Výrazy 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Takové výrazy se nazývají monomiály. Čísla, proměnné a jejich mocniny jsou také považovány za monočleny.

Například výrazy - 8, 35,y a y2 - jsou jednočlenné.

Standardní forma monomiálu se nazývá monomiál ve formě součinu číselného faktoru na prvním místě a mocnin různých proměnných. Jakýkoli monomial lze redukovat na standardní formu vynásobením všech proměnných a čísel v něm obsažených. Zde je příklad redukce monomiálu na standardní formu:

4x 2 y 4 (-5) yx 3 = 4 (-5) x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5

Číselný faktor monomiálu zapsaného ve standardním tvaru se nazývá součinitelmonomiální. Například koeficient monomiálu -12сx 6 y 5 je roven -12. Koeficienty monočlenů x 3 a -xy jsou považovány za rovné 1 a -1, protože x 7 = 1x 7 a -xy = -1xy

Silou monomiálu zavolejte součet exponentů všech proměnných v něm obsažených. Pokud monomiál neobsahuje proměnné, to znamená, že je to číslo, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule.

Například stupeň jednočlenu 8x 3 yz 2 je 6, stupeň jednočlenu 6x je 1, stupeň jednočlenu -10 je 0.

Polynom se nazývá součet monočlenů.

Monomály, které tvoří polynom, se nazývají členy polynomu. Takže členy polynomu 4x 2 y - 5xy + 3x -1 jsou 4x 2 y, -5xy, 3x a -1.

Pokud se polynom skládá ze dvou členů, pak se nazývá binom, pokud se skládá ze tří, nazývá se trinom. Monomial je považován za polynom skládající se z jednoho členu.

V polynomu 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 jsou členy 7x 3 y 2 a - 2y 2 x 3 podobné členy, protože mají stejnou písmennou část. Podobné jsou i pojmy -12 a 6, které nemají písmennou část. Podobné členy v polynomu se nazývají podobné členy polynomu a redukce podobných členů v polynomu se nazývá redukce podobných členů polynomu.

Uveďme jako příklad podobné členy v polynomu 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6.

Polynom se nazývá polynom standardního tvaru, jestliže každý z jeho členů je monočlenem standardního tvaru a tento polynom neobsahuje podobné členy.

Libovolný polynom lze zredukovat na standardní tvar. K tomu je třeba prezentovat každého jejího člena ve standardní podobě a přinést podobné podmínky.

Polynomiální stupeň standardní forma je největší z mocnin monočlenů, které jsou v ní obsaženy.

Stupeň libovolného polynomu je stupeň shodně stejného polynomu standardního tvaru.

Najdeme například stupeň polynomu 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4:

8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3 y 2 x 4 + 6 - 5 y 2 x 4 = 4x 2 y -6.

Všimněte si, že původní polynom obsahuje monočleny šestého stupně, ale když byly podobné členy redukovány, všechny byly redukovány a výsledkem byl polynom třetího stupně, což znamená, že původní polynom má stupeň 3!

Otázky pro poznámky

Je dán polynom P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4. Vypočítejte P(1).

Určete stupeň polynomu: 3a 4 - 5a 3 - 2a 5

V 7. ročníku se žáci v rámci kurzu algebry seznámí s novými pojmy a tématy. Otevírají se jim nové dveře ve fascinujícím labyrintu zvaném matematika. Patří sem studium monočlenů a polynomů a také jejich aplikace.

co to je?

Za prvé, pojďme pochopit pojmy. V matematice existuje mnoho specifických výrazů, z nichž mnohé mají svá ustálená jména. Jedno z těchto slov je jednoznačné. Jedná se o matematický termín skládající se ze součinu čísel, proměnných, z nichž každá se může do určité míry objevit v součinu. polynom, podle definice je to tak algebraický výraz, což je součet monočlenů. Často je potřeba přinést monomiální do své standardní podoby. Chcete-li to provést, musíte vynásobit všechny číselné faktory přítomné v monomiálu a dát výsledné číslo na první místo. Poté vynásobte všechny mocniny, které mají stejný základ písmen. Polynom je také uveden do standardního tvaru, je to součin složený z číselného faktoru a mocnin různých proměnných.

