Ve vztahu k
lze nastavit úkol najít libovolné ze tří čísel z dalších dvou daných. Pokud je dáno a a pak N, zjistí se umocněním. Jestliže N a pak a jsou dány odebráním odmocniny stupně x (nebo jeho umocněním). Nyní zvažte případ, kdy za předpokladu a a N potřebujeme najít x.
Nechť číslo N je kladné: číslo a je kladné a nerovná se jedné: .
Definice. Logaritmus čísla N k základu a je exponent, na který musí být a zvýšeno, aby bylo získáno číslo N; logaritmus je označen
V rovnosti (26.1) je tedy exponent nalezen jako logaritmus N k základu a. Příspěvky
mají stejný význam. Rovnost (26.1) je někdy nazývána hlavní identitou teorie logaritmů; ve skutečnosti vyjadřuje definici pojmu logaritmus. Podle tato definice Základ logaritmu a je vždy kladný a odlišný od jednoty; logaritmické číslo N je kladné. Záporná čísla a nula nemají logaritmy. Lze prokázat, že jakékoli číslo s daným základem má dobře definovaný logaritmus. Rovnost tedy znamená . Všimněte si, že podmínka je zde zásadní; jinak by závěr nebyl oprávněný, protože rovnost platí pro všechny hodnoty x a y.
Příklad 1. Najděte
Řešení. Chcete-li získat číslo, musíte zvýšit základnu 2 na sílu Proto.
Při řešení takových příkladů si můžete dělat poznámky v následujícím tvaru:
Příklad 2. Najděte .
Řešení. My máme
V příkladech 1 a 2 jsme snadno našli požadovaný logaritmus reprezentací logaritmického čísla jako mocniny základu s racionálním exponentem. V obecný případ, například pro atd., to nelze provést, protože logaritmus má iracionální hodnotu. Věnujme pozornost jedné otázce související s tímto tvrzením. V odstavci 12 jsme uvedli koncept možnosti určení libovolné reálné mocniny daného kladného čísla. To bylo nezbytné pro zavedení logaritmů, což, obecně řečeno, mohou být iracionální čísla.
Podívejme se na některé vlastnosti logaritmů.
Vlastnost 1. Jsou-li číslo a základ rovny, pak je logaritmus roven jedné, a naopak, je-li logaritmus roven jedné, pak se číslo a základ rovnají.
Důkaz. Nechat Podle definice logaritmu máme a odkud
Naopak, nechejte Pak podle definice
Vlastnost 2. Logaritmus jedné k libovolnému základu je roven nule.
Důkaz. Podle definice logaritmu (nulová mocnina každé kladné báze je rovna jedné, viz (10.1)). Odtud
Q.E.D.
Platí i obrácené tvrzení: jestliže , pak N = 1. Opravdu, máme .
Než formulujeme další vlastnost logaritmů, shodneme se na tom, že dvě čísla a a b leží na stejné straně třetího čísla c, pokud jsou obě větší než c nebo menší než c. Pokud je jedno z těchto čísel větší než c a druhé menší než c, pak řekneme, že leží na opačných stranách c.
Vlastnost 3. Leží-li číslo a základna na stejné straně jedničky, pak je logaritmus kladný; Pokud číslo a základ leží na opačných stranách jedné, pak je logaritmus záporný.
Důkaz vlastnosti 3 je založen na skutečnosti, že mocnina a je větší než jedna, pokud je základ větší než jedna a exponent je kladný nebo základ je menší než jedna a exponent je záporný. Mocnina je menší než jedna, pokud je základ větší než jedna a exponent je záporný, nebo je základ menší než jedna a exponent je kladný.
Je třeba zvážit čtyři případy:
Omezíme se na rozbor prvního z nich, zbytek si čtenář zváží sám.
Nechť pak v rovnosti exponent nemůže být ani záporný, ani roven nule, je tedy kladný, tedy jak je požadováno dokázat.
