Metody nejprudší sestup a sestup podle souřadnic i pro kvadratická funkce vyžadovat nekonečné číslo iterací. Je však možné sestrojit takové směry sestupu, že pro kvadratickou funkci

• (3.12)
• (kde r je n-rozměrný vektor) se symetrickou kladně definitní maticí A bude sestupný proces konvergovat přesně k minimu v konečném počtu kroků.

Pozitivně definitní matice nám umožňuje zavést normu vektoru takto:

Definice (3.13) znamená, že skalární součin dvou vektorů x a y nyní znamená veličinu (x, Ау). Vektory ortogonální ve smyslu tohoto bodového součinu

(x, Ау) = 0 (3,14)

se nazývají konjugované (vzhledem k dané matici A).

Na základě toho velká skupina metody: sdružené gradienty, sdružené směry, paralelní tečny a další.

Pro kvadratickou funkci se používají se stejným úspěchem. Metoda konjugovaného směru, ve které jsou detaily algoritmu pečlivě vybírány, nejlépe zobecňuje na libovolné funkce.

Podívejme se nejprve, jak je tato metoda aplikována na kvadratickou formu (3.12). K tomu potřebujeme některé vlastnosti konjugovaných vektorů.

Nechť existuje nějaký systém párově sdružených vektorů x i. Každý z těchto vektorů normalizujeme ve smyslu normy (3.14), pak vztahy mezi nimi nabývají tvaru

Dokažme, že vzájemně konjugované vektory jsou lineárně nezávislé. Od rovnosti

což je v rozporu s pozitivní určitostí matrice. Tento rozpor dokazuje naše tvrzení. To znamená, že systém n-konjugovaných vektorů je základem v n-rozměrném prostoru. Pro danou matici existuje nekonečný počet bází sestávajících ze vzájemně konjugovaných vektorů.

Pojďme najít nějakou konjugovanou bázi x i, 1 palec. Zvolme libovolný bod r 0 . Jakýkoli pohyb z tohoto bodu lze rozšířit na konjugovanou bázi

Nahrazení tohoto výrazu za pravá strana vzorec (3.12), převedeme jej s přihlédnutím ke konjugaci báze (3.15) do následující podoby:

Poslední součet se skládá z členů, z nichž každý odpovídá pouze jedné složce součtu (3.16). To znamená, že pohyb podél jednoho z konjugovaných směrů x i změní pouze jeden člen součtu (3.17), aniž by ovlivnil zbytek.

Z bodu r 0 provádíme střídavé sestupy na minimum podél každého z konjugovaných směrů x i. Každý sestup minimalizuje svůj člen v součtu (3.17), takže minima kvadratické funkce je přesně dosaženo po provedení jednoho cyklu sestupů, tedy v konečném počtu kroků.

Konjugovanou bázi lze konstruovat pomocí metody rovnoběžných tečných rovin.

Nechť je určitá přímka rovnoběžná s vektorem x a nechť kvadratická funkce na této přímce dosáhne své minimální hodnoty v bodě r 0 . Dosadíme rovnici této přímky r = r 0 + bx do výrazu (3.12) a požadujme, aby byla splněna podmínka pro minimum funkce

c(b) = Ф(r 0) + b 2 + b (x, 2Аr 0 + b),

a vložte (dts/db) b-0 = 0. To znamená rovnici, která je splněna minimálním bodem:

(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3,18)

Nechť na nějaké další přímce, rovnoběžné s první, má funkce minimální hodnotu v bodě r 1, pak podobně zjistíme (x, 2Аr 1 + b) = 0. Odečtením této rovnosti od (3.18) dostaneme;

(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3,19)

V důsledku toho je směr spojující minimální body na dvou rovnoběžných čarách sdružen se směrem těchto čar.

Vždy je tedy možné zkonstruovat vektorový konjugát s libovolným daným vektorem x. K tomu stačí nakreslit dvě přímky rovnoběžné s x a na každé přímce najít minimum kvadratického tvaru (3.12). Vektor r 1 r 0 spojující tato minima je konjugován s x. Všimněte si, že přímka se dotýká úrovňové čáry v bodě, kde funkce na této přímce nabývá minimální hodnoty; S tím souvisí název metody.

