Předchozí kapitoly pojednávaly o pěti akcích racionální čísla: sčítání, odčítání, násobení, dělení a umocňování.
V této kapitole se budeme zabývat algebraickými výrazy složenými pomocí těchto pěti akcí. Všechny takové výrazy se nazývají racionální.
Definice 1. Algebraické výrazy složené z čísel, označených čísly a písmeny, využívající operace sčítání, odčítání, násobení, dělení a umocňování se nazývají racionální.
Příklady racionálních výrazů.
2. Celočíselné a zlomkové výrazy.
Zvažte následující racionální výrazy:
Při zvažování různých výrazů v algebře je hlavní pozornost věnována akcím, které je třeba provést na číslech označených písmeny.
První a druhý z těchto výrazů vůbec neobsahují operaci dělení čísly označenými písmeny. Takové výrazy se nazývají celá čísla.
Druhý výraz obsahuje akci dělení číslem 4 označeným číslem. Ale můžeme, když nejprve vydělíme 5 4, zapíšeme tento druhý výraz takto:
Výraz
je také celý; může být zastoupen ve formě
Konečně třetí výraz obsahuje dělení číslem psaným písmenem. (O tomto výrazu se také říká, že má písmenného dělitele.) Takové výrazy se nazývají zlomkové výrazy.
Další příklady zlomkových výrazů:
Definice 2. Racionální výraz se nazývá celé číslo, pokud neobsahuje dělení doslovným výrazem.
Definice 3. Racionální výraz se nazývá zlomek, pokud obsahuje dělení doslovným výrazem.
Zkrátka se dá říci: racionální algebraický výraz se nazývá celé číslo nebo zlomek podle toho, zda má či nemá písmenného dělitele.
3. Monomiální.
Z celočíselných výrazů jsou nejjednodušší ty, které obsahují pouze operace násobení a umocňování, například:
Takové výrazy se nazývají monomiály.
Definice 4. Algebraický výraz, který obsahuje pouze operace násobení a umocňování, se nazývá monočlen.
Monomial je tedy součin číselného faktoru a písmen, z nichž každý má určitou mocninu.
Poznámka. Protože umocňování je speciální případ násobení (můžeme to např. zapsat ve tvaru můžeme říci, že jednočlen obsahuje pouze jeden děj - násobení.
Za jednočlenný se považuje i výraz skládající se pouze z jednoho písmene.
Každé jednotlivé číslo zapsané číslicemi je také považováno za jednočlenné.
Výraz tvaru je také považován za jednočlenný, protože ačkoli obsahuje dělení, můžeme přiřadit dělitel 4 číselnému faktoru a zapsat výraz takto:
4. Polynom.
Několik monočlenů spojených znaménkem sčítání a odčítání tvoří nový algebraický výraz nazývaný polynom.
Například:
Již víme, že odčítání lze vždy nahradit sčítáním a jakýkoli výraz, který zahrnuje sčítání a odčítání, je algebraický součet. Například výše uvedený výraz může být zapsán takto:
Definice 5. Algebraický součet několika monočlenů se nazývá polynom.
Každý monočlen, který je součástí polynomu, se nazývá jeho členem.
Polynom sestávající ze dvou termínů se také nazývá binom; polynom sestávající ze tří členů se nazývá trinom atd.
Příklady dvojčlenů:
Příklady trojčlenů:
Monomial je považován za speciální případ polynomu: je to polynom skládající se z jednoho členu.
Poznámka. Po prostudování operací s monočleny a polynomy můžeme reprezentovat jakýkoli celý algebraický výraz jako algebraický součet monočlenů (zejména lze získat monočlen). Proto každý celý výraz, jako např
je považován za polynom. Algebraický součet monočlenů je tzv. normální (obyčejný), nejjednodušší forma celého algebraického výrazu. S touto nejjednodušší formou začneme studovat polynomy.
Zlomkové racionální výrazy, jako např
19. Vezměme vzorec
čteme to takto: „rozdíl mezi čísly a a b“. V tomto vzorci můžeme nahradit číslo a nulou; pak se obrátí
0 – b nebo jen v –b.