Příklad 3. Zjistěte, které z níže uvedených logaritmů jsou kladné a které záporné:
Řešení, a) protože číslo 15 a základna 12 jsou umístěny na stejné straně jedné;
b) protože 1000 a 2 jsou umístěny na jedné straně jednotky; v tomto případě není důležité, že základ je větší než logaritmické číslo;
c) protože 3,1 a 0,8 leží na opačných stranách jednoty;
G); Proč?
d) ; Proč?
Následující vlastnosti 4-6 se často nazývají pravidla logaritmace: umožňují, znajíce logaritmy některých čísel, najít logaritmy jejich součinu, kvocient a stupeň každého z nich.
Vlastnost 4 (pravidlo logaritmu součinu). Logaritmus součinu několika kladných čísel podle tento základ rovnající se součtu logaritmy těchto čísel na stejný základ.
Důkaz. Nechť jsou daná čísla kladná.
Pro logaritmus jejich součinu napíšeme rovnost (26.1), která logaritmus definuje:
Odtud najdeme
Porovnáním exponentů prvního a posledního výrazu získáme požadovanou rovnost:
Všimněte si, že podmínka je zásadní; logaritmus součinu dvou záporná čísla dává smysl, ale v tomto případě dostaneme
Obecně platí, že pokud je součin několika faktorů kladný, pak se jeho logaritmus rovná součtu logaritmů absolutních hodnot těchto faktorů.
Vlastnost 5 (pravidlo pro logaritmy podílů). Logaritmus podílu kladných čísel se rovná rozdílu mezi logaritmy dělitele a dělitele, vzato na stejný základ. Důkaz. Důsledně nacházíme
Q.E.D.
Vlastnost 6 (pravidlo mocninného logaritmu). Logaritmus mocniny libovolného kladného čísla se rovná logaritmu tohoto čísla vynásobeného exponentem.
Důkaz. Zapišme znovu hlavní identitu (26.1) pro číslo:
Q.E.D.
Následek. Logaritmus odmocniny kladného čísla se rovná logaritmu radikálu děleného exponentem odmocniny:
Platnost tohoto důsledku lze prokázat představou, jak a použitím vlastnosti 6.
Příklad 4. Vezměte logaritmus na základ a:
a) (předpokládá se, že všechny hodnoty b, c, d, e jsou kladné);
b) (předpokládá se, že ).
Řešení a) V tomto výrazu je vhodné přejít na zlomkové mocniny:
Na základě rovnosti (26,5)-(26,7) nyní můžeme napsat:
Všimli jsme si, že s logaritmy čísel se provádějí jednodušší operace než s čísly samotnými: při násobení čísel se jejich logaritmy sčítají, při dělení se odečítají atd.
Proto se ve výpočetní praxi používají logaritmy (viz odstavec 29).
Inverzní akce logaritmu se nazývá potenciace, jmenovitě: potenciace je akce, při které je z daného logaritmu čísla nalezeno samotné číslo. Potenciace v podstatě není speciální akce: jde o zvýšení základu na mocninu (rovnou logaritmu čísla). Pojem "zesilování" lze považovat za synonymum s pojmem "umocňování".
Při potenciaci je třeba použít pravidla inverzní k pravidlům logaritmace: nahradit součet logaritmů logaritmem součinu, rozdíl logaritmů logaritmem kvocientu atd. Zejména pokud je v popředí faktor znaménka logaritmu, pak se musí při potenciaci přenést na stupně exponentu pod znaménko logaritmu.
Příklad 5. Najděte N, pokud je to známo
Řešení. V souvislosti s právě uvedeným pravidlem potenciace převedeme faktory 2/3 a 1/3 stojící před znaménky logaritmů na pravé straně této rovnosti na exponenty pod znaménka těchto logaritmů; dostaneme
Nyní nahradíme rozdíl logaritmů logaritmem kvocientu:
abychom získali poslední zlomek v tomto řetězci rovnosti, osvobodili jsme předchozí zlomek od iracionality ve jmenovateli (klauzule 25).
Vlastnost 7. Pokud je základ větší než jedna, pak větší číslo má větší logaritmus (a menší číslo má menší), pokud je základ menší než jedna, pak větší číslo má menší logaritmus (a menší číslo má větší).
