Domov Hygiena Pojem numerických integračních vzorců. Numerická integrace

Hygiena

Pojem numerických integračních vzorců. Numerická integrace

programování numerických integračních vzorců

Úvod

1. Metody numerické integrace

2. Kvadraturní vzorce

3. Automatický výběr integračního kroku

Závěr

Bibliografie

Úvod

Účelem eseje je studovat a srovnávací analýza metody numerické integrace funkcí; implementace těchto metod ve formě strojových programů v jazyce vysoká úroveň a praktické řešení úloh numerické integrace na počítači.

Při řešení inženýrských problémů je často potřeba vypočítat hodnoty určitého integrálu formuláře

. (1)

Pokud je funkce spojitá na intervalu [ A , b] a jeho primitivní derivaci lze určit pomocí známé funkce, pak se takový integrál vypočítá pomocí Newton-Leibnizova vzorce:

V inženýrských problémech je zřídka možné získat hodnotu integrálu v analytické formě. Kromě toho funkce F (X) lze upřesnit například tabulkou experimentálních dat. Proto v praxi používají k výpočtu určitého integrálu speciální metody, které jsou založeny na interpolačním aparátu.

Myšlenka takových metod je následující. Místo výpočtu integrálu pomocí vzorce (1) nejprve vypočítejte hodnoty funkce F (x i) = y i v některých uzlech x i Î[ A , b]. Poté se zvolí interpolační polynom P (X), procházející získanými body ( x i , y i), který se používá při výpočtu přibližné hodnoty integrálu (1):

Při implementaci tohoto přístupu mají numerické integrační vzorce následující obecná forma:

, (2) - interpolační uzly, A i- některé koeficienty, R– zbytkový člen charakterizující chybu vzorce. Všimněte si, že formule ve tvaru (2) se nazývají kvadraturní formule.

Geometrickým významem numerické integrace je vypočítat plochu křivočarého lichoběžníku omezenou grafem funkce F (X), osa x a dvě přímky x = a A x = b. Přibližný výpočet plochy vede k zamítnutí zbývajícího členu v kvadraturních vzorcích R, která charakterizuje chybu metody, která je navíc superponována chybou výpočtu.

1. Metody numerické integrace

V aplikovaný výzkumČasto je potřeba vypočítat hodnotu určitého integrálu

Jak víte z kurzu matematiky, integrál nelze ve všech případech vypočítat analyticky. A i v případě, že je možné najít analytický tvar tohoto integrálu, postup výpočtu dává přibližný výsledek, takže vyvstává problém přibližné hodnoty tohoto integrálu.

Podstata přibližného výpočtu spočívá ve dvou operacích: 1. volba konečného čísla místo n; 2. při výběru bodu

v odpovídajícím segmentu.

V závislosti na výběru

získáme různé vzorce pro výpočet integrálu: Vzorce levého a pravého obdélníku (5), (6)

(5)

(6)

Lichoběžníkový vzorec:

Simpsonův vzorec

b, a - konce uvažovaného segmentu.

Abychom porovnali výsledky výpočtu s výše uvedenými numerickými integračními vzorci, vypočítáme následující integrál 3 způsoby, přičemž segment rozdělíme na 6 stejných segmentů: h=

Podle vzorce pro levé obdélníky:

Podle lichoběžníkového vzorce:

Podle Simpsonova vzorce:

A výsledek získaný analyticky se rovná

Můžeme tedy dojít k závěru, že metoda numerické integrace pomocí Simpsonova vzorce je přesnější, ale používá se v obecný případ při dělení segmentu, který se odděluje na sudý počet intervalů.