Odečíst b od nuly znamená, podle toho, co víme o odečítání relativních čísel, přičíst číslo b s opačným znaménkem k nule. Proto je třeba výraz –b chápat jako obrácené znaménko k číslu b. Pokud je například b = +5, pak –b = –5; je-li b = –4, pak –b = +4 atd. Pokud napíšeme výraz +a, pak je třeba jej chápat jako číslo rovné číslu a. Jestliže a = +5, pak +a = +5; pokud a = –4, pak +a = 4 atd.
Proto vzorec
můžeme rozumět bez rozdílu výsledku, nebo ve smyslu
nebo ve smyslu
Vždy tedy můžeme odčítání nahradit sčítáním a jakýkoli rozdíl chápat jako součet dvou čísel:
a – b je součet čísel a a (–b)
x – y je součet čísel x a (–y)
–a – b je součet čísel (–a) a (–b) atd.
Ty vzorce, kde z hlediska aritmetiky dochází k několika sčítáním a odčítáním, např.
a – b + c + d – e – f,
nyní můžeme z hlediska algebry chápat pouze jako součet, totiž:
a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).
Proto je obvyklé nazývat takové výrazy názvem „algebraický součet“.
20. Vezměme si nějaký algebraický součet
a – b – c nebo –3bc² + 2ab – 4a²b atd.
Je obvyklé nazývat tyto výrazy jménem polynom a tímto slovem se nahrazuje slovo „součet“ nebo název „algebraický součet“. To víme
a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) atd.
Samostatně se každý člen nazývá členem polynomu.
První polynom
se skládá ze tří členů: (+a), (–b) a (+c).
Druhý polynom
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,
se skládá ze čtyř členů: (–abc), (–3bc²), (+2ab) a (–4a²b).
Částky mohou být uspořádány v libovolném pořadí:
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.
Tuto vlastnost součtu lze nyní vyjádřit jinak: členy polynomu lze přeskupit v libovolném pořadí. To bylo provedeno výše pro polynom –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, navíc tak, že člen (+2ab) je nyní v popředí. To umožnilo poněkud zjednodušit výraz: nemusíte psát znaménko + dopředu. Samozřejmě, že takové přeuspořádání musí být provedeno okamžitě, bez předchozího uzavření (jak je uvedeno výše) každý termín v závorkách.
Další příklad:
1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.
První člen tohoto polynomu byl původně (+1) - znak + byl implikován před jednotkou; když tento člen přesuneme na jiné místo než na první (výše jsme ho přesunuli na poslední místo), pak tento znak + nelze přeskočit.
Můžeme si všimnout, že v předchozím příkladu jsme přeskupením členů polynomu dosáhli určitého pořadí: na prvním místě je člen s písmenem a až 4. mocninou, na dalším místě je člen s písmenem a do 3. mocniny, pak přichází termín s písmenem a do 3. mocniny 2. stupeň, pak - a do 1. stupně a nakonec termín, kde písmeno a vůbec není.
Toto uspořádání členů polynomu je vyjádřeno slovy „polynom je uspořádán v sestupných mocninách písmene a“.
Zde jsou další příklady tohoto uspořádání:
3x 5 – 2x 3 + b (v sestupných mocninách písmene x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (v sestupných mocninách písmene a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (v sestupných mocninách písmene b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (v sestupné mocnině písmene x).
Často se používá obrácené uspořádání „vzestupných stupňů“, kdy se stupeň zvoleného písmene postupně zvyšuje a v 1. termínu buď toto písmeno není přítomno vůbec, nebo zde má nejnižší stupeň oproti ostatním termínům. Ve druhém z předchozích příkladů bychom mohli říci, že zde je polynom uspořádán ve vzestupných mocninách písmene b. Zde jsou příklady:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (ve vzestupných mocninách písmene a);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (ve vzestupných mocninách písmene x);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (ve vzestupných mocninách písmene x);
a 3 – 2ab + b 2 (ve vzestupných mocninách písmene b nebo v sestupných mocninách písmene a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (v sestupných mocninách písmene x nebo ve vzestupných mocninách písmene y).
