Změna funkce v určitém bodě je definována jako limit přírůstku funkce k přírůstku argumentu, který má tendenci k nule. K jeho nalezení použijte tabulku derivací. Například derivace funkce y = x3 bude rovna y’ = x2.
Srovnejte tuto derivaci s nulou (in v tomto případě x2=0).
Najděte hodnotu dané proměnné. To budou hodnoty, při kterých bude daná derivace rovna 0. K tomu dosaďte do výrazu místo x libovolná čísla, při kterých bude celý výraz nula. Například:
2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1
Vyneste získané hodnoty na souřadnicovou čáru a vypočítejte znaménko derivace pro každou ze získaných hodnot. Na souřadnicové čáře jsou vyznačeny body, které jsou brány jako počátek. Chcete-li vypočítat hodnotu v intervalech, nahraďte libovolné hodnoty, které odpovídají kritériím. Například pro předchozí funkci před intervalem -1 můžete vybrat hodnotu -2. Pro hodnoty od -1 do 1 můžete vybrat 0 a pro hodnoty větší než 1 vybrat 2. Dosaďte tato čísla do derivace a zjistěte znaménko derivace. V tomto případě bude derivace s x = -2 rovna -0,24, tzn. záporné a na tomto intervalu bude znaménko mínus. Pokud x=0, bude hodnota rovna 2 a na tento interval se umístí znaménko. Je-li x=1, bude derivace také rovna -0,24 a dá se mínus.
Pokud při průchodu bodem na souřadnicové čáře derivace změní své znaménko z mínus na plus, pak se jedná o minimální bod, a pokud z plus do mínus, pak se jedná o maximální bod.
Video k tématu
Chcete-li najít derivát, existují online služby, které počítají požadované hodnoty a zobrazí výsledek. Na takových stránkách můžete najít deriváty až 5. řádu.
Zdroje:
- Jedna ze služeb pro výpočet derivátů
- maximální bod funkce
Maximální body funkce spolu s minimálními body se nazývají extrémní body. V těchto bodech funkce mění své chování. Extrémy se určují v omezených číselných intervalech a jsou vždy lokální.
Instrukce
Proces hledání lokálních extrémů se nazývá funkce a provádí se analýzou první a druhé derivace funkce. Před zahájením studie se ujistěte, že zadaný rozsah hodnot argumentů patří k platným hodnotám. Například pro funkci F=1/x není argument x=0 platný. Nebo pro funkci Y=tg(x) argument nemůže mít hodnotu x=90°.
Ujistěte se, že funkce Y je diferencovatelná v celém daném intervalu. Najděte první derivaci Y." Je zřejmé, že před dosažením bodu lokálního maxima funkce roste a při průchodu maximem se funkce stává klesající. První derivace ve svém fyzický význam charakterizuje rychlost změny funkce. Zatímco funkce roste, rychlost tohoto procesu je pozitivní. Při průchodu lokálním maximem se funkce začíná snižovat a rychlost změny funkce se stává zápornou. K přechodu rychlosti změny funkce přes nulu dochází v bodě lokálního maxima.
Pro funkci f(x) mnoha proměnných je bod x vektor, f'(x) je vektor prvních derivací (gradientu) funkce f(x), f ′ ′(x) je symetrická matice druhé parciální derivace (Hessova matice - Hessova) funkce f(x).
Pro funkci mnoha proměnných jsou podmínky optimality formulovány následovně.
Nezbytná podmínka pro lokální optimalitu. Nechť f(x) je diferencovatelná v bodě x * R n . Pokud x * je lokální extrémní bod, pak f’(x *) = 0.
Stejně jako dříve se body, které jsou řešením soustavy rovnic, nazývají stacionární. Povaha stacionárního bodu x * je spojena s určitým znaménkem Hessovy matice f′ ′(x).
Znaménko matice A závisí na znaménkách kvadratického tvaru Q(α)=< α A, α >pro všechna nenulová α∈R n .
Tady i dále
Matice A je kladně (nezáporná) definitní, pokud Q(α)>0 (Q(α)≥0) pro všechna nenulová α∈R n ; negativní (nepozitivní) určitý, pokud Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 pro nějaké nenulové α∈R n a Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Dostatečný stav pro lokální optimalitu. Nechť f(x) je dvakrát diferencovatelné v bodě x * R n a f’(x *)=0, tzn. x * − stacionární bod. Pak, jestliže matice f′′(x *) je kladně (záporná) definitní, pak x * je lokální minimální (maximum) bod; pokud matice f′′(x *) není definována, pak x * je sedlový bod.