Tato vlastnost je také formulována jako pravidlo pro logaritmy nerovností, jejichž obě strany jsou kladné:
Při logaritmování nerovnic se základem větším než jedna se znaménko nerovnosti zachová a při logaritmování se základem menším než jedna se znaménko nerovnosti změní na opačné (viz také odstavec 80).
Důkaz je založen na vlastnostech 5 a 3. Uvažujme případ, kdy If , then a s logaritmováním dostaneme
(a a N/M leží na stejné straně jednoty). Odtud
Pokud následuje, čtenář na to přijde sám.
Jak víte, při násobení výrazů mocninami se jejich exponenty vždy sčítají (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných exponentů. Právě oni sloužili k dalšímu objevování logaritmů. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde si potřebujete zjednodušit těžkopádné násobení jednoduchým sčítáním. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchým a přístupným jazykem.
Definice v matematice
Logaritmus je vyjádření následujícího tvaru: log a b=c, tedy logaritmus libovolného nezáporného čísla (tj. jakéhokoli kladného) „b“ k jeho základu „a“ se považuje za mocninu „c“. ” na který musí být zvýšen základ “a”, aby se nakonec získala hodnota “b”. Analyzujme logaritmus na příkladech, řekněme, že existuje výraz log 2 8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takovou mocninu, abyste od 2 do požadovaného výkonu dostali 8. Po provedení pár výpočtů ve vaší hlavě dostaneme číslo 3! A to je pravda, protože 2 na 3 dává odpověď jako 8.
Typy logaritmů
Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá složité a nesrozumitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Tam jsou tři jednotlivé druhy logaritmické výrazy:
- Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e = 2,7).
- Desetinné a, kde základ je 10.
- Logaritmus libovolného čísla b na základ a>1.
Každá z nich je řešena standardním způsobem, včetně zjednodušení, redukce a následné redukce na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si pamatovat jejich vlastnosti a posloupnost akcí při jejich řešení.
Pravidla a některá omezení
V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivá. Čísla například nelze dělit nulou a také není možné extrahovat kořen sudý stupeň ze záporných čísel. Logaritmy mají také svá pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:
- Základ „a“ musí být vždy větší než nula a ne roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože „1“ a „0“ jsou v jakémkoli stupni vždy rovny svým hodnotám;
- pokud a > 0, pak a b > 0, ukáže se, že „c“ musí být také větší než nula.
Jak řešit logaritmy?
Například je zadán úkol najít odpověď na rovnici 10 x = 100. To je velmi snadné, je třeba zvolit mocninu zvýšením čísla deset, na které se dostaneme 100. To je samozřejmě 10 2 = 100.
Nyní si tento výraz znázorníme v logaritmické formě. Dostaneme log 10 100 = 2. Při řešení logaritmů se všechny akce prakticky sbíhají, aby našly mocninu, do které je nutné zadat základ logaritmu, abychom získali dané číslo.
Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:
Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalosti násobilky. Pro větší hodnoty však budete potřebovat tabulku výkonu. Mohou ji používat i ti, kteří o složitých matematických tématech nevědí vůbec nic. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku buňky obsahují číselné hodnoty, které jsou odpovědí (a c = b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten největší humanista!
Rovnice a nerovnice
Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnost. Například 3 4 = 81 lze zapsat jako logaritmus 3 se základem 81 rovný čtyřem (log 3 81 = 4). Pro záporné mocniny jsou pravidla stejná: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to jako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Na příklady a řešení rovnic se podíváme níže, ihned po prostudování jejich vlastností. Nyní se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.
Je dán následující výraz: log 2 (x-1) > 3 - jedná se o logaritmickou nerovnost, protože neznámá hodnota „x“ je pod logaritmickým znaménkem. A také ve výrazu se porovnávají dvě veličiny: logaritmus požadovaného čísla k základu dvě je větší než číslo tři.
Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je ten, že rovnice s logaritmy (například logaritmus 2 x = √9) znamenají jednu nebo více konkrétních odpovědí. číselné hodnoty, přičemž při řešení nerovnice se určí jak rozsah přípustných hodnot, tak zlomové body této funkce. V důsledku toho není odpovědí jednoduchá množina jednotlivých čísel jako v odpovědi na rovnici, ale spíše souvislá řada nebo sadu čísel.
Základní věty o logaritmech
Při řešení primitivních úloh hledání hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je nejprve nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. Na příklady rovnic se podíváme později, nejprve se na každou vlastnost podíváme podrobněji.
- Hlavní identita vypadá takto: a logaB =B. Platí pouze tehdy, když a je větší než 0, nerovná se jedné a B je větší než nula.
- Logaritmus součinu může být reprezentován následujícím vzorcem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto případě předpoklad je: d, si a s2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec můžete doložit příklady a řešením. Nechť log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, pak a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupně ), a pak podle definice: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, což je potřeba dokázat.
- Logaritmus podílu vypadá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Věta ve formě vzorce má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.
Tento vzorec se nazývá „vlastnost stupně logaritmu“. Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika je založena na přirozených postulátech. Podívejme se na důkaz.
Nechť log a b = t, vyjde a t =b. Zvedneme-li obě části na mocninu m: a tn = b n ;
ale protože a tn = (a q) nt/q = b n, proto log a q b n = (n*t)/t, pak log a q b n = n/q log a b. Věta byla prokázána.
Příklady problémů a nerovností
Nejběžnějšími typy problémů na logaritmech jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také povinnou součástí zkoušek z matematiky. Abyste mohli vstoupit na vysokou školu nebo složit přijímací zkoušky z matematiky, musíte vědět, jak takové úlohy správně řešit.
Bohužel neexistuje jediný plán nebo schéma řešení a určení neznámá hodnota Nic takového jako logaritmus neexistuje, ale na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze aplikovat určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo navést celkový vzhled. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme se s nimi rychle seznámit.
Při řešení logaritmických rovnic musíme určit, jaký typ logaritmu máme: příklad výrazu může obsahovat přirozený nebo dekadický logaritmus.
Zde jsou příklady ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že potřebují určit výkon, kterému bude základna 10 rovna 100, respektive 1026. Pro řešení přirozené logaritmy musíte použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických úloh různých typů.
Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními
Podívejme se tedy na příklady použití základních vět o logaritmech.
- Vlastnost logaritmu součinu se dá využít v úlohách, kde je potřeba expandovat velká důležitostčísla b do jednodušších faktorů. Například log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpověď je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak vidíte, pomocí čtvrté vlastnosti logaritmické mocniny se nám podařilo vyřešit zdánlivě složitý a neřešitelný výraz. Musíte pouze faktorizovat základ a poté odebrat hodnoty exponentů ze znaménka logaritmu.
Úkoly z jednotné státní zkoušky
Logaritmy se často vyskytují u přijímacích zkoušek, zejména u mnoha logaritmických problémů v jednotné státní zkoušce (státní zkouška pro všechny absolventy škol). Obvykle se tyto úlohy vyskytují nejen v části A (nejjednodušší testová část zkoušky), ale také v části C (nejsložitější a nejobsáhlejší úlohy). Zkouška vyžaduje přesnou a dokonalou znalost tématu „Přirozené logaritmy“.
Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních Možnosti jednotné státní zkoušky. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.
Je dán log 2 (2x-1) = 4. Řešení:
přepišme výraz, trochu jej zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, tedy 2x = 17; x = 8,5.
- Nejlepší je zredukovat všechny logaritmy na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
- Všechny výrazy pod logaritmickým znaménkem jsou označeny jako kladné, takže když je exponent výrazu, který je pod logaritmickým znaménkem a jeho základna je vyjmut jako násobitel, výraz zbývající pod logaritmem musí být kladný.
Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
- Můžeme také použít osobní údaje pro interní účely, jako je audit, analýza dat a různé studie s cílem zlepšit služby, které poskytujeme, a poskytnout vám doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění informací třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řízením, soudním řízením a/nebo na základě žádostí veřejnosti nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud rozhodneme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné účely veřejného zdraví. důležité případy.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.
