Diferenciální rovnice pro variaci libovolné konstanty. Řešení lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic vyšších řádů Lagrangeovou metodou

Uvažujme lineární nehomogenní diferenciální rovnici s konstantní koeficienty libovolné n-té pořadí:
(1) .
Metoda variace konstanty, kterou jsme uvažovali pro rovnici prvního řádu, je použitelná i pro rovnice vyššího řádu.

Řešení se provádí ve dvou fázích. V prvním kroku zahodíme pravou stranu a vyřešíme homogenní rovnici. Výsledkem je řešení obsahující n libovolných konstant. Ve druhé fázi měníme konstanty. To znamená, že věříme, že tyto konstanty jsou funkcemi nezávisle proměnné x a najdeme tvar těchto funkcí.

Sice zde uvažujeme rovnice s konstantními koeficienty, ale Lagrangeova metoda je také použitelná pro řešení libovolných lineárních nehomogenních rovnic. K tomu je však třeba znát základní systém řešení homogenní rovnice.

Krok 1. Řešení homogenní rovnice

Stejně jako v případě rovnic prvního řádu nejprve hledáme obecné řešení homogenní rovnice, přičemž pravou nehomogenní stranu přirovnáme k nule:
(2) .
Obecné řešení této rovnice je:
(3) .
Zde jsou libovolné konstanty; - n lineárně nezávislých řešení homogenní rovnice (2), které tvoří fundamentální systém řešení této rovnice.

Krok 2. Variace konstant - nahrazení konstant funkcemi

Ve druhé fázi se budeme zabývat variací konstant. Jinými slovy, nahradíme konstanty funkcemi nezávisle proměnné x:
.
To znamená, že hledáme řešení původní rovnice(1) takto:
(4) .

Pokud dosadíme (4) do (1), dostaneme jednu diferenciální rovnici pro n funkcí. V tomto případě můžeme tyto funkce spojit s dalšími rovnicemi. Pak dostanete n rovnic, ze kterých lze určit n funkcí. Lze psát další rovnice různé způsoby. Ale uděláme to tak, aby řešení mělo nejjednodušší formu. Chcete-li to provést, musíte při derivování přirovnat k nule členy obsahující derivace funkcí. Pojďme si to ukázat.

K dosazení navrženého řešení (4) do původní rovnice (1) potřebujeme najít derivace prvních n řádů funkce zapsané ve tvaru (4). Rozlišujeme (4) pomocí pravidla pro rozlišování součtů a funguje:
.
Seskupíme členy. Nejprve si zapíšeme termíny s deriváty , a poté termíny s deriváty :

.
Uložme funkcím první podmínku:
(5.1) .
Pak výraz pro první derivaci s ohledem na bude mít jednodušší tvar:
(6.1) .

Stejnou metodou najdeme druhou derivaci:

.
Položme na funkce druhou podmínku:
(5.2) .
Pak
(6.2) .
A tak dále. V dodatečné podmínky, přirovnáváme členy obsahující derivace funkcí k nule.

Zvolíme-li tedy pro funkce následující další rovnice:
(5.k) ,
pak první derivace s ohledem na will mají nejjednodušší tvar:
(6.k) .
Tady .

Najděte n-tou derivaci:
(6.n)
.

Dosaďte do původní rovnice (1):
(1) ;






.
Vezměme v úvahu, že všechny funkce splňují rovnici (2):
.
Pak součet členů obsahujících nulu dává nulu. V důsledku toho dostaneme:
(7) .

V důsledku toho jsme obdrželi systém lineárních rovnic pro derivace:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Při řešení tohoto systému najdeme výrazy pro derivace jako funkci x. Integrací získáme:
.
Zde jsou konstanty, které již nezávisí na x. Dosazením do (4) získáme obecné řešení původní rovnice.

Všimněte si, že k určení hodnot derivací jsme nikdy nepoužili skutečnost, že koeficienty a i jsou konstantní. Proto Lagrangeova metoda je použitelná pro řešení libovolných lineárních nehomogenních rovnic, pokud je známa základní soustava řešení homogenní rovnice (2).