21. Polynom se dvěma členy se nazývá binomický(například 3a + 2b), asi tři členy - trinom (například 2a² - 3ab + 4b²) atd. Lze hovořit o součtu jednoho členu (druhý člen je nula), nebo o polynom o jednom členu. Pak je samozřejmě název „polynomický“ nevhodný a používá se název „monomický“. Každý člen libovolného polynomu, braný samostatně, je jednočlen. Zde jsou příklady nejjednodušších monomiálů:
2; –3a; a²; 4x³; -5x4; ab; ab²; –3abc; atd.
Téměř všechny výše napsané monočleny jsou produkty dvou nebo více faktorů a většina z nich má jak číselný, tak i abecední faktor. Například jednočlen –3abc má číselný faktor –3 a písmenné faktory a, b a c; v monočlenu 4x³ je číselný faktor +4 (implikuje se znaménko +) a doslovný faktor x³ atd. Pokud bychom napsali monočlen s několika číselnými faktory (a také abecedními), jako např.
,
pak je výhodnější přeuspořádat faktory tak, aby číselné faktory byly blízko, tzn.
,
vynásobte tyto číselné faktory a dostanete
–4a²bc² (tečky, znaménka násobení jsou přeskočena).
Je také zvykem, v naprosté většině případů, psát číselný faktor dopředu. píšou:
4a, ne 4
–3a²b, nikoli a²(–3)b 
Číselný faktor monomiálu se nazývá koeficient.
Pokud číselný faktor není zapsán v monočlenu, například ab, můžete jej vždy implikovat. Opravdu
a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ atd.
Takže monočleny a², ab, ab² mají každý koeficient 1 (přesněji: +1). Pokud napíšeme monočleny –ab, –a², –ab² atd., pak by měly mít koeficient –1.
22. Složitější příklady polynomů a monočlenů.
(a + b)² + 3(a – b)² ... tento vzorec vyjadřuje součet dvou členů: první je druhá mocnina součtu čísel a a b a druhý je součin čísla 3 druhou mocninou rozdílu stejných čísel. Proto musí být tento vzorec rozpoznán jako binomický: první člen je (a + b)² a druhý 3(a – b)². Vezmeme-li výraz (a + b)² odděleně, pak na základě předchozího musí být považován za jednočlenný a jeho koeficient = +1.
a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... musí být uznáno jako trinom (součet tří členů): první člen je a(b – 1) ) a jeho koeficient = +1 , druhý člen –b(a – 1), jeho koeficient = –1, třetí člen –(a – 1)(b – 1), jeho koeficient = – 1.
Někdy je počet členů polynomu uměle snížen. Takže trojčlenný
může být například považováno za binom a například a + b je považováno za jeden termín (jeden termín). Aby to bylo jasnější, použijte závorky:
Potom má člen (a + b) implikovaný koeficient +1
[opravdu (a + b) = (+1) (a + b)].
Monomiální – je součin dvou nebo více faktorů, z nichž každý je buď číslo, písmeno nebo mocnina písmene.
Například, 3a 2 b 4 ,b d 3 , – 17 a b c- monomiály.
Jednotné číslo nebo jedno písmeno lze také považovat za jednočlenné. Jakýkoli faktor v monomiálu se nazývá součinitel.Často se koeficient pouze volá číselný faktor. Monomály se nazývají podobný, pokud jsou stejné nebo se liší pouze koeficienty. Pokud tedy dva nebo více jednočlenů mají stejná písmena nebo jejich mocniny, jsou si také podobné.
Síla jednočlenu je součet exponentů všech jeho písmen.
Sčítání monočlenů. Pokud jsou mezi součtem monočlenů podobné, lze součet snížit na více jednoduchý pohled:
a x 3 y 2 – 5b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = (a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .
Tato operace se nazývá přivádí podobné členy . Zde provedená akce se také nazývá bracketing.