Je-li matice f′′(x *) nezáporně (nepozitivně) definitní, pak k určení povahy stacionárního bodu x * je potřeba studium derivací vyšších řádů.
Pro kontrolu znaménka matice se zpravidla používá Sylvesterovo kritérium. Podle tohoto kritéria je symetrická matice A kladně definitní tehdy a jen tehdy, když jsou všechny její úhlové minority kladné. V tomto případě je úhlová minor matice A determinantem matice sestavené z prvků matice A umístěných v průsečíku řádků a sloupců se stejnými (a prvními) čísly. Chcete-li zkontrolovat symetrickou matici A na negativní definitivnost, musíte zkontrolovat matici (−A) na pozitivní definitivnost.
Algoritmus pro určení lokálních extrémních bodů funkce mnoha proměnných je tedy následující.
1. Najděte f′(x).
2. Systém se řeší 
Výsledkem je výpočet stacionárních bodů x i.
3. Najděte f′′(x), nastavte i=1.
4. Najděte f′′(x i)
5. Vypočítají se úhlové minory matice f′′(x i). Pokud nejsou všechny úhlové minority nenulové, pak určení povahy stacionárního bodu x i vyžaduje studium derivací vyšších řádů. V tomto případě se provede přechod na krok 8.
V opačném případě přejděte ke kroku 6.
6. Jsou analyzována znaménka úhlových minorů f′′(x i). Jestliže f′′(x i) je kladně definitní, pak x i je lokální minimální bod. V tomto případě se provede přechod na krok 8.
V opačném případě přejděte ke kroku 7.
7. Vypočítají se úhlové minory matice -f′′(x i) a analyzují se jejich znaménka.
Je-li -f′′(x i) − kladně definitní, pak f′′(x i) je záporně definitní a x i je lokální maximální bod.
Jinak f′′(x i) není definováno a x i je sedlový bod.
8. Kontroluje se podmínka pro určení charakteru všech stacionárních bodů i=N.
Pokud je splněno, je výpočet dokončen.
Není-li podmínka splněna, předpokládá se i=i+1 a provede se přechod ke kroku 4.
Příklad č. 1. Určete body lokálních extrémů funkce f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 
Protože všechny úhlové minory jsou nenulové, charakter x 2 je určen pomocí f′′(x).
Protože matice f′′(x 2) je kladně definitní, x 2 je bod lokálního minima.
Odpověď: funkce f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 má lokální minimum v bodě x = (5/3; 8/3).
MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ BODY
body, ve kterých zabírá největší resp nejmenší hodnotu na doméně definice; takové body se nazývají také body absolutního maxima nebo absolutního minima. Je-li f definováno na topologickém prostor X, pak bod x 0 volal bod lokálního maxima (lokálního minima), pokud takový bod existuje x 0,že pro omezení uvažované funkce v tomto sousedství bod x 0 je absolutní maximální (minimální) bod. Existují body přísného a nepřísného maxima (minima) (absolutního i lokálního). Například tečka volala bod nestriktního (striktního) lokálního maxima funkce f, pokud takové okolí bodu existuje x 0, což platí pro všechny (respektive f(x)
Pro funkce definované na konečně-rozměrných oblastech, v podmínkách diferenciálního počtu, existují podmínky a znaménka pro daný bod být bodem lokálního maxima (minima). Nechť je funkce f definována v určitém okolí bodu x 0 číselné osy. Li x 0 - bod nepřísného lokálního maxima (minima) a v tomto bodě existuje f"( x 0),
pak se rovná nule.
Je-li daná funkce f diferencovatelná v okolí bodu x 0, snad kromě tohoto bodu samotného, ve kterém je spojitý, a derivace f" na každé straně bodu x 0 v tomto sousedství zachovává konstantní znamení, pak aby x 0 byl bod přísného lokálního maxima (lokálního minima), je nutné a postačující, aby derivace změnila znaménko z plus na mínus, tedy pro f" (x)>0 v x<.x 0 a f"(x)<0 при x>x 0(respektive od mínus do plus: F"(X) <0
v x<x 0 a f"(x)>0 at x>x 0).