Příklady

Řešte rovnice metodou variace konstant (Lagrange).

Vraťme se k úvahám o lineárních nehomogenních diferenciální rovnice typ

Kde - požadovaná funkce argumentu a funkcemi



jsou dané a průběžné v určitém intervalu
.

Uveďme v úvahu lineární homogenní rovnici, levá strana která se shoduje s levou stranou nehomogenní rovnice (2.31),

Zavolá se rovnice tvaru (2.32). homogenní rovnice odpovídající nehomogenní rovnici (2.31).

O struktuře obecného řešení nehomogenní lineární rovnice (2.31) platí následující věta.

Věta 2.6. Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice (2.31) v oblasti

je součet libovolného jeho konkrétního řešení a obecného řešení příslušné homogenní rovnice (2.32) v oboru (2.33), tzn.

Kde - partikulární řešení rovnice (2.31),
je základním systémem řešení homogenní rovnice (2.32), a
- libovolné konstanty.

Důkaz této věty najdete v.

Na příkladu diferenciální rovnice druhého řádu nastíníme metodu, kterou lze nalézt konkrétní řešení lineární nehomogenní rovnice. Tato metoda se nazývá Lagrangeova metoda variace libovolných konstant.

Dostaneme tedy nehomogenní lineární rovnici

(2.35)

kde jsou koeficienty
a pravou stranu
spojitě v nějakém intervalu
.

Označme podle
A
základní soustava řešení homogenní rovnice

(2.36)

Pak má její obecné řešení tvar

(2.37)

Kde A - libovolné konstanty.

Budeme hledat řešení rovnice (2.35) ve stejném tvaru , stejně jako obecné řešení odpovídající homogenní rovnice, nahrazující libovolné konstanty některými diferencovatelnými funkcemi (měníme libovolné konstanty), těch.

Kde
A
- některé diferencovatelné funkce od , které jsou zatím neznámé a které se pokusíme určit tak, aby funkce (2.38) byla řešením nehomogenní rovnice (2.35). Odlišením obou stran rovnosti (2.38) získáme

Tedy při výpočtu deriváty druhého řádu
A
, požadujeme to všude v
podmínka splněna

Pak pro budu mít

Vypočítejme druhou derivaci

Nahrazení výrazů za ,,z (2.38), (2.40), (2.41) do rovnice (2.35) dostaneme

Výrazy v hranatých závorkách jsou všude v nule
, protože A - parciální řešení rovnice (2.36). V tomto případě bude mít (2.42) tvar Spojením této podmínky s podmínkou (2.39) získáme soustavu rovnic pro určení
A

(2.43)

Poslední soustavou je soustava dvou algebraických lineárních nehomogenních rovnic vzhledem k
A
. Determinant tohoto systému je Wronského determinant pro fundamentální systém řešení ,a proto je všude uvnitř nenulová
. To znamená, že systém (2.43) má jedinečné řešení. Mít to nějak relativně vyřešené
,
najdeme

Kde
A
- známé funkce.

Provedení integrace a zohlednění toho, že jako
,
měli bychom vzít jednu dvojici funkcí a nastavit integrační konstanty na nulu. Dostaneme

Dosazením výrazů (2.44) do vztahů (2.38) můžeme zapsat požadované řešení nehomogenní rovnice (2.35) ve tvaru

Tuto metodu lze zobecnit k nalezení konkrétního řešení lineární nehomogenní rovnice -tý řád.

Příklad 2.6. Vyřešte rovnici
na
pokud funkce

tvoří základní soustavu řešení odpovídající homogenní rovnice.

Pojďme najít konkrétní řešení této rovnice. K tomu musíme v souladu s Lagrangeovou metodou nejprve vyřešit systém (2.43), který má v našem případě tvar
Zmenšení obou stran každé rovnice o dostaneme

Odečtením první rovnice člen po členu od druhé rovnice zjistíme
a pak z první rovnice vyplývá
Provedení integrace a nastavení integračních konstant na nulu, budeme mít

Konkrétní řešení této rovnice může být reprezentováno jako

Obecné řešení této rovnice má tvar

Kde A - libovolné konstanty.

