Často slýcháme výrazy: „je inertní“, „pohyb setrvačností“, „moment setrvačnosti“. V přeneseném smyslu lze slovo „setrvačnost“ interpretovat jako nedostatek iniciativy a akce. Zajímá nás přímý význam.
Co je setrvačnost
Podle definice setrvačnost ve fyzice je to schopnost těles udržovat stav klidu nebo pohybu za nepřítomnosti vnějších sil.
Pokud je vše jasné se samotným konceptem setrvačnosti na intuitivní úrovni, pak moment setrvačnosti– samostatná otázka. Souhlas, je těžké si v duchu představit, co to je. V tomto článku se dozvíte, jak vyřešit základní problémy na dané téma "Moment setrvačnosti".
Stanovení momentu setrvačnosti
Ze školního kurzu je to znát hmotnost – míra setrvačnosti tělesa. Pokud budeme tlačit dva vozíky různé hmotnosti, pak bude těžší zastavit ten těžší. To znamená, že čím větší hmotnost, tím větší vnější vliv nutné změnit pohyb těla. To, co je uvažováno, platí pro translační pohyb, kdy se vozík z příkladu pohybuje přímočaře.
Analogicky s hmotnostním a translačním pohybem je moment setrvačnosti mírou setrvačnosti tělesa při rotační pohyb kolem osy.
Moment setrvačnosti– skalární fyzikální veličina, míra setrvačnosti tělesa při rotaci kolem osy. Označeno písmenem J a v systému SI měřeno v kilogramech krát metr čtvereční.
Jak vypočítat moment setrvačnosti? Jíst obecný vzorec, který se ve fyzice používá k výpočtu momentu setrvačnosti libovolného tělesa. Pokud je těleso rozbito na nekonečně malé kousky s hmotností dm , pak moment setrvačnosti bude roven součtu součinů těchto elementárních hmotností druhou mocninou vzdálenosti k ose rotace.
Toto je obecný vzorec pro moment setrvačnosti ve fyzice. Pro hmotný bod hmoty m , rotující kolem osy na dálku r od ní, tento vzorec má podobu:
Steinerova věta
Na čem závisí moment setrvačnosti? Z hmotnosti, polohy osy otáčení, tvaru a velikosti tělesa.
Huygens-Steinerova věta je velmi důležitá věta, která se často používá při řešení problémů.
Mimochodem! Pro naše čtenáře je nyní sleva 10 %.
Huygens-Steinerova věta říká:
Moment setrvačnosti tělesa vůči libovolné ose se rovná součtu momentu setrvačnosti tělesa vůči ose procházející těžištěm rovnoběžné s libovolnou osou a součinu hmotnosti tělesa druhou mocninou. vzdálenosti mezi osami.
Pro ty, kteří se nechtějí při řešení problémů hledání momentu setrvačnosti neustále integrovat, uvádíme nákres naznačující momenty setrvačnosti některých homogenních těles, se kterými se v problémech často setkáváme:
Příklad řešení úlohy k nalezení momentu setrvačnosti
Podívejme se na dva příklady. Prvním úkolem je najít moment setrvačnosti. Druhým úkolem je použití Huygens-Steinerovy věty.
Úloha 1. Najděte moment setrvačnosti homogenního disku o hmotnosti m a poloměru R. Osa rotace prochází středem disku.
Řešení:
Rozdělme disk na nekonečně tenké prstence, jejichž poloměr se liší od 0 před R a zvážit jeden takový prsten. Nechte jeho poloměr být r a hmotnost - dm. Potom moment setrvačnosti prstence je:
Hmotnost prstenu může být reprezentována jako:
Tady dz- výška prstenu. Dosadíme hmotnost do vzorce pro moment setrvačnosti a integrujeme:
Výsledkem byl vzorec pro moment setrvačnosti absolutního tenkého disku nebo válce.
Úloha 2. Nechť opět existuje disk o hmotnosti m a poloměru R. Nyní potřebujeme najít moment setrvačnosti disku vzhledem k ose procházející středem jednoho z jeho poloměrů.
