V konstrukčních úlohách se používá metoda řezů mnohostěnů ve stereometrii. Je založen na schopnosti sestrojit řez mnohostěnu a určit typ řezu.

Tento materiál se vyznačuje následujícími vlastnostmi:

1. Metoda řezů se používá pouze pro mnohostěny, protože různé složité (šikmé) typy řezů těles rotace nejsou zahrnuty do středoškolského učiva.
2. Úlohy využívají především nejjednodušší mnohostěny.
3. Problémy jsou prezentovány převážně bez číselných údajů, aby byla vytvořena možnost jejich vícenásobného využití.

K vyřešení problému konstrukce úseku mnohostěnu musí student vědět:

• co znamená sestrojit řez mnohostěnu s rovinou;
• jak mohou být polyedr a rovina umístěny vůči sobě navzájem;
• jak je rovina definována;
• když je problém sestrojení řezu mnohostěnu rovinou považován za vyřešený.

Protože rovina je definována:

• tři body;
• přímka a bod;
• dvě rovnoběžné čáry;
• dvě protínající se čáry,

Konstrukce roviny řezu závisí na specifikaci této roviny. Proto lze všechny metody pro konstrukci řezů mnohostěnů rozdělit na metody.

Existuje tři hlavní metody konstrukce sekcí mnohostěnu:

1. Metoda trasování.
2. Metoda pomocných sekcí.
3. Kombinovaná metoda.

První dvě metody jsou variace Axiomatická metoda stavba sekcí.

Můžeme také rozlišit následující metody pro konstrukci řezů mnohostěnů:

• sestrojení úseku mnohostěnu s procházející rovinou daný bod rovnoběžné s danou rovinou;
• sestrojení úseku procházejícího danou linií rovnoběžnou s jinou danou linií;
• sestrojení řezu procházejícího daným bodem rovnoběžně se dvěma danými protínajícími se čarami;
• sestrojení řezu mnohostěnu s rovinou procházející danou přímkou ​​kolmou k dané rovině;
• sestrojení řezu mnohostěnu s rovinou procházející daným bodem kolmou k dané přímce.

Federální seznam učebnic geometrie pro ročníky 10-11 obsahuje učebnice od těchto autorů:

• Atanasyan L.S., Butuzova V.F., Kadomtseva S.B. a další (Geometrie, 10-11);
• Pogorelová A.V. (Geometrie, 7-11);
• Alexandrova A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I.
• (Geometrie, 10-11);
• Smirnova I.M. (Geometrie, 10-11);

Sharygina I.F. (Geometrie, 10-11).

Podívejme se blíže na učebnice L.S., Atanasjana a A.V.

V učebnici L.S. Atanasyanovi na téma „Stavba sekcí mnohostěnů“ byly přiděleny dvě hodiny. V 10. ročníku je v tématu „Rovnoběžnost přímek a rovin“ po prostudování čtyřstěnu a rovnoběžnostěnu vyhrazena jedna hodina na prezentaci odstavce „Problémy se stavbou řezů“. Jsou uvažovány řezy čtyřstěnu a rovnoběžnostěnu. A téma „Rovnoběžnost přímek a rovin“ končí vyřešením úloh za jednu až dvě hodiny (celkem je v učebnici osm úloh na sestavení sekcí).

V učebnici Pogorelov A.V. Zhruba tři hodiny jsou vyhrazeny na sestavení částí v kapitole „Mnohostěny“: jednu na studium tématu „Obraz hranolu a sestrojení jeho řezů“, druhou na studium tématu „Konstrukce pyramidy a jejích rovinných řezů“ a třetí pro řešení problémů. V seznamu problémů uvedených za tématem je jen asi deset průřezových problémů.

Nabízíme systém lekcí na téma „Konstrukce řezů mnohostěnů“ pro učebnici Pogorelova A.V.

1. Materiál je navržen tak, aby byl uspořádán v pořadí, ve kterém může být použit pro výuku studentů. Z prezentace tématu „Polyhedra“ se navrhuje vyloučit následující odstavce: „Konstrukce řezů hranolu“ a „Konstrukce řezů pyramidy“, aby byl tento materiál systematizován na konci tohoto tématu „Mnohostěny“ . Lze jej klasifikovat podle náplně úloh s přibližným dodržením zásady „od jednoduchého ke složitému“ takto:
2. Stanovení průřezu mnohostěnů. Konstrukce řezů hranolu, rovnoběžnostěnu, jehlanu metodou stopy. (Ve školním kurzu stereometrie se zpravidla používají úlohy ke konstrukci řezů mnohostěnů, řešené základními metodami. Jiné metody, vzhledem k jejich více vysoká úroveň
3. složitosti, může učitel ponechat na zvážení ve volitelných hodinách nebo pro samostatné studium. V konstrukčních úlohách základní metody vyžadují sestrojení roviny řezu procházející třemi body). ortogonální projekce polygon).
4. Nalezení plochy průřezu v mnohostěnu (pomocí věty o ploše ortogonálního průmětu mnohoúhelníku).

STEREOMETRICKÉ PROBLÉMY KONSTRUKCE ÚŘEZŮ MNOHOHEDRONŮ A METODY JEJICH VYUŽITÍ VE VÝUCE V 10.-11. ROČNÍKU.

(systém lekcí a volitelných hodin na téma „Konstrukce řezů mnohostěnů“)

LEKCE 1.

Téma lekce: "Konstrukce řezů mnohostěnů."

Účel lekce: seznámení s metodami konstrukce řezů mnohostěnů.

