrese. Pamatuješ si? Tento: Nyní stojíme před úplně stejnou otázkou ohledně podmínek geometrické progrese. Abychom odvodili takový vzorec, začněme kreslit a uvažovat. Uvidíte, je to velmi snadné, a pokud zapomenete, můžete to dostat sami. Vezměme si další jednoduchý geometrický postup, ve kterém známe a. Jak najít? S aritmetickým postupem je to snadné a jednoduché, ale co tady? Ve skutečnosti ani v geometrickém není nic složitého - stačí zapsat každou nám zadanou hodnotu podle vzorce. Můžete se ptát, co s tím teď máme dělat? Ano, velmi jednoduché. Nejprve si tyto vzorce znázornime na obrázku a zkusme si s nimi poradit různé manipulace dospět k hodnotě. Abstrahujme od čísel, která jsou nám dána, zaměřme se pouze na jejich vyjádření prostřednictvím vzorce. Potřebujeme najít hodnotu zvýrazněnou oranžově a znát pojmy, které s ní sousedí. Zkusme s nimi vyrábět různé akce, v důsledku čehož můžeme získat. Přidání. Z tohoto výrazu to, jak vidíte, nemůžeme nijak vyjádřit, proto zkusíme jinou možnost - odečítání. Odčítání. Jak vidíte, ani to neumíme vyjádřit, proto zkusme tyto výrazy mezi sebou znásobit. Násobení. Nyní se pečlivě podívejte na to, co máme, vynásobením členů geometrické progrese, které nám byly dány, ve srovnání s tím, co je třeba najít: Hádejte, o čem mluvím? To je pravda, abychom zjistili, že musíme vzít Odmocnina z čísel geometrické posloupnosti sousedících s požadovaným násobeným navzájem: Tady máš. Sám jste odvodil vlastnost geometrické progrese. Zkuste napsat tento vzorec obecný pohled. Stalo? Zapomněli jste na podmínku? Zamyslete se nad tím, proč je to důležité, zkuste si to například spočítat sami. Co se stane v tomto případě? To je pravda, úplný nesmysl, protože vzorec vypadá takto: Proto na toto omezení nezapomeňte. Nyní spočítejme, čemu se rovná Správná odpověď - ! Pokud jste při výpočtu nezapomněli na tu druhou možný význam, tak jste skvělí a můžete rovnou přejít na trénink, a pokud jste zapomněli, přečtěte si, o čem je řeč níže, a věnujte pozornost tomu, proč je nutné do odpovědi zapisovat oba kořeny. Nakreslete obě naše geometrické posloupnosti – jednu s hodnotou a druhou s hodnotou a zkontrolujeme, zda obě mají právo na existenci: Abychom mohli ověřit, zda taková geometrická posloupnost existuje nebo ne, je nutné zjistit, zda jsou všechny její dané členy stejné? Vypočítejte q pro první a druhý případ. Vidíte, proč musíme napsat dvě odpovědi? Protože znaménko výrazu, který hledáte, závisí na tom, zda je pozitivní nebo negativní! A protože nevíme, co to je, musíme napsat obě odpovědi s plusem a mínusem. Nyní, když jste zvládli hlavní body a odvodili vzorec pro vlastnost geometrického postupu, najděte, znáte a Porovnejte své odpovědi se správnými: Co si myslíte, co kdybychom nedostali hodnoty členů geometrické progrese sousedící s požadovaným číslem, ale ve stejné vzdálenosti od něj. Například potřebujeme najít, a dané a. Můžeme v tomto případě použít vzorec, který jsme odvodili? Pokuste se potvrdit nebo vyvrátit tuto možnost stejným způsobem a popsat, z čeho se každá hodnota skládá, jako jste to udělali, když jste vzorec původně odvodili, at. Nyní se znovu pozorně podívejte. Z toho můžeme usoudit, že vzorec funguje nejen se sousedy s požadovanými podmínkami geometrického postupu, ale také s stejně vzdálený z toho, co členové hledají. Náš počáteční vzorec má tedy tvar: To znamená, že pokud jsme to řekli v prvním případě, teď říkáme, že se to může rovnat jakémukoli přirozené číslo, která je menší. Hlavní je, že