Řešení maticových systémů Gaussovou metodou. Gaussova metoda aneb proč děti nerozumí matematice

Gaussova metoda ideální pro řešení lineárních systémů algebraické rovnice(SLAU). Ve srovnání s jinými metodami má řadu výhod:

• za prvé, není třeba nejprve zkoumat konzistenci soustavy rovnic;
• za druhé, Gaussova metoda dokáže řešit nejen SLAE, ve kterých se počet rovnic shoduje s počtem neznámých proměnných a hlavní matice systému je nesingulární, ale také soustavy rovnic, ve kterých se počet rovnic neshoduje s počet neznámých proměnných nebo determinant hlavní matice je roven nule;
• za třetí, Gaussova metoda vede k výsledkům s relativně malým počtem výpočetních operací.

Stručný přehled článku.

Nejprve uvedeme potřebné definice a zavedeme notaci.

Dále popíšeme algoritmus Gaussovy metody pro nejjednodušší případ, tedy pro soustavy lineárních algebraických rovnic, počet rovnic, ve kterých se shoduje s počtem neznámých proměnných a determinantem hlavní matice soustavy je nerovná se nule. Při řešení takových soustav rovnic je nejzřetelněji patrná podstata Gaussovy metody, kterou je sekvenční eliminace neznámých proměnných. Proto se Gaussově metodě říká také metoda sekvenční eliminace neznámých. Ukážeme si detailní řešení několika příkladů.

Na závěr budeme uvažovat o řešení Gaussovou metodou systémů lineárních algebraických rovnic, jejichž hlavní matice je buď pravoúhlá nebo singulární. Řešení takových systémů má některé vlastnosti, které si podrobně prověříme na příkladech.

Navigace na stránce.

Základní definice a zápisy.

Uvažujme systém p lineární rovnice s n neznámými (p se může rovnat n):

Kde jsou neznámé proměnné, jsou čísla (reálná nebo komplexní) a jsou volné členy.

Li , pak se nazývá soustava lineárních algebraických rovnic homogenní, v opačném případě - heterogenní.

Nazývá se množina hodnot neznámých proměnných, pro které se všechny rovnice systému stávají identitami rozhodnutí SLAU.

Pokud existuje alespoň jedno řešení soustavy lineárních algebraických rovnic, pak se nazývá kloub, v opačném případě - nespojující.

Pokud má SLAE jedinečné řešení, pak se nazývá určitý. Pokud existuje více než jedno řešení, zavolá se systém nejistý.

Říkají, že systém je napsaný souřadnicový tvar, pokud má podobu
.

Tento systém v matricový formulář záznamů má tvar , kde - hlavní matice SLAE, - matice sloupce neznámých proměnných, - matice volných členů.

Přidáme-li k matici A jako (n+1)-tý sloupec matici-sloupec volných členů, dostaneme tzv. rozšířená matice soustav lineárních rovnic. Rozšířená matice je obvykle označena písmenem T a sloupec volných výrazů je oddělen svislou čarou od zbývajících sloupců, tj.

Čtvercová matice A se nazývá degenerovat, je-li jeho determinant nulový. Jestliže , pak se volá matice A nedegenerované.

Je třeba poznamenat následující bod.

Provedeme-li se soustavou lineárních algebraických rovnic následující akce

• prohodit dvě rovnice,
• vynásobte obě strany libovolné rovnice libovolným a nenulovým reálným (nebo komplexním) číslem k,
• k oběma stranám libovolné rovnice přidejte odpovídající části jiné rovnice, vynásobené libovolným číslem k,

pak dostanete ekvivalentní systém, který má stejná řešení (nebo stejně jako ten původní nemá žádná řešení).

Pro rozšířenou matici systému lineárních algebraických rovnic budou tyto akce znamenat provedení elementárních transformací s řádky:

• prohození dvou linek,
• vynásobením všech prvků libovolné řady matice T nenulovým číslem k,
• přičtení k prvkům libovolného řádku matice odpovídající prvky jiného řádku, vynásobené libovolným číslem k.

Nyní můžeme přistoupit k popisu Gaussovy metody.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic, ve kterých je počet rovnic roven počtu neznámých a hlavní matice soustavy je nesingulární, pomocí Gaussovy metody.

Co bychom dělali ve škole, kdybychom dostali za úkol najít řešení soustavy rovnic? .

Někteří by to udělali.

Všimněte si, že přidávání na levou stranu druhé rovnice levá strana nejprve a na pravé straně - na pravé straně se můžete zbavit neznámých proměnných x 2 a x 3 a okamžitě najít x 1:

Nalezenou hodnotu x 1 =1 dosadíme do první a třetí rovnice soustavy:

Pokud obě strany třetí rovnice soustavy vynásobíme -1 a přičteme je k odpovídajícím částem první rovnice, zbavíme se neznámé proměnné x 3 a můžeme najít x 2:

Výslednou hodnotu x 2 = 2 dosadíme do třetí rovnice a najdeme zbývající neznámou proměnnou x 3:

Jiní by to udělali jinak.

Vyřešme první rovnici soustavy vzhledem k neznámé proměnné x 1 a výsledný výraz dosadíme do druhé a třetí rovnice soustavy, abychom z nich tuto proměnnou vyloučili:

Nyní vyřešme druhou rovnici systému pro x 2 a získaný výsledek dosadíme do třetí rovnice, abychom z ní odstranili neznámou proměnnou x 2:

Ze třetí rovnice soustavy je zřejmé, že x 3 =3. Z druhé rovnice zjistíme a z první rovnice dostaneme .

Známá řešení, že?

Nejzajímavější na tom je, že druhá metoda řešení je v podstatě metoda sekvenční eliminace neznámých, tedy Gaussova metoda. Když jsme vyjádřili neznámé proměnné (nejprve x 1, v další fázi x 2) a dosadili je do zbývajících rovnic systému, tím jsme je vyloučili. Prováděli jsme eliminaci, dokud v poslední rovnici nezůstala pouze jedna neznámá proměnná. Proces postupného odstraňování neznámých se nazývá přímou Gaussovou metodou. Po dokončení tah vpřed nyní máme možnost vypočítat neznámou proměnnou v poslední rovnici. S jeho pomocí najdeme další neznámou proměnnou z předposlední rovnice a tak dále. Proces postupného hledání neznámých proměnných při přechodu od poslední rovnice k první se nazývá inverzní ke Gaussově metodě.

Je třeba poznamenat, že když vyjádříme x 1 pomocí x 2 a x 3 v první rovnici a poté dosadíme výsledný výraz do druhé a třetí rovnice, vedou následující akce ke stejnému výsledku:

Takový postup skutečně také umožňuje eliminovat neznámou proměnnou x 1 z druhé a třetí rovnice systému:

Nuance s eliminací neznámých proměnných pomocí Gaussovy metody vznikají tehdy, když rovnice systému neobsahují nějaké proměnné.

Například v SLAU v první rovnici není žádná neznámá proměnná x 1 (jinými slovy koeficient před ní je nula). Nemůžeme tedy vyřešit první rovnici soustavy pro x 1, abychom tuto neznámou proměnnou odstranili ze zbývajících rovnic. Cesta z této situace je prohození rovnic systému. Protože uvažujeme soustavy lineárních rovnic, jejichž determinanty hlavních matic jsou odlišné od nuly, vždy existuje rovnice, ve které je proměnná, kterou potřebujeme, přítomna, a tuto rovnici můžeme přeskupit do požadované polohy. Pro náš příklad stačí prohodit první a druhou rovnici soustavy , pak můžete vyřešit první rovnici pro x 1 a vyloučit ji ze zbývajících rovnic systému (ačkoli x 1 již ve druhé rovnici není).

Doufáme, že pochopíte podstatu.

Pojďme si popsat Algoritmus Gaussovy metody.

Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit systém n lineárních algebraických rovnic s n neznámými proměnné formuláře , a nechť je determinant jeho hlavní matice odlišný od nuly.

Budeme předpokládat, že , protože toho můžeme vždy dosáhnout výměnou rovnic soustavy. Vynechme neznámou proměnnou x 1 ze všech rovnic soustavy, počínaje druhou. Abychom to udělali, ke druhé rovnici soustavy přidáme první, vynásobenou , ke třetí rovnici přidáme první, vynásobenou a tak dále, k n-té rovnici přidáme první, vynásobenou . Systém rovnic po takových transformacích nabude tvaru

kde a .

Ke stejnému výsledku bychom dospěli, kdybychom x 1 vyjádřili pomocí jiných neznámých proměnných v první rovnici soustavy a výsledný výraz dosadili do všech ostatních rovnic. Proměnná x 1 je tedy vyloučena ze všech rovnic, počínaje druhou.