Nechť existují dvě rovnoběžné m-rozměrné roviny generované systémem konjugovaných vektorů x i, 1 imn. Nechť kvadratická funkce dosáhne své minimální hodnoty v těchto rovinách v bodech r 0 resp. r 1. Pomocí podobné úvahy lze dokázat, že vektor r 1 r 0 spojující minimální body je konjugovaný se všemi vektory x i. Pokud je tedy dán neúplný systém konjugovaných vektorů x i, pak pomocí této metody je vždy možné zkonstruovat vektor r 1 r 0 konjugovaný ke všem vektorům tohoto systému.

Uvažujme jeden cyklus procesu konstrukce konjugované báze. Nechť je již vytvořena báze, ve které je posledních m vektorů vzájemně konjugováno a první n-m vektory nejsou konjugovány jako poslední. Najděte minimum kvadratické funkce (3.12) v nějaké m-rozměrné rovině generované posledními m vektory báze. Protože jsou tyto vektory vzájemně konjugované, stačí k tomu libovolně vybrat bod r 0 a provádět z něj střídavě sestup v každém z těchto směrů (na minimum). Označme minimální bod v této rovině r 1 .

Nyní z bodu r 1 provedeme střídavý sestup podél prvních n - m základních vektorů. Tento sestup vynese trajektorii z první roviny a přivede ji do určitého bodu r 2 . Z bodu r 2 opět provedeme sestup po posledních m směrech, který povede do bodu r 3 . Tento sestup znamená přesné nalezení minima ve druhé rovině rovnoběžné s první rovinou. V důsledku toho je směr r 3 - r 1 konjugován k posledním m vektorům báze.

Pokud je jeden z nekonjugovaných směrů v bázi nahrazen směrem r 3 - r 1, pak v nové bázi již bude směr m + 1 vzájemně konjugovaný.

Začněme počítat cykly z libovolného základu; pro to můžeme předpokládat, že m=1. Popsaný proces v jednom cyklu zvyšuje počet konjugovaných vektorů v bázi o jeden. To znamená, že v n - 1 cyklu se všechny základní vektory stanou konjugovanými a další cyklus povede trajektorii k minimálnímu bodu kvadratické funkce (3.12).

Ačkoli je koncept konjugované báze definován pouze pro kvadratickou funkci, výše popsaný proces je strukturován tak, že jej lze formálně aplikovat na libovolnou funkci. Samozřejmě je v tomto případě nutné najít minimum ve směru pomocí metody paraboly, bez použití kdekoli vzorců spojených s konkrétním typem kvadratické funkce (3.12).

V malém okolí minima je přírůstek dostatečně hladké funkce obvykle reprezentován ve formě symetrické kladně definitní kvadratické formy typu (3.2). Pokud by tato reprezentace byla přesná, pak by metoda konjugovaného směru konvergovala v konečném počtu kroků. Ale reprezentace je přibližná, takže počet kroků bude nekonečný; ale konvergence této metody blízko minima bude kvadratická.

Díky kvadratické konvergenci umožňuje metoda konjugovaného směru najít minimum s vysokou přesností. Metody s lineární konvergencí obvykle určují extrémní hodnoty souřadnic méně přesně.

Metoda konjugovaných směrů je zřejmě nejvíce účinná metoda klesání Funguje dobře s degenerovaným minimem as řešitelnými roklemi a za přítomnosti slabě nakloněných úseků reliéfu - „náhorních plošin“ a s velkým počtem proměnných - až dva tucty.

Klasická mechanika a elektrodynamika, když se je snažily použít k vysvětlení atomových jevů, vedly k výsledkům, které byly v ostrém rozporu s experimentem. Nejvýraznějším příkladem toho je pokus aplikovat klasickou elektrodynamiku na model atomu, ve kterém se elektrony pohybují kolem jádra po klasických drahách. Při takovém pohybu, jako při každém pohybu nábojů se zrychlením, by elektrony musely nepřetržitě vyzařovat energii ve formě elektromagnetických vln a nakonec by nevyhnutelně dopadly na kladně nabité jádro. Atom je tedy – z pohledu klasické elektrodynamiky – nestabilní. Jak vidíme, tato teze není pravdivá. Tak hluboký rozpor mezi teorií a experimentem naznačuje, že popis mikroobjektů vyžaduje zásadní změnu základních klasických pojmů a zákonitostí.