je to stejné pro obě daná čísla. Cvičte na konkrétních příkladech, jen buďte extrémně opatrní! Rozhodnuto? Doufám, že jste byli extrémně pozorní a všimli jste si malého úlovku. Porovnejme výsledky. V prvních dvou případech klidně použijeme výše uvedený vzorec a získáme následující hodnoty: Ve třetím případě při bližším zkoumání sériová číslačísla, která nám byla dána, chápeme, že nejsou ve stejné vzdálenosti od čísla, které hledáme: je to předchozí číslo, ale je odstraněno na pozici, takže není možné použít vzorec. jak to vyřešit? Ve skutečnosti to není tak těžké, jak se zdá! Zapišme si, z čeho se každé dané číslo a číslo, které hledáme, skládá. Takže máme a. Podívejme se, co s nimi můžeme dělat? Navrhuji rozdělit podle. Dostaneme: Naše data dosadíme do vzorce: Dalším krokem, který můžeme najít, je - k tomu potřebujeme vzít třetí odmocninu výsledného čísla. Nyní se znovu podíváme na to, co máme. Máme to, ale musíme to najít, a to se zase rovná: Našli jsme všechny potřebné údaje pro výpočet. Dosaďte do vzorce: Naše odpověď: . Zkuste sami vyřešit jiný podobný problém: kolik jsi dostal? Mám - . Jak vidíte, v podstatě potřebujete zapamatujte si pouze jeden vzorec- Veškerý zbytek si můžete bez problémů kdykoliv sami stáhnout. Chcete-li to provést, jednoduše napište nejjednodušší geometrickou posloupnost na kus papíru a zapište, čemu se každé z jejích čísel rovná, podle vzorce popsaného výše. Nyní se podívejme na vzorce, které nám umožňují rychle vypočítat součet členů geometrické posloupnosti v daném intervalu: Chcete-li odvodit vzorec pro součet členů konečné geometrické posloupnosti, vynásobte všechny části výše uvedené rovnice číslem. Dostaneme: Podívejte se pozorně: co mají poslední dva vzorce společného? Přesně tak, třeba společní členové a tak dále, kromě prvního a posledního člena. Zkusme odečíst 1. od 2. rovnice. Co jsi dostal? Nyní vyjádřete člen geometrické posloupnosti vzorcem a dosaďte výsledný výraz do našeho posledního vzorce: Seskupte výraz. Měli byste dostat: Zbývá pouze vyjádřit: V souladu s tím v tomto případě. Co když? Jaký vzorec tedy funguje? Představte si geometrickou progresi v. Jaká je? Řada identických čísel je správná, takže vzorec bude vypadat takto: O aritmetickém i geometrickém postupu existuje mnoho legend. Jednou z nich je legenda o Setovi, tvůrci šachů. Mnoho lidí ví, že šachová hra byla vynalezena v Indii. Když se s ní hinduistický král setkal, byl potěšen jejím vtipem a rozmanitostí možných pozic v ní. Když se král dozvěděl, že jej vynalezl jeden z jeho poddaných, rozhodl se ho osobně odměnit. Zavolal si vynálezce k sobě a nařídil mu, aby ho požádal o vše, co chce, a slíbil, že splní i tu nejšikovnější touhu. Seta požádal o čas na rozmyšlenou, a když následujícího dne Seta předstoupil před krále, překvapil krále nebývalou skromností své žádosti. Požádal, aby dal pšeničné zrno za první pole šachovnice, pšeničné zrno za druhé, pšeničné zrno za třetí, čtvrté atd. Král se rozzlobil a zahnal Setha s tím, že žádost služebníka není hodná královy štědrosti, ale slíbil, že služebník dostane své obilí za všechna políčka na desce. A nyní otázka: pomocí vzorce pro součet členů geometrické progrese spočítejte, kolik zrn by měl Seth dostat? Začněme uvažovat. Protože podle podmínky Seth požádal o zrnko pšenice za první pole šachovnice, za druhé, za třetí, za čtvrté atd., vidíme, že problém spočívá v geometrickém postupu. Čemu se to v tomto případě rovná? Celkový počet polí na šachovnici. Respektive, . Všechny