Dále postupujeme obdobně, ale pouze s částí výsledné soustavy, která je vyznačena na obrázku

Abychom to udělali, ke třetí rovnici soustavy přidáme druhou, vynásobenou , ke čtvrté rovnici přidáme druhou, vynásobenou , atd., k n-té rovnici přidáme druhou, vynásobenou . Systém rovnic po takových transformacích nabude tvaru

kde a . Proměnná x 2 je tedy vyloučena ze všech rovnic, počínaje třetí.

Dále přistoupíme k eliminaci neznámého x 3, přičemž obdobně postupujeme s částí systému vyznačenou na obrázku

Pokračujeme tedy v přímém postupu Gaussovy metody, dokud systém nezíská formu

Od tohoto okamžiku začínáme obráceně Gaussovy metody: x n vypočítáme z poslední rovnice jako , pomocí získané hodnoty x n zjistíme x n-1 z předposlední rovnice atd., zjistíme x 1 z první rovnice .

Podívejme se na algoritmus na příkladu.

Příklad.

Gaussova metoda.

Řešení.

Koeficient a 11 je jiný než nula, přistoupíme tedy k přímé progresi Gaussovy metody, tedy k vyloučení neznámé proměnné x 1 ze všech rovnic soustavy kromě první. Chcete-li to provést, přidejte k levé a pravé straně druhé, třetí a čtvrté rovnice levou a pravou stranu první rovnice vynásobené , resp. A :

Neznámá proměnná x 1 byla eliminována, přejděme k eliminaci x 2 . K levé a pravé straně třetí a čtvrté rovnice soustavy přidáme levou a pravou stranu druhé rovnice, vynásobené příslušně A :

Abychom dokončili dopřednou progresi Gaussovy metody, musíme z poslední rovnice systému odstranit neznámou proměnnou x 3. Přidejme k levé a pravé straně čtvrté rovnice, respektive levou a pravá strana třetí rovnice násobeno :

Můžete začít obráceně Gaussovy metody.

Z poslední rovnice, kterou máme ,
ze třetí rovnice dostaneme,
od druhého,
z toho prvního.

Pro kontrolu můžete získané hodnoty neznámých proměnných dosadit do původní soustavy rovnic. Všechny rovnice se změní na identity, což naznačuje, že řešení pomocí Gaussovy metody bylo nalezeno správně.

Odpovědět:

Nyní uveďme řešení stejného příkladu pomocí Gaussovy metody v maticovém zápisu.

Příklad.

Najděte řešení soustavy rovnic Gaussova metoda.

Řešení.

Rozšířená matice systému má tvar . V horní části každého sloupce jsou neznámé proměnné, které odpovídají prvkům matice.

Přímý přístup Gaussovy metody zde zahrnuje redukci rozšířené matice systému do lichoběžníkového tvaru pomocí elementárních transformací. Tento proces je podobný eliminaci neznámých proměnných, kterou jsme provedli se systémem v souřadnicové formě. Nyní uvidíte toto.

Transformujme matici tak, aby všechny prvky v prvním sloupci, počínaje druhým, byly nulové. Za tímto účelem k prvkům druhého, třetího a čtvrtého řádku přidáme odpovídající prvky prvního řádku vynásobené , a podle toho:

Dále transformujeme výslednou matici tak, aby ve druhém sloupci všechny prvky, počínaje třetím, byly nulové. To by odpovídalo eliminaci neznámé proměnné x 2 . Za tímto účelem k prvkům třetího a čtvrtého řádku přidáme odpovídající prvky prvního řádku matice, vynásobené resp. A :

Zbývá vyloučit neznámou proměnnou x 3 z poslední rovnice soustavy. Za tímto účelem k prvkům posledního řádku výsledné matice přidáme odpovídající prvky předposledního řádku, vynásobené :

Je třeba poznamenat, že tato matice odpovídá soustavě lineárních rovnic

který byl získán dříve po pohybu vpřed.

Je čas se vrátit. V maticovém zápisu inverze ke Gaussově metodě zahrnuje transformaci výsledné matice tak, aby matice označená na obrázku

se stal diagonálním, to znamená, že nabyl tvaru

kde jsou nějaká čísla.

Tyto transformace jsou podobné dopředným transformacím Gaussovy metody, ale neprovádějí se od prvního řádku k poslednímu, ale od posledního k prvnímu.

Přidejte k prvkům třetího, druhého a prvního řádku odpovídající prvky posledního řádku, vynásobené , dál a dál respektive:

Nyní přidejte k prvkům druhého a prvního řádku odpovídající prvky třetího řádku, vynásobené respektive:

V posledním kroku reverzní Gaussovy metody k prvkům prvního řádku přidáme odpovídající prvky druhého řádku, vynásobené:

Výsledná matice odpovídá soustavě rovnic , odkud najdeme neznámé proměnné.

Odpovědět:

POZNÁMKA.

Při použití Gaussovy metody k řešení soustav lineárních algebraických rovnic je třeba se vyhnout přibližným výpočtům, protože to může vést ke zcela nesprávným výsledkům. Doporučujeme nezaokrouhlovat desetinná místa. Lepší od desetinná místa přejít na obyčejné zlomky.

Příklad.

Vyřešte soustavu tří rovnic pomocí Gaussovy metody .

Řešení.

Všimněte si, že v tomto příkladu mají neznámé proměnné jiné označení (ne x 1, x 2, x 3, ale x, y, z). Přejděme k obyčejným zlomkům:

Vynechme neznámou x z druhé a třetí rovnice soustavy:

Ve výsledném systému neznámá proměnná y chybí ve druhé rovnici, ale y je přítomna ve třetí rovnici, proto prohoďme druhou a třetí rovnici:

Tím je přímá progrese Gaussovy metody dokončena (není nutné vyloučit y ze třetí rovnice, protože tato neznámá proměnná již neexistuje).

Začněme opačným pohybem.

Z poslední rovnice najdeme ,
od předposledního


z první rovnice, kterou máme

Odpovědět:

X = 10, y = 5, z = -20.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic, ve kterých se počet rovnic neshoduje s počtem neznámých nebo je hlavní matice soustavy singulární, pomocí Gaussovy metody.

Soustavy rovnic, jejichž hlavní matice je pravoúhlá nebo čtvercová singulární, nemusí mít žádná řešení, mohou mít jediné řešení nebo mohou mít nekonečný počet řešení.

Nyní pochopíme, jak nám Gaussova metoda umožňuje stanovit kompatibilitu či nekonzistenci soustavy lineárních rovnic a v případě její kompatibility určit všechna řešení (nebo jediné řešení).

V zásadě zůstává proces eliminace neznámých proměnných v případě takových SLAE stejný. Nicméně stojí za to se podrobně zabývat některými situacemi, které mohou nastat.

Přejděme k nejdůležitější fázi.

Předpokládejme tedy, že systém lineárních algebraických rovnic po dokončení dopředné progrese Gaussovy metody získá tvar a ani jedna rovnice nebyla zredukována (v tomto případě bychom dospěli k závěru, že systém je nekompatibilní). Nabízí se logická otázka: „Co dělat dál“?

Zapišme si neznámé proměnné, které jsou na prvním místě ve všech rovnicích výsledného systému:

V našem příkladu to jsou x 1, x 4 a x 5. Na levých stranách rovnic soustavy ponecháme pouze ty členy, které obsahují zapsané neznámé proměnné x 1, x 4 a x 5, zbývající členy přeneseme na pravou stranu rovnic s opačným znaménkem:

Dejme neznámým proměnným, které jsou na pravé straně rovnic, libovolné hodnoty, kde - libovolná čísla:

Poté pravé strany všech rovnic našeho SLAE obsahují čísla a můžeme přistoupit k obrácení Gaussovy metody.

Z poslední rovnice soustavy, kterou máme, z předposlední rovnice najdeme, z první rovnice dostaneme

Řešením soustavy rovnic je množina hodnot neznámých proměnných

Dávání čísel různé hodnoty, získáme různá řešení soustavy rovnic. To znamená, že náš systém rovnic má nekonečně mnoho řešení.

Odpovědět:

Kde - libovolná čísla.

Pro konsolidaci materiálu podrobně rozebereme řešení několika dalších příkladů.

Příklad.

Rozhodni se homogenní systém lineární algebraické rovnice Gaussova metoda.

Řešení.

Vynechme neznámou proměnnou x z druhé a třetí rovnice soustavy. Za tímto účelem k levé a pravé straně druhé rovnice přidáme levou a pravou stranu první rovnice, vynásobené , a k levé a pravé straně třetí rovnice přidáme levou a pravou stranu první rovnice. pravé strany první rovnice, vynásobené:

Nyní vynechme y ze třetí rovnice výsledné soustavy rovnic:

Výsledný SLAE je ekvivalentní systému .