Podvodní skály

Zdálo by se, že na první pohled není nic fatálně složitého, ale pro moderní školáky existuje řada okolností, které mohou obrázek zatemnit. Velké množství položek školní osnovy, naprostý nedostatek studijních hodin, humanitární smýšlení mnoha dětí a také základní únava mohou velmi ztížit učení nové látky. Často se stává, že dítě, které něčemu nerozumí, je v rozpacích nebo se bojí zeptat učitele, ale není schopno zvládnout téma samo a začínají potíže.

Řešení problému

Existuje několik způsobů, jak se těmto nástrahám vyhnout. Za prvé, rodiče školáků by měli věnovat pozornost tomu, jak jejich dítě zvládá program obecně a konkrétně probíraná témata. Nemělo by to mít podobu přísného dohledu nebo kontroly nad dítětem, ale cílem by mělo být vypěstování odpovědného a seriózního přístupu k učení. Klíčem k tomu je důvěryhodný vztah, ale ne strach.

Poměrně běžnou situací ve škole je situace, kdy dítě zcela nerozumí novému tématu, bojí se posměchu spolužáků a nesouhlasu učitele, a proto o svém zaváhání raději mlčí. Také vztahy s učiteli se různí, bohužel ne všem učitelům se daří najít přístup k dětem, jak ukazuje praxe. A existuje několik možností výstupu:

• návštěva další třídy ve škole, pokud existuje;
• lekce s lektorem;
• školení přes internet s využitím speciálních vzdělávacích zdrojů.

V prvních dvou případech existují nevýhody, které spočívají v čase a finančních prostředcích, zejména pokud jde o doučování. Třetí je výhodná, protože tato možnost školení:

• volný, uvolnit;
• můžete studovat v jakoukoli vhodnou dobu;
• u žáka nevzniká psychická nepohoda, strach z posměchu atp.
• Vždy se můžete podívat na video lekci znovu, pokud vám něco nebude jasné hned napoprvé.

Nepochybně pozitivní aspekty je toho zde více, takže rodiče by měli vzít na vědomí, že jejich dítěti lze nabídnout právě takovou možnost doplňkových aktivit. Je dost možné, že student tento návrh zpočátku nepřijme s nadšením, ale po vyzkoušení jeho přednosti ocení. Rok od roku se zátěž předmětů ve škole zvyšuje, v 7. třídě už je to dost vážné.

Na našem online zdroji může dítě snadno najít lekci na téma, které pro něj může být obtížné, například „Polynom. Redukce na standardní formu." Když to pochopí, bude schopen porozumět a zvládnout další látku mnohem jednodušeji a snadněji.

- polynomy. V tomto článku nastíníme všechny počáteční a potřebné informace o polynomech. Mezi ně patří za prvé definice polynomu s doprovodnými definicemi pojmů polynomu, zejména volného termínu a podobných pojmů. Za druhé se zastavíme u polynomů standardního tvaru, uvedeme příslušnou definici a uvedeme jejich příklady. Nakonec si uvedeme definici stupně polynomu, vymyslíme, jak jej najít, a povíme si o koeficientech členů polynomu.

Navigace na stránce.

Polynom a jeho pojmy - definice a příklady

V 7. ročníku se polynomy studují bezprostředně po monomiích, což je pochopitelné, protože definice polynomu je dán prostřednictvím monomiálů. Uveďme tuto definici, abychom vysvětlili, co je polynom.

Definice.

Polynom je součet monočlenů; Monomial je považován za speciální případ polynomu.

Psaná definice vám umožňuje uvést tolik příkladů polynomů, kolik chcete. Kterýkoli z monočlenů 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 atd. je polynom. Také, podle definice, 1+x, a 2 +b 2 a jsou polynomy.

Pro usnadnění popisu polynomů je zavedena definice polynomického termínu.

Definice.

Polynomické členy jsou monočleny polynomu.

Například polynom 3 x 4 −2 x y+3−y 3 se skládá ze čtyř členů: 3 x 4 , −2 x y , 3 a −y 3 . Monomial je považován za polynom skládající se z jednoho členu.

Definice.

Polynomy, které se skládají ze dvou a tří členů, mají speciální názvy - binomický A trojčlenný respektive.

Takže x+y je binom a 2 x 3 q−q x x x+7 b je trinom.