Kroky lekce:

1. Aktualizace základních znalostí.
2. Prohlášení o problému.
3. Učení nového materiálu:

A) Definice úseku.

B) Metody konstrukce sekcí:

a) trasovací metoda;

b) způsob pomocných sekcí;

c) kombinovaná metoda.

1. Fixace materiálu.

Příklady konstrukce řezů metodou trace.

1. Shrnutí lekce.

Průběh lekce.

1. Aktualizace základních znalostí.

Připomeňme si:
- průsečík přímky s rovinou;
- průsečík rovin;
- vlastnosti rovnoběžných rovin.

2. Prohlášení o problému.

Otázky pro třídu:
- Co znamená sestrojit řez mnohostěnu s rovinou?
- Jak lze vzájemně umístit mnohostěn a rovinu?
- Jak je definováno letadlo?
- Kdy je problém sestrojení řezu mnohostěnu rovinou považován za vyřešený?

3. Učení nového materiálu.

A) Úkolem je tedy sestrojit průsečík dvou obrazců: mnohostěnu a roviny (obr. 1). Mohou to být: prázdný obrázek (a), bod (b), segment (c), mnohoúhelník (d). Pokud je průsečíkem mnohostěnu a roviny mnohoúhelník, pak se tento mnohoúhelník nazývá řez mnohostěnu rovinou.

Budeme uvažovat pouze případ, kdy rovina protíná mnohostěn podél jeho nitra. V tomto případě bude průsečík této roviny s každou plochou mnohostěnu určitým segmentem. Problém je tedy považován za vyřešený, pokud jsou nalezeny všechny segmenty, podél kterých rovina protíná plochy mnohostěnu.

Prohlédněte si části krychle (obr. 2) a odpovězte na následující otázky:

Jaké polygony se získají, když je krychle proříznuta rovinou? (Důležitý je počet stran mnohoúhelníku);

[Navrhované odpovědi: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník.]

Lze krychli rozřezat letadlem na sedmiúhelník? Co osmihran atd.? Proč?

Podívejme se na hranol a jeho možné řezy rovinou (na modelu). Jaké polygony se získají?

Co lze uzavřít? Jaký největší počet stran mnohoúhelníku získáme řezáním mnohostěnu rovinou?

[Největší počet stran mnohoúhelníku získaný řezáním mnohostěnu rovinou se rovná počtu ploch mnohostěnu.]

b) a) Metoda trasování spočívá v konstrukci stop roviny řezu na rovinu každé plochy mnohostěnu. Konstrukce řezu mnohostěnu metodou stopové obvykle začíná konstrukcí tzv. hlavní stopy roviny řezu, tzn. stopa roviny řezu na rovině základny mnohostěnu.

b) Metoda pomocných sekcí vytváření sekcí mnohostěnů je zcela univerzální. V případech, kdy je požadovaná stopa (nebo stopy) roviny řezu mimo výkres, má tato metoda dokonce určité výhody. Zároveň je třeba mít na paměti, že stavby prováděné touto metodou se často ukazují jako „přeplněné“. Přesto se v některých případech ukazuje metoda pomocných sekcí jako nejracionálnější.

Metoda sledování a metoda pomocných řezů jsou variacemi axiomatická metoda vytváření řezů mnohostěnů s rovinou.

c) Podstata kombinovaná metoda konstruování úseků mnohostěnů spočívá v aplikaci vět o rovnoběžnosti přímek a rovin v prostoru v kombinaci s axiomatickou metodou.

Nyní se podívejme na příklad řešení problému trasovací metoda

4. Fixace materiálu.

Úkol 1.

Sestrojte řez hranolem ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 rovinou procházející body P, Q, R (body jsou vyznačeny na výkrese (obr. 3)).

Řešení.

Rýže. 3

1. Sestrojme stopu roviny řezu na rovinu spodní základny hranolu. Uvažujme plochu AA 1 B 1 B. Na této ploše leží body řezu P a Q. Narýsujme přímku PQ.
2. Pokračujme v přímce PQ, která patří do úseku, dokud neprotne přímku AB. Získáme bod S 1 patřící stopě.
3. Podobně získáme bod S 2 průsečíkem přímek QR a BC.
4. Přímka S 1 S 2 - stopa roviny řezu na rovinu spodní základny hranolu.
5. Přímka S 1 S 2 protíná stranu AD v bodě U, stranu CD v bodě T. Spojme body P a U, protože leží ve stejné rovině plochy AA 1 D 1 D. Podobně získáme TU a RT.
6. PQRTU je požadovaná sekce.

Sestrojte řez rovnoběžnostěnem ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 rovinou procházející body M, N, P (body jsou vyznačeny na výkrese (obr. 4)).

Řešení.

1. Body N a P leží v rovině řezu a v rovině spodní základny kvádru.
2. Pokračujme v přímce, na které leží strana AB kvádru. Přímky AB a NP se protínají v nějakém bodě S. Tento bod patří do roviny řezu.
3. Protože bod M také patří do roviny řezu a protíná přímku AA 1 v nějakém bodě X.
4. Body X a N leží ve stejné rovině plochy AA 1 D 1 D, spojte je a získáte přímku XN.
5. Protože roviny čel rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžné, pak bodem M můžeme vést přímku v ploše A 1 B 1 C 1 D 1 rovnoběžnou s přímkou ​​NP. Tato přímka bude protínat stranu B 1 C 1 v bodě Y.
6. Podobně nakreslíme přímku YZ rovnoběžnou s přímkou ​​XN. Spojíme Z s P a získáme požadovaný úsek - MYZPNX.