Z řady experimentálních dat (např. difrakce elektronů) vyplývá, že mechanika, která řídí atomové jevy – kvantová mechanika – musí vycházet z představ o pohybu, které se zásadně liší od představ klasické mechaniky. V kvantové mechanice neexistuje žádný koncept trajektorie částic a následně ani jiných dynamických charakteristik. TATO PRÁCE JE FORMULOVÁNA V HEISENBERGOVI PRINCIPU NEJISTOTY:

Je nemožné současně měřit souřadnici a hybnost mikroobjektu s jakoukoli přesností:

DxDp³ h (II.1)

Je třeba poznamenat (a o tom bude řeč později), relace neurčitosti spojuje nejen souřadnici a hybnost, ale i řadu dalších veličin.

Vraťme se nyní k úvahám o matematickém aparátu kvantové mechaniky.

Operátor A je zvykem volat pravidlo, podle kterého každá funkce F odpovídá funkci j :

j= A F (II.3)

Nejjednodušší příklady operátorů: odmocnina, derivace atd.

Ne každá funkce může být ovlivněna jakýmkoli operátorem, například nediferencovatelná funkce nemůže být ovlivněna operátorem diferenciace. Proto může být libovolný operátor definován pouze na určité třídě funkcí a považuje se za definovaný, pokud je specifikováno nejen pravidlo, kterým převádí jednu funkci na jinou, ale také množina funkcí, na které působí.

Analogicky k algebře čísel můžeme zavést algebru operátorů:

1) Operátory součtu nebo rozdílu

(A ± B ) · F = A · F ± B · F (II.4)

2) Součin operátorů

AB · F = A (B · F ) (II.5)

těch. nejprve na funkci F operátor jedná B , tvořící nějakou novou funkci, na kterou pak působí operátor A . V obecný případ akce operátora AB neodpovídá akci operátora B.A. .

Opravdu, kdyby A=d/dx A B=x ,

Že AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

A BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Li AB=BA, pak se operátory nazývají dojíždění, a pokud AB-BAº(A,B) (II.6), pak nedojíždějí. Výraz v závorce se nazývá komutátor.

V kvantové mechanice se běžně používají lineární samoadjungované (nebo hermitovské) operátory. Vlastnost linearity to znamená

A(C 1 F 1 +c 2 F 2 )F =C 1 AF 1 +c 2 AF 2 (II.7)

Kde C 1 A C 2 - konstanty a F 1 A F 2 - libovolné funkce, na kterých je definován operátor A. Tento matematická vlastnostúzce souvisí s principem superpozice.

Samoadjungovaný hermitovský operátor je operátor, pro který platí rovnost:

z 1 * (x) (Af 2 (x)) dx = z 2 (x) (A * F 1 * (x)) dx (II.8)

předpokládá se, že A definováno na F 1 * (x) A F 2 (x) a všechny integrály obsažené v (1.8) existují. Požadavek hermitianity je pro kvantovou mechaniku velmi důležitý a níže zjistíme proč.

Jak již bylo řečeno, působení operátoru se redukuje na přeměnu jedné funkce na jinou, nicméně jsou možné i případy, kdy se v důsledku působení operátoru původní funkce nezmění nebo je vynásobena konstantou. Nejjednodušší příklad:

Lze namítnout, že každý provozovatel A lze srovnávat lineární rovnice typ:

AF = af (II.9) ,

Kde A = konst. A je vlastní hodnota operátoru a F - vlastní funkce operátora. Tato rovnice se nazývá rovnice vlastních čísel. Hodnoty konstant, při kterých rovnice (1.9) nabývá netriviálních řešení, se nazývají vlastní hodnoty. Společně tvoří spektrum vlastních hodnot, které mohou být diskrétní, spojité nebo smíšené. Každá hodnota odpovídá jedné nebo více vlastních funkcí F T , a pokud pouze jedna funkce odpovídá jednomu vlastnímu číslu, pak je nedegenerovaná, a pokud jich je několik, je degenerovaná.