Řešení:
Moment setrvačnosti disku vůči ose procházející těžištěm je znám z předchozí úlohy. Aplikujme Steinerovu větu a zjistíme:
Mimochodem, na našem blogu najdete další užitečné materiály o fyzice a.
Doufáme, že v článku najdete něco užitečného pro sebe. Pokud se v procesu výpočtu tenzoru setrvačnosti vyskytnou potíže, nezapomeňte na službu studentů. Naši specialisté vám poradí s jakýmkoli problémem a pomohou problém vyřešit během několika minut.
Relativní k pevné ose („axiální moment setrvačnosti“) je veličina J a, rovnající se součtu díla mas všech n hmotné body systému druhý mocninou jejich vzdáleností k ose:
- m i- hmotnost i bod,
- r i- vzdálenost od i bod k ose.
Axiální moment setrvačnosti tělo J a je mírou setrvačnosti tělesa při rotačním pohybu kolem osy, stejně jako hmotnost tělesa je mírou jeho setrvačnosti při translačním pohybu.
Pokud je těleso homogenní, tedy jeho hustota je všude stejná
Huygens-Steinerova věta
Moment setrvačnosti pevný vzhledem k jakékoli ose závisí nejen na hmotnosti, tvaru a velikosti tělesa, ale také na poloze tělesa vůči této ose. Podle Steinerovy věty (Huygens-Steinerova věta) moment setrvačnosti tělo J vzhledem k libovolné ose se rovná součtu moment setrvačnosti toto tělo Jc vzhledem k ose procházející těžištěm těla rovnoběžně s uvažovanou osou a součin hmotnosti těla m na čtverec vzdálenosti d mezi osami:
kde je celková tělesná hmotnost.
Například moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose procházející jejím koncem je roven:
Axiální momenty setrvačnosti některých těles
| Tělo | Popis | Poloha osy A | Moment setrvačnosti J a |
|---|---|---|---|
 |
Hmotná bodová hmotnost m | Na dálku r z bodu, stacionární | |
 |
Dutý tenkostěnný válec nebo rádiusový kroužek r a mše m | Osa válce | |
 |
Plný válec nebo rádiusový disk r a mše m | Osa válce | |
 |
Dutý silnostěnný hmotový válec m s vnějším poloměrem r 2 a vnitřním poloměrem r 1 | Osa válce | |
 |
Pevná délka válce l, poloměr r a mše m | ||
 |
Dutý tenkostěnný válec (kroužek) délka l, poloměr r a mše m | Osa je kolmá k válci a prochází jeho těžištěm | |
 |
Rovná tenká tyč l a mše m | Osa je kolmá k tyči a prochází jejím těžištěm | |
 |
Rovná tenká tyč l a mše m | Osa je kolmá k tyči a prochází jejím koncem | |
 |
Tenkostěnná poloměrová koule r a mše m | Osa prochází středem koule | |
 |
Poloměr koule r a mše m | Osa prochází středem míče | |
 |
Rádiusový kužel r a mše m | Osa kužele | |
| Rovnoramenný trojúhelník s nadmořskou výškou h, základ A a hmotnost m | Osa je kolmá k rovině trojúhelníku a prochází vrcholem | ||
| Pravidelný trojúhelník se stranou A a hmotnost m | Osa je kolmá k rovině trojúhelníku a prochází těžištěm | ||
| Čtverec se stranou A a hmotnost m | Osa je kolmá k rovině čtverce a prochází těžištěm |
Odvozování vzorců
Tenkostěnný válec (kroužek, obruč)
Odvození vzorce
Moment setrvačnosti tělesa je roven součtu momentů setrvačnosti jeho součástí. Rozdělte tenkostěnný válec na prvky s hmotou dm a momenty setrvačnosti DJ i. Pak
Protože všechny prvky tenkostěnného válce jsou ve stejné vzdálenosti od osy otáčení, vzorec (1) se převede do tvaru
Silnostěnný válec (kroužek, obruč)
Odvození vzorce
Nechť vznikne homogenní prstenec s vnějším poloměrem R, vnitřní poloměr R 1, tl h a hustota ρ. Nalámeme na tenké tenké kroužky Dr. Hmotnost a moment setrvačnosti tenkého poloměru prstence r bude