Úloha 3 (pro samostatné řešení).

Sestrojte řez čtyřstěnem DACB rovinou procházející body M, N, P (body jsou vyznačeny na výkresu (obr. 5)).

5. Shrnutí lekce.

Odpovězte na otázku: jsou stínované obrázky řezy znázorněného mnohostěnu rovinou PQR? A doplňte správnou konstrukci (obr. 6).

Možnost 1.

Možnost 2.

Téma lekce: VYHLEDÁVÁNÍ OBLASTI SEKCE.

Účel lekce: představit metody pro zjištění plochy průřezu mnohostěnu.

Kroky lekce:

1. Aktualizace základních znalostí.

Připomeňme si větu o oblasti ortogonální projekce mnohoúhelníku.

2. Řešení problémů k nalezení oblasti průřezu:

Bez použití věty o oblasti ortogonální projekce mnohoúhelníku;

Použití věty o oblasti ortogonální projekce mnohoúhelníku.

3. Shrnutí lekce.

Průběh lekce.

1. Aktualizace základních znalostí.

Připomeňme si věta o oblasti ortogonálního průmětu mnohoúhelníku: Plocha ortogonálního průmětu mnohoúhelníku na rovinu se rovná součinu jeho plochy a kosinu úhlu mezi rovinou mnohoúhelníku a promítací rovinou.

2. Řešení problémů.

ABCD - správně trojúhelníková pyramida se základní stranou AB stejnou A a výška DH stejná h. Sestrojte řez jehlanem rovinou procházející body D, C a M, kde M je střed strany AB, a zjistěte jeho plochu (obr. 7).

Průřez pyramidy je trojúhelník MCD.

Pojďme najít jeho oblast. =

S = 1/2 DH CM = 1/2 A Najděte plochu průřezu krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 s hranou

rovina procházející vrcholem D a body E a F na hranách A 1 D 1 a C 1 D 1, pokud A 1 E = k · D 1 E a C 1 F = k · D 1 F.

1. Stavba úseku:
2. Protože body E a F patří do roviny řezu a roviny čela A 1 B 1 C 1 D 1 a obě roviny se protínají podél přímky, pak přímka EF bude stopou roviny řezu k rovině obličeje A 1 B 1 C 1 D 1 (obr. 8).
3. Přímé ED a FD se získávají stejným způsobem.

Úloha 3 (pro samostatné řešení).

Sestrojte řez krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 se stranou A rovina procházející body B, M a N, kde L je střed hrany AA 1 a N je střed hrany CC 1.

Řez sestrojíme pomocí metody trace.

Najdeme plochu průřezu pomocí věty o ploše ortogonálního průmětu mnohoúhelníku. Odpověď: S = 1/2 · a 2.

KONSTRUKCE ŘEZŮ A ŘEZŮ NA VÝKRESECH

Vytvoření výkresu součásti se provádí postupným přidáváním potřebných výstupků, řezů a řezů. Zpočátku se vytvoří vlastní pohled s modelem zadaným uživatelem a nastaví se orientace modelu, která je nejvhodnější pro hlavní pohled. Dále se pomocí tohoto a následujících pohledů vytvoří potřebné řezy a řezy.

Hlavní pohled (přední pohled) je vybrán tak, aby poskytoval nejúplnější představu o tvarech a rozměrech dílu.

Řezy ve výkresech

V závislosti na poloze roviny řezu se rozlišují následující typy řezů:

A) vodorovná, pokud je rovina řezu umístěna rovnoběžně s vodorovnou rovinou výstupků;

B) vertikální, je-li rovina řezu kolmá k horizontální rovině výstupků;

C) nakloněná - rovina řezu je nakloněna k promítacím rovinám.

Vertikální sekce se dělí na:

· čelní - rovina řezu je rovnoběžná s čelní rovinou výstupků;

· profil - rovina řezu je rovnoběžná s rovinou profilu výstupků.
V závislosti na počtu řezných rovin jsou řezy:

· jednoduché - s jednou řeznou rovinou (obr. 107);

· komplexní - se dvěma nebo více řeznými rovinami (obr. 108)
Norma poskytuje následující typy komplexních řezů:

· stupňovité, kdy jsou řezné roviny rovnoběžné (obr. 108 a) a lomené - řezné roviny se protínají (obr. 108 b)

107 Jednoduchý řez Obr

A) b)

108 Složité řezy Obr

Označení střihů

V případě, že se v jednoduchém řezu rovina sečny shoduje s rovinou symetrie předmětu, řez není vyznačen (obr. 107). Ve všech ostatních případech jsou řezy označeny velkými písmeny Ruská abeceda začínající písmenem A, například A-A.

Poloha roviny řezu na výkrese je označena čárou řezu - tlustou otevřenou čárou. V případě složitého řezu se tahy provádějí také v ohybech linie řezu. Šipky by měly být umístěny na počátečních a konečných tahech označujících směr pohledu, šipky by měly být ve vzdálenosti 2-3 mm od vnějších konců tahů. Na vnější straně každé šipky označující směr pohledu je použito stejné velké písmeno.

Pro označení řezů a řezů v systému KOMPAS se používá stejné tlačítko Řezací čára umístěná na stránce Označení (obr. 109).

