Rýže. 4.2. Plán

Rýže. 4.3. Plán

Vertikální asymptoty funkce je třeba hledat buď v bodech nespojitosti druhého druhu (alespoň jedna z jednostranných limit funkce v bodě je nekonečná nebo neexistuje), nebo na koncích jejího definičního oboru.
, Pokud
– konečná čísla.

Pokud je funkce
je definována na celé číselné ose a existuje konečná mez
nebo
, pak přímka daná rovnicí
, je pravostranná vodorovná asymptota a přímka
- levostranná horizontální asymptota.

Pokud existují konečné limity

X
,

pak je to rovné
je šikmá asymptota grafu funkce. Šikmá asymptota může být i pravostranná (
) nebo levák (
).

Funkce
se nazývá zvýšení na sadě
, pokud k nějakému
, takové, že >, nerovnost platí:
>
(klesající, pokud:
<
). hromada
v tomto případě se nazývá interval monotonie funkce.

Platí následující postačující podmínka pro monotónnost funkce: je-li derivace diferencovatelné funkce uvnitř množiny
je kladná (záporná), pak se funkce na této množině zvyšuje (snižuje).

Příklad 4.5. Daná funkce
. Najděte jeho intervaly nárůstu a poklesu.

Řešení. Pojďme najít jeho derivát
. To je zřejmé >0 at >3 a <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) a zvýší se o (3;
).

Tečka nazvaný bod místní maximum (minimum) funkcí
, pokud v nějakém sousedství bodu nerovnost platí
(
) . Funkční hodnota v bodě volal maximum (minimum). Maximální a minimální funkce jsou spojeny společným názvem extrém funkcí.

Aby funkce
měl v té chvíli extrém je nutné, aby se jeho derivace v tomto bodě rovnala nule (
) nebo neexistoval.

Volají se body, ve kterých je derivace funkce rovna nule stacionární funkční body. Ve stacionárním bodě nemusí existovat extrém funkce. Pro nalezení extrémů je nutné dodatečně prozkoumat stacionární body funkce, např. použitím dostatečných podmínek pro extrém.

První z nich je, že pokud při průjezdu stacionárním bodem Zleva doprava derivace diferencovatelné funkce změní znaménko z plus na mínus, pak je v bodě dosaženo lokálního maxima. Pokud se znaménko změní z mínus na plus, pak se jedná o minimální bod funkce.

Pokud se znaménko derivace při průchodu zkoumaným bodem nemění, pak v tomto bodě neexistuje extrém.

Druhá dostatečná podmínka pro extrém funkce ve stacionárním bodě používá druhou derivaci funkce: if
<0, тоje maximální bod, a pokud
>0, tedy - minimální bod. Na
=0 otázka o typu extrému zůstává otevřená.

Funkce
volal konvexní (konkávní) na place
, pokud pro jakékoli dvě hodnoty
platí nerovnost:

.

Obr.4.4. Graf konvexní funkce

Je-li druhá derivace dvakrát diferencovatelné funkce
pozitivní (negativní) v rámci množiny
, pak je funkce na množině konkávní (konvexní).
.

Inflexní bod grafu spojité funkce
nazýváme bod oddělující intervaly, ve kterých je funkce konvexní a konkávní.

Druhá derivace
dvakrát diferencovatelná funkce v inflexním bodě se rovná nule, tzn
= 0.

Je-li druhá derivace při průchodu určitým bodem pak změní své znaménko je inflexní bod jeho grafu.

Při studiu funkce a vykreslování jejího grafu se doporučuje použít následující schéma:

23. Pojem diferenciální funkce. Vlastnosti. Aplikace diferenciálu v cca.y výpočty.

Pojem diferenciální funkce

Nechť funkce y=ƒ(x) má v bodě x nenulovou derivaci.

Pak podle věty o souvislosti mezi funkcí, její limitou a infinitezimální funkcí můžeme napsat  у/х=ƒ"(x)+α, kde α→0 na ∆х→0, nebo ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Přírůstek funkce ∆у je tedy součtem dvou členů ƒ"(x) ∆x a a ∆x, které jsou nekonečně malé pro ∆x→0. Navíc první člen je nekonečně malá funkce stejného řádu jako ∆x, protože a druhý člen je infinitezimální funkce vyššího řádu než ∆x:

Proto se nazývá první člen ƒ"(x) ∆x hlavní část přírůstku funkce ∆у.

