Lagrangeova multiplikační metoda je klasickou metodou pro řešení problémů matematického programování (zejména konvexního programování). Praktická aplikace metody může bohužel narazit na značné výpočetní potíže, zužující rozsah jejího použití. O Lagrangeově metodě zde uvažujeme především proto, že se jedná o aparát, který se aktivně používá k doložení různých moderních numerických metod, které jsou v praxi hojně využívány. Pokud jde o funkci Lagrange a multiplikátory Lagrange, hrají nezávisle a výhradně důležitá role v teorii a aplikacích nejen matematického programování.
Zvažte klasický problém optimalizace
max (min) z=f(x) (7,20)
Tento problém vyniká z problému (7.18), (7.19) tím, že mezi omezeními (7.21) nejsou nerovnosti, nejsou podmínky pro nezáporné proměnné, jejich diskrétnost a funkce f(x) jsou spojité a mají parciální derivace alespoň druhého řádu.
Klasický přístup k řešení problému (7.20), (7.21) dává soustavu rovnic ( potřebné podmínky), který musí splňovat bod x*, který poskytuje funkci f(x) lokální extrém na množině bodů splňujících omezení (7.21) (pro konvexní programovací problém nalezený bod x*, v souladu s Věta 7.6 bude zároveň bodem globálního extrému).
Předpokládejme, že v bodě x* funkce (7.20) má lokální podmíněný extrém a hodnost matice je rovna . Poté budou potřebné podmínky zapsány ve tvaru:
(7.22)
existuje Lagrangeova funkce; - Lagrangeovy multiplikátory.
Jsou také dostatečné podmínky, za kterých řešení soustavy rovnic (7.22) určuje krajní bod funkce f(x). Tato otázka je vyřešena na základě studia znaménka druhého diferenciálu Lagrangeovy funkce. Dostatečné podmínky jsou však především teoretického zájmu.
Můžete zadat následující postup pro řešení problému (7.20), (7.21) pomocí metody Lagrangeova multiplikátoru:
1) sestavte Lagrangeovu funkci (7.23);
2) najděte parciální derivace Lagrangeovy funkce vzhledem ke všem proměnným 
a nastavte je na nulu. Výsledkem bude systém (7.22), který se skládá z rovnic. Vyřešte výsledný systém (pokud se to ukáže jako možné!) a najděte tak všechny stacionární body Lagrangeovy funkce;
3) ze stacionárních bodů odebraných bez souřadnic vyberte body, ve kterých má funkce f(x) podmíněné lokální extrémy za přítomnosti omezení (7.21). Tato volba se provádí například pomocí dostatečné podmínky lokální extrém. Studie se často zjednoduší, pokud se použijí specifické podmínky problému.
Příklad 7.3. Najděte optimální rozložení omezeného zdroje v jednotkách. mezi n spotřebiteli, pokud se zisk získaný z přidělení x j jednotek zdroje j-tému spotřebiteli vypočítá podle vzorce .
Řešení. Matematický model problému má následující podobu:
Skládáme Lagrangeovu funkci:
.
Shledáváme parciální derivace Lagrangeovy funkce a přirovnat je k nule:
Řešením tohoto systému rovnic dostaneme:
Pokud jsou tedy j-tému spotřebiteli přiděleny jednotky. zdroje, pak celkový zisk dosáhne své maximální hodnoty a bude činit den. Jednotky
Zkoumali jsme Lagrangeovu metodu aplikovanou na klasický optimalizační problém. Tuto metodu lze zobecnit na případ, kdy jsou proměnné nezáporné a některá omezení jsou dána ve formě nerovností. Toto zobecnění je však primárně teoretické a nevede ke konkrétním výpočetním algoritmům.