Na levé straně rovnic soustavy ponecháme pouze členy obsahující neznámé proměnné x a y a členy s neznámou proměnnou z přesuneme na pravou stranu:

Nechť je dán systém lineárních algebraických rovnic, který je třeba vyřešit (najít takové hodnoty neznámých xi, které změní každou rovnici systému na rovnost).

Víme, že systém lineárních algebraických rovnic může:

1) Nemít žádná řešení (být nespojující).
2) Mít nekonečně mnoho řešení.
3) Mít jediné řešení.

Jak si pamatujeme, Cramerovo pravidlo a maticová metoda jsou nevhodné v případech, kdy systém má nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní. Gaussova metoda – nejvýkonnější a nejuniverzálnější nástroj pro hledání řešení jakéhokoli systému lineárních rovnic, který v každém případě dovede nás k odpovědi! Algoritmus samotné metody v celku tři případy funguje stejně. Pokud Cramerova a maticová metoda vyžadují znalost determinantů, pak k aplikaci Gaussovy metody potřebujete pouze znalosti aritmetické operace, která ji zpřístupňuje i žákům základních škol.

Rozšířené maticové transformace ( toto je matice systému - matice složená pouze z koeficientů neznámých plus sloupec volných členů) soustavy lineárních algebraických rovnic v Gaussově metodě:

1) S troki matrice Umět přeskupit na nějakých místech.

2) pokud se v matici objevují (nebo existují) proporcionální (jako zvláštní případ – identické) řádky, měli byste vymazat Všechny tyto řádky jsou z matice kromě jednoho.

3) pokud se při transformacích objeví v matici nulový řádek, pak by také měl být vymazat.

4) řádek matice může být násobit (dělit) na jakékoli číslo jiné než nula.

5) do řádku matice můžete přidat další řetězec vynásobený číslem, odlišný od nuly.

V Gaussově metodě elementární transformace nemění řešení soustavy rovnic.

Gaussova metoda se skládá ze dvou fází:

1. „Přímý pohyb“ – pomocí elementárních transformací přivést rozšířenou matici soustavy lineárních algebraických rovnic do „trojúhelníkového“ stupňovitého tvaru: prvky rozšířené matice umístěné pod hlavní diagonálou jsou rovny nule (pohyb shora dolů). Například k tomuto typu:

Chcete-li to provést, proveďte následující kroky:

1) Uvažujme první rovnici soustavy lineárních algebraických rovnic a koeficient pro x 1 je roven K. Druhá, třetí atd. rovnice transformujeme následovně: každou rovnici (koeficienty neznámých včetně volných členů) vydělíme koeficientem neznámé x 1 v každé rovnici a vynásobíme K. Poté odečteme první od druhé rovnice ( koeficienty neznámých a volné členy). Pro x 1 ve druhé rovnici získáme koeficient 0. Od třetí transformované rovnice odečítáme první rovnici, dokud všechny rovnice kromě první, pro neznámou x 1, nebudou mít koeficient 0.

2) Přejdeme k další rovnici. Nechť je to druhá rovnice a koeficient pro x 2 se rovná M. Se všemi „nižšími“ rovnicemi postupujeme tak, jak je popsáno výše. Tedy „pod“ neznámou x 2 budou ve všech rovnicích nuly.

3) Přejděte k další rovnici a tak dále, dokud nezůstane poslední neznámá a transformovaný volný člen.

1. „Zpětným pohybem“ Gaussovy metody je získat řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (pohyb „zdola nahoru“). Z poslední „dolní“ rovnice dostaneme první řešení – neznámou x n. K tomu vyřešíme elementární rovnici A * x n = B. Ve výše uvedeném příkladu x 3 = 4. Nalezenou hodnotu dosadíme do „horní“ další rovnice a vyřešíme s ohledem na další neznámou. Například x 2 – 4 = 1, tzn. x 2 = 5. A tak dále, dokud nenajdeme všechny neznámé.

Příklad.

Pojďme řešit soustavu lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody, jak radí někteří autoři:

Zapišme si rozšířenou matici systému a pomocí elementárních transformací ji uveďme do stupňovité podoby:

Podíváme se na levý horní „krok“. Měli bychom tam jeden mít. Problém je, že v prvním sloupci nejsou vůbec žádné jednotky, takže přeskupení řádků nic nevyřeší. V takových případech musí být jednotka organizována pomocí elementární transformace. To lze obvykle provést několika způsoby. Pojďme to udělat:
1 krok . K prvnímu řádku přidáme druhý řádek, vynásobený –1. To znamená, že jsme v duchu vynásobili druhý řádek –1 a přidali první a druhý řádek, zatímco druhý řádek se nezměnil.

Nyní vlevo nahoře je „mínus jedna“, což nám docela vyhovuje. Každý, kdo chce získat +1, může provést další akci: vynásobit první řádek –1 (změnit jeho znaménko).

Krok 2 . První řádek vynásobený 5 byl přidán k druhému řádku a první řádek vynásobený 3 byl přidán ke třetímu řádku.

Krok 3 . První řádek byl vynásoben –1, v zásadě je to pro krásu. Změnil se i znak třetí řady a posunul se na druhé místo, takže na druhém „kroku“ jsme měli požadovanou jednotku.

Krok 4 . Třetí řádek byl přidán k druhému řádku, vynásobený 2.

Krok 5 . Třetí řádek byl rozdělen 3.

Znak, který označuje chybu ve výpočtech (vzácněji překlep), je „špatný“ spodní řádek. To znamená, že pokud dostaneme něco jako (0 0 11 |23) níže, a tedy 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, pak s vysokou mírou pravděpodobnosti můžeme říci, že došlo k chybě během elementárního transformace.

Udělejme to obráceně, při návrhu příkladů se často nepřepisuje samotný systém, ale rovnice jsou „převzaty přímo z dané matice“. Zpětný pohyb, připomínám, funguje zdola nahoru. V tomto příkladu byl výsledkem dárek:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, tedy x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odpovědět:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Pojďme vyřešit stejný systém pomocí navrženého algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vydělte druhou rovnici 5 a třetí 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vynásobením druhé a třetí rovnice čtyřmi dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odečtěte první rovnici od druhé a třetí rovnice, máme:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vydělte třetí rovnici 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vynásobte třetí rovnici číslem 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odečtením druhé od třetí rovnice získáme „stupňovitou“ rozšířenou matici:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Protože se chyba nahromadila během výpočtů, dostaneme x 3 = 0,96 nebo přibližně 1.

x 2 = 3 a x 1 = –1.

Při řešení tímto způsobem se ve výpočtech nikdy nespletete a i přes chyby výpočtu se dočkáte výsledku.

Tento způsob řešení soustavy lineárních algebraických rovnic je snadno programovatelný a nebere v úvahu specifické funkce koeficienty pro neznámé, protože v praxi (v ekonomických a technických výpočtech) se musí pracovat s neceločíselnými koeficienty.

Přeji ti úspěch! Uvidíme se ve třídě! Tutor.

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

Nechť je dána soustava, ∆≠0. (1)
Gaussova metoda je metoda postupného odstraňování neznámých.

Podstatou Gaussovy metody je transformace (1) na systém s trojúhelníkovou maticí, ze které se pak postupně (obráceně) získávají hodnoty všech neznámých. Podívejme se na jedno z výpočetních schémat. Tento obvod se nazývá jednodílný obvod. Podívejme se tedy na tento diagram. Nechť a 11 ≠0 (vedoucí prvek) vydělí první rovnici číslem 11. Dostaneme
(2)
Pomocí rovnice (2) je snadné eliminovat neznámé x 1 ze zbývajících rovnic systému (k tomu stačí od každé rovnice odečíst rovnici (2), předem vynásobenou odpovídajícím koeficientem pro x 1) , to znamená, že v prvním kroku získáme
.
Jinými slovy, v kroku 1 se každý prvek následujících řádků, počínaje druhým, rovná rozdílu mezi původním prvkem a součinem jeho „projekce“ na první sloupec a první (transformovaný) řádek.
Poté, když ponecháme první rovnici, provedeme podobnou transformaci nad zbývajícími rovnicemi soustavy získané v prvním kroku: vybereme z nich rovnici s vedoucím prvkem a s její pomocí vyloučíme x 2 ze zbývajících rovnic. rovnic (krok 2).
Po n krocích místo (1) získáme ekvivalentní systém
(3)
V první fázi tak získáme trojúhelníkový systém (3). Tato fáze se nazývá dopředný zdvih.
Ve druhé fázi (reverzní) najdeme postupně od (3) hodnoty x n, x n -1, ..., x 1.
Výsledné řešení označme jako x 0 . Pak je rozdíl ε=b-A x 0 nazývaný zbytkový.
Pokud ε=0, pak nalezené řešení x 0 je správné.