údaje máme, zbývá je zapojit do vzorce a počítat. Abychom si alespoň přibližně představili „měřítko“ daného čísla, transformujeme pomocí vlastností stupně: Samozřejmě, pokud chcete, můžete si vzít kalkulačku a spočítat, na jakém čísle skončíte, a pokud ne, budete muset vzít moje slovo: konečná hodnota výrazu bude. kvintilion kvadrilion bilion miliard milionů milionů tisíc. Fuj) Pokud si chcete představit ohromné množství tohoto čísla, pak odhadněte, jak velká by byla potřeba stodola, aby se vešlo celé množství obilí. Kdyby byl král silný v matematice, mohl si k počítání zrn přizvat samotného vědce, protože k počítání milionu zrnek by potřeboval minimálně den neúnavného počítání a vzhledem k tomu, že je nutné počítat kvintiliony, zrnka bude muset být počítán po celý jeho život. Nyní vyřešme jednoduchý problém zahrnující součet členů geometrické posloupnosti. Takže prvním termínem geometrické progrese je Vasja, tedy osoba. Termínem geometrické progrese jsou dva lidé, které nakazil první den svého příjezdu. Celková částkačlenů progrese se rovná počtu studentů v 5A. V souladu s tím hovoříme o progresi, ve které: Dosadíme naše data do vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti: Během několika dní onemocní celá třída. Nevěříte vzorcům a číslům? Pokuste se vykreslit „infekci“ studentů sami. Stalo? Podívejte se, jak to u mě vypadá: Spočítejte si sami, kolik dní by trvalo, než by studenti onemocněli chřipkou, kdyby každý nakazil jednoho člověka a ve třídě by byl pouze jeden člověk. Jakou hodnotu jste získali? Ukázalo se, že všem začalo být po dni špatně. Jak vidíte, takový úkol a jeho kresba připomínají pyramidu, ve které každý následující „přináší“ nové lidi. Dříve nebo později však přijde okamžik, kdy ten druhý nemůže nikoho přitáhnout. V našem případě, pokud si představíme, že třída je izolovaná, osoba z uzavře řetězec (). Pokud by tedy byl člověk zapojen do finanční pyramida, ve kterém byly dány peníze, pokud přivedete další dva účastníky, pak osoba (příp obecný případ) by nikoho nepřivedli, a proto by přišli o vše, co investovali do tohoto finančního podvodu. Vše, co bylo řečeno výše, se týká klesajícího nebo rostoucího geometrického postupu, ale jak si vzpomínáte, máme speciální typ - nekonečně klesající geometrický postup. Jak vypočítat součet jejích členů? A proč má tento typ progrese určité vlastnosti? Pojďme na to společně přijít. Nejprve se tedy znovu podívejme na tento výkres nekonečně klesající geometrické posloupnosti z našeho příkladu: Nyní se podívejme na vzorec pro součet geometrické posloupnosti, odvozený o něco dříve: O co usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenci k nule. To znamená, že at se bude téměř rovnat, respektive při výpočtu výrazu dostaneme téměř. V tomto ohledu se domníváme, že při výpočtu součtu nekonečně klesající geometrické posloupnosti lze tuto závorku zanedbat, protože se bude rovnat. - vzorec je součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti. DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečný počet členů. Pokud je zadáno konkrétní číslo n, pak použijeme vzorec pro součet n členů, i když nebo. Teď pojďme cvičit. Doufám, že jste byli velmi opatrní. Porovnejme naše odpovědi: Nyní víte vše o geometrickém postupu a je čas přejít od teorie k praxi. Nejčastějšími geometrickými problémy, se kterými se při zkoušce setkáváme, jsou problémy s výpočtem složeného úroku. To jsou ti, o kterých budeme mluvit. Pravděpodobně jste již slyšeli o takzvaném složeném