Vlastní funkce a vlastní čísla Hermitian (samoadjunkce) operátory mají řadu vlastností:

1. Vlastní hodnoty takových operátorů jsou skutečné.

2. Vlastní funkce F 1 A F 2 takové operátory patřící do různých vlastních čísel S 1 A C 2 respektive navzájem ortogonální, tzn. ò F 1 * (x) F 2 (x) dx = 0 (II.10)

3. Musí být normalizovány na jednotu zavedením speciálního normalizačního faktoru, který je v obecném případě popsán podmínkou ortonormality: ò F m * (x) F n (x) dx =d mn , d mn =0 na m ¹ n A d mn =1 na m = n (II.11)

4. Pokud dva operátoři A A B mají společný systém vlastních funkcí, pak komutují a obrácené tvrzení je také pravdivé

5. Vlastní funkce hermitovského operátoru tvoří úplnou ortonormální množinu, tzn. jakákoli funkce definovaná ve stejné doméně proměnných může být reprezentována jako řada vlastních funkcí operátoru A:

(II.12),

Kde C n- nějaké konstanty a toto rozšíření bude přesné.

Poslední vlastnost je pro aparát kvantové mechaniky velmi důležitá, protože na jejím základě je možné sestrojit maticovou reprezentaci operátorů a aplikovat výkonný aparát lineární algebry.

Opravdu, protože v (II.12) nativní funkce F n (x) jsou považovány za známé, pak k nalezení funkce F(x) je nutné a dostatečné najít všechny expanzní koeficienty ( C n). Podívejme se nyní na některého operátora B, který působí na funkci c(x) a přenese to do F(x):

F(x) = BC(x) (II.13)

Představme si nyní funkce F(x) A Bc(x) ve formě řádků (II.12):

(II.14)

a vložte je dovnitř (II.13)

(II.15)

(II.16)

Vynásobme obě strany rovnosti F k * (x) a integrovat s přihlédnutím k podmínkám ortonormálnosti:

Rovnost (II.17) popisuje přechod z funkce c(x) fungovat F(x), která se provádí nastavením všech koeficientů M kn. Sada všech množství M kn existuje operátor B v maticové reprezentaci a lze ji zapsat jako

Tedy jakýkoli libovolný operátor B v maticové reprezentaci může být reprezentována jako čtvercová tabulka čísel, matice, a tato reprezentace bude určena pouze typem operátoru a počáteční sadou základních funkcí.

Připomeňme si nyní krátce hlavní ustanovení teorie matic. Obecně je matice sbírka reálných nebo komplexních čísel A ij, nazývané maticové prvky, uspořádané do obdélníkové tabulky

Indexy i A j ukázat, že prvek A ij umístěný na křižovatce iřádek a j sloupec. Pokud má matice n linky a m sloupců, pak se říká, že má rozměr ( n x m), Pokud n = m, pak se matice nazývá čtverec. Obdélníková matice velikosti ( 1 x m) se nazývá řádkový vektor a ( n x1) je sloupcový vektor. Maticový prvek A ij na i = j se nazývá diagonální, matice, ve které jsou všechny prvky kromě diagonálních rovny nule, se nazývá diagonální a diagonální matice, ve které jsou všechny prvky rovny jedné, se nazývá jednota. Součet diagonálních prvků se nazývá stopa: Sp.

Je snadné sestavit maticovou algebru, která bude redukována na následující pravidla:

1. Matice a říká se, že jsou stejné, pokud pro všechny i A j rovnost je pravdivá: A ij = b ij

2. Součet matic a dimenzí ( n x m) bude matice dimenze ( n x m) tak, aby pro všechny i A j rovnost je pravdivá: C ij = A ij + b ij

3. Součin matice libovolným číslem A bude existovat matice stejné dimenze, taková, že pro všechny i A j rovnost je pravdivá: C ij = aa ij

4. Součin matice rozměrů ( n x m) na matici rozměrů ( m x p) se nazývá matice dimenzí ( n x p) takové, že

(II.20)

5. Matice se nazývá komplexně konjugovaná, pokud obsahuje všechny prvky matice A ij nahrazeny komplexními konjugáty A ij * . O matici se říká, že je transponována, pokud je získána nahrazením řádků sloupci a naopak: A ’ ij = A ji. Matrix transponovaný a komplexní konjugát se nazývá konjugát a označuje se

PŘIPOJENÁ FUNKCE

Pojem teorie funkcí, který je konkrétním odrazem určitého involutivního operátoru pro odpovídající třídu funkcí.
1) S. f. na funkci s komplexní hodnotou . volal funkce, jejíž hodnoty jsou komplexně konjugované s hodnotami f.
2) S. f. k harmonické funkci - viz Konjugované harmonické funkce.
3) S. f. Volá se k -periodická integrovatelná na funkci f(x). funkce

existuje a shoduje se téměř všude s -součtem nebo s Abel-Poissonovým součtem konjugované trigonometrické řady.
4) S. f. fungovat definovaný na vektorovém prostoru X, který je v dualitě (s ohledem na bilineární formu ) s vektorovým prostorem Y- funkce na Y, daná vztahem

Pro funkci specifikovanou na Y, konjugovaná funkce je definována podobně.

