Interval spolehlivosti pro matematické očekávání normálního rozdělení se známým rozptylem. Intervaly spolehlivosti pro odhad matematického očekávání

A další všechny jsou odhady jejich teoretických analogů, které by bylo možné získat, kdyby nebyl k dispozici vzorek, ale obecná populace. Ale bohužel, běžná populace je velmi drahá a často nedostupná.

Pojem intervalového odhadu

Jakýkoli odhad vzorku má určitý rozptyl, protože je náhodná proměnná v závislosti na hodnotách v konkrétním vzorku. Pro spolehlivější statistické závěry by se tedy měl znát nejen bodový odhad, ale i interval, který s vysokou pravděpodobností γ (gama) pokrývá hodnocený ukazatel θ (theta).

Formálně se jedná o dvě takové hodnoty (statistiky) T 1 (X) A T 2 (X), Co T 1< T 2 , pro které při dané úrovni pravděpodobnosti γ je splněna podmínka:

Zkrátka je to pravděpodobné γ nebo více skutečný indikátor je mezi body T 1 (X) A T 2 (X), které se nazývají dolní a horní hranice interval spolehlivosti.

Jednou z podmínek pro konstrukci intervalů spolehlivosti je jeho maximální těsnost, tzn. měla by být co nejkratší. Touha je zcela přirozená, protože... výzkumník se snaží přesněji lokalizovat umístění požadovaného parametru.

Z toho vyplývá, že interval spolehlivosti musí pokrývat maximální pravděpodobnosti rozdělení. a samotné hodnocení by mělo být v centru.

To znamená, že pravděpodobnost odchylky (skutečného ukazatele od odhadu) směrem nahoru se rovná pravděpodobnosti odchylky směrem dolů. Je třeba také poznamenat, že pro asymetrická rozdělení interval vpravo není rovna intervalu vlevo, odjet.

Výše uvedený obrázek jasně ukazuje, že čím větší pravděpodobnost spolehlivosti, tím širší interval - přímá závislost.

Toto byl krátký úvod do teorie intervalového odhadu neznámých parametrů. Pojďme k nalezení limitů spolehlivosti pro matematické očekávání.

Interval spolehlivosti pro matematické očekávání

Pokud jsou původní data distribuována přes , pak bude průměr normální hodnotou. To vyplývá z pravidla, že lineární kombinace normálních hodnot má také normální rozdělení. Pro výpočet pravděpodobností bychom tedy mohli použít matematický aparát zákona normálního rozdělení.

To však bude vyžadovat znalost dvou parametrů – očekávání a rozptylu, které jsou obvykle neznámé. Místo parametrů můžete samozřejmě použít odhady (aritmetický průměr a ), ale pak rozdělení průměru nebude úplně normální, bude mírně zploštělé směrem dolů. Tuto skutečnost chytře zaznamenal občan William Gosset z Irska, který svůj objev publikoval v březnu 1908 v časopise Biometrica. Pro účely utajení se Gosset podepsal jako Student. Tak se objevilo Studentovo t-rozdělení.

Nicméně, normální rozdělení dat používá K. Gauss v analýze chyb astronomická pozorování, je v pozemském životě extrémně vzácná a je poměrně obtížné ji stanovit (pro vysokou přesnost je potřeba asi 2 tisíce pozorování). Proto je nejlepší zahodit předpoklad normality a použít metody, které nejsou závislé na distribuci původních dat.

Nabízí se otázka: jaké je rozdělení aritmetického průměru, pokud se počítá z dat neznámá distribuce? Odpověď dává dobře známá teorie pravděpodobnosti Teorém centrálního limitu(CPT). V matematice existuje několik jeho variant (v celém textu dlouhá léta formulace byly zpřesněny), ale všechny, zhruba řečeno, se scvrkají na tvrzení, že součet velkého počtu nezávislých náhodných proměnných se řídí normálním distribučním zákonem.