úrokovém vzorci. Chápete, co to znamená? Pokud ne, pojďme na to přijít, protože jakmile pochopíte samotný proces, okamžitě pochopíte, co s tím má společného geometrická progrese. Všichni jdeme do banky a víme, že existují různé podmínky na vklady: to je termín a doplňková služba a úrok se dvěma různé způsoby jeho výpočty - jednoduché a složité. S jednoduchý zájem vše je víceméně jasné: úrok se připisuje jednou na konci doby vkladu. To znamená, že pokud řekneme, že vložíme 100 rublů na rok, budou připsány až na konci roku. V souladu s tím na konci vkladu obdržíme rubly. Složené úročení- toto je možnost, ve které se vyskytuje úroková kapitalizace, tj. jejich přičtení k výši vkladu a následný výpočet příjmu nikoli z počáteční, ale z naakumulované částky vkladu. Velká písmena se nevyskytují neustále, ale s určitou frekvencí. Zpravidla jsou tato období stejná a banky nejčastěji používají měsíc, čtvrtletí nebo rok. Předpokládejme, že ukládáme stejné rubly ročně, ale s měsíční kapitalizací vkladu. Co to děláme? Rozumíš tady všemu? Pokud ne, pojďme na to přijít krok za krokem. Přinesli jsme rubly do banky. Do konce měsíce bychom měli mít na účtu částku skládající se z našich rublů plus úroky z nich, tedy: Souhlasit? Můžeme to vyjmout ze závorek a pak dostaneme: Souhlas, tento vzorec je již více podobný tomu, co jsme napsali na začátku. Zbývá jen vypočítat procenta V prohlášení o problému jsme informováni o ročních sazbách. Jak víte, nenásobíme – převádíme procenta na desetinná místa, to je: Že jo? Nyní se můžete ptát, kde se to číslo vzalo? Velmi jednoduché! Uvědomil si to? Zkuste teď napsat, jak by tato část vzorce vypadala, kdybych řekl, že úrok se počítá denně. Výborně! Vraťme se k našemu úkolu: napište, kolik bude připsáno na náš účet ve druhém měsíci, s přihlédnutím k tomu, že z nahromaděné částky vkladu se připisuje úrok. Nebo, jinými slovy: Myslím, že jste si již všimli vzoru a viděli jste v tom všem geometrický pokrok. Napište, čemu se bude jeho člen rovnat, nebo jinými slovy, jakou částku na konci měsíce obdržíme. Jak vidíte, pokud vložíte peníze do banky na rok za jednoduchou úrokovou sazbu, dostanete rubly, a pokud za složenou úrokovou sazbu, dostanete rubly. Přínos je malý, ale to se děje pouze v průběhu roku, ale déle dlouhé období kapitalizace je mnohem výnosnější: Podívejme se na jiný typ problému zahrnující složené úročení. Po tom, co jste přišli na to, to pro vás bude elementární. Takže úkol: Společnost Zvezda začala do tohoto odvětví investovat v roce 2000 s kapitálem v dolarech. Od roku 2001 má každý rok zisk, který se rovná kapitálu předchozího roku. Jaký zisk získá společnost Zvezda na konci roku 2003, pokud by zisky nebyly staženy z oběhu? Kapitál společnosti Zvezda v roce 2000. Nebo můžeme stručně napsat: Pro náš případ: 2000, 2001, 2002 a 2003. Odpovědi: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti. 2) Rovnice členů geometrické posloupnosti je . 3) může nabývat jakýchkoli hodnot kromě a. 4) , s - vlastnost geometrické posloupnosti (sousední členy) nebo Až to najdete, nezapomeňte na to měly by existovat dvě odpovědi. Například, 5) Součet členů geometrické posloupnosti se vypočte podle vzorce: Pokud se progrese nekonečně snižuje, pak: DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečného počtu členů. 6) Problémy týkající se složeného úročení jsou také vypočteny pomocí vzorce pro tý člen geometrické posloupnosti, za předpokladu, že hotovost nebyly staženy z oběhu: Geometrická progrese( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se volá jmenovatel geometrické posloupnosti. Jmenovatel geometrické posloupnosti může mít jakoukoli hodnotu kromě a. Rovnice členů geometrické posloupnosti - . Součet členů geometrické posloupnosti vypočítá se podle vzorce: Lekce na dané téma „Nekonečně klesající geometrický postup“ (algebra, 10. třída)