S. f. na funkci jedné proměnné bude funkce

S. f. fungovat v Hilbertově prostoru X je skalárním součinem funkce S. f. do normálu v normalizovaném prostoru bude funkce N*(y) , rovná nule, jestliže a rovná se, jestliže
Jestliže f je hladké a roste rychleji v nekonečnu lineární funkce, pak f* není nic jiného než Legendre funkce f. Pro jednorozměrné přísně konvexní funkce byla definice ekvivalentní (*) dána W. Youngem, jinými slovy. W. Jung definoval S. f. fungovat

kde je spojité a přísně rostoucí, podle vztahu

kde je funkce inverzní k Definici (*) pro jednorozměrné funkce poprvé navrhl S. Mandelbrojt, v konečně-dimenzionálním případě - V. Fenchel, v nekonečně-dimenzionálním případě - J. Moreau a A. Brønsted . Pro konvexní funkci n s ní konjugovanou je Youngova

Funkce S. je konvexní uzavřená funkce. Operátor konjugace*: jedinečně zobrazuje sadu správných konvexních uzavřené funkce na X je sbírka správných konvexních uzavřených funkcí na Y (Fenchel - Moreau).
Další podrobnosti viz a.
Viz také Konvexní analýza, podpůrná funkce, dualita v extrémních problémech a konvexní analýze.

Lit.: Joung W. H., lProc. Royi. Soc. A

Matematická encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie.

I. M. Vinogradov.

1977-1985. Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

Nosným funkcionálem množiny A ležící ve vektorovém prostoru X je funkce sA definovaná ve vektorovém prostoru Y, která je s ním v dualitě vztahem Například O.f. jednotkový kontejner v normalizovaném prostoru uvažovaném v... ... Matematická encyklopedie Funkce spojená s integrální reprezentací řešení okrajových úloh pro diferenciální rovnice. G. f. okrajová úloha pro lineární diferenciální rovnici Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

zásadní řešení Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

rovnice splňující homogenní okrajové podmínky... ... Antianalytická funkce, funkce jedné nebo více komplexních proměnných, která je komplexně konjugována s holomorfní funkcí (viz Analytická funkce). E. D. Solomentsev... Ovládání, funkce u(t), součástí Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

diferenciální rovnice Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

hodnoty roje v každém okamžiku lze zvolit libovolně. Obvykle je uvaleno omezení na rozsah změny u(t) pro každé t, kde U je daná uzavřená množina v... ... Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

Souvislé zobrazení, které zachovává tvar nekonečně malých postav. Základní pojmy. Nazývá se spojité zobrazení w=f(z) oblasti G n-rozměrného euklidovského prostoru do n-rozměrného euklidovského prostoru. v určitém bodě konformní, pokud v tomto bodě má... 1) Transformace matematického analýza, realizující dualitu mezi objekty v duálních prostorech (spolu s projektivní dualitou v analytické geometrii a polární dualitou v konvexní geometrii). Nechte plynulou funkci,...... 1) P. t. o konjugovaných funkcích: nechť periodické Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

kontinuální funkce Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

s periodou 2p a trigonometricky konjugovanou funkcí s f(t); pak pokud f(t). splňuje Lipschitzovu podmínku o exponentu na 0 Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

Dvojný integrál kde je daná (obecně řečeno, komplexně) funkce reálných proměnných, čtvercově integrovatelné, libovolné (také komplexně hodnotné) funkce, čtvercově integrovatelné a komplexně sdružené funkce. Pokud,…… Podívejte se, co je „CONJECTED FUNCTION“ v jiných slovnících:

1 1 4 PŘÍLOHA B: TEORETICKÁ KONCEPCE

Princip vázaných subsystémů

S identifikací libovolného hmotného systému se automaticky objeví odpovídající prostředí, ve kterém tento systém existuje. Protože prostředí je vždy větší než systém, je vývoj systému diktován změnami v prostředí. Myšlenka evoluce zahrnuje dva hlavní a v jistém smyslu alternativní aspekty: zachování (C) a změnu (I). Pokud jeden z nich chybí, pak nedochází k žádné evoluci: systém buď zmizí, nebo je stabilní. Poměr změny a zachování (I/S) charakterizuje evoluční plasticitu systému. Všimněte si, že tyto podmínky jsou alternativní: čím více A, tím méně C a naopak, protože se vzájemně doplňují do jednoty: C + I = 1.