Ne však pro každou funkci diferencovatelnou v okolí bodu x 0, můžeme hovořit o změně znaménka derivace v tomto bodě. . "
Má-li funkce f v bodě x 0 t deriváty, a pak aby x 0 byl bod přísného lokálního maxima, je nutné a postačující, aby te bylo sudé a aby f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.
Nechť funkci f( x 1 ..., x n] je definován v n-rozměrném okolí bodu a je v tomto bodě diferencovatelný. Je-li x (0) bodem nestriktního lokálního maxima (minima), pak je funkce f v tomto bodě rovna nule. Tato podmínka je ekvivalentní rovnosti nuly v tomto bodě všech parciálních derivací 1. řádu funkce f. Pokud má funkce 2. spojité parciální derivace v x(0), všechny její 1. derivace v x(0) zmizí a diferenciál 2. řádu v x(0) je záporná (kladná) kvadratická forma, pak x (0) je bod přísného lokálního maxima (minima). Jsou známy podmínky pro M. a M.T diferencovatelné funkce, kdy jsou na změny v argumentech kladena určitá omezení: rovnice spojení jsou splněny. Nezbytné a postačující podmínky pro maximum (minimum) reálné funkce, která má složitější strukturu, se studují ve speciálních oborech matematiky: např. konvexní analýza, matematické programování(viz také Maximalizace a minimalizace funkcí).
M. a m.t funkce definované na varietách jsou studovány v variační počet obecně, a M. a m.t. pro funkce definované na funkčních prostorech, tj. pro funkcionály v variační počet. Existují také různé metodyčíselné přibližné stanovení m a m.t.
Lit.: Il'in V. A., Poznya k E. G., Základy matematická analýza, 3. vydání, část 1, M., 1971; KudrjavcevL. L. D. Kudrjavcev.
Matematická encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie.
I. M. Vinogradov.
1977-1985. Podívejte se, co je „MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ BOD“ v jiných slovnících:
Pontryaginův princip diskrétního maxima pro časově diskrétní řídicí procesy. Pro takový proces nemusí platit operátor konečné diference, i když pro jeho spojitou analogii získanou nahrazením operátoru konečné diference diferenciálním... ... Podívejte se, co je „MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ BOD“ v jiných slovnících:
Matematická encyklopedie Podívejte se, co je „MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ BOD“ v jiných slovnících:
Věta vyjadřující jednu z hlavních vlastností analytického modulu. funkcí. Nechť f(z) je pravidelná analytická nebo holomorfní funkce komplexních proměnných v oblasti D-komplexního číselného prostoru odlišného od konstanty, M.m.p. Podívejte se, co je „MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ BOD“ v jiných slovnících:
Hodnota spojité funkce, která je maximální nebo minimální (viz Maximální a minimální body). Termín lE... Podívejte se, co je „MAXIMÁLNÍ A MINIMÁLNÍ BOD“ v jiných slovnících:
Indikátor- (Indikátor) Indikátor je informačního systému, látka, zařízení, zařízení, které zobrazuje změny v jakémkoli parametru ukazatele grafu devizového trhu, co to je a kde je lze stáhnout? Popis MACD indikátorů,... ... Encyklopedie investorů
Tento termín má jiné významy, viz Extremum (významy). Extrém (lat. extrém extrém) v matematice je maximální nebo minimální hodnota funkce na dané množině. Bod, ve kterém je dosaženo extrému... ... Wikipedie
Diferenciální počet je odvětví matematické analýzy, která studuje koncepty derivace a diferenciálu a jak se vztahují na studium funkcí. Obsah 1 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné ... Wikipedie
Lemniskát a jeho ohniska Bernoulliho lemniskát je rovinná algebraická křivka. Definováno jako těžiště bodů, produkt ... Wikipedie
Divergence- (Divergence) Divergence jako indikátor Obchodní strategie s divergence MACD Obsah Obsah Oddíl 1. on. Sekce 2. Divergence jak. Divergence je termín používaný v ekonomii k označení pohybu podél divergentního... ... Encyklopedie investorů
$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Říkají, že má $f$ místní maximum v bodě $x_(0) \in E$, pokud existuje okolí $U$ bodu $x_(0)$ takové, že pro všechny $x \in U$ je nerovnost $f\left(x\right ) \leqslant f je splněno \left(x_(0)\right)$.
