Řešte soustavu lineárních rovnic s maticí. Jak řešit soustavu rovnic maticovou metodou

Uvažujme soustava lineárních algebraických rovnic(SLAU) relativně n neznámý X 1 , X 2 , ..., X n :

Tento systém ve „sbalené“ podobě lze zapsat následovně:

S n i=1 A ij X j = b i , i=1,2, ..., n.

V souladu s pravidlem násobení matic lze uvažovanou soustavu lineárních rovnic zapsat matricový formulář Sekera=b, Kde

, ,.

Matice A, jehož sloupce jsou koeficienty pro odpovídající neznámé a řádky jsou koeficienty pro neznámé v odpovídající rovnici se nazývá matice systému. Sloupcová matice b, jehož prvky jsou pravými stranami rovnic soustavy, se nazývá matice pravé strany nebo jednoduše pravé straně systému. Sloupcová matice X , jehož prvky jsou neznámé neznámé, se nazývá systémové řešení.

Systém lineárních algebraických rovnic zapsaných ve tvaru Sekera=b, je maticová rovnice.

Pokud systémová matice nedegenerované, pak má inverzní matice a pak řešení systému Sekera=b je dáno vzorcem:

x=A -1 b.

Příklad Vyřešte systém maticová metoda.

Řešení najdeme inverzní matici pro matici koeficientů systému

Vypočítejme determinant rozšířením podél prvního řádku:

Protože Δ ≠ 0 , Že A -1 existuje.

Inverzní matice byla nalezena správně.

Pojďme najít řešení systému

Proto, X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Zkouška:

7. Kronecker-Capelliho věta o kompatibilitě soustavy lineárních algebraických rovnic.

Systém lineárních rovnic má tvar:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Zde jsou dána a i j a b i (i = ; j = ) a x j jsou neznámá reálná čísla. Pomocí konceptu součinu matic můžeme přepsat systém (5.1) do tvaru:

kde A = (a i j) je matice skládající se z koeficientů pro neznámé soustavy (5.1), která je tzv. matice systému, X = (x 1, x 2,..., x n) T, B = (b 1, b 2,..., b m) T jsou sloupcové vektory složené příslušně z neznámých x j a volných členů b i.

Objednaná kolekce n se nazývá reálná čísla (c 1, c 2,..., c n). systémové řešení(5.1), jestliže se v důsledku dosazení těchto čísel místo odpovídajících proměnných x 1, x 2,..., x n změní každá rovnice systému na aritmetickou identitu; jinými slovy, pokud existuje vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T takový, že AC  B.

Zavolá se systém (5.1). kloub, nebo řešitelný, pokud má alespoň jedno řešení. Systém se nazývá nekompatibilní, nebo neřešitelný, pokud nemá řešení.

,

tvořená přiřazením sloupce volných členů na pravou stranu matice A se nazývá rozšířená matice systému.

Otázku kompatibility systému (5.1) řeší následující věta.

Kronecker-Capelliho věta . Systém lineárních rovnic je konzistentní právě tehdy, když se řady matic A aA shodují, tzn. r(A) = r(A) = r.

Pro množinu M řešení soustavy (5.1) existují tři možnosti:

1) M =  (v tomto případě je systém nekonzistentní);

2) M se skládá z jednoho prvku, tzn. systém má jedinečné řešení (v tomto případě se systém nazývá určitý);

3) M se skládá z více než jednoho prvku (pak se systém nazývá nejistý). Ve třetím případě má systém (5.1) nekonečný počet řešení.

Systém má jednoznačné řešení pouze tehdy, když r(A) = n. V tomto případě není počet rovnic menší než počet neznámých (mn); pokud m>n, pak m-n rovnic jsou důsledky ostatních. Pokud 0

K řešení libovolné soustavy lineárních rovnic je potřeba umět řešit soustavy, ve kterých je počet rovnic roven počtu neznámých – tzv. Systémy typu Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Systémy (5.3) jsou řešeny jedním z následujících způsobů: 1) Gaussova metoda neboli metoda eliminace neznámých; 2) podle Cramerových vzorců; 3) maticová metoda.

Příklad 2.12. Prozkoumejte soustavu rovnic a vyřešte ji, pokud je konzistentní:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Řešení. Vypíšeme rozšířenou matici systému:

 .

