Domov Zuby moudrosti Nekonečně klesající příklady geometrického postupu s řešením. Geometrická progrese

Zuby moudrosti

Nekonečně klesající příklady geometrického postupu s řešením. Geometrická progrese

Geometrická posloupnost je číselná posloupnost, jejíž první člen je nenulový a každý následující člen je roven předchozímu členu vynásobenému stejným nenulovým číslem.

Koncept geometrické progrese

Geometrická progrese se označuje b1,b2,b3, …, bn, ….

Poměr libovolného členu geometrické chyby k jeho předchozímu členu se rovná stejnému číslu, tj. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . To vyplývá přímo z definice aritmetický postup. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti. Obvykle se jmenovatel geometrické posloupnosti označuje písmenem q.

Součet nekonečné geometrické posloupnosti pro |q|<1

Jedním ze způsobů, jak určit geometrickou posloupnost, je zadat její první člen b1 a jmenovatele geometrické chyby q. Například b1=4, q=-2. Tyto dvě podmínky definují geometrický průběh 4, -8, 16, -32, ….

Jestliže q>0 (q se nerovná 1), pak je průběh monotónní posloupností. Například posloupnost 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónně rostoucí posloupnost (b1=2, q=2).

Je-li jmenovatel v geometrické chybě q=1, budou si všechny členy geometrické posloupnosti navzájem rovné. V takových případech se říká, že progrese je konstantní sekvence.

Aby číselná posloupnost (bn) byla geometrickou posloupností, je nutné, aby každý její člen, počínaje druhým, byl geometrickým průměrem sousedních členů. To znamená, že je nutné splnit následující rovnici
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pro libovolné n>0, kde n patří do množiny přirozených čísel N.

Nyní dáme (Xn) - geometrický průběh. Jmenovatel geometrické posloupnosti q, a |q|∞).
Pokud nyní označíme S součet nekonečné geometrické posloupnosti, bude platit následující vzorec:
S=xl/(l-q).

Podívejme se na jednoduchý příklad:

Najděte součet nekonečné geometrické posloupnosti 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

K nalezení S použijeme vzorec pro součet nekonečné aritmetické posloupnosti. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Pokud všichni přirozené číslo n odpovídat skutečnému číslu a n , pak říkají, že je dáno číselná posloupnost :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , a n , . . . .

Číselná posloupnost je tedy funkcí přirozeného argumentu.

Číslo A 1 volal první termín sekvence , číslo A 2 — druhý termín sekvence , číslo A 3 — Třetí a tak dále. Číslo a n volal n-tý termín sekvence a přirozené číslo n — jeho číslo .

Od dvou sousedních členů a n A a n +1 člen sekvence a n +1 volal následující (vůči a n ), A a n — předchozí (vůči a n +1 ).

Chcete-li definovat posloupnost, musíte určit metodu, která vám umožní najít člen posloupnosti s libovolným číslem.

Často je sekvence specifikována pomocí vzorce n-tého členu , tedy vzorec, který umožňuje určit člen posloupnosti podle jeho čísla.

Například,

posloupnost kladných lichých čísel může být dána vzorcem

a n= 2n- 1,

a sled střídání 1 A -1 - vzorec

b n = (-1)n +1 . ◄

Pořadí lze určit opakující se vzorec, tedy vzorec, který vyjadřuje libovolný člen posloupnosti, počínaje některým, přes předchozí (jeden nebo více) členy.

Například,

Li A 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Li 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , pak prvních sedm členů číselné posloupnosti se stanoví takto:

1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

5 = a 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvence mohou být finále A nekonečný .

Sekvence je volána Ultimátni , pokud má konečný počet členů. Sekvence je volána nekonečný , pokud má nekonečně mnoho členů.

Například,

posloupnost dvouciferných přirozených čísel:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finále.

Posloupnost prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nekonečný. ◄

Sekvence je volána vzrůstající , je-li každý jeho člen, počínaje druhým, větší než předchozí.

Sekvence je volána klesající , je-li každý její člen, počínaje druhým, menší než předchozí.

Například,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rostoucí posloupnost;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — klesající posloupnost. ◄

Zavolá se posloupnost, jejíž prvky s rostoucím číslem neklesají, nebo naopak nerostou monotónní sekvence .

Monotónní sekvence jsou zejména rostoucí sekvence a klesající sekvence.

Aritmetický postup

Aritmetický postup je posloupnost, ve které je každý člen, počínaje druhým, roven předchozímu, ke kterému je přidáno stejné číslo.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetický postup pro libovolné přirozené číslo n podmínka je splněna:

a n +1 = a n + d,

Kde d - určitý počet.

Rozdíl mezi následujícími a předchozími členy dané aritmetické progrese je tedy vždy konstantní:

a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Číslo d volal rozdíl aritmetického postupu.

K definování aritmetické progrese stačí uvést její první člen a rozdíl.

Například,

Li A 1 = 3, d = 4 , pak najdeme prvních pět členů posloupnosti takto:

1 =3,

a 2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pro aritmetický postup s prvním termínem A 1 a rozdíl d její n

a n = 1 + (n- 1)d.

Například,

najít třicátý člen aritmetického postupu

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = 1 + (n- 2)d,

a n= 1 + (n- 1)d,

a n +1 = A 1 + nd,

pak evidentně

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Každý člen aritmetické posloupnosti, počínaje druhým, se rovná aritmetickému průměru předchozích a následujících členů.

čísla a, b a c jsou po sobě jdoucí členy nějaké aritmetické posloupnosti právě tehdy, když se jedno z nich rovná aritmetickému průměru ostatních dvou.

Například,

a n = 2n- 7 , je aritmetický postup.

Použijme výše uvedené tvrzení. My máme:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Proto,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Všimněte si, že n Člen aritmetického postupu lze nalézt nejen prostřednictvím A 1 , ale i jakékoli předchozí a k

a n = a k + (n- k)d.

Například,

Pro A 5 lze zapsat

5 = 1 + 4d,

5 = a 2 + 3d,

5 = a 3 + 2d,

5 = 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

pak evidentně

a n=	A n-k + a n+k
	2

jakýkoli člen aritmetické posloupnosti, počínaje druhým, se rovná polovině součtu stejně vzdálených členů této aritmetické posloupnosti.