2. Kvadraturní vzorce

Obdélníkové vzorce jsou nejjednodušší kvadraturní vzorce. Rozdělme integrační segment [ a, b] zapnuto P stejná délka dílů

. Všimněte si, že hodnota h tzv. integrační krok. Na rozdělených bodech X 0 = a ,X 1 =a+h , ..., x n = b poznamenejte si pořadnice y 0 ,y 1 ,…,y n křivý F (X), tj. pojďme počítat y i = f (x i), x i = a+ ih = x i -1 +h (i =). Na každém segmentu délky h sestrojte obdélník se stranami h A y i, Kde i =, tj. z hodnot ordinát vypočítaných na levých koncích segmentů. Pak lze plochu křivočarého lichoběžníku, která určuje hodnotu integrálu (1), přibližně znázornit jako součet ploch obdélníků (obr. 1). Odtud dostaneme vzorec pro obdélníky:
. (3)

Pokud při výpočtu integrálního součtu vezmeme hodnoty funkce F (X) ne na levém, ale na pravém konci segmentů délky h, který je znázorněn na Obr. 1 s tečkovanou čarou, dostaneme druhou verzi vzorce obdélníku:

. (4)

Třetí verzi vzorce obdélníku lze získat pomocí hodnot funkcí F (X), vypočítané ve středu každého segmentu délky h(obr. 2):

. (5)

Vzorce (3), (4) a (4) se nazývají vzorce levého, pravého a středního obdélníku.

Simpsonův vzorec. Interval integrace vydělme 2 n stejná délka dílů

. Na každém segmentu [ x i , x i+2] funkce integrand F (X) bude nahrazena parabolou procházející body ( x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Pak je přibližná hodnota integrálu určena Simpsonovým vzorcem: . (7)

Při výpočtu na počítači je výhodnější následující vzorec:

Simpsonova metoda je jednou z nejznámějších a nejpoužívanějších metod numerické integrace přesné hodnoty integrál při integraci polynomů do třetího řádu včetně.

Newtonův vzorec. Přibližná hodnota integrálu pomocí Newtonova vzorce se vypočítá takto:

kde počet oddílů přepážky je násobkem tří, tzn. je 3 n. Při vývoji počítačových programů je vhodnější použít ekvivalentní vzorec:

Newtonova metoda dává přesné hodnoty integrálu při integraci polynomů až do čtvrtého řádu včetně.

3. Automatický výběr integračního kroku

Výsledkem výpočtu pomocí vzorců (3) - (8) je přibližná hodnota integrálu, která se může od přesné hodnoty lišit o určitou hodnotu, nazývanou integrační chyba. Chyba je určena vzorcem zbytku R, různé pro každou metodu integrace. Pokud je potřeba vypočítat hodnotu integrálu s chybou nepřesahující e, pak je nutné zvolit takový integrační krok h, takže nerovnost platí R (h) £ e. V praxi se používá automatický výběr hodnoty h, zajišťující dosažení dané chyby. Nejprve vypočítejte hodnotu integrálu já (n), dělením integračního intervalu na P sekcí, pak se počet sekcí zdvojnásobí a vypočítá se integrál já (2n). Proces výpočtu pokračuje, dokud se podmínka nestane pravdivou.

programování numerických integračních vzorců

Úvod

2. Kvadraturní vzorce

3. Automatický výběr integračního kroku

Závěr

Bibliografie

Úvod

Účelem abstraktu je studium a srovnávací analýza metod numerické integrace funkcí; implementace těchto metod ve formě strojových programů v jazyce vyšší úrovně a praktické řešení problémů numerické integrace na počítači.

Při řešení inženýrských problémů je často potřeba vypočítat hodnoty určitého integrálu formuláře

Pokud je funkce spojitá na intervalu [ A, b] a jeho primitivní derivaci lze určit pomocí známé funkce, pak se takový integrál vypočítá pomocí Newton-Leibnizova vzorce:

V inženýrských problémech je zřídka možné získat hodnotu integrálu v analytické formě. Kromě toho funkce F(X) lze upřesnit například tabulkou experimentálních dat. Proto se v praxi pro výpočet určitého integrálu používají speciální metody, které jsou založeny na interpolačním aparátu.