Výpočty pomocí Gaussovy metody se provádějí ve dvou fázích:

1. První fáze se nazývá dopředná metoda. V první fázi je původní systém převeden do trojúhelníkového tvaru.
2. Druhý stupeň se nazývá zpětný zdvih. Ve druhé fázi je řešen trojúhelníkový systém ekvivalentní původnímu.

Koeficienty a 11, a 22, ... se nazývají vedoucí prvky.
V každém kroku se předpokládalo, že vedoucí prvek je nenulový. Pokud tomu tak není, pak může být jako vedoucí prvek použit jakýkoli jiný prvek, jako by se přeskupovaly rovnice systému.

Účel Gaussovy metody

Gaussova metoda je určena pro řešení soustav lineárních rovnic. Odkazuje na metody přímého řešení.

Typy Gaussovy metody

1. Klasická Gaussova metoda;
2. Modifikace Gaussovy metody. Jednou z modifikací Gaussovy metody je schéma s volbou hlavního prvku. Charakteristickým rysem Gaussovy metody s volbou hlavního prvku je takové přeskupení rovnic tak, že v k-tém kroku se vedoucí prvek ukáže jako největší prvek v k-tém sloupci.
3. Jordano-Gaussova metoda;

Rozdíl mezi Jordano-Gaussovou metodou a klasickou Gaussova metoda spočívá v aplikaci pravidla obdélníku, kdy směr hledání řešení probíhá po hlavní diagonále (transformace na matici identity). V Gaussově metodě dochází ke směru hledání řešení podél sloupců (transformace na systém s trojúhelníkovou maticí).
Pojďme si ten rozdíl ilustrovat Jordano-Gaussova metoda z Gaussovy metody s příklady.

Příklad řešení pomocí Gaussovy metody
Pojďme vyřešit systém:

Pro snazší výpočet prohodíme řádky:

Vynásobme 2. řádek číslem (2). Přidejte 3. řádek k 2

Vynásobte 2. řádek číslem (-1). Přidejte 2. řádek k 1

Z 1. řádku vyjádříme x 3:
Z 2. řádku vyjádříme x 2:
Ze 3. řádku vyjádříme x 1:

Příklad řešení pomocí Jordano-Gaussovy metody
Vyřešme stejný SLAE pomocí Jordano-Gaussovy metody.

Postupně vybereme rozlišovací prvek RE, který leží na hlavní diagonále matice.
Rozlišovací prvek je roven (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - rozlišovací prvek (1), A a B - maticové prvky tvořící obdélník s prvky STE a RE.
Ukažme si výpočet každého prvku ve formě tabulky:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Rozlišovací prvek je roven (3).
Místo rozlišovacího prvku dostaneme 1 a do samotného sloupce zapíšeme nuly.
Všechny ostatní prvky matice, včetně prvků sloupce B, jsou určeny pravidlem obdélníku.
K tomu vybereme čtyři čísla, která se nacházejí ve vrcholech obdélníku a vždy obsahují rozlišovací prvek RE.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Rozlišovací prvek je (-4).
Místo rozlišovacího prvku dostaneme 1 a do samotného sloupce zapíšeme nuly.
Všechny ostatní prvky matice, včetně prvků sloupce B, jsou určeny pravidlem obdélníku.
K tomu vybereme čtyři čísla, která se nacházejí ve vrcholech obdélníku a vždy obsahují rozlišovací prvek RE.
Ukažme si výpočet každého prvku ve formě tabulky:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Odpovědět: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementace Gaussovy metody

Gaussova metoda je implementována v mnoha programovacích jazycích, zejména: Pascal, C++, php, Delphi a existuje i online implementace Gaussovy metody.

Pomocí Gaussovy metody

Aplikace Gaussovy metody v teorii her

V teorii her se při hledání maximinové optimální strategie hráče sestavuje soustava rovnic, která se řeší Gaussovou metodou.

Aplikace Gaussovy metody při řešení diferenciálních rovnic

Chcete-li najít konkrétní řešení diferenciální rovnice, najděte nejprve derivace příslušného stupně pro zapsané parciální řešení (y=f(A,B,C,D)), které se dosadí do původní rovnice. Další k nalezení proměnné A,B,C,D soustava rovnic je sestavena a řešena Gaussovou metodou.

Aplikace Jordano-Gaussovy metody v lineárním programování

V lineární programování zejména v simplexové metodě se k transformaci simplexové tabulky při každé iteraci používá pravidlo obdélníku, které používá Jordano-Gaussovu metodu.

Carl Friedrich Gauss, největší matematik na dlouhou dobu váhal a vybíral mezi filozofií a matematikou. Možná to bylo právě toto myšlení, které mu umožnilo vytvořit tak znatelné „dědictví“ ve světové vědě. Zejména vytvořením "Gaussovy metody" ...

Články na tomto webu se téměř 4 roky zabývaly školní výchovou především z pohledu filozofie, principy (ne)porozumění vnášené do myslí dětí. Přichází čas na další specifika, příklady a metody... Věřím, že právě toto je přístup ke známému, matoucímu a Důležité oblasti života přináší lepší výsledky.

My lidé jsme navrženi tak, že bez ohledu na to, o čem mluvíme abstraktní myšlení, Ale porozumění Vždy děje prostřednictvím příkladů. Nejsou-li příklady, pak je nemožné pochopit principy... Stejně jako se nelze dostat na vrchol hory jinak, než projít celý svah od úpatí.

To samé se školou: zatím živé příběhy Nestačí, že ho instinktivně i nadále považujeme za místo, kde se děti učí rozumět.

Například výuka Gaussovy metody...

Gaussova metoda v 5. třídě školy

Dovolte mi provést rezervaci hned: Gaussova metoda má mnohem více široké uplatnění, například při řešení soustav lineárních rovnic. Co si budeme povídat, odehrává se v 5. třídě. Tento začala Když pochopíte, které, je mnohem snazší porozumět „pokročilejším možnostem“. V tomto článku mluvíme o Gaussova metoda (metoda) pro nalezení součtu řady

Zde je příklad, který jsem si přinesl ze školy mladší syn, navštěvující 5. třídu na moskevském gymnáziu.

Školní ukázka Gaussovy metody

Učitel matematiky používá interaktivní tabule (moderní metodyškolení) předvedl dětem prezentaci historie „vytvoření metody“ od malého Gausse.

Učitelka zmlátila malého Karla (zastaralá metoda, která se dnes ve školách nepoužívá), protože on

místo postupného sčítání čísel od 1 do 100 najděte jejich součet všimlže dvojice čísel stejně vzdálených od okrajů aritmetické posloupnosti se sčítají ke stejnému číslu. například 100 a 1, 99 a 2. Po spočítání počtu takových párů malý Gauss téměř okamžitě vyřešil problém navržený učitelem. Za což byl před zraky užaslé veřejnosti popraven. Aby ostatní byli odrazeni od přemýšlení.

Co udělal malý Gauss? rozvinutý číselný smysl? Všiml jsem si nějakou funkcičíselná řada s konstantním krokem (aritmetická progrese). A přesně tohle později z něj udělal velkého vědce, kteří vědí, jak si všimnout, mající cit, instinkt porozumění.

To je důvod, proč je matematika cenná, rozvíjející se schopnost vidět konkrétně obecně - abstraktní myšlení . Proto většina rodičů a zaměstnavatelů instinktivně považovat matematiku za důležitou disciplínu ...

„Pak se musíte naučit matematiku, protože ta vám dá rozum do pořádku.
M.V.Lomonosov“.

Stoupenci těch, kteří budoucí géniové bičovali tyčemi, však z Methoda udělali něco opačného. Jak řekl můj přítel před 35 lety vědecký poradce: "Naučili se otázku." Nebo jak včera řekl můj nejmladší syn o Gaussově metodě: "Možná z toho nemá cenu dělat velkou vědu, co?"

Důsledky kreativity „vědců“ jsou patrné na úrovni současné školní matematiky, na úrovni její výuky a na chápání „královny věd“ většinou.

Nicméně pokračujme...

Metody vysvětlení Gaussovy metody v 5. ročníku školy

Učitel matematiky na moskevském gymnáziu, vysvětlující Gaussovu metodu podle Vilenkina, úkol zkomplikoval.

Co když rozdíl (krok) aritmetické progrese není jedno, ale jiné číslo? Například 20.

Problém, který dal žákům páté třídy:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Než se seznámíme s gymnaziální metodou, podívejme se na internet: jak to dělají učitelé a učitelé matematiky?...