Nakonec si povšimněme jedné pozoruhodné vlastnosti, která se často nazývá princip superpozice řešení a je popsána následující větou.

Věta 2.7. Pokud mezi tím
funkce
- partikulární řešení rovnicové funkce
konkrétním řešením rovnice na stejném intervalu je funkce
existuje zvláštní řešení rovnice

Teoretické minimum

V teorii diferenciálních rovnic existuje metoda, která tvrdí, že má pro tuto teorii poměrně vysoký stupeň univerzálnosti.
Hovoříme o metodě variace libovolné konstanty, použitelné pro řešení různé třídy diferenciální rovnice a jejich
systémy To je přesně ten případ, kdy je teorie – pokud vyjmeme důkazy tvrzení ze závorek – minimální, ale umožňuje nám dosáhnout
významné výsledky, takže důraz bude kladen na příklady.

Obecná myšlenka metody je poměrně jednoduchá na formulaci. Nechť je daná rovnice (systém rovnic) obtížně řešitelná nebo dokonce nesrozumitelná,
jak to vyřešit. Je však jasné, že odstraněním některých členů z rovnice je vyřešeno. Přesně toto pak řeší zjednodušeně
rovnice (systému), získáme řešení obsahující určitý počet libovolných konstant - v závislosti na pořadí rovnice (číslo
rovnice v soustavě). Pak se předpokládá, že konstanty v nalezeném řešení nejsou ve skutečnosti konstanty, ale nalezené řešení
se dosadí do původní rovnice (systému), získá se diferenciální rovnice (nebo soustava rovnic) pro určení „konstant“.
V aplikaci metody variace libovolné konstanty na různé problémy existuje určitá specifika, ale to jsou již specifika, která budou
demonstrováno na příkladech.

Uvažujme samostatně řešení lineárních nehomogenních rovnic vyšších řádů, tzn. rovnice tvaru
.
Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice je součtem obecného řešení odpovídající homogenní rovnice a partikulárního řešení
této rovnice. Předpokládejme, že obecné řešení homogenní rovnice již bylo nalezeno, konkrétně byl sestaven základní systém řešení (FSS).
. Potom se obecné řešení homogenní rovnice rovná .
Potřebujeme najít nějaké konkrétní řešení nehomogenní rovnice. Pro tento účel jsou konstanty považovány za závislé na proměnné.
Dále je potřeba vyřešit soustavu rovnic
.
Teorie zaručuje, že tento systém algebraické rovnice pokud jde o derivace funkcí, existuje jedinečné řešení.
Při hledání funkcí samotných se konstanty integrace neobjevují: vždyť se hledá jakékoli jediné řešení.

V případě řešení soustav lineárních nehomogenních rovnic prvního řádu tvaru

algoritmus zůstává téměř nezměněn. Nejprve musíte najít odpovídající FSR homogenní systém rovnic, vytvořit základní matici
systém, jehož sloupce představují prvky FSR. Dále je sestavena rovnice
.
Při řešení systému určíme funkce, čímž najdeme konkrétní řešení původního systému
(základní matice je vynásobena sloupcem nalezených funkcí).
Přidáme jej k obecnému řešení odpovídajícího systému homogenních rovnic, který je sestrojen na základě již nalezené FSR.
Získá se obecné řešení původního systému.

Příklady.

Příklad 1 Lineární nehomogenní rovnice 1. řádu.

Uvažujme odpovídající homogenní rovnici (označíme požadovanou funkci):
.
Tuto rovnici lze snadno vyřešit pomocí metody separace proměnných:

.
Nyní si představme řešení původní rovnice ve tvaru , kde funkce ještě nebyla nalezena.
Tento typ řešení dosadíme do původní rovnice:
.
Jak vidíte, druhý a třetí termín na levé straně se navzájem ruší - to je charakteristický metoda variace libovolné konstanty.