Myšlenka takových metod je následující. Místo výpočtu integrálu pomocí vzorce (1) nejprve vypočítejte hodnoty funkce F(x i) = y i v některých uzlech x i Î[ A, b]. Poté se zvolí interpolační polynom P(X), procházející získanými body ( x i, y i), který se používá při výpočtu přibližné hodnoty integrálu (1):

Při implementaci tohoto přístupu mají numerické integrační vzorce následující obecný tvar:

, (2)

kde jsou interpolační uzly, A i- některé koeficienty, R– zbytkový člen charakterizující chybu vzorce. Všimněte si, že formule ve tvaru (2) se nazývají kvadraturní formule.

Geometrickým významem numerické integrace je vypočítat plochu křivočarého lichoběžníku omezenou grafem funkce F(X), osa x a dvě přímky x = a A x = b. Přibližný výpočet plochy vede k zamítnutí zbývajícího členu v kvadraturních vzorcích R, která charakterizuje chybu metody, na kterou je navíc superponována výpočetní chyba.

Metody numerické integrace

V aplikovaném výzkumu je často potřeba vypočítat hodnotu určitého integrálu

Podstata přibližného výpočtu spočívá ve dvou operacích: 1. volba konečného čísla místo n; 2. při výběru bodu v odpovídajícím segmentu.

Podle volby získáme různé vzorce pro výpočet integrálu: Vzorce levého a pravého obdélníku (5), (6)

(5)

(6)

Lichoběžníkový vzorec:

Simpsonův vzorec

b, a - konce uvažovaného segmentu.

Podle vzorce pro levé obdélníky:

Podle lichoběžníkového vzorce:

Podle Simpsonova vzorce:

A výsledek získaný analyticky se rovná

V důsledku toho můžeme konstatovat, že numerická metoda integrace podle Simpsonova vzorce je přesnější, ale používá se v obecném případě při dělení segmentu, který je rozdělen na sudý počet intervalů.

Kvadraturní vzorce

Obdélníkové vzorce jsou nejjednodušší kvadraturní vzorce. Rozdělme integrační segment [ a, b] zapnuto P stejná délka dílů. Všimněte si, že hodnota h tzv. integrační krok. Na rozdělených bodech X 0 = a,X 1 =a+h, ..., x n = b poznamenejte si pořadnice y 0 ,y 1 ,…,y n křivý F(X), tj. pojďme počítat y i = f(x i), x i = a+ ih = x i -1 +h(i =). Na každém segmentu délky h sestrojte obdélník se stranami h A y i, Kde i =, tj. z hodnot ordinát vypočítaných na levých koncích segmentů. Pak lze plochu křivočarého lichoběžníku, která určuje hodnotu integrálu (1), přibližně znázornit jako součet ploch obdélníků (obr. 1). Odtud dostaneme vzorec pro obdélníky:

Pokud při výpočtu integrálního součtu vezmeme hodnoty funkce F(X) ne na levém, ale na pravém konci segmentů délky h, který je znázorněn na Obr. 1 s tečkovanou čarou, dostaneme druhou verzi vzorce obdélníku:

Třetí verzi vzorce obdélníku lze získat pomocí hodnot funkcí F(X), vypočítané ve středu každého segmentu délky h(obr. 2):

. (5)

Vzorce (3), (4) a (4) se nazývají vzorce levého, pravého a středního obdélníku.

Rýže. 2

Lichoběžníkový vzorec. Zde na každém elementárním intervalu [ x i -1 , x i] délka h body se souřadnicemi ( x i -1 , y i-1) a ( x i, y i) jsou spojeny segmentem (obr. 3). Potom je plocha lichoběžníku konstruovaného na tomto intervalu určena součinem 0,5 h(y i -1 + y i). Shrnutí oblastí elementárních lichoběžníků pro i= získáme přibližnou hodnotu integrálu.