Funkční diferenciál y=ƒ(x) v bodě x se nazývá hlavní část jeho přírůstku, rovná se součinu derivace funkce a přírůstku argumentu, a označuje se dу (nebo dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆х. (1)

Diferenciál dу se také nazývá diferenciál prvního řádu. Najděte diferenciál nezávisle proměnné x, tedy diferenciál funkce y=x.

Protože y"=x"=1, pak podle vzorce (1) máme dy=dx=∆x, tj. diferenciál nezávisle proměnné je roven přírůstku této proměnné: dx=∆x.

Proto lze vzorec (1) napsat takto:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

jinými slovy, diferenciál funkce se rovná součinu derivace této funkce a diferenciálu nezávisle proměnné.

Ze vzorce (2) vyplývá rovnost dy/dx=ƒ"(x). Nyní zápis

derivaci dy/dx lze považovat za poměr diferenciálů dy a dx.

Rozdílmá následující hlavní vlastnosti.

1. d(S)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(Su)=Sd(u).

4. .

5. y= F(z), , ,

Forma diferenciálu je invariantní (neměnná): je vždy rovna součinu derivace funkce a diferenciálu argumentu, bez ohledu na to, zda je argument jednoduchý nebo komplexní.

Použití diferenciálu na přibližné výpočty

Jak je již známo, přírůstek ∆у funkce у=ƒ(x) v bodě x lze vyjádřit jako ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х, kde α→0 v ∆х→0, nebo ∆у= dy+α ∆х Vynecháním nekonečně malého α ∆х vyššího řádu než ∆х získáme přibližnou rovnost.

∆y≈dy, (3)

Navíc je tato rovnost tím přesnější, čím je ∆х menší.

Tato rovnost nám umožňuje přibližně vypočítat přírůstek libovolné diferencovatelné funkce s velkou přesností.

Diferenciál je obvykle mnohem jednodušší najít než přírůstek funkce, takže vzorec (3) je široce používán ve výpočetní praxi.

24. Funkce primitivní a neurčitáintegrál.

KONCEPCE PRIMITIVNÍ FUNKCE A INTEGRÁLU ODŠKODNĚNÍ

Funkce F (X) je nazýván primitivní funkce pro tuto funkci F (X) (nebo ve zkratce primitivní tuto funkci F (X)) na daném intervalu, pokud na tomto intervalu . Příklad. Funkce je primitivní funkcí na celé číselné ose, protože pro libovolnou X. Všimněte si, že spolu s funkcí je primitivní funkcí for jakákoli funkce tvaru , kde S- libovolné konstantní číslo (vyplývá to z toho, že derivace konstanty je rovna nule). Tato vlastnost platí i v obecném případě.

Věta 1. Jestliže a jsou dvě primitivní funkce pro funkci F (X) v určitém intervalu, pak je rozdíl mezi nimi v tomto intervalu roven konstantnímu číslu. Z této věty vyplývá, že pokud je známa nějaká primitivní F (X) této funkce F (X), pak celou sadu primitivních derivátů pro F (X) je vyčerpán funkcemi F (X) + S. Výraz F (X) + S, Kde F (X) - primitivní funkce F (X) A S- libovolná konstanta, tzv neurčitý integrál z funkce F (X) a je označen symbolem a F (X) je nazýván integrandová funkce ; - integrand , X - integrační proměnná ; ∫ - znak neurčitého integrálu . Tedy z definice Pokud . Nabízí se otázka: pro každého funkcí F (X) existuje primitivní, a tedy neurčitý integrál? Věta 2. Pokud je funkce F (X) kontinuální dne [ A ; b], pak na tento segment pro funkci F (X) existuje primitivní derivát . Níže budeme hovořit o primitivních funkcích pouze pro spojité funkce. Proto existují integrály, o kterých budeme dále v této části uvažovat.

25. Vlastnosti neurčitéhoXintegrální. Integrálnís od základních elementárních funkcí.

Vlastnosti neurčitého integrálu

Ve vzorcích níže F A G- proměnné funkce X, F- primitivní funkce F, a, k, C- konstantní hodnoty.