Násobení monomiálů. Součin několika monočlenů lze zjednodušit, pokud obsahuje pouze mocniny stejných písmen nebo číselné koeficienty. V tomto případě se exponenty sečtou a číselné koeficienty se vynásobí.
PŘÍKLAD: 5 x 3 z 8 (– 7a 3 x 3 y 2 ) = –35 a 4 x 6 y 2 z 8 .
Dělení monočlenů. Podíl dvou monočlenů lze zjednodušit, pokud dělenec a dělitel mají nějaké mocniny stejných písmen nebo číselných koeficientů. V tomto případě se exponent dělitele odečte od exponentu děliče a číselný koeficient děliče se vydělí číselným koeficientem dělitele.
PŘÍKLAD: 35 a 4 x 3 z 9: 7 a x 2 z 6 = 5a 3 x z 3 .
Polynomje algebraický součet monočlenů. Polynomiální stupeň je největší z mocnin monočlenů obsažených v daném polynomu.
Polynom sestávající ze dvou členů se nazývá binom a polynom sestávající ze tří členů se nazývá trinom.. Monomy jsou obvykle považovány za zvláštní případ mnohočlenů – jsou považovány za mnohočleny skládající se z jednoho členu.
Pokud jsou všechny členy polynomu monočleny standardního tvaru a nejsou mezi nimi žádné podobné členy, pak se takový polynom nazývá polynom standardního tvaru.
Představme si polynom Zab-a 2 +b-2ab + 5b ve standardním tvaru.
K tomu stačí zadat podobné členy, tedy podobné členy tohoto polynomu: Зab – а 2 + b - 2аb + 5b_ = аb - а 2 + 6b.
Pokud polynom standardního tvaru obsahuje jednu proměnnou, pak jsou jeho členy obvykle uspořádány v sestupném pořadí podle jeho mocnin. V tomto případě se na posledním místě umístí volný člen mnohočlenu, tedy člen, který neobsahuje písmeno.
Například polynom 5x 2 + 1 - x 3 + 4x se zapisuje takto: -x 3 + 5x 2 + 4x - 1.
Největší exponent, kterému se proměnná v tomto polynomu objevuje, je 3. Říkají, že -x 3 + - 5x 2 + 4x - 1 - polynom třetího stupně.
Násobení součtů a polynomů. Součin součtu dvou nebo více výrazů libovolným výrazem se rovná součtu součinů každého z výrazů tímto výrazem.
V 7. ročníku se žáci v rámci kurzu algebry seznámí s novými pojmy a tématy. Otevírají se jim nové dveře ve fascinujícím labyrintu zvaném matematika. Patří sem studium monočlenů a polynomů a také jejich aplikace.
Co je to?
Za prvé, pojďme pochopit pojmy. V matematice existuje mnoho specifických výrazů, z nichž mnohé mají svá ustálená jména. Jedno z těchto slov je jednoznačné. Jedná se o matematický termín skládající se ze součinu čísel, proměnných, z nichž každá se může do určité míry objevit v součinu. polynom, podle definice je to algebraický výraz představující součet monočlenů. Často je potřeba přinést monomiální do své standardní podoby. Chcete-li to provést, musíte vynásobit všechny číselné faktory přítomné v monomiálu a dát výsledné číslo na první místo. Poté vynásobte všechny mocniny, které mají stejný základ písmen. Polynom je také uveden do standardního tvaru, je to součin složený z číselného faktoru a mocnin různých proměnných.
Úskalí
Zdálo by se, že na první pohled není nic fatálně složitého, ale pro moderní školáky existuje řada okolností, které mohou obrázek zatemnit. Velké množství položek školní osnovy, naprostý nedostatek studijních hodin, humanitární smýšlení mnoha dětí a také základní únava mohou velmi ztížit učení nové látky. Často se stává, že dítě, které něčemu nerozumí, je v rozpacích nebo se bojí zeptat učitele, ale není schopno zvládnout téma samo a začínají potíže.