Místní maximum se nazývá přísný , pokud lze okolí $U$ vybrat tak, že pro všechny $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ je $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
Definice
Nechť $f$ je reálná funkce na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Říkají, že má $f$ místní minimum v bodě $x_(0) \in E$, pokud existuje okolí $U$ bodu $x_(0)$ takové, že nerovnost $f\left(x\right) \geqslant f platí pro všechny $ x \v U$ \left(x_(0)\vpravo)$.
Místní minimum se nazývá přísné, pokud lze vybrat okolí $U$ tak, že pro všechny $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ existuje $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\vpravo)$.
Lokální extrém spojuje pojmy lokální minimum a lokální maximum.
Věta ( nutná podmínka extrém diferencovatelné funkce)
Nechť $f$ je reálná funkce na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Pokud v bodě $x_(0) \in E$ má funkce $f$ lokální extrém a v tomto bodě pak $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Rovnost diferenciálu k nule je ekvivalentní skutečnosti, že všichni jsou rovni nule, tzn. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
V jednorozměrném případě je to – . Označme $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kde $h$ je libovolný vektor. Funkce $\phi$ je definována pro hodnoty $t$, které jsou dostatečně malé v absolutní hodnotě. Navíc je diferencovatelná vzhledem k , a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Nechť $f$ má lokální maximum v bodě x $0$. To znamená, že funkce $\phi$ při $t = 0$ má lokální maximum a podle Fermatovy věty $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Takže jsme dostali, že $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkce $f$ v bodě $x_(0)$ je rovna nule na libovolném vektoru $h$.
Definice
Body, ve kterých je diferenciál nulový, tzn. ty, ve kterých jsou všechny parciální derivace rovny nule, se nazývají stacionární. Kritické body funkce $f$ jsou ty body, ve kterých $f$ není diferencovatelná nebo se rovná nule. Pokud je bod stacionární, pak z toho nevyplývá, že funkce má v tomto bodě extrém.
Příklad 1.
Nechť $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Potom $\displaystyle\frac(\částečné f)(\částečné x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\částečné f)(\částečné y) = 3 \cdot y^(2 )$, takže $\left(0,0\right)$ je stacionární bod, ale funkce v tomto bodě nemá žádný extrém. Ve skutečnosti $f \left(0,0\right) = 0$, ale je snadné vidět, že v jakémkoli okolí bodu $\left(0,0\right)$ funkce nabývá kladných i záporných hodnot.
Příklad 2
Funkce $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ má ve svém počátku stacionární bod, ale je jasné, že v tomto bodě neexistuje žádný extrém.
Věta (dostatečná podmínka pro extrém).
Nechť je funkce $f$ dvakrát spojitě diferencovatelná na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Nechť $x_(0) \in E$ je stacionární bod a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\částečné^(2) f)(\částečné x_(i) \částečné x_(j)) \left(x_(0)\vpravo)h^(i)h^(j).$ $ Pak
- pokud $Q_(x_(0))$ – , pak funkce $f$ v bodě $x_(0)$ má lokální extrém, konkrétně minimum, pokud je tvar kladně definitní, a maximum, pokud je tvar negativní určitý;
- pokud kvadratický tvar $Q_(x_(0))$ není definován, pak funkce $f$ v bodě $x_(0)$ nemá extrém.
Použijme rozšíření podle Taylorova vzorce (12,7 s. 292). Vzhledem k tomu, že parciální derivace prvního řádu v bodě $x_(0)$ jsou rovné nule, dostaneme $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ vpravo) = \ frac(1)(2) \součet_(i=1)^n \součet_(j=1)^n \frac(\částečný^(2) f)(\částečný x_(i) \částečný x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pro $h \rightarrow 0$, pak pravá strana bude kladné pro jakýkoli vektor $h$ dostatečně malé délky.
Došli jsme tedy k závěru, že v určitém okolí bodu $x_(0)$ platí nerovnost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, pokud pouze $ x \neq x_ (0)$ (vložíme $x=x_(0)+h$\vpravo). To znamená, že v bodě $x_(0)$ má funkce striktní lokální minimum, a tím je dokázána první část naší věty.
Předpokládejme nyní, že $Q_(x_(0))$ – neurčitá forma. Pak existují vektory $h_(1)$, $h_(2)$ takové, že $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Pak dostaneme $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ vlevo[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pro dostatečně malé $t>0$ je pravá ruka strana je pozitivní. To znamená, že v libovolném okolí bodu $x_(0)$ funkce $f$ nabývá hodnot $f \left(x\right)$ větší než $f \left(x_(0)\right)$.
