Níže uvedený článek se bude zabývat otázkami hledání souřadnic středu segmentu, pokud jsou souřadnice jeho krajních bodů dostupné jako počáteční data. Než se však pustíme do studia této problematiky, uveďme si řadu definic.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definice 1
Úsečka– přímka spojující dva libovolné body, nazývané konce úsečky. Jako příklad nechť to jsou body A a B a podle toho segment A B.
Pokud úsek A B pokračuje v obou směrech z bodů A a B, dostaneme přímku A B. Potom je úsečka A B součástí výsledné přímky, ohraničené body A a B. Úsek A B spojuje body A a B, které jsou jeho konci, a také množinu bodů ležících mezi nimi. Vezmeme-li například libovolný bod K ležící mezi body A a B, můžeme říci, že bod K leží na úsečce A B.
Definice 2
Délka sekce– vzdálenost mezi konci segmentu v daném měřítku (segment jednotky délky). Označme délku úsečky A B takto: A B .
Definice 3
Střed segmentu– bod ležící na úsečce a stejně vzdálený od jejích konců. Pokud je střed úsečky A B označen bodem C, pak rovnost platí: A C = C B
Počáteční údaje: souřadnicová přímka O x a neshodné body na ní: A a B. Tyto body odpovídají reálným číslům x A a x B. Bod C je středem segmentu A B: je nutné určit souřadnici x C.
Protože bod C je středem úsečky A B, bude rovnost pravdivá: | A C | = | C B | . Vzdálenost mezi body je určena modulem rozdílu jejich souřadnic, tzn.
| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Pak jsou možné dvě rovnosti: x C - x A = x B - x C a x C - x A = - (x B - x C)
Z první rovnosti odvodíme vzorec pro souřadnice bodu C: x C = x A + x B 2 (polovina součtu souřadnic konců úsečky).
Z druhé rovnosti dostáváme: x A = x B, což je nemožné, protože ve zdrojových datech - neshodné body. Tím pádem, vzorec pro určení souřadnic středu segmentu A B s konci A (x A) a B(xB):
Výsledný vzorec bude základem pro určení souřadnic středu segmentu v rovině nebo v prostoru.
Počáteční údaje: pravoúhlý souřadnicový systém v rovině O x y, dva libovolné neshodné body s danými souřadnicemi A x A, y A a B x B, y B. Bod C je středem segmentu A B. Pro bod C je nutné určit souřadnice x C a y C.
Vezměme si pro analýzu případ, kdy se body A a B neshodují a neleží na stejné souřadnicové čáře nebo přímce kolmé k jedné z os. Ax, Ay; B x, B y a C x, C y - průměty bodů A, B a C na souřadnicové osy (přímky O x a O y).
Podle konstrukce jsou přímky A A x, B B x, C C x rovnoběžné; čáry jsou také vzájemně rovnoběžné. Spolu s tím, podle Thalesovy věty, z rovnosti A C = C B plynou rovnosti: A x C x = C x B x a A y C y = C y B y, a ty zase naznačují, že bod C x je střed segmentu A x B x a C y je střed segmentu A y B y. A pak, na základě vzorce získaného dříve, dostaneme:
x C = x A + x B2 a yC = yA + yB2
Stejné vzorce lze použít v případě, kdy body A a B leží na stejné souřadnicové přímce nebo přímce kolmé k jedné z os. Chování podrobná analýza Tento případ nebudeme uvažovat, zvážíme jej pouze graficky:
Shrneme-li vše výše uvedené, souřadnice středu segmentu A B na rovině se souřadnicemi konců A (x A, y A) A B(xB, yB) jsou definovány jako:
(x A + x B 2, y A + y B 2)
Počáteční údaje: souřadnicový systém O x y z a dva libovolné body s danými souřadnicemi A (x A, y A, z A) a B (x B, y B, z B). Je nutné určit souřadnice bodu C, který je středem segmentu A B.
Ax, Ay, Az; B x , B y , B z a C x , C y , C z - projekce všech dané body na ose souřadnicového systému.
Podle Thalesovy věty platí následující rovnosti: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z
Proto body Cx, Cy, Cz jsou středy segmentů AxBx, AyBy, AzBz, v tomto pořadí. Pak, Pro určení souřadnic středu segmentu v prostoru jsou správné následující vzorce:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Výsledné vzorce jsou použitelné i v případech, kdy body A a B leží na jedné ze souřadnic; na přímce kolmé k jedné z os; v jedné souřadnicové rovině nebo v rovině kolmé k jedné ze souřadnicových rovin.