Ve škole musíme nejčastěji pracovat s lineární binom a x+b , kde a a b jsou nějaká čísla a x je proměnná, stejně jako c kvadratický trinom a·x 2 +b·x+c, kde a, b a c jsou nějaká čísla a x je proměnná. Zde jsou příklady lineárních binomů: x+1 , x 7,2−4 , a zde jsou příklady čtvercové trojčlenky: x 2 +3 x−5 a .

Polynomy ve svém zápisu mohou mít podobné členy. Například v polynomu 1+5 x−3+y+2 x jsou podobné členy 1 a −3, stejně jako 5 x a 2 x. Mají své vlastní speciální jméno - podobné pojmy polynomu.

Definice.

Podobné členy polynomu se nazývají podobné členy v polynomu.

V předchozím příkladu jsou 1 a -3, stejně jako dvojice 5 x a 2 x, podobné členy polynomu. V polynomech, které mají podobné členy, můžete podobné členy zmenšit a zjednodušit tak jejich tvar.

Polynom standardního tvaru

Pro mnohočleny, stejně jako pro monočleny, existuje tzv standardní pohled. Vyslovme odpovídající definici.

Na základě tato definice, můžeme uvést příklady polynomů standardního tvaru. Takže polynomy 3 x 2 −x y+1 a psaný standardní formou. A výrazy 5+3 x 2 −x 2 +2 x z a x+x y 3 x z 2 +3 z nejsou polynomy standardního tvaru, protože první z nich obsahuje podobné členy 3 x 2 a −x 2 a v druhý – jednočlenný x·y 3 ·x·z 2 , jehož tvar je odlišný od standardního.

Všimněte si, že v případě potřeby můžete polynom vždy zmenšit na standardní tvar.

Dalším pojmem souvisejícím s polynomy standardního tvaru je pojem volného členu mnohočlenu.

Definice.

Volný člen polynomu je členem polynomu standardního tvaru bez písmenné části.

Jinými slovy, pokud polynom standardního tvaru obsahuje číslo, pak se nazývá volný člen. Například 5 je volný člen polynomu x 2 z+5, ale polynom 7 a+4 a b+b 3 volný člen nemá.

Stupeň polynomu - jak ho najít?

Další důležitá doprovodná definice je určit stupeň polynomu. Nejprve definujeme stupeň polynomu standardního tvaru, tato definice je založena na stupních monočlenů, které jsou v jeho složení.

Definice.

Stupeň polynomu standardního tvaru je největší z mocnin monočlenů zahrnutých v jeho zápisu.

Uveďme příklady. Stupeň polynomu 5 x 3 −4 je roven 3, protože monočleny 5 x 3 a −4 v něm obsažené mají stupně 3 a 0, největší z těchto čísel je 3, což je stupeň polynomu. podle definice. A stupeň polynomu 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x rovná se největšímu z čísel 2+3=5, 4+1=5 a 1, tedy 5.

Nyní zjistíme, jak zjistit stupeň polynomu libovolného tvaru.

Definice.

Stupeň polynomu libovolného tvaru nazývat stupeň odpovídajícího polynomu standardního tvaru.

Pokud tedy polynom není zapsán ve standardním tvaru a potřebujete zjistit jeho stupeň, musíte původní polynom zmenšit na standardní tvar a najít stupeň výsledného polynomu - bude to požadovaný. Podívejme se na příklad řešení.

Příklad.

Najděte stupeň polynomu 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Řešení.

Nejprve musíte reprezentovat polynom ve standardním tvaru:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Výsledný polynom standardního tvaru obsahuje dva monočleny −2·a 2 ·b 2 ·c 2 a y 2 ·z 2 . Najděte jejich mocniny: 2+2+2=6 a 2+2=4. Je zřejmé, že největší z těchto mocnin je 6, což je podle definice mocnina polynomu standardního tvaru. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, a tedy stupeň původního polynomu., 3 x a 7 polynomu 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Bibliografie.

• Algebra: učebnice pro 7. třídu obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 240 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7. třída. Ve 14 hodin 1. díl. Učebnice pro žáky vzdělávací instituce/ A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dodat. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra a začal matematická analýza. 10. třída: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce: základní a profilové. úrovně / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 2010.- 368 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.

