Rovnice tečny ke grafu funkce

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Čeljabinská oblast

Rovnice tečny ke grafu funkce

Článek vyšel za podpory Hotelového komplexu ITAKA+. Při pobytu ve městě stavitelů lodí Severodvinsk nenarazíte na problém sehnat dočasné bydlení. , na webových stránkách hotelového komplexu „ITHAKA+“ http://itakaplus.ru si můžete snadno a rychle pronajmout byt ve městě na jakoukoli dobu s denní platbou.

Na moderní jeviště rozvoj vzdělávání, jedním z jeho hlavních úkolů je formování kreativně myslící osobnosti. Schopnost tvořivosti u studentů lze rozvíjet pouze tehdy, jsou-li systematicky zapojováni do základů badatelské činnosti. Základem pro uplatnění tvůrčích sil, schopností a talentu studentů jsou plnohodnotné znalosti a dovednosti. V tomto ohledu je neméně důležitý problém vytvoření systému základních znalostí a dovedností pro každé téma školního kurzu matematiky. Plnohodnotné dovednosti by přitom měly být didaktickým cílem nikoli jednotlivé úkoly, ale jejich pečlivě promyšlený systém. V nejširším slova smyslu je systém chápán jako soubor vzájemně propojených interagujících prvků, které mají celistvost a stabilní strukturu.

Uvažujme o technice pro výuku studentů, jak napsat rovnici pro tečnu ke grafu funkce. V podstatě všechny problémy hledání tečné rovnice vedou k nutnosti vybrat z množiny (svazku, rodiny) čar ty, které splňují určitý požadavek - jsou tečné ke grafu určité funkce. V tomto případě lze sadu řádků, ze kterých se provádí výběr, zadat dvěma způsoby:

a) bod ležící v rovině xOy (středová tužka čar);
b) úhlový koeficient (rovnoběžný paprsek přímek).

V tomto ohledu jsme při studiu tématu „Tečna ke grafu funkce“ s cílem izolovat prvky systému identifikovali dva typy problémů:

1) úlohy na tečně dané bodem, kterým prochází;
2) úlohy na tečně dané jejím sklonem.

Trénink řešení tečných problémů byl proveden pomocí algoritmu navrženého A.G. Mordkovič. Její zásadní rozdíl od již známých je v tom, že úsečka tečného bodu je označena písmenem a (místo x0), a proto má rovnice tečny tvar

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(srovnej s y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). metodická technika, podle našeho názoru umožňuje studentům rychle a snadno pochopit, kde v obecné tečné rovnici jsou zapsány souřadnice aktuálního bodu a kde jsou tečné body.

Algoritmus pro sestavení tečné rovnice ke grafu funkce y = f(x)

1. Označte úsečku tečného bodu písmenem a.
2. Najděte f(a).
3. Najděte f "(x) a f "(a).
4. Dosaďte nalezená čísla a, f(a), f "(a) do obecná rovnice tečna y = f(a) = f "(a)(x – a).

Tento algoritmus lze sestavit na základě samostatné identifikace operací studentů a pořadí jejich implementace.

Praxe ukázala, že postupné řešení každého z klíčových problémů pomocí algoritmu vám umožňuje rozvíjet dovednosti psaní rovnice tečny ke grafu funkce ve fázích a kroky algoritmu slouží jako referenční body pro akce. . Tento přístup odpovídá teorii postupného utváření mentálních akcí vyvinutou P.Ya. Galperin a N.F. Talyzina.

V prvním typu úloh byly identifikovány dva klíčové úkoly:

• tečna prochází bodem ležícím na křivce (úloha 1);
• tečna prochází bodem, který neleží na křivce (úloha 2).

Úkol 1. Napište rovnici pro tečnu ke grafu funkce v bodě M(3; – 2).

Řešení. Bod M(3; – 2) je tečný bod, protože

1. a = 3 – úsečka tečného bodu.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – rovnice tečny.

Úloha 2. Napište rovnice všech tečen ke grafu funkce y = – x 2 – 4x + 2 procházející bodem M(– 3; 6).

Řešení. Bod M(– 3; 6) není tečný bod, protože f(– 3) 6 (obr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f" (a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – rovnice tečny.

Tečna prochází bodem M(– 3; 6), její souřadnice tedy vyhovují rovnici tečny.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2 (a + 2) (– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Pokud a = – 4, pak rovnice tečny je y = 4x + 18.

Je-li a = – 2, pak rovnice tečny má tvar y = 6.

Ve druhém typu budou klíčové úkoly následující:

• tečna je rovnoběžná s nějakou přímkou ​​(úloha 3);
• tečna prochází pod určitým úhlem k dané přímce (úloha 4).

Úloha 3. Napište rovnice všech tečen ke grafu funkce y = x 3 – 3x 2 + 3, rovnoběžně s přímkou ​​y = 9x + 1.