Při výpočtu aritmetického průměru se používá součet náhodných veličin. Odtud se ukazuje, že aritmetický průměr má normální rozdělení, ve kterém očekávání je očekáváním původních dat a rozptyl je .

Chytří lidé vědět, jak prokázat CLT, ale ověříme si to pomocí experimentu provedeného v Excelu. Simulujme vzorek 50 rovnoměrně rozdělených náhodných veličin (pomocí excelovské funkce RANDBETWEEN). Potom uděláme 1000 takových vzorků a pro každý vypočítáme aritmetický průměr. Podívejme se na jejich distribuci.

Je vidět, že rozložení průměru se blíží normálnímu zákonu. Pokud se velikost a počet vzorku ještě zvětší, podobnost bude ještě lepší.

Nyní, když jsme na vlastní oči viděli platnost CLT, můžeme pomocí , vypočítat intervaly spolehlivosti pro aritmetický průměr, které pokrývají skutečný průměr nebo matematické očekávání s danou pravděpodobností.

Chcete-li nastavit horní a dolní hranici, musíte znát parametry normální distribuce. Zpravidla neexistují žádné, takže se používají odhady: aritmetický průměr A rozptyl vzorku. Opakuji, tato metoda poskytuje dobrou aproximaci pouze s velkými vzorky. Pokud jsou vzorky malé, často se doporučuje použít distribuci Student. Nevěřte tomu! Studentovo rozdělení pro průměr nastává pouze tehdy, když jsou původní data normálně rozdělena, tedy téměř nikdy. Proto je lepší okamžitě dát minimální bar podle množství požadovaných dat a používat asymptoticky správné metody. Prý stačí 30 pozorování. Vezměte 50 - neuděláte chybu.

T 1.2– dolní a horní hranice intervalu spolehlivosti

– vzorový aritmetický průměr

s 0– standardní odchylka vzorku (neobjektivní)

n - velikost vzorku

γ – pravděpodobnost spolehlivosti (obvykle rovna 0,9, 0,95 nebo 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– převrácená hodnota funkce standardního normálního rozdělení. Zjednodušeně řečeno se jedná o počet směrodatných chyb od aritmetického průměru po nižší resp horní limit(uvedené tři pravděpodobnosti odpovídají hodnotám 1,64, 1,96 a 2,58).

Podstatou vzorce je, že se vezme aritmetický průměr a pak se z něj vyčlení určitá částka ( s γ) standardní chyby ( s 0 /√n). Všechno je známo, vezměte si to a zvažte to.

Před masové použití K získání hodnot funkce normálního rozdělení a jeho inverzní funkce byl použit počítač. Používají se dodnes, ale efektivnější je použít hotové vzorce Excelu. Všechny prvky z výše uvedeného vzorce ( , a ) lze snadno vypočítat v Excelu. Existuje však připravený vzorec pro výpočet intervalu spolehlivosti - DŮVĚŘOVAT.NORM. Jeho syntaxe je následující.

CONFIDENCE.NORM(alfa;standardní_vypnuto;velikost)

alfa– hladina významnosti nebo hladina spolehlivosti, která se ve výše přijatém zápisu rovná 1- γ, tzn. pravděpodobnost, že matematickáočekávání bude mimo interval spolehlivosti. Na pravděpodobnost spolehlivosti 0,95, alfa je 0,05 atd.

standardní_vypnuto– směrodatná odchylka vzorových dat. Není třeba počítat standardní chybu Excel sám bude dělit odmocninou z n.

velikost– velikost vzorku (n).

Výsledkem funkce CONFIDENCE NORM je druhý člen ze vzorce pro výpočet intervalu spolehlivosti, tzn. poloviční interval V souladu s tím jsou dolní a horní body průměrem ± získanou hodnotou.

Je tedy možné sestavit univerzální algoritmus pro výpočet intervalů spolehlivosti pro aritmetický průměr, který nezávisí na distribuci původních dat. Cenou za univerzálnost je její asymptotická povaha, tzn. nutnost použít relativně velké vzorky. Nicméně ve věku moderní technologie shromáždit potřebné množství dat obvykle není obtížné.

