Změna funkce v určitém bodě je definována jako limit přírůstku funkce k přírůstku argumentu, který má tendenci k nule. K jeho nalezení použijte tabulku derivací. Například derivace funkce y = x3 bude rovna y’ = x2.

Srovnejte tuto derivaci s nulou (in v tomto případě x2=0).

Najděte hodnotu dané proměnné. To budou hodnoty, při kterých bude daná derivace rovna 0. K tomu dosaďte do výrazu místo x libovolná čísla, při kterých bude celý výraz nula. Například:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Vyneste získané hodnoty na souřadnicovou čáru a vypočítejte znaménko derivace pro každou ze získaných hodnot. Na souřadnicové čáře jsou vyznačeny body, které jsou brány jako počátek. Chcete-li vypočítat hodnotu v intervalech, nahraďte libovolné hodnoty, které odpovídají kritériím. Například pro předchozí funkci před intervalem -1 můžete vybrat hodnotu -2. Pro hodnoty od -1 do 1 můžete vybrat 0 a pro hodnoty větší než 1 vybrat 2. Dosaďte tato čísla do derivace a zjistěte znaménko derivace. V tomto případě bude derivace s x = -2 rovna -0,24, tzn. záporné a na tomto intervalu bude znaménko mínus. Pokud x=0, bude hodnota rovna 2 a na tento interval se umístí znaménko. Je-li x=1, bude derivace také rovna -0,24 a dá se mínus.

Pokud při průchodu bodem na souřadnicové čáře derivace změní své znaménko z mínus na plus, pak se jedná o minimální bod, a pokud z plus do mínus, pak se jedná o maximální bod.

Video k tématu

Užitečná rada

Chcete-li najít derivát, existují online služby, které počítají požadované hodnoty a zobrazit výsledek. Na takových stránkách můžete najít deriváty až 5. řádu.

Prameny:

• Jedna ze služeb pro výpočet derivátů
• maximální bod funkce

Maximální body funkce spolu s minimálními body se nazývají extrémní body. V těchto bodech funkce mění své chování. Extrémy se určují v omezených číselných intervalech a jsou vždy lokální.

Instrukce

Proces hledání lokálních extrémů se nazývá funkce a provádí se analýzou první a druhé derivace funkce. Před zahájením studie se ujistěte, že zadaný rozsah hodnot argumentů patří k platným hodnotám. Například pro funkci F=1/x není argument x=0 platný. Nebo pro funkci Y=tg(x) argument nemůže mít hodnotu x=90°.

Ujistěte se, že funkce Y je diferencovatelná v celém daném intervalu. Najděte první derivaci Y." Je zřejmé, že před dosažením bodu lokálního maxima funkce roste a při průchodu maximem se funkce stává klesající. První derivace ve svém fyzický význam charakterizuje rychlost změny funkce. Zatímco funkce roste, rychlost tohoto procesu je pozitivní. Při průchodu lokálním maximem se funkce začíná snižovat a rychlost změny funkce se stává zápornou. K přechodu rychlosti změny funkce přes nulu dochází v bodě lokálního maxima.

Říká se, že funkce má ve vnitřním bodě
kraj D místní maximum(minimální), pokud existuje takové okolí bodu
, za každý bod
který drží nerovnost

Má-li funkce v bodě
lokální maximum nebo lokální minimum, pak říkáme, že v tomto bodě má lokální extrém (nebo prostě extrém).

Teorém (nezbytnou podmínkou pro existenci extrému). Pokud diferencovatelná funkce dosáhne extrému v bodě
, pak každá parciální derivace prvního řádu funkce v tomto okamžiku se stává nulou.

Body, ve kterých všechny parciální derivace prvního řádu mizí, se nazývají stacionární body funkce
. Souřadnice těchto bodů lze zjistit řešením soustavy o rovnic

.

Nezbytnou podmínku pro existenci extrému v případě diferencovatelné funkce lze stručně formulovat takto:

Existují případy, kdy v jednotlivých bodech mají některé parciální derivace nekonečné hodnoty nebo neexistují (zatímco zbytek je roven nule). Takové body se nazývají kritické body funkce. Tyto body by také měly být považovány za „podezřelé“ pro extrém, stejně jako ty stacionární.