Ohraničeno osou x, grafem integrovatelné funkce a úsečkami x=a\,\! A x=b\,\!, Kde A\,\! A b\,\!- limity integrace (viz obrázek).

Potřeba použití numerické integrace může být nejčastěji způsobena nereprezentací v a tedy nemožností analyticky vypočítat hodnotu určitého integrálu nad . Je také možné, že tvar primitivní funkce je tak složitý, že je rychlejší vypočítat hodnotu integrálu pomocí numerické metody.

Jednorozměrné pouzdro

Hlavní myšlenkou většiny metod numerické integrace je nahradit integrand jednodušším, jehož integrál lze snadno analyticky vypočítat. V tomto případě se pro odhad hodnoty integrálu získají vzorce formuláře

I \přibližně \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

Kde n\,\!- počet bodů, ve kterých je vypočtena hodnota integrandu. Body x_i\,\! se nazývají uzly metody, čísla w_i\,\!- váhy uzlů. Při nahrazení integrandu polynomem nula, prvního a druhého stupně se získají metody , a (Simpson). Často se vzorce pro odhad hodnoty integrálu nazývají kvadraturní vzorce.

Obdélníková metoda

Obdélníková metoda se získá nahrazením integrandu konstantou. Jako konstantu můžete vzít hodnotu funkce v libovolném bodě segmentu \vlevo, odjet\,\!. Nejčastěji používané hodnoty funkcí jsou uprostřed segmentu a na jeho koncích. Odpovídající modifikace se nazývají metody střední obdélníky, levé obdélníky A pravé obdélníky. Vzorec pro přibližný výpočet hodnoty určitého integrálu metodou obdélníku má tvar

I\cca f(x) (b-a),

Kde x=\frac(\left(a+b\right))(2), A\,\! nebo b\,\! v souladu s tím.

Lichoběžníková metoda

Pokud nakreslíme přímku přes konce integračního segmentu, dostaneme lichoběžníková metoda. Z geometrických úvah to lze snadno získat

I \approx \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Parabolová metoda

Pomocí tří bodů integračního segmentu můžete nahradit integrand parabolou. Obvykle se jako takové body používají konce segmentu a jeho střed. V tomto případě má vzorec velmi jednoduchý tvar

I \approx \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

Zvýšená přesnost

Aproximace funkce jediným polynomem přes celý integrační interval zpravidla vede k velké chybě v odhadu hodnoty integrálu.

Pro snížení chyby je integrační segment rozdělen na části a k vyhodnocení integrálu na každé z nich je použita numerická metoda.

Vzhledem k tomu, že počet oddílů má tendenci k nekonečnu, odhad integrálu má tendenci ke své skutečné hodnotě pro jakoukoli numerickou metodu.

Výše uvedené metody umožňují jednoduchý postup rozpůlení kroku, přičemž každý krok vyžaduje, aby se hodnoty funkce počítaly pouze na nově přidaných uzlech. Chcete-li odhadnout chybu výpočtu, .

Gaussova metoda

Výše popsané metody používají pevné segmentové body (konce a střed) a mají nízkou hodnotu (1, 1 a 3). Pokud si můžeme vybrat body, ve kterých počítáme hodnoty funkce f(x)\,\!, pak se stejným počtem výpočtů integrandu lze získat metody, které jsou více vysoký řád přesnost. Takže pro dva (jako v lichoběžníkové metodě) výpočty hodnot integrandu můžete získat metodu ne 1., ale 3. řádu přesnosti:

I \approx \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \right) \right).

Obecně použití n\,\! bodů, můžete získat metodu s řádem přesnosti 2n-1\,\!. Hodnoty uzlů Gaussovy metody podle n\,\! body jsou kořeny Legendreho polynomu stupně n\,\!.

Hodnoty uzlů Gaussovy metody a jejich váhy jsou uvedeny v adresářích speciálních funkcí. Nejznámější je Gaussova pětibodová metoda.