Navíc pro jakýkoli aritmetický postup platí následující rovnost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Například,

v aritmetickém postupu

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, protože

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

První n členy aritmetické progrese se rovná součinu poloviny součtu extrémních členů a počtu členů:

Z toho zejména vyplývá, že pokud potřebujete sečíst termíny

a k, a k +1 , . . . , a n,

pak si předchozí vzorec zachová svou strukturu:

Například,

v aritmetickém postupu 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Pokud je uvedena aritmetická posloupnost, pak množství A 1 , a n, d, n AS n spojené dvěma vzorci:

Pokud jsou tedy uvedeny hodnoty tří z těchto veličin, pak se odpovídající hodnoty dalších dvou veličin určí z těchto vzorců, sloučených do systému dvou rovnic se dvěma neznámými.

Aritmetický postup je monotónní posloupnost. kde:

Li d > 0 , pak se zvyšuje;
Li d < 0 , pak se snižuje;
Li d = 0 , pak bude sekvence nehybná.

Geometrická progrese

Geometrická progrese je posloupnost, ve které se každý člen, počínaje druhým, rovná předchozímu vynásobenému stejným číslem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrická posloupnost pro libovolné přirozené číslo n podmínka je splněna:

b n +1 = b n · q,

Kde q ≠ 0 - určitý počet.

Poměr následujícího členu dané geometrické posloupnosti k předchozímu je tedy konstantní číslo:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Číslo q volal jmenovatel geometrické progrese.

K definování geometrické posloupnosti stačí uvést její první člen a jmenovatele.

Například,

Li b 1 = 1, q = -3 , pak najdeme prvních pět členů posloupnosti takto:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 a jmenovatel q její n Termín lze nalézt pomocí vzorce:

b n = b 1 · qn -1 .

Například,

najít sedmý člen geometrické posloupnosti 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

pak evidentně

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

každý člen geometrické posloupnosti, počínaje druhým, je roven geometrickému průměru (proporcionálnímu) předchozích a následujících členů.

Protože platí i opak, platí následující tvrzení:

čísla a, b a c jsou po sobě jdoucí členy nějaké geometrické posloupnosti právě tehdy, když druhá mocnina jednoho z nich je rovna součinu ostatních dvou, to znamená, že jedno z čísel je geometrickým průměrem ostatních dvou.

Například,

Dokažme, že posloupnost daná vzorcem b n= -3 2 n , je geometrická progrese. Použijme výše uvedené tvrzení. My máme:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Proto,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

což dokazuje požadované tvrzení. ◄

Všimněte si, že n Termín geometrické progrese lze nalézt nejen prostřednictvím b 1 , ale i kterýkoli předchozí člen b k , u kterého stačí použít vzorec

b n = b k · qn - k.

Například,

Pro b 5 lze zapsat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

pak evidentně

b n 2 = b n - k· b n + k

druhá mocnina libovolného členu geometrické posloupnosti, počínaje druhým, se rovná součinu členů této posloupnosti, které jsou od ní stejně vzdálené.

Navíc pro jakoukoli geometrickou progresi platí rovnost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Například,

v geometrickém postupu

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , protože

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

První n členy geometrické posloupnosti se jmenovatelem q ≠ 0 vypočítá se podle vzorce:

A kdy q = 1 - podle vzorce

S n= nb 1

Všimněte si, že pokud potřebujete sečíst podmínky

b k, b k +1 , . . . , b n,

pak se použije vzorec:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Například,

v geometrickém postupu 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Je-li dána geometrická posloupnost, pak veličiny b 1 , b n, q, n A S n spojené dvěma vzorci:

Pokud jsou tedy uvedeny hodnoty libovolných tří z těchto veličin, pak se odpovídající hodnoty dalších dvou veličin určí z těchto vzorců, sloučených do systému dvou rovnic se dvěma neznámými.

Pro geometrický postup s prvním členem b 1 a jmenovatel q proběhnou následující vlastnosti monotonie :

progrese se zvyšuje, pokud je splněna jedna z následujících podmínek:

b 1 > 0 A q> 1;

b 1 < 0 A 0 < q< 1;

Progrese se snižuje, pokud je splněna jedna z následujících podmínek:

b 1 > 0 A 0 < q< 1;

b 1 < 0 A q> 1.

Li q< 0 , pak se geometrická posloupnost střídá: její členy s lichými čísly mají stejné znaménko jako její první člen a členy se sudými čísly mají opačné znaménko. Je zřejmé, že střídavý geometrický postup není monotónní.

Produkt prvního n členy geometrické posloupnosti lze vypočítat pomocí vzorce:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Například,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nekonečně klesající geometrický postup

Nekonečně klesající geometrický postup nazývá se nekonečná geometrická progrese, jejíž jmenovatel modul je menší 1 , to je

|q| < 1 .

Všimněte si, že nekonečně klesající geometrická progrese nemusí být klesající posloupností. Hodí se k příležitosti

1 < q< 0 .

S takovým jmenovatelem se posloupnost střídá. Například,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Součet nekonečně klesající geometrické progrese pojmenujte číslo, ke kterému se součet prvních neomezeně blíží n členů progrese s neomezeným nárůstem počtu n . Toto číslo je vždy konečné a je vyjádřeno vzorcem

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Například,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Vztah mezi aritmetickými a geometrickými posloupnostmi

Aritmetické a geometrická progrese spolu úzce souvisí. Podívejme se jen na dva příklady.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . d , Že

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Například,

1, 3, 5, . . . - aritmetický postup s rozdílem 2 A

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrická posloupnost se jmenovatelem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrická posloupnost se jmenovatelem q , Že

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetický postup s rozdílem log aq .

Například,

2, 12, 72, . . . - geometrická posloupnost se jmenovatelem 6 A

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetický postup s rozdílem lg 6 . ◄

Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti, tj. každý člen se liší od předchozího q krát. (Budeme předpokládat, že q ≠ 1, jinak je vše příliš triviální). Není těžké to vidět obecný vzorec n-tý člen geometrické posloupnosti b n = b 1 q n – 1 ; členy s čísly b n a b m se liší o q n – m krát.