Pro lepší realizaci pouze prvního aspektu – zachování – je výhodnější, aby byl systém udržitelný, stabilní, neměnný, tedy aby byl co nejdále (ne v geometrickém, ale informačním smyslu) od destruktivního faktory prostředí (obr. B.1). Tyto stejné faktory však současně poskytují užitečné informace o směru změn životního prostředí. A pokud se jim systém potřebuje přizpůsobovat, měnit podle změn prostředí (druhý aspekt), pak musí být citlivý, labilní a proměnlivý, tedy být co „blíže“ (v informačním smyslu) škodlivému prostředí. faktory, jak je to možné. V důsledku toho dochází ke konfliktní situaci, kdy systém potřebuje být na jedné straně „vzdálenější“ od okolí a na druhé straně „blíže“.

Problém životního prostředí

Chcete-li se změnit (získat užitečné informace), musíte být „blíže“

Možná řešení

Buďte v „optimální vzdálenosti“

Rozdělit do dvou souvisejících subsystémů

Rýže. B.1 Vztah mezi systémem a prostředím

První možné řešení: systém jako celek by měl být v nějaké optimální „vzdálenosti“ od okolí, zvolit určité kompromisní optimum I/C. Druhé řešení: rozdělit na dva spřažené subsystémy, jeden „odstranit“. prostředí a posuňte druhé „blíže“. Druhé řešení odstraňuje protichůdné požadavky na zachování (C) a změnu (I) systému a umožňuje nám současně maximalizovat obojí, čímž se zvyšuje stabilita systému jako celku. Tento závěr je základem nového konceptu.

PŘÍLOHA B: TEORETICKÁ ZÁKLADNÍ KONCEPCE 1 1 5

PRINCIP PROPOJENÝCH SUBSYSTÉMŮ

DIFERENCIACE ADAPTIVNÍCH SYSTÉMŮ, VYVÍJÍCÍCH SE V PROMĚNNÉM PROSTŘEDÍ, DO DVA PROPOJENÝCH SUBSYSTÉMŮ S KONZERVATIVNÍ A PROVOZNÍ SPECIALIZACE, ZVYŠUJE JEJICH STABILITU.

Oddělení vnitřních a vnějších subsystémů je třeba chápat nikoli v geometrickém (morfologickém) smyslu, ale v informačním, tedy toky informací z prostředí o změnách, které v něm nastaly, spadají nejprve do vnějších subsystémů („RAM“ ), a poté do interních ("konstantní paměť" systému).

V této obecné podobě je koncept platný pro vyvíjející se adaptivní systémy bez ohledu na jejich specifickou povahu – biologickou, technickou, herní nebo sociální. Lze očekávat, že mezi vyvíjejícími se adaptivními systémy by se struktury skládající se ze dvou propojených subsystémů měly vyskytovat poměrně často. Ve všech případech, kdy je systém nucen sledovat „chování nepřítele“ (prostředí) a v souladu s tím své „chování“ stavět, zvyšuje stabilitu diferenciace, rozdělení služeb na konzervativní a operační. Armáda přiděluje průzkumné oddíly a posílá je různými směry, aby se setkaly s nepřítelem. Loď má kýl (konzervativní služba) a samostatné kormidlo (provozní), letadla-konstanty a křidélka; raketové stabilizátory a kormidla.

Obecné rysy diferenciace binárních konjugátů

Před příchodem spřažených subsystémů, hlavního řízení evoluce, šel tok informací přímo z prostředí do systému: E →S. Po vzniku provozních subsystémů jako první dostávají informace z okolí: prostředí → provozní → konzervativní subsystémy, E →o →k. Proto nový subsystém je vždy funkční a

vzniká mezi konzervativním subsystémem a okolím.