Řešení problému
Existuje několik způsobů, jak se těmto nástrahám vyhnout. Za prvé, rodiče školáků by měli věnovat pozornost tomu, jak jejich dítě zvládá program obecně a konkrétně probíraná témata. Nemělo by to mít podobu přísného dohledu nebo kontroly nad dítětem, ale cílem by mělo být vypěstování odpovědného a seriózního přístupu k učení. Klíčem k tomu je důvěryhodný vztah, ale ne strach.
Poměrně běžnou situací ve škole je situace, kdy dítě zcela nerozumí novému tématu, bojí se posměchu spolužáků a nesouhlasu učitele, a proto o svém zaváhání raději mlčí. Vztahy s učiteli se bohužel také různí, ne všem učitelům se daří najít přístup k dětem, jak ukazuje praxe. A existuje několik možností výstupu:
- návštěva další třídy ve škole, pokud existuje;
- lekce s lektorem;
- školení přes internet s využitím speciálních vzdělávacích zdrojů.
V prvních dvou případech existují nevýhody, které spočívají v čase a finančních prostředcích, zejména pokud jde o doučování. Třetí je výhodná, protože tato možnost školení:
- uvolnit;
- můžete studovat v jakoukoli vhodnou dobu;
- u žáka nevzniká psychická nepohoda, strach z posměchu atp.
- Vždy se můžete podívat na video lekci znovu, pokud vám něco nebude jasné hned napoprvé.
Nepochybně pozitivní aspekty je toho zde více, takže rodiče by měli vzít na vědomí, že jejich dítěti lze nabídnout právě takovou možnost doplňkových aktivit. Je dost možné, že student tento návrh zpočátku nepřijme s nadšením, ale po vyzkoušení jeho přednosti ocení. Rok od roku se zátěž předmětů ve škole zvyšuje, v 7. třídě už je to dost vážné.
Na našem online zdroji může dítě snadno najít lekci na téma, které pro něj může být obtížné, například „Polynom. Redukce na standardní formu." Když to pochopí, bude schopen porozumět a zvládnout další látku mnohem jednodušeji a snadněji.
- polynomy. V tomto článku nastíníme všechny počáteční a potřebné informace o polynomech. Mezi ně patří za prvé definice polynomu s doprovodnými definicemi pojmů polynomu, zejména volného termínu a podobných pojmů. Za druhé se zastavíme u polynomů standardního tvaru, uvedeme příslušnou definici a uvedeme jejich příklady. Nakonec si uvedeme definici stupně polynomu, vymyslíme, jak jej najít, a povíme si o koeficientech členů polynomu.
Navigace na stránce.
Polynom a jeho pojmy - definice a příklady
V 7. ročníku se polynomy studují bezprostředně po monomiích, což je pochopitelné, protože definice polynomu je dán prostřednictvím monomiálů. Uveďme tuto definici, abychom vysvětlili, co je polynom.
Definice.
Polynom je součet monočlenů; Monomial je považován za speciální případ polynomu.
Psaná definice vám umožňuje uvést tolik příkladů polynomů, kolik chcete. Kterýkoli z monočlenů 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 atd. je polynom. Také, podle definice, 1+x, a 2 +b 2 a jsou polynomy.
Pro usnadnění popisu polynomů je zavedena definice polynomického termínu.
Definice.
Polynomické členy jsou monočleny polynomu.
Například polynom 3 x 4 −2 x y+3−y 3 se skládá ze čtyř členů: 3 x 4 , −2 x y , 3 a −y 3 . Monomial je považován za polynom skládající se z jednoho členu.
Definice.
Polynomy, které se skládají ze dvou a tří členů, mají speciální názvy - binomický A trojčlenný respektive.
Takže x+y je binom a 2 x 3 q−q x x x+7 b je trinom.
Ve škole musíme nejčastěji pracovat s lineární binom a x+b , kde a a b jsou nějaká čísla a x je proměnná, stejně jako c kvadratický trinom a·x 2 +b·x+c, kde a, b a c jsou nějaká čísla a x je proměnná. Zde jsou příklady lineárních binomů: x+1 , x 7,2−4 , a zde jsou příklady čtvercové trojčlenky: x 2 +3 x−5 a 
.