Určení souřadnic středu segmentu pomocí souřadnic poloměrových vektorů jeho konců
Vzorec pro zjištění souřadnic středu segmentu lze odvodit i podle algebraické interpretace vektorů.
Počáteční údaje: pravoúhlý kartézský souřadnicový systém O x y, body s danými souřadnicemi A (x A, y A) a B (x B, x B). Bod C je středem segmentu A B.
Podle geometrické definice působení na vektory bude platit následující rovnost: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Bod C v v tomto případě– průsečík úhlopříček rovnoběžníku sestrojeného na základě vektorů O A → a O B →, tzn. bod středu úhlopříček Souřadnice vektoru poloměru bodu se rovnají souřadnicím bodu, pak platí rovnosti: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). Proveďme nějaké operace s vektory v souřadnicích a dostaneme:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2
Bod C má tedy souřadnice:
x A + x B2, yA + yB2
Analogicky je určen vzorec pro nalezení souřadnic středu segmentu v prostoru:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Příklady řešení úloh při hledání souřadnic středu úsečky
Mezi problémy, které zahrnují použití výše získaných vzorců, jsou ty, ve kterých je přímou otázkou vypočítat souřadnice středu segmentu, a ty, které zahrnují uvedení daných podmínek na tuto otázku: termín „medián“ se často používá, cílem je najít souřadnice jednoho z konců úsečky a běžné jsou i problémy symetrie, jejichž řešení by obecně po prostudování tohoto tématu také nemělo činit potíže. Podívejme se na typické příklady.
Příklad 1
Počáteční údaje: na rovině - body s danými souřadnicemi A (- 7, 3) a B (2, 4). Je nutné najít souřadnice středu segmentu A B.
Řešení
Označme střed úsečky A B bodem C. Jeho souřadnice budou určeny jako polovina součtu souřadnic konců segmentu, tzn. body A a B.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Odpovědět: souřadnice středu segmentu A B - 5 2, 7 2.
Příklad 2
Počáteční údaje: souřadnice trojúhelníku A B C jsou známy: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Je nutné najít délku mediánu A M.
Řešení
- Podle podmínek problému je A M medián, což znamená, že M je středem segmentu B C . Nejprve najdeme souřadnice středu segmentu B C, tzn. M bodů:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Protože nyní známe souřadnice obou konců mediánu (body A a M), můžeme pomocí vzorce určit vzdálenost mezi body a vypočítat délku mediánu A M:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Odpovědět: 58
Příklad 3
Počáteční údaje: v pravoúhlém souřadnicovém systému trojrozměrný prostor daný rovnoběžnostěn A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Jsou uvedeny souřadnice bodu C 1 (1, 1, 0), dále je definován bod M, který je středem úhlopříčky B D 1 a má souřadnice M (4, 2, - 4). Je nutné vypočítat souřadnice bodu A.
Řešení
Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se protínají v jednom bodě, který je středem všech úhlopříček. Na základě tohoto tvrzení můžeme mít na paměti, že bod M, známý z podmínek úlohy, je středem úsečky A C 1. Na základě vzorce pro zjištění souřadnic středu úsečky v prostoru zjistíme souřadnice bodu A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Odpovědět: souřadnice bodu A (7, 3, - 8).
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
V geometrii se používají tři hlavní souřadnicové systémy, teoretická mechanika, ostatní odvětví fyziky: kartézská, polární a sférická. V těchto souřadnicových systémech má celý bod tři souřadnice. Znáte-li souřadnice 2 bodů, můžete určit vzdálenost mezi těmito dvěma body.