Obr. 109 Tlačítko linie řezu

Propojení polovičního pohledu s polovičním řezem

Pokud jsou pohled a řez symetrickými obrazci (obr. 110), můžete spojit polovinu pohledu a polovinu řezu a oddělit je tenkou tečkovanou čarou, která je osou symetrie. Část řezu se obvykle nachází vpravo od osy souměrnosti, která odděluje část pohledu od části řezu, nebo pod osou souměrnosti. Skryté obrysové čáry na spojovacích částech pohledu a řezu se obvykle nezobrazují. Pokud se průmět jakékoli čáry, například hrany fasetové postavy, shoduje s osovou čárou rozdělující pohled a řez, pak jsou pohled a řez odděleny plnou vlnovkou nakreslenou nalevo od osy symetrie, pokud hrana leží na vnitřní ploše, nebo vpravo, pokud je hrana vnější .

Rýže. 110 Spojení části pohledu a řezu

Stavba sekcí

Konstrukci řezů v systému KOMPAS nastudujeme na příkladu sestrojení výkresu hranolu, jehož úloha je na obr. 111. Obr.

Pořadí kreslení je následující:

1. Na základě zadaných rozměrů sestrojíme pevný model hranolu (obr. 109 b). Uložme model do paměti počítače do souboru s názvem „Prism“.

Obr.112 Panel čar

3. Pro sestavení profilu (obr. 113) nakreslíme čáru sekce A-A v hlavním zobrazení pomocí tlačítka Linie řezu.

113 Konstrukce profilu profilu Obr

Směr pohledu a text symbolu lze vybrat na ovládacím panelu příkazu ve spodní části obrazovky (obr. 114). Konstrukce čáry řezu se dokončí kliknutím na tlačítko Vytvořit objekt.

Obr. 114 Ovládací panel pro příkaz ke konstrukci řezů a řezů

4. Na panelu Asociativní pohledy (Obr. 115) vyberte tlačítko Čára řezu a poté pomocí přesahu, který se objeví na obrazovce, označte čáru řezu. Pokud je vše provedeno správně (čára řezu musí být zakreslena aktivní forma), čára řezu zčervená. Po zadání čáry řezu A-A se na obrazovce objeví fantomový obrázek ve formě celkového obdélníku.

Obr. 115 Panel Asociativní pohledy

Pomocí přepínače Řez/řez na panelu Vlastnosti zvolíte typ snímku – Řez (obr. 116) a měřítko zobrazeného řezu.

Obr. 116 Ovládací panel pro příkaz ke konstrukci řezů a řezů

Profilová část bude konstruována automaticky v průmětovém napojení a se standardním označením. V případě potřeby lze projekční komunikaci vypnout vypínačem Připojení projekce (obr. 116). Pro konfiguraci parametrů šrafování, které budou použity ve vytvořeném řezu (sekci), použijte ovládací prvky na záložce Šrafování.

117 Konstrukce horizontály Obr sekce B-B a sekce B-B

Pokud se zvolená řezná rovina při konstrukci řezu shoduje s rovinou symetrie součásti, pak v souladu s normou takový řez není označen. Ale pokud jednoduše vymažete označení sekce, pak vzhledem k tomu, že pohled a sekce v paměti počítače jsou propojeny, bude vymazána celá sekce. Proto, abyste mohli odstranit označení, musíte nejprve zničit spojení mezi pohledem a řezem. Chcete-li to provést, kliknutím levým tlačítkem myši vyberte sekci a poté kliknutím pravým tlačítkem myši vyvolejte místní nabídku, ze které vyberte položku Destroy View (Obr. 97). Symbol řezu lze nyní odstranit.

5. Chcete-li vytvořit vodorovný řez, nakreslete čáru řezu B-B skrz spodní rovinu otvoru v čelním pohledu. Nejprve musíte provést aktuální pohled zepředu poklepáním levým tlačítkem myši. Poté se sestrojí vodorovný řez (obr. 117).

6. Při konstrukci čelního řezu spojte část pohledu a část řezu, protože to jsou symetrické postavy. Vnější hrana hranolu se promítá na čáru rozdělující pohled a řez, takže budeme rozlišovat pohled a řez plnou tenkou vlnovkou nakreslenou vpravo od osy symetrie, protože vnější žebro. Chcete-li nakreslit vlnovku, použijte tlačítko Bezierova křivka umístěná na panelu Geometrie, nakreslená stylem Pro přerušovací čáru (obr. 118). Postupně určete body, kterými má Bézierova křivka procházet. Provádění příkazu byste měli dokončit kliknutím na tlačítko Vytvořit objekt.

Obr. 118 Výběr stylu čáry pro přerušení

Stavba sekcí

Řez je obraz předmětu, který se získá mentálním rozřezáním předmětu rovinou. Část zobrazuje pouze to, co se nachází v rovině řezu.

Poloha řezné roviny, pomocí které se řez tvoří, je na výkrese označena čárou řezu, stejně jako u řezů.

Řezy, v závislosti na jejich umístění na výkresech, jsou rozděleny na rozšířené a superponované. Vyjmuté řezy se nejčastěji nacházejí na volném poli výkresu a jsou vyznačeny hlavní čarou. Překrývající se řezy se umístí přímo na obraz předmětu a obkreslí se tenkými čarami (obr. 119).

119 Konstrukce sekcí Obr

Uvažujme posloupnost konstrukce výkresu hranolu s odsazeným nakloněným řezem B-B (obr. 117).

1. Aktivním dvojitým kliknutím levého tlačítka myši na pohled vytvořte nárys a pomocí tlačítka nakreslete čáru řezu Linie řezu . Vyberte text nápisu В-В.

2. Pomocí tlačítka Cut Line umístěného na panelu Asociativní pohledy (obr. 115) bude past, která se objeví, označovat sečnu. letadlo B-B. Pomocí přepínače Řez/řez na panelu Vlastnosti vyberte typ obrázku – Řez (obr. 116), měřítko zobrazeného řezu se vybírá z okna Měřítko.