Již v Starověký Egypt znal nejen aritmetiku, ale i geometrický postup. Zde je například problém z Rhindova papyru: „Sedm tváří má sedm koček; Každá kočka sežere sedm myší, každá myš sežere sedm klasů kukuřice a z každého klasu ječmene vyroste sedm měr ječmene. Jak velká jsou čísla v této řadě a jejich součet?

Rýže. 1. Problém geometrické posloupnosti starověkého Egypta

Tento úkol byl mnohokrát opakován s různými obměnami mezi jinými národy a jindy. Například v písemné ve 13. stol. „The Book of the Abacus“ od Leonarda z Pisy (Fibonacci) má problém, ve kterém se na cestě do Říma objeví 7 starých žen (samozřejmě poutníků), z nichž každá má 7 mul, z nichž každá má 7 tašek, z nichž každá obsahuje 7 chlebů, z nichž každý má 7 nožů, z nichž každý má 7 pochev. Problém se ptá, kolik objektů je.

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Tento vzorec lze dokázat například takto: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Přidejte číslo b 1 q n k S n a dostanete:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Odtud S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) a dostaneme potřebný vzorec.

Už na jedné z hliněných tabulek Starověký Babylon sahající až do 6. století. před naším letopočtem obsahuje součet 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Pravda, stejně jako v řadě jiných případů, nevíme, jak tuto skutečnost poznali Babyloňané .

Rychlý nárůst geometrického pokroku v řadě kultur, zejména v indické, je opakovaně používán jako vizuální symbol rozlehlosti vesmíru. Ve slavné legendě o vzhledu šachu dává vládce jeho vynálezci možnost, aby si sám vybral odměnu, a ptá se na počet pšeničných zrn, která získají, pokud jedno položíte na první pole šachovnice, dvě na druhý, čtyři na třetím, osm na čtvrté atd., pokaždé se číslo zdvojnásobí. Vladyka si myslel, že se bavíme maximálně o pár taškách, ale přepočítal se. Je snadné vidět, že za všech 64 polí šachovnice by vynálezce musel obdržet (2 64 - 1) zrn, což je vyjádřeno jako 20místné číslo; i kdyby byl oset celý povrch Země, nasbírání potřebného množství zrn by trvalo nejméně 8 let. Tato legenda je někdy interpretována jako označení prakticky neomezených možností skrytých v šachové hře.

Je snadné vidět, že toto číslo je skutečně 20místné:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (přesnější výpočet dává 1,84∙10 19). Ale zajímalo by mě, jestli dokážete zjistit, jakou číslicí toto číslo končí?

Geometrická progrese může být rostoucí, pokud je jmenovatel větší než 1, nebo klesající, pokud je menší než jedna. V druhém případě se číslo q n pro dostatečně velké n může stát libovolně malým. Zatímco rostoucí geometrická progrese nečekaně rychle narůstá, klesající geometrická progrese stejně rychle klesá.

Čím větší n, tím slabší se číslo q n liší od nuly a čím více se součet n členů geometrické posloupnosti S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) blíží číslu S = b 1 / ( 1 – q). (Takto uvažoval například F. Viet). Číslo S se nazývá součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti. Po mnoho staletí však nebyla matematikům dostatečně jasná otázka, jaký je význam sčítání CELÉ geometrické posloupnosti s jejím nekonečným počtem členů.

Klesající geometrický postup lze vidět například v Zenónových aporiích „Half Division“ a „Achilles and the Tortoise“. V prvním případě je jasně ukázáno, že celá silnice (za předpokladu délky 1) je součet nekonečné číslo segmenty 1/2, 1/4, 1/8 atd. Tak je to samozřejmě z hlediska představ o konečném součtu nekonečné geometrické posloupnosti. A přesto – jak je to možné?

Rýže. 2. Progrese s koeficientem 1/2

V aporii o Achillovi je situace trochu složitější, protože zde není jmenovatelem postupu 1/2, ale nějaké jiné číslo. Nechť například Achilles běží rychlostí v, želva se pohybuje rychlostí u a počáteční vzdálenost mezi nimi je l. Achilles urazí tuto vzdálenost za čas l/v a během této doby se želva posune o vzdálenost lu/v. Když Achilles proběhne tímto segmentem, bude vzdálenost mezi ním a želvou rovna l (u /v) 2 atd. Ukazuje se, že dohnat želvu znamená najít součet nekonečně klesající geometrické progrese s první člen l a jmenovatel u /v. Tento součet – úsek, který Achilles nakonec uběhne na místo setkání s želvou – se rovná l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Ale znovu, jak by měl být tento výsledek interpretován a proč má vůbec smysl? na dlouhou dobu nebylo to moc jasné.

Rýže. 3. Geometrická progrese s koeficientem 2/3

Archimedes použil součet geometrické progrese k určení plochy segmentu paraboly. Nechť je tento úsek paraboly ohraničen tětivou AB a tečna v bodě D paraboly nechť je rovnoběžná s AB. Nechť C je střed AB, E střed AC, F střed CB. Nakreslete přímky rovnoběžné s DC body A, E, F, B; Nechť tečna nakreslená v bodě D protíná tyto přímky v bodech K, L, M, N. Nakreslíme také segmenty AD a DB. Nechť přímka EL protíná přímku AD v bodě G a parabolu v bodě H; přímka FM protíná přímku DB v bodě Q a parabolu v bodě R. Podle obecné teorie kuželoseček je DC průměr paraboly (to je úsečka rovnoběžná s její osou); ona a tečna v bodě D mohou sloužit jako souřadnicové osy x a y, ve kterých je rovnice paraboly zapsána jako y 2 = 2px (x je vzdálenost od D k libovolnému bodu daného průměru, y je délka úsečka rovnoběžná s danou tečnou od tohoto bodu průměru k nějakému bodu na samotné parabole).