Gaussova metoda: vysvětlení č. 1

Známý lektor na svém kanálu YOUTUBE uvádí následující důvody:

"Zapišme čísla od 1 do 100 takto:

nejprve řadu čísel od 1 do 50 a přesně pod ní další řadu čísel od 50 do 100, ale v opačném pořadí“

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Všimněte si prosím: součet každého páru čísel z horního a spodního řádku je stejný a rovná se 101! Spočítejte počet párů, je to 50 a vynásobte součet jednoho páru počtem párů! Voila: The odpověď je připravena!"

"Pokud jsi nerozuměl, nezlob se!" zopakoval učitel třikrát během výkladu. "Tuto metodu budeš používat v 9. třídě!"

Gaussova metoda: vysvětlení č. 2

Jiný tutor, méně známý (soudě podle počtu zobrazení), zaujímá více vědecký přístup a nabízí algoritmus řešení o 5 bodech, který musí být dokončen postupně.

Pro nezasvěcené je 5 jedno z Fibonacciho čísel tradičně považovaných za magické. 5-ti kroková metoda je vždy vědečtější než například 6-kroková metoda. ...A to není náhoda, s největší pravděpodobností je autor skrytým zastáncem Fibonacciho teorie

Dana aritmetický postup: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritmus pro nalezení součtu čísel v řadě pomocí Gaussovy metody:

Krok 1: přepište danou sekvenci čísel obráceně, přesně pod tím prvním.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Krok 2: vypočítejte součet dvojic čísel umístěných ve svislých řadách: 260.

Krok 3: Spočítejte, kolik takových dvojic je v číselné řadě. Chcete-li to provést, odečtěte minimum od maximálního počtu číselné řady a vydělte velikostí kroku: (256 - 4) / 6 = 42.

Zároveň je potřeba si pamatovat plus jedno pravidlo : k výslednému kvocientu musíme přidat jedničku: jinak dostaneme výsledek, který je o jednu menší než skutečný počet dvojic: 42 + 1 = 43.

Krok 4: Vynásobte součet jedné dvojice čísel počtem dvojic: 260 x 43 = 11 180

Krok 5: protože jsme vypočítali částku dvojice čísel, pak by se výsledná částka měla vydělit dvěma: 11 180 / 2 = 5590.

Toto je požadovaný součet aritmetického postupu od 4 do 256 s rozdílem 6!

Gaussova metoda: výklad v 5. třídě na moskevském gymnáziu

Zde je návod, jak vyřešit problém nalezení součtu řady:

20+40+60+ ... +460+480+500

v 5. třídě moskevského gymnázia, Vilenkinova učebnice (podle mého syna).

Po předvedení prezentace učitel matematiky ukázal několik příkladů pomocí Gaussovy metody a zadal třídě úkol najít součet čísel v řadě v krocích po 20.

To vyžadovalo následující:

Krok 1: nezapomeňte si zapsat všechna čísla v řadě do sešitu od 20 do 500 (v krocích po 20).

Krok 2: zapište po sobě jdoucí členy - dvojice čísel: první s posledním, druhý s předposledním atd. a vypočítat jejich výši.

Krok 3: vypočítejte „součet součtů“ a najděte součet celé řady.

Jak vidíte, je to kompaktnější a účinná technika: číslo 3 je také členem Fibonacciho posloupnosti

Moje komentáře ke školní verzi Gaussovy metody

Velký matematik by si rozhodně zvolil filozofii, kdyby předvídal, v co jeho „metodu“ promění jeho následovníci. učitel němčiny, který Karla bičoval pruty. Viděl by symboliku, dialektickou spirálu a nehynoucí hloupost „učitelů“, snaží se změřit harmonii živého matematického myšlení s algebrou nedorozumění ....

Mimochodem: věděli jste. že naše školství má kořeny v německé škole 18. a 19. století?

Gauss si ale vybral matematiku.

Co je podstatou jeho metody?

V zjednodušení. V pozorování a uchopení jednoduché vzory čísel. V proměnit aritmetiku suché školy v zajímavá a vzrušující činnost aktivující v mozku touhu pokračovat, spíše než blokovat drahou mentální aktivitu.

Je možné použít některou z uvedených „modifikace Gaussovy metody“ k výpočtu součtu čísel aritmetické posloupnosti téměř okamžitě? Malý Karl by se podle „algoritmů“ zaručeně vyhnul výprasku, vypěstoval si odpor k matematice a v zárodku by potlačoval své tvůrčí pudy.

Proč lektor tak vytrvale radil páťákům „nebát se nepochopení“ metody a přesvědčoval je, že „takové“ problémy budou řešit už v 9. třídě? Psychologicky negramotné jednání. Byl to dobrý tah: "Uvidíme se již v 5. třídě můžeteřešte problémy, které dokončíte až za 4 roky! Jaký jsi skvělý chlapík!"

Pro použití Gaussovy metody stačí úroveň třídy 3, kdy normální děti už umí sčítat, násobit a dělit 2-3 ciferná čísla. Problémy vznikají kvůli neschopnosti dospělých učitelů, kteří jsou „mimo kontakt“ vysvětlit ty nejjednodušší věci normálním lidským jazykem, nemluvě o matematice... Nedokážou vzbuzovat zájem o matematiku a zcela odradit i ty, kteří jsou „ schopný."

Nebo, jak řekl můj syn: „udělat z toho velkou vědu“.

Jak v obecný případ) zjistit, které číslo má být použito k „rozšíření“ evidence čísel v metodě č. 1?

Co dělat, když se ukáže, že počet členů série je zvláštní?

Proč měnit v „Pravidlo plus 1“ něco, co by dítě mohlo jednoduše Učit se dokonce i v první třídě, kdybych si vyvinul „smysl pro čísla“ a nepamatoval si"počítat do deseti"?

A nakonec: kam se poděla NULA, geniální vynález, který je starý více než 2000 let a kterému se moderní učitelé matematiky vyhýbají?!

Gaussova metoda, moje vysvětlení

Moje žena a já jsme vysvětlili tuto „metodu“ našemu dítěti, zdá se, ještě před školou...

Jednoduchost místo složitosti nebo hra otázek a odpovědí

"Podívej, tady jsou čísla od 1 do 100. Co vidíš?"

Nejde o to, co přesně dítě vidí. Trik je přimět ho, aby se podíval.

"Jak je můžeš dát dohromady?" Syn si uvědomil, že takové otázky se nekladou „jen tak“ a je třeba se na otázku dívat „nějak jinak, jinak než obvykle“

Nevadí, když dítě hned vidí řešení, je to nepravděpodobné. Je důležité, aby on přestal se bát podívat, nebo jak já říkám: „přesunul úkol“. To je začátek cesty k porozumění

"Co je jednodušší: přidat například 5 a 6 nebo 5 a 95?" Vůdčí otázka... Ale jakýkoli výcvik spočívá v „vedení“ člověka k „odpovědi“ – jakýmkoli způsobem, který je pro něj přijatelný.

V této fázi již mohou vzniknout dohady o tom, jak „ušetřit“ na výpočtech.

Vše, co jsme udělali, bylo naznačení: „frontální, lineární“ metoda počítání není jediná možná. Pokud to dítě pochopí, později přijde na mnoho dalších takových metod, protože je to zajímavé!!! A rozhodně se vyhne „nepochopení“ matematiky a nebude se jí cítit znechuceně. Získal výhru!

Li objeveno dítěže sčítání dvojic čísel, které dávají dohromady sto, je pak hračka "aritmetický postup s rozdílem 1"- pro dítě dost ponurá a nezajímavá věc - najednou našel pro něj život . Pořádek se vynořil z chaosu a to vždy vyvolává nadšení: tak jsme stvořeni!

Otázka k zodpovězení: proč by po vhledu, který dítě získalo, mělo být znovu nuceno do rámce suchých algoritmů, které jsou v tomto případě také funkčně zbytečné?!

Proč nutit hloupé přepisy? pořadová čísla v sešitě: aby ani schopní neměli jedinou šanci na porozumění? Statisticky, samozřejmě, ale masové vzdělávání je zaměřeno na „statistiku“...

Kam se poděla nula?

A přesto je sčítání čísel, která dávají dohromady 100, pro mysl mnohem přijatelnější než ta, která dávají dohromady 101...

„Metoda Gaussovy školy“ vyžaduje přesně toto: bezmyšlenkovitě složit dvojice čísel stejně vzdálené od středu progrese, Navzdory všemu.

Co když se podíváš?

Přesto je nula největším vynálezem lidstva, který je starý více než 2000 let. A učitelé matematiky ho dál ignorují.

