Poznamenali jsme, že může být jakýkoli monomiál uvést do standardní podoby. V tomto článku pochopíme, co se nazývá uvedení monomiálu do standardní formy, jaké akce umožňují tento proces provést a zvážíme řešení příkladů s podrobným vysvětlením.
Navigace na stránce.
Co to znamená zredukovat monomiál na standardní formu?
Je výhodné pracovat s monočleny, když jsou psány ve standardním tvaru. Poměrně často jsou však monomily specifikovány v jiné než standardní formě. V těchto případech můžete vždy přejít z původního monomiálu na monomický standardní tvar provedením transformací identity. Proces provádění takových transformací se nazývá redukce monomiálu na standardní formu.
Shrňme výše uvedené argumenty. Zmenšete monomiální na standardní tvar- to znamená provádět s ním identické transformace tak, aby nabyl standardní podoby.
Jak převést monomiál do standardní formy?
Je čas přijít na to, jak zredukovat monomily na standardní formu.
Jak je známo z definice, jednočleny nestandardní typ jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin, případně opakujících se. A jednočlen standardního tvaru může obsahovat ve svém zápisu pouze jedno číslo a neopakující se proměnné nebo jejich mocniny. Nyní zbývá pochopit, jak přivést produkty prvního typu k typu druhého?
Chcete-li to provést, musíte použít následující pravidlo pro redukci monomiálu na standardní formu skládající se ze dvou kroků:
- Nejprve se provede seskupení číselných faktorů a také identických proměnných a jejich mocnin;
- Za druhé se vypočítá a použije součin čísel.
V důsledku aplikace uvedeného pravidla bude jakýkoli monomiál zredukován na standardní formu.
Příklady, řešení
Nezbývá než se naučit aplikovat pravidlo z předchozího odstavce při řešení příkladů.
Příklad.
Zmenšete monomiální 3 x 2 x 2 na standardní formu.
Řešení.
Seskupme číselné faktory a faktory s proměnnou x. Po seskupení bude mít původní jednočlen tvar (3·2)·(x·x 2) . Součin čísel v prvních závorkách je roven 6 a pravidlo pro násobení mocnin se stejnými základy umožňuje, aby výraz ve druhých závorkách byl reprezentován jako x 1 +2=x 3. Výsledkem je polynom standardního tvaru 6 x 3.
Zde je krátké shrnutí řešení: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3.
Odpověď:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Chcete-li tedy uvést jednočlen do standardního tvaru, musíte být schopni seskupovat faktory, násobit čísla a pracovat s mocninami.
Pro konsolidaci materiálu vyřešme ještě jeden příklad.
Příklad.
Prezentujte monomiál ve standardní podobě a uveďte jeho koeficient.
Řešení.
Původní monomial má ve svém zápisu jediný číselný faktor -1, posuňme ho na začátek. Poté seskupíme faktory zvlášť s proměnnou a, zvlášť s proměnnou b a proměnnou m už není co seskupit, nechme to tak, máme 
. Po provedení operací se stupni v závorkách nabude monočlen standardní tvar, který potřebujeme, ze kterého můžeme vidět koeficient monočlenu rovný −1. Minus jedna lze nahradit znaménkem minus: .
V této lekci uvedeme přesnou definici monomiálu a podíváme se na různé příklady z učebnice. Připomeňme si pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy. Definujme standardní tvar jednočlenu, koeficient jednočlenu a jeho písmennou část. Uvažujme dvě hlavní typické operace s monomiály, a to redukci na standardní tvar a výpočet konkrétní číselné hodnoty monomiálu pro dané hodnoty v něm obsažených doslovných proměnných. Formulujme pravidlo pro redukci monomiálu na standardní tvar. Naučme se řešit typické úkoly s jakýmikoli monomily.
Podrobit:Monomials. Aritmetické operace s monočleny
Lekce:Koncept monomiálu. Standardní pohled monomiální
Zvažte několik příkladů:
3. 