Integrály elementárních funkcí

Seznam integrálů racionálních funkcí

(první derivace nuly je konstanta; v jakýchkoli mezích integrace je integrál nuly roven nule)

Seznam integrálů logaritmických funkcí

Seznam integrálů exponenciálních funkcí

Seznam integrálů iracionálních funkcí

("dlouhý logaritmus")

seznam integrálů goniometrických funkcí , seznam integrálů inverzních goniometrických funkcí

26. Substituční metodas proměnná, metoda integrace po částech v neurčitém integrálu.

Variabilní náhradní metoda (substituční metoda)

Metoda integrace substitucí zahrnuje zavedení nové integrační proměnné (tj. substituce). V tomto případě je daný integrál redukován na nový integrál, který je tabulkový nebo na něj redukovatelný. Neexistují žádné obecné metody pro výběr substitucí. Schopnost správně určit substituci se získává praxí.

Přibližné výpočty pomocí diferenciálu

V této lekci se podíváme na běžný problém o přibližném výpočtu hodnoty funkce pomocí diferenciálu. Zde a dále budeme hovořit o diferenciálech prvního řádu pro stručnost, často řeknu jednoduše „diferenciál“. Problém přibližných výpočtů pomocí diferenciálů má striktní algoritmus řešení, a proto by neměly nastat žádné zvláštní potíže. Jedině, že tam jsou malá úskalí, která se také vyčistí. Takže se klidně ponořte do hlavy.

Kromě toho stránka obsahuje vzorce pro zjištění absolutní a relativní chyby výpočtů. Materiál je velmi užitečný, protože chyby se musí počítat v jiných úlohách. Fyzikové, kde je váš potlesk? =)

Pro úspěšné zvládnutí příkladů musíte být schopni najít derivace funkcí alespoň na středně pokročilé úrovni, takže pokud si s derivováním úplně nevíte rady, začněte prosím lekcí Jak najít derivát? Také doporučuji přečíst si článek Nejjednodušší problémy s derivacemi, jmenovitě paragrafy o nalezení derivace v bodě A nalezení diferenciálu v bodě. Z technických prostředků budete potřebovat mikrokalkulátor s různými matematickými funkcemi. Můžete použít Excel, ale v tomto případě je to méně pohodlné.

Workshop se skládá ze dvou částí:

– Přibližné výpočty pomocí diferenciálu funkce jedné proměnné.

– Přibližné výpočty pomocí celkového diferenciálu funkce dvou proměnných.

kdo co potřebuje? Ve skutečnosti bylo možné rozdělit bohatství na dvě hromady, protože druhý bod se týká aplikací funkcí několika proměnných. Ale co nadělám, miluji dlouhé články.

Přibližné výpočty
pomocí diferenciálu funkce jedné proměnné

Daná úloha a její geometrický význam jsme již probrali v lekci Co je to derivace? , a nyní se omezíme na formální úvahu o příkladech, což je docela dost na to, abychom se je naučili řešit.

V prvním odstavci vládne funkce jedné proměnné. Jak každý ví, označuje se nebo . Pro tento úkol je mnohem pohodlnější použít druhý zápis. Přejděme rovnou k oblíbenému příkladu, se kterým se v praxi často setkáváme:

Příklad 1

Řešení: Zkopírujte si prosím pracovní vzorec pro přibližný výpočet pomocí diferenciálu do svého poznámkového bloku:

Začněme na to přijít, tady je všechno jednoduché!

Prvním krokem je vytvoření funkce. Podle podmínky se navrhuje vypočítat odmocninu čísla: , takže odpovídající funkce má tvar: . K nalezení přibližné hodnoty musíme použít vzorec.

Pojďme se podívat levá strana vzorce a přichází na mysl myšlenka, že ve tvaru musí být zastoupeno číslo 67. Jaký je nejjednodušší způsob, jak to udělat? Doporučuji následující algoritmus: vypočítejte tuto hodnotu na kalkulačce:
– ukázalo se, že je to 4 s ocasem, to je důležité vodítko pro řešení.

Jako kvalitu vybíráme „dobrou“ hodnotu, aby byl kořen zcela odstraněn. Tato hodnota by samozřejmě měla být co nejblíže až 67. V tomto případě: . Opravdu: .