Je mnohem jednodušší transformovat řadu čísel začínající 1 na řadu začínající 0. Součet se nezmění, že? Musíte přestat „myslet v učebnicích“ a začít hledat... A podívejte se, že dvojice se součtem 101 mohou být zcela nahrazeny dvojicemi se součtem 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Jak zrušit „pravidlo plus 1“?

Abych byl upřímný, poprvé jsem o takovém pravidle slyšel od onoho lektora YouTube...

Co mám dělat, když potřebuji určit počet členů řady?

Podívám se na sekvenci:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a až budete úplně unavení, přejděte k jednodušší řadě:

1, 2, 3, 4, 5

a já si myslím: když odečteš jedničku od 5, dostaneš 4, ale mám naprosto jasno Chápu 5 čísel! Proto musíte jeden přidat! Rozvinul se cit pro čísla základní škola, navrhuje: i když existuje celý Google členů řady (10 až 1000), vzorec zůstane stejný.

Jaká jsou sakra pravidla?...

Abyste za pár nebo tři roky zaplnili veškerý prostor mezi čelem a zátylkem a přestali přemýšlet? Jak si vydělat na chleba a máslo? Koneckonců, pohybujeme se ve stejných řadách do éry digitální ekonomiky!

Více o Gaussově školní metodě: „Proč z toho dělat vědu?...“

Ne nadarmo jsem zveřejnil snímek obrazovky z notebooku mého syna...

"Co se stalo ve třídě?"

"No, hned jsem počítal, zvedl ruku, ale ona se nezeptala. Zatímco ostatní počítali, začal jsem dělat domácí úkoly v ruštině, abych neztrácel čas. Když pak ostatní dopsali (? ??), zavolala mě na tabuli. Řekl jsem odpověď."

"To je pravda, ukaž mi, jak jsi to vyřešil," řekl učitel. Ukázal jsem to. Řekla: "Špatně, musíte počítat, jak jsem ukázal!"

"Je dobře, že nedala špatnou známku. A donutila mě napsat jim do sešitu "průběh řešení" po svém. Proč z toho dělat velkou vědu?..."

Hlavní zločin učitele matematiky

Těžko potom ten incident Carl Gauss prožíval vysoký pocit úcty ke svému učiteli matematiky na škole. Ale kdyby věděl jak stoupenci toho učitele naruší samotnou podstatu metody...bude řvát rozhořčením a prostřednictvím Světové organizace duševní vlastnictví WIPO dosáhla zákazu používání svého čestného jména ve školních učebnicích!...

V jaké hlavní chybaškolní přístup? Nebo, jak jsem to řekl, zločin školních učitelů matematiky na dětech?

Algoritmus nedorozumění

Co dělají školní metodici, z nichž drtivá většina neví, jak myslet?

Vytvářejí metody a algoritmy (viz). Tento obranná reakce, která chrání učitele před kritikou („Všechno se dělá podle...“) a děti před pochopením. A tedy - z touhy kritizovat učitele!(Druhý derivát byrokratické „moudrosti“, vědecký přístup k problému). Člověk, který nechápe význam, bude vinit spíše vlastní nepochopení, než hloupost školského systému.

To se děje: rodiče obviňují své děti a učitelé... dělají totéž pro děti, které „nerozumějí matematice!“

Jsi chytrý?

Co udělal malý Karel?

Zcela nekonvenční přístup k formulovému úkolu. To je podstata Jeho přístupu. Tento hlavní věc, která by se měla ve škole učit, je myslet ne učebnicemi, ale hlavou. Samozřejmě nechybí ani instrumentální složka, kterou lze použít... při hledání jednodušší a efektivní metodyúčty.

Gaussova metoda podle Vilenkina

Ve škole se učí, že Gaussova metoda je

v párech najít součet čísel stejně vzdálených od okrajů číselné řady, určitě začíná od okrajů!

zjistit počet takových párů atd.

Co, pokud je počet prvků řady lichý, jako v problému, který byl přidělen mému synovi?...

"Háček" je v tomto případě měli byste v sérii najít „extra“ číslo a přidejte jej k součtu dvojic. V našem příkladu je toto číslo 260.

Jak zjistit? Kopírování všech dvojic čísel do sešitu!(To je důvod, proč učitel přiměl děti, aby dělaly tuto hloupou práci, když se snažily učit „kreativitu“ pomocí Gaussovy metody... A proto je taková „metoda“ prakticky nepoužitelná pro velké datové řady, A proto je ne Gaussova metoda.)

Trocha kreativity ve školní rutině...

Syn jednal jinak.

Nejprve poznamenal, že je jednodušší vynásobit číslo 500, nikoli 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Pak vypočítal: počet kroků se ukázal jako lichý: 500 / 20 = 25.

Poté přidal na začátek série NULU (ačkoli bylo možné vyřadit poslední termín série, což by také zajistilo paritu) a přidal čísla, která dala celkem 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 kroků je 13 párů „pětistovky“: 13 x 500 = 6500..

Pokud jsme vyřadili poslední termín série, pak bude párů 12, ale neměli bychom zapomenout přičíst k výsledku výpočtů „vyřazených“ pět set. Pak: (12 x 500) + 500 = 6500!

Není to těžké, že?

Ale v praxi je to ještě snazší, což vám umožní vyčlenit 2-3 minuty na dálkový průzkum v ruštině, zatímco zbytek se „počítá“. Navíc zachovává počet kroků metody: 5, což neumožňuje vytýkat přístup jako nevědecký.

Je zřejmé, že tento přístup je jednodušší, rychlejší a univerzálnější ve stylu Metody. Ale... učitel nejen nepochválil, ale ještě mě donutil přepsat to „správným způsobem“ (viz screenshot). To znamená, že se zoufale pokusila udusit tvůrčí impuls a schopnost porozumět matematice v kořenech! Zřejmě proto, aby mohla být později přijata jako vychovatelka... Napadla nesprávnou osobu...

Všechno, co jsem tak dlouho a nudně popisoval, se dá vysvětlit na normální dítě maximálně do půl hodiny. Spolu s příklady.

A to tak, že na to nikdy nezapomene.

A bude krok k pochopení...nejen matematici.

Přiznejte se: kolikrát v životě jste přidali pomocí Gaussovy metody? A nikdy jsem to neudělal!

Ale instinkt porozumění, který se vyvíjí (nebo zaniká) v procesu učení matematické metody ve škole... Oh!... To je opravdu nenahraditelná věc!

Zejména v době všeobecné digitalizace, do které jsme pod přísným vedením strany a vlády v tichosti vstoupili.

Pár slov na obranu učitelů...

Je nespravedlivé a nesprávné skládat veškerou odpovědnost za tento styl výuky pouze na učitele školy. Systém je v platnosti.

Nějaký učitelé chápou absurditu toho, co se děje, ale co dělat? Zákon o vzdělávání, federální státní vzdělávací standardy, metody, technologické mapy lekcí... Vše se musí dělat „v souladu a na základě“ a vše musí být zdokumentováno. Ustup stranou – stál ve frontě na vyhození. Nebuďme pokrytci: platy moskevských učitelů jsou velmi dobré... Pokud vás vyhodí, kam jít?...

Proto tato stránka ne o vzdělání. Je o individuální vzdělávání, pouze možný způsob vystoupit z davu generace Z ...

V tomto článku je metoda považována za metodu pro řešení soustav lineárních rovnic (SLAE). Metoda je analytická, to znamená, že umožňuje zapsat algoritmus řešení obecný pohled a poté tam dosaďte hodnoty z konkrétních příkladů. Na rozdíl od maticové metody nebo Cramerových vzorců lze při řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody pracovat i s těmi, které mají nekonečný počet řešení. Nebo ho nemají vůbec.

Co to znamená řešit pomocí Gaussovy metody?

Nejprve musíme napsat náš systém rovnic do Vypadá to takto. Vezměte si systém:

Koeficienty se zapisují ve formě tabulky a volné termíny se zapisují do samostatného sloupce vpravo. Sloupec s volnými výrazy je pro pohodlí oddělen. Matice, která tento sloupec obsahuje, se nazývá rozšířená.

Dále je třeba hlavní matici s koeficienty zredukovat na horní trojúhelníkový tvar. To je hlavní bod řešení soustavy pomocí Gaussovy metody. Jednoduše řečeno, po určitých manipulacích by matice měla vypadat tak, že její levá spodní část obsahuje pouze nuly:

Pokud pak novou matici napíšete znovu jako soustavu rovnic, všimnete si, že poslední řádek již obsahuje hodnotu jednoho z kořenů, která se pak dosadí do výše uvedené rovnice, najde se další kořen atd.

Toto je popis řešení Gaussovou metodou v nejvíce obecný obrys. Co se stane, když systém najednou nemá řešení? Nebo je jich nekonečně mnoho? Pro zodpovězení těchto a mnoha dalších otázek je nutné uvažovat samostatně všechny prvky použité při řešení Gaussovy metody.