;
najdeme společné rysy pro dané výrazy. Ve všech třech případech je výraz součinem čísel a proměnných umocněných na mocninu. Na základě toho dáváme monomiální definice : jednočlen se nazývá nějak takto algebraický výraz, který se skládá ze součinu mocnin a čísel.
Nyní uvedeme příklady výrazů, které nejsou jednočlenné:
Pojďme najít rozdíl mezi těmito výrazy a předchozími. Spočívá v tom, že v příkladech 4-7 jsou operace sčítání, odčítání nebo dělení, zatímco v příkladech 1-3, které jsou jednočlenné, tyto operace nejsou.
Zde je několik dalších příkladů:
Výraz číslo 8 je jednočlenný, protože je součin mocniny a čísla, zatímco příklad 9 jednočlenný není.
Teď to zjistíme akce na monomiály .
1. Zjednodušení. Podívejme se na příklad č. 3 ;a příklad č. 2 /
Ve druhém příkladu vidíme pouze jeden koeficient - , každá proměnná se vyskytuje pouze jednou, tedy proměnná " A"" je reprezentováno v jediné kopii jako "", podobně se proměnné "" a "" vyskytují pouze jednou.
V příkladu č. 3 jsou naopak dva různé koeficienty - a , proměnnou "" vidíme dvakrát - jako "" a jako "", obdobně se proměnná "" vyskytuje dvakrát. To znamená, že tento výraz by měl být zjednodušen, čímž se dostáváme první akcí prováděnou na monomiích je redukce monomií na standardní formu . K tomu zredukujeme výraz z příkladu 3 do standardního tvaru, poté nadefinujeme tuto operaci a naučíme se, jak zredukovat libovolný monomický tvar do standardního tvaru.
Zvažte tedy příklad:
První akcí při operaci redukce na standardní formu je vždy vynásobení všech číselných faktorů:
;
Výsledek této akce bude vyvolán koeficient monomiálu .
Dále musíte znásobit síly. Vynásobme mocniny proměnné" X„podle pravidla pro násobení mocnin se stejnými základy, které říká, že při násobení se exponenty sčítají:
Nyní znásobme síly" na»:
;
Zde je tedy zjednodušený výraz:
;
Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Pojďme formulovat standardizační pravidlo :
Vynásobte všechny číselné faktory;
Umístěte výsledný koeficient na první místo;
Vynásobte všechny stupně, to znamená, že získáte část písmene;
To znamená, že jakýkoli monomial je charakterizován koeficientem a písmennou částí. Při pohledu do budoucna si všimneme, že monočleny, které mají stejnou část písmene, se nazývají podobné.
Teď musíme zapracovat technika pro redukci monomiálů na standardní formu . Zvažte příklady z učebnice:
Zadání: uveďte jednodílný znak do standardní podoby, pojmenujte koeficient a písmennou část.
Ke splnění úkolu použijeme pravidlo pro zmenšení jednočlenu na standardní tvar a vlastnosti mocnin.
1. 
;
3. 
;
Komentáře k prvnímu příkladu: Nejprve určíme, zda je tento výraz skutečně monočlen, zkontrolujme, zda obsahuje operace násobení čísel a mocnin a zda obsahuje operace sčítání, odčítání nebo dělení. Můžeme říci, že tento výraz je jednočlenný, protože je splněna výše uvedená podmínka. Dále podle pravidla pro redukci monomiálu na standardní tvar vynásobíme číselné faktory:
- našli jsme koeficient daného monomiálu;
; ; ; to znamená, že se získá doslovná část výrazu:;
Zapišme si odpověď: ;
Komentáře k druhému příkladu: Podle pravidla, které provádíme:
1) vynásobte číselné faktory:
2) vynásobte mocniny:
Proměnné jsou uvedeny v jedné kopii, to znamená, že je nelze s ničím násobit, jsou přepisovány beze změn, stupeň je násoben:
Zapišme si odpověď:
;
V tomto příkladu je koeficient jednočlenu roven jedné a písmenná část je .