Řešení.

1. a – úsečka tečného bodu.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Ale na druhou stranu f "(a) = 9 (podmínka rovnoběžnosti). To znamená, že potřebujeme vyřešit rovnici 3a 2 – 6a = 9. Její kořeny jsou a = – 1, a = 3 (obr. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – rovnice tečny;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x – 3);

y = 9x – 24 – rovnice tečny.

Úloha 4. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = 0,5x 2 – 3x + 1, procházející pod úhlem 45° k přímce y = 0 (obr. 4).

Řešení. Z podmínky f "(a) = tan 45° zjistíme a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – úsečka tečného bodu.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – rovnice tečny.

Je snadné ukázat, že řešení jakéhokoli jiného problému spočívá v vyřešení jednoho nebo více klíčových problémů. Zvažte následující dva problémy jako příklad.

1. Napište rovnice tečen k parabole y = 2x 2 – 5x – 2, pokud se tečny protínají v pravém úhlu a jedna z nich se dotýká paraboly v bodě s úsečkou 3 (obr. 5).

Řešení. Protože je dána úsečka tečného bodu, je první část řešení redukována na klíčový problém 1.

1. a = 3 – úsečka tečného bodu jedné ze stran pravého úhlu.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – rovnice první tečny.

Nechte a – úhel sklonu první tečny. Protože tečny jsou kolmé, pak je úhel sklonu druhé tečny. Z rovnice y = 7x – 20 první tečny máme tg a = 7. Najdeme

To znamená, že sklon druhé tečny je roven .

Další řešení se týká klíčového úkolu 3.

Nechť B(c; f(c)) je tečný bod druhé přímky

1. – úsečka druhého bodu tečnosti.
2.
3.
4.
– rovnice druhé tečny.

Poznámka. Úhlový koeficient tečny lze snáze zjistit, pokud studenti znají poměr koeficientů kolmých přímek k 1 k 2 = – 1.

2. Napište rovnice všech společných tečen ke grafům funkcí

Řešení. Úkol spočívá v nalezení abscisy tečných bodů společných tečen, tedy vyřešení klíčové úlohy 1 v obecném tvaru, sestavení soustavy rovnic a její řešení (obr. 6).

1. Nechť a je úsečka tečného bodu ležícího na grafu funkce y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Nechť c je úsečka tečného bodu ležícího na grafu funkce
2.
3. f "(c) = c.
4.

Protože tečny jsou obecné, pak

Takže y = x + 1 a y = – 3x – 3 jsou společné tečny.

Hlavním cílem uvažovaných úloh je připravit studenty k samostatnému rozpoznání typu klíčového problému při řešení složitějších problémů, které vyžadují určité badatelské dovednosti (schopnost analyzovat, porovnávat, zobecňovat, předkládat hypotézy atd.). Takové úlohy zahrnují jakoukoli úlohu, ve které je klíčová úloha zahrnuta jako součást. Uvažujme jako příklad problém (inverzní k problému 1) nalezení funkce z rodiny jejích tečen.

3. Pro jaké b a c jsou přímky y = x a y = – 2x tečné ke grafu funkce y = x 2 + bx + c?

Řešení.

Nechť t je úsečka tečného bodu přímky y = x s parabolou y = x 2 + bx + c; p je úsečka tečného bodu přímky y = – 2x s parabolou y = x 2 + bx + c. Potom rovnice tečny y = x bude mít tvar y = (2t + b)x + c – t 2 a rovnice tečny y = – 2x bude mít tvar y = (2p + b)x + c – p 2 .

Sestavme a vyřešme soustavu rovnic

Odpovědět:

Problémy řešit samostatně

1. Napište rovnice tečen nakreslených ke grafu funkce y = 2x 2 – 4x + 3 v průsečících grafu s přímkou ​​y = x + 3.

Odpověď: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Pro jaké hodnoty a prochází tečna nakreslená ke grafu funkce y = x 2 – ax v bodě grafu s úsečkou x 0 = 1 bodem M(2; 3)?

Odpověď: a = 0,5.

3. Pro jaké hodnoty p se přímka y = px – 5 dotýká křivky y = 3x 2 – 4x – 2?

Odpověď: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Najděte všechny společné body grafu funkce y = 3x – x 3 a tečnu vedenou k tomuto grafu bodem P(0; 16).

Odpověď: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Najděte nejkratší vzdálenost mezi parabolou y = x 2 + 6x + 10 a přímkou

Odpovědět:

6. Na křivce y = x 2 – x + 1 najděte bod, ve kterém je tečna ke grafu rovnoběžná s přímkou ​​y – 3x + 1 = 0.

Odpověď: M(2; 3).

7. Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = x 2 + 2x – | 4x |, který se ho dotýká ve dvou bodech. Udělejte nákres.

Odpověď: y = 2x – 4.