Podobně zjistíme, že v libovolném okolí bodu $x_(0)$ nabývá funkce $f$ hodnoty menší než $f \left(x_(0)\right)$. To spolu s předchozím znamená, že v bodě $x_(0)$ funkce $f$ nemá extrém.
Uvažujme speciální případ této věty pro funkci $f \left(x,y\right)$ dvou proměnných definovaných v určitém okolí bodu $\left(x_(0),y_(0)\right)$ a majících spojité částečné deriváty prvního v tomto sousedství a druhého řádu. Předpokládejme, že $\left(x_(0),y_(0)\right)$ je stacionární bod a označte $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(x_( 0) ), y_(0)\vpravo), a_(22)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\vpravo ) .$$ Pak má předchozí věta následující tvar.
Teorém
Nechť $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pak:
- pokud $\Delta>0$, pak má funkce $f$ lokální extrém v bodě $\left(x_(0),y_(0)\right)$, konkrétně minimum, pokud $a_(11)> 0 $ a maximum, pokud $a_(11)<0$;
- pokud $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Příklady řešení problémů
Algoritmus pro nalezení extrému funkce mnoha proměnných:
- Hledání stacionárních bodů;
- Najděte diferenciál 2. řádu ve všech stacionárních bodech
- Pomocí postačující podmínky pro extrém funkce mnoha proměnných uvažujeme diferenciál 2. řádu v každém stacionárním bodě
- Prozkoumejte funkci pro extrém $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
ŘešeníNajdeme parciální derivace 1. řádu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Složíme a vyřešíme systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\částečné f)(\částečné y)= 0\konec (případy) \Šipka doprava \začátek(případy)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Z 2. rovnice vyjádříme $x=4 \cdot y^(2)$ - dosadíme do 1. rovnice: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Výsledkem jsou 2 stacionární body:
1) $y=0 \Šipka doprava x = 0, M_(1) = \levá(0, 0\vpravo)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Šipka doprava y^(3)=\frac(1)(8) \Šipka doprava y = \frac(1)(2) \Šipka doprava x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\vpravo)$
Pojďme zkontrolovat, zda je splněna dostatečná podmínka pro extrém:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y)=-6; \frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2))=48 \cdot y$$
1) Pro bod $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(0,0\vpravo)=-6; C_(1)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(0,0\vpravo)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Pro bod $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(1,\frac(1)(2)\vpravo)=-6; C_(2)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\vpravo)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, což znamená, že v bodě $M_(2)$ je extrém, a protože $A_(2)> 0 $, pak je to minimum.
Odpověď: Bod $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimální bod funkce $f$. - Prozkoumejte funkci pro extrém $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
ŘešeníNajdeme stacionární body: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
Pojďme složit a vyřešit systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Šipka vpravo \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(case) y = 2\\y + x = 1\konec (případy) \Šipka doprava x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionární bod.
Zkontrolujeme, zda je splněna dostatečná podmínka pro extrém: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\částečný^(2) f)(\částečný y^(2)) \levý(-1,2\vpravo)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Odpověď: neexistují žádné extrémy.
Časový limit: 0
Navigace (pouze čísla úloh)
0 ze 4 úkolů dokončeno
Informace
Udělejte si tento kvíz a otestujte své znalosti o tématu, které jste právě četli: Místní extrémy funkcí více proměnných.
Test jste již absolvovali. Nemůžeš to znovu spustit.
Testovací načítání...
Pro zahájení testu se musíte přihlásit nebo zaregistrovat.
Chcete-li zahájit tento test, musíte provést následující testy:
Výsledky
Správné odpovědi: 0 ze 4
Váš čas:
Čas vypršel
Získali jste 0 z 0 bodů (0)
Váš výsledek byl zaznamenán do výsledkové tabulky
- S odpovědí
- Se značkou pohledu
Úkol 2 ze 4
2 .
Počet bodů: 1Má funkce $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ extrém
Úkol 1 ze 4
1 .
Počet bodů: 1Prozkoumejte funkci $f$ pro extrémy: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Právo
Špatně
$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Říkají, že má $f$ místní maximum v bodě $x_(0) \in E$, pokud existuje okolí $U$ bodu $x_(0)$ takové, že pro všechny $x \in U$ je nerovnost $f\left(x\right ) \leqslant f je splněno \left(x_(0)\right)$.