Na závěr uveďme Lagrangeovy multiplikátory ekonomický výklad. Abychom toho dosáhli, přejděme k nejjednoduššímu klasickému optimalizačnímu problému
max (min) z=F(X 1 , X 2); (7.24)
𝜑(x 1, x 2)=b. (7,25)
Předpokládejme, že podmíněného extrému je dosaženo v bodě . Odpovídající extrémní hodnota funkce F(X)
Předpokládejme, že v omezení (7.25) množství b se může změnit, pak souřadnice extrémního bodu, a tedy i extrémní hodnota F* funkcí F(X) se stanou množstvími v závislosti na b, tj. 
,
, a proto derivace funkce (7.24)
Uvažujme lineární nehomogenní diferenciální rovnici prvního řádu:
(1)
.
Existují tři způsoby, jak vyřešit tuto rovnici:
- metoda variace konstanty (Lagrangeova).
Uvažujme řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu pomocí Lagrangeovy metody.
Metoda variace konstanty (Lagrangeova)
Ve variační metodě konstanty řešíme rovnici ve dvou krocích. V první fázi zjednodušujeme původní rovnice a vyřešit homogenní rovnici. Ve druhé fázi nahradíme integrační konstantu získanou v první fázi řešení funkcí. Pak hledáme společné rozhodnutí původní rovnice.
Zvažte rovnici:
(1)
Krok 1 Řešení homogenní rovnice
Hledáme řešení homogenní rovnice:
Toto je oddělitelná rovnice
Oddělíme proměnné - vynásobíme dx, vydělíme y:
Pojďme integrovat:
Integrál nad y - tabulkový:
Pak
Pojďme potencovat:
Nahraďme konstantu e C za C a odeberme znaménko modulu, což vede k násobení konstantou ±1, který zahrneme do C:
Krok 2 Nahraďte konstantu C funkcí
Nyní nahradíme konstantu C funkcí x:
C → u (X)
To znamená, že budeme hledat řešení původní rovnice (1)
tak jako:
(2)
Hledání derivace.
Podle pravidla diferenciace komplexní funkce:
.
Podle pravidla diferenciace produktů:
.
Dosaďte do původní rovnice (1)
:
(1)
;
.
Dva členové jsou sníženi:
;
.
Pojďme integrovat:
.
Vystřídejte v (2)
:
.
Výsledkem je obecné řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu:
.
Příklad řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu metodou Lagrange
Vyřešte rovnici
Řešení
Řešíme homogenní rovnici:
Oddělujeme proměnné:
Vynásobte:
Pojďme integrovat:
Tabulkové integrály:
Pojďme potencovat:
Nahradíme konstantu e C za C a odstraníme znaménka modulu:
Odtud:
Nahraďme konstantu C funkcí x:
C → u (X)
Hledání derivátu:
.
Dosaďte do původní rovnice:
;
;
Nebo:
;
.
Pojďme integrovat:
;
Řešení rovnice:
.
| Název parametru | Význam |
| Téma článku: | Lagrangeova metoda. |
| Rubrika (tematická kategorie) | Matematika |
Najít polynom znamená určit hodnoty jeho koeficientu 
. Chcete-li to provést, pomocí podmínky interpolace můžete vytvořit lineární systém algebraické rovnice(SLAU).
Determinant tohoto SLAE se obvykle nazývá Vandermondův determinant. Vandermondův determinant není roven nule pro for , to znamená v případě, kdy ve vyhledávací tabulce nejsou žádné odpovídající uzly. Lze však namítnout, že SLAE má řešení a toto řešení je jedinečné. Po vyřešení SLAE a určení neznámých koeficientů můžete sestrojit interpolační polynom.
Polynom, který splňuje podmínky interpolace, je při interpolaci Lagrangeovou metodou zkonstruován ve formě lineární kombinace polynomů n-tého stupně:
Polynomy se obvykle nazývají základní polynomy. V následujících situacích Lagrangeův polynom splňuje podmínky interpolace, je nesmírně důležité, aby jeho základní polynomy vyhovovaly následující podmínky:
Pro 
.
Pokud jsou tyto podmínky splněny, pak pro všechny máme:
Splnění specifikovaných podmínek pro základní polynomy navíc znamená, že jsou splněny i podmínky interpolace.