Vybudovaný řez je umístěn v promítacím spoji, který omezuje jeho pohyb ve výkresu, ale promítací spoj lze deaktivovat pomocí tlačítka Projekční komunikace.

Na hotovém výkresu byste měli nakreslit osové čáry a v případě potřeby přidat kóty.

Jak víte, každá zkouška z matematiky obsahuje jako hlavní část řešení problémů. Schopnost řešit problémy je hlavním ukazatelem úrovně matematického rozvoje.

Poměrně často se u školních zkoušek, stejně jako u zkoušek konaných na univerzitách a technických školách, vyskytují případy, kdy studenti, kteří vykazují dobré výsledky v oblasti teorie, kteří znají všechny potřebné definice a teorémy, jsou při řešení velmi zmateni jednoduché úkoly.

Za léta školní docházky každý žák řeší velké množství problémů, ale zároveň jsou všem žákům nabízeny stejné úkoly. A pokud se někteří studenti naučí obecná pravidla a metody řešení problémů, pak jiní, kteří se setkali s problémem neznámého typu, ani nevědí, jak k němu přistupovat.

Jedním z důvodů této situace je, že pokud se někteří žáci ponoří do procesu řešení problému a snaží se jej uvědomit a pochopit obecné techniky a způsoby jejich řešení, pak o tom ostatní nepřemýšlejí, snaží se navržené problémy co nejrychleji vyřešit.

Mnoho studentů neanalyzuje řešené problémy a neidentifikuje obecné techniky a metody jejich řešení. V takových případech se problémy řeší pouze za účelem získání požadované odpovědi.

Mnoho studentů například ani neví, co je podstatou řešení konstrukčních problémů. Ale stavební úkoly jsou povinné úkoly v kurzu stereometrie. Tyto problémy jsou nejen krásné a originální svými metodami řešení, ale mají také velkou praktickou hodnotu.

Díky konstrukčním úkolům se rozvíjí schopnost mentálně si představit to či ono. geometrický obrazec rozvíjí se prostorové myšlení, logické myšlení, stejně jako geometrická intuice. Konstrukční problémy rozvíjejí praktické dovednosti při řešení problémů.

Konstrukční problémy nejsou jednoduché, protože neexistuje jediné pravidlo nebo algoritmus pro jejich řešení. Každý nový úkol je jedinečný a vyžaduje individuální přístup k rozhodnutí.

Proces řešení jakéhokoli konstrukčního problému je sledem nějakých mezikonstrukcí vedoucích k cíli.

Konstrukce sekcí mnohostěnů je založena na následujících axiomech:

1) Leží-li dva body přímky v určité rovině, pak celá přímka leží v této rovině;

2) Pokud mají dvě roviny společný bod, pak se protínají podél přímky procházející tímto bodem.

Teorém: Pokud dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina, pak jsou přímky průniku rovnoběžné.

Sestrojte řez mnohostěnu s rovinou procházející body A, B a C. Uvažujme následující příklady.

Metoda trasování

já Vytvořit průřez hranolu rovinou procházející danou přímkou ​​g (stopou) v rovině jedné ze základen hranolu a bodu A.

Případ 1

Bod A patří jiné základně hranolu (nebo ploše rovnoběžné s přímkou ​​g) - rovina řezu protíná tuto základnu (plošu) podél segmentu BC rovnoběžně se stopou g .

Případ 2

Bod A patří boční ploše hranolu:

Úsek BC přímky AD je průsečíkem této plochy s rovinou řezu.

Případ 3

Sestrojení řezu čtyřbokým hranolem s rovinou procházející přímkou ​​g v rovině spodní podstavy hranolu a bodem A na jedné z bočních hran.

II. Vytvořit průřez pyramidou rovinou procházející danou přímkou ​​g (stopou) v rovině podstavy jehlanu a bodu A.

Pro sestrojení řezu jehlanu s rovinou stačí sestrojit průsečíky jeho bočních ploch s rovinou řezu.

Případ 1

Jestliže bod A patří ploše rovnoběžné s přímkou ​​g, pak rovina řezu protíná tuto plochu podél segmentu BC rovnoběžného se stopou g.

Případ 2

Pokud se bod A, patřící k řezu, nachází na ploše, která není rovnoběžná s plochou stopy g, pak:

1) sestrojíme bod D, ve kterém rovina čela protíná danou stopu g;

2) nakreslete přímku přes body A a D.

Úsek BC přímky AD je průsečíkem této plochy s rovinou řezu.

Konce segmentu BC také patří k sousedním stěnám. Pomocí popsané metody je tedy možné sestrojit průsečík těchto ploch s rovinou řezu. Atd.

Případ 3

Sestrojení řezu čtyřbokého jehlanu s rovinou procházející stranou podstavy a bodem A na jedné z bočních hran.

Problémy zahrnující konstrukci řezů bodem na ploše

1. Sestrojte řez čtyřstěnem ABCD rovinou procházející vrcholem C a body M a N na stěnách ACD a ABC.

Body C a M leží na ploše ACD, což znamená, že přímka CM leží v rovině této plochy (obr. 1).

Nechť P je průsečík přímek CM a AD. Podobně body C a N leží v ploše ACB, což znamená, že přímka CN leží v rovině této plochy. Nechť Q je průsečík přímek CN a AB. Body P a Q patří jak rovině řezu, tak ploše ABD. Proto je segment PQ stranou sekce. Takže trojúhelník CPQ je požadovaný úsek.

2. Sestrojte řez čtyřstěnem ABCD rovinou MPN, kde body M, N, P leží příslušně na hraně AD, v ploše BCD a v ploše ABC a MN není rovnoběžná s rovinou plochy ABC. (obr. 2).

Máte ještě otázky? Nevíte, jak sestrojit průřez mnohostěnu?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Účel práce:
Vývoj prostorových koncepcí.
úkoly:
1. Představte pravidla pro konstrukci sekcí.
2. Rozvíjet dovednosti v konstrukci sekcí
čtyřstěn a rovnoběžnostěn u různých
případy určení řezné roviny.
3. Rozvinout schopnost aplikovat pravidla
budování sekcí při řešení problémů na
témata "Mnohostěny".

K vyřešení mnoha
geometrický
potřebné úkoly
stavět sekce
mnohostěny
různé
letadla.

Koncept řezné roviny

Secant
rovina
rovnoběžnostěn
(čtyřstěn)
nazvaný jakýkoli
rovině, na obou stranách
strany od
který má
body daného
rovnoběžnostěn
(čtyřstěn).

Koncept mnohostěnu

Řezací rovina
překračuje okraje
čtyřstěn
(rovnoběžné) podle
segmenty.
Mnohoúhelník, strany
která data jsou
segmenty se nazývají
průřez čtyřstěnu
(rovnoběžník).

Práce z výkresů

Kolik rovin lze nakreslit
prostřednictvím vybraných prvků?
Jaké axiomy a věty jste použili?

Chcete-li postavit sekci
potřeba vykreslit body
sečná křižovatka
roviny s hranami a
spojte je se segmenty.

Pravidla pro stavbu sekcí

1. Můžete připojit pouze dva
body ležící v rovině jedna
okraje.
2. Rovina řezu se protíná
rovnoběžné tváře podél
paralelní segmenty.

Pravidla pro stavbu sekcí

3. Pokud je označena rovina obličeje
patří pouze jeden bod
rovinou řezu, pak je to nutné
postavit další bod.
Chcete-li to provést, musíte najít body
křižovatky již postavených
přímky s jinými přímkami,
ležící na stejných okrajích.

10. Konstrukce čtyřstěnů

11.

Čtyřstěn má 4 strany
V úsecích to může dopadnout
Trojúhelníky
Čtyřúhelníky

12.

Sestrojte průřez čtyřstěnu
Letadlo DABC prolétlo
přes body M,N,K
1. Protáhneme rovnou čáru
body M a K, protože oni lžou
v jedné tváři (ADC).
D
M
A.A.
N
K
BB
CC
2. Protáhneme rovnou čáru
body K a N, protože Oni
ležet na stejné straně
(CDB).
3. Argumentovat podobně,
nakreslete přímku MN.
4. Trojúhelník MNK –
požadovaný úsek.

13. procházející bodem M rovnoběžně s ABC.

D
1. Prokreslíme bod M
rovná rovnoběžka
hrana AB
2.
M
R
A
NA
S
V
Projdeme bodem M
rovná rovnoběžka
hrana AC
3. Protáhneme rovnou čáru
body K a P, protože leží v
jedna tvář (DBC)
4. Trojúhelník MPK –
požadovaný úsek.

14.

Sestrojte řez čtyřstěnu rovinou,
procházející body E, F, K.
D
1. Provádíme KF.
2. Provádíme FE.
3. Pokračujme
EF, pokračujme AC.
F
4.EF AC =M
5. Provádíme
MK.
E
M
AB=L
6.
MK
C
A
7. Proveďte EL
L
EFKL – povinná sekce
K
B

15.

Sestrojte řez čtyřstěnu rovinou,
procházející body E, F, K
Které
co rovně
bod,
ležet v
Může
Připojit
výsledný
Který
body
Může
hned
že
stejný
okraje
Může
pokračovat,
na
získat
body,
ležící
PROTI
jeden
připojit?
připojit
přijaté
další
bod?
okraje,
jméno
sekce.
bod navíc?
D
AC
ELFK
FSEC
a tečka
K a E
a FK
F
L
C
M
A
E
K
B

16.

Vytvořte sekci
čtyřstěnná rovina,
procházející body
E, F, K.
D
F
L
C
A
E
K
B
O

17.

Závěr: bez ohledu na metodu
stavební úseky jsou stejné

18. Konstrukce kvádrových profilů

19.

Čtyřstěn má 6 tváří
Trojúhelníky
pětiúhelníky
Ve svých úsecích to může dopadnout
Čtyřúhelníky
Šestiúhelníky

20. Sestrojte řez rovnoběžnostěnem s rovinou procházející bodem X rovnoběžně s rovinou (OSV)

B1
A1
Y
X
D1
S
V
A
D
Z
1. Pojďme vás projít
C1
bod X přímka
rovnoběžně s okrajem
D1C1
2. Bodem X
řídit
rovnoběžně s okrajem
D1D
3. Bodem Z prochází přímka
rovnoběžně s okrajem
S
DC
4. Protáhneme rovnou čáru
body S a Y, protože leží v
jedna tvář (BB1C1)
XYSZ – povinný úsek

21.

Sestrojte řez rovnoběžnostěnem
rovina procházející body
ŠÍLENÝ
B1
D1
E
A1
C1
V
A
1. AD
2. MUDr
3. ME//AD, protože (ABC)//(A1B1C1)
4. A.E.
5. AEMD – povinná sekce
M
D
S

22. Sestrojte řez rovnoběžnostěnem rovinou procházející body M, K, T

N
M
NA
R
S
X
T

23. Plňte úkoly sami

m
T
Na
m
D
Na
T
Sestrojte řez: a) rovnoběžnostěnem;
b) čtyřstěn
rovina procházející body M, T, K.

24. Použité zdroje

Soboleva L. I. Stavba sekcí
Tkacheva V.V
čtyřstěn a rovnoběžnostěn
Gobozova L.V. Stavební problémy
sekce
DVD. Lekce geometrie od Kirilla and
Metoděje. 10. třída, 2005
Školicí a testovací úkoly.
Geometrie. 10. třída (Notebook)/Aleshina
T.N. – M.: Intellect-Center, 1998

Dmitriev Anton, Kireev Alexander

Tato prezentace názorně ukazuje krok za krokem příklady konstrukce sekcí od jednoduchých po složitější problémy. Animace vám umožňuje vidět fáze vytváření řezů

Stáhnout:

Náhled:

Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet ( účet) Google a přihlaste se: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Konstrukce řezů mnohostěnů na příkladu hranolu ® Tvůrci: Anton Dmitriev, Alexander Kireev. Za asistence: Olga Viktorovna Gudková

Plán lekce Algoritmy pro konstrukci sekcí Autotest Demonstrační úlohy Úkoly pro upevnění materiálu

Algoritmy pro konstrukci řezů stop rovnoběžných čar rovnoběžného přenosu řezné roviny vnitřní konstrukce, kombinovaná metoda přidání n-gonálního hranolu k trojúhelníkovému hranolu Konstrukce řezu metodou:

Konstrukce řezu metodou stopy Základní pojmy a dovednosti Konstrukce stopy přímky na rovině Konstrukce stopy roviny řezu Konstrukce řezu

Algoritmus pro konstrukci řezu pomocí metody trace Zjistěte, zda jsou na jedné ploše dva body řezu (pokud ano, můžete jimi nakreslit stranu řezu). Sestrojte stopu řezu na rovině základny mnohostěnu. Najděte další bod řezu na okraji mnohostěnu (prodlužte základní stranu plochy obsahující bod řezu, dokud se neprotne se stopou). Nakreslete přímku skrz výsledný další bod na stopě a bod řezu ve vybrané ploše a označte její průsečíky s hranami plochy. Dokončete krok 1.

Konstrukce řezu hranolem Neexistují dva body patřící stejné ploše. Bod R leží v rovině podstavy. Nalezneme stopu přímky KQ na základní rovině: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R je stopa řezu. 3. T1R ∩CD=E. 4. Udělejme EQ. EQ∩DD1=N. 5. Proveďme NK. NK ∩AA1=M. 6. Připojte M a R. Sestrojte řez procházející rovinou α body K,Q,R; K = ADD1, Q = CDD1, R = AB.

Metoda rovnoběžných přímek Metoda je založena na vlastnosti rovnoběžných rovin: „Pokud dvě rovnoběžné roviny protíná třetí, pak jsou přímky jejich průsečíku rovnoběžné. Základní dovednosti a pojmy Sestrojení roviny rovnoběžné s danou Sestrojení průsečíku rovin Sestrojení řezu

Algoritmus pro konstrukci řezu metodou rovnoběžných čar. Sestrojíme průměty bodů definujících řez. Prostřednictvím dvou daných bodů (například P a Q) a jejich průmětů nakreslíme rovinu. Prostřednictvím třetího bodu (například R) sestrojíme rovinu s ním rovnoběžnou α. Najdeme průsečíky (například m a n) roviny α s plochami mnohostěnu obsahujících body P a Q. Bodem R vedeme přímku rovnoběžnou s PQ. Najdeme průsečíky přímky a s přímkami m a n. Najdeme průsečíky s hranami odpovídající plochy.

(PRISM) Sestrojíme průměty bodů P a Q na rovinu horní a spodní podstavy. Nakreslíme rovinu P1Q1Q2P2. Hranou obsahující bod R vedeme rovinu α rovnoběžnou s P1Q1Q2. Najdeme průsečíky rovin ABB1 a CDD1 s rovinou α. Bodem R vedeme přímku a||PQ. a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR je požadovaná sekce. Sestrojte řez procházející rovinou α body P,Q,R; P = ABB1, Q = CDD1, R = EE1.

Způsob rovnoběžného posunu roviny řezu Zkonstruujeme pomocný řez tohoto mnohostěnu, který splňuje následující požadavky: je rovnoběžný s rovinou řezu; v průsečíku s povrchem daného mnohostěnu tvoří trojúhelník. Průmět vrcholu trojúhelníku spojíme s vrcholy plochy mnohostěnu, který pomocný řez protíná, a najdeme průsečíky se stranou trojúhelníku ležící v této ploše. Spojte vrchol trojúhelníku s těmito body. Bodem požadovaného řezu nakreslíme přímky rovnoběžné se sestrojenými segmenty v předchozím odstavci a najdeme průsečíky s hranami mnohostěnu.

PRISM R = AA1, P = EDD1, Q = CDD1. Sestrojme pomocnou sekci AMQ1 ||RPQ. Proveďme AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1 - projekce bodů P a M na ABC. Proveďme P1B a P1C. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. Bodem P vedeme přímky ma n rovnoběžné s MO1 a MO2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – požadovaný řez Sestrojte řez hranolem rovinou α procházející body P,Q,R; P = EDD1, Q = CDD1, R = AA1.

Algoritmus pro konstrukci řezu metodou interního návrhu. Sestrojte pomocné řezy a najděte čáru jejich průsečíku. Sestrojte stopu řezu na hraně mnohostěnu. Pokud není dostatek bodů řezu pro vytvoření samotného řezu, opakujte kroky 1-2.

Konstrukce pomocných sekcí. PRISMA Paralelní design.

Vytvoření stopy řezu na hraně

Kombinovaná metoda. Nakreslete rovinu β druhou přímkou ​​q a některým bodem W první přímky p. V rovině β bodem W nakreslete přímku q‘ rovnoběžnou s q. Protínající se přímky p a q‘ definují rovinu α. Přímá konstrukce řezu mnohostěnu rovinou α Podstatou metody je aplikace vět o rovnoběžnosti přímek a rovin v prostoru v kombinaci s axiomatickou metodou. Používá se ke konstrukci úseku mnohostěnu s podmínkou rovnoběžnosti. 1. Sestrojení řezu mnohostěnu s rovinou α procházející danou přímkou ​​p rovnoběžnou s jinou danou přímkou ​​q.

PRISM Sestrojte řez hranolem s rovinou α procházející přímkou ​​PQ rovnoběžnou s AE1; P = BE, Q = E1C1. 1. Nakreslete rovinu přímkou ​​AE1 a bodem P. 2. V rovině AE1P bodem P nakreslete přímku q" rovnoběžnou s AE1. q"∩E1S’=K. 3. Požadovaná rovina α je určena protínajícími se přímkami PQ a PK. 4. P1 a K1 jsou průměty bodů P a K na A1B1C1. P1K1∩PK=S.” S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL je povinná sekce.

Metoda doplňování n-gonálního hranolu (pyramidy) na trojúhelníkový hranol (pyramida). Tento hranol (pyramida) je postaven na trojúhelníkový hranol (pyramida) z těch ploch, na jejichž bočních hranách nebo plochách jsou body, které definují požadovaný řez. Zkonstruuje se průřez výsledného trojúhelníkového hranolu (pyramidy). Požadovaný řez se získá jako součást řezu trojúhelníkovým hranolem (pyramidou).

Základní pojmy a dovednosti Konstrukce pomocných řezů Konstrukce stopy řezu na hraně Konstrukce řezu Centrální návrh Paralelní návrh

PRISM Q = BB1C1C, P = AA1, R = EDD1E1. Hranol dokončíme na trojúhelníkový. K tomu prodlužte strany spodní základny: AE, BC, ED a horní základnu: A 1 E 1, B 1 C 1, E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1 ∩B1C1=K1, E1D1 ∩B1C1=L1. Řez výsledného hranolu KLEK1L1E1 sestrojíme pomocí roviny PQR metodou vnitřního návrhu. Tato sekce je součástí toho, co hledáme. Postavíme požadovaný úsek.

Pravidlo pro sebekontrolu Pokud je mnohostěn konvexní, pak je řez konvexním mnohoúhelníkem. Vrcholy mnohoúhelníku leží vždy na hranách mnohostěnu. Pokud body řezu leží na hranách mnohostěnu, pak jsou to vrcholy mnohoúhelníku, které v řezu získáme. Pokud body řezu leží na plochách mnohostěnu, pak leží na stranách mnohoúhelníku, který bude získán v řezu. Dvě strany polygonu získaného v řezu nemohou patřit ke stejné ploše mnohostěnu. Pokud řez protíná dvě rovnoběžné plochy, pak budou segmenty (strany polygonu, které budou získány v řezu) rovnoběžné.

Základní problémy pro konstrukci řezů mnohostěnů Jestliže dvě roviny mají dva společné body, pak přímka vedená těmito body je průsečíkem těchto rovin. M = AD, N = DCC1, D1; ABCDA1B1C1D1 - kostka M = ADD1, D1 = ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M = ABC, Q = ABC, MQ. II. Pokud dvě rovnoběžné roviny protíná třetí, pak jsou přímky jejich průsečíku rovnoběžné. M = CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- krychlový MK||AD1, K є BC. M = DCC1, D1 = DCC1, MD1. A = ABC, K = ABC, AK.

III. Společný bod tří rovin (vrchol trojbokého úhlu) je společným bodem přímek jejich párového průsečíku (hrany trojbokého úhlu). M = AB, N = AA1, K = A1D1; ABCDA1B1C1D1- krychlový NK∩AD=F1 - vrchol trojbokého úhlu tvořeného rovinami α, ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - vrchol trojbokého úhlu tvořeného rovinami α, ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - vrchol trojbokého úhlu, který svírají roviny α, D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Pokud rovina prochází přímkou ​​rovnoběžnou s jinou rovinou a protíná ji, pak je přímka průsečíku rovnoběžná s touto přímkou. AI, C, a ||BC1; ABCA1B1C1 - hranol. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Připojte A1, P a C.

V. Leží-li přímka v rovině řezu, pak bod jejího průsečíku s rovinou čela mnohostěnu je vrcholem trojstěnu, který svírá řez, plocha a pomocná rovina obsahující tuto přímku. M = A1B1C1, K = BCC1, N = ABC; ABCDA1B1C1- rovnoběžnostěn. 1. Pomocná rovina MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S je vrchol trojbokého úhlu, který svírají roviny: α, ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Úkoly. Který obrázek znázorňuje řez krychlí pomocí roviny ABC? Kolik rovin lze nakreslit skrz vybrané prvky? Jaké axiomy a věty jste použili? Uzavřete, jak sestrojit řez v krychli? Připomeňme si fáze sestrojení řezů čtyřstěnu (rovnoběžník, krychle). Jaké polygony to může mít za následek?