8. Dokažte, že přímka y = 2x – 1 neprotíná křivku y = x 4 + 3x 2 + 2x. Najděte vzdálenost mezi jejich nejbližšími body.

Odpovědět:

9. Na parabole y = x 2 se vezmou dva body s úsečkami x 1 = 1, x 2 = 3. Těmito body se vede sečna. V jakém bodě paraboly bude tečna k ní rovnoběžná se sečnou? Napište rovnice sečny a tečny.

Odpověď: y = 4x – 3 – rovnice sečny; y = 4x – 4 – rovnice tečny.

10. Najděte úhel q mezi tečnami ke grafu funkce y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 nakreslené v bodech s úsečkami 0 a 1.

Odpověď: q = 45°.

11. V jakých bodech svírá tečna ke grafu funkce úhel 135° s osou Ox?

Odpověď: A(0; – 1), B(4; 3).

12. V bodě A(1; 8) ke křivce je nakreslena tečna. Najděte délku tečného segmentu mezi souřadnicovými osami.

Odpovědět:

13. Napište rovnici všech společných tečen ke grafům funkcí y = x 2 – x + 1 a y = 2x 2 – x + 0,5.

Odpověď: y = – 3x a y = x.

14. Najděte vzdálenost mezi tečnami ke grafu funkce rovnoběžně s osou x.

Odpovědět:

15. Určete, pod jakými úhly parabola y = x 2 + 2x – 8 protíná osu x.

Odpověď: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (– 6).

16. Funkční graf najít všechny body, tečna v každém z nich k tomuto grafu protíná kladné poloosy souřadnic a odřezává z nich stejné segmenty.

Odpověď: A(– 3; 11).

17. Přímka y = 2x + 7 a parabola y = x 2 – 1 se protínají v bodech M a N. Najděte bod K průsečíku přímek tečných k parabole v bodech M a N.

Odpověď: K(1; – 9).

18. Pro jaké hodnoty b je přímka y = 9x + b tečnou ke grafu funkce y = x 3 – 3x + 15?

Odpověď: – 1; 31.

19. Pro jaké hodnoty k má přímka y = kx – 10 pouze jeden společný bod s grafem funkce y = 2x 2 + 3x – 2? Pro nalezené hodnoty k určete souřadnice bodu.

Odpověď: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. Pro jaké hodnoty b prochází tečna nakreslená ke grafu funkce y = bx 3 – 2x 2 – 4 v bodě s úsečkou x 0 = 2 bodem M(1; 8)?

Odpověď: b = – 3.

21. Parabola s vrcholem na ose Ox se dotýká přímky procházející body A(1; 2) a B(2; 4) v bodě B. Najděte rovnici paraboly.

Odpovědět:

22. Při jaké hodnotě koeficientu k se parabola y = x 2 + kx + 1 dotýká osy Ox?

Odpověď: k = d 2.

23. Najděte úhly mezi přímkou ​​y = x + 2 a křivkou y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Najděte vzdálenost mezi tečnami ke grafu funkce a generátory s kladným směrem osy Ox pod úhlem 45°.

Odpovědět:

30. Najděte těžiště vrcholů všech parabol tvaru y = x 2 + ax + b tečna k přímce y = 4x – 1.

Odpověď: přímka y = 4x + 3.

Literatura

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra a počátky analýzy: 3600 problémů pro školáky a studenty na vysoké školy. – M., Drop, 1999.
2. Mordkovich A. Seminář 4 pro mladé učitele. Téma: Aplikace derivátů. – M., „Matematika“, č. 21/94.
3. Utváření znalostí a dovedností na základě teorie postupné asimilace duševního jednání. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskevská státní univerzita, 1968.

Článek poskytuje podrobné vysvětlení definic, geometrický význam derivace s grafickými zápisy. Rovnice tečny bude uvažována na příkladech, budou nalezeny rovnice tečny ke křivkám 2. řádu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definice 1

Úhel sklonu přímky y = k x + b se nazývá úhel α, který se měří od kladného směru osy x k přímce y = k x + b v kladném směru.

Na obrázku je směr x označen zelenou šipkou a zeleným obloukem a úhel sklonu červeným obloukem. Modrá čára odkazuje na přímku.

Definice 2

Sklon přímky y = k x + b se nazývá číselný koeficient k.

Úhlový koeficient je roven tečně přímky, jinými slovy k = t g α.

• Úhel sklonu přímky je roven 0, pouze pokud je rovnoběžná s x a sklon je roven nule, protože tečna nuly je rovna 0. To znamená, že tvar rovnice bude y = b.
• Pokud je úhel sklonu přímky y = k x + b ostrý, pak jsou splněny podmínky 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 a v grafu je nárůst.
• Jestliže α = π 2, pak umístění přímky je kolmé na x. Rovnost je určena x = c, přičemž hodnota c je reálné číslo.
• Pokud je úhel sklonu přímky y = k x + b tupý, pak odpovídá podmínkám π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definice 3

Sečna je přímka, která prochází 2 body funkce f (x). Jinými slovy, sečna je přímka, která prochází libovolnými dvěma body na grafu dané funkce.