V případě funkce dvou proměnných nutná podmínka extremum, totiž rovnost parciálních derivací (diferenciálů) k nule v extremním bodě, má geometrickou interpretaci: tečnou rovinu k povrchu
v extrémním bodě musí být rovnoběžné s rovinou
.

20. Dostatečné podmínky pro existenci extrému

Splnění nezbytné podmínky pro existenci extrému v určitém okamžiku vůbec nezaručuje přítomnost extrému tam. Jako příklad si můžeme vzít všude diferencovatelnou funkci
. Obě jeho parciální derivace i funkce samotná v bodě mizí
. V každém sousedství tohoto bodu jsou však obě pozitivní (vel
) a negativní (menší
) hodnoty této funkce. Proto v tomto bodě z definice není pozorován žádný extrém. Proto je nutné znát dostatečné podmínky, za kterých je bod podezřelý z extrému extrémním bodem zkoumané funkce.

Uvažujme případ funkce dvou proměnných. Předpokládejme, že funkce
definovaný, spojitý a má spojité parciální derivace až do druhého řádu včetně v okolí nějakého bodu
, což je stacionární bod funkce
, tedy splňuje podmínky

,
.

Představme si následující zápis:

Teorém (dostatečné podmínky pro existenci extrému). Nechte funkci
splňuje výše uvedené podmínky, totiž: je diferencovatelný v nějakém okolí stacionárního bodu
a je dvakrát diferencovatelný v bodě samotném
. Pak kdyby

Li
pak funkce
na místě
dosáhne

místní maximum na
A

místní minimum na
.

Obecně pro funkci
postačující podmínkou pro existenci v bodě
místníminimální(maximum) je pozitivní(negativní) jistota druhého diferenciálu.

Jinými slovy, následující tvrzení je pravdivé.

Teorém . Pokud v bodě
pro funkci

pro všechny, které se zároveň nerovnají nule
, pak v tomto okamžiku funkce má minimální(podobný maximum, Pokud
).

Příklad 18.Najděte lokální extrémy funkce

Řešení. Pojďme najít parciální derivace funkce a přirovnat je k nule:

Při řešení tohoto systému najdeme dva možné extrémy:

Pojďme najít parciální derivace druhého řádu pro tuto funkci:

V prvním stacionárním bodě tedy a
Proto je v tomto bodě nutný další výzkum. Hodnota funkce
v tomto bodě je nula:
Dále,

na

A

na

Proto v libovolném okolí bodu
funkce
nabývá hodnot tak velkých
a menší
, a tedy v bodě
funkce
, podle definice nemá žádný lokální extrém.

Ve druhém stacionárním bodě



tedy tedy od
pak v bodě
funkce má lokální maximum.

>>Extrémní

Extrém funkce

Definice extrému

Funkce nazývá se y = f(x). vzrůstající (klesající) v určitém intervalu, pokud pro x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Jestliže diferencovatelná funkce y = f (x) roste (klesá) na intervalu, pak její derivace na tomto intervalu f " (X)> 0

(F"(X)< 0).

Tečka X Ó volal místní maximální bod (minimální) funkce f (x), pokud existuje okolí bodu x o, pro všechny body, ve kterých platí nerovnost f (x).≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Jsou volány maximální a minimální body extrémní body a hodnoty funkce v těchto bodech jsou její extrémy.

Extrémní body

Nutné podmínky pro extrém . Pokud bod X Ó je krajní bod funkce f (x), pak buď f " (x o) = 0 nebo f(x o) neexistuje. Takové body se nazývají kritický, a samotná funkce je definována v kritickém bodě. Extrémy funkce je třeba hledat mezi jejími kritickými body.

První dostatečný stav. Nechat X Ó - kritický bod. Pokud f" (x ) při průjezdu bodem X Ó změní znaménko plus na mínus a poté na bod x o funkce má maximum, jinak má minimum. Pokud při průchodu kritickým bodem derivace nezmění znaménko, pak v bodě X Ó neexistuje žádný extrém.

Druhá postačující podmínka. Nechť má funkce f(x).
F" (x ) v blízkosti bodu X Ó a druhá derivace v samotném bodě x o. Pokud f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o je lokální minimální (maximální) bod funkce f (x). Je-li =0, musíte buď použít první dostatečnou podmínku, nebo zahrnout vyšší.