Budete potřebovat
- Kartézské, polární a sférické souřadnice konců úsečky
Instrukce
1. Nejprve zvažte pravoúhlý kartézský souřadnicový systém. Je určeno umístění bodu v prostoru v tomto souřadnicovém systému souřadnice x, y a z. Vektor poloměru je nakreslen od počátku k bodu. Průměty tohoto poloměrového vektoru na souřadnicové osy budou souřadnice Nyní máte dva body souřadnice x1,y1,z1 respektive x2,y2 a z2. Označme r1 a r2 vektory poloměru prvního a druhého bodu. Vzdálenost mezi těmito dvěma body bude zřejmě rovna modulu vektoru r = r1-r2, kde (r1-r2) je vektorový rozdíl Souřadnice vektoru r budou zřejmě následující: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Pak bude velikost vektoru r nebo vzdálenost mezi dvěma body rovna: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Nyní uvažujme polární souřadnicový systém, ve kterém bude souřadnice bodu dána radiální souřadnicí r (vektor poloměru v rovině XY), úhlová souřadnice? (úhel mezi vektorem r a osou X) a souřadnicí z, podobnou souřadnici z v kartézském systému Polární souřadnice bodu lze převést na kartézské souřadnice následujícím způsobem: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Potom vzdálenost mezi dvěma body s souřadnice r1, a1,z1 a r2, a2, z2 se bude rovnat R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+hřích?1*hřích? 2) +((z1-z2)^2))
3. Nyní se podívejte na sférický souřadnicový systém. V něm je poloha bodu určena třemi souřadnice r, ? A?. r – vzdálenost od počátku k bodu, ? A? – azimutální a zenitový úhel. Roh? podobný úhlu se stejným označením v polárním souřadnicovém systému, co? – úhel mezi vektorem poloměru r a osou Z, s 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с souřadnice r1, a1, a1 a r2, a2 a a2 se bude rovnat R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*hřích ?1 )^2)+((r2*hřích?2)^2)-2r1*r2*hřích?1*hřích?2*(cos?1*cos?2+hřích?1*hřích?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Video k tématu
Se souřadnicovou rovinou je spojena celá skupina úloh (zahrnutých do zkouškových typů problémů). Jedná se o úlohy od těch nejzákladnějších, které se řeší ústně (určení pořadnice nebo úsečky daného bodu, případně symetrického bodu k danému bodu a další), až po úkoly vyžadující kvalitní znalosti, porozumění a dobré dovednosti (problémy související s úhlovým koeficientem přímky).
Postupně je všechny zvážíme. V tomto článku začneme se základy. Jedná se o jednoduché úkoly k určení: úsečka a ordináta bodu, délka úsečky, střed úsečky, sinus nebo kosinus sklonu přímky.Většinu lidí tyto úkoly nebudou zajímat. Ale považuji za nutné je představit.
Faktem je, že ne všichni chodí do školy. Mnoho lidí složí jednotnou státní zkoušku 3-4 nebo více let po promoci a matně si pamatují, co je úsečka a ordináta. Budeme také analyzovat další úkoly související s rovinou souřadnic, nenechte si to ujít, přihlaste se k odběru aktualizací blogu. Nyní n trochu teorie.
Sestrojme bod A na souřadnicové rovině se souřadnicemi x=6, y=3.
Říkají, že úsečka bodu A je rovna šesti, ordináta bodu A je rovna třem.
Zjednodušeně řečeno, osa ox je osa úsečky, osa y je osa pořadnice.
To znamená, že úsečka je bod na ose x, do kterého se promítá bod daný na rovině souřadnic; Pořadnice je bod na ose y, na který se promítá zadaný bod.
Délka segmentu v souřadnicové rovině
Vzorec pro určení délky segmentu, pokud jsou známy souřadnice jeho konců:
Jak můžete vidět, délka segmentu je délka přepony v pravoúhlém trojúhelníku se stejnými rameny
X B - X A a U B - U A
* * *
Střed segmentu. Její souřadnice.
Vzorec pro zjištění souřadnic středu segmentu:
Rovnice přímky procházející dvěma danými body
Vzorec pro rovnici přímky procházející dvěma danými body má tvar:
kde (x1;y1) a (x2;y2 ) souřadnice daných bodů.
Nahrazením hodnot souřadnic do vzorce se vzorec zmenší do tvaru:
y = kx + b, kde k je sklon přímky
Tyto informace budeme potřebovat při řešení další skupiny problémů souvisejících se souřadnicovou rovinou. O tom bude článek, nenechte si ho ujít!
Co ještě přidat?
Úhel sklonu přímky (nebo segmentu) je úhel mezi osou oX a touto přímkou v rozsahu od 0 do 180 stupňů.
Zvažme úkoly.
Z bodu (6;8) je na osu pořadnice spuštěna kolmice. Najděte pořadnici základny kolmice.
Základna kolmice spuštěná na svislou osu bude mít souřadnice (0;8). Pořadnice je rovna osmi.
Odpověď: 8
Najděte vzdálenost od bodu A se souřadnicemi (6;8) k ose pořadnice.
Vzdálenost od bodu A k ose pořadnice se rovná úsečce bodu A.
Odpověď: 6.
A(6;8) vzhledem k ose Vůl.
Bod symetrický k bodu A vzhledem k ose oX má souřadnice (6;– 8).
Pořadnice je rovna mínus osm.
Odpověď: - 8
Najděte pořadnici bodu symetrického k bodu A(6;8) vzhledem k původu.
Bod symetrický k bodu A vzhledem k počátku má souřadnice (– 6;– 8).
Jeho pořadnice je – 8.
Odpověď: -8
Najděte úsečku středu úsečky spojující bodyÓ(0;0) a A(6;8).