Testování statistických hypotéz pomocí intervalů spolehlivosti

(modul 111)

Jedním z hlavních problémů řešených ve statistice je. Jeho podstata je stručně následující. Předpokládá se například, že očekávání populace rovnající se nějaké hodnotě. Poté se konstruuje rozdělení výběrových prostředků, které lze pozorovat pro dané očekávání. Dále se podívají na to, kde se v tomto podmíněném rozdělení nachází skutečný průměr. Pokud překročí přípustné meze, pak je výskyt takového průměru velmi nepravděpodobný a při jediném opakování experimentu téměř nemožný, což je v rozporu s předloženou hypotézou, která je úspěšně zamítnuta. Pokud průměr nepřekročí kritická úroveň, pak hypotéza není zamítnuta (ale ani prokázána!).

Takže pomocí intervalů spolehlivosti, v našem případě pro očekávání, můžete také testovat některé hypotézy. Je to velmi snadné. Řekněme, že aritmetický průměr pro určitý vzorek je roven 100. Testuje se hypotéza, že očekávaná hodnota je řekněme 90. To znamená, že pokud otázku položíme primitivně, zní to takto: může to být tím, že skutečná hodnota průměru rovna 90, pozorovaný průměr se ukázal být 100?

K zodpovězení této otázky budete navíc potřebovat informace o průměru čtvercová odchylka a velikost vzorku. Předpokládejme, že směrodatná odchylka je 30 a počet pozorování je 64 (pro snadné extrahování kořene). Pak je standardní chyba průměru 30/8 nebo 3,75. Chcete-li vypočítat 95% interval spolehlivosti, budete muset přidat dvě standardní chyby na každou stranu průměru (přesněji 1,96). Interval spolehlivosti bude přibližně 100±7,5 nebo od 92,5 do 107,5.

Další úvaha je následující. Pokud testovaná hodnota spadá do intervalu spolehlivosti, pak to není v rozporu s hypotézou, protože spadá do mezí náhodných výkyvů (s pravděpodobností 95 %). Pokud kontrolovaný bod spadá mimo interval spolehlivosti, pak je pravděpodobnost takové události velmi malá, v každém případě pod přijatelnou úrovní. To znamená, že hypotéza je zamítnuta jako odporující pozorovaným datům. V našem případě je hypotéza o očekávané hodnotě mimo interval spolehlivosti (testovaná hodnota 90 není zahrnuta v intervalu 100±7,5), proto by měla být zamítnuta. V odpovědi na primitivní otázku výše by se mělo říci: ne, to nemůže, v žádném případě se to stává velmi zřídka. Často označují specifickou pravděpodobnost chybného zamítnutí hypotézy (p-level), a nikoli specifikovanou úroveň, na které byl konstruován interval spolehlivosti, ale o tom jindy.

Jak vidíte, sestavení intervalu spolehlivosti pro průměr (nebo matematické očekávání) není obtížné. Hlavní je uchopit podstatu a pak se věci pohnou dál. V praxi se ve většině případů používá 95% interval spolehlivosti, což jsou přibližně dvě standardní chyby široké na obou stranách průměru.

To je prozatím vše. Vše nejlepší!

Nechť je náhodná veličina (můžeme mluvit o obecné populaci) rozdělena podle normálního zákona, pro který je znám rozptyl D = 2 (> 0). Z obecné populace (na množině objektů, z nichž je určena náhodná veličina) se udělá vzorek o velikosti n. Vzorek x 1 , x 2 ,..., x n je považován za množinu n nezávislých náhodných veličin rozdělených stejným způsobem jako (přístup vysvětlený výše v textu).

Následující rovnosti byly také diskutovány a prokázány dříve:

Mxi = Mx2 = ... = Mxn = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Stačí jednoduše dokázat (důkaz vynecháme), že náhodná veličina v v tomto případě se také rozděluje podle normálního zákona.