Zde se již jedná o skutečně libovolnou konstantu. Tím pádem,
.

Příklad 2 Bernoulliho rovnice.

Postupujeme podobně jako v prvním příkladu – řešíme rovnici

metoda separace proměnných. Dopadá to, a tak hledáme řešení původní rovnice ve tvaru
.
Tuto funkci dosadíme do původní rovnice:
.
A opět dochází ke snížení:
.
Zde je třeba pamatovat na to, aby se při dělení podle řešení neztratilo. A řešení původního odpovídá případu
rovnic Pojďme si to zapamatovat. Tak,
.
Pojďme to napsat.
Toto je řešení. Při psaní odpovědi byste také měli uvést dříve nalezené řešení, protože neodpovídá žádné konečné hodnotě
konstanty

Příklad 3 Lineární nehomogenní rovnice vyšších řádů.

Okamžitě poznamenejme, že tuto rovnici lze řešit jednodušeji, ale je vhodné metodu pomocí ní demonstrovat. I když nějaké výhody
Variační metoda má i v tomto příkladu libovolnou konstantu.
Takže musíte začít s FSR odpovídající homogenní rovnice. Připomeňme, že pro nalezení FSR se sestaví charakteristická křivka
rovnice
.
Tedy obecné řešení homogenní rovnice
.
Zde zahrnuté konstanty se musí měnit. Vytváření systému

Metoda variace libovolných konstant

Metoda variací libovolných konstant pro konstrukci řešení lineární nehomogenní diferenciální rovnice

A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = F(t)

spočívá v nahrazení libovolných konstant C k v obecném řešení

z(t) = C 1 z 1 (t) + C 2 z 2 (t) + ... + C n z n (t)

odpovídající homogenní rovnici

A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = 0

pro pomocné funkce C k (t) , jehož derivace splňují lineární algebraický systém

Determinant systému (1) je Wronskián funkcí z 1 ,z 2 ,...,z n , což zajišťuje jeho jedinečnou řešitelnost s ohledem na .

Pokud jsou primitivní funkce pro , brané na pevné hodnoty integračních konstant, pak funkce

je řešením původní lineární nehomogenní diferenciální rovnice. Integrace nehomogenní rovnice za přítomnosti obecného řešení do odpovídající homogenní rovnice je tak redukována na kvadratury.

Metoda variací libovolných konstant pro konstrukci řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic ve vektorovém normálním tvaru

spočívá v konstrukci konkrétního řešení (1) ve tvaru

Kde Z(t) je základem řešení odpovídající homogenní rovnice zapsané ve formě matice a vektorová funkce , která nahradila vektor libovolných konstant, je definována vztahem . Požadované konkrétní řešení (s nulovými počátečními hodnotami při t = t 0 vypadá

Pro systém s konstantními koeficienty je poslední výraz zjednodušen:

Matice Z(t)Z− 1 (τ) volal Cauchyho matrice operátor L = A(t) .

externí odkazy

• exponenta.ru - Teoretické informace s příklady

Nadace Wikimedia. 2010.

Metoda variace libovolné konstanty neboli Lagrangeova metoda je dalším způsobem řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu a Bernoulliho rovnice.

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu jsou rovnice tvaru y’+p(x)y=q(x). Pokud je na pravé straně nula: y’+p(x)y=0, pak je to lineární homogenní Rovnice 1. řádu. V souladu s tím je rovnice s nenulovou pravou stranou, y’+p(x)y=q(x), heterogenní lineární rovnice 1. řádu.

Metoda variace libovolné konstanty (Lagrangeova metoda) je následující:

1) Hledáme obecné řešení homogenní rovnice y’+p(x)y=0: y=y*.

2) V obecném řešení nepovažujeme C za konstantu, ale za funkci x: C = C (x). Najdeme derivaci obecného řešení (y*)‘ a dosadíme výsledný výraz za y* a (y*)‘ do počáteční podmínky. Z výsledné rovnice najdeme funkci C(x).