Na segmentu může funkce y = f (x) dosáhnout své minimální nebo maximální hodnoty buď v kritických bodech nebo na koncích segmentu.

Příklad 3.22.

Řešení. Protože F " (

Problémy hledání extrému funkce

Příklad 3.23. A

Řešení. X A y y
0 ≤ X≤
> 0 a kdy x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcí kv. Jednotky).

Příklad 3.24. p ≈

Řešení. p p
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Příklad 3.22.Najděte extrémy funkce f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Řešení. Protože F " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), pak kritické body funkce x 1 = 2 a x 2 = 3. Extrémy mohou být pouze v těchto bodech. Protože při průchodu bodem x 1 = 2 derivace změní znaménko z plus na mínus, tak v tomto bodě má funkce maximum. Při průchodu bodem x 2 = 3 derivace změní znaménko z mínus na plus, takže v bodě x 2 = 3 má funkce minimum. Po výpočtu funkčních hodnot v bodech
x 1 = 2 a x 2 = 3, najdeme extrémy funkce: maximum f (2) = 14 a minimum f (3) = 13.

Příklad 3.23.U kamenné zdi je nutné vybudovat obdélníkovou plochu tak, aby byla ze tří stran oplocena drátěným pletivem a čtvrtá strana přiléhala ke zdi. Pro toto existuje A lineární metry pletiva. Při jakém poměru stran bude mít web největší plochu?

Řešení.Označme strany plošiny pomocí X A y. Plocha webu je S = xy. Nechat y- toto je délka strany přiléhající ke stěně. Pak podle podmínky musí být splněna rovnost 2x + y = a. Proto y = a - 2x a S = x (a - 2x), kde
0 ≤ X≤ a /2 (délka a šířka oblasti nemůže být záporná). S " = a - 4x, a - 4x = 0 při x = a/4, odkud
y = a - 2 x a/4 = a/2. Protože x = a /4 je jediný kritický bod, zkontrolujme, zda se při průchodu tímto bodem mění znaménko derivace. Při x a /4 S "> 0 a kdy x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funkcí S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. Jednotky). Protože S svítí nepřetržitě a jeho hodnoty na koncích S(0) a S(a /2) jsou rovné nule, pak bude nalezená hodnota nejvyšší hodnotu funkcí. Nejpříznivější poměr stran místa za daných podmínek problému je tedy y = 2x.

Příklad 3.24.Požaduje se vyrobit uzavřenou válcovou nádrž o objemu V=16 p ≈ 50 m3. Jaké by měly být rozměry nádrže (poloměr R a výška H), aby na její výrobu bylo spotřebováno co nejméně materiálu?

Řešení.Celková plocha válce je S = 2 p R(R+H). Známe objem válce V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Takže S(R) = 2 p (R2+16/R). Najdeme derivaci této funkce:
S"(R) = 2 p (2R-16/R2) = 4 p (R-8/R2). S" (R) = 0 při R3 = 8, proto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Říká se, že má $f$ místní maximum v bodě $x_(0) \in E$, pokud existuje okolí $U$ bodu $x_(0)$ takové, že pro všechny $x \in U$ je nerovnost $f\left(x\right ) \leqslant f je splněno \left(x_(0)\right)$.

Místní maximum se nazývá přísný , pokud lze okolí $U$ vybrat tak, že pro všechny $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ je $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definice
Nechť $f$ je reálná funkce na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Říká se, že má $f$ místní minimum v bodě $x_(0) \in E$, pokud existuje okolí $U$ bodu $x_(0)$ takové, že pro všechny $x \in U$ je nerovnost $f\left(x\right ) \geqslant f je splněno \left(x_(0)\right)$.

Místní minimum se nazývá přísné, pokud lze vybrat okolí $U$ tak, že pro všechny $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ existuje $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\vpravo)$.

Lokální extrém spojuje pojmy lokální minimum a lokální maximum.

