Popis pohybu tělesa po nakloněné rovině. Pohyb po nakloněné rovině

Na povrchu Země gravitace (gravitace) je konstantní a rovná se součinu hmotnosti padajícího tělesa a tíhového zrychlení: Fg = mg

Je třeba poznamenat, že zrychlení volného pádu má konstantní hodnotu: g = 9,8 m/s 2 a směřuje ke středu Země. Na základě toho můžeme říci, že tělesa s různou hmotností padnou k Zemi stejně rychle. Jak to? Když hodíte kousek vaty a cihlu ze stejné výšky, ta se rychleji dostane na zem. Nezapomeňte na odpor vzduchu! Pro vatu to bude významné, protože její hustota je velmi nízká. V bezvzduchovém prostoru budou cihly a vlna padat současně.

Míč se pohybuje po nakloněné rovině dlouhé 10 metrů, úhel sklonu roviny je 30°. Jaká bude rychlost míče na konci letadla?

Na míč působí pouze gravitační síla Fg, směřující dolů kolmo k základně roviny. Pod vlivem této síly (složka směřující podél povrchu roviny) se bude koule pohybovat. Jaká bude složka gravitační síly působící po nakloněné rovině?

Pro určení složky je nutné znát úhel mezi vektorem síly F g a nakloněnou rovinou.

Určení úhlu je poměrně jednoduché:

• součet úhlů libovolného trojúhelníku je 180°;
• úhel mezi vektorem síly F g a základnou nakloněné roviny je 90°;
• úhel mezi nakloněnou rovinou a její základnou je α

Na základě výše uvedeného bude požadovaný úhel roven: 180° - 90° - α = 90° - α

Z trigonometrie:

Sklon Fg = Fg cos(90°-α)

Sinα = cos(90°-α)

F g sklon = F g sinα

Opravdu je to takto:

• při α=90° (svislá rovina) Fg sklon = Fg
• při α=0° (horizontální rovina) Fg sklon = 0

Určíme zrychlení míče ze známého vzorce:

F g sinα = m a

A = F g sinα/m

A = m g sinα/m = g sinα

Zrychlení koule po nakloněné rovině nezávisí na hmotnosti koule, ale pouze na úhlu sklonu roviny.

Určujeme rychlost míče na konci roviny:

V 1 2 - V 0 2 = 2 a s

(V 0 =0) - míč se začne pohybovat z místa

V 1 2 = √2·a·s

V = 2 g sinα S = √2 9,8 0,5 10 = √98 = 10 m/s

Pozor na vzorec! Rychlost tělesa na konci nakloněné roviny bude záviset pouze na úhlu sklonu roviny a její délce.

V našem případě kulečníková koule, osobní auto, sklápěč a školák na saních bude mít na konci letadla rychlost 10 m/s. Tření samozřejmě nebereme v úvahu.

Hmota o hmotnosti 26 kg leží na nakloněné rovině dlouhé 13 m a vysoké 5 m. Koeficient tření je 0,5. Jaká síla musí působit na břemeno podél roviny, aby břemeno utáhlo? ukrást náklad
ŘEŠENÍ

Jakou silou je třeba zvedat vozík o hmotnosti 600 kg po nadjezdu s úhlem sklonu 20°, je-li koeficient odporu proti pohybu 0,05
ŘEŠENÍ

Při dirigování laboratorní práce byly získány následující údaje: délka nakloněné roviny je 1 m, výška je 20 cm, hmotnost dřevěného špalku je 200 g, tažná síla při pohybu špalku nahoru je 1 N. Najděte součinitel tření
ŘEŠENÍ

Blok o hmotnosti 2 kg spočívá na nakloněné rovině dlouhé 50 cm a vysoké 10 cm. Pomocí dynamometru umístěného rovnoběžně s rovinou byl kvádr nejprve vytažen po nakloněné rovině a poté stažen dolů. Najděte rozdíl v údajích na dynamometru
ŘEŠENÍ

Pro držení vozíku na nakloněné rovině s úhlem sklonu α je nutné vyvinout sílu F1 směřující nahoru podél nakloněné roviny a pro zvednutí nahoru je nutné vyvinout sílu F2. Najděte koeficient odporu
ŘEŠENÍ

Nakloněná rovina je umístěna pod úhlem α = 30° k horizontále. Při jakých hodnotách součinitele tření μ je obtížnější náklad podél něj táhnout než zvedat svisle?
ŘEŠENÍ