Jak se společnost vyvíjela a výroba se stávala složitější, rozvíjela se i matematika. Pohyb od jednoduchého ke složitému. Od běžného účtování metodou sčítání a odčítání jsme se s jejich opakovaným opakováním dostali k pojmu násobení a dělení. Snížení opakované operace násobení se stalo konceptem umocňování. První tabulky závislosti čísel na bázi a počtu umocnění sestavil již v 8. století indický matematik Varasena. Z nich můžete počítat dobu výskytu logaritmů.
Historická skica
Oživení Evropy v 16. století podnítilo i rozvoj mechaniky. T vyžadovalo velké množství výpočtů související s násobením a dělením víceciferných čísel. Starobylé stoly měly skvělou službu. Umožňovaly nahradit složité operace jednoduššími – sčítáním a odčítáním. Velkým krokem vpřed byla práce matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roce 1544, ve které realizoval myšlenku mnoha matematiků. To umožnilo používat tabulky nejen pro mocniny v podobě prvočísel, ale i pro libovolné racionální.
V roce 1614 Skot John Napier, který rozvíjel tyto myšlenky, poprvé představil nový termín „logaritmus čísla“. Nový složité tabulky pro výpočet logaritmů sinů a kosinů, stejně jako tečen. To značně omezilo práci astronomů.
Začaly se objevovat nové tabulky, které vědci úspěšně používali po tři století. Předtím uplynulo hodně času nový provoz v algebře získal svou úplnou podobu. Byla uvedena definice logaritmu a byly studovány jeho vlastnosti.
Teprve ve 20. století, s příchodem kalkulačky a počítače, lidstvo opustilo starověké tabulky, které úspěšně fungovaly po celá 13. století.
Dnes nazýváme logaritmus b pro základ a číslo x, které je mocninou a tvořit b. To je zapsáno jako vzorec: x = log a(b).
Například log 3(9) by se rovnal 2. To je zřejmé, pokud dodržíte definici. Pokud zvýšíme 3 na mocninu 2, dostaneme 9.
Formulovaná definice tedy stanoví pouze jedno omezení: čísla a a b musí být reálná.
Typy logaritmů
Klasická definice se nazývá reálný logaritmus a je vlastně řešením rovnice a x = b. Možnost a = 1 je hraniční a není zajímavá. Pozor: 1 na jakoukoli mocninu se rovná 1.
Skutečná hodnota logaritmu definováno pouze v případě, že základ a argument jsou větší než 0 a základ se nesmí rovnat 1.
Zvláštní místo v oblasti matematiky hrát logaritmy, které budou pojmenovány v závislosti na velikosti jejich základny:
Pravidla a omezení
Základní vlastností logaritmů je pravidlo: logaritmus součinu se rovná logaritmickému součtu. log abp = log a(b) + log a(p).
Jako varianta tohoto tvrzení bude: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), podílová funkce je rovna rozdílu funkcí.
Z předchozích dvou pravidel je snadné vidět, že: log a(b p) = p * log a(b).
Mezi další vlastnosti patří:
Komentář. Není třeba dělat běžnou chybu – logaritmus součtu se nerovná součtu logaritmů.
Po mnoho staletí byla operace hledání logaritmu poměrně časově náročným úkolem. Používali matematici známý vzorec logaritmická teorie polynomiálního rozvoje:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kde n - přirozené číslo větší než 1, což určuje přesnost výpočtu.
Logaritmy s jinými bázemi byly vypočteny pomocí věty o přechodu z jedné báze na druhou a vlastnosti logaritmu součinu.
Protože je tato metoda velmi pracná a při řešení praktických problémů náročné na implementaci, použili jsme předkompilované tabulky logaritmů, což výrazně urychlilo veškerou práci.
V některých případech byly použity speciálně navržené logaritmické grafy, které poskytovaly menší přesnost, ale výrazně zrychlovaly vyhledávání požadovanou hodnotu. Křivka funkce y = log a(x), vytvořená přes několik bodů, umožňuje pomocí běžného pravítka najít hodnotu funkce v jakémkoli jiném bodě. Inženýři dlouho Pro tyto účely se používal tzv. milimetrový papír.