Zásadní rozdíl mezi unitárními a binárně-konjugovanými systémy je v podobě jejich informačního kontaktu s okolím. U prvního proudí informace z prostředí přímo ke každému prvku systému, u druhého proudí nejprve k prvkům provozního subsystému a z nich k prvkům konzervativního subsystému.

Dichronismus (asynchronie) a dimorfismus (asymetrie) spolu úzce souvisí: když je systém identických prvků rozdělen na dvě části, pokud jsou kvalitativně homogenní, nedochází k dimorfismu ani dichronismu (obr. B.2). Ale jakmile se jeden z nich začne vyvíjet, vzniká současně dimorfismus a dichronismus. Podél morfologické osy se jedná o dvě formy, které tvoří strukturu „stabilní jádro“ (SC) a „labilní obal“ (LP) (obr. B.3). Tato struktura chrání konzervativní subsystém před alternativními faktory prostředí, například před nízkými a vysokými teplotami.

1 1 6 PŘÍLOHA B: TEORETICKÁ KONCEPCE

Všechny evoluční novinky se objevují nejprve v provozním subsystému, tam procházejí testováním a poté (po mnoha generacích) vybrané končí v subsystému konzervativním. Vývoj provozního subsystému začíná a končí dříve než ten konzervativní. Podle chronologické osy je tedy lze považovat za „avantgardní“ a

„dozadu“ (obr. B.4).

Podél osy „systém-prostředí“ je systém rozdělen na „stabilní jádro“ a „labilní plášť“

Na časové ose lze provozní subsystém považovat za „avantgardní“ oproti konzervativnímu.

Tok informací

Středeční fronta

Konzervativní operační

Konzervativní operační

Tok informací

Takovéto rozdělení a specializace subsystémů pro alternativní úkoly zachování a změny poskytuje optimální podmínky pro realizaci hlavní metody evoluce živých systémů - v určitém smyslu metody pokus-omyl. S koncentrací vzorků v RAM se tam také lokalizují chyby a nálezy. To umožňuje systému

vyzkoušet různé možnosti řešení evolučních problémů bez rizika zachování neúspěšných řešení.

Rozlišení na konzervativní a provozní subsystémy není absolutní, ale relativní. Může existovat po sobě jdoucí řada podsystémů: α, β, γ,…..ω, kde nejkonzervativnější (základní) vazba je α a nejoperativnější je ω. A uvnitř řady je v každém páru vlevo konzervativní subsystém, vpravo provozní subsystém (jako řada kovových napětí v elektrochemii).

Aby se nové ekologické informace dostaly do provozního subsystému, musí být fenotypový rozptyl jeho prvků širší než u prvků konzervativního subsystému, pak bude jejich zdatnost nižší a selekční koeficient vyšší než u konzervativního subsystému. K tomu musí mít stejnou reakční normu. Vzhledem k tomu, že zachování systému je často důležitější než změna (protože absence druhého ohrožuje stagnaci a první zánik), podsystémy jsou nerovné. Konzervativní subsystém je důležitější a cennější než operační. Zachovává si některé vlastnosti a funkce mateřského, unitárního systému, zatímco provozní subsystém získává nové. K pochopení evolučního významu binárních diferenciací tedy stačí porozumět pouze významu operačních subsystémů.

PŘÍLOHA B: TEORETICKÁ KONCEPCE 1 1 7

PRO NOVÉ EKOLOGICKÉ INFORMACE VSTUP DO PROVOZNÍHO SUBSYSTÉMU, FENOTYPICKÁ VARIANTA

JEHO PRVKY BY MĚLY BÝT ŠIRŠÍ A REAKČNÍ NORMA UŽŠÍ NEŽ PRVKY KONZERVATIVNÍHO SUBSYSTÉMU.

Pro efektivní přenos informací mezi subsystémy (OP CP) musí mít prvky provozního subsystému také širší „kanálový průřez“ komunikace než prvky konzervativního.

Asynchronní evoluce subsystémů

Vývoj systému (S) je určen prostředím (E), ES. Tok informací přicházejících z prostředí působí jako jakýsi ekologický potenciál, který nutí systém ke změně. Nárůst rozptylu prvků unitárních systémů dříve či později automaticky vede k jejich diferenciaci na subsystémy konzervativní a operativní. Porovnáme-li potenciál prostředí s potenciálem elektrickým a unitární systém s žárovkou, pak binární systém jsou dvě žárovky, které lze připojit ke zdroji proudu paralelně nebo sériově (obr. B.5). Toto je zásadně nová příležitost, kterou unitární systémy neměly.