Najdeme moment setrvačnosti tlustého prstence jako integrál
Protože objem a hmotnost prstenu jsou stejné
získáme konečný vzorec pro moment setrvačnosti prstence
Homogenní disk (plný válec)
Odvození vzorce
Uvažovat válec (disk) jako prsten s nulovým vnitřním poloměrem ( R 1 = 0), získáme vzorec pro moment setrvačnosti válce (disku):
Pevný kužel
Odvození vzorce
Rozlámeme kužel na tenké kotouče o tl dh, kolmo k ose kužele. Poloměr takového disku je roven
Kde R– poloměr kuželové základny, H- výška kužele, h– vzdálenost od vrcholu kužele k disku. Hmotnost a moment setrvačnosti takového disku bude
Integrace, chápeme
Pevná homogenní koule
Odvození vzorce
Rozdělte kouli na tenké kotouče tl dh, kolmo k ose otáčení. Poloměr takového disku umístěného ve výšce h ze středu koule, zjistíme ji pomocí vzorce
Hmotnost a moment setrvačnosti takového disku bude
Integrací najdeme moment setrvačnosti koule:
Tenkostěnná koule
Odvození vzorce
K odvození použijeme vzorec pro moment setrvačnosti homogenní koule o poloměru R:
Vypočítejme, jak moc se změní moment setrvačnosti koule, když se při konstantní hustotě ρ její poloměr zvětší o nekonečně malé množství dR.
Tenká tyč (osa prochází středem)
Odvození vzorce
Rozdělte tyč na malé části Dr. Hmotnost a moment setrvačnosti takového fragmentu se rovnají
Integrace, chápeme
Tenká tyč (osa prochází koncem)
Odvození vzorce
Když se osa otáčení pohybuje od středu tyče k jejímu konci, těžiště tyče se posune vzhledem k ose o vzdálenost l/2. Podle Steinerovy věty nový okamžik setrvačnost bude stejná
Bezrozměrné momenty setrvačnosti planet a jejich satelitů
Velká hodnota pro výzkum vnitřní struktura planety a jejich satelity mají své bezrozměrné momenty setrvačnosti. Bezrozměrný moment setrvačnosti tělesa o poloměru r a mše m se rovná poměru jeho momentu setrvačnosti vzhledem k ose rotace k momentu setrvačnosti hmotného bodu o stejné hmotnosti vzhledem k pevné ose rotace umístěné ve vzdálenosti r(rovná pan 2). Tato hodnota odráží rozložení hmoty v hloubce. Jednou z metod měření v blízkosti planet a satelitů je určení Dopplerova posunu rádiového signálu vysílaného AMS letícím poblíž dané planety nebo satelitu. Pro tenkostěnnou kouli je bezrozměrný moment setrvačnosti roven 2/3 (~0,67), pro homogenní kouli - 0,4 a obecně platí, že čím méně, tím větší je hmotnost tělesa soustředěná v jeho středu. Například Měsíc má bezrozměrný moment setrvačnosti blízký 0,4 (rovná se 0,391), takže se předpokládá, že je relativně homogenní, jeho hustota se s hloubkou mění jen málo. Bezrozměrný moment setrvačnosti Země je menší než u homogenní koule (rovná se 0,335), což je argument ve prospěch existence hustého jádra.
Odstředivý moment setrvačnosti
Odstředivé momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k osám pravoúhlého kartézského souřadnicového systému jsou následující veličiny:
Kde X, y A z- souřadnice malého tělesa s objemem dV, hustota ρ a hmotnost dm.
Osa OX se nazývá hlavní osa setrvačnosti těla, jsou-li odstředivé momenty setrvačnosti J xy A J xz jsou současně rovny nule. Každým bodem tělesa lze vést tři hlavní osy setrvačnosti. Tyto osy jsou na sebe navzájem kolmé. Momenty setrvačnosti těla vzhledem ke třem hlavním osám setrvačnosti nakresleným v libovolném bodě Ó těla se nazývají hlavní momenty setrvačnosti těla.