Určeme typ bázových polynomů na základě omezení, která jsou na ně kladena.
1. podmínka: na .
2. podmínka: .
Nakonec pro základní polynom můžeme napsat:
Dosazením výsledného výrazu pro základní polynomy do původního polynomu získáme konečný tvar Lagrangeova polynomu:
Konkrétní forma Lagrangeova polynomu at se obvykle nazývá lineární interpolační vzorec:
.
Lagrangeův polynom se obvykle nazývá kvadratický interpolační vzorec:
Lagrangeova metoda. - koncepce a typy. Klasifikace a vlastnosti kategorie "Lagrangeova metoda." 2017, 2018.
Lineární dálkové ovladače. Definice. Typ DU tj. lineární vzhledem k neznámé funkci a její derivace se nazývá lineární. Pro řešení tohoto typu budeme uvažovat dvě metody: Lagrangeovu metodu a Bernoulliho metodu Uvažujme homogenní diferenciální rovnici Tato rovnice je se separovatelnými proměnnými Řešení rovnice je Obecné... .
Definice. Řídicí systém se nazývá homogenní, pokud lze funkci reprezentovat jako vztah mezi jejími argumenty. F-Jsem volán homogenní fth měření if Příklady: 1) - 1. řád homogenity. 2) - 2. řád homogenity. 3) - nulový řád homogenity (prostě homogenní... .
Extrémní problémy mají velká důležitost v ekonomických výpočtech. Jedná se například o výpočet maximálního příjmu, zisku, minimálních nákladů v závislosti na několika proměnných: zdrojích, výrobních aktivech atd. Teorie hledání extrémů funkcí... .
3. 2. 1. DE s oddělitelnými proměnnými S.R. 3. V přírodních vědách, technice a ekonomii se často musí zabývat empirickými vzorci, tzn. vzorce sestavené na základě zpracování statistických dat nebo...
LAGRANGEOVA METODA
Metoda pro redukci kvadratické formy na součet čtverců, kterou v roce 1759 naznačil J. Lagrange. Ať je dáno
z proměnných x 0 , X 1 ,..., x n.
s koeficienty z oboru k charakteristika Je požadováno, aby tento formulář byl kanonický. mysl
pomocí nedegenerované lineární transformace proměnných. L. m. se skládá z následujícího. Můžeme předpokládat, že ne všechny koeficienty tvaru (1) jsou rovny nule. Jsou tedy možné dva případy.
1) Pro některé G, diagonální Pak
kde tvar f 1 (x) neobsahuje proměnnou x g . 2) Pokud všechno 
Ale
Že
kde tvar f 2 (x) neobsahuje dvě proměnné x g A x h . Tvary pod čtvercovými znaménky v (4) jsou lineárně nezávislé. Aplikací transformací tvaru (3) a (4) se tvar (1) po konečném počtu kroků zredukuje na součet čtverců lineárně nezávislých lineárních tvarů. Pomocí parciálních derivací lze zapsat vzorce (3) a (4) ve tvaru
Lit.: G a n t m a k h e r F. R., Teorie matic, 2. vyd., M., 1966; K u r o sh A. G., Kurz vyšší algebry, 11. vyd., M., 1975; Alexandrov P.S., Přednášky z analytické geometrie..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.
Matematická encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Podívejte se, co je "LAGRANGE METODA" v jiných slovnících:
Lagrangeova metoda- Lagrangeova metoda je metoda pro řešení řady tříd úloh matematického programování nalezením sedlového bodu (x*, λ*) Lagrangeovy funkce, kterého se dosáhne nulou parciálních derivací této funkce vzhledem k ... ... Ekonomický a matematický slovník
Lagrangeova metoda- Metoda pro řešení řady tříd úloh matematického programování nalezením sedlového bodu (x*, ?*) Lagrangeovy funkce, čehož dosáhneme přirovnáním parciálních derivací této funkce vzhledem k xi a?i k nule. . Viz Lagrangian. )
