Bodový odhad a jeho vlastnosti. Odhad matematického očekávání náhodné veličiny

s x =(1.11)

Dále se budeme zabývat důležitým problémem pro studium pozorované náhodné veličiny. Nechť je nějaký vzorek (označíme ho S) náhodná proměnná X. Je nutné odhadnout neznámé hodnoty z dostupného vzorku m x A .

Teorie odhadů různých parametrů trvá matematické statistiky významné místo. Proto nejprve uvažujme společný úkol. Nechť je požadováno odhadnout nějaký parametr A podle vzorku S. Každé takové hodnocení A* je nějaká funkce a*=a*(S) z hodnot vzorku. Hodnoty vzorku jsou náhodné, takže samotný odhad A* je náhodná veličina. Můžete stavět více různé odhady(tj. funkce) A*, ale zároveň je žádoucí mít „dobré“ nebo dokonce „nejlepší“ v určitém smyslu hodnocení. Odhady obvykle podléhají následujícím třem přirozeným požadavkům.

1. Nezaujatý. Matematické očekávání odhadu A* se musí rovnat přesné hodnotě parametru: M = a. Jinými slovy, skóre A* nemělo by docházet k systematické chybě.

2. Konzistence. S nekonečným nárůstem velikosti vzorku se odhad A* by měla konvergovat k přesné hodnotě, to znamená, že s rostoucím počtem pozorování má chyba odhadu tendenci k nule.

3. Účinnost.Školní známka A* se nazývá efektivní, pokud je nezaujatý a má nejmenší možný rozptyl chyb. V tomto případě je rozptyl odhadů minimální. A* vzhledem k přesné hodnotě a odhad je v jistém smyslu „nejpřesnější“.

Bohužel není vždy možné sestavit odhad, který splňuje všechny tři požadavky současně.

Pro odhad matematického očekávání se nejčastěji používá odhad.

= , (1.12)

tedy aritmetický průměr vzorku. Pokud náhodná veličina X má konečný m x A s x, pak je odhad (1.12) nestranný a konzistentní. Tento odhad je účinný např X má normální rozdělení (obr.p.1.4, Příloha 1). U jiných distribucí nemusí být efektivní. Například v případě rovnoměrného rozdělení (obrázek 1.1, příloha 1) bude nestranný, konzistentní odhad

(1.13)

Odhad (1.13) pro normální rozdělení přitom nebude konzistentní ani efektivní a bude se s rostoucí velikostí vzorku dokonce zhoršovat.

Tedy pro každý typ rozdělení náhodné veličiny X měli byste použít svůj odhad matematického očekávání. V naší situaci však lze typ distribuce znát pouze hypoteticky. Proto použijeme odhad (1.12), který je celkem jednoduchý a má nejvíce důležité vlastnosti nezaujatost a životaschopnost.

K odhadu matematického očekávání pro seskupený vzorek se používá následující vzorec:

= , (1.14)

které lze získat z předchozího, uvážíme-li všechny m i vzorové hodnoty, do kterých spadají i-tý interval rovný zástupce z i tento interval. Tento odhad je samozřejmě hrubší, ale vyžaduje mnohem méně výpočtů, zejména u velkého vzorku.

Pro odhad rozptylu se nejčastěji používá odhad:

= , (1.15)

Tento odhad není zkreslený a je konzistentní pro jakoukoli náhodnou veličinu X, který má konečné momenty až do čtvrtého řádu včetně.

V případě seskupeného vzorku se použije odhad:

= (1.16)

Odhady (1.14) a (1.16) jsou zpravidla zkreslené a