Věta (nutná podmínka pro extrém diferencovatelné funkce)
Nechť $f$ je reálná funkce na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Pokud má v bodě $x_(0) \in E$ funkce $f$ v tomto bodě lokální extrém, pak $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Rozdíl rovný nule je ekvivalentní skutečnosti, že všechny jsou rovny nule, tzn. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

V jednorozměrném případě je to – . Označme $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kde $h$ je libovolný vektor. Funkce $\phi$ je definována pro hodnoty $t$, které jsou dostatečně malé v absolutní hodnotě. Navíc je diferencovatelný vzhledem k , a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Nechť $f$ má lokální maximum v bodě x $0$. To znamená, že funkce $\phi$ při $t = 0$ má lokální maximum a podle Fermatovy věty $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Takže jsme dostali, že $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkce $f$ v bodě $x_(0)$ je rovna nule na libovolném vektoru $h$.

Definice
Body, ve kterých je diferenciál nulový, tzn. ty, ve kterých jsou všechny parciální derivace rovny nule, se nazývají stacionární. Kritické body funkce $f$ jsou ty body, ve kterých $f$ není diferencovatelná nebo se rovná nule. Pokud je bod stacionární, pak z toho nevyplývá, že funkce má v tomto bodě extrém.

Příklad 1
Nechť $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Potom $\displaystyle\frac(\částečné f)(\částečné x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\částečné f)(\částečné y) = 3 \cdot y^(2 )$, takže $\left(0,0\right)$ je stacionární bod, ale funkce v tomto bodě nemá žádný extrém. Ve skutečnosti $f \left(0,0\right) = 0$, ale je snadné vidět, že v jakémkoli okolí bodu $\left(0,0\right)$ funkce nabývá kladných i záporných hodnot.

Příklad 2
Funkce $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ má ve svém počátku stacionární bod, ale je jasné, že v tomto bodě neexistuje žádný extrém.

Věta (dostatečná podmínka pro extrém).
Nechť je funkce $f$ dvakrát spojitě diferencovatelná na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Nechť $x_(0) \in E$ je stacionární bod a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\částečné^(2) f)(\částečné x_(i) \částečné x_(j)) \left(x_(0)\vpravo)h^(i)h^(j).$ $ Pak

1. pokud $Q_(x_(0))$ – , pak funkce $f$ v bodě $x_(0)$ má lokální extrém, konkrétně minimum, pokud je tvar kladně definitní, a maximum, pokud je tvar negativní určitý;
2. pokud kvadratický tvar $Q_(x_(0))$ není definován, pak funkce $f$ v bodě $x_(0)$ nemá extrém.

Použijme rozšíření podle Taylorova vzorce (12,7 s. 292). Vzhledem k tomu, že parciální derivace prvního řádu v bodě $x_(0)$ jsou rovné nule, dostaneme $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ vpravo) = \ frac(1)(2) \součet_(i=1)^n \součet_(j=1)^n \frac(\částečný^(2) f)(\částečný x_(i) \částečný x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pro $h \rightarrow 0$, pak pravá část bude kladné pro jakýkoli vektor $h$ dostatečně malé délky.
Došli jsme tedy k závěru, že v určitém okolí bodu $x_(0)$ platí nerovnost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, pokud pouze $ x \neq x_ (0)$ (vložíme $x=x_(0)+h$\vpravo). To znamená, že v bodě $x_(0)$ má funkce striktní lokální minimum, a tím je dokázána první část naší věty.
Předpokládejme nyní, že $Q_(x_(0))$ – neurčitá forma. Pak existují vektory $h_(1)$, $h_(2)$ takové, že $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Pak dostaneme $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ vlevo[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pro dostatečně malé $t>0$ je pravá ruka strana je pozitivní. To znamená, že v libovolném okolí bodu $x_(0)$ funkce $f$ nabývá hodnot $f \left(x\right)$ větší než $f \left(x_(0)\right)$.
Podobně zjistíme, že v libovolném okolí bodu $x_(0)$ nabývá funkce $f$ hodnoty menší než $f \left(x_(0)\right)$. To spolu s předchozím znamená, že v bodě $x_(0)$ funkce $f$ nemá extrém.

Uvažujme speciální případ této věty pro funkci $f \left(x,y\right)$ dvou proměnných definovaných v určitém okolí bodu $\left(x_(0),y_(0)\right)$ a majících spojité částečné deriváty prvního v tomto sousedství a druhého řádu. Předpokládejme, že $\left(x_(0),y_(0)\right)$ je stacionární bod a označte $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(x_( 0) ), y_(0)\vpravo), a_(22)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\vpravo ) .$$ Pak má předchozí věta následující tvar.