Rýže. B.5 Synchronní vývoj unitárních systémů (US) a binárních nekonjugovaných systémů (BNS)

Analog paralelního obvodu. Asynchronní vývoj binárních konjugovaných diferenciací (BCD) je analogií sekvenčního schématu. Kudrnaté šipky označují směr evoluce, jednoduché šipky označují tok elektronů a informací (Geodakyan, 2005).

Tři diagramy-modely tří hlavních metod reprodukce a asymetrie. Obvod jedné žárovky je analogem asexuální metody, paralelní obvod je hermafroditní metodou a sekvenční obvod je obdobou dvoudomého (a asymetrického mozku).

Související funkce. Subdiferenciály. Princip Minimax. Problémy s projektivní dualitou z 18. dubna 2014 (1) Najděte konjugáty funkcí p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q - symetrická kladná matice d × d, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) δA , kde A je množina v Rd a δA (x) = 0, pokud x ∈ A, δA (x) = +∞ jestliže x∈ /A (i) hA, kde A je množina v Rd a hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) Dokažte nerovnost p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Kdy je dosaženo přesné rovnosti? Jak funguje funkce konjugovaná s funkcí, jejíž graf je konvexní mnohostěn? Uvažujme množinu segmentů délky 1 na R+ ×R+ s konci na souřadnicových úsecích. Dokažte, že astroid je obálka pro tuto sadu. Která funkce je sdružená s funkcí, jejíž graf je astroid? Nechť f je nekonvexní funkce. Popište jeho druhý konjugát. Nechť f, f ∗ jsou hladké konvexní funkce a v každém bodě jsou matice druhých derivací (Hessovy) D2 f, D2 f ∗ nedegenerované. Dokažte, že pro libovolné x platí vztah D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I, kde I je matice identity. (7) Najděte obecné řešení následující diferenciální rovnice f 00 = (f − xf 0)2. (8) Vypočítejte subdiferenciál konvexní funkce při nule (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | (c) max1≤i≤d |xi | (9) Dokažte, že x0 je minimální bod konvexní funkce f právě tehdy, když 0 ∈ ∂f (x0). (10) Najděte minimum funkcí (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) Dokažte vztah (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 kde f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Dokažte (bez použití principu minimax), že maximum v úloze lineárního programování nepřekračuje minimum v úloze duální. (13) Formulujte duál k problému lineárního programování a vyřešte jej. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Projektivní problémy duality Definice. Duální projektivní rovina RP2∗ je prostor přímek na projektivní rovině RP2. 14) Dokažte, že duální projektivní rovina má přirozenou projektivní rovinnou strukturu, ve které je přímka skupinou přímek v RP2 procházejících daným bodem. (Difeomorfní jsou zejména variety RP2 a RP2∗.) 15) Uvažujme libovolné dvě odlišné přímky a, b ⊂ RP2, označující O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. Na každé přímce je přirozená reálná afinní souřadnice, jednoznačně definovaná až po složení s afinní transformací: a, b " R. Pro libovolné x ∈ a a y ∈ b, nechť l(x, y) je přímka procházející x a y Dokažte, že zobrazení a × b → RP2∗ , (x, y) 7 → l(x, y) je afinní zobrazení na γ 16) Dokažte, že γ ∗∗ = γ 17) Nechť f (x) je hladká přísně konvexní funkce a f ∗ (x∗) její konjugát Γ(f ∗) v odpovídajících afinních rovinách (x, y ) a (x∗, y ∗) (přesněji konečné části grafů, kde jsou hodnoty funkcí konečné Dokažte, že křivka Γ(f ∗) je transformována afinní transformací na duální křivku k Γ(f) Nápověda: použijte výsledek úlohy 2. 18) Dokažte, že křivka duální k hladké kuželosečce (křivka druhého řádu, kterou nelze redukovat na dvojici přímek) je také hladká kuželosečka. 19) Zadejte definici duální lomené čáry (duální polygon) a řešte analogie úloh 3) a 4) pro lomenou čáru γ a po částech afinní funkci f (graf – lomená čára). 2