19. Vezměme vzorec

čteme to takto: „rozdíl mezi čísly a a b“. V tomto vzorci můžeme nahradit číslo a nulou; pak se obrátí

0 – b nebo jen v –b.

Odečíst b od nuly znamená, podle toho, co víme o odečítání relativních čísel, přičíst číslo b s opačným znaménkem k nule. Proto je třeba výraz –b chápat jako obrácené znaménko k číslu b. Pokud je například b = +5, pak –b = –5; je-li b = –4, pak –b = +4 atd. Pokud napíšeme výraz +a, pak je třeba jej chápat jako číslo rovné číslu a. Jestliže a = +5, pak +a = +5; pokud a = –4, pak +a = 4 atd.

Proto vzorec

můžeme rozumět bez rozdílu výsledku, nebo ve smyslu

nebo ve smyslu

Vždy tedy můžeme odčítání nahradit sčítáním a jakýkoli rozdíl chápat jako součet dvou čísel:
a – b je součet čísel a a (–b)
x – y je součet čísel x a (–y)
–a – b je součet čísel (–a) a (–b) atd.

Ty vzorce, kde z hlediska aritmetiky dochází k několika sčítáním a odčítáním, např.

a – b + c + d – e – f,

nyní můžeme z hlediska algebry chápat pouze jako součet, totiž:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Proto je obvyklé nazývat takové výrazy názvem „algebraický součet“.

20. Vezměme si nějaký algebraický součet

a – b – c nebo –3bc² + 2ab – 4a²b atd.

Je obvyklé nazývat tyto výrazy jménem polynom a tímto slovem se nahrazuje slovo „součet“ nebo název „algebraický součet“. Víme, že

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) atd.

Samostatně se každý člen nazývá členem polynomu.

První polynom

se skládá ze tří členů: (+a), (–b) a (+c).

Druhý polynom

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

se skládá ze čtyř členů: (–abc), (–3bc²), (+2ab) a (–4a²b).

Částky mohou být uspořádány v libovolném pořadí:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Tuto vlastnost součtu lze nyní vyjádřit jinak: členy polynomu lze přeskupit v libovolném pořadí. To bylo provedeno výše pro polynom –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, navíc tak, že člen (+2ab) je nyní v popředí. To umožnilo poněkud zjednodušit výraz: nemusíte psát znaménko + dopředu. Samozřejmě, že takové přeuspořádání musí být provedeno okamžitě, bez předchozího uzavření (jak je uvedeno výše) každý termín v závorkách.

Další příklad:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

První člen tohoto polynomu byl původně (+1) - znak + byl implikován před jednotkou; když tento člen přesuneme na jiné místo než na první (výše jsme ho přesunuli na poslední místo), pak tento znak + nelze přeskočit.

Můžeme si všimnout, že v předchozím příkladu jsme přeskupením členů polynomu dosáhli určitého pořadí: na prvním místě je člen s písmenem a až 4. mocninou, na dalším místě je člen s písmenem a do 3. mocniny, pak přichází termín s písmenem a do 3. mocniny 2. stupeň, pak - a do 1. stupně a nakonec termín, kde písmeno a vůbec není.

Toto uspořádání členů polynomu je vyjádřeno slovy „polynom je uspořádán v sestupných mocninách písmene a“.

Zde jsou další příklady tohoto uspořádání:

3x 5 – 2x 3 + b (v sestupných mocninách písmene x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (v sestupných mocninách písmene a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (v sestupných mocninách písmene b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (v sestupné mocnině písmene x).

Často se používá obrácené uspořádání „vzestupných stupňů“, kdy se stupeň zvoleného písmene postupně zvyšuje a v 1. termínu buď toto písmeno není přítomno vůbec, nebo zde má nejnižší stupeň oproti ostatním termínům. Ve druhém z předchozích příkladů bychom mohli říci, že zde je polynom uspořádán ve vzestupných mocninách písmene b. Zde jsou příklady:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (ve vzestupných mocninách písmene a);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (ve vzestupných mocninách písmene x);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (ve vzestupných mocninách písmene x);
a 3 – 2ab + b 2 (ve vzestupných mocninách písmene b nebo v sestupných mocninách písmene a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (v sestupných mocninách písmene x nebo ve vzestupných mocninách písmene y).