Označme neznámou veličinu M a a na základě dané spolehlivosti vybereme číslo d > 0 tak, aby byla splněna podmínka:

P(- a< d) = (1)

Protože náhodná veličina je rozdělena podle normálního zákona s matematickým očekáváním M = M = a a rozptylem D = D /n = 2 /n, dostáváme:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Zbývá zvolit d takové, aby platila rovnost

Pro kterýkoli z nich můžete použít tabulku k nalezení čísla t takové, že (t)= / 2. Toto číslo t se někdy nazývá kvantil.

Nyní od rovnosti

určíme hodnotu d:

Konečný výsledek získáme předložením vzorce (1) ve tvaru:

Význam posledního vzorce je následující: se spolehlivostí, interval spolehlivosti

pokrývá neznámý parametr a = M populace. Můžete to říct jinak: bodový odhad určuje hodnotu parametru M s přesností d= t / a spolehlivostí.

Úkol. Nechť existuje populace s určitou charakteristikou rozdělená podle normálního zákona s rozptylem rovným 6,25. Byl odebrán vzorek o velikosti n = 27 a byla získána průměrná výběrová hodnota charakteristiky = 12. Najděte interval spolehlivosti pokrývající neznámé matematické očekávání studované charakteristiky obecné populace se spolehlivostí = 0,99.

Řešení. Nejprve pomocí tabulky pro Laplaceovu funkci zjistíme hodnotu t z rovnosti (t) = / 2 = 0,495. Na základě získané hodnoty t = 2,58 určíme přesnost odhadu (resp. poloviční délku intervalu spolehlivosti) d: d = 2,52,58 / 1,24. Odtud získáme požadovaný interval spolehlivosti: (10,76; 13,24).

statistická hypotéza obecná variační

Interval spolehlivosti pro matematické očekávání normálního rozdělení s neznámým rozptylem

Nechť je náhodná veličina rozdělená podle normálního zákona s neznámým matematickým očekáváním M, kterou označíme písmenem a. Udělejme vzorek objemu n. Stanovme průměrný výběr a korigovaný výběrový rozptyl s 2 pomocí známých vzorců.

Náhodná hodnota

rozdělené podle Studentova zákona s n - 1 stupni volnosti.

Úkolem je najít číslo t pro danou spolehlivost a počet stupňů volnosti n - 1 takové, aby rovnost

nebo ekvivalentní rovnost

Zde v závorce je napsána podmínka, že hodnota neznámého parametru a patří do určitého intervalu, kterým je interval spolehlivosti. Jeho meze závisí na spolehlivosti a také na parametrech vzorkování a s.

Abychom určili hodnotu t podle velikosti, transformujeme rovnost (2) do tvaru:

Nyní podle tabulky pro náhodná proměnná t, rozdělené podle Studentova zákona, pomocí pravděpodobnosti 1 - a počtu stupňů volnosti n - 1 zjistíme t. Vzorec (3) dává odpověď na nastolený problém.

Úkol. Při kontrolních zkouškách 20 elektrických lamp průměrné trvání jejich práce byla rovna 2000 hodinám se standardní odchylkou (vypočtenou jako druhá odmocnina korigovaného rozptylu vzorku) rovnou 11 hodinám. Je známo, že provozní doba lampy je normálně rozdělená náhodná veličina. Určete se spolehlivostí 0,95 interval spolehlivosti pro matematické očekávání této náhodné veličiny.

Řešení. Hodnota 1 – v tomto případě se rovná 0,05. Podle Studentovy distribuční tabulky s počtem stupňů volnosti rovným 19 zjistíme: t = 2,093. Vypočítejme nyní přesnost odhadu: 2,093121/ = 56,6. Odtud získáme požadovaný interval spolehlivosti: (1943,4; 2056,6).