Gauss-Kronrodova metoda

Nevýhodou Gaussovy metody je, že nemá jednoduchý (z výpočetního hlediska) způsob, jak odhadnout chybu výsledné integrální hodnoty. Použití Rungeova pravidla vyžaduje výpočet integrandu při přibližně stejném počtu bodů, aniž by to přineslo prakticky jakýkoli nárůst přesnosti, na rozdíl od jednoduché metody, kde se přesnost výrazně zvyšuje s každým novým oddílem. Kronrod byl nabídnut další metoda odhady hodnoty integrálu

I \přibližně \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

Kde x_i\,\!- uzly Gaussovy metody n\,\! body a 3n+2\,\! parametry a_i\,\!, bi\,\!, y_i\,\! vybrány tak, aby se řád přesnosti metody rovnal 3n+1\,\!.

K odhadu chyby pak můžete použít empirický vzorec

\Delta = \left(200 |I - I_G|\right)^(1,5),

Kde I_G\,\!- hodnota integrálu, odhadnutá Gaussovou metodou podle n\,\! body. Knihovny [

Myšlenka numerické integrace je extrémně jednoduchá a vyplývá z geometrického významu určitého integrálu - hodnota určitého integrálu je číselně rovna ploše křivočarého lichoběžníku omezeného grafem funkce y=f(x), osa x a přímky x=a, x=b. Nalezením přibližně plochy zakřiveného lichoběžníku získáme hodnotu integrálu. Formálně se při numerické integraci postupuje tak, že se segment [a, b] rozdělí na n dílčích segmentů a následně se na něm integrandová funkce nahradí snadno integrovatelnou funkcí, která podle určité závislosti hodnoty interpoluje funkce integrand v bodech rozdělení. Podívejme se nyní na nejjednodušší z metod numerické integrace.

Takže funkce y=f(x) je integrovatelný na segmentu a musíme vypočítat jeho integrál. Sestavme integrální součet pro f(x) na segmentu. Za tímto účelem rozdělíme segment na n stejných částí pomocí bodů: x 1, x 2, …, x k, …, x n-1.

Označíme-li délku každé části pomocí X, tak pak za každý bod x k budu mít: (k=0, 1, 2, …, n).

Označme nyní podle y k hodnota integrandu f(x) to je, dejme tomu (k=0, 1, …, n).

Pak částky bude pro funkci nedílnou součástí f(x) na segmentu . (Při sestavování prvního součtu bereme v úvahu hodnoty funkce y=f(x) v bodech, které jsou levými konci dílčích segmentů, a při skládání druhého součtu - v bodech, které jsou pravými konci těchto segmentů.)

Podle definice integrálu máme:

Proto je přirozené brát integrální součet jako přibližnou hodnotu ,ty. dát:

těch (1)

A (1")

Tyto přibližné rovnosti se nazývají obdélníkové vzorce.

V případě kdy f(x) 0, vzorce (1) a (1’) s geometrický bod vidění znamená, že oblast zakřiveného lichoběžníku aABb, omezený obloukem křivky y=f(x), osa Ach a rovný x=a A x=b, se bere přibližně rovná plocha stupňovitá postava složená z n obdélníků se základnami a výškami: y 0, y 1, y 2, …, y n-1– v případě vzorce (1) (obr. 8) a y 1, y 2, y 3, …, y n– v případě vzorce (1") (obr. 9).

Na základě výše uvedeného geometrického významu vzorců (1) a (1") se metoda přibližného výpočtu určitého integrálu pomocí těchto vzorců obvykle nazývá tzv. obdélníková metoda.

Jakýkoli přibližný výpočet má určitou hodnotu pouze tehdy, je-li doprovázen posouzením dovolené chyby. Obdélníkové vzorce budou tedy prakticky vhodné pro přibližný výpočet integrálů pouze v případě, že existuje vhodný způsob, jak odhadnout výslednou chybu (pro dané n), což také umožňuje zjistit počet dílů n segmentu segmentu, což zaručuje požadovaný stupeň přesnosti přibližného výpočtu.