Poznámka: Pokud stále dochází k potížím s výběrem, jednoduše se podívejte na vypočítanou hodnotu (v tomto případě ), vezměte nejbližší celočíselnou část (v tomto případě 4) a zvyšte ji na požadovanou mocninu (v tomto případě ). V důsledku toho bude proveden požadovaný výběr: .

Jestliže , pak přírůstek argumentu: .

Takže číslo 67 je reprezentováno jako součet

Nejprve spočítejme hodnotu funkce v bodě. Ve skutečnosti to již bylo provedeno dříve:

Rozdíl v bodě se najde podle vzorce:
- Můžete si to také zkopírovat do svého notebooku.

Ze vzorce vyplývá, že musíte vzít první derivaci:

A zjistěte jeho hodnotu v bodě:

Tím pádem:

Vše je připraveno! Podle vzorce:

Nalezená přibližná hodnota je poměrně blízko hodnotě , vypočítané pomocí mikrokalkulačky.

Odpovědět:

Příklad 2

Počítejte přibližně tak, že nahradíte přírůstky funkce jejím diferenciálem.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Přibližná ukázka výsledného návrhu a odpověď na konci lekce. Začátečníkům doporučuji nejprve spočítat přesnou hodnotu na mikrokalkulátoru, aby zjistili, které číslo se bere jako , a které jako . Je třeba poznamenat, že v tomto příkladu bude negativní.

Někoho možná napadlo, proč je tento úkol potřeba, když se dá vše v klidu a přesněji spočítat na kalkulačce? Souhlasím, úkol je hloupý a naivní. Ale pokusím se to trochu zdůvodnit. Za prvé, úloha ilustruje význam diferenciální funkce. Za druhé, ve starověku byla kalkulačka něco jako osobní vrtulník v moderní době. Sám jsem viděl, jak někde v letech 1985-86 z místního polytechnického institutu vyhodili počítač o velikosti místnosti (z celého města se sbíhali radioamatéři se šroubováky a po pár hodinách zbyla jen ta skříňka jednotka). U nás na katedře fyziky a matematiky byly také starožitnosti, i když byly rozměrově menší – asi jako stůl. Takto se naši předkové potýkali s metodami přibližných výpočtů. Přepravou je i kočár tažený koňmi.

Tak či onak problém zůstává ve standardním kurzu vyšší matematiky a bude třeba jej vyřešit. To je hlavní odpověď na tvou otázku =)

Příklad 3

v bodě . Vypočítat přesnější hodnotu funkce v bodě pomocí mikrokalkulačky, vyhodnotit absolutní a relativní chybu výpočtů.

Ve skutečnosti jde o stejný úkol, který lze snadno přeformulovat takto: „Vypočítejte přibližnou hodnotu pomocí diferenciálu"

Řešení: Používáme známý vzorec:
V tomto případě je již dána hotová funkce: . Ještě jednou bych chtěl upozornit na to, že je pohodlnější používat .

Hodnota musí být uvedena ve tvaru . Tady je to jednodušší, vidíme, že číslo 1,97 je velmi blízko „dvojce“, takže to naznačuje samo. A proto: .

Pomocí vzorce , pojďme vypočítat diferenciál ve stejném bodě.

Najdeme první derivaci:

A jeho hodnota v bodě:

Takže rozdíl v bodě:

V důsledku toho podle vzorce:

Druhá část úkolu je najít absolutní a relativní chybu výpočtů.

Absolutní a relativní chyba výpočtů

Absolutní chyba výpočtu se najde podle vzorce:

Znaménko modulu ukazuje, že je nám jedno, která hodnota je větší a která menší. Důležité, jak daleko přibližný výsledek se odchyloval od přesné hodnoty v jednom nebo druhém směru.

Relativní chyba výpočtu se najde podle vzorce:
, nebo to samé:

Ukazuje se relativní chyba o jaké procento přibližný výsledek se odchyloval od přesné hodnoty. Existuje verze vzorce bez násobení 100%, ale v praxi téměř vždy vidím výše uvedenou verzi s procenty.

Po krátké referenci se vraťme k našemu problému, ve kterém jsme vypočítali přibližnou hodnotu funkce pomocí diferenciálu.