Nechť se odebere vzorek z běžné populace podléhající zákonu normální rozdělení XN( m;  ). Tento základní předpoklad matematické statistiky je založen na centrální limitní větě. Nechť je známa obecná směrodatná odchylka  , ale matematické očekávání teoretického rozdělení není známo m(průměrná hodnota ).

V tomto případě vzorový průměr , získaná během experimentu (část 3.4.2), bude také náhodná veličina m;
). Pak „normalizovaná“ odchylka
N(0;1) – je standardní normální náhodná veličina.

Úkolem je najít intervalový odhad pro m. Sestrojme oboustranný interval spolehlivosti pro m aby mu s danou pravděpodobností (spolehlivostí) patřilo skutečné matematické očekávání  .

Nastavte takový interval pro hodnotu
- to znamená nalezení maximální hodnoty této veličiny
a minimální
, což jsou hranice kritické oblasti:
.

Protože tato pravděpodobnost je stejná
, pak kořen této rovnice
lze nalézt pomocí tabulek Laplaceových funkcí (tabulka 3, příloha 1).

Pak s pravděpodobností  lze tvrdit, že náhodná veličina
, to znamená, že požadovaný obecný průměr patří do intervalu
. (3.13)

Velikost
(3.14)

volal přesnost hodnocení.

Číslo
– kvantil normální rozdělení - lze jej nalézt jako argument Laplaceovy funkce (tabulka 3, příloha 1), s přihlédnutím ke vztahu 2Ф( u)=, tj. F( u)=
.

Reverzní, podle zadané hodnoty odchylky  lze zjistit, s jakou pravděpodobností neznámý obecný průměr patří do intervalu
. Chcete-li to provést, musíte počítat

. (3.15)

Nechť je náhodný vzorek extrahován z obecné populace pomocí metody opakovaného výběru. Z rov.
Může být nalezeno minimální objem převzorkování n, nezbytné pro interval spolehlivosti s danou spolehlivostí nepřekročila přednastavenou hodnotu  . Požadovaná velikost vzorku se odhaduje pomocí vzorce:

. (3.16)

Pojďme prozkoumat přesnost odhadu
:

1) Jak se zvětšuje velikost vzorku n velikost  klesá, a tedy přesnost odhadu zvyšuje.

2) C zvýšit spolehlivost posouzení hodnota argumentu se zvyšuje u(protože F(u) monotónně přibývá) a proto zvyšuje  . V tomto případě zvýšení spolehlivosti snižuje přesnost jeho posouzení  .

Hodnocení
(3.17)

volal klasický(Kde t- určitý parametr v závislosti na A n), protože charakterizuje nejčastěji se vyskytující distribuční zákony.

3.5.3 Intervaly spolehlivosti pro odhad matematického očekávání normálního rozdělení s neznámou směrodatnou odchylkou 

Ať je známo, že populace podléhá zákonu normálního rozdělení XN( m; ), kde je hodnota střední kvadratická odchylky neznámý.

Pro konstrukci intervalu spolehlivosti pro odhad obecného průměru se v tomto případě používá statistika
, s distribucí Student s k= n-1 stupeň volnosti. Vyplývá to z toho, že N(0;1) (viz část 3.5.2), a
(viz oddíl 3.5.3) az definice Studentského rozdělení (část 1. oddíl 2.11.2).

Najděte přesnost klasického odhadu Studentova rozdělení: tzn. najdeme t ze vzorce (3.17). Nechť pravděpodobnost splnění nerovnosti
dáno spolehlivostí  :

. (3.18)

Protože TSt( n-1), to je zřejmé t záleží na  A n, tak většinou píšou
.

(3.19)

Kde
– Studentská distribuční funkce s n-1 stupeň volnosti.

Řešení této rovnice pro m, dostaneme interval
který spolehlivě  pokrývá neznámý parametr m.