Místní maximum se nazývá přísný , pokud lze okolí $U$ vybrat tak, že pro všechny $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ je $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
Definice
Nechť $f$ je reálná funkce na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Říkají, že má $f$ místní minimum v bodě $x_(0) \in E$, pokud existuje okolí $U$ bodu $x_(0)$ takové, že nerovnost $f\left(x\right) \geqslant f platí pro všechny $ x \v U$ \left(x_(0)\vpravo)$.
Místní minimum se nazývá přísné, pokud lze vybrat okolí $U$ tak, že pro všechny $x \in U$ odlišné od $x_(0)$ existuje $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\vpravo)$.
Lokální extrém spojuje pojmy lokální minimum a lokální maximum.
Věta (nutná podmínka pro extrém diferencovatelné funkce)
Nechť $f$ je reálná funkce na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Pokud má v bodě $x_(0) \in E$ funkce $f$ v tomto bodě lokální extrém, pak $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Rozdíl rovný nule je ekvivalentní skutečnosti, že všechny jsou rovny nule, tzn. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
V jednorozměrném případě je to – . Označme $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, kde $h$ je libovolný vektor. Funkce $\phi$ je definována pro hodnoty $t$, které jsou dostatečně malé v absolutní hodnotě. Navíc je diferencovatelná vzhledem k , a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Nechť $f$ má lokální maximum v bodě x $0$. To znamená, že funkce $\phi$ při $t = 0$ má lokální maximum a podle Fermatovy věty $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Takže jsme dostali, že $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkce $f$ v bodě $x_(0)$ je rovna nule na libovolném vektoru $h$.
Definice
Body, ve kterých je diferenciál nulový, tzn. ty, ve kterých jsou všechny parciální derivace rovny nule, se nazývají stacionární. Kritické body funkce $f$ jsou ty body, ve kterých $f$ není diferencovatelná nebo se rovná nule. Pokud je bod stacionární, pak z toho nevyplývá, že funkce má v tomto bodě extrém.
Příklad 1.
Nechť $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Potom $\displaystyle\frac(\částečné f)(\částečné x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\částečné f)(\částečné y) = 3 \cdot y^(2 )$, takže $\left(0,0\right)$ je stacionární bod, ale funkce v tomto bodě nemá žádný extrém. Ve skutečnosti $f \left(0,0\right) = 0$, ale je snadné vidět, že v jakémkoli okolí bodu $\left(0,0\right)$ funkce nabývá kladných i záporných hodnot.
Příklad 2
Funkce $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ má ve svém počátku stacionární bod, ale je jasné, že v tomto bodě neexistuje žádný extrém.
Věta (dostatečná podmínka pro extrém).
Nechť je funkce $f$ dvakrát spojitě diferencovatelná na otevřené množině $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Nechť $x_(0) \in E$ je stacionární bod a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\částečné^(2) f)(\částečné x_(i) \částečné x_(j)) \left(x_(0)\vpravo)h^(i)h^(j).$ $ Pak
- pokud $Q_(x_(0))$ – , pak funkce $f$ v bodě $x_(0)$ má lokální extrém, konkrétně minimum, pokud je tvar kladně definitní, a maximum, pokud je tvar negativní určitý;
- pokud kvadratický tvar $Q_(x_(0))$ není definován, pak funkce $f$ v bodě $x_(0)$ nemá extrém.
Použijme rozšíření podle Taylorova vzorce (12,7 s. 292). Vzhledem k tomu, že parciální derivace prvního řádu v bodě $x_(0)$ jsou rovné nule, dostaneme $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ vpravo) = \ frac(1)(2) \součet_(i=1)^n \součet_(j=1)^n \frac(\částečný^(2) f)(\částečný x_(i) \částečný x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ kde $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ a $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ pro $h \rightarrow 0$, pak bude pravá strana kladná pro jakýkoli vektor $h$ dostatečně malé délky.
Došli jsme tedy k závěru, že v určitém okolí bodu $x_(0)$ platí nerovnost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, pokud pouze $ x \neq x_ (0)$ (vložíme $x=x_(0)+h$\vpravo). To znamená, že v bodě $x_(0)$ má funkce striktní lokální minimum, a tím je dokázána první část naší věty.