Na nakloněné rovině 5 m dlouhé a 3 m vysoké je hmota 50 kg. Jaká síla nasměrovaná podél roviny musí působit, aby toto zatížení udrželo? vytáhnout rovnoměrně? táhnout se zrychlením 1 m/s2? Koeficient tření 0,2
ŘEŠENÍ

Automobil o hmotnosti 4 tuny se pohybuje do kopce se zrychlením 0,2 m/s2. Najděte tažnou sílu, pokud je sklon 0,02 a koeficient odporu 0,04
ŘEŠENÍ

Vlak o hmotnosti 3000 tun se pohybuje po svahu 0,003. Koeficient odporu proti pohybu je 0,008. S jakým zrychlením se vlak pohybuje, je-li tažná síla lokomotivy: a) 300 kN; b) 150 kN; c) 90 kN
ŘEŠENÍ

Motocykl o hmotnosti 300 kg se začal pohybovat z klidu na vodorovném úseku vozovky. Pak cesta šla z kopce, rovných 0,02. Jakou rychlost nabral motocykl 10 sekund poté, co se dal do pohybu, pokud za polovinu této doby urazil vodorovný úsek vozovky? Tažná síla a koeficient odporu proti pohybu jsou konstantní po celé dráze a jsou rovny 180 N a 0,04
ŘEŠENÍ

Blok o hmotnosti 2 kg je umístěn na nakloněné rovině s úhlem sklonu 30°. Jakou silou, směrovanou vodorovně (obr. 39), je třeba působit na kvádr, aby se rovnoměrně pohyboval po nakloněné rovině? Součinitel tření mezi kvádrem a nakloněnou rovinou je 0,3
ŘEŠENÍ

Na pravítko položte malý předmět (gumičku, minci atd.). Postupně zvedněte konec pravítka, dokud předmět nezačne klouzat. Změřte výšku h a základnu b výsledné nakloněné roviny a vypočítejte součinitel tření
ŘEŠENÍ

S jakým zrychlením a klouže blok po nakloněné rovině s úhlem sklonu α = 30° s koeficientem tření μ = 0,2
ŘEŠENÍ

V okamžiku, kdy první těleso začalo volně padat z určité výšky h, začalo druhé těleso klouzat bez tření z nakloněné roviny o stejné výšce h a délce l = nh. Porovnejte konečné rychlosti těles na základně nakloněné roviny a dobu jejich pohybu.

Pohyb tělesa po nakloněné rovině je klasickým příkladem pohybu tělesa působením několika nesměrových sil. Standardní metodařešení problémů tohoto druhu pohybu spočívá v rozkladu vektorů všech sil na složky směřující podél souřadnicových os. Takové složky jsou lineárně nezávislé. To nám umožňuje napsat druhý Newtonův zákon pro komponenty podél každé osy zvlášť. Druhý Newtonův zákon, kterým je vektorová rovnice, se tak změní na systém dvou (v trojrozměrném případě tří) algebraických rovnic.

Síly působící na blok jsou
případ zrychleného pohybu dolů

Uvažujme těleso, které klouže po nakloněné rovině. V tomto případě na něj působí následující síly:

• Gravitace m G , směřující svisle dolů;
• Pozemní reakční síla N , směřující kolmo k rovině;
• Kluzná třecí síla F tr, směřující opačně k rychlosti (nahoru po nakloněné rovině, když tělo klouže)

Při řešení úloh, ve kterých se objevuje nakloněná rovina, je často vhodné zavést nakloněný souřadnicový systém, jehož osa OX směřuje dolů podél roviny. To je výhodné, protože v tomto případě budete muset rozložit pouze jeden vektor na složky - vektor gravitace m G a vektor třecí síly F tr a pozemní reakční síly N již nasměrované podél os. Při této expanzi je x-ová složka gravitace rovna mg hřích( α ) a odpovídá „tažné síle“ zodpovědné za zrychlený pohyb dolů a složka y je mg cos( α ) = N vyrovnává reakční sílu země, protože nedochází k žádnému pohybu těla podél osy OY.
Kluzná třecí síla F tr = µNúměrné síle reakce země. To nám umožňuje získat následující výraz pro třecí sílu: F tr = µmg cos( α ). Tato síla je opačná k „tahové“ složce gravitace. Proto pro tělo klouže dolů , získáme výrazy pro celkovou výslednou sílu a zrychlení:

F x = mg(hřích( α ) – µ cos( α ));
A x = G(hřích( α ) – µ cos( α )).