Obrázek ukazuje, že A B je sečna a f (x) je černá křivka, α je červený oblouk, udávající úhel sklonu sečny.

Když je úhlový koeficient přímky roven tangenci úhlu sklonu, je jasné, že tečnu pravoúhlého trojúhelníku A B C lze najít poměrem protilehlé strany k sousední.

Definice 4

Získáme vzorec pro nalezení sekansu tvaru:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, kde úsečky bodů A a B jsou hodnoty x A, x B a f (x A), f (x B) jsou funkce hodnot v těchto bodech.

Je zřejmé, že úhlový koeficient sečny je určen pomocí rovnosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A nebo k = f (x A) - f (x B) x A - x B , a rovnici je třeba zapsat jako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) popř.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Sečna rozděluje graf vizuálně na 3 části: nalevo od bodu A, od A do B, napravo od B. Obrázek níže ukazuje, že existují tři sečny, které jsou považovány za shodné, to znamená, že jsou nastaveny pomocí a podobná rovnice.

Z definice je jasné, že přímka a její sečna v v tomto případě sladit se.

Sečna může protínat graf dané funkce vícekrát. Pokud pro sečnu existuje rovnice tvaru y = 0, pak je počet průsečíků se sinusoidou nekonečný.

Definice 5

Tečna ke grafu funkce f (x) v bodě x 0 ; f (x 0) je přímka procházející daným bodem x 0; f (x 0), s přítomností segmentu, který má mnoho hodnot x blízkých x 0.

Příklad 1

Podívejme se blíže na níže uvedený příklad. Pak je jasné, že přímka definovaná funkcí y = x + 1 je považována za tečnu k y = 2 x v bodě se souřadnicemi (1; 2). Pro přehlednost je nutné uvažovat grafy s hodnotami blízkými (1; 2). Funkce y = 2 x je zobrazena černě, modrá čára je tečnou a červená tečka je průsečík.

Je zřejmé, že y = 2 x splyne s přímkou ​​y = x + 1.

Pro určení tečny bychom měli zvážit chování tečny A B, když se bod B nekonečně přibližuje k bodu A. Pro názornost uvádíme nákres.

Sečna A B, označená modrou čarou, směřuje k poloze samotné tečny a úhel sklonu sečny α se začne přiklánět k úhlu sklonu samotné tečny α x.

Definice 6

Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bodě A je považována za limitní polohu sečny A B, protože B směřuje k A, tedy B → A.

Nyní přejdeme k uvažování o geometrickém významu derivace funkce v bodě.

Přejděme k uvažování sečny A B pro funkci f (x), kde A a B se souřadnicemi x 0, f (x 0) a x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) a ∆ x je označený jako přírůstek argumentu . Nyní bude mít funkce tvar ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pro názornost uveďme příklad kresby.

Podívejme se na výsledek pravoúhlý trojuhelník A B C. K řešení použijeme definici tečny, to znamená, že získáme vztah ∆ y ∆ x = t g α . Z definice tečny vyplývá, že lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Podle pravidla derivace v bodě máme, že derivace f (x) v bodě x 0 se nazývá limita poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, kde ∆ x → 0 , pak to označíme jako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Z toho vyplývá, že f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kde k x je označena jako sklon tečny.

To znamená, že dostáváme, že f ' (x) může existovat v bodě x 0 a jako tečna k daný rozvrh funkce v bodě tečnosti rovné x 0, f 0 (x 0), kde hodnota sklonu tečny v bodě je rovna derivaci v bodě x 0. Pak dostaneme, že k x = f " (x 0) .

Geometrický význam derivace funkce v bodě je, že je dán koncept existence tečny ke grafu ve stejném bodě.

Pro zápis rovnice libovolné přímky na rovině je nutné mít úhlový koeficient s bodem, kterým prochází. Jeho zápis se bere jako x 0 v průsečíku.

Rovnice tečny ke grafu funkce y = f (x) v bodě x 0, f 0 (x 0) nabývá tvaru y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

To znamená, že konečná hodnota derivace f "(x 0) může určovat polohu tečny, tedy vertikálně, za předpokladu lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ a lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ nebo vůbec nepřítomnost za podmínky lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Umístění tečny závisí na hodnotě jejího úhlového koeficientu k x = f "(x 0). Když je rovnoběžná s osou ox, dostaneme, že k k = 0, když je rovnoběžná s o y - k x = ∞, a tvar rovnice tečny x = x 0 roste s k x > 0, klesá jako k x< 0 .