Matice, jejich vlastnosti

Žádný skrytý význam ne v matrice. Je to jednoduše pohodlný způsob, jak zaznamenat data pro následné operace s ním. Nemusí se jich bát ani školáci.

Matice je vždy obdélníková, protože je pohodlnější. Dokonce i v Gaussově metodě, kde vše spočívá v konstrukci matice trojúhelníkového vzhledu, záznam obsahuje obdélník, pouze s nulami v místě, kde nejsou žádná čísla. Nuly se nemusí psát, ale jsou implikované.

Matice má velikost. Jeho „šířka“ je počet řádků (m), „délka“ je počet sloupců (n). Pak velikost matice A (k jejich označení se obvykle používají velká písmena) písmena) bude označen jako A m×n. Pokud m=n, pak je tato matice čtvercová a m=n je její řád. Podle toho lze libovolný prvek matice A označit čísly řádků a sloupců: a xy ; x - číslo řádku, změny, y - číslo sloupce, změny.

B není hlavním bodem rozhodnutí. V zásadě lze všechny operace provádět přímo s rovnicemi samotnými, ale zápis bude mnohem těžkopádnější a bude se v něm mnohem snáze zmást.

Determinant

Matice má také determinant. Toto je velmi důležitá vlastnost. Není třeba nyní zjišťovat jeho význam, můžete jednoduše ukázat, jak se počítá, a pak říci, jaké vlastnosti matice určuje. Nejjednodušší způsob, jak najít determinant, je přes diagonály. V matici jsou zakresleny imaginární úhlopříčky; prvky umístěné na každém z nich se vynásobí a poté se přidají výsledné produkty: úhlopříčky se sklonem doprava - se znaménkem plus, se sklonem doleva - se znaménkem mínus.

Je nesmírně důležité poznamenat, že determinant lze vypočítat pouze pro čtvercovou matici. U obdélníkové matice můžete udělat následující: vybrat nejmenší z počtu řádků a počtu sloupců (ať je to k) a pak náhodně označit k sloupců a k řádků v matici. Prvky v průsečíku vybraných sloupců a řádků vytvoří novou čtvercovou matici. Pokud je determinantem takové matice nenulové číslo, nazývá se menší bází původní obdélníkové matice.

Než začnete řešit soustavu rovnic pomocí Gaussovy metody, neuškodí vypočítat determinant. Pokud se ukáže, že je nula, pak můžeme okamžitě říci, že matice má buď nekonečný počet řešení, nebo žádné. V takovém smutném případě je třeba jít dále a zjistit hodnost matice.

Klasifikace systému

Existuje něco jako hodnost matice. Tento maximální objednávka její determinant, odlišný od nuly (pokud si pamatujeme na základ menší, můžeme říci, že hodnost matice je řád základu menší).

Na základě situace s hodností lze SLAE rozdělit na:

• Kloub. U Ve společných systémech se hodnost hlavní matice (sestávající pouze z koeficientů) shoduje s hodností rozšířené matice (se sloupcem volných členů). Takové systémy mají řešení, ale ne nutně jedno, proto se navíc kloubové systémy dělí na:
• - určitý- mít jediné řešení. V určitých systémech jsou hodnosti matice a počet neznámých (nebo počet sloupců, což je totéž) stejné;
• - nedefinováno - s nekonečným počtem řešení. Hodnost matic v takových systémech je menší než počet neznámých.
• Nekompatibilní. U V takových systémech se úrovně hlavní a rozšířené matice neshodují. Nekompatibilní systémy nemají řešení.

Gaussova metoda je dobrá, protože při řešení umožňuje získat buď jednoznačný důkaz nekonzistence systému (bez počítání determinantů velkých matic), nebo řešení v obecném tvaru pro systém s nekonečným počtem řešení.

Elementární transformace

Než přistoupíte přímo k řešení systému, můžete jej učinit méně těžkopádným a pohodlnějším pro výpočty. Toho je dosaženo pomocí elementárních transformací - tak, že jejich implementace nijak nezmění konečnou odpověď. Je třeba poznamenat, že některé z uvedených elementárních transformací jsou platné pouze pro matice, jejichž zdrojem byl SLAE. Zde je seznam těchto transformací:

1. Přeskupení linek. Je zřejmé, že pokud změníte pořadí rovnic v systémovém záznamu, řešení to nijak neovlivní. V důsledku toho lze řádky v matici tohoto systému také prohodit, samozřejmě nelze zapomenout na sloupec volných členů.
2. Násobení všech prvků řetězce určitým koeficientem. Velmi nápomocný! Dá se použít ke zkrácení velká čísla v matici nebo odstranit nuly. Mnoho rozhodnutí se jako obvykle nezmění, ale další operace bude to pohodlnější. Hlavní věc je, že koeficient není roven nule.
3. Odstranění řádků s proporcionálními faktory. To částečně vyplývá z předchozího odstavce. Pokud mají dva nebo více řádků v matici proporcionální koeficienty, pak když se jeden z řádků vynásobí/vydělí koeficientem proporcionality, získají se dva (nebo opět více) absolutně identické řádky a ty nadbytečné mohou být odstraněny. jen jeden.
4. Odstranění prázdného řádku. Pokud se při transformaci někde získá řádek, ve kterém jsou všechny prvky včetně volného členu nulové, pak lze takový řádek nazvat nulou a vyhodit z matice.
5. Přidání prvků jednoho řádku prvků druhého (v odpovídajících sloupcích), vynásobené určitým koeficientem. Nejnezřejmější a nejdůležitější proměna ze všech. Stojí za to se tomu věnovat podrobněji.

Přidání řetězce vynásobeného faktorem

Pro snazší pochopení je vhodné tento proces rozebrat krok za krokem. Z matice jsou převzaty dva řádky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Řekněme, že potřebujete přidat první k druhému, vynásobené koeficientem "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2xa 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Poté se druhý řádek v matici nahradí novým a první zůstane nezměněn.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Je třeba poznamenat, že multiplikační koeficient lze zvolit tak, že v důsledku přidání dvou řádků je jeden z prvků nového řádku roven nule. V důsledku toho je možné získat rovnici v systému, kde bude o jednu neznámou méně. A pokud dostanete dvě takové rovnice, pak lze operaci provést znovu a získat rovnici, která bude obsahovat o dvě neznámé méně. A pokud pokaždé otočíte jeden koeficient ze všech řádků, které jsou pod původním, na nulu, pak můžete, jako po schodech, sestoupit až na úplný konec matice a získat rovnici s jednou neznámou. Tomu se říká řešení systému pomocí Gaussovy metody.

Obecně

Ať existuje systém. Má m rovnic a n neznámých kořenů. Můžete to napsat následovně:

Hlavní matice je sestavena ze systémových koeficientů. Do rozšířené matice je přidán sloupec volných výrazů a pro usnadnění oddělen čárou.

• první řádek matice se vynásobí koeficientem k = (-a 21 /a 11);
• první upravený řádek a druhý řádek matice jsou přidány;
• místo druhého řádku se do matice vloží výsledek doplnění z předchozího odstavce;
• nyní první koeficient v nová sekundačára je 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nyní se provádí stejná série transformací, jedná se pouze o první a třetí řádek. Podle toho je v každém kroku algoritmu prvek a 21 nahrazen prvkem 31. Poté se vše opakuje pro 41, ... a m1. Výsledkem je matice, kde první prvek v řádcích je nula. Nyní musíte zapomenout na řádek číslo jedna a provést stejný algoritmus, počínaje řádkem dva:

• koeficient k = (-a 32 /a 22);
• druhý upravený řádek je přidán k „aktuálnímu“ řádku;
• výsledek sčítání se dosadí do třetího, čtvrtého atd. řádků, přičemž první a druhý zůstanou nezměněny;
• v řádcích matice jsou již první dva prvky rovny nule.

Algoritmus je nutné opakovat, dokud se neobjeví koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamená, že v naposledy algoritmus byl proveden pouze pro nižší rovnici. Nyní matice vypadá jako trojúhelník nebo má stupňovitý tvar. Ve spodním řádku je rovnost a mn × x n = b m. Koeficient a volný člen jsou známy a jejich prostřednictvím se vyjadřuje kořen: x n = b m /a mn. Výsledný kořen dosadíme do horního řádku, abychom našli x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. A tak dále analogicky: v každém dalším řádku je nový kořen a po dosažení „vrcholu“ systému můžete najít mnoho řešení. Bude to jediné.