Předpokládejme nyní, že $Q_(x_(0))$ je neurčitý tvar. Pak existují vektory $h_(1)$, $h_(2)$ takové, že $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Pak dostaneme $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ vlevo[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Pro dostatečně malé $t>0$ je pravá ruka strana je pozitivní. To znamená, že v libovolném okolí bodu $x_(0)$ funkce $f$ nabývá hodnot $f \left(x\right)$ větší než $f \left(x_(0)\right)$.
Podobně zjistíme, že v libovolném okolí bodu $x_(0)$ nabývá funkce $f$ hodnoty menší než $f \left(x_(0)\right)$. To spolu s předchozím znamená, že v bodě $x_(0)$ funkce $f$ nemá extrém.
Uvažujme speciální případ této věty pro funkci $f \left(x,y\right)$ dvou proměnných, definovaných v nějakém okolí bodu $\left(x_(0),y_(0)\right )$ a mající spojité parciální derivace prvního a druhého řádu. Předpokládejme, že $\left(x_(0),y_(0)\right)$ je stacionární bod a označte $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(x_( 0) ), y_(0)\vpravo), a_(22)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\vpravo ) .$$ Pak má předchozí věta následující tvar.
Teorém
Nechť $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Pak:
- pokud $\Delta>0$, pak má funkce $f$ lokální extrém v bodě $\left(x_(0),y_(0)\right)$, konkrétně minimum, pokud $a_(11)> 0 $ a maximum, pokud $a_(11)<0$;
- pokud $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Příklady řešení problémů
Algoritmus pro nalezení extrému funkce mnoha proměnných:
- Hledání stacionárních bodů;
- Najděte diferenciál 2. řádu ve všech stacionárních bodech
- Pomocí postačující podmínky pro extrém funkce mnoha proměnných uvažujeme diferenciál 2. řádu v každém stacionárním bodě
- Prozkoumejte funkci pro extrém $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
ŘešeníNajdeme parciální derivace 1. řádu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Složíme a vyřešíme systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\částečné f)(\částečné y)= 0\konec (případy) \Šipka doprava \začátek(případy)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Z 2. rovnice vyjádříme $x=4 \cdot y^(2)$ - dosadíme do 1. rovnice: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Výsledkem jsou 2 stacionární body:
1) $y=0 \Šipka doprava x = 0, M_(1) = \levá(0, 0\vpravo)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Šipka doprava y^(3)=\frac(1)(8) \Šipka doprava y = \frac(1)(2) \Šipka doprava x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\vpravo)$
Pojďme zkontrolovat, zda je splněna dostatečná podmínka pro extrém:
$$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y)=-6; \frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2))=48 \cdot y$$
1) Pro bod $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(0,0\vpravo)=-6; C_(1)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(0,0\vpravo)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Pro bod $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(1,\frac(1)(2)\vpravo)=-6; C_(2)=\frac(\částečné^(2) f)(\částečné y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\vpravo)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, což znamená, že v bodě $M_(2)$ je extrém, a protože $A_(2)> 0 $, pak je to minimum.
Odpověď: Bod $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimální bod funkce $f$. - Prozkoumejte funkci pro extrém $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
ŘešeníNajdeme stacionární body: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
Pojďme složit a vyřešit systém: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Šipka vpravo \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(case) y = 2\\y + x = 1\konec (případy) \Šipka doprava x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionární bod.
Zkontrolujeme, zda je splněna dostatečná podmínka pro extrém: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\částečné x \částečné y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\částečný^(2) f)(\částečný y^(2)) \levý(-1,2\vpravo)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Odpověď: neexistují žádné extrémy.
Časový limit: 0
Navigace (pouze čísla úloh)
0 ze 4 úkolů dokončeno
Informace
Udělejte si tento kvíz a otestujte své znalosti o tématu, které jste právě četli: Místní extrémy funkcí více proměnných.
Test jste již absolvovali. Nemůžeš to znovu spustit.
Testovací načítání...
Pro zahájení testu se musíte přihlásit nebo zaregistrovat.
Chcete-li zahájit tento test, musíte provést následující testy:
Výsledky
Správné odpovědi: 0 ze 4
Váš čas:
Čas vypršel
Získali jste 0 z 0 bodů (0)
Váš výsledek byl zaznamenán do výsledkové tabulky
- S odpovědí
- Se značkou pohledu
Úkol 2 ze 4
2 .
Počet bodů: 1Má funkce $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ extrém
Úkol 1 ze 4
1 .
Počet bodů: 1Prozkoumejte funkci $f$ pro extrémy: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Právo
Špatně