Velikost t  , n-1, používá se k určení intervalu spolehlivosti náhodné proměnné T(n-1), distribuováno podle Studentova testu s n-1 stupeň volnosti se nazývá Studentův koeficient. Měl by být nalezen pomocí daných hodnot n a  z tabulek „Kritické body studentského rozdělení“. (Tabulka 6, Příloha 1), které představují řešení rovnice (3.19).

V důsledku toho dostaneme následující výraz přesnost interval spolehlivosti pro odhad matematického očekávání (obecný průměr), pokud je rozptyl neznámý:

(3.20)

Existuje tedy obecný vzorec pro konstrukci intervalů spolehlivosti pro matematické očekávání populace:

kde je přesnost intervalu spolehlivosti  v závislosti na známé nebo neznámé disperzi se zjistí podle vzorců, respektive 3.16. a 3.20.

Problém 10. Bylo provedeno několik testů, jejichž výsledky jsou uvedeny v tabulce:

X i

Je známo, že dodržují zákon normálního rozdělení s
. Najít hodnocení m* pro matematické očekávání m, vytvořte pro něj 90% interval spolehlivosti.

Řešení:

Tak, m(2.53;5.47).

Problém 11. Hloubka moře se měří zařízením, jehož systematická chyba je 0, a náhodné chyby jsou rozděleny podle normálního zákona se standardní odchylkou  = 15m. Kolik nezávislých měření se musí provést, aby se určila hloubka s chybami maximálně 5 m na hladině spolehlivosti 90 %?

Řešení:

Podle podmínek problému, který máme XN( m;  ), kde  = 15m,  = 5 m,  = 0,9. Najdeme hlasitost n.

1) Při dané spolehlivosti = 0,9 najdeme z tabulek 3 (příloha 1) argument Laplaceovy funkce u  = 1.65.

2) Znalost specifikované přesnosti odhadu  =u  =5, pojďme najít
. My máme

. Proto počet testů n25.

Problém 12. Vzorkování teploty t za prvních 6 lednových dnů je uvedeno v tabulce:

Najděte interval spolehlivosti pro matematické očekávání m populace s pravděpodobností spolehlivosti
a hodnotit generála standardní odchylka s.

Řešení:

A
.

2) Nestranný odhad najděte jej pomocí vzorce
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) Protože obecný rozptyl je neznámý, ale je znám jeho odhad, pak odhadnout matematické očekávání m používáme Studentovo rozdělení (tabulka 6, příloha 1) a vzorec (3.20).

Protože n 1 =n 2 = 6, pak ,
, s 1 = 6,85 máme:
, tedy -29,2-4,1<m 1 < -29.2+4.1.

Proto -33.3<m 1 <-25.1.

Podobně máme,
, s 2 = 4,8, takže

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33,3;-25,1) a m 2 (-34.9;-29.1).

V aplikovaných vědách, např. ve stavebních oborech, se k posouzení přesnosti objektů používají tabulky intervalů spolehlivosti, které jsou uvedeny v příslušné referenční literatuře.

Nechť CB X tvoří obecnou populaci a β je neznámý parametr CB X. Pokud je statistický odhad v * konzistentní, pak čím větší je velikost vzorku, tím přesněji získáme hodnotu β. V praxi však nemáme příliš velké vzorky, takže nemůžeme zaručit větší přesnost.

Nechť b* je statistický odhad pro c. Hodnota |in* - in| se nazývá přesnost odhadu. Je jasné, že přesnost je CB, protože β* je náhodná veličina. Upřesněme malé kladné číslo 8 a požadujeme přesnost odhadu |в* - в| bylo méně než 8, tj. | v* - v |< 8.

Spolehlivost g neboli spolehlivost pravděpodobnosti odhadu v v * je pravděpodobnost g, se kterou nerovnost |in * - in|< 8, т. е.