Když neexistují žádná řešení

Pokud jsou v jednom z řádků matice všechny prvky kromě volného členu rovny nule, pak rovnice odpovídající tomuto řádku vypadá jako 0 = b. Nemá to řešení. A jelikož je taková rovnice v soustavě zahrnuta, pak je množina řešení celé soustavy prázdná, tedy degenerovaná.

Když existuje nekonečně mnoho řešení

Může se stát, že v dané trojúhelníkové matici nejsou žádné řádky s jedním koeficientovým prvkem rovnice a jedním volným členem. Existují pouze řádky, které by po přepsání vypadaly jako rovnice se dvěma nebo více proměnnými. To znamená, že systém má nekonečné číslo rozhodnutí. V tomto případě lze odpověď podat formou obecného řešení. Jak to udělat?

Všechny proměnné v matici jsou rozděleny na základní a volné. Základní jsou ty, které stojí „na okraji“ řádků v krokové matici. Zbytek je zdarma. V obecném řešení se základní proměnné zapisují přes volné.

Pro usnadnění je matice nejprve přepsána zpět do systému rovnic. Pak v posledním z nich, kde přesně zbývá jen jedna základní proměnná, zůstane na jedné straně a vše ostatní se přenese na druhou. To se provádí pro každou rovnici s jednou základní proměnnou. Potom se ve zbývajících rovnicích, kde je to možné, místo základní proměnné dosadí výraz pro ni získaný. Pokud je výsledkem opět výraz obsahující pouze jednu základní proměnnou, je opět vyjádřena odtud a tak dále, dokud není každá základní proměnná zapsána jako výraz s volnými proměnnými. Tak to je společné rozhodnutí SLAU.

Můžete také najít základní řešení systému - zadat volným proměnným libovolné hodnoty a poté pro tento konkrétní případ vypočítat hodnoty základních proměnných. Existuje nekonečné množství konkrétních řešení, která lze poskytnout.

Řešení s konkrétními příklady

Zde je soustava rovnic.

Pro pohodlí je lepší okamžitě vytvořit jeho matici

Je známo, že při řešení Gaussovou metodou zůstane rovnice odpovídající prvnímu řádku na konci transformací nezměněna. Proto bude výhodnější, pokud bude levý horní prvek matice nejmenší - pak se první prvky zbývajících řádků po operacích změní na nulu. To znamená, že v sestavené matici bude výhodné umístit druhý řádek na místo prvního.

druhý řádek: k = (-a21/a11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

třetí řádek: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Nyní, abyste nebyli zmateni, musíte napsat matici s mezivýsledky transformací.

Je zřejmé, že taková matice může být pohodlnější pro vnímání pomocí určitých operací. Můžete například odstranit všechny „mínusy“ z druhého řádku vynásobením každého prvku „-1“.

Za zmínku také stojí, že ve třetím řádku jsou všechny prvky násobky tří. Poté můžete řetězec zkrátit o toto číslo vynásobením každého prvku "-1/3" (mínus - současně, abyste odstranili záporné hodnoty).

Vypadá mnohem lépe. Nyní musíme nechat první řádek na pokoji a pracovat s druhým a třetím. Úkolem je přidat druhý řádek ke třetímu řádku, vynásobený takovým koeficientem, aby se prvek a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (pokud se při některých transformacích neukáže odpověď jako celé číslo, doporučuje se zachovat přesnost výpočtů ponechat „tak jak je“, ve tvaru společný zlomek a teprve poté, když obdržíte odpovědi, se rozhodněte, zda zaokrouhlit a převést na jinou formu záznamu)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matice je znovu zapsána s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Jak vidíte, výsledná matice má již stupňovitou formu. Proto nejsou nutné další transformace systému pomocí Gaussovy metody. Zde můžete odstranit celkový koeficient "-1/7" ze třetího řádku.

Nyní je vše krásné. Zbývá pouze napsat matici znovu ve formě soustavy rovnic a vypočítat kořeny

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmus, kterým budou nyní nalezeny kořeny, se v Gaussově metodě nazývá zpětný pohyb. Rovnice (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 × (61/9))/7 = -65/9

A první rovnice nám umožňuje najít x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazývat takový systém společným, a dokonce určitým, tedy majícím jedinečné řešení. Odpověď je napsána v následujícím tvaru:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Příklad nejistého systému

Byla analyzována varianta řešení určitého systému pomocí Gaussovy metody, nyní je třeba uvažovat případ, kdy je systém nejistý, tj. lze pro něj nalézt nekonečně mnoho řešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Už samotný vzhled systému je alarmující, protože počet neznámých je n = 5 a hodnost matice systému je již přesně menší než toto číslo, protože počet řádků je m = 4, tzn. největší řád determinant-čtverce je 4. To znamená, že existuje nekonečné množství řešení a je třeba hledat jeho obecný vzhled. Gaussova metoda pro lineární rovnice vám to umožňuje.

Nejprve se jako obvykle sestaví rozšířená matice.

Druhý řádek: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. Ve třetím řádku je první prvek před transformacemi, takže se nemusíte ničeho dotýkat, musíte to nechat tak, jak je. Čtvrtý řádek: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Postupným vynásobením prvků prvního řádku každým z jejich koeficientů a jejich přidáním do požadovaných řádků získáme matici následujícího tvaru:

Jak vidíte, druhý, třetí a čtvrtý řádek se skládají z prvků vzájemně proporcionálních. Druhý a čtvrtý jsou obecně totožné, takže jeden z nich lze okamžitě odstranit a zbývající vynásobit koeficientem „-1“ a získat řádek číslo 3. A opět ze dvou stejných řádků jeden ponechat.

Výsledkem je taková matrice. Zatímco systém ještě není sepsán, je nutné zde určit základní proměnné - ty, které stojí na koeficientech a 11 = 1 a a 22 = 1, a volné - všechny ostatní.

Ve druhé rovnici je pouze jedna základní proměnná - x 2. To znamená, že ji lze odtud vyjádřit zápisem přes proměnné x 3 , x 4 , x 5 , které jsou volné.

Výsledný výraz dosadíme do první rovnice.

Výsledkem je rovnice, ve které je jedinou základní proměnnou x 1 . Udělejme s tím to samé jako s x 2.

Všechny základní proměnné, z nichž jsou dvě, jsou vyjádřeny třemi volnými, nyní můžeme odpověď napsat v obecném tvaru.

Můžete také zadat jedno z konkrétních řešení systému. Pro takové případy se jako hodnoty pro volné proměnné obvykle volí nuly. Pak bude odpověď:

16, 23, 0, 0, 0.

Příklad nekooperativního systému

Řešení nekompatibilních soustav rovnic Gaussovou metodou je nejrychlejší. Okamžitě končí, jakmile se v jedné z fází získá rovnice, která nemá řešení. To znamená, že fáze výpočtu kořenů, která je poměrně dlouhá a únavná, odpadá. Zvažuje se následující systém:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Jako obvykle je matice sestavena:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je redukován na stupňovitou formu:

ki = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po první transformaci obsahuje třetí řádek rovnici tvaru

bez řešení. V důsledku toho je systém nekonzistentní a odpovědí bude prázdná množina.

Výhody a nevýhody metody

Pokud se rozhodnete, jakou metodu vyřešit SLAE na papíře perem, pak metoda, která byla popsána v tomto článku, vypadá nejatraktivněji. V elementárních transformacích je mnohem obtížnější se zmást, než když musíte ručně hledat determinant nebo nějakou záludnou inverzní matici. Pokud však pro práci s tímto typem dat používáte programy, např. tabulky, pak se ukazuje, že takové programy již obsahují algoritmy pro výpočet hlavních parametrů matic - determinant, vedlejší, inverzní a tak dále. A pokud jste si jisti, že stroj tyto hodnoty vypočítá sám a nebude dělat chyby, je vhodnější použít maticovou metodu nebo Cramerovy vzorce, protože jejich použití začíná a končí výpočtem determinantů a inverzní matice.

aplikace

Vzhledem k tomu, že Gaussovo řešení je algoritmus a matice je ve skutečnosti dvourozměrné pole, lze jej použít v programování. Ale protože se článek staví jako návod „pro blbce“, je třeba říci, že nejjednodušším místem, kam metodu vložit, jsou tabulky, například Excel. Opět platí, že jakýkoli SLAE zadaný do tabulky ve formě matice bude Excelem považován za dvourozměrné pole. A pro operace s nimi existuje mnoho pěkných příkazů: sčítání (lze sčítat pouze matice stejné velikosti!), násobení číslem, násobení matic (také s určitými omezeními), hledání inverzních a transponovaných matic a hlavně , výpočet determinantu. Pokud je tato časově náročná úloha nahrazena jediným příkazem, je možné mnohem rychleji určit hodnost matice a tím zjistit její kompatibilitu nebo nekompatibilitu.