Na základě parabolické rovnice je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, a protože DK = 2DL, pak KA = 4LH. Protože KA = 2LG, LH = HG. Plocha segmentu ADB paraboly se rovná ploše trojúhelníku ΔADB a plochám segmentů AHD a DRB dohromady. Plocha segmentu AHD se zase rovná ploše trojúhelníku AHD a zbývajících segmentů AH a HD, s každým z nich můžete provést stejnou operaci - rozdělit na trojúhelník (Δ) a dva zbývající segmenty () atd.:

Plocha trojúhelníku ΔAHD se rovná polovině plochy trojúhelníku ΔALD (mají společnou základnu AD a výšky se liší 2krát), což se zase rovná polovině plochy trojúhelník ΔAKD, a tedy polovinu plochy trojúhelníku ΔACD. Plocha trojúhelníku ΔAHD se tedy rovná čtvrtině plochy trojúhelníku ΔACD. Podobně se plocha trojúhelníku ΔDRB rovná jedné čtvrtině plochy trojúhelníku ΔDFB. Plochy trojúhelníků ΔAHD a ΔDRB se tedy dohromady rovnají čtvrtině plochy trojúhelníku ΔADB. Opakování této operace při aplikaci na segmenty AH, HD, DR a RB z nich vybere trojúhelníky, jejichž plocha bude dohromady 4krát menší než plocha trojúhelníků ΔAHD a ΔDRB dohromady a tedy 16krát menší, než je plocha trojúhelníku ΔADB. A tak dále:

Archimedes tak dokázal, že „každý segment mezi přímkou a parabolou tvoří čtyři třetiny trojúhelníku se stejnou základnou a stejnou výškou“.

První úroveň

Geometrická progrese. Komplexní průvodce s příklady (2019)

Posloupnost čísel

Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například:

Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich je). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které je první, které druhé a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady:

Posloupnost čísel je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo.

Například pro naši sekvenci:

Přiřazené číslo je specifické pouze pro jedno číslo v sekvenci. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (stejně jako th číslo) je vždy stejné.

Číslo s číslem se nazývá n-tý člen posloupnosti.

Obvykle nazýváme celou posloupnost nějakým písmenem (například) a každý člen této posloupnosti je stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

V našem případě:

Nejběžnější typy progrese jsou aritmetické a geometrické. V tomto tématu budeme hovořit o druhém typu - geometrická progrese.

Proč je potřeba geometrická progrese a její historie?

Už ve starověku se italský matematik mnich Leonardo z Pisy (známější jako Fibonacci) zabýval praktickými potřebami obchodu. Mnich stál před úkolem určit, jaký nejmenší počet závaží lze použít k vážení produktu? Fibonacci ve svých dílech dokazuje, že takový systém vah je optimální: Toto je jedna z prvních situací, kdy se lidé museli vypořádat s geometrickou progresí, o které jste již pravděpodobně slyšeli a máte ji minimálně obecný koncept. Jakmile plně pochopíte téma, zamyslete se nad tím, proč je takový systém optimální?

V současné době se v životní praxi projevuje geometrická progrese při investování peněz do banky, kdy se výše úroku připisuje k částce nastřádané na účtu za předchozí období. Jinými slovy, pokud dáte peníze na termínovaný vklad do spořitelny, tak po roce se vklad navýší o původní částku, tzn. nová částka se bude rovnat příspěvku vynásobenému. V dalším roce se tato částka zvýší o, tzn. částka získaná v té době bude opět vynásobena a tak dále. Podobná situace je popsána v úlohách výpočtu tzv složený úrok- procento se bere pokaždé z částky, která je na účtu, s přihlédnutím k předchozímu úroku. O těchto úkolech si povíme trochu později.

Existuje mnohem více jednoduchých případů, kdy je aplikována geometrická progrese. Například šíření chřipky: jeden člověk nakazil druhého člověka, ten zase nakazil dalšího člověka, a tak druhá vlna nákazy je člověk a ten zase nakazil dalšího... a tak dále... .

Mimochodem, finanční pyramida, stejný MMM, je jednoduchý a suchý výpočet založený na vlastnostech geometrické progrese. Zajímavý? Pojďme na to přijít.

Geometrická progrese.

Řekněme, že máme číselnou řadu:

Okamžitě odpovíte, že je to snadné a název takové posloupnosti je aritmetickým postupem s rozdílem jejích členů. Co třeba tohle:

Pokud odečtete předchozí číslo od dalšího čísla, uvidíte, že pokaždé dostanete nový rozdíl (a tak dále), ale posloupnost rozhodně existuje a je snadné si ji všimnout – každé následující číslo je krát větší než to předchozí!

Tento typ číselné řady se nazývá geometrická progrese a je určeno.

Geometrická posloupnost () je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

Omezení, že první člen ( ) není stejný a nejsou náhodná. Předpokládejme, že žádné nejsou a první člen je stále stejný a q se rovná, hmm.. nechme to být, pak to dopadne:

Souhlaste, že toto již není progrese.

Jak jste pochopili, dostaneme stejné výsledky, pokud existuje jiné číslo než nula, a. V těchto případech jednoduše nedojde k žádné progresi, protože celá číselná řada bude buď všechny nuly, nebo jedno číslo a všechny ostatní budou nuly.

Nyní si povíme podrobněji o jmenovateli geometrické posloupnosti, tedy o.

Opakujeme: - toto je číslo kolikrát se každý následující termín změní? geometrická progrese.

Co by to podle vás mohlo být? To je pravda, pozitivní a negativní, ale ne nula (o tom jsme mluvili trochu výše).

Předpokládejme, že ten náš je pozitivní. Nechť v našem případě a. Jakou hodnotu má druhý termín a? Na to můžete snadno odpovědět:

To je správně. Pokud tedy, pak všechny následující podmínky progrese mají stejné znaménko - oni jsou pozitivní.

Co když je negativní? Například a. Jakou hodnotu má druhý termín a?

To je úplně jiný příběh

Zkuste si spočítat podmínky tohoto postupu. kolik jsi dostal? Mám. Pokud tedy, pak se znaménka členů geometrické posloupnosti střídají. To znamená, že pokud vidíte progresi se střídajícími se znaky u jejích členů, pak je její jmenovatel záporný. Tyto znalosti vám mohou pomoci otestovat se při řešení problémů na toto téma.