21. Polynom se dvěma členy se nazývá binomický(například 3a + 2b), asi tři členy - trinom (například 2a² - 3ab + 4b²) atd. Lze hovořit o součtu jednoho členu (druhý člen je nula), nebo o polynom o jednom členu. Pak je samozřejmě název „polynomický“ nevhodný a používá se název „monomický“. Každý člen libovolného polynomu, braný samostatně, je jednočlen. Zde jsou příklady nejjednodušších monomiálů:

2; –3a; a²; 4x³; -5x4; ab; ab²; –3abc; atd.

Téměř všechny výše napsané monočleny jsou produkty dvou nebo více faktorů a většina z nich má jak číselný, tak i abecední faktor. Například jednočlen –3abc má číselný faktor –3 a písmenné faktory a, b a c; v monočlenu 4x³ je číselný faktor +4 (implikuje se znaménko +) a doslovný faktor x³ atd. Pokud bychom napsali monočlen s několika číselnými faktory (a také abecedními), jako např.

,

pak je výhodnější přeuspořádat faktory tak, aby číselné faktory byly blízko, tzn.

,

vynásobte tyto číselné faktory a dostanete

–4a²bc² (tečky, znaménka násobení jsou přeskočena).

Je také zvykem, v naprosté většině případů, psát číselný faktor dopředu. Oni píší:

4a, ne 4
–3a²b, nikoli a²(–3)b

Číselný faktor monomiálu se nazývá koeficient.

Pokud číselný faktor není zapsán v monočlenu, například ab, můžete jej vždy implikovat. Vskutku

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ atd.

Takže monočleny a², ab, ab² mají každý koeficient 1 (přesněji: +1). Pokud napíšeme monočleny –ab, –a², –ab² atd., pak by měly mít koeficient –1.

22. Složitější příklady polynomů a monočlenů.

(a + b)² + 3(a – b)² ... tento vzorec vyjadřuje součet dvou členů: první je druhá mocnina součtu čísel a a b a druhý je součin čísla 3 druhou mocninou rozdílu stejných čísel. Proto musí být tento vzorec rozpoznán jako binomický: první člen je (a + b)² a druhý 3(a – b)². Vezmeme-li výraz (a + b)² odděleně, pak na základě předchozího musí být považován za jednočlenný a jeho koeficient = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... musí být uznáno jako trinom (součet tří členů): první člen je a(b – 1) ) a jeho koeficient = +1 , druhý člen –b(a – 1), jeho koeficient = –1, třetí člen –(a – 1)(b – 1), jeho koeficient = – 1.

Někdy je počet členů polynomu uměle snížen. Takže trojčlenný

může být například považováno za binom a například a + b je považováno za jeden termín (jeden termín). Aby to bylo jasnější, použijte závorky:

Potom má člen (a + b) implikovaný koeficient +1

[opravdu (a + b) = (+1) (a + b)].

Které vyžadují rozklad polynomu, určete společný faktor daného výrazu. Chcete-li to provést, nejprve odstraňte ze závorek ty proměnné, které jsou obsaženy ve všech členech výrazu. Navíc by tyto proměnné měly mít nejnižší ukazatel. Potom vypočítejte největšího společného dělitele každého z koeficientů polynomu. Modul výsledného čísla bude koeficient společného násobiče.

Příklad. Rozložení na 5m³–10m²n²+5m². Umístěte m² mimo závorky, protože proměnná m v každém členu tohoto výrazu a její nejmenší exponent je dva. Vypočítejte společný multiplikační faktor. To se rovná pěti. Společným faktorem tohoto vyjádření je tedy 5 m². Tedy: 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1).

Pokud výraz nemá společný faktor, zkuste jej rozšířit pomocí metody seskupení. Chcete-li to provést, spojte do skupin ty členy, kteří mají společné faktory. Umístěte společný faktor každé skupiny ze závorek. Vyjměte ze závorek společný faktor všech vytvořených skupin.

Příklad. Faktor polynom a³–3a²+4a–12. Seskupte takto: (a³–3a²)+(4a–12). Vyjměte společný faktor a² v první skupině a společný faktor 4 ve druhé skupině. Proto: a²(a–3)+4(a–3). Vyjměte polynom a–3 ze závorek a získejte: (a–3)(a²+4). Proto a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4).