Vypočítejme hodnost hlavní matice systému. Je zřejmé, že např. moll 2. řádu v levém horním rohu = 7  0; nezletilí třetího řádu, které ji obsahují, se rovnají nule:

V důsledku toho je hodnost hlavní matice systému 2, tzn. r(A) = 2. Chcete-li vypočítat hodnost rozšířené matice A, zvažte hraniční vedlejší

to znamená, že hodnost rozšířené matice r(A) = 3. Protože r(A)  r(A), systém je nekonzistentní.

V první části jsme se podívali na nějaký teoretický materiál, substituční metodu a také metodu sčítání systémových rovnic po členu. Doporučuji všem, kteří se na stránky dostali přes tuto stránku, aby si přečetli první díl. Možná se některým návštěvníkům bude zdát látka příliš jednoduchá, ale v procesu řešení soustav lineárních rovnic jsem učinil řadu velmi důležitých připomínek a závěrů týkajících se řešení matematických úloh obecně.

Nyní budeme analyzovat Cramerovo pravidlo a také řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice (maticová metoda). Všechny materiály jsou prezentovány jednoduše, podrobně a jasně, téměř všichni čtenáři se budou moci naučit řešit systémy pomocí výše uvedených metod.

Nejprve se blíže podíváme na Cramerovo pravidlo pro soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Proč? – Nejjednodušší systém lze totiž vyřešit školní metodou, metodou sčítání po semestru!

Faktem je, že i když někdy se takový úkol vyskytne - vyřešit pomocí Cramerových vzorců soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Za druhé, jednodušší příklad vám pomůže pochopit, jak použít Cramerovo pravidlo pro složitější případ – systém tří rovnic se třemi neznámými.

Navíc existují soustavy lineárních rovnic se dvěma proměnnými, které je vhodné řešit pomocí Cramerova pravidla!

Zvažte soustavu rovnic

V prvním kroku vypočítáme determinant, tzv hlavní determinant systému.

Gaussova metoda.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další dva determinanty:
A

V praxi mohou být výše uvedené kvalifikátory také označeny latinkou.

Kořeny rovnice najdeme pomocí vzorců:
,

Příklad 7

Řešte soustavu lineárních rovnic

Řešení: Vidíme, že koeficienty rovnice jsou poměrně velké, na pravé straně jsou desetinné zlomky s čárkou. Čárka je v praktických úlohách z matematiky poměrně vzácným hostem, tento systém jsem převzal z ekonometrického problému.

Jak takový systém vyřešit? Můžete se pokusit vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé, ale v tomto případě pravděpodobně skončíte se strašlivými efektními zlomky, se kterými je extrémně nepohodlné pracovat, a návrh řešení bude vypadat prostě hrozně. Druhou rovnici můžete vynásobit 6 a odečíst člen po členu, ale i zde vzniknou stejné zlomky.

Co dělat? V takových případech přijdou na pomoc Cramerovy vzorce.

;

;

Odpovědět: ,

Oba kořeny mají nekonečné ocasy a nacházejí se přibližně, což je pro ekonometrické problémy docela přijatelné (a dokonce běžné).

Komentáře zde nejsou potřeba, protože úloha je řešena pomocí hotových vzorců, existuje však jedno upozornění. Při použití této metody povinný Fragmentem návrhu úlohy je následující fragment: „To znamená, že systém má jedinečné řešení“. Jinak vás recenzent může potrestat za nerespektování Cramerovy věty.

Nebylo by zbytečné kontrolovat, což lze pohodlně provést na kalkulačce: do levé strany každé rovnice systému dosadíme přibližné hodnoty. Výsledkem je, že s malou chybou byste měli dostat čísla, která jsou na správných stranách.

Příklad 8

Uveďte odpověď v obyčejných nesprávných zlomcích. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami (příklad konečného návrhu a odpověď na konci lekce).

Pojďme se podívat na Cramerovo pravidlo pro systém tří rovnic se třemi neznámými:

Najdeme hlavní determinantu systému:

Jestliže , pak systém má nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní (nemá žádná řešení). V tomto případě Cramerovo pravidlo nepomůže, musíte použít Gaussovu metodu.

Jestliže , pak má systém jedinečné řešení a abychom našli kořeny, musíme vypočítat další tři determinanty:
, ,

A nakonec se odpověď vypočítá pomocí vzorců:

Jak vidíte, případ „tři na tři“ se v zásadě neliší od případu „dva na dva“; sloupec volných výrazů postupně „kráčí“ zleva doprava podél sloupců hlavního determinantu.

Příklad 9

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Řešení: Vyřešme soustavu pomocí Cramerových vzorců.

, což znamená, že systém má jedinečné řešení.

Odpovědět: .