Nyní si trochu procvičíme: zkuste určit, které číselné řady jsou geometrickou posloupností a které aritmetickou posloupností:

Mám to? Porovnejme naše odpovědi:

Geometrická progrese - 3, 6.
Aritmetický postup - 2, 4.
Není to ani aritmetika, ani geometrický postup - 1, 5, 7.

Vraťme se k našemu poslednímu postupu a pokusme se najít jeho člena, stejně jako v aritmetickém. Jak už asi tušíte, existují dva způsoby, jak ho najít.

Každý výraz postupně násobíme.

Tedy, tý člen popsané geometrické posloupnosti je roven.

Jak jste již uhodli, nyní sami odvodíte vzorec, který vám pomůže najít jakýkoli člen geometrické posloupnosti. Nebo jste jej již vytvořili pro sebe a popisujete, jak krok za krokem najít th člen? Pokud ano, zkontrolujte správnost své úvahy.

Ukažme si to na příkladu nalezení druhého členu této progrese:

Jinými slovy:

Zjistěte si sami hodnotu členu dané geometrické posloupnosti.

Stalo? Porovnejme naše odpovědi:

Vezměte prosím na vědomí, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, když jsme postupně násobili každým předchozím členem geometrické posloupnosti.
Zkusme se "odosobnit" tento vzorec- Řekněme to v obecné podobě a dostaneme:

Odvozený vzorec platí pro všechny hodnoty – kladné i záporné. Ověřte si to sami výpočtem členů geometrické posloupnosti s následující podmínky: , A.

Počítal jsi? Porovnejme výsledky:

Souhlaste s tím, že by bylo možné najít termín progrese stejným způsobem jako termín, existuje však možnost nesprávného výpočtu. A pokud jsme již našli tý člen geometrické posloupnosti, co by mohlo být jednodušší než použít „zkrácenou“ část vzorce.

Nekonečně klesající geometrický postup.

Nedávno jsme mluvili o tom, že může být větší nebo menší než nula, existují však speciální hodnoty, pro které se geometrická progrese nazývá nekonečně klesající.

Proč si myslíte, že je toto jméno uvedeno?
Nejprve si zapišme nějakou geometrickou posloupnost skládající se z členů.
Řekněme tedy:

Vidíme, že každý následující člen je o faktor menší než ten předchozí, ale bude tam nějaké číslo? Okamžitě odpovíte - "ne". Proto nekonečně klesá – klesá a klesá, ale nikdy se nestane nulou.

Abychom jasně pochopili, jak to vypadá vizuálně, zkusme nakreslit graf našeho postupu. Takže pro náš případ má vzorec následující formu:

Na grafech jsme zvyklí vykreslovat závislost na:

Podstata výrazu se nezměnila: v prvním vstupu jsme ukázali závislost hodnoty člena geometrické posloupnosti na jeho pořadovém čísle a ve druhém vstupu jsme prostě vzali hodnotu člena geometrické posloupnosti jako , a označil pořadové číslo nikoli jako, ale jako. Zbývá už jen sestavit graf.
Podívejme se, co máš. Zde je graf, který jsem vymyslel:

Vidíš? Funkce klesá, má tendenci k nule, ale nikdy ji nekříží, takže nekonečně klesá. Vyznačme si na grafu naše body a zároveň, co souřadnice a znamená:

Pokuste se schematicky znázornit graf geometrické progrese, pokud je její první člen také stejný. Analyzujte, jaký je rozdíl od našeho předchozího grafu?

Zvládli jste to? Zde je graf, který jsem vymyslel:

Nyní, když jste plně pochopili základy tématu geometrické posloupnosti: víte, co to je, víte, jak najít její termín, a také víte, co je to nekonečně klesající geometrická posloupnost, přejděme k její hlavní vlastnosti.

Vlastnost geometrické posloupnosti.

Pamatujete si na vlastnost členů aritmetické posloupnosti? Ano, ano, jak najít hodnotu určitého čísla progrese, když existují předchozí a následující hodnoty podmínek této progrese. Pamatuješ si? Tento:

Nyní stojíme před úplně stejnou otázkou ohledně podmínek geometrické progrese. Abychom odvodili takový vzorec, začněme kreslit a uvažovat. Uvidíte, je to velmi snadné, a pokud zapomenete, můžete to dostat sami.

Vezměme si další jednoduchý geometrický postup, ve kterém známe a. Jak najít? S aritmetickým postupem je to snadné a jednoduché, ale co tady? Ve skutečnosti ani v geometrickém není nic složitého - stačí zapsat každou nám zadanou hodnotu podle vzorce.

Můžete se ptát, co s tím teď máme dělat? Ano, velmi jednoduché. Nejprve si tyto vzorce znázornime na obrázku a zkusme si s nimi poradit různé manipulace dospět k hodnotě.

Abstrahujme od čísel, která jsou nám dána, zaměřme se pouze na jejich vyjádření prostřednictvím vzorce. Potřebujeme najít hodnotu zvýrazněnou oranžově a znát pojmy, které s ní sousedí. Zkusme s nimi vyrábět různé akce, v důsledku čehož můžeme získat.

Přidání.
Zkusme přidat dva výrazy a dostaneme:

Z tohoto výrazu to, jak vidíte, nemůžeme nijak vyjádřit, proto zkusíme jinou možnost - odečítání.

Odčítání.

Jak vidíte, ani to neumíme vyjádřit, proto zkusme tyto výrazy mezi sebou znásobit.

Násobení.

Nyní se pečlivě podívejte na to, co máme, vynásobením členů geometrické progrese, které nám byly dány, ve srovnání s tím, co je třeba najít:

Hádejte, o čem mluvím? To je pravda, abychom zjistili, že musíme vzít Odmocnina z čísel geometrické posloupnosti sousedících s požadovaným násobeným navzájem:

Tady máš. Sám jste odvodil vlastnost geometrické progrese. Zkuste napsat tento vzorec obecný pohled. Stalo?

Zapomněli jste na podmínku? Zamyslete se nad tím, proč je to důležité, zkuste si to například spočítat sami. Co se stane v tomto případě? To je pravda, úplný nesmysl, protože vzorec vypadá takto:

Proto na toto omezení nezapomeňte.