Aby bylo možné problém vyřešit, je nutné najít souřadnice středu segmentu. Souřadnice konců našeho segmentu jsou (0;0) a (6;8).
Vypočítáme pomocí vzorce:
Máme (3; 4). Úsečka se rovná třem.
Odpověď: 3
*Abscisa středu segmentu může být určena bez výpočtu pomocí vzorce tím, že tento segment postavíte na rovině souřadnic na listu papíru ve čtverci. Střed segmentu bude snadné určit podle buněk.
Najděte úsečku středu úsečky spojující body A(6;8) a B(–2;2).
Aby bylo možné problém vyřešit, je nutné najít souřadnice středu segmentu. Souřadnice konců našeho segmentu jsou (–2;2) a (6;8).
Vypočítáme pomocí vzorce:
Máme (2; 5). Úsečka se rovná dvěma.
Odpověď: 2
*Abscisa středu segmentu může být určena bez výpočtu pomocí vzorce tím, že tento segment postavíte na rovině souřadnic na listu papíru ve čtverci.
Najděte délku úsečky spojující body (0;0) a (6;8).
Délka segmentu na daných souřadnicích jeho konců se vypočítá podle vzorce:
v našem případě máme O(0;0) a A(6;8). Prostředek,
*Na pořadí souřadnic při odečítání nezáleží. Můžete odečíst úsečku a pořadnici bodu A od úsečky a pořadnice bodu O:
Odpověď: 10
Najděte kosinus sklonu úsečky spojující body Ó(0;0) a A(6;8), s osou x.
Úhel sklonu segmentu je úhel mezi tímto segmentem a osou oX.
Z bodu A spustíme kolmici k ose oX:
To znamená, že úhel sklonu segmentu je úhelSAIv pravoúhlém trojúhelníku ABO.
Kosinus ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je
poměr přilehlé nohy k přeponě
Musíme najít přeponuOA.
Podle Pythagorovy věty:V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec přepony rovná součtu čtverců nohou.
Kosinus úhlu sklonu je tedy 0,6
Odpověď: 0.6
Z bodu (6;8) spadne kolmice na osu úsečky. Najděte úsečku základny kolmice.
Bodem (6;8) je vedena přímka rovnoběžná s osou úsečky. Najděte pořadnici jejího průsečíku s osou OU.
Najděte vzdálenost od bodu A se souřadnicemi (6;8) k ose x.
Najděte vzdálenost od bodu A se souřadnicemi (6;8) k počátku.
Pokud se dotknete listu sešitu dobře naostřenou tužkou, zůstane stopa, která dává představu o pointě. (obr. 3).
Označme si na papír dva body A a B Tyto body mohou být spojeny různými čarami (obr. 4). Jak spojit body A a B nejkratší čárou? To lze provést pomocí pravítka (obr. 5). Výsledný řádek se nazývá segment.
Bod a přímka - příklady geometrické tvary.
Body A a B se nazývají konce segmentu.
Existuje jediný segment, jehož konce jsou body A a B. Proto se segment označuje zapsáním bodů, které jsou jeho konci. Například segment na obrázku 5 je označen jedním ze dvou způsobů: AB nebo BA. Čtěte: "segment AB" nebo "segment BA".
Obrázek 6 ukazuje tři segmenty. Délka segmentu AB je 1 cm Do segmentu MN se vejde přesně třikrát a do segmentu EF přesně 4krát. Řekněme to délka segmentu MN se rovná 3 cm a délka segmentu EF je 4 cm.
Je také obvyklé říkat: „segment MN se rovná 3 cm“, „segment EF se rovná 4 cm“. Píší: MN = 3 cm, EF = 4 cm.
Měřili jsme délky segmentů MN a EF jediný segment, jehož délka je 1 cm Pro měření segmentů lze zvolit jiné jednotky délky, například: 1 mm, 1 dm, 1 km. Na obrázku 7 je délka segmentu 17 mm. Měří se pomocí jednoho segmentu, jehož délka je 1 mm, pomocí pravítka se stupnicí. Pomocí pravítka lze také sestrojit (nakreslit) segment dané délky (viz obr. 7).
Vůbec, měřit segment znamená spočítat, kolik jednotkových segmentů se do něj vejde.
Délka segmentu má následující vlastnost.
Pokud označíte bod C na segmentu AB, pak se délka segmentu AB rovná součtu délek segmentů AC a CB(obr. 8).
Napište: AB = AC + CB.
Obrázek 9 ukazuje dva segmenty AB a CD. Tyto segmenty se při superponování shodují.
Dva segmenty se nazývají stejné, pokud se při překrývání shodují.