Vlastně zde opět není co komentovat, protože řešení se řídí hotovými vzorci. Ale je tu pár připomínek.

Stává se, že v důsledku výpočtů se získají „špatné“ neredukovatelné zlomky, například: .
Doporučuji následující „léčebný“ algoritmus. Pokud nemáte po ruce počítač, postupujte takto:

1) Ve výpočtech může být chyba. Jakmile narazíte na „špatný“ zlomek, musíte okamžitě zkontrolovat Je podmínka přepsána správně?. Pokud je podmínka přepsána bez chyb, pak je potřeba determinanty přepočítat pomocí rozšíření v jiném řádku (sloupci).

2) Pokud v důsledku kontroly nebyly zjištěny žádné chyby, pravděpodobně došlo k překlepu v podmínkách úlohy. V tomto případě klidně a OPATRNĚ propracujte úkol až do konce a pak určitě zkontrolujte a po rozhodnutí to sepíšeme na čistý list. Kontrola zlomkové odpovědi je samozřejmě nepříjemný úkol, ale bude to odzbrojující argument pro učitele, který opravdu rád dá mínus za každou hovadinu typu . Jak zacházet se zlomky je podrobně popsáno v odpovědi na příklad 8.

Máte-li po ruce počítač, pak ke kontrole použijte automatizovaný program, který si můžete zdarma stáhnout hned na začátku lekce. Mimochodem, nejvýhodnější je používat program hned (ještě před spuštěním řešení), hned uvidíte mezikrok, kde jste udělali chybu! Stejná kalkulačka automaticky vypočítá řešení soustavy pomocí maticové metody.

Druhá poznámka. Čas od času existují systémy, v jejichž rovnicích některé proměnné chybí, například:

Zde v první rovnici není žádná proměnná, ve druhé není žádná proměnná. V takových případech je velmi důležité správně a OPATRNĚ zapsat hlavní determinant:
– místo chybějících proměnných jsou umístěny nuly.
Mimochodem, je racionální otevírat determinanty s nulami podle řádku (sloupce), ve kterém je nula umístěna, protože je znatelně méně výpočtů.

Příklad 10

Vyřešte systém pomocí Cramerových vzorců.

Toto je příklad pro samostatné řešení (ukázka finálního návrhu a odpověď na konci lekce).

Pro případ soustavy 4 rovnic se 4 neznámými jsou Cramerovy vzorce psány podle podobných principů. Živý příklad můžete vidět v lekci Vlastnosti determinantů. Snížení řádu determinantu - pět determinantů 4. řádu je celkem řešitelných. I když úkol již velmi připomíná profesorovu botu na hrudi šťastného studenta.

Řešení soustavy pomocí inverzní matice

Metoda inverzní matice je v podstatě speciální případ maticová rovnice(Viz příklad č. 3 zadané lekce).

Chcete-li prostudovat tuto část, musíte být schopni rozšířit determinanty, najít inverzní hodnotu matice a provést násobení matic. V průběhu vysvětlování budou poskytnuty příslušné odkazy.

Příklad 11

Řešte soustavu maticovou metodou

Řešení: Zapišme systém v maticovém tvaru:
, Kde

Podívejte se prosím na soustavu rovnic a matic. Myslím, že každý chápe princip, kterým zapisujeme prvky do matic. Jediná poznámka: pokud by v rovnicích chyběly nějaké proměnné, pak by se na odpovídající místa v matici musely umístit nuly.

Inverzní matici najdeme pomocí vzorce:
, kde je transponovaná matice algebraických doplňků odpovídajících prvků matice.

Nejprve se podívejme na determinant:

Zde je determinant rozšířen na prvním řádku.

Pozornost! Jestliže , pak inverzní matice neexistuje a systém není možné řešit maticovou metodou. V tomto případě je systém řešen metodou eliminace neznámých (Gaussova metoda).

Nyní musíme vypočítat 9 nezletilých a zapsat je do matice nezletilých

Odkaz: Je užitečné znát význam dvojitých indexů v lineární algebře. První číslice je číslo řádku, ve kterém se prvek nachází. Druhá číslice je číslo sloupce, ve kterém se prvek nachází:

To znamená, že dvojitý dolní index označuje, že prvek je v prvním řádku, třetím sloupci a například prvek je ve 3 řádcích, 2 sloupcích.

Nechť existuje čtvercová matice n-tého řádu

Je volána matice A -1 inverzní matice ve vztahu k matici A, pokud A*A -1 = E, kde E je matice identity n-tého řádu.