V 17. století se objevily první pomocné analogové výpočetní podmínky, které 19. století získal hotový vzhled. Nejúspěšnější zařízení se nazývalo logaritmické pravítko. Navzdory jednoduchosti zařízení jeho vzhled výrazně urychlil proces všech inženýrských výpočtů, což je obtížné přeceňovat. V současnosti toto zařízení zná jen málokdo.
Nástup kalkulaček a počítačů způsobil, že používání jakýchkoli jiných zařízení bylo zbytečné.
Rovnice a nerovnice
K řešení různých rovnic a nerovnic pomocí logaritmů se používají následující vzorce:
- Přechod z jedné báze na druhou: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- V důsledku předchozí možnosti: log a(b) = 1 / log b(a).
Pro řešení nerovností je užitečné vědět:
- Hodnota logaritmu bude kladná pouze v případě, že základ a argument jsou větší nebo menší než jedna; pokud je porušena alespoň jedna podmínka, bude hodnota logaritmu záporná.
- Jestliže je logaritmická funkce aplikována na pravou a levou stranu nerovnosti a základna logaritmu je větší než jedna, pak je znaménko nerovnosti zachováno; jinak se to mění.
Ukázkové problémy
Zvažme několik možností použití logaritmů a jejich vlastností. Příklady s řešením rovnic:
Zvažte možnost umístit logaritmus do mocniny:
- Úloha 3. Vypočítejte 25^log 5(3). Řešení: v podmínkách problému je zadání podobné následujícímu (5^2)^log5(3) nebo 5^(2 * log 5(3)). Zapišme to jinak: 5^log 5(3*2), neboli druhou mocninu čísla jako argument funkce lze zapsat jako druhou mocninu funkce samotné (5^log 5(3))^2. Pomocí vlastností logaritmů je tento výraz roven 3^2. Odpověď: jako výsledek výpočtu dostaneme 9.
Praktické použití
Zdá se, že jde o čistě matematický nástroj reálný životže logaritmus náhle získal velký význam pro popis objektů v reálném světě. Je těžké najít vědu, kde se nepoužívá. To plně platí nejen pro přírodní, ale i pro humanitní oblasti poznání.
Logaritmické závislosti
Zde je několik příkladů číselných závislostí:
Mechanika a fyzika
Historicky se mechanika a fyzika vždy vyvíjely pomocí matematické metody výzkum a zároveň sloužil jako podnět pro rozvoj matematiky včetně logaritmů. Teorie většiny fyzikálních zákonů je napsána jazykem matematiky. Uveďme jen dva příklady popisů fyzikální zákony pomocí logaritmu.
Problém výpočtu tak složité veličiny, jako je rychlost rakety, lze vyřešit pomocí Tsiolkovského vzorce, který položil základ pro teorii průzkumu vesmíru:
V = I * ln (M1/M2), kde
- V je konečná rychlost letadla.
- I – specifický impuls motoru.
- M 1 – počáteční hmotnost rakety.
- M 2 – výsledná hmota.
Další důležitý příklad- to je použito ve vzorci dalšího velkého vědce Maxe Plancka, který slouží k vyhodnocení rovnovážného stavu v termodynamice.
S = k * ln (Ω), kde
- S – termodynamická vlastnost.
- k – Boltzmannova konstanta.
- Ω je statistická váha různých stavů.
Chemie
Méně zřejmé je použití vzorců v chemii obsahujících poměr logaritmů. Uveďme jen dva příklady:
- Nernstova rovnice, stav redoxního potenciálu prostředí ve vztahu k aktivitě látek a rovnovážné konstantě.
- Výpočet takových konstant, jako je index autolýzy a kyselost roztoku, se také neobejde bez naší funkce.
Psychologie a biologie
A není vůbec jasné, co s tím má společného psychologie. Ukazuje se, že síla vjemu je touto funkcí dobře popsána jako inverzní poměr hodnoty intenzity podnětu k nižší hodnotě intenzity.