Hlavní osy setrvačnosti procházející těžištěm tělesa se nazývají hlavní centrální osy setrvačnosti těla a momenty setrvačnosti kolem těchto os jsou jeho hlavní centrální body setrvačnost. Osa symetrie homogenního tělesa je vždy jednou z jeho hlavních centrálních os setrvačnosti.
Geometrický moment setrvačnosti
Geometrický moment setrvačnosti - geometrická charakteristika řezu formy
kde je vzdálenost od středové osy k libovolné elementární oblasti vzhledem k neutrální ose.
Geometrický moment setrvačnosti nesouvisí s pohybem materiálu, pouze odráží stupeň tuhosti průřezu. Slouží k výpočtu poloměru otáčení, průhybu nosníku, výběru průřezů nosníků, sloupů atd.
Jednotkou SI je m4. Ve stavebních výpočtech, literatuře a zejména sortimentech válcovaných kovů se uvádí v cm 4.
Z něj je vyjádřen moment odporu sekce:
.| Geometrické momenty setrvačnosti některých obrazců | |
|---|---|
| Výška a šířka obdélníku: | |
| Obdélníková krabicová část s výškou a šířkou podél vnějších obrysů a , a podél vnitřních obrysů, resp | |
| Průměr kruhu | |
Centrální moment setrvačnosti
Centrální moment setrvačnosti(nebo moment setrvačnosti vzhledem k bodu O) je veličina
Centrální moment setrvačnosti lze vyjádřit pomocí hlavních osových nebo odstředivých momentů setrvačnosti: .
Tenzor setrvačnosti a elipsoid setrvačnosti
Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose procházející těžištěm a mající směr určený jednotkovým vektorem lze znázornit ve formě kvadratické (bilineární) formy:
(1),kde je tenzor setrvačnosti. Matice tenzoru setrvačnosti je symetrická, má rozměry a skládá se ze složek odstředivých momentů:
.
Výběrem vhodného souřadnicového systému lze matici tenzoru setrvačnosti redukovat na diagonální formu. Chcete-li to provést, musíte vyřešit problém s vlastní hodnotou pro matici tenzoru:
,
kde je ortogonální přechodová matice k vlastní bázi tenzoru setrvačnosti. Na správném základě jsou souřadnicové osy nasměrovány podél hlavních os tenzoru setrvačnosti a také se shodují s hlavními poloosami elipsoidu tenzoru setrvačnosti. Veličiny jsou hlavní momenty setrvačnosti. Výraz (1) ve svém vlastním souřadném systému má tvar:
odkud pochází rovnice
Moment síly a moment setrvačnosti
V dynamice translačního pohybu hmotného bodu byly kromě kinematických charakteristik zavedeny pojmy síla a hmotnost. Při studiu dynamiky rotačního pohybu se zavádějí fyzikální veličiny - točivý moment A moment setrvačnosti, fyzický význam které prozradíme níže.
Nechte nějaké těleso pod vlivem síly působící v bodě A se otáčí kolem osy OO“ (obrázek 5.1).
Obrázek 5.1 – K závěru konceptu momentu síly
Síla působí v rovině kolmé k ose. Kolmý R, upustil od bodu O(ležící na ose) do směru působení síly se nazývá rameno síly. Součin síly ramene určuje modul moment síly vzhledem k bodu O:
(5.1)
Moment síly je vektor určený vektorovým součinem poloměrového vektoru místa působení síly a vektoru síly:
(5.2)
Jednotka momentu síly - newtonmetr(N . m). Směr vektoru silového momentu lze zjistit pomocí pravidla pravé vrtule.
Mírou setrvačnosti těles při translačním pohybu je hmotnost. Setrvačnost těles při rotačním pohybu závisí nejen na hmotnosti, ale také na jejím rozložení v prostoru vzhledem k ose rotace. Mírou setrvačnosti při rotačním pohybu je veličina tzv moment setrvačnosti těla vzhledem k ose otáčení.