Matice identity- taková čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky podél hlavní úhlopříčky, přecházející z levého horního rohu do pravého dolního rohu, jedničky a zbytek jsou nuly, například:

inverzní matice může existovat pouze pro čtvercové matice těch. pro ty matice, ve kterých se počet řádků a sloupců shoduje.

Věta pro podmínku existence inverzní matice

Aby matice měla inverzní matici, je nutné a postačující, aby byla nesingulární.

Zavolá se matice A = (A1, A2,...A n). nedegenerované, pokud jsou sloupcové vektory lineárně nezávislé. Počet lineárně nezávislých sloupcových vektorů matice se nazývá hodnost matice. Můžeme tedy říci, že pro existenci inverzní matice je nutné a postačující, aby hodnost matice byla rovna jejímu rozměru, tzn. r = n.

Algoritmus pro nalezení inverzní matice

1. Do tabulky pro řešení soustav rovnic Gaussovou metodou zapište matici A a přiřaďte jí vpravo (na místo pravých stran rovnic) matici E.
2. Pomocí Jordanových transformací redukujte matici A na matici sestávající z jednotkových sloupců; v tomto případě je nutné současně transformovat matici E.
3. V případě potřeby přeuspořádejte řádky (rovnice) poslední tabulky tak, abyste pod maticí A původní tabulky dostali matici identity E.
4. Zapište inverzní matici A -1, která se nachází v poslední tabulce pod maticí E původní tabulky.

Příklad 1

Pro matici A najděte inverzní matici A -1

Řešení: Napíšeme matici A a vpravo přiřadíme matici identity E. Pomocí Jordanových transformací redukujeme matici A na matici identity E. Výpočty jsou uvedeny v tabulce 31.1.

Zkontrolujme si správnost výpočtů vynásobením původní matice A a inverzní matice A -1.

Jako výsledek násobení matic byla získána matice identity. Proto byly výpočty provedeny správně.

Odpovědět:

Řešení maticových rovnic

Maticové rovnice mohou vypadat takto:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kde A, B, C jsou specifikované matice, X je požadovaná matice.

Maticové rovnice se řeší vynásobením rovnice inverzními maticemi.

Chcete-li například najít matici z rovnice, musíte tuto rovnici vynásobit vlevo.

Proto, abyste našli řešení rovnice, musíte najít inverzní matici a vynásobit ji maticí na pravé straně rovnice.

Ostatní rovnice jsou řešeny obdobně.

Příklad 2

Řešte rovnici AX = B jestliže

Řešení: Protože inverzní matice je rovna (viz příklad 1)

Maticová metoda v ekonomické analýze

Spolu s jinými se také používají maticové metody. Tyto metody jsou založeny na lineární a vektor-maticové algebře. Tyto metody se používají pro účely analýzy složitých a vícerozměrných ekonomických jevů. Nejčastěji se tyto metody používají, když je potřeba provést srovnávací hodnocení fungování organizací a jejich strukturálního členění.

V procesu aplikace metod maticové analýzy lze rozlišit několik fází.

V první fázi vytváří se systém ekonomických ukazatelů a na jeho základě se sestavuje matice výchozích údajů, což je tabulka, ve které jsou v jednotlivých řádcích uvedena systémová čísla (i = 1,2,...,n), a ve svislých sloupcích - čísla ukazatelů (j = 1,2,....,m).

Ve druhé fázi Pro každý vertikální sloupec je identifikována největší z dostupných hodnot indikátoru, která je brána jako jedna.

Poté se všechny částky uvedené v tomto sloupci vydělí největší hodnotou a vytvoří se matice standardizovaných koeficientů.

Ve třetí fázi všechny složky matice jsou odmocněny. Pokud mají různou významnost, pak je každému maticovému indikátoru přiřazen určitý váhový koeficient k. Hodnota posledně jmenovaného je stanovena znaleckým posudkem.

Na té poslední, čtvrtá etapa nalezené hodnoty hodnocení R j jsou seskupeny v pořadí jejich zvýšení nebo snížení.

Naznačené maticové metody by měly být použity např. při srovnávací analýze různých investičních projektů, ale i při hodnocení dalších ekonomických ukazatelů činnosti organizací.