Komentáře ke třetímu příkladu: a Podobně jako v předchozích příkladech provedeme následující akce:
1) vynásobte číselné faktory:
;
2) vynásobte mocniny:
;
Zapišme si odpověď: ;
V v tomto případě koeficient monomiálu je "", a doslovná část 
.
Nyní uvažujme druhý standardní provoz na monomilech . Protože jednočlen je algebraický výraz skládající se z doslovných proměnných, které mohou nabývat specifických hodnot číselné hodnoty, pak máme aritmetický číselný výraz, který je třeba vypočítat. To znamená, že další operace s polynomy je výpočet jejich konkrétní číselné hodnoty .
Podívejme se na příklad. Monomický daný:
tento jednočlen je již zredukován do standardní podoby, jeho koeficient je roven jedné a písmenná část
Již dříve jsme řekli, že algebraický výraz nelze vždy vypočítat, to znamená, že proměnné, které jsou v něm obsaženy, nemohou nabývat žádné hodnoty. V případě monočlenu mohou být v něm obsažené proměnné libovolné, což je vlastnost monočlenu.
Takže dovnitř uvedený příklad je nutné vypočítat hodnotu monomiálu v , , , .
Monomiály jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Čísla, proměnné a jejich mocniny jsou také považovány za monočleny. Například: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Jednočlen 5aa2b2b lze redukovat na tvar 20a^2b^2 Tento tvar se nazývá standardní tvar monočlenu. To znamená, že standardní tvar monočlenu je součinem koeficientu (který je na prvním místě) a mocnin proměnné. Koeficienty 1 a -1 se nezapisují, ale od -1 je ponecháno mínus. Monomiál a jeho standardní forma
Výrazy 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x jsou součiny čísel, proměnných a jejich mocnin. Takové výrazy se nazývají monomiály. Čísla, proměnné a jejich mocniny jsou také považovány za monočleny.
Například výrazy 8, 35, y a y2 jsou monočleny.
Standardní tvar monočlenu je monočlen ve formě součinu číselného faktoru na prvním místě a mocnin různých proměnných. Jakýkoli monomial lze redukovat na standardní formu vynásobením všech proměnných a čísel v něm obsažených. Zde je příklad redukce monomiálu na standardní formu:
4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5
Číselný faktor monomiálu zapsaného ve standardním tvaru se nazývá koeficient monomiálu. Například koeficient monomiálu -7x2y2 je roven -7. Koeficienty monočlenů x3 a -xy se považují za rovné 1 a -1, protože x3 = 1x3 a -xy = -1xy
Stupeň monomiálu je součtem exponentů všech proměnných v něm obsažených. Pokud monomiál neobsahuje proměnné, to znamená, že je to číslo, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule.
Například stupeň monomiálu 8x3yz2 je 6, monomiálu 6x je 1 a stupeň -10 je 0.
Násobení monomiálů. Povyšování monomiálů na mocnosti
Při násobení jednočlenů a umocňování jednočlenů na mocninu se používá pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem a pravidlo pro zvýšení mocniny na mocninu. To vytváří monomiál, který je obvykle reprezentován ve standardní formě.
Například
4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3
((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6
Síla jednočlenu
Pro monomial existuje pojem jeho stupně. Pojďme zjistit, co to je.
Definice.
Síla jednočlenu standardní forma je součet exponentů všech proměnných zahrnutých v jeho záznamu; pokud v zápisu jednočlenu nejsou žádné proměnné a je odlišný od nuly, pak se jeho stupeň považuje za rovný nule; číslo nula je považováno za jednočlenný, jehož stupeň není definován.
Určení stupně monomiálu umožňuje uvádět příklady. Stupeň monomiálu a je roven jedné, protože a je a 1. Mocnina jednočlenu 5 je nulová, protože je nenulový a jeho zápis neobsahuje proměnné. A součin 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 je monočlen osmého stupně, protože součet exponentů všech proměnných a, x a y je roven 2+1+3+2=8.