Teorém
Nechť $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pak:

1. pokud $\Delta>0$, pak má funkce $f$ lokální extrém v bodě $\left(x_(0),y_(0)\right)$, konkrétně minimum, pokud $a_(11)> 0 $ a maximum, pokud $a_(11)<0$;
2. pokud $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Příklady řešení problémů

Algoritmus pro nalezení extrému funkce mnoha proměnných:

1. Hledání stacionárních bodů;
2. Najděte diferenciál 2. řádu ve všech stacionárních bodech
3. Pomocí postačující podmínky pro extrém funkce mnoha proměnných uvažujeme diferenciál 2. řádu v každém stacionárním bodě

1. Prozkoumejte funkci pro extrém $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Řešení

   Najdeme parciální derivace 1. řádu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Složíme a vyřešíme systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\částečné f)(\částečné y)= 0\konec (případy) \Šipka doprava \začátek(případy)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Z 2. rovnice vyjádříme $x=4 \cdot y^(2)$ - dosadíme do 1. rovnice: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Výsledkem jsou 2 stacionární body:
   1) $y=0 \Šipka doprava x = 0, M_(1) = \levá(0, 0\vpravo)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Šipka doprava y^(3)=\frac(1)(8) \Šipka doprava y = \frac(1)(2) \Šipka doprava x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\vpravo)$
   Pojďme zkontrolovat, zda je splněna dostatečná podmínka pro extrém:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y)=-6; \frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pro bod $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(0,0\vpravo)=-6; C_(1)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(0,0\vpravo)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Pro bod $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(1,\frac(1)(2)\vpravo)=-6; C_(2)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\vpravo)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, což znamená, že v bodě $M_(2)$ je extrém, a protože $A_(2)> 0 $, pak je to minimum.
   Odpověď: Bod $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimální bod funkce $f$.
   

2. Prozkoumejte funkci pro extrém $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Řešení

   Najdeme stacionární body: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
   Pojďme složit a vyřešit systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Šipka vpravo \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(case) y = 2\\y + x = 1\konec (případy) \Šipka doprava x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionární bod.
   Zkontrolujeme, zda je splněna dostatečná podmínka pro extrém: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\částečný^(2) f)(\částečný x \částečný y) \levý(-1,2\vpravo)=2; C=\frac(\částečný^(2) f)(\částečný y^(2)) \levý(-1,2\vpravo)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odpověď: neexistují žádné extrémy.
   

Časový limit: 0

Navigace (pouze čísla úloh)

0 ze 4 úkolů dokončeno

Informace

Udělejte si tento kvíz a otestujte své znalosti o tématu, které jste právě četli: Místní extrémy funkcí více proměnných.

Test jste již absolvovali. Nemůžeš to znovu spustit.

Testovací načítání...

Pro zahájení testu se musíte přihlásit nebo zaregistrovat.

Chcete-li zahájit tento test, musíte provést následující testy:

Výsledek

Správné odpovědi: 0 ze 4

Tvůj čas:

Čas vypršel

Získali jste 0 z 0 bodů (0)

Váš výsledek byl zaznamenán do výsledkové tabulky

1. S odpovědí
2. Se značkou pohledu

Úkol 1 ze 4

1 .

Počet bodů: 1

Prozkoumejte funkci $f$ pro extrémy: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Že jo


Špatně


1. Úkol 2 ze 4

   2 .

   Počet bodů: 1

   Má funkce $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ extrém

Definice: Bod x0 se nazývá bod lokálního maxima (nebo minima) funkce, pokud v nějakém okolí bodu x0 funkce nabývá největší (nebo nejmenší) hodnotu, tzn. pro všechna x z nějakého okolí bodu x0 je splněna podmínka f(x) f(x0) (nebo f(x) f(x0)).

Body lokálního maxima nebo minima jsou spojeny společným názvem - body lokálního extrému funkce.

Všimněte si, že v bodech lokálního extrému funkce dosáhne své maximální nebo minimální hodnoty pouze v určité místní oblasti. Mohou nastat případy, kdy podle hodnoty уmaxуmin.