Nějaký polynomy jsou faktorizovány pomocí zkrácených vzorců pro násobení. Chcete-li to provést, uveďte polynom do požadovaného tvaru seskupením nebo odstraněním společného faktoru ze závorek. Dále použijte příslušný zkrácený násobící vzorec.

Příklad. Vynásobte polynom 4x²–m²+2mn–n². Spojte poslední tři výrazy v závorkách, přičemž z hranatých závorek vyjměte –1. Získejte: 4x²–(m²–2mn+n²). Výraz v závorkách lze vyjádřit jako druhou mocninu rozdílu. Tedy: (2x)²–(m–n)². To je rozdíl čtverců, můžeme to napsat: (2x–m+n)(2x+m+n). Tedy 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n).

Některé polynomy lze pomocí této metody faktorizovat nejisté koeficienty. Každý polynom tedy může být reprezentován ve tvaru (y–t)(my²+ny+k), kde t, m, n, k jsou číselné koeficienty. Úkolem tedy je určit hodnoty těchto koeficientů. To se provádí na základě této rovnosti: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.

Příklad. Faktor polynom 2a³–a²–7a+2. Z druhé části pro polynom třetího stupně vytvořte následující rovnosti: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Napište je jako systém. Vyřešit to. Zjistíte hodnoty t=2; n=3; k=–1. Dosazením vypočtených koeficientů do první části vzorce získáte: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).

Prameny:

• Faktorování polynomů
• jak faktorizovat polynom

Matematická věda studuje různé struktury, posloupnosti čísel, vztahy mezi nimi, skládání rovnic a jejich řešení. Jedná se o formální jazyk, který dokáže jasně popsat téměř ideální vlastnosti skutečných objektů studovaných v jiných oblastech vědy. Jednou z takových struktur je polynom.

Instrukce

Polynom nebo (z řeckého "poly" - mnoho a latinského "nomen" - jméno) - elementární funkce klasická algebra a algebraická geometrie. Jedná se o funkci jedné proměnné, která má tvar F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n, kde c_i jsou pevné koeficienty, x je proměnná.

Polynomy se používají v mnoha oblastech, včetně studia nulových, záporných a komplexních čísel, teorie grup, prstenců, uzlů, množin atd. Použití polynomiálních výpočtů značně zjednodušuje vyjádření vlastností různých objektů.

Základní definice:
Každý člen polynomu se nazývá monočlen.
Polynom sestávající ze dvou monočlenů se nazývá binom nebo binom.
Polynomiální koeficienty – reálné nebo komplexní čísla.
Pokud je koeficient roven 1, pak se nazývá unitární (redukovaný).
Stupně proměnné v každém monomiu jsou nezáporná celá čísla, maximální stupeň určuje stupeň polynomu a jeho plný stupeň se nazývá celé číslo, rovnající se součtu všechny stupně.
Monomial odpovídající nulovému stupni se nazývá volný člen.
Polynom, z nichž všechny mají stejný celkový stupeň, se nazývá homogenní.

Některé běžně používané polynomy jsou pojmenovány po vědci, který je definoval, a také podle funkcí, které definují. Například Newtonův binom je pro rozklad polynomu na jednotlivé členy pro výpočet mocnin. Jedná se o zápisy druhých mocnin součtu a rozdílu známé ze školního vzdělávacího programu (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 a rozdíl druhých mocnin (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Pokud povolíme záporné stupně v zápisu polynomu, dostaneme polynom nebo Laurentovu řadu; Chebyshev polynomial je používán v teorii aproximace; Hermitův polynom - v teorii pravděpodobnosti; Lagrange - pro numerická integrace a interpolace; Taylor - při aproximaci funkce atp.

Poznámka

Newtonův binom je často zmiňován v knihách (Mistr a Margarita) a filmech (Stalker), když postavy řeší matematické problémy. Tento termín je známý, a proto je považován za nejslavnější polynom.

Tip 3: Jak rozdělit 90 na dva vzájemně prvočísla

Vzájemně prvočísla jsou čísla, která nemají žádného společného dělitele kromě jednoho. Algoritmus je poměrně jednoduchý, zkuste si jej uvažovat na příkladu: rozložte číslo 90 na dva vzájemně prvočísla.