Polynomy ve svém zápisu mohou mít podobné členy. Například v polynomu 1+5 x−3+y+2 x jsou podobné členy 1 a −3, stejně jako 5 x a 2 x. Mají své vlastní speciální jméno - podobné pojmy polynomu.
Definice.
Podobné členy polynomu se nazývají podobné členy v polynomu.
V předchozím příkladu jsou 1 a -3, stejně jako dvojice 5 x a 2 x, podobné členy polynomu. V polynomech, které mají podobné členy, můžete podobné členy zmenšit a zjednodušit tak jejich tvar.
Polynom standardního tvaru
Pro polynomy, stejně jako pro monočleny, existuje tzv. standardní forma. Vyslovme odpovídající definici.
Na základě tato definice, můžeme uvést příklady polynomů standardního tvaru. Takže polynomy 3 x 2 −x y+1 a 
psaný standardní formou. A výrazy 5+3 x 2 −x 2 +2 x z a x+x y 3 x z 2 +3 z nejsou polynomy standardního tvaru, protože první z nich obsahuje podobné členy 3 x 2 a −x 2 a v druhý – jednočlenný x·y 3 ·x·z 2 , jehož tvar je odlišný od standardního.
Všimněte si, že v případě potřeby můžete polynom vždy zmenšit na standardní tvar.
Dalším pojmem souvisejícím s polynomy standardního tvaru je pojem volného členu mnohočlenu.
Definice.
Volný člen polynomu je členem polynomu standardního tvaru bez písmenné části.
Jinými slovy, pokud polynom standardního tvaru obsahuje číslo, pak se nazývá volný člen. Například 5 je volný člen polynomu x 2 z+5, ale polynom 7 a+4 a b+b 3 volný člen nemá.
Stupeň polynomu - jak ho najít?
Další důležitá doprovodná definice je určení stupně polynomu. Nejprve definujeme stupeň polynomu standardního tvaru, tato definice je založena na stupních monočlenů, které jsou v jeho složení.
Definice.
Stupeň polynomu standardního tvaru je největší z mocnin monočlenů zahrnutých v jeho zápisu.
Uveďme příklady. Stupeň polynomu 5 x 3 −4 je roven 3, protože monočleny 5 x 3 a −4 v něm obsažené mají stupně 3 a 0, největší z těchto čísel je 3, což je stupeň polynomu. podle definice. A stupeň polynomu 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x rovná se největšímu z čísel 2+3=5, 4+1=5 a 1, tedy 5.
Nyní zjistíme, jak zjistit stupeň polynomu libovolného tvaru.
Definice.
Stupeň polynomu libovolného tvaru nazývat stupeň odpovídajícího polynomu standardního tvaru.
Pokud tedy polynom není zapsán ve standardním tvaru a potřebujete zjistit jeho stupeň, musíte původní polynom zmenšit na standardní tvar a najít stupeň výsledného polynomu - bude to požadovaný. Podívejme se na příklad řešení.
Příklad.
Najděte stupeň polynomu 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.
Řešení.
Nejprve musíte reprezentovat polynom ve standardním tvaru:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.
Výsledný polynom standardního tvaru obsahuje dva jednočleny −2 · a 2 · b 2 · c 2 a y 2 · z 2 . Najděte jejich mocniny: 2+2+2=6 a 2+2=4. Je zřejmé, že největší z těchto mocnin je 6, což je podle definice mocnina polynomu standardního tvaru. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, a tedy stupeň původního polynomu., 3 x a 7 polynomu 2 x−0,5 x y+3 x+7 .
Reference.
- Algebra: učebnice pro 7. třídu. všeobecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 240 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. třída. Ve 14 hodin 1. díl. Učebnice pro žáky vzdělávací instituce/ A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dodat. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Algebra a začal matematická analýza. 10. třída: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce: základní a profilové. úrovně / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; upravil A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 2010.- 368 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.