(někdy se této metodě také říká maticová metoda nebo metoda inverzní matice) vyžaduje předběžné seznámení s takovým pojmem, jako je maticová forma zápisu SLAE. Metoda inverzní matice je určena pro řešení těch systémů lineárních algebraických rovnic, ve kterých je determinant systémové matice odlišný od nuly. Přirozeně to předpokládá, že matice systému je čtvercová (koncept determinantu existuje pouze pro čtvercové matice). Podstatu metody inverzní matice lze vyjádřit ve třech bodech:

1. Zapište tři matice: systémovou matici $A$, matici neznámých $X$, matici volných členů $B$.
2. Najděte inverzní matici $A^(-1)$.
3. Pomocí rovnosti $X=A^(-1)\cdot B$ získejte řešení daného SLAE.

Jakékoli SLAE lze zapsat v maticové formě jako $A\cdot X=B$, kde $A$ je matice systému, $B$ je matice volných členů, $X$ je matice neznámých. Nechť existuje matice $A^(-1)$. Vynásobme obě strany rovnosti $A\cdot X=B$ maticí $A^(-1)$ vlevo:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Protože $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ je matice identity), výše zapsaná rovnost bude:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Protože $E\cdot X=X$, pak:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Příklad č. 1

Vyřešte SLAE $ \left \( \begin(zarovnáno) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ pomocí inverzní matice.

$$ A=\left(\begin(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(pole)\right);\; B=\left(\begin(pole) (c) 29\\ -11 \end(pole)\right);\; X=\left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right). $$

Najdeme inverzní matici k systémové matici, tzn. Spočítejme $A^(-1)$. V příkladu č. 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(pole)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(pole)\vpravo) . $$

Nyní dosadíme všechny tři matice ($X$, $A^(-1)$, $B$) do rovnosti $X=A^(-1)\cdot B$. Poté provedeme násobení matic

$$ \left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(pole)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\konec (pole)\vpravo)\cdot \left(\začátek(pole) (c) 29\\ -11 \konec(pole)\vpravo)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(pole)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (c) 309\\ -206 \end(pole)\right)=\left( \začátek(pole) (c) -3\\ 2\konec(pole)\vpravo). $$

Dostali jsme tedy rovnost $\left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \end(pole)\right)=\left(\begin(pole) (c) -3\\ 2\end( pole )\vpravo)$. Z této rovnosti máme: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Odpovědět: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Příklad č. 2

Vyřešte SLAE $ \left\(\začátek(zarovnáno) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(zarovnáno)\vpravo .$ pomocí metody inverzní matice.

Zapišme si matici soustavy $A$, matici volných členů $B$ a matici neznámých $X$.

$$ A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(pole)\right);\; B=\left(\begin(pole) (c) -1\\0\\6\end(pole)\right);\; X=\left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right). $$

Nyní je řada na nalezení inverzní matice k systémové matici, tzn. najít $A^(-1)$. V příkladu č. 3 na stránce věnované hledání inverzních matic již byla inverzní matice nalezena. Použijme hotový výsledek a napišme $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 a 37\konec (pole)\vpravo). $$

Nyní dosadíme všechny tři matice ($X$, $A^(-1)$, $B$) do rovnosti $X=A^(-1)\cdot B$ a poté provedeme násobení matice na pravé straně této rovnosti.

$$ \left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\konec (pole) \vpravo)\cdot \left(\začátek(pole) (c) -1\\0\ \6\end(pole)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(pole)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (c) 0\\-104\\234\end(pole)\right)=\left( \začátek(pole) (c) 0\\-4\\9\konec(pole)\vpravo) $$

Takže máme rovnost $\left(\begin(pole) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(pole)\right)=\left(\begin(pole) (c) 0\\-4 \ \9\konec(pole)\vpravo)$. Z této rovnosti máme: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Jedná se o koncept, který zobecňuje všechny možné operace prováděné s maticemi. Matematická matice - tabulka prvků. O stole kde m linky a n sloupců, tato matice má mít rozměr m na n.

Celkový pohled na matici:

Pro maticová řešení je nutné pochopit, co je matice a znát její hlavní parametry. Hlavní prvky matice:

• Hlavní diagonála, skládající se z prvků 11, 22….. mn.
• Boční úhlopříčka skládající se z prvků a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Hlavní typy matric:

• Čtverec je matice, kde počet řádků = počet sloupců ( m=n).
• Nula – kde všechny prvky matice = 0.
• Transponovaná matice - matice V, který byl získán z původní matrice A nahrazením řádků sloupci.
• Jednota - všechny prvky hlavní diagonály = 1, všechny ostatní = 0.
• Inverzní matice je matice, která po vynásobení původní maticí vede k matici identity.