3) V obecném řešení homogenní rovnice místo C dosadíme nalezený výraz C(x).

Podívejme se na příklady metody variování libovolné konstanty. Vezměme stejné úkoly jako v, porovnejme průběh řešení a přesvědčme se, že se získané odpovědi shodují.

1) y'=3x-y/x

Přepišme rovnici ve standardním tvaru (na rozdíl od Bernoulliho metody, kde jsme potřebovali formu zápisu pouze k tomu, abychom viděli, že rovnice je lineární).

y’+y/x=3x (I). Nyní postupujeme podle plánu.

1) Řešte homogenní rovnici y’+y/x=0. Toto je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Představte si y’=dy/dx, náhradní: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme xy≠0: dy/y=-dx/x. Pojďme integrovat:

2) Ve výsledném obecném řešení homogenní rovnice nebudeme C uvažovat konstantu, ale funkci x: C=C(x). Odtud

Výsledné výrazy dosadíme do podmínky (I):

Pojďme integrovat obě strany rovnice:

zde C je již nějaká nová konstanta.

3) V obecném řešení homogenní rovnice y=C/x, kde jsme předpokládali C=C(x), tedy y=C(x)/x, místo C(x) dosadíme nalezený výraz x³ +C: y=(x3+C)/x nebo y=x2+C/x. Dostali jsme stejnou odpověď jako při řešení Bernoulliho metodou.

Odpověď: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Zde je rovnice již zapsána ve standardním tvaru, není třeba ji transformovat.

1) Řešte homogenní lineární rovnici y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Pojďme integrovat:

Abychom získali pohodlnější formu zápisu, vezmeme exponent na mocninu C jako nové C:

Tato transformace byla provedena, aby bylo pohodlnější najít derivát.

2) Ve výsledném obecném řešení lineární homogenní rovnice neuvažujeme C ne konstantu, ale funkci x: C=C(x). Za této podmínky

Výsledné výrazy y a y’ dosadíme do podmínky:

Vynásobte obě strany rovnice číslem

Integrujeme obě strany rovnice pomocí vzorce integrace po částech, dostaneme:

Zde C již není funkce, ale obyčejná konstanta.

3) V obecném řešení homogenní rovnice

nahraďte nalezenou funkci C(x):

Dostali jsme stejnou odpověď jako při řešení Bernoulliho metodou.

Metoda variace libovolné konstanty je také použitelná k řešení.

y'x+y=-xy².

Rovnici zredukujeme na standardní pohled: y’+y/x=-y² (II).

1) Řešte homogenní rovnici y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme y: dy/y=-dx/x. Nyní pojďme integrovat:

Výsledné výrazy dosadíme do podmínky (II):

Pojďme to zjednodušit:

Získali jsme rovnici se separovatelnými proměnnými pro C a x:

Zde je C již obyčejná konstanta. Během integračního procesu jsme místo C(x) napsali jednoduše C, abychom nepřetěžovali zápis. A na závěr jsme se vrátili k C(x), abychom si C(x) nepletli s novým C.

3) V obecném řešení homogenní rovnice y=C(x)/x dosadíme nalezenou funkci C(x):

Dostali jsme stejnou odpověď jako při řešení Bernoulliho metodou.

Příklady autotestů:

1. Přepišme rovnici do standardního tvaru: y’-2y=x.

1) Řešte homogenní rovnici y’-2y=0. y’=dy/dx, tedy dy/dx=2y, vynásobte obě strany rovnice dx, vydělte y a integrujte:

Odtud najdeme y:

Do podmínky dosadíme výrazy pro y a y’ (pro stručnost použijeme C místo C(x) a C’ místo C"(x)):

K nalezení integrálu na pravé straně použijeme vzorec integrace po částech:

Nyní dosadíme u, du a v do vzorce:

Zde C = konst.

3) Nyní do roztoku dosadíme homogenní