Moment setrvačnosti hmotného bodu vzhledem k ose rotace - součin hmotnosti tohoto bodu druhou mocninou vzdálenosti od osy:
Moment setrvačnosti těla vzhledem k ose otáčení - součet momentů setrvačnosti hmotných bodů, které tvoří toto těleso:
(5.4)
V obecný případ, pokud je těleso pevné a představuje soubor bodů s malými hmotnostmi dm, moment setrvačnosti je určen integrací:
, (5.5)
Kde r- vzdálenost od osy otáčení k prvku hmoty d m.
Je-li těleso homogenní a jeho hustota ρ = m/PROTI, pak moment setrvačnosti tělesa
(5.6)
Moment setrvačnosti tělesa závisí na tom, kolem které osy se otáčí a jak je hmotnost tělesa rozložena v objemu.
Moment setrvačnosti těles, která mají pravidelný geometrický tvar a rovnoměrné rozložení hmotnost podle objemu.
Moment setrvačnosti homogenní tyče vzhledem k ose procházející středem setrvačnosti a kolmé k tyči,
Moment setrvačnosti homogenního válce vzhledem k ose kolmé k její základně a procházející středem setrvačnosti,
(5.8)
Moment setrvačnosti tenkostěnného válce nebo obruče vzhledem k ose kolmé k rovině jeho základny a procházející jeho středem,
Moment setrvačnosti míče vzhledem k průměru
(5.10)
Určeme moment setrvačnosti disku vzhledem k ose procházející středem setrvačnosti a kolmé k rovině rotace. Nechť je hmotnost disku m, a jeho poloměr je R.
Oblast prstence (obrázek 5.2) uzavřená mezi r a , se rovná .
Obrázek 5.2 – K závěru momentu setrvačnosti disku
Oblast disku. S konstantní tloušťkou prstence,
odkud nebo 
.
Pak moment setrvačnosti disku,
Pro názornost ukazuje obrázek 5.3 homogenní pevné látky různé tvary a jsou vyznačeny momenty setrvačnosti těchto těles vzhledem k ose procházející těžištěm.
Obrázek 5.3 – Momenty setrvačnosti já C některých homogenních pevných látek.
Steinerova věta
Výše uvedené vzorce pro momenty setrvačnosti těles jsou uvedeny za podmínky, že osa rotace prochází středem setrvačnosti. Chcete-li určit momenty setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose, měli byste použít Steinerova věta : moment setrvačnosti tělesa vůči libovolné ose rotace je roven součtu momentu setrvačnosti J 0 vůči ose rovnoběžné s danou a procházející středem setrvačnosti tělesa a hodnotě md 2:
(5.12)
Kde m- tělesná hmotnost, d- vzdálenost od středu hmoty k vybrané ose otáčení. Jednotka momentu setrvačnosti - kilogram metr čtvereční (kg . m2).
Tedy moment setrvačnosti homogenní tyče délky l vzhledem k ose procházející jejím koncem se podle Steinerovy věty rovná
Aplikace. Moment setrvačnosti a jeho výpočet.
Nechte tuhé těleso rotovat kolem osy Z (obrázek 6). Lze jej znázornit jako soustavu různých hmotných bodů m i, které se v čase nemění, z nichž každý se pohybuje po kružnici o poloměru r i, ležící v rovině kolmé k ose Z. Úhlové rychlosti všechny hmotné body jsou stejné. Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose Z je veličina:
Kde 
– moment setrvačnosti jednotlivého hmotného bodu vzhledem k ose OZ. Z definice vyplývá, že moment setrvačnosti je aditivní množství, tj. moment setrvačnosti tělesa sestávajícího z jednotlivých dílů je roven součtu momentů setrvačnosti dílů.
Obrázek 6
Očividně, [ já] = kg×m2. Důležitost pojmu moment setrvačnosti je vyjádřena ve třech vzorcích:
; 
; 
.