Vypočítejme přesnou hodnotu funkce pomocí mikrokalkulačky:
, přísně vzato, hodnota je stále přibližná, ale budeme ji považovat za přesnou. Takové problémy se vyskytují.

Pojďme vypočítat absolutní chybu:

Pojďme vypočítat relativní chybu:
, byly získány tisíciny procenta, takže diferenciál poskytoval pouze vynikající aproximaci.

Odpovědět: , absolutní chyba výpočtu, relativní chyba výpočtu

Následující příklad pro nezávislé řešení:

Příklad 4

Vypočítejte přibližně hodnotu funkce pomocí diferenciálu v bodě . Vypočítejte přesnější hodnotu funkce v daném bodě, odhadněte absolutní a relativní chybu výpočtů.

Přibližná ukázka výsledného návrhu a odpověď na konci lekce.

Mnoho lidí si všimlo, že kořeny se objevují ve všech uvažovaných příkladech. Ve většině případů to není náhodné, uvažovaný problém ve skutečnosti nabízí funkce s kořeny.

Ale pro trpící čtenáře jsem vyhrabal malý příklad s arcsine:

Příklad 5

Vypočítejte přibližně hodnotu funkce pomocí diferenciálu na místě

Tento krátký, ale informativní příklad je také pro vás, abyste si jej vyřešili sami. A trochu jsem si odpočinul, abych s novým elánem mohl uvažovat o zvláštním úkolu:

Příklad 6

Počítejte přibližně pomocí diferenciálu, výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa.

Řešení: Co je nového v úkolu? Podmínka vyžaduje zaokrouhlení výsledku na dvě desetinná místa. Ale o to nejde, myslím, že pro vás není problém se zaokrouhlováním ve škole. Faktem je, že je nám dána tečna s argumentem, který je vyjádřen ve stupních. Co byste měli udělat, když budete požádáni o vyřešení goniometrické funkce se stupni? Například atd.

Algoritmus řešení je v zásadě stejný, to znamená, že je nutné, stejně jako v předchozích příkladech, použít vzorec

Napišme zřejmou funkci

Hodnota musí být uvedena ve tvaru . Poskytne seriózní pomoc tabulka hodnot goniometrických funkcí. Mimochodem, pro ty, kteří si to nevytiskli, doporučuji tak učinit, protože tam budete muset hledat po celou dobu studia vyšší matematiky.

Při analýze tabulky si všimneme „dobré“ hodnoty tečny, která se blíží 47 stupňům:

Tím pádem:

Po předběžné analýze stupně musí být převedeny na radiány. Ano a jedině takto!

V tomto příkladu můžete přímo z trigonometrické tabulky zjistit, že . Použití vzorce pro převod stupňů na radiány: (vzorce najdete ve stejné tabulce).

To, co následuje, je vzorové:

Tím pádem: (hodnotu používáme pro výpočty). Výsledek, jak to vyžaduje podmínka, se zaokrouhlí na dvě desetinná místa.

Odpovědět:

Příklad 7

Počítejte přibližně pomocí diferenciálu, výsledek zaokrouhlete na tři desetinná místa.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Jak vidíte, není to nic složitého, převádíme stupně na radiány a držíme se obvyklého algoritmu řešení.

Přibližné výpočty
pomocí úplného diferenciálu funkce dvou proměnných

Vše bude velmi, velmi podobné, takže pokud jste na tuto stránku přišli speciálně kvůli tomuto úkolu, pak nejprve doporučuji podívat se alespoň na pár příkladů z předchozího odstavce.

Chcete-li prostudovat odstavec, musíte být schopni jej najít parciální derivace druhého řádu, kde bychom bez nich byli? Ve výše uvedené lekci jsem funkci dvou proměnných označil pomocí písmene . Ve vztahu k uvažované úloze je výhodnější použít ekvivalentní zápis.

Stejně jako v případě funkce jedné proměnné lze podmínku problému formulovat různými způsoby a pokusím se zvážit všechny formulace, se kterými se setkávám.

Příklad 8

Řešení: Bez ohledu na to, jak je podmínka napsána, v samotném řešení k označení funkce, opakuji, je lepší použít nikoli písmeno „z“, ale .