Budeme předpokládat, že funkce f(x) má na segmentu omezenou derivaci, takže existuje takové číslo M>0, že pro všechny hodnoty x z nerovnice |f"(x)|M. Kvalitativní význam této nerovnosti je v tom, že rychlost změny funkční hodnoty je omezená. Ve skutečných přírodních systémech je tento požadavek téměř vždy splněn. Za těchto podmínek lze absolutní hodnotu chyby Rn, kterou připouštíme při výpočtu integrálu pomocí obdélníkového vzorce, odhadnout pomocí vzorce:

|Rn | M(b-a) 2 /2n (2)

Jak n neomezeně roste, výraz M(b-a)2/2n, a proto absolutní hodnota chyby Rn bude mít tendenci k nule, tzn. Přesnost aproximace bude tím větší, čím větší počet stejných částí je segment rozdělen. Absolutní chyba výsledku bude zjevně menší než zadané číslo >0 , pokud si vezmete

n > M(b-a)2/2 .

Pro výpočet integrálu se zadaným stupněm přesnosti tedy stačí segment rozdělit na počet částí, větší čísla M(b-a) 2/2 . .

Obdélníková metoda je nejjednodušší a zároveň nejhrubší metodou přibližné integrace. Další metoda, lichoběžníková metoda, dává znatelně menší chybu.

Je zřejmé, že čím větší je počet n segmentů rozdělení, tím přesnější bude výsledek dán vzorcem (3a) a (3b). Zvýšení počtu segmentů rozdělujících integrační interval však není vždy možné. Proto jsou vzorce, které poskytují přesnější výsledky se stejným počtem bodů rozdělení, velmi zajímavé.

Nejjednodušší z těchto vzorců se získá jako aritmetický průměr pravých stran vzorců (1) a (1):

(4)

Je to snadno vidět geometrický význam tento vzorec. Je-li na každém segmentu přepážky oblouk grafu integrandové funkce y=f(x) nahrazen tětivou, která jej stahuje (lineární interpolace), získáme lichoběžník, jehož plocha je rovna a proto vzorec (4) představuje plochu obrazce sestávajícího z takových lichoběžníků (obr. 10). Z geometrických úvah je zřejmé, že plocha takového obrazce bude, obecně řečeno, přesněji vyjadřovat plochu křivočarého lichoběžníku než plocha stupňovitého obrazce uvažovaného v metodě obdélníků.

Zavedením podobných členů do vzorce (4) nakonec dostaneme

Nazývá se vzorec (5). lichoběžníkový vzorec.

Pro praktické výpočty se často používá lichoběžníkový vzorec. Ohledně odhadu chyb Rn, vznikající při nahrazení levé strany (5) pravou, je prokázáno, že její absolutní hodnota vyhovuje nerovnosti:

(6)

Kde M 2– maximum modulu druhé derivace integrandové funkce na intervalu, tzn.

Proto, Rn klesá alespoň tak rychle jako .

Absolutní chyba Rn bude menší než předem určené číslo > 0 , pokud si vezmete .

Výrazného zvýšení přesnosti přibližných vzorců lze dosáhnout zvýšením řádu interpolace. Jednou z takových metod přibližné integrace je metoda paraboly. Myšlenka metody je založena na skutečnosti, že na dílčím intervalu oblouk určité paraboly v obecném případě těsněji sousedí s křivkou y=f(x), než tětiva spojující konce oblouku této křivky, a proto se hodnoty ploch odpovídajících elementárních lichoběžníků ohraničených „shora“ oblouky parabol blíží hodnotám ploch odpovídajících částečné křivočaré lichoběžníky ohraničené shora obloukem křivky y=f(x), než plochy odpovídajících přímočarých lichoběžníků. Podstata metody je následující. Segment je rozdělen na 2n stejnými díly. Nechť jsou dělicí body

x 0 =a, x 1, x 2, …x 2n-2, x 2n-1, x 2n =b, a pro vzorec paraboly - úměrné hodnotě, tzn. Parabolová metoda konverguje mnohem rychleji než lichoběžníková metoda, přičemž z hlediska výpočetní techniky jsou obě metody stejné.