Účel lekce: seznamování studentů s novým typem sekvence - nekonečně klesající geometrickou progresí. Zařízení: obrazovka projektoru. Typ lekce: lekce - učení se nového tématu. Během vyučování já
. Org. moment. Uveďte téma a účel lekce. II
. Aktualizace znalostí studentů. V 9. třídě jsi studoval aritmetiku a geometrické posloupnosti. Otázky 1. Definice aritmetické progrese. (Aritmetická posloupnost je posloupnost, ve které se každý člen, počínaje druhým, rovná předchozímu členu přidanému ke stejnému číslu). 2. Vzorec nčlen aritmetické progrese ( 3. Vzorec pro součet prvního n termíny aritmetické progrese. ( 4. Definice geometrické posloupnosti. (Geometrická posloupnost je posloupnost nenulových čísel, z nichž každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu členu vynásobenému stejným číslem). 5. Vzorec nčlen geometrické posloupnosti ( 6. Vzorec pro součet prvního nčleny geometrické progrese. ( 7. Jaké další vzorce znáte? ( 5. Pro geometrický postup 6. Pro geometrický postup 7. Exponenciálně b
3
= 8
A b
5
= 2
. Nalézt b
4
. (4) 8. Exponenciálně b
3
= 8
A b
5
= 2
. Nalézt b
1
A
q
. 9. Exponenciálně b
3
= 8
A b
5
= 2
. Nalézt S
5
. (62) III
. Učení nového tématu(ukázka prezentace). Uvažujme čtverec se stranou rovnou 1. Nakreslíme další čtverec, jehož strana je poloviční než první čtverec, pak další, jehož strana je poloviční než druhá, pak další atd. Pokaždé je strana nového čtverce rovna polovině toho předchozího. V důsledku toho jsme obdrželi sekvenci stran čtverců A co je velmi důležité, čím více takových čtverců postavíme, tím menší bude strana čtverce. Například, Tito. Jak se číslo n zvyšuje, členy progrese se blíží nule. Pomocí tohoto obrázku můžete zvážit další sekvenci. Například posloupnost oblastí čtverců: Podívejme se na další příklad. Rovnostranný trojúhelník se stranami rovnými 1 cm. Sestrojme následující trojúhelník s vrcholy ve středních bodech stran 1. trojúhelníku podle věty o střední čáře trojúhelníku - strana 2. je rovna polovině strany prvního, strana 3. se rovná polovině strany 2. atd. Opět získáme posloupnost délek stran trojúhelníků. Pokud uvažujeme geometrickou progresi se záporným jmenovatelem. Pak opět s rostoucím počtem n podmínky progrese se blíží nule. Věnujme pozornost jmenovatelům těchto posloupností. Všude byly jmenovatele menší než 1 v absolutní hodnotě. Můžeme dojít k závěru: geometrická progrese bude nekonečně klesající, pokud bude modul jejího jmenovatele menší než 1. Definice:
O geometrickém postupu se říká, že je nekonečně klesající, pokud je modul jeho jmenovatele menší než jedna. Pomocí definice se můžete rozhodnout, zda geometrická progrese bude nekonečně klesat nebo ne. Úkol Je posloupnost nekonečně klesající geometrickou posloupností, pokud je dána vzorcem: Řešení: tato geometrická progrese se nekonečně zmenšuje. b) tato sekvence není nekonečně klesající geometrickou progresí. Uvažujme čtverec se stranou rovnou 1. Rozdělte jej na polovinu, jednu z polovin na polovinu atd. Plochy všech výsledných obdélníků tvoří nekonečně klesající geometrický průběh: Součet ploch všech takto získaných obdélníků bude roven ploše 1. čtverce a roven 1.
Úkol najít první termín postupu
Zenónův slavný paradox s rychlým Achillem a pomalou želvou
úkoly:
formulování počáteční představy o limitu číselné posloupnosti;
seznámení s dalším způsobem převodu nekonečných periodických zlomků na obyčejné pomocí vzorce pro součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti;
rozvoj intelektuálních vlastností osobnosti školáků, jako je logické myšlení, schopnost hodnotit a zobecňovat;
podpora aktivity, vzájemné pomoci, kolektivismu a zájmu o věc.Stažení:
Náhled:
Náhled:
Popisky snímků:
Geometrická progrese. Komplexní průvodce s příklady (2019)
Posloupnost čísel
Proč je potřeba geometrická progrese a její historie?
Geometrická progrese.
Zkusme se "odosobnit" tento vzorec- Řekněme to v obecné podobě a dostaneme:Nekonečně klesající geometrický postup.
Nejprve si zapišme nějakou geometrickou posloupnost skládající se z členů.
Řekněme tedy:
Podívejme se, co máš. Zde je graf, který jsem vymyslel:
Vlastnost geometrické posloupnosti.
Zkusme přidat dva výrazy a dostaneme:
Co jsi dostal?
a odpovídajícím způsobem:
Vzhledem k: ,
Nalézt:Součet členů geometrické posloupnosti.
Že jo.
to je:
Je-li stodola m vysoká a m široká, musela by její délka sahat na km, tzn. dvakrát tak daleko než od Země ke Slunci.
Student třídy 5A Vasya onemocněl chřipkou, ale nadále chodí do školy. Každý den Vasja nakazí dva lidi, kteří zase nakazí další dva lidi a tak dále. Ve třídě jsou jen lidé. Za kolik dní bude celá třída nemocná chřipkou?
nebo
Problémy při výpočtu složeného úroku.
Opakuji: prohlášení o problému říká o ROČNÍúrok, který narůstá MĚSÍČNÍ. Jak víte, za rok měsíců nám banka bude účtovat část ročního úroku za měsíc:
Zvládli jste to? Porovnejme výsledky:
Zde je to, co jsem dostal:
Dělal? Pojďme zkontrolovat!
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2001.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2002.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2003.
Respektive:
rublů
Vezměte prosím na vědomí, že v tomto problému nemáme dělení ani podle, ani podle, protože procento se udává ROČNĚ a počítá se ROČNĚ. To znamená, že při čtení problému o složeném úročení věnujte pozornost tomu, jaké procento je uvedeno a v jakém období se počítá, a teprve poté přejděte k výpočtům.
Nyní víte vše o geometrickém postupu.Výcvik.
Společnost MDM Capital:
- se zvýší o 100 %, tedy 2krát.
Respektive:
rublů
Společnost MSK Cash Flows:
- zvyšuje o, tedy o časy.
Respektive:
rublů
rublůPojďme si to shrnout.
, v (ekvidistantní termíny)
nebo
neboGEOMETRICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH
nebo
)
nebo 
)
)
)
, Kde 
; 
; 
; 
, 
)
najít pátý termín. 
nalézt nčlen. 
tvořící geometrickou posloupnost se jmenovatelem .
. A znovu, kdyby n se neomezeně zvětšuje, pak se oblast blíží nule tak blízko, jak chcete.
na 
.
.
; 
.. najdeme q
.
; 
; 
; 
.