A zde je pracovní vzorec:

To, co máme před sebou, je ve skutečnosti starší sestra vzorce z předchozího odstavce. Proměnná se pouze zvýšila. Co mohu říci, sám sebe Algoritmus řešení bude v zásadě stejný!

Podle podmínky je potřeba najít přibližnou hodnotu funkce v bodě.

Představme si číslo 3,04 ve tvaru . Buchta sama žádá o snězení:
,

Představme číslo 3,95 jako . Na řadě je druhá polovina Koloboku:
,

A nedívejte se na všechny triky lišky, existuje Kolobok - musíte ho jíst.

Vypočítejme hodnotu funkce v bodě:

Najdeme diferenciál funkce v bodě pomocí vzorce:

Ze vzorce vyplývá, že musíme najít částečné derivace prvního řádu a vypočítat jejich hodnoty v bodě .

Vypočítejme parciální derivace prvního řádu v bodě:

Celkový rozdíl v bodě:

Podle vzorce tedy přibližná hodnota funkce v bodě:

Vypočítejme přesnou hodnotu funkce v bodě:

Tato hodnota je naprosto přesná.

Chyby se počítají pomocí standardních vzorců, které již byly diskutovány v tomto článku.

Absolutní chyba:

Relativní chyba:

Odpovědět:, absolutní chyba: , relativní chyba:

Příklad 9

Vypočítejte přibližnou hodnotu funkce v bodě pomocí totálního diferenciálu odhadněte absolutní a relativní chybu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Kdo se u tohoto příkladu podrobněji zabývá, všimne si, že chyby ve výpočtu se ukázaly být velmi, velmi patrné. Stalo se to z následujícího důvodu: v navrhovaném problému jsou přírůstky argumentů poměrně velké: . Obecný vzorec je následující: čím větší jsou tyto přírůstky v absolutní hodnotě, tím nižší je přesnost výpočtů. Takže například pro podobný bod budou přírůstky malé: a přesnost přibližných výpočtů bude velmi vysoká.

Tato vlastnost platí i pro případ funkce jedné proměnné (první část lekce).

Příklad 10

Řešení: Vypočítejme tento výraz přibližně pomocí celkového diferenciálu funkce dvou proměnných:

Rozdíl od příkladů 8-9 je v tom, že nejprve potřebujeme zkonstruovat funkci dvou proměnných: . Myslím, že každý intuitivně chápe, jak se funkce skládá.

Hodnota 4,9973 se blíží „pěti“, proto: , .
Hodnota 0,9919 se blíží „jedničce“, proto předpokládáme: , .

Vypočítejme hodnotu funkce v bodě:

Diferenciál najdeme v bodě pomocí vzorce:

K tomu vypočítáme parciální derivace prvního řádu v bodě.

Zde uvedené deriváty nejsou nejjednodušší a měli byste být opatrní:

;

.

Celkový rozdíl v bodě:

Přibližná hodnota tohoto výrazu je tedy:

Spočítejme si přesnější hodnotu pomocí mikrokalkulačky: 2,998899527

Pojďme najít relativní chybu výpočtu:

Odpovědět: ,

Jen pro ilustraci výše uvedeného, ​​v uvažovaném problému jsou přírůstky argumentů velmi malé a chyba se ukázala jako fantasticky malá.

Příklad 11

Pomocí úplného diferenciálu funkce dvou proměnných vypočítejte přibližně hodnotu tohoto výrazu. Vypočítejte stejný výraz pomocí mikrokalkulačky. Odhadněte relativní chybu výpočtu v procentech.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Přibližná ukázka finálního návrhu na konci lekce.

Jak již bylo uvedeno, nejčastějším hostem v tomto typu úkolu jsou nějaké kořeny. Čas od času se ale objeví i jiné funkce. A na závěr jednoduchý příklad pro relaxaci:

Příklad 12

Pomocí celkového diferenciálu funkce dvou proměnných vypočítejte přibližně hodnotu funkce if

Řešení je blíže ke konci stránky. Ještě jednou pozor na formulaci úloh z lekce v různých příkladech v praxi, formulace se mohou lišit, ale to zásadně nemění podstatu a algoritmus řešení.

Abych byl upřímný, byl jsem trochu unavený, protože materiál byl trochu nudný. Nebylo to pedagogické říkat to na začátku článku, ale teď už je to možné =) Problémy ve výpočetní matematice většinou nejsou příliš složité, málo zajímavé, nejdůležitější snad je neudělat chybu v běžných výpočtech.