Není těžké vidět, co kdyby µ < tg(α ), pak výraz má pozitivní znamení a máme co do činění s rovnoměrně zrychleným pohybem dolů po nakloněné rovině. Li µ >tg( α ), pak bude mít zrychlení záporné znaménko a pohyb bude stejně pomalý. Takový pohyb je možný pouze v případě, že tělo dostane počáteční rychlost dolů ze svahu. V tomto případě se tělo postupně zastaví. Pokud je poskytnuta µ >tg( α ) předmět je zpočátku v klidu, nezačne klouzat dolů. Zde bude statická třecí síla zcela kompenzovat „tahovou“ složku gravitace.

Když je koeficient tření přesně roven tečně úhlu sklonu roviny: µ = tg( α ), máme co do činění se vzájemnou kompenzací všech tří sil. V tomto případě, podle prvního Newtonova zákona, může být tělo buď v klidu, nebo se s ním pohybovat konstantní rychlost(Kde rovnoměrný pohyb možné pouze směrem dolů).

Síly působící na blok jsou
klouzání po nakloněné rovině:
případ zpomaleného pohybu nahoru

Tělo však dokáže vyjet i po nakloněné rovině. Příkladem takového pohybu je pohyb hokejového puku po ledové skluzavce. Když se těleso pohybuje nahoru, jak třecí síla, tak „tahová“ složka gravitace směřují dolů podél nakloněné roviny. V tomto případě máme vždy co do činění s rovnoměrně zpomaleným pohybem, protože celková síla směřuje opačným směrem než je rychlost. Výraz pro zrychlení pro tuto situaci se získá podobným způsobem a liší se pouze znaménkem. Tak pro těleso klouže po nakloněné rovině , my máme.

Dynamika je jedním z důležitých oborů fyziky, který studuje příčiny pohybu těles v prostoru. V tomto článku se budeme z teoretického hlediska zabývat jedním z typických problémů dynamiky - pohybem tělesa po nakloněné rovině a také uvedeme příklady řešení některých praktických problémů.

Základní vzorec dynamiky

Než přejdeme ke studiu fyziky pohybu těles po nakloněné rovině, uvádíme nezbytné teoretické informace pro řešení tohoto problému.

V 17. století Isaac Newton díky praktickým pozorováním pohybu makroskopických okolních těles odvodil tři zákony, které v současnosti nesou jeho jméno. Na těchto zákonech je založena veškerá klasická mechanika. Tento článek nás zajímá pouze u druhého zákona. Jeho matematický tvar je uveden níže:

Vzorec říká, že akce Vnější síla F¯ udělí zrychlení a¯ tělesu o hmotnosti m. Tento jednoduchý výraz dále použijeme k řešení úloh pohybu těles po nakloněné rovině.

Všimněte si, že síla a zrychlení jsou vektorové veličiny směřující stejným směrem. Síla je navíc aditivní charakteristikou, to znamená, že ve výše uvedeném vzorci lze F¯ považovat za výsledný účinek na tělo.

Nakloněná rovina a síly působící na těleso na ní umístěné

Klíčovým bodem, na kterém závisí úspěšnost řešení úloh pohybu tělesa po nakloněné rovině, je určení sil působících na těleso. Definice sil je chápána jako znalost jejich modulů a směrů působení.

Níže je nákres, který ukazuje, že karoserie (auto) je v klidu na rovině nakloněné pod úhlem k horizontále. Jaké síly na něj působí?

Níže uvedený seznam uvádí tyto síly:

• tíha;
• podpůrné reakce;
• tření;
• napětí nitě (pokud existuje).

Gravitace

Za prvé je to gravitační síla (F g). Je nasměrován svisle dolů. Vzhledem k tomu, že těleso má schopnost pohybu pouze po povrchu roviny, při řešení úloh se gravitační síla rozloží na dvě vzájemně kolmé složky. Jedna ze součástí směřuje podél roviny, druhá je k ní kolmá. Pouze první z nich vede ke zrychlení v těle a ve skutečnosti je jediným hnacím faktorem pro dotyčné tělo. Druhá složka určuje výskyt reakční síly podpory.

Reakce na zemi

Druhou silou působící na těleso je zemní reakce (N). Důvod jeho vzhledu souvisí s třetím Newtonovým zákonem. Hodnota N udává sílu, kterou rovina působí na těleso. Směřuje nahoru kolmo k nakloněné rovině. Pokud by těleso bylo na vodorovné ploše, pak by se N rovnalo jeho hmotnosti. V uvažovaném případě se N rovná pouze druhé složce získané z expanze gravitace (viz odstavec výše).

Reakce podpory neposkytuje přímý dopad na povaze pohybu těla, protože je kolmý k rovině sklonu. Přesto způsobuje tření mezi tělesem a povrchem letadla.

Třecí síla

Třetí silou, kterou je třeba vzít v úvahu při studiu pohybu tělesa na nakloněné rovině, je tření (F f). Fyzikální povaha tření je složitá. Jeho vzhled je spojen s mikroskopickými interakcemi kontaktních těles s nehomogenními kontaktními plochami. Existují tři typy této síly:

• mír;
• uklouznutí;
• válcování.

Statické a kluzné tření jsou popsány stejným vzorcem:

kde µ je bezrozměrný koeficient, jehož hodnota je určena materiály třecích těles. Pro kluzné tření mezi dřevem a dřevem je tedy µ = 0,4 a mezi ledem a ledem - 0,03. Koeficient pro statické tření je vždy větší než pro skluz.

Valivé tření je popsáno pomocí vzorce odlišného od předchozího. Vypadá to, že:

Zde r je poloměr kola, f je koeficient mající rozměr převrácené délky. Tato třecí síla je obvykle mnohem menší než předchozí. Všimněte si, že jeho hodnota je ovlivněna poloměrem kola.

Síla F f, ať už je jakéhokoli typu, je vždy namířena proti pohybu tělesa, to znamená, že F f má tendenci těleso zastavit.

Napětí nitě

Při řešení úloh pohybu tělesa na nakloněné rovině není tato síla vždy přítomna. Jeho vzhled je dán tím, že těleso umístěné na nakloněné rovině je spojeno s jiným tělesem pomocí neroztažitelné nitě. Druhé těleso často visí za nit skrz blok mimo rovinu.

Na předmět umístěný v rovině působí napínací síla nitě buď ji zrychlením, nebo zpomalením. Vše závisí na modulech sil působících ve fyzikální soustavě.

Výskyt této síly v problému výrazně komplikuje proces řešení, protože je nutné současně uvažovat pohyb dvou těles (po rovině a zavěšení).

Problém určení kritického úhlu

Nyní nastal čas aplikovat popsanou teorii k řešení skutečných problémů pohybu po nakloněné rovině tělesa.

Předpokládejme, že dřevěný trám má hmotnost 2 kg. Je na dřevěné rovině. Je nutné určit, pod jakým kritickým úhlem sklonu roviny po ní paprsek začne klouzat.

Posunutí nosníku nastane pouze tehdy, když celková síla působící dolů podél roviny na něj bude větší než nula. K vyřešení tohoto problému tedy stačí určit výslednou sílu a najít úhel, ve kterém bude větší než nula. Podle podmínek problému budou na nosník podél roviny působit pouze dvě síly:

• tíhová složka F g1 ;
• statické tření F f .

Aby těleso začalo klouzat, musí být splněna následující podmínka:

Všimněte si, že pokud složka gravitace překročí statické tření, pak bude také větší než síla posuvného tření, to znamená, že započatý pohyb bude pokračovat s konstantním zrychlením.

Níže uvedený obrázek ukazuje směry všech působících sil.

Kritický úhel označme symbolem θ. Je snadné ukázat, že síly F g1 a F f budou stejné:

F gl = m × g × sin (θ);

F f = µ × m × g × cos (θ).

Zde m × g je hmotnost tělesa, µ je koeficient statické třecí síly pro dvojici materiálů dřevo-dřevo. Z příslušné tabulky koeficientů zjistíte, že se rovná 0,7.

Dosazením nalezených hodnot do nerovnosti dostaneme:

m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).

Transformací této rovnosti dojdeme k podmínce pohybu těla:

tan(θ) ≥ µ =>

θ ≥ arctan(µ).

Dosáhli jsme velmi zajímavého výsledku. Ukazuje se, že význam kritický úhelθ nezávisí na hmotnosti tělesa na nakloněné rovině, ale je jednoznačně určeno koeficientem statického tření µ. Dosazením jeho hodnoty do nerovnosti získáme hodnotu kritického úhlu:

θ ≥ arctan(0,7) ≈ 35 o.

Úkol určit zrychlení při pohybu po nakloněné rovině tělesa

Nyní vyřešíme trochu jiný problém. Nechť je na skleněné nakloněné rovině dřevěný trám. Rovina je nakloněna pod úhlem 45 o k horizontu. Je nutné určit, s jakým zrychlením se těleso bude pohybovat, pokud je jeho hmotnost 1 kg.