Příklad 2

Sestavte rovnici pro tečnu ke grafu funkce y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v bodě se souřadnicemi (1; 3) a určete úhel sklonu.

Řešení

Podle podmínky máme, že funkce je definována pro všechna reálná čísla. Zjistíme, že bod se souřadnicemi určenými podmínkou (1; 3) je bodem tečnosti, pak x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Je nutné najít derivaci v bodě s hodnotou -1. Chápeme to

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Hodnota f' (x) v bodě tečnosti je sklon tečny, který se rovná tečně sklonu.

Potom k x = t g α x = y" (x 0) = 3 3

Z toho vyplývá, že α x = a r c t g 3 3 = π 6

Odpovědět: rovnice tečny má tvar

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Pro názornost uvádíme příklad v grafickém znázornění.

Černá barva je použita pro graf původní funkce, Modrá barva– obraz tečny, červený bod – tečný bod. Obrázek vpravo ukazuje zvětšený pohled.

Příklad 3

Určete existenci tečny ke grafu dané funkce
y = 3 · x - 1 5 + 1 v bodě se souřadnicemi (1 ; 1) . Napište rovnici a určete úhel sklonu.

Řešení

Podle podmínky máme, že definiční obor dané funkce je považován za množinu všech reálných čísel.

Pojďme k nalezení derivace

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Pokud x 0 = 1, pak f' (x) není definováno, ale limity jsou zapsány jako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ a lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , což znamená existence vertikální tečna v bodě (1; 1).

Odpovědět: rovnice bude mít tvar x = 1, kde úhel sklonu bude roven π 2.

Pro názornost si to znázorněme graficky.

Příklad 4

Najděte body na grafu funkce y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kde

1. Neexistuje žádná tečna;
2. Tečna je rovnoběžná s x;
3. Tečna je rovnoběžná s přímkou ​​y = 8 5 x + 4.

Řešení

Je třeba věnovat pozornost rozsahu definice. Podle podmínky máme, že funkce je definována na množině všech reálných čísel. Modul rozšíříme a vyřešíme soustavu s intervaly x ∈ - ∞ ; 2 a [-2; + ∞). Chápeme to

y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; + ∞)

Je potřeba funkci odlišit. To máme

y" = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2; + ∞)

Když x = − 2, pak derivace neexistuje, protože jednostranné limity nejsou v tomto bodě stejné:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vypočteme hodnotu funkce v bodě x = - 2, kde to dostaneme

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, tedy tečna v bodě ( - 2; - 2) nebude existovat.
2. Tečna je rovnoběžná s x, když je sklon nulový. Potom k x = t g α x = f "(x 0). To znamená, že je nutné najít hodnoty takového x, když ho derivace funkce změní na nulu. Tedy hodnoty f ' (x) budou body tečnosti, kde je tečna rovnoběžná s x .

Když x ∈ - ∞ ; - 2, pak - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 a pro x ∈ (- 2; + ∞) dostaneme 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Vypočítejte odpovídající funkční hodnoty

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Proto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 jsou považovány za požadované body grafu funkce.

Podívejme se na grafické znázornění řešení.

Černá čára je graf funkce, červené tečky jsou tečné body.

1. Když jsou čáry rovnoběžné, úhlové koeficienty jsou stejné. Poté je nutné na funkčním grafu hledat body, kde bude sklon rovna hodnotě 8 5. Chcete-li to provést, musíte vyřešit rovnici ve tvaru y "(x) = 8 5. Pak, pokud x ∈ - ∞; - 2, dostaneme, že - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a pokud x ∈ ( - 2; + ∞), pak 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

První rovnice nemá kořeny, protože diskriminant je menší než nula. Pojďme si to zapsat

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Další rovnice má tedy dva skutečné kořeny

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Pojďme k nalezení hodnot funkce. Chápeme to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Body s hodnotami - 1; 4 15, 5; 8 3 jsou body, ve kterých jsou tečny rovnoběžné s přímkou ​​y = 8 5 x + 4.

Odpovědět:černá čára – graf funkce, červená čára – graf y = 8 5 x + 4, modrá čára – tečny v bodech - 1; 4 15, 5; 8 3.

Pro dané funkce může existovat nekonečný počet tečen.

Příklad 5

Napište rovnice všech dostupných tečen funkce y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, které jsou umístěny kolmo k přímce y = - 2 x + 1 2.

Řešení

Pro sestavení rovnice tečny je nutné najít koeficient a souřadnice tečného bodu na základě podmínky kolmosti přímek. Definice je následující: součin úhlových koeficientů, které jsou kolmé k přímkám, se rovná - 1, to znamená, že se zapisuje jako k x · k ⊥ = - 1. Z podmínky máme, že úhlový koeficient je umístěn kolmo k přímce a je roven k ⊥ = - 2, pak k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Nyní musíte najít souřadnice dotykových bodů. Musíte najít x a poté jeho hodnotu pro danou funkci. Všimněte si, že z geometrického významu derivace v bodě
x 0 získáme, že k x = y "(x 0). Z této rovnosti zjistíme hodnoty x pro body dotyku.