Matice může být symetrická vzhledem k hlavní a vedlejší diagonále. Tedy pokud a 12 = 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, pak je matice symetrická k hlavní diagonále. Symetrické mohou být pouze čtvercové matice.

Metody řešení matic.

Téměř všechny metody řešení matic spočívá v nalezení jeho determinantu n-th řádu a většina z nich je dost těžkopádná. K nalezení determinantu 2. a 3. řádu existují jiné, racionálnější metody.

Hledání determinantů 2. řádu.

Vypočítat determinant matice A 2. řádu je nutné odečíst součin prvků vedlejší úhlopříčky od součinu prvků hlavní úhlopříčky:

Metody hledání determinantů 3. řádu.

Níže jsou uvedena pravidla pro nalezení determinantu 3. řádu.

Zjednodušené pravidlo trojúhelníku jako jednoho z metody řešení matic, lze znázornit takto:

Jinými slovy, součin prvků v prvním determinantu, které jsou spojeny přímkami, se bere se znaménkem „+“; Také pro druhý determinant se odpovídající produkty berou se znaménkem „-“, to znamená podle následujícího schématu:

Na řešení matic pomocí Sarrusova pravidla, napravo od determinantu přidejte první 2 sloupce a součiny odpovídajících prvků na hlavní diagonále a na diagonále, které jsou s ní rovnoběžné, se vezmou se znaménkem „+“; a součiny odpovídajících prvků sekundární úhlopříčky a úhlopříček, které jsou s ní rovnoběžné, se znaménkem „-“:

Rozložení determinantu v řádku nebo sloupci při řešení matic.

Determinant je roven součtu součinů prvků řady determinantu a jejich algebraických doplňků. Obvykle je vybrán řádek/sloupec, který obsahuje nuly. Řádek nebo sloupec, podél kterého se provádí rozklad, bude označen šipkou.

Redukce determinantu na trojúhelníkový tvar při řešení matic.

Na řešení matic metoda redukce determinantu na trojúhelníkový tvar, fungují takto: pomocí nejjednodušších transformací na řádcích nebo sloupcích získá determinant trojúhelníkový tvar a jeho hodnota se pak v souladu s vlastnostmi determinantu bude rovnat součinu prvků, které jsou na hlavní diagonále.

Laplaceova věta pro řešení matic.

Při řešení matic pomocí Laplaceovy věty je potřeba znát větu samotnou. Laplaceova věta: Let Δ - to je určující n-tý řád. Vybíráme libovolné křádky (nebo sloupce), za předpokladu k≤ n-1. V tomto případě součet součinů všech nezletilých k-tý řád obsažený ve vybraném křádky (sloupce), svými algebraickými doplňky se budou rovnat determinantu.

Řešení inverzní matice.

Posloupnost akcí pro řešení inverzní matice:

1. Určete, zda je daná matice čtvercová. Pokud je odpověď záporná, je jasné, že pro ni nemůže existovat inverzní matice.
2. Počítáme algebraické doplňky.
3. Skládáme sjednocovací (vzájemnou, adjungovanou) matici C.
4. Inverzní matici skládáme z algebraických sčítání: všech prvků adjungované matice C dělit determinantem počáteční matice. Výsledná matice bude požadovaná inverzní matice vzhledem k dané.
5. Zkontrolujeme vykonanou práci: vynásobíme počáteční matici a výslednou matici, výsledkem by měla být matice identity.

Řešení maticových systémů.

Pro řešení maticových systémů Nejčastěji se používá Gaussova metoda.

Gaussova metoda je standardní metoda pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic (SLAE) a spočívá v tom, že proměnné jsou sekvenčně eliminovány, tj. pomocí elementárních změn je soustava rovnic uvedena do ekvivalentní soustavy trojúhelníků. formulář a z něj postupně, počínaje druhým (číslem), najděte každý prvek systému.

Gaussova metoda je nejuniverzálnější a nejlepší nástroj pro hledání maticových řešení. Pokud má systém nekonečný počet řešení nebo je systém nekompatibilní, nelze jej vyřešit pomocí Cramerova pravidla a maticové metody.

Gaussova metoda také implikuje přímé (redukování rozšířené matice na stupňovitý tvar, tj. získávání nul pod hlavní diagonálou) a zpětné (získávání nul nad hlavní diagonálou rozšířené matice) pohyby. Pohyb vpřed je Gaussova metoda, zpětný pohyb je Gauss-Jordanova metoda. Gauss-Jordanova metoda se od Gaussovy metody liší pouze posloupností eliminace proměnných.