Metody numerické integrace

ZÁKLADY NUMERICKÝCH METOD

Přednáška-5

Komentář.

Operátoři

použijte linear_operators

znamená připojení knihoven standardních rutin dfimsl a
lineární_operátory, resp.

V knihovně linear_operators je možné použít standardní rutinu pro určování vlastních čísel a vektorů eig ve tvaru:

lambda=eig(a,v=y),

a – zdrojová matice (dvourozměrné pole nxn),

lambda – vektor vlastních hodnot (jednorozměrné pole délky n),

y – matice vlastní vektory, uspořádané do sloupců (dvourozměrné pole nxn).

Uvedená pole musí být deklarována v programu.

Ať je třeba počítat určitý integrál druh

Pro mnoho funkcí jsou primitivní funkce poměrně složité kombinace elementární funkce, nebo se jejich prostřednictvím nevyjadřují vůbec. V takových případech není použití Newton-Leibnizova vzorce v praxi možné. V mnoha praktických případech stačí získat hodnotu integrálu s danou přesností. Pro výpočet přibližné hodnoty integrálu existují numerické integrační vzorce. Podstata konstrukce numerických integračních vzorců je následující.

Rozdělme segment na části. Pro jednoduchost prezentace dejte tyto části stejně dlouhé:

Očíslujme rozdělovací body, jak je znázorněno na obr. 2.5.1. My máme:

Rýže. 2.5.1. K problematice numerické integrace.

Původní integrál (2.5.1) lze prezentovat jako součet integrálů přes „malé“ segmenty získané rozdělením:

. (2.5.2)

Integrály

se počítají pomocí přibližných vzorců.

Nejjednodušší vzorce pro přibližný výpočet integrálů přes segment jsou volány kvadraturní vzorce . Podívejme se na některé z nich níže a také prozkoumáme otázky jejich přesnosti. Pořadí přesnosti kvadraturního vzorce je určeno stupněm polynomu (polynomu), pro který je tento kvadraturní vzorec přesný.

2.5.2. Vzorec obdélníků (vzorec „průměrů“).

Nahradit za i-tá sekce integrovatelné funkce konstantní hodnota, která se například rovná její hodnotě ve středu (obr. 2.5.2):

Rýže. 2.5.2. Při integraci pomocí obdélníkového vzorce.

, Kde . (2.5.4)

Poté je integrál na segmentu nahrazen plochou obdélníku, tj.

, (2.5.5)

a výpočet původního integrálu se redukuje na výpočet součtu

. (2.5.6)

Navíc je často z praktických důvodů brán jako kvalita ve vzorci (2.5.6). V důsledku toho dostaneme:

(2.5.7)

– kvadraturní vzorec „levých“ obdélníků;

(2.5.8)

– kvadraturní vzorec „pravých“ obdélníků.

Vzorce (2.5.7) a (2.5.8) jsou méně přesné než (2.5.6), ale někdy jsou pohodlnější, například při numerickém řešení diferenciálních rovnic.

Přesnost výpočtu . Jak vyplývá z konstrukce, kvadraturní vzorce obdélníků dávají přesný výsledek integrace funkcí, trvalý na i-tý oddíl (). Kvadraturní vzorec pro „průměrné“ obdélníky také poskytuje přesný výsledek pro lineární na i-tý segment funkcí. Toto tvrzení stačí zkontrolovat pro nejjednodušší lineární funkce.

Přesnou integrací získáme: