∀ x 1, x 2 ∈ (a, b), x 1 Z toho vyplývá, že. K tomu, aby metoda konvergovala, tedy stačí, že ∀ x ∈ [ a , b ] |

φ ′ (x) |[ | ]

≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.) Obecný algoritmus pro postupné aproximace Při aplikaci na obecný případ operátorových rovnic se tato metoda nazývá metoda postupných aproximací nebo

jednoduchou iterační metodou[ | ]

. Rovnici však lze převést na mapu kontrakce se stejným kořenem různými způsoby. To vede k řadě konkrétních metod, které mají jak lineární, tak vyšší míru konvergence.

Ve vztahu ke SLAU

Zvažte systém:

( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+) \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(pole))\vpravo.)

Pro něj bude iterativní výpočet vypadat takto: (x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 2) (x 1 x 1) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(pole)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end (pole))\vpravo)^(i+1)=\left((\začátek(pole)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(pole))\vpravo )\left((\začátek(pole)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vtečky \\x_(n)\konec(pole))\vpravo)^(i)-\left( (\začátek(pole)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vtečky \\b_(n)\konec (pole))\vpravo))< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}

Metoda bude konvergovat s lineární rychlostí, jestliže

‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖

Dvojité svislé pruhy označují určitou normu matice.[ | ]

Řešení rovnice f(x)=0 Newtonovou metodou, počáteční aproximace: x 1 =a.[ | ]

Newtonova metoda (metoda tečny) Jednorozměrné pouzdro Optimalizace transformace původní rovnice f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0) do kompresního displeje

x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x)) nám umožňuje získat metodu s kvadratickou rychlostí konvergence. Aby bylo mapování nejúčinnější, je nutné, aby v bodě další iterace x ∗ (\displaystyle x^(*)) odneseno φ ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). Řešení této rovnice budeme hledat ve tvaru

Využijme toho Jednorozměrné pouzdro a dostaneme konečný vzorec pro α (x) (\displaystyle \alpha (x)):

S ohledem na to bude mít funkce komprese tvar:

Poté algoritmus pro nalezení numerického řešení rovnice Jednorozměrné pouzdro redukuje na postup iterativního výpočtu:

Nahraďme původní rovnici ekvivalentní a sestavme iterace podle pravidla . Jednoduchá iterační metoda je tedy jednokrokový iterační proces. Abyste mohli tento proces zahájit, musíte znát počáteční přiblížení. Zjistíme podmínky pro konvergenci metody a volbu počáteční aproximace.

Vstupenka č. 29

Seidelova metoda

Seidelova metoda (někdy nazývaná Gauss-Seidelova metoda) je modifikací jednoduché iterační metody, která spočívá v tom, že při výpočtu další aproximace x (k+1) (viz vzorce (1.13), (1.14)) je její již získané složky x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) se ihned použijí k výpočtu x i (k+1) .

Ve formě souřadnicového zápisu má metoda Seidel tvar:

X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + dn
kde x (0) je nějaká počáteční aproximace k řešení.

I-tá složka (k+1)-té aproximace se tedy vypočítá podle vzorce

Podmínka pro ukončení Seidelova iteračního procesu při dosažení přesnosti ε ve zjednodušené podobě má tvar:

|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.

Vstupenka č. 30

Způsob předávání

Pro řešení soustav A x = b s tridiagonální maticí se nejčastěji používá metoda rozmítání, která je adaptací Gaussovy metody na tento případ.

Napíšeme soustavu rovnic

d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n

v maticovém tvaru: A x = b kde

A=

Zapišme si vzorce metody rozmítání v pořadí jejich použití.

1. Přímý zdvih metody rozmítání (výpočet pomocných veličin):

2. Obraťte metodu rozmítání (nalezení řešení):

Vstupenka č. 31

Jednoduchá iterační metoda

Podstatou jednoduché iterační metody je přejít z rovnice

f(x)= 0 (*)

na ekvivalentní rovnici

X=φ(x). (**)

Tento přechod lze provést různými způsoby v závislosti na typu f(x). Například můžete dát

φ(x) = X+bf(x),(***)

Kde b= const, přičemž kořeny původní rovnice se nezmění.