Proto jsou segmenty AB a CD stejné. Píší: AB = CD.
Stejné segmenty mají stejnou délku.
Ze dvou nestejných segmentů budeme ten s delší délkou považovat za větší. Například na obrázku 6 je segment EF větší než segment MN.
Délka segmentu AB se nazývá vzdálenost mezi body A a B.
Pokud je několik segmentů uspořádáno tak, jak je znázorněno na obrázku 10, dostanete geometrický obrazec s názvem přerušovaná čára. Všimněte si, že všechny segmenty na obrázku 11 netvoří přerušovanou čáru. Segmenty se považují za přerušovanou čáru, pokud se konec prvního segmentu shoduje s koncem druhého a druhý konec druhého segmentu s koncem třetího atd.
Body A, B, C, D, E − vrcholy přerušované čáry ABCDE, body A a E − konce křivky, a segmenty AB, BC, CD, DE jsou jeho Odkazy(viz obr. 10).
Délka čáry zavolejte součet délek všech jeho vazeb.
Obrázek 12 ukazuje dvě přerušované čáry, jejichž konce se shodují. Takové přerušované čáry se nazývají ZAVŘENO.
Příklad 1 . Segment BC je o 3 cm menší než segment AB, jehož délka je 8 cm (obr. 13). Najděte délku segmentu AC.
Řešení. Máme: BC = 8 − 3 = 5 (cm).
Pomocí vlastnosti délky úsečky můžeme napsat AC = AB + BC. Proto AC = 8 + 5 = 13 (cm).
Odpověď: 13 cm.
Příklad 2 . Je známo, že MK = 24 cm, NP = 32 cm, MP = 50 cm (obr. 14). Najděte délku segmentu NK.
Řešení. Máme: MN = MP − NP.
Proto MN = 50 − 32 = 18 (cm).
Máme: NK = MK − MN.
Proto NK = 24 − 18 = 6 (cm).
Odpověď: 6 cm.
Podle segmentu nazývat část přímky sestávající ze všech bodů této přímky, které se nacházejí mezi těmito dvěma body - nazývají se konce úsečky.
Podívejme se na první příklad. Nechť je určitý segment definován dvěma body v souřadnicové rovině. V tomto případě můžeme jeho délku zjistit pomocí Pythagorovy věty.
V souřadnicovém systému tedy nakreslíme segment s danými souřadnicemi jeho konců(x1; y1) A (x2; y2) . Na ose X A Y Nakreslete kolmice z konců segmentu. Označme červeně segmenty, které jsou průměty z původního segmentu na souřadnicovou osu. Poté přeneseme projekční segmenty rovnoběžně s konci segmentů. Dostaneme trojúhelník (obdélník). Přepona tohoto trojúhelníku bude samotný segment AB a jeho nohy jsou přenesenými projekcemi.
Vypočítejme délku těchto projekcí. Takže na osu Y délka projekce je y2-y1 a na ose X délka projekce je x2-x1 . Aplikujme Pythagorovu větu: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . V tomto případě |AB| je délka segmentu.
Pokud použijete tento diagram k výpočtu délky segmentu, nemusíte segment ani konstruovat. Nyní vypočítejme délku segmentu se souřadnicemi (1;3) A (2;5) . Použitím Pythagorovy věty dostaneme: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . To znamená, že délka našeho segmentu je rovna 5:1/2 .
Zvažte následující metodu pro zjištění délky segmentu. K tomu potřebujeme znát souřadnice dvou bodů v nějaké soustavě. Zvažme tuto možnost pomocí dvourozměrného kartézského souřadnicového systému.
Takže ve dvourozměrném souřadnicovém systému jsou zadány souřadnice krajních bodů segmentu. Pokud těmito body vedeme přímky, musí být kolmé na souřadnicovou osu, pak dostaneme pravoúhlý trojúhelník. Původní úsečka bude přepona výsledného trojúhelníku. Nohy trojúhelníku tvoří úsečky, jejich délka se rovná průmětu přepony na souřadnicové osy. Na základě Pythagorovy věty docházíme k závěru: abyste našli délku daného segmentu, musíte najít délky průmětů na dvě souřadnicové osy.
Najdeme délky projekcí (X a Y) původní segment na souřadnicové osy. Vypočítáme je tak, že najdeme rozdíl v souřadnicích bodů podél samostatné osy: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Vypočítejte délku segmentu A , k tomu najdeme druhou odmocninu:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Pokud se náš segment nachází mezi body, jejichž souřadnice 2;4 A 4;1 , pak je jeho délka odpovídajícím způsobem rovna √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