První z nich vyjadřuje moment hybnosti tělesa, které se otáčí kolem pevné osy Z (je užitečné tento vzorec porovnat s výrazem pro hybnost tělesa P = mV c, Kde V c– rychlost těžiště). Druhý vzorec se nazývá základní rovnice pro dynamiku rotačního pohybu tělesa kolem pevné osy, tedy jinými slovy, druhý Newtonův zákon pro rotační pohyb (srovnej se zákonem o pohybu těžiště: 
). Třetí vzorec vyjadřuje kinetickou energii tělesa rotujícího kolem pevné osy (srovnej s výrazem pro kinetickou energii částice 
). Porovnání vzorců nám umožňuje dospět k závěru, že moment setrvačnosti při rotačním pohybu hraje roli podobnou hmotnosti v tom smyslu, že čím větší je moment setrvačnosti tělesa, tím menší úhlové zrychlení nabývá, všechny ostatní věci jsou stejné ( tělo se obrazně řečeno obtížněji točí). Ve skutečnosti se výpočet momentů setrvačnosti snižuje na výpočet trojného integrálu a lze jej provést pouze pro omezený počet symetrických těles a pouze pro osy symetrie. Počet os, kolem kterých se může těleso otáčet, je nekonečně velký. Mezi všemi osami vyniká ta, která prochází pozoruhodným bodem těla - těžiště
(bod, k jehož popisu pohybu stačí představit si, že celá hmota soustavy je soustředěna v těžišti a na tento bod působí síla rovnající se součtu všech sil). Ale také existuje nekonečně mnoho os procházejících středem hmoty. Ukazuje se, že pro jakékoli pevné těleso libovolného tvaru existují tři vzájemně kolmé osy Cx, Cy, Cz, volal osy volné rotace
, které mají pozoruhodnou vlastnost: pokud se těleso otočí kolem kterékoli z těchto os a vymrští nahoru, pak při následném pohybu tělesa zůstane osa rovnoběžná sama se sebou, tzn. nebude padat. Kroucení kolem jakékoli jiné osy tuto vlastnost nemá. Hodnoty momentů setrvačnosti typických těles kolem uvedených os jsou uvedeny níže. Prochází-li osa těžištěm, ale svírá s osami úhly a, b, g Cx, Cy, Cz V souladu s tím je moment setrvačnosti kolem takové osy roven
I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)
Podívejme se krátce na výpočet momentu setrvačnosti pro nejjednodušší tělesa.
1.Moment setrvačnosti dlouhé tenké homogenní tyče kolem osy procházející těžištěm tyče a kolmé k ní.
Nechat T - hmotnost tyče, l – její délka.
, 
index " S» v okamžiku setrvačnosti Ic znamená, že se jedná o moment setrvačnosti kolem osy procházející bodem těžiště (středem symetrie tělesa), C(0,0,0).
2. Moment setrvačnosti tenké obdélníkové desky.
; 
;
3. Moment setrvačnosti pravoúhlého rovnoběžnostěnu.
, t. C(0,0;0)
4. Moment setrvačnosti tenkého prstence.
;
, t. C(0,0;0)
5. Moment setrvačnosti tenkého disku.
Kvůli symetrii
; 
;
6. Moment setrvačnosti pevného válce.
;
Díky symetrii:
7. Moment setrvačnosti pevné koule.
, t. C(0,0;0)
8. Moment setrvačnosti pevného kužele.
, t. C(0,0,0)
Kde R- poloměr základny, h– výška kužele.
Připomeňme, že cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. A konečně, pokud osa O neprochází těžištěm, pak lze moment setrvačnosti tělesa vypočítat pomocí Huygens Steinerovy věty
I o = I s + md 2, (**)
Kde já o– moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose, Je– moment setrvačnosti kolem osy rovnoběžné s ní, procházející těžištěm,
m- tělesná hmotnost, d– vzdálenost mezi osami.
Postup výpočtu momentů setrvačnosti pro tělesa standardního tvaru vzhledem k libovolné ose je redukován na následující.
Moment setrvačnosti
Pro výpočet momentu setrvačnosti musíme těleso mentálně rozdělit na dostatečně malé prvky, jejichž body lze považovat za ležící ve stejné vzdálenosti od osy rotace, pak najít součin hmotnosti každého prvku druhou mocninou jeho vzdálenosti od osy a nakonec sečteme všechny výsledné produkty. Je zřejmé, že jde o časově velmi náročný úkol. Počítat
momenty setrvačnosti těles správné geometrický tvar V některých případech můžete použít metody integrálního počtu.