Chápeme to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Tato trigonometrická rovnice bude použita k výpočtu souřadnic tečných bodů.

3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk nebo 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk nebo 3 2 x 0 - π 4 = π + a rc sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk nebo x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množina celých čísel.

bylo nalezeno x styčných bodů. Nyní musíte přejít k hledání hodnot y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - hřích 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 nebo y 0 = 3 - 1 - hřích 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 nebo y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 nebo y 0 = - 4 5 + 1 3

Z toho dostaneme, že 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 jsou tečné body.

Odpovědět: potřebné rovnice budou zapsány jako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pro vizuální znázornění zvažte funkci a tečnu na souřadnicové čáře.

Obrázek ukazuje, že umístění funkce přicházejí na intervalu [-10; 10 ], kde černá čára je graf funkce, modré čáry jsou tečny, které jsou umístěny kolmo k dané přímce tvaru y = - 2 x + 1 2. Červené tečky jsou dotykové body.

Kanonické rovnice křivek 2. řádu nejsou jednohodnotové funkce. Tangentní rovnice pro ně jsou sestaveny podle známých schémat.

Tečna ke kruhu

Chcete-li definovat kružnici se středem v bodě x c e n t e r ; y c e n t e r a poloměr R, použijte vzorec x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Tuto rovnost lze zapsat jako spojení dvou funkcí:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

První funkce je umístěna nahoře a druhá dole, jak je znázorněno na obrázku.

Sestavit rovnici kružnice v bodě x 0; y 0 , který se nachází v horním nebo dolním půlkruhu, měli byste najít rovnici grafu funkce ve tvaru y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r nebo y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r v uvedeném bodě.

Když v bodech x c e n t e r ; y c e n t e r + R a x c e n t e r; y c e n t e r - R tečny mohou být dány rovnicemi y = y c e n t e r + R a y = y c e n t e r - R a v bodech x c e n t e r + R; y c e n t e r a
x c e n t e r - R; y c e n t e r bude rovnoběžné s o y, pak dostaneme rovnice tvaru x = x c e n t e r + R a x = x c e n t e r - R .

Tečna k elipse

Když má elipsa střed v x c e n t e r ; y c e n t e r s poloosami a a b, pak lze upřesnit pomocí rovnice x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsu a kružnici lze označit kombinací dvou funkcí, a to horní a dolní půlelipsy. Pak to dostaneme

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Pokud jsou tečny umístěny ve vrcholech elipsy, pak jsou rovnoběžné kolem x nebo kolem y. Níže, pro jasnost, zvažte obrázek.

Příklad 6

Napište rovnici tečny k elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v bodech s hodnotami x rovnými x = 2.

Řešení

Je nutné najít tečné body, které odpovídají hodnotě x = 2. Dosadíme do existující rovnice elipsy a najdeme ji

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potom 2; 5 3 2 + 5 a 2; - 5 3 2 + 5 jsou tečné body, které patří horní a dolní půlelipse.

Přejděme k nalezení a řešení rovnice elipsy vzhledem k y. Chápeme to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 r - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Je zřejmé, že horní polovina elipsy je specifikována pomocí funkce tvaru y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 a dolní polovina elipsy y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Aplikujme standardní algoritmus k vytvoření rovnice pro tečnu ke grafu funkce v bodě. Zapišme, že rovnice pro první tečnu v bodě 2; 5 3 2 + 5 bude vypadat

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Zjistíme, že rovnice druhé tečny s hodnotou v bodě
2; - 5 3 2 + 5 má tvar

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficky jsou tečny označeny takto:

Tečna k hyperbole

Když má hyperbola střed v x c e n t e r ; y c e n t e r a vrcholy x c e n t e r + α ; y c e n t e r a x c e n t e r - α; y c e n t e r , nastává nerovnost x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, jestliže s vrcholy x c e n t e r ; y c e n t e r + b a x c e n t e r; y c e n t e r - b , pak je specifikováno pomocí nerovnosti x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Hyperbola může být reprezentována jako dvě kombinované funkce formuláře

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r nebo y = b a e 2 c e 2 c e 2 e e 2 e 2 e e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

V prvním případě platí, že tečny jsou rovnoběžné s y a ve druhém jsou rovnoběžné s x.

Z toho vyplývá, že pro nalezení rovnice tečny k hyperbole je nutné zjistit, ke které funkci bod tečnosti patří. K jeho určení je nutné dosadit do rovnic a zkontrolovat identitu.

Příklad 7

Napište rovnici pro tečnu k hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v bodě 7; - 3 3 - 3 .