Spolehlivost g je obvykle specifikována předem a g je považováno za číslo blízké 1 (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Protože nerovnost |v * - v|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Interval (v * - 8, v * + 5) se nazývá interval spolehlivosti, tj. interval spolehlivosti pokrývá neznámý parametr s pravděpodobností y. Všimněte si, že konce intervalu spolehlivosti jsou náhodné a liší se vzorek od vzorku, takže je přesnější říci, že interval (v * - 8, v * + 8) pokrývá neznámý parametr v, spíše než v patří k tomuto interval.

Nechť je populace definována náhodnou veličinou X, rozdělenou podle normálního zákona a je známa směrodatná odchylka a. Neznámá je matematické očekávání a = M (X). Je potřeba najít interval spolehlivosti pro a pro danou spolehlivost y.

Ukázkový průměr

je statistický odhad pro xr = a.

Teorém. Náhodná veličina xB má normální rozdělení, pokud X má normální rozdělení a M (XB) = a,

A (XB) = a, kde a = y/B (X), a = M (X). l/i

Interval spolehlivosti pro a má tvar:

Najdeme 8.

Pomocí poměru

kde Ф(r) je Laplaceova funkce, máme:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

v tabulce hodnot Laplaceovy funkce najdeme hodnotu t.

Po určení

T, dostáváme F(t) = g Protože g je dáno, pak by

Z rovnosti zjistíme, že odhad je přesný.

To znamená, že interval spolehlivosti pro a má tvar:

Daný vzorek z populace X

ng	Na"	X2	Xm
n.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, pak interval spolehlivosti bude:

Příklad 6.35. Najděte interval spolehlivosti pro odhad matematického očekávání a normálního rozdělení se spolehlivostí 0,95, když znáte průměr vzorku Xb = 10,43, velikost vzorku n = 100 a směrodatnou odchylku s = 5.

Použijme vzorec

Nechť je náhodná veličina X populace normálně rozdělena, vezmeme-li v úvahu, že rozptyl a směrodatná odchylka s tohoto rozdělení jsou známé. Je nutné odhadnout neznámé matematické očekávání pomocí výběrového průměru. V tomto případě je úkolem najít interval spolehlivosti pro matematické očekávání se spolehlivostí b. Pokud zadáte hodnotu pravděpodobnosti spolehlivosti (reliability) b, pak pravděpodobnost pádu do intervalu pro neznámé matematické očekávání zjistíte pomocí vzorce (6.9a):

kde Ф(t) je Laplaceova funkce (5.17a).

V důsledku toho můžeme formulovat algoritmus pro nalezení hranic intervalu spolehlivosti pro matematické očekávání, pokud je znám rozptyl D = s 2:

1. Nastavte hodnotu spolehlivosti – b.
2. Z (6.14) vyjádřete Ф(t) = 0,5× b. Vyberte hodnotu t z tabulky pro Laplaceovu funkci na základě hodnoty Ф(t) (viz Příloha 1).
3. Odchylku e vypočítejte pomocí vzorce (6.10).
4. Zapište pomocí vzorce (6.12) interval spolehlivosti tak, aby s pravděpodobností b platila nerovnost:

.

Příklad 5.

Náhodná veličina X má normální rozdělení. Najděte intervaly spolehlivosti pro odhad se spolehlivostí b = 0,96 neznámého matematického očekávání a, je-li dáno:

1) obecná směrodatná odchylka s = 5;

2) průměr vzorku;

3) velikost vzorku n = 49.

Ve vzorci (6.15) intervalového odhadu matematického očekávání A se spolehlivostí b jsou známy všechny veličiny kromě t. Hodnotu t lze zjistit pomocí (6.14): b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.

Pomocí tabulky v Příloze 1 pro Laplaceovu funkci Ф(t) = 0,48 najděte odpovídající hodnotu t = 2,06. Proto, . Dosazením vypočítané hodnoty e do vzorce (6.12) získáte interval spolehlivosti: 30-1,47< a < 30+1,47.

Požadovaný interval spolehlivosti pro odhad se spolehlivostí b = 0,96 neznámého matematického očekávání je roven: 28,53< a < 31,47.