Stanovení konečného součtu momentů setrvačnosti prvků tělesa nahradíme součtem nekonečně velkého počtu momentů setrvačnosti vypočtených pro nekonečně malé prvky:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (na Δm → 0).
Vypočítejme moment setrvačnosti homogenního disku nebo plného válce o výšce h vzhledem k jeho ose symetrie
Rozdělme disk na prvky ve formě tenkých soustředných prstenců se středy na jeho ose symetrie. Výsledné kroužky mají vnitřní průměr r a vnější r+dr a výšku h. Protože Dr<< r
, pak můžeme předpokládat, že vzdálenost všech bodů prstence od osy je stejná r.
Pro každý jednotlivý prstenec moment setrvačnosti
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Kde ΣΔm− hmotnost celého prstence.
Hlasitost vyzvánění 2πrhdr. Pokud je hustota materiálu disku ρ
, pak hmotnost prstenu
ρ2πrhdr.
Moment setrvačnosti prstence
i = 2πρhr 3 dr.
Pro výpočet momentu setrvačnosti celého disku je nutné sečíst momenty setrvačnosti prstenců od středu disku ( r = 0) na jeho okraj ( r = R), tedy vypočítat integrál:
I = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
nebo
I = (1/2)πρhR 4.
Ale hmotnost disku m = ρπhR 2, tedy,
I = (1/2) mR2.
Uveďme (bez výpočtu) momenty setrvačnosti pro některá tělesa pravidelného geometrického tvaru, vyrobená z homogenních materiálů 
1.
Moment setrvačnosti tenkého prstence vzhledem k ose procházející jeho středem kolmým k jeho rovině (nebo tenkostěnného dutého válce vzhledem k jeho ose symetrie):
I = mR 2.
2.
Moment setrvačnosti silnostěnného válce vzhledem k ose symetrie:
I = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Kde R 1− vnitřní a R 2− vnější poloměry.
3.
Moment setrvačnosti disku vzhledem k ose, která se shoduje s jedním z jeho průměrů:
I = (1/4) mR2.
4.
Moment setrvačnosti pevného válce vzhledem k ose kolmé k tvořící přímce a procházející jejím středem:
I = m(R2/4 + h2/12)
Kde R- poloměr základny válce, h− výška válce.
5.
Moment setrvačnosti tenké tyče vzhledem k ose procházející jejím středem:
I = (1/12) ml 2,
Kde l− délka tyče.
6.
Moment setrvačnosti tenké tyče vzhledem k ose procházející jedním z jejích konců:
I = (1/3) ml 2
7. Moment setrvačnosti koule vzhledem k ose, která se shoduje s jedním z jejích průměrů:
I = (2/5)mR2.
Jestliže je znám moment setrvačnosti tělesa k ose procházející jeho těžištěm, pak moment setrvačnosti k jakékoli jiné ose rovnoběžné s první lze nalézt na základě tzv. Huygens-Steinerovy věty.
Moment setrvačnosti těla já vzhledem k libovolné ose se rovná momentu setrvačnosti tělesa Je vzhledem k ose rovnoběžné s danou a procházející těžištěm tělesa plus hmotnost tělesa m, vynásobené druhou mocninou vzdálenosti l mezi osami:
I = I c + ml 2.
Jako příklad vypočítejme moment setrvačnosti koule o poloměru R a hmotnost m, zavěšené na niti délky l, vzhledem k ose procházející bodem zavěšení O. Hmotnost nitě je malá ve srovnání s hmotností kuličky. Od momentu setrvačnosti koule vzhledem k ose procházející těžištěm Ic = (2/5) mR 2 a vzdálenost
mezi osami ( l + R), pak moment setrvačnosti kolem osy procházející závěsným bodem:
I = (2/5) mR2 + m(l + R)2.
Rozměr momentu setrvačnosti:
[I] = [m] × = ML 2.