Po výše uvedených příkladech již nepřekvapí, že téma logaritmů je v biologii hojně využíváno. O biologických formách odpovídajících logaritmickým spirálám by se daly napsat celé svazky.
Ostatní oblasti
Zdá se, že existence světa je bez spojení s touto funkcí nemožná a vládne všem zákonům. Zvlášť, když s tím souvisí přírodní zákony geometrická progrese. Stojí za to obrátit se na web MatProfi a takových příkladů je mnoho v následujících oblastech činnosti:
Seznam může být nekonečný. Po zvládnutí základních principů této funkce se můžete ponořit do světa nekonečné moudrosti.
Logaritmy, stejně jako všechna čísla, lze sčítat, odečítat a transformovat všemi způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají hlavní vlastnosti.
Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.
Sčítání a odčítání logaritmů
Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: log A X a log A y. Poté je lze sčítat a odečítat a:
- log A X+ log A y=log A (X · y);
- log A X− log A y=log A (X : y).
Součet logaritmů se tedy rovná logaritmu součinu a rozdíl se rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: zde je klíčový bod identické důvody. Pokud jsou důvody jiné, tato pravidla nefungují!
Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:
Log 6 4 + log 6 9.
Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.
Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.
Základy jsou opět stejné, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny „špatnými“ logaritmy, které nejsou počítány samostatně. Ale po transformacích se získají zcela normální čísla. Mnoho z nich je postaveno na této skutečnosti zkušební papíry. Ano, na Jednotné státní zkoušce jsou se vší vážností (někdy prakticky beze změn) nabízeny výrazy podobné testu.
Extrahování exponentu z logaritmu
Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když základem nebo argumentem logaritmu je mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:
Je snadné si toho všimnout poslední pravidlo následuje po prvních dvou. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.
Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: A > 0, A ≠ 1, X> 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak, tzn. Čísla před znaménkem logaritmu můžete zadat do samotného logaritmu. To je nejčastěji vyžadováno.
Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 7 49 6 .
Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Úkol. Najděte význam výrazu:
[Popis k obrázku]
Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. My máme:
[Popis k obrázku] Myslím, že poslední příklad vyžaduje určité objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili jsme základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „třípatrový“ zlomek.
Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel obsahují stejné číslo: log 2 7. Protože log 2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyři převést do čitatele, což se také stalo. Výsledkem byla odpověď: 2.
Přechod na nový základ
Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou důvody jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?
Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:
Nechť je dán logaritmus A X. Pak pro libovolné číslo C takové, že C> 0 a C≠ 1, rovnost platí:
[Popis k obrázku]
Zejména pokud dáme C = X, dostaneme:
[Popis k obrázku]
Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.
Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.
Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:
Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.
Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:
[Popis k obrázku]Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak jsme se zabývali logaritmy.
Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.
Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:
[Popis k obrázku]Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:
[Popis k obrázku]Základní logaritmická identita
Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou následující vzorce:
V prvním případě číslo n se stává indikátorem stupně stojícího v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to jen logaritmická hodnota.
Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: základní logaritmická identita.
Ve skutečnosti, co se stane, když číslo b zvýšit na takovou moc, že číslo b této mocnině udává číslo A? To je pravda: dostanete stejné číslo A. Přečtěte si tento odstavec ještě jednou pozorně – mnoho lidí se na něm zasekne.
Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.
Úkol. Najděte význam výrazu:
[Popis k obrázku]
Všimněte si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:
[Popis k obrázku]Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z Jednotné státní zkoušky :)
Logaritmická jednotka a logaritmická nula
Na závěr uvedu dvě identity, které lze jen stěží nazvat vlastnostmi – spíše jsou to důsledky definice logaritmu. Neustále se objevují v problémech a kupodivu dělají problémy i „pokročilým“ studentům.
- log A A= 1 je logaritmická jednotka. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k jakékoli základně A od tohoto základu se rovná jedné.
- log A 1 = 0 je logaritmická nula. Základna A může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus se rovná nule! Protože A 0 = 1 je přímým důsledkem definice.
To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.