Mimochodem, stupeň monomiálu nepsaného ve standardní formě se rovná stupni odpovídajícího monomiu standardního tvaru. Abychom ilustrovali, co bylo řečeno, vypočítejme stupeň monomiálu 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Tento jednočlen ve standardním tvaru má tvar −6·x 8 ·y 4, jeho stupeň je 8+4=12. Stupeň původního monomiálu je tedy 12.
Monomální koeficient
Monomial ve standardním tvaru, který má ve svém zápisu alespoň jednu proměnnou, je součin s jediným číselným faktorem - číselným koeficientem. Tento koeficient se nazývá monomiální koeficient. Zformulujme výše uvedené argumenty ve formě definice.
Definice.
Monomiální koeficient je číselný faktor monomiálu zapsaného ve standardním tvaru.
Nyní můžeme uvést příklady koeficientů různých monočlenů. Číslo 5 je podle definice koeficientem jednočlenu 5·a 3, podobně i jednočlen (−2,3)·x·y·z má koeficient −2,3.
Zvláštní pozornost si zaslouží koeficienty monočlenů rovné 1 a −1. Tady jde o to, že obvykle nejsou v nahrávce výslovně přítomny. Předpokládá se, že koeficient standardních monočlenů, které nemají ve svém zápisu číselný faktor, je roven jedné. Například monočleny a, x·z 3, a·t·x atd. mít koeficient 1, protože a lze považovat za 1·a, x·z 3 - za 1·x·z 3 atd.
Stejně tak koeficient monočlenů, jejichž zápisy ve standardním tvaru nemají číselný faktor a začínají znaménkem mínus, se považuje za mínus jedna. Například monočleny −x, −x 3 y z 3 atd. mít koeficient −1, protože −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 atd.
Mimochodem, pojem koeficient jednočlenu bývá často označován jako jednočleny standardního tvaru, což jsou čísla bez písmenných faktorů. Koeficienty takových jednočlenných čísel jsou považovány za tato čísla. Takže například koeficient monomiálu 7 je považován za rovný 7.
Reference.
- Algebra: učebnice pro 7. třídu všeobecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 240 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. třída. Ve 14 hodin 1. díl. Učebnice pro žáky vzdělávací instituce/ A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dodat. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.
Monomiály jsou jedním z hlavních typů výrazů studovaných v kurzu školní algebry. V tomto materiálu vám řekneme, co tyto výrazy jsou, definujeme jejich standardní formu a ukážeme příklady a také porozumíme souvisejícím pojmům, jako je stupeň monomiálu a jeho koeficient.
Co je to monomial
Školní učebnice obvykle uvádějí následující definici tohoto pojmu:
Definice 1
Mezi mononomy patříčísla, proměnné a také jejich mocniny s přirozenými exponenty a různé typy díla z nich sestavená.
Na základě této definice můžeme uvést příklady takových výrazů. Všechna čísla 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 tedy budou jednočlenné. Všechny proměnné, například x, a, b, p, q, t, y, z, budou také podle definice monočleny. Patří sem také mocniny proměnných a čísel, například 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 a t 15, jakož i výrazy ve tvaru 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z atd. Vezměte prosím na vědomí, že monočlen může obsahovat jedno číslo nebo proměnnou nebo několik a mohou být uvedeny několikrát v jednom polynomu.
Takové typy čísel, jako jsou celá čísla, racionální čísla a přirozená čísla, také patří k monočlenům. Můžete také zahrnout platné a komplexní čísla. Tedy výrazy ve tvaru 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 budou také jednočlenné.
Jaký je standardní tvar jednočlenu a jak na něj převést výraz
Pro snadné použití jsou všechny monomily nejprve zredukovány na speciální formu nazývanou standard. Pojďme formulovat konkrétně, co to znamená.
Definice 2
Standardní forma monomiálu nazývají jeho formu, ve které je součinem číselného faktoru a přirozených mocnin různých proměnných. Číselný faktor, nazývaný také koeficient monomiálu, se obvykle píše jako první na levé straně.
Pro názornost vybereme několik monočlenů standardního tvaru: 6 (jedná se o monočlen bez proměnných), 4 · a, − 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Patří sem i výraz x y(zde bude koeficient roven 1), − x 3(zde je koeficient - 1).
Nyní uvádíme příklady monomií, které je třeba uvést do standardní podoby: 4 a 2 a 3(zde musíte zkombinovat stejné proměnné), 5 x (− 1) 3 y 2(zde je třeba kombinovat číselné faktory vlevo).
Typicky, když monomial má několik proměnných napsaných písmeny, faktory dopisu jsou psány v abecedním pořadí. Například je lepší psát 6 a b 4 c z 2, jak b 4 6 a z 2 c. Pořadí však může být jiné, vyžaduje-li to účel výpočtu.
Jakýkoli monomiál lze zredukovat na standardní formu. Chcete-li to provést, musíte provést všechny potřebné transformace identity.
Pojem stupně monomiálu
Je to velmi důležité související koncept stupně monomiální. Zapišme si definici tohoto pojmu.
Definice 3
Silou monomiálu, zapsaný ve standardním tvaru, je součtem exponentů všech proměnných, které jsou zahrnuty v jeho zápisu. Pokud v něm není jediná proměnná a samotný monomial je odlišný od 0, pak bude jeho stupeň nulový.
Uveďme příklady mocnin jednočlenu.
Příklad 1
Jednočlen a má tedy stupeň rovný 1, protože a = a 1. Pokud máme monomiální 7, pak bude mít stupeň nula, protože nemá žádné proměnné a liší se od 0. A tady je záznam 7 a 2 x y 3 a 2 bude monomiál 8. stupně, protože součet exponentů všech stupňů proměnných v něm zahrnutých bude roven 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .
Monomial zredukovaný na standardní tvar a původní polynom bude mít stejný stupeň.
Příklad 2
Pojďme si ukázat, jak vypočítat stupeň monomiálu 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Ve standardním tvaru může být zapsán jako − 6 x 8 y 4. Vypočítáme stupeň: 8 + 4 = 12 . To znamená, že stupeň původního polynomu je také roven 12.
Pojem monomiální koeficient
Máme-li monomiál zredukovaný na standardní tvar, který obsahuje alespoň jednu proměnnou, pak o něm mluvíme jako o součinu s jedním číselným faktorem. Tento faktor se nazývá číselný koeficient nebo monomiální koeficient. Zapišme si definici.
Definice 4
Koeficient monomiálu je číselný faktor monomiálu zredukovaný na standardní tvar.
Vezměme si jako příklad koeficienty různých monočlenů.
Příklad 3
Tedy ve výrazu 8 a 3 koeficient bude číslo 8 a in (− 2, 3) x y z budou − 2 , 3 .
Zvláštní pozornost je třeba věnovat koeficientům rovným jedné a mínus jedné. Zpravidla nejsou výslovně uvedeny. Předpokládá se, že v monomiálu standardního tvaru, ve kterém není žádný číselný faktor, je koeficient roven 1, například ve výrazech a, x · z 3, a · t · x, protože mohou být považováno za 1 · a, x · z 3 – Jak 1 x z 3 atd.
Podobně v monočlenech, které nemají číselný faktor a začínají znaménkem mínus, můžeme za koeficient považovat -1.
Příklad 4
Například výrazy − x, − x 3 · y · z 3 budou mít takový koeficient, protože je lze reprezentovat jako − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1 ) · x 3 y z 3 atd.
Pokud monomiál nemá vůbec jednopísmenný faktor, pak můžeme v tomto případě mluvit o koeficientu. Koeficienty takových jednočlenných čísel budou tato čísla sama. Takže například koeficient monomiálu 9 se bude rovnat 9.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