Nyní spočítejme, čemu se rovná

Správná odpověď - ! Pokud jste při výpočtu nezapomněli na tu druhou možný význam, tak jste skvělí a můžete rovnou přejít na trénink, a pokud jste zapomněli, přečtěte si, o čem je řeč níže, a věnujte pozornost tomu, proč je nutné do odpovědi zapisovat oba kořeny.

Nakreslete obě naše geometrické posloupnosti – jednu s hodnotou a druhou s hodnotou a zkontrolujeme, zda obě mají právo na existenci:

Abychom mohli ověřit, zda taková geometrická posloupnost existuje nebo ne, je nutné zjistit, zda jsou všechny její dané členy stejné? Vypočítejte q pro první a druhý případ.

Vidíte, proč musíme napsat dvě odpovědi? Protože znaménko výrazu, který hledáte, závisí na tom, zda je pozitivní nebo negativní! A protože nevíme, co to je, musíme napsat obě odpovědi s plusem a mínusem.

Nyní, když jste zvládli hlavní body a odvodili vzorec pro vlastnost geometrického postupu, najděte, znáte a

Porovnejte své odpovědi se správnými:

Co si myslíte, co kdybychom nedostali hodnoty členů geometrické progrese sousedící s požadovaným číslem, ale ve stejné vzdálenosti od něj. Například potřebujeme najít, a dané a. Můžeme v tomto případě použít vzorec, který jsme odvodili? Pokuste se potvrdit nebo vyvrátit tuto možnost stejným způsobem a popsat, z čeho se každá hodnota skládá, jako jste to udělali, když jste vzorec původně odvodili, at.
Co jsi dostal?

Nyní se znovu pozorně podívejte.
a odpovídajícím způsobem:

Z toho můžeme usoudit, že vzorec funguje nejen se sousedy s požadovanými podmínkami geometrického postupu, ale také s stejně vzdálený z toho, co členové hledají.

Náš počáteční vzorec má tedy tvar:

To znamená, že pokud jsme to řekli v prvním případě, nyní říkáme, že se může rovnat libovolnému přirozenému číslu, které je menší. Hlavní je, že je to stejné pro obě daná čísla.

Cvičte na konkrétních příkladech, jen buďte extrémně opatrní!

, . Nalézt.
, . Nalézt.
, . Nalézt.

Rozhodnuto? Doufám, že jste byli extrémně pozorní a všimli jste si malého úlovku.

Porovnejme výsledky.

V prvních dvou případech klidně použijeme výše uvedený vzorec a získáme následující hodnoty:

Ve třetím případě při bližším zkoumání sériová číslačísla, která nám byla dána, chápeme, že nejsou ve stejné vzdálenosti od čísla, které hledáme: je to předchozí číslo, ale je odstraněno na pozici, takže není možné použít vzorec.

jak to vyřešit? Ve skutečnosti to není tak těžké, jak se zdá! Zapišme si, z čeho se každé dané číslo a číslo, které hledáme, skládá.

Takže máme a. Podívejme se, co s nimi můžeme dělat? Navrhuji rozdělit podle. Dostaneme:

Naše data dosadíme do vzorce:

Dalším krokem, který můžeme najít, je - k tomu potřebujeme vzít třetí odmocninu výsledného čísla.

Nyní se znovu podíváme na to, co máme. Máme to, ale musíme to najít, a to se zase rovná:

Našli jsme všechny potřebné údaje pro výpočet. Dosaďte do vzorce:

Naše odpověď: .

Zkuste sami vyřešit jiný podobný problém:
Vzhledem k tomu: ,
Nalézt:

kolik jsi dostal? Mám - .

Jak vidíte, v podstatě potřebujete zapamatujte si pouze jeden vzorec- Veškerý zbytek si můžete bez problémů kdykoliv sami stáhnout. Chcete-li to provést, jednoduše napište nejjednodušší geometrickou posloupnost na kus papíru a zapište, čemu se každé z jejích čísel rovná, podle vzorce popsaného výše.

Součet členů geometrické posloupnosti.

Nyní se podívejme na vzorce, které nám umožňují rychle vypočítat součet členů geometrické posloupnosti v daném intervalu:

Chcete-li odvodit vzorec pro součet členů konečné geometrické posloupnosti, vynásobte všechny části výše uvedené rovnice číslem. Dostaneme:

Podívejte se pozorně: co mají poslední dva vzorce společného? Přesně tak, třeba společní členové a tak dále, kromě prvního a posledního člena. Zkusme odečíst 1. od 2. rovnice. Co jsi dostal?

Nyní vyjádřete člen geometrické posloupnosti vzorcem a dosaďte výsledný výraz do našeho posledního vzorce:

Seskupte výraz. Měli byste dostat:

Zbývá pouze vyjádřit:

V souladu s tím v tomto případě.

Co když? Jaký vzorec tedy funguje? Představte si geometrickou progresi v. Jaká je? Řada identických čísel je správná, takže vzorec bude vypadat takto:

O aritmetickém i geometrickém postupu existuje mnoho legend. Jednou z nich je legenda o Setovi, tvůrci šachů.

Mnoho lidí ví, že šachová hra byla vynalezena v Indii. Když se s ní hinduistický král setkal, byl potěšen jejím vtipem a rozmanitostí možných pozic v ní. Když se král dozvěděl, že jej vynalezl jeden z jeho poddaných, rozhodl se ho osobně odměnit. Zavolal si vynálezce k sobě a nařídil mu, aby ho požádal o vše, co chce, a slíbil, že splní i tu nejšikovnější touhu.

Seta požádal o čas na rozmyšlenou, a když následujícího dne Seta předstoupil před krále, překvapil krále nebývalou skromností své žádosti. Požádal, aby dal pšeničné zrno za první pole šachovnice, pšeničné zrno za druhé, pšeničné zrno za třetí, čtvrté atd.

Král se rozzlobil a zahnal Setha s tím, že žádost služebníka není hodná královy štědrosti, ale slíbil, že služebník dostane své obilí za všechna políčka na desce.

A nyní otázka: pomocí vzorce pro součet členů geometrické progrese spočítejte, kolik zrn by měl Seth dostat?