Pokud je známa počáteční aproximace ke kořenu x 0, pak nová aproximace

x 1=φx(0),

těch. obecné schéma iteračního procesu:

x k+1=φ(x k).(****)

Nejjednodušší kritérium pro ukončení procesu

|x k +1 -x k |<ε.

Kritérium konvergence jednoduchá iterační metoda:

pokud blízko kořene | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого X, pak iterace konvergují pro jakoukoli počáteční aproximaci.

Pojďme prozkoumat volbu konstanty b z hlediska zajištění maximální rychlosti konvergence. V souladu s kritériem konvergence je nejvyšší rychlost konvergence poskytnuta, když |φ / (x)| = 0. Zároveň na základě (***) b = –1/f / (x), a iterační vzorec (****) přejde do x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- těch. do vzorce Newtonovy metody. Newtonova metoda je tedy speciálním případem jednoduché iterační metody, poskytující nejvyšší rychlost konvergence ze všech možných možností výběru funkce φ(x).

Vstupenka č. 32

Newtonova metoda

Hlavní myšlenka metody je následující: počáteční aproximace je specifikována v blízkosti hypotetického kořene, načež je v aproximačním bodě vytvořena tečna ke studované funkci, pro kterou je nalezen průsečík s osou úsečky. Tento bod je brán jako další aproximace. A tak dále, dokud není dosaženo požadované přesnosti.

Nechť je funkce s reálnou hodnotou definovaná na intervalu a na něm diferencovatelná. Potom vzorec pro iterativní aproximační počet lze odvodit takto:

kde α je úhel sklonu tečny v bodě.

Požadovaný výraz pro má tedy tvar:

Vstupenka č. 33

Metoda zlatého poměru
Metoda zlatého řezu umožňuje eliminovat intervaly výpočtem pouze jedné funkční hodnoty v každé iteraci. V důsledku dvou uvažovaných funkčních hodnot je určen interval, který by měl být použit v budoucnu. Tento interval bude obsahovat jeden z předchozích bodů a další bod umístěný symetricky k němu. Bod rozděluje interval na dvě části tak, že poměr celku k větší části je roven poměru větší části k menší, tedy rovný tzv. „zlatému řezu“.

Rozdělení intervalu na nestejné části vám umožní najít ještě efektivnější metodu. Vypočítejme funkci na koncích segmentu [ A,b] a položte A=X 1 , b=X 2. Vypočítejme také funkci ve dvou vnitřních bodech X 3 , X 4. Porovnejme všechny čtyři hodnoty funkce a vybereme z nich nejmenší. Nechť dopadne například nejmenší F(x 3). Je zřejmé, že minimum musí být v jednom ze segmentů, které k němu přiléhají. Proto segment [ X 4 ,b] lze zahodit a opustit segment .

První krok byl učiněn. Na segmentu musíte opět vybrat dva vnitřní body, vypočítat funkční hodnoty na nich a na koncích a provést další krok. Ale v předchozím kroku výpočtů jsme již našli funkci na koncích nového segmentu a v jednom z jeho vnitřních bodů X 4. Uvnitř tedy stačí vybrat ještě jeden bod x 5 určit hodnotu funkce v něm a provést potřebná srovnání. To zčtyřnásobí množství výpočtů požadovaných na krok procesu. Jaký je nejlepší způsob umístění bodů? Pokaždé se zbývající segment rozdělí na tři části a poté se jeden z vnějších segmentů zahodí.
Označme počáteční interval nejistoty D.

Protože v obecném případě může být kterýkoli ze segmentů vyřazen X 1, X 3 Při aplikaci na obecný případ operátorových rovnic se tato metoda nazývá X 4, X 2 pak vyberte body X 3 A X 4 takže délky těchto segmentů jsou stejné:

x 3 - x 1 = x 4 - x 2.

Po vyřazení dostaneme nový interval nejistoty délky D'.
Označme vztah D/D' s písmenem φ:

to znamená, nastavme , kde je další interval nejistoty. Ale

stejnou délkou jako segment vyřazený v předchozí fázi, tzn

Proto dostáváme:

.
To vede k rovnici nebo ekvivalentně
.

Kladný kořen této rovnice dává

.

Vstupenka č. 34

interpolace funkcí, tzn. Pomocí dané funkce sestrojení další (obvykle jednodušší) funkce, jejíž hodnoty se shodují s hodnotami dané funkce v určitém počtu bodů. Kromě toho má interpolace praktický i teoretický význam.

Nechť je dán systém n algebraických rovnic s n neznámými:

Algoritmus pro jednoduchou iterační metodu:

Všimněte si, že zde a dále spodní index označuje odpovídající složku vektoru neznámých a horní index iterační (aproximační) číslo.

Poté se vytvoří cyklický matematický proces, jehož každý cyklus představuje jednu iteraci. V důsledku každé iterace se získá nová hodnota vektoru neznámých. Pro organizaci iteračního procesu napíšeme systém (1) ve zmenšené podobě. V tomto případě jsou členy na hlavní diagonále normalizovány a zůstávají vlevo od rovnítka a zbytek se přenese na pravou stranu. Redukovaný systém rovnic má tvar:

všimněte si, že nebude nikdy dosaženo, ale s každou další iterací se vektor neznámých přibližuje k přesnému řešení.

12. Základní iterační vzorec používaný v jednoduché iterační metodě k řešení nelineární rovnice:

13. Kritérium pro zastavení iteračního procesu v jednoduché iterační metodě pro řešení nelineární rovnice:

Iterační proces končí, pokud je pro každou i-tou složku vektoru neznámých splněna podmínka pro dosažení přesnosti.
všimněte si, že přesné řešení v jednoduché iterační metodě nikdy nedosáhneme, nicméně s každou další iterací se vektor neznámých přibližuje k přesnému řešení

14. Kritérium pro výběr pomocné funkce F(x) pro iterační segment intervalu:

Při zkoušce z matematiky na řešení jednoduché iterační metody je třeba nejprve zkontrolovat podmínku konvergence. Aby metoda konvergovala, je nutné a postačující, aby v matici A byly absolutní hodnoty všech diagonálních prvků větší než součet modulů všech ostatních prvků v odpovídajícím řádku:

Nevýhoda iteračních metod Toto je dosti přísná podmínka konvergence, která není splněna pro všechny soustavy rovnic.

Pokud je podmínka konvergence splněna, je v další fázi nutné zadat počáteční aproximaci vektoru neznámých, kterým je obvykle nulový vektor:

15. Gaussova metoda, používaná k řešení soustav lineárních rovnic, poskytuje:

Metoda je založena na převodu matice do trojúhelníkového tvaru. Toho je dosaženo postupným odstraňováním neznámých ze systémových rovnic.

Jednoduchá iterační metoda je založena na nahrazení původní rovnice ekvivalentní rovnicí:

Nechť je známa počáteční aproximace ke kořenu x = x 0. Dosazením do pravé strany rovnice (2.7) získáme novou aproximaci , pak podobným způsobem dostaneme atd.:

. (2.8)

Ne za všech podmínek iterační proces konverguje ke kořeni rovnice X. Pojďme se na tento proces podívat blíže. Obrázek 2.6 ukazuje grafickou interpretaci jednosměrného konvergentního a divergentního procesu. Obrázek 2.7 ukazuje obousměrné konvergentní a divergentní procesy. Divergující proces je charakterizován rychlým nárůstem hodnot argumentu a funkce a abnormálním ukončením odpovídajícího programu.

U obousměrného procesu je možné cyklování, tedy nekonečné opakování stejné funkce a hodnot argumentů. Smyčka odděluje divergentní proces od konvergentního.

Z grafů je zřejmé, že pro jednostranné i oboustranné procesy je konvergence ke kořeni určena sklonem křivky v blízkosti kořene. Čím menší sklon, tím lepší konvergence. Jak je známo, tečna sklonu křivky je rovna derivaci křivky v daném bodě.

Proto čím menší je číslo blízko kořene, tím rychleji se proces sbíhá.

Aby byl proces iterace konvergentní, musí být v blízkosti kořene splněna následující nerovnost:

Přechod z rovnice (2.1) do rovnice (2.7) lze provést různými způsoby v závislosti na typu funkce f(x). Při takovém přechodu je nutné funkci sestrojit tak, aby byla splněna podmínka konvergence (2.9).

Uvažujme jeden z obecných algoritmů pro přechod z rovnice (2.1) na rovnici (2.7).

Vynásobme levou a pravou stranu rovnice (2.1) libovolnou konstantou b a k oběma dílům přidat neznámé X. V tomto případě se kořeny původní rovnice nezmění:

Představme si notaci a přejděme od vztahu (2.10) k rovnici (2.8).

Libovolná volba konstanty b zajistí splnění podmínky konvergence (2.9). Kritériem pro ukončení iteračního procesu bude podmínka (2.2). Obrázek 2.8 ukazuje grafickou interpretaci metody jednoduchých iterací pomocí popsaného způsobu zobrazení (měřítka podél os X a Y jsou různá).

Pokud je funkce vybrána ve tvaru , pak derivace této funkce bude . Nejvyšší rychlost konvergence pak bude při a iterační vzorec (2.11) se změní na Newtonův vzorec. Newtonova metoda má tedy nejvyšší stupeň konvergence ze všech iteračních procesů.

Softwarová implementace jednoduché iterační metody je provedena formou podprogramu Iteras(PROGRAM 2.1).

Celá procedura se prakticky skládá z jednoho cyklu Opakovat...Dokud implementující vzorec (2.11) zohledňující podmínku pro zastavení iteračního procesu (vzorec (2.2)).

Procedura má vestavěnou ochranu smyčky počítáním počtu smyček pomocí proměnné Niter. V praktických hodinách se musíte spuštěním programu ujistit, jaký vliv má volba koeficientu b a počáteční aproximace v procesu hledání kořene. Při změně koeficientu b povaha iteračního procesu pro studovanou funkci se mění. Nejprve se stává oboustranným a poté smyčkovým (obr. 2.9). Osové váhy X A Y jsou rozdílní. Ještě větší hodnota modulu b vede k divergentnímu procesu.

Porovnání metod pro přibližné řešení rovnic

Porovnání výše popsaných metod pro numerické řešení rovnic bylo provedeno pomocí programu, který umožňuje sledovat proces hledání kořene v grafické podobě na obrazovce PC. Postupy zahrnuté v tomto programu a implementace porovnávaných metod jsou uvedeny níže (PROGRAM 2.1).

Rýže. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 jsou kopie obrazovky PC na konci procesu iterace.

Ve všech případech byla jako studovaná funkce vzata kvadratická rovnice x 2 -x-6 = 0 s analytickým řešením x 1 = -2 a x 2 = 3. Chyba a počáteční aproximace byly u všech metod považovány za stejné. Výsledky vyhledávání kořenů x= 3, znázorněné na obrázcích, jsou následující. Metoda dichotomie konverguje nejpomaleji - 22 iterací, nejrychlejší je metoda jednoduchá iterace s b = -0,2 - 5 iterací. Není zde žádný rozpor s tvrzením, že Newtonova metoda je nejrychlejší.

Derivace zkoumané funkce v bodě X= 3 se rovná -0,2, to znamená, že výpočet byl v tomto případě proveden prakticky Newtonovou metodou s hodnotou derivace v bodě kořene rovnice. Při změně koeficientu b rychlost konvergence klesá a postupně konvergenční proces probíhá nejprve v cyklech a poté se stává divergentním.

Iterační metody

V iteračních metodách se předpokládají následující tři fáze: konstrukce pro výpočet postupných aproximací iteračního procesu konvergujícího k exaktnímu řešení (tj. konstrukce posloupnosti vektorů konvergujících k exaktnímu řešení ; stanovení konvergenčního kritéria tohoto procesu, které nám umožňuje určit okamžik, kdy je dosaženo požadované přesnosti; studium rychlosti konvergence a optimalizace iteračního procesu za účelem snížení počtu operací nutných k dosažení požadované přesnosti.

Iterační metody umožňují získat řešení s předem stanovenou přesností, pokud je prokázána konvergence metody. Iterační metody neposkytují striktně přesné řešení, protože je dosaženo jako limit posloupnosti vektorů. Přímá metoda obecně poskytuje přesné řešení, ale kvůli chybám zaokrouhlování, které se vyskytují na všech počítačích, jej nelze dosáhnout a a priori Je dokonce těžké posoudit, jak moc se toto řešení liší od toho přesného. V souvislosti s výše uvedeným iterační metody někdy umožňují získat řešení s větší přesností než přímé.

Podívejme se na několik iteračních metod řešení lineárních rovnic.

Jednoduchá iterační metoda

V jednoduché iterační metodě systém (2.1) lineárních algebraických rovnic Sekera = b redukuje na ekvivalentní systém formy

Řešení soustavy (2.9) a následně i řešení původní soustavy (2.1) se hledá jako limita posloupnosti vektorů při:

k = 0, 1, 2,…,(2.10)

kde je počáteční aproximace pro vektor řešení.

Postačující podmínka pro konvergenci metody jednoduché iterace je určena následující větou.

VĚTA 1. Je-li jakákoli norma matice , konzistentní s normou uvažovaného vektoru, menší než jedna (), pak posloupnost v jednoduché iterační metodě konverguje k přesnému řešení systému (2.9) rychlostí ne menší než rychlost geometrické progrese se jmenovatelem pro jakoukoli počáteční aproximaci .

DŮKAZ. Abychom dokázali větu, zavedeme chybu. Odečtením rovnosti (2.10) od vztahu získáme . Pokud jde o normy, máme

Všimněte si, že nerovnost z předchozího výrazu je podmínkou pro shodu normy matice a vektoru. Li , pak pro jakýkoli vektor počáteční chyby (nebo jinak pro jakýkoli počáteční vektor) má norma chyby tendenci k nule ne pomaleji než geometrická progrese se jmenovatelem .

Zvolíme-li normu jako normu matice Při aplikaci na obecný případ operátorových rovnic se tato metoda nazývá pak k vyřešení problému konvergence metody jednoduché iterace můžete použít důsledek z věty 1: metoda jednoduché iterace konverguje, pokud je pro matici splněna jedna z následujících podmínek:

, i = 1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, n.(2.11)

Nejjednodušší a nejběžnější způsob, jak přinést systém Sekera = b do formuláře (2.9), vhodného pro iterace, je vybrat diagonální prvky, s každým i-tý rovnice je vyřešena vzhledem k i-tý neznámý:

, i = 1, 2, …, n, (2.12)

a metoda jednoduché iterace bude napsána jako

Matice má pak tvar

.

Prvek této matice lze zapsat jako kde je symbol Kronecker. V tomto případě lze postačující podmínku pro konvergenci metody jednoduché iterace formulovat jako podmínku pro převahu diagonálních prvků matice A, což vyplývá z (2.11) a zápis matice, tzn.

i = 1, 2, …, n.

Zdůrazněme ještě jednou, že uvažované formy konvergenční podmínky pro iterační metodu jsou pouze dostatečné. Jejich splnění zaručuje konvergenci metody, ale jejich selhání v obecném případě neznamená, že by se metoda prosté iterace rozcházela. Nezbytnou a postačující podmínkou pro konvergenci jednoduché iterační metody je podmínka, že celočíselná část (kde je maximální modulo vlastní číslo matice A); tato podmínka se ve výpočetní praxi používá jen zřídka.

Přejděme k otázce odhadu chyby řešení. Zajímavé jsou dva vztahy pro odhadování chyby řešení: první spojuje normu chyby s normou rozdílu dvou po sobě jdoucích aproximací a lze jej použít k odhadu chyby pouze v procesu výpočtů; druhý spojuje chybovou normu s normami počátečního aproximačního vektoru a vektoru volného členu v systému (2.9). Potřebné vztahy jsou dány následujícími dvěma větami.

VĚTA 2. Pokud je nějaká norma matice v souladu s normou uvažovaného vektoru X

. (2.13)

DŮKAZ. Odečteme rovnost (2.10) od rovnosti:

Odečtením aproximační hodnoty z obou stran převedeme tento vztah na formu

Přecházíme na normy, dostáváme se

Protože podle podmínek věty, pak

Pomocí vztahu, ze kterého to vyplývá konečně dostáváme:

VĚTA 3. Pokud je nějaká norma matice v souladu s normou uvažovaného vektoru X, je menší než jedna (), provede se následující odhad chyby:

Udělejme dvě poznámky. Nejprve lze vztah (2.13) zapsat ve tvaru

což nám umožňuje získat odhad chyby na základě výsledků prvních dvou iterací. Za prvé, při použití iterační metody se někdy doporučuje použít jako odhad chyby výpočtu normu rozdílu dvou po sobě jdoucích aproximací. Ze vztahů pro chybu vyplývá, že v obecném případě to neplatí. Pokud je norma blízká jednotce, pak koeficient at může být poměrně velký.

Chyby po sobě jdoucích iterací souvisí se vztahem

těch. chyba se během kroku lineárně mění. Říká se, že metoda má lineární konvergence nebo prvního řádu konvergence. Počet iterací potřebných k dosažení požadované přesnosti však závisí na hodnotě a počáteční aproximaci.

Takže na příkladu jednoduché iterační metody jsou demonstrovány tři fáze iteračních metod: konstrukce sekvence vektorů generovaných vzorcem (1.10); určení podmínky konvergence pomocí věty 1 a odhad rychlosti konvergence pomocí věty 2 a 3.

Seidelova metoda

Jednoduchá iterační metoda nevyužívá zdánlivě samozřejmou možnost zlepšení konvergence iteračního procesu - okamžité zavedení nově vypočítaných složek vektoru do výpočtu. Tato funkce se používá v iterativní metodě Seidel. Iterační proces pro systém (2.9) je splněn podle vztahu

i = 1, 2, …, n (2.14)

nebo pro systém (1.1)

Aniž bychom zacházeli do podrobností, poznamenáváme, že Seidelova iterační metoda často vede k rychlejší konvergenci než jednoduchá iterační metoda. Mohou však nastat případy, kdy metoda Seidelovy iterace konverguje pomaleji než metoda prosté iterace, a dokonce i případy, kdy metoda prosté iterace konverguje, ale metoda Seidelovy iterace diverguje.

Všimněte si, že Seidelova metoda konverguje pokud matice A kladně definitní a symetrické.

Ukažme, že Seidelova iterační metoda je ekvivalentní nějaké jednoduché iterační metodě se speciálně konstruovanou maticí a vektorem ve vztahu (2.10). K tomu zapíšeme soustavu (2.14) ve tvaru, kde F je horní trojúhelníková matice koeficientů matice, a soustavu přepíšeme ve tvaru, kde E je matice identity. Matice (E-N)- spodní trojúhelníková matice s diagonálními prvky rovnými jedné. V důsledku toho je determinant této matice nenulový (rovná se jedné) a má inverzní matici. Pak

Porovnáním tohoto vztahu s řešením (2.10) můžeme dojít k závěru, že Seidelova iterační metoda je skutečně ekvivalentní jednoduché iterační metodě v tom smyslu, že pro stanovení podmínky a kritéria pro konvergenci Seidelovy iterační metody můžeme použít věty dáno pro jednoduchou iterační metodu, pokud dáme Iterační proces pro systém (2.12) je také napsán v obecnější formě, jmenovitě