Zapišme si hlavní rovnici dynamiky pro tento případ. Protože síla F g1 bude směřovat podél pohybu a F f proti ní, rovnice bude mít tvar:

F g1 - F f = m × a.

Dosadíme vzorce získané v předchozí úloze za síly F g1 a F f, máme:

m × g × sin(θ) - µ × m × g × cos(θ) = m × a.

Kde získáme vzorec pro zrychlení:

a = g × (sin(θ) - µ × cos(θ)).

Opět máme vzorec, který nezahrnuje tělesnou hmotnost. Tato skutečnost znamená, že bloky libovolné hmotnosti budou současně klouzat po nakloněné rovině.

Vzhledem k tomu, že koeficient µ pro třecí materiály dřevo-sklo je 0,2, dosadíme všechny parametry do rovnosti a dostaneme odpověď:

Technikou řešení problémů s nakloněnou rovinou je tedy určit výslednou sílu působící na těleso a následně aplikovat druhý Newtonův zákon.

Fyzika: pohyb těla na nakloněné rovině. Příklady řešení a problémů - všechna zajímavá fakta a úspěchy vědy a vzdělávání na webu

Podobně jako u páky snižují nakloněné roviny sílu potřebnou ke zvedání těles. Kupříkladu betonový blok o váze 45 kilogramů je docela obtížné zvednout rukama, ale táhnout ho po nakloněné rovině je docela možné. Hmotnost tělesa umístěného na nakloněné rovině se rozloží na dvě složky, z nichž jedna je rovnoběžná a druhá kolmá k jeho povrchu. K posunutí kvádru po nakloněné rovině musí člověk překonat pouze rovnoběžnou složku, jejíž velikost se zvětšuje s rostoucím úhlem sklonu roviny.

Nakloněné roviny jsou designově velmi rozmanité. Například šroub se skládá z nakloněné roviny (závitu), která se spirálovitě otáčí kolem jeho válcové části. Když je šroub zašroubován do dílu, jeho závit pronikne do těla dílu a vytvoří velmi pevné spojení díky vysokému tření mezi dílem a závity. Svěrák transformuje činnost páky a rotační pohyb zašroubujte do lineární tlakové síly. Na stejném principu funguje zvedák používaný ke zvedání těžkých břemen.

Síly na nakloněné rovině

U tělesa umístěného na nakloněné rovině působí gravitační síla rovnoběžně a kolmo k jeho povrchu. K pohybu tělesa po nakloněné rovině je zapotřebí síla, která se co do velikosti rovná složce gravitace rovnoběžné s povrchem roviny.

Nakloněné roviny a šrouby

Vztah mezi šroubem a nakloněnou rovinou lze snadno vysledovat, pokud kolem válce ovinete diagonálně řezaný list papíru. Výsledná spirála je umístěním identická se závitem šroubu.

Síly působící na vrtuli

Při otáčení šroubu jeho závit vytváří velmi velkou sílu působící na materiál součásti, do které je šroubován. Tato síla táhne vrtuli dopředu, pokud se otáčí ve směru hodinových ručiček, a dozadu, pokud se otáčí proti směru hodinových ručiček.

Zvedací šroub

Rotující šrouby zvedáků generují obrovskou sílu, což jim umožňuje zvedat předměty těžké jako osobní nebo nákladní auta. Otáčením centrálního šroubu pomocí páky se oba konce zvedáku přitahují k sobě, čímž vzniká potřebný zdvih.

Šikmé roviny pro štípání

Klín se skládá ze dvou nakloněných rovin spojených svými základnami. Při zarážení klínu do stromu vyvíjejí nakloněné roviny boční síly dostatečné k rozštěpení nejsilnějšího řeziva.

Síla a práce

Přestože nakloněná rovina může úkol usnadnit, nesnižuje množství práce potřebné k jeho dokončení. Zvednutí betonového bloku o hmotnosti 45 kg (W) 9 metrů svisle nahoru (vzdálený obrázek vpravo) vyžaduje 45 x 9 kilogramů práce, což odpovídá součinu hmotnosti bloku a množství pohybu. Když je blok na rovině nakloněné o 44,5°, síla (F) potřebná k vtažení bloku dovnitř se sníží na 70 procent jeho hmotnosti. Ačkoli to usnadňuje přesun kvádru, nyní, aby se blok zvedl do výšky 9 metrů, musí být tažen po rovině 13 metrů. Jinými slovy, nárůst síly se rovná výšce zdvihu (9 metrů) dělené délkou pohybu po nakloněné rovině (13 metrů).