Začněme uvažovat. Protože podle podmínky Seth požádal o zrnko pšenice za první pole šachovnice, za druhé, za třetí, za čtvrté atd., vidíme, že problém spočívá v geometrickém postupu. Čemu se to v tomto případě rovná?
Že jo.

Celkový počet polí na šachovnici. Respektive, . Všechny údaje máme, zbývá je zapojit do vzorce a počítat.

Abychom si alespoň přibližně představili „měřítko“ daného čísla, transformujeme pomocí vlastností stupně:

Samozřejmě, pokud chcete, můžete si vzít kalkulačku a spočítat, na jakém čísle skončíte, a pokud ne, budete muset vzít moje slovo: konečná hodnota výrazu bude.
to je:

kvintilion kvadrilion bilion miliard milionů milionů tisíc.

Fuj) Pokud si chcete představit ohromné množství tohoto čísla, pak odhadněte, jak velká by byla potřeba stodola, aby se vešlo celé množství obilí.
Je-li stodola m vysoká a m široká, musela by její délka sahat na km, tzn. dvakrát tak daleko než od Země ke Slunci.

Kdyby byl král silný v matematice, mohl si k počítání zrn přizvat samotného vědce, protože k počítání milionu zrnek by potřeboval minimálně den neúnavného počítání a vzhledem k tomu, že je nutné počítat kvintiliony, zrnka bude muset být počítán po celý jeho život.

Nyní vyřešme jednoduchý problém zahrnující součet členů geometrické posloupnosti.
Student třídy 5A Vasya onemocněl chřipkou, ale nadále chodí do školy. Každý den Vasja nakazí dva lidi, kteří zase nakazí další dva lidi a tak dále. Ve třídě jsou jen lidé. Za kolik dní bude celá třída nemocná chřipkou?

Takže prvním termínem geometrické progrese je Vasja, tedy osoba. Termínem geometrické progrese jsou dva lidé, které nakazil první den svého příjezdu. Celková částkačlenů progrese se rovná počtu studentů v 5A. V souladu s tím hovoříme o progresi, ve které:

Dosadíme naše data do vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti:

Během několika dní onemocní celá třída. Nevěříte vzorcům a číslům? Pokuste se vykreslit „infekci“ studentů sami. Stalo? Podívejte se, jak to u mě vypadá:

Spočítejte si sami, kolik dní by trvalo, než by studenti onemocněli chřipkou, kdyby každý nakazil jednoho člověka a ve třídě by byl pouze jeden člověk.

Jakou hodnotu jste získali? Ukázalo se, že všem začalo být po dni špatně.

Jak vidíte, takový úkol a jeho kresba připomínají pyramidu, ve které každý následující „přináší“ nové lidi. Dříve nebo později však přijde okamžik, kdy ten druhý nemůže nikoho přitáhnout. V našem případě, pokud si představíme, že třída je izolovaná, osoba z uzavře řetězec (). Pokud by tedy byl člověk zapojen do finanční pyramida, ve kterém byly dány peníze, pokud přivedete další dva účastníky, pak osoba (příp obecný případ) by nikoho nepřivedli, a proto by přišli o vše, co investovali do tohoto finančního podvodu.

Vše, co bylo řečeno výše, se týká klesajícího nebo rostoucího geometrického postupu, ale jak si vzpomínáte, máme speciální typ - nekonečně klesající geometrický postup. Jak vypočítat součet jejích členů? A proč má tento typ progrese určité vlastnosti? Pojďme na to společně přijít.

Nejprve se tedy znovu podívejme na tento výkres nekonečně klesající geometrické posloupnosti z našeho příkladu:

Nyní se podívejme na vzorec pro součet geometrické posloupnosti, odvozený o něco dříve:
nebo

O co usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenci k nule. To znamená, že at se bude téměř rovnat, respektive při výpočtu výrazu dostaneme téměř. V tomto ohledu se domníváme, že při výpočtu součtu nekonečně klesající geometrické posloupnosti lze tuto závorku zanedbat, protože se bude rovnat.

- vzorec je součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti.

DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečný počet členů.

Pokud je zadáno konkrétní číslo n, pak použijeme vzorec pro součet n členů, i když nebo.

Teď pojďme cvičit.

Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti s a.
Najděte součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti s a.

Doufám, že jste byli velmi opatrní. Porovnejme naše odpovědi:

Nyní víte vše o geometrickém postupu a je čas přejít od teorie k praxi. Nejčastějšími geometrickými problémy, se kterými se při zkoušce setkáváme, jsou problémy s výpočtem složeného úroku. To jsou ti, o kterých budeme mluvit.

Problémy při výpočtu složeného úroku.

Pravděpodobně jste již slyšeli o takzvaném složeném úrokovém vzorci. Chápete, co to znamená? Pokud ne, pojďme na to přijít, protože jakmile pochopíte samotný proces, okamžitě pochopíte, co s tím má společného geometrická progrese.

Všichni jdeme do banky a víme, že existují různé podmínky na vklady: to je termín a doplňková služba a úrok se dvěma různé způsoby jeho výpočty - jednoduché a složité.

S jednoduchý zájem vše je víceméně jasné: úrok se připisuje jednou na konci doby vkladu. To znamená, že pokud řekneme, že vložíme 100 rublů na rok, budou připsány až na konci roku. V souladu s tím na konci vkladu obdržíme rubly.

Složené úročení- toto je možnost, ve které se vyskytuje úroková kapitalizace, tj. jejich přičtení k výši vkladu a následný výpočet příjmu nikoli z počáteční, ale z naakumulované částky vkladu. Velká písmena se nevyskytují neustále, ale s určitou frekvencí. Zpravidla jsou tato období stejná a banky nejčastěji používají měsíc, čtvrtletí nebo rok.

Předpokládejme, že ukládáme stejné rubly ročně, ale s měsíční kapitalizací vkladu. Co to děláme?

Rozumíš tady všemu? Pokud ne, pojďme na to přijít krok za krokem.

Přinesli jsme rubly do banky. Do konce měsíce bychom měli mít na účtu částku skládající se z našich rublů plus úroky z nich, tedy:

Souhlasit?