Kéž se klíče vaší kalkulačky nevymažou!

Řešení a odpovědi:

Příklad 2: Řešení: Použijeme vzorec:
V tomto případě: , ,

Tím pádem:
Odpovědět:

Příklad 4: Řešení: Použijeme vzorec:
V tomto případě: , ,

AleΔ y = Δ F(X 0) je přírůstek funkce a F (X 0) Δ x = df(X 0) – diferenciální funkce.

Proto se konečně dostáváme

Věta 1. Nechť funkci y = f(X) v bodě x 0 má konečnou derivaci f (X 0)≠0. Pak pro dostatečně malé hodnoty Δ x existuje přibližná rovnost (1), která se stává libovolně přesnou pro Δ X→ 0.

Tedy diferenciál funkce v bodě X 0 se přibližně rovná přírůstku funkce v tomto bodě.

Protože pak z rovnosti (1) dostaneme

na Δ X→ 0 (2)

na X→ X 0 (2  )

Od rovnice tečny ke grafu funkce y= F(X) v bodě X 0 vypadá

, Že přibližné rovnosti (1)-(2) geometricky znamenají, že blízko bodu x=x 0 graf funkce y=f(X) je přibližně nahrazena tečnou ke křivce y = f(X).

Pro dostatečně malé hodnoty se celkový přírůstek funkce a diferenciál mírně liší, tzn. . Tato okolnost se používá pro přibližné výpočty.

Příklad 1 Počítejte přibližně .

Řešení. Zvažte funkci a dát X 0 = 4, X= 3,98. Potom Δ X =X –X 0 = – 0,02, F(X 0)= 2. Od , tedy F (X 0) = 1/4 = 0,25. Proto pomocí vzorce (2) nakonec dostaneme: .

Příklad 2 Pomocí diferenciálu funkce určete, jak přibližně se změní hodnota funkce y=F(X)=(3X 3 +5)∙tg4 X když hodnota jeho argumentu klesá X 0 = 0 x 0,01.

Řešení. Kvůli (1), změně funkce y = f(X) v bodě X 0 se přibližně rovná diferenciálu funkce v tomto bodě pro dostatečně malé hodnoty D X:

Pojďme vypočítat diferenciál funkce df(0). Máme D X= –0,01. Protože F (X)= 9X 2 ∙tg4 X + ((3X 3 +5)/ protože 24 X)∙4 tedy F (0)=5∙4=20 a df(0)=F (0)∙Δ X= 20·(–0,01) = –0,2.

Proto Δ F(0) ≈ –0,2, tj. při snižování hodnoty X 0 = 0 argument funkce na 0,01 samotné hodnoty funkce y=F(X) se sníží přibližně o 0,2.

Příklad 3 Nechť má funkce poptávky po produktu tvar . Musíte najít požadované množství produktu za cenu p 0 = 3 peněžní jednotky a určit, o kolik přibližně vzroste poptávka, když cena produktu klesne o 0,2 peněžní jednotky.

Řešení. Za cenu p 0 = 3 peněžní jednotky objem poptávky Q 0 =D(p 0) = 270/9 = 30 jednotek. zboží. Změna ceny Δ p= –0,2 den. Jednotky Kvůli (1) Δ Q (p 0) ≈ dQ (p 0). Vypočítejme rozdíl v objemu poptávky po produktu.

Od té doby D (3) = –20 a

rozdíl objemu poptávky dQ(3) = D  (3)∙Δ p= –20·(–0,2) = 4. Proto Δ Q(3) ≈ 4, tj. když cena produktu klesá p 0 = 3 za 0,2 peněžních jednotek objem poptávky po produktu se zvýší přibližně o 4 jednotky produktu a bude se rovnat přibližně 30 + 4 = 34 jednotkám produktu.

Samotestovací otázky

1. Co se nazývá diferenciál funkce?

2. Jaký je geometrický význam diferenciálu funkce?

3. Vyjmenujte hlavní vlastnosti diferenciální funkce.

3. Napište vzorce, které vám umožní najít přibližnou hodnotu funkce pomocí jejího diferenciálu.