Řešení

Je nutné transformovat záznam řešení pro nalezení hyperboly pomocí 2 funkcí. Chápeme to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 a y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Je nutné identifikovat, ke které funkci patří nastavený bod se souřadnicemi 7; - 3 3 - 3 .

Pro kontrolu první funkce je samozřejmě nutné y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, pak bod do grafu nepatří, protože rovnost neplatí.

Pro druhou funkci platí, že y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, což znamená, že bod patří do daného grafu. Odtud byste měli najít svah.

Chápeme to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odpovědět: tečnou rovnici lze reprezentovat jako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Je to jasně znázorněno takto:

Tangenta k parabole

Chcete-li vytvořit rovnici pro tečnu k parabole y = a x 2 + b x + c v bodě x 0, y (x 0), musíte použít standardní algoritmus, pak rovnice bude mít tvar y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Taková tečna ve vrcholu je rovnoběžná s x.

Měli byste definovat parabolu x = a y 2 + b y + c jako spojení dvou funkcí. Proto musíme vyřešit rovnici pro y. Chápeme to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2a

Graficky znázorněno jako:

Chcete-li zjistit, zda bod x 0, y (x 0) patří nějaké funkci, postupujte jemně podle standardního algoritmu. Taková tečna bude rovnoběžná s oy vzhledem k parabole.

Příklad 8

Napište rovnici tečny ke grafu x - 2 y 2 - 5 y + 3, když máme tečný úhel 150°.

Řešení

Řešení začneme reprezentací paraboly jako dvou funkcí. Chápeme to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Hodnota sklonu je rovna hodnotě derivace v bodě x 0 této funkce a je rovna tečně úhlu sklonu.

Dostaneme:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150° = - 1 3

Odtud určíme hodnotu x pro body dotyku.

První funkce bude zapsána jako

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Je zřejmé, že neexistují žádné skutečné kořeny, protože jsme dostali zápornou hodnotu. Dojdeme k závěru, že pro takovou funkci neexistuje žádná tečna s úhlem 150°.

Druhá funkce bude zapsána jako

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Máme, že styčných bodů je 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Odpovědět: rovnice tečny má tvar

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Pojďme si to graficky znázornit takto:

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Už víte, co je to derivát? Pokud ne, přečtěte si nejprve téma. Takže říkáte, že znáte derivaci. Pojďme to teď zkontrolovat. Najděte přírůstek funkce, když je přírůstek argumentu roven. Zvládli jste to? Mělo by to fungovat. Nyní najděte derivaci funkce v bodě. Odpovědět: . Stalo? Pokud máte s některým z těchto příkladů potíže, důrazně doporučuji vrátit se k tématu a znovu si ho prostudovat. Vím, že téma je hodně velké, ale jinak nemá smysl pokračovat. Zvažte graf nějaké funkce:

Vyberme určitý bod na čáře grafu. Nechť jeho úsečku, pak je pořadnice rovna. Poté vybereme bod s úsečkou blízko bodu; jeho pořadnice je:

Proveďte přímku přes tyto body. Říká se tomu sečna (stejně jako v geometrii). Označme úhel sklonu přímky k ose jako. Stejně jako v trigonometrii se tento úhel měří od kladného směru osy x proti směru hodinových ručiček. Jaké hodnoty může úhel nabývat? Bez ohledu na to, jak nakloníte tuto přímku, jedna polovina bude stále trčet. Proto maximální možný úhel je , a minimální možný úhel je . Znamená, . Úhel není zahrnut, protože poloha přímky se v tomto případě přesně shoduje s a je logičtější zvolit menší úhel. Vezměme bod na obrázku tak, že přímka je rovnoběžná s osou úsečky a a je osa pořadnice:

Z obrázku je vidět, že a. Pak je poměr přírůstků:

(protože je obdélníkový).

Pojďme to nyní snížit. Potom se bod přiblíží k bodu. Když se stane nekonečně malým, poměr se stane rovným derivaci funkce v bodě. Co se stane se sekantem? Bod bude nekonečně blízko bodu, takže je lze považovat za stejný bod. Ale přímka, která má pouze jeden společný bod s křivkou, není nic jiného než tečna(v tomto případě je tato podmínka splněna jen na malé ploše - blízko bodu, ale to stačí). Říkají, že v tomto případě zabírá secant limitní poloha.

Nazvěme úhel sklonu sečny k ose. Pak se ukáže, že derivace

to znamená derivace je rovna tangenci úhlu sklonu tečny ke grafu funkce v daném bodě.