Nezbytný znak existence lokálního extrému funkce

Teorém . Pokud má spojitá funkce y = f(x) lokální extrém v bodě x0, pak je v tomto bodě první derivace buď nulová, nebo neexistuje, tzn. v kritických bodech prvního druhu dochází k lokálnímu extrému.

V bodech lokálních extrémů je buď tečna rovnoběžná s osou 0x, nebo jsou tečny dvě (viz obrázek). Všimněte si, že kritické body jsou nezbytnou, ale ne postačující podmínkou pro lokální extrém. Lokální extrém se vyskytuje pouze v kritických bodech prvního druhu, ale ne ve všech kritických bodech se lokální extrém vyskytuje.

Například: kubická parabola y = x3 má kritický bod x0 = 0, ve kterém derivace y/(0)=0, ale kritický bod x0=0 není extrémní bod, ale inflexní bod v něm (viz níže).

Dostatečný znak existence lokálního extrému funkce

Teorém . Pokud, když argument prochází kritickým bodem prvního druhu zleva doprava, první derivace y / (x)

změní znaménko z „+“ na „-“, pak spojitá funkce y(x) v tomto kritickém bodě má lokální maximum;

změní znaménko z „-“ na „+“, pak spojitá funkce y(x) má v tomto kritickém bodě lokální minimum

nezmění znaménko, pak v tomto kritickém bodě neexistuje lokální extrém, je zde inflexní bod.

Pro lokální maximum je oblast rostoucí funkce (y/0) nahrazena oblastí klesající funkce (y/0). Pro lokální minimum je oblast klesající funkce (y/0) nahrazena oblastí rostoucí funkce (y/0).

Příklad: Prozkoumejte funkci y = x3 + 9x2 + 15x - 9 na monotónnost, extrém a sestrojte graf funkce.

Pojďme najít kritické body prvního druhu tak, že definujeme derivaci (y/) a přirovnáme ji k nule: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Pojďme vyřešit kvadratický trinom pomocí diskriminantu:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Číselnou osu rozdělíme na 3 oblasti s kritickými body a určíme v nich znaménka derivace (y/). Pomocí těchto znaků nalezneme oblasti monotónnosti (zvětšování a snižování) funkcí a změnou znaků určíme body lokálního extrému (maxima a minima).

Výsledky výzkumu uvádíme ve formě tabulky, ze které lze vyvodit následující závěry:

• 1. Na intervalu y /(-10) 0 funkce roste monotónně (znaménko derivace y bylo odhadnuto pomocí řídicího bodu x = -10 uvažovaného v tomto intervalu);
• 2. Na intervalu (-5 ; -1) y /(-2) 0 funkce monotónně klesá (znaménko derivace y bylo odhadnuto pomocí kontrolního bodu x = -2, uvažovaného v tomto intervalu);
• 3. Na intervalu y /(0) 0 funkce monotónně roste (znaménko derivace y bylo odhadnuto pomocí řídicího bodu x = 0, uvažovaného v tomto intervalu);
• 4. Při průchodu kritickým bodem x1k = -5 derivace změní znaménko z „+“ na „-“, proto je tento bod lokálním maximálním bodem
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225-75-9=16);
• 5. Při průchodu kritickým bodem x2k = -1 derivace změní znaménko z „-“ na „+“, proto je tento bod lokálním minimálním bodem
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x-5 (-5; -1)-1

3) Vytvoříme graf na základě výsledků studie pomocí dodatečných výpočtů funkčních hodnot v kontrolních bodech:

sestrojte pravoúhlý souřadnicový systém Oxy;

Souřadnicemi zobrazujeme body maxima (-5; 16) a minima (-1;-16);

pro objasnění grafu vypočítáme hodnotu funkce v kontrolních bodech, vybereme je vlevo a vpravo od maximálních a minimálních bodů a uvnitř průměrného intervalu, například: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) a (0;-9) - vypočítané kontrolní body, které vyneseme pro konstrukci grafu;

Graf zobrazujeme ve formě křivky konvexní nahoru v maximálním bodě a konvexní dolů v minimálním bodě a procházející vypočtenými kontrolními body.