Můžeme to vyjmout ze závorek a pak dostaneme:

Souhlas, tento vzorec je již více podobný tomu, co jsme napsali na začátku. Zbývá jen vypočítat procenta

V prohlášení o problému jsme informováni o ročních sazbách. Jak víte, nenásobíme – převádíme procenta na desetinná místa, to je:

Že jo? Nyní se můžete ptát, kde se to číslo vzalo? Velmi jednoduché!
Opakuji: prohlášení o problému říká o ROČNÍúrok, který narůstá MĚSÍČNÍ. Jak víte, za rok měsíců nám banka bude účtovat část ročního úroku za měsíc:

Uvědomil si to? Zkuste teď napsat, jak by tato část vzorce vypadala, kdybych řekl, že úrok se počítá denně.
Zvládli jste to? Porovnejme výsledky:

Výborně! Vraťme se k našemu úkolu: napište, kolik bude připsáno na náš účet ve druhém měsíci, s přihlédnutím k tomu, že z nahromaděné částky vkladu se připisuje úrok.
Zde je to, co jsem dostal:

Nebo, jinými slovy:

Myslím, že jste si již všimli vzoru a viděli jste v tom všem geometrický pokrok. Napište, čemu se bude jeho člen rovnat, nebo jinými slovy, jakou částku na konci měsíce obdržíme.
Dělal? Pojďme zkontrolovat!

Jak vidíte, pokud vložíte peníze do banky na rok za jednoduchou úrokovou sazbu, dostanete rubly, a pokud za složenou úrokovou sazbu, dostanete rubly. Přínos je malý, ale to se děje pouze v průběhu roku, ale déle dlouhé období kapitalizace je mnohem výnosnější:

Podívejme se na jiný typ problému zahrnující složené úročení. Po tom, co jste přišli na to, to pro vás bude elementární. Takže úkol:

Společnost Zvezda začala do tohoto odvětví investovat v roce 2000 s kapitálem v dolarech. Od roku 2001 má každý rok zisk, který se rovná kapitálu předchozího roku. Jaký zisk získá společnost Zvezda na konci roku 2003, pokud by zisky nebyly staženy z oběhu?

Kapitál společnosti Zvezda v roce 2000.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2001.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2002.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2003.

Nebo můžeme stručně napsat:

Pro náš případ:

2000, 2001, 2002 a 2003.

Respektive:
rublů
Vezměte prosím na vědomí, že v tomto problému nemáme dělení ani podle, ani podle, protože procento se udává ROČNĚ a počítá se ROČNĚ. To znamená, že při čtení problému o složeném úročení věnujte pozornost tomu, jaké procento je uvedeno a v jakém období se počítá, a teprve poté přejděte k výpočtům.
Nyní víte vše o geometrickém postupu.

Výcvik.

Najděte člen geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
Společnost MDM Capital začala do tohoto odvětví investovat v roce 2003 s kapitálem v dolarech. Od roku 2004 má každý rok zisk, který se rovná kapitálu předchozího roku. Společnost MSK Cash Flows začala do odvětví investovat v roce 2005 ve výši 10 000 USD, zisk začala dosahovat v roce 2006 ve výši. O kolik dolarů je na konci roku 2007 kapitál jedné společnosti větší než druhé, pokud by zisky nebyly staženy z oběhu?

Odpovědi:

Protože zadání problému neříká, že posloupnost je nekonečná a je třeba najít součet určitého počtu jejích členů, výpočet se provede podle vzorce:
Společnost MDM Capital:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- se zvýší o 100 %, tedy 2krát.
Respektive:
rublů
Společnost MSK Cash Flows:
2005, 2006, 2007.
- zvyšuje o, tedy o časy.
Respektive:
rublů
rublů

Pojďme si to shrnout.

1) Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

2) Rovnice členů geometrické posloupnosti je .

3) může nabývat jakýchkoli hodnot kromě a.

jestliže, pak všechny následující členy progrese mají stejné znaménko - oni jsou pozitivní;
pokud, pak všechny následující podmínky progrese alternativní znamení;
když - progrese se nazývá nekonečně klesající.

4) , s - vlastnost geometrické posloupnosti (sousední členy)

nebo
, v (ekvidistantní termíny)

Až to najdete, nezapomeňte na to měly by existovat dvě odpovědi.

Například,

5) Součet členů geometrické posloupnosti se vypočte podle vzorce:
nebo

Pokud se progrese nekonečně snižuje, pak:
nebo

DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečného počtu členů.

6) Problémy týkající se složeného úročení jsou také vypočteny pomocí vzorce pro tý člen geometrické posloupnosti, za předpokladu, že hotovost nebyly staženy z oběhu:

GEOMETRICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Geometrická progrese( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se volá jmenovatel geometrické posloupnosti.

Jmenovatel geometrické posloupnosti může mít jakoukoli hodnotu kromě a.

Pokud pak všechny následující členy progrese mají stejné znaménko - jsou kladné;
jestliže, pak všechny následující členy progrese střídají znamení;
když - progrese se nazývá nekonečně klesající.

Rovnice členů geometrické posloupnosti - .

Součet členů geometrické posloupnosti vypočítá se podle vzorce:
nebo

Geometrická progrese neméně důležité v matematice ve srovnání s aritmetikou. Geometrická posloupnost je posloupnost čísel b1, b2,..., b[n], jejíž každý další člen získáme vynásobením předchozího konstantním číslem. Toto číslo, které také charakterizuje rychlost růstu nebo poklesu progrese, se nazývá jmenovatel geometrické progrese a označují

Pro kompletní specifikaci geometrické posloupnosti je kromě jmenovatele nutné znát nebo určit její první člen. Pro kladnou hodnotu jmenovatele je progrese monotónní posloupnost, a to pokud tato posloupnost čísel monotónně klesá a pokud je monotónně rostoucí. Případ, kdy je jmenovatel roven jedné, se v praxi neuvažuje, protože máme posloupnost stejných čísel a jejich sčítání není prakticky zajímavé.

Obecný pojem geometrické posloupnosti vypočítané podle vzorce

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti určeno vzorcem