Protože tečna je přímka, připomeňme si nyní rovnici přímky:

Za co je odpovědný koeficient? Pro sklon přímky. Tomu se říká: sklon. Co to znamená? A to, že se rovná tečně úhlu mezi přímkou ​​a osou! Takže se stane toto:

Ale toto pravidlo jsme získali tím, že jsme zvážili rostoucí funkci. Co se změní, pokud bude funkce klesat? Uvidíme:
Nyní jsou úhly tupé. A přírůstek funkce je záporný. Uvažujme znovu: . Na druhé straně, . Dostáváme: , to znamená, že vše je stejné jako minule. Znovu nasměrujeme bod do bodu a sečna zaujme omezující polohu, to znamená, že se změní v tečnu ke grafu funkce v bodě. Pojďme tedy formulovat konečné pravidlo:
Derivace funkce v daném bodě je rovna tangenci úhlu sklonu tečny ke grafu funkce v tomto bodě, nebo (což je stejné) sklonu této tečny:

Tak to je geometrický význam derivace. Dobře, to všechno je zajímavé, ale proč to potřebujeme? Tady příklad:
Obrázek ukazuje graf funkce a tečnu k ní v bodě úsečky. Najděte hodnotu derivace funkce v bodě.
Řešení.
Jak jsme nedávno zjistili, hodnota derivace v bodě tečnosti se rovná sklonu tečny, která se zase rovná tečně úhlu sklonu této tečny k ose úsečky: . To znamená, že abychom našli hodnotu derivace, musíme najít tangens tangens úhlu. Na obrázku jsme označili dva body ležící na tečně, jejichž souřadnice jsou nám známé. Dokončeme tedy konstrukci pravoúhlého trojúhelníku procházejícího těmito body a najdeme tečnu tečného úhlu!

Úhel sklonu tečny k ose je. Pojďme najít tangens tohoto úhlu: . Derivace funkce v bodě je tedy rovna.
Odpovědět:. Nyní to zkuste sami:

Odpovědi:

Vědět geometrický význam derivace, můžeme velmi jednoduše vysvětlit pravidlo, že derivace v bodě místní maximum nebo minimum je nula. Ve skutečnosti je tečna ke grafu v těchto bodech „horizontální“, tedy rovnoběžná s osou x:

Jaký je úhel mezi rovnoběžnými čarami? Samozřejmě nula! A tangens nuly je také nula. Takže derivace je rovna nule:

Přečtěte si o tom více v tématu „Monotonie funkcí. Extrémní body."

Nyní se zaměřme na libovolné tečny. Řekněme, že máme nějakou funkci, například . Nakreslili jsme jeho graf a chceme k němu v určitém bodě nakreslit tečnu. Například v bodě. Vezmeme pravítko, přiložíme ho ke grafu a nakreslíme:

Co víme o této lince? Co je nejdůležitější vědět o přímce v souřadnicové rovině? Protože přímka je obraz lineární funkce, bylo by velmi vhodné znát jeho rovnici. Tedy koeficienty v rovnici

Ale my už víme! Toto je sklon tečny, který se rovná derivaci funkce v tomto bodě:

V našem příkladu to bude takto:

Teď už zbývá jen najít. Je to stejně jednoduché jako loupání hrušek: koneckonců - hodnota. Graficky je to souřadnice průsečíku přímky se souřadnicovou osou (koneckonců ve všech bodech osy):

Nakreslíme to (takže je to obdélníkové). Potom (do stejného úhlu mezi tečnou a osou x). Co jsou a čemu se rovnají? Obrázek jasně ukazuje, že a. Pak dostaneme:

Všechny získané vzorce spojíme do rovnice přímky:

Nyní se rozhodněte sami:

1. Nalézt tečnou rovnici k funkci v bodě.
2. Tečna k parabole protíná osu pod úhlem. Najděte rovnici této tečny.
3. Přímka je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce. Najděte úsečku tečného bodu.
4. Přímka je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce. Najděte úsečku tečného bodu.

Řešení a odpovědi:

ROVNICE TEČNY KE GRAFU FUNKCE. STRUČNÝ POPIS A ZÁKLADNÍ VZORCE

Derivace funkce v určitém bodě se rovná tečně tečny ke grafu funkce v tomto bodě nebo sklonu této tečny:

Rovnice tečny ke grafu funkce v bodě:

Algoritmus pro nalezení tečné rovnice:

No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.

Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5%!

Teď to nejdůležitější.

Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... to je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.

Problém je, že to nemusí stačit...

Proč?

Za úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za vstup na vysokou školu s omezeným rozpočtem a NEJDŮLEŽITĚJŠÍ, na celý život.

Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...

Lidé, kteří dostali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří je nedostali. Toto je statistika.

Ale to není to hlavní.

Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...

Ale zamyslete se sami...

Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?

ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.

Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.

Budete potřebovat řešit problémy s časem.

A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.

Je to jako ve sportu – je potřeba to mnohokrát opakovat, abyste zaručeně vyhráli.

Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobná analýza a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!

Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.

Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.

Jak? Jsou dvě možnosti:

1. Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku - 299 rublů.
2. Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - 499 rublů.

Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.

Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.

Na závěr...

Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.

„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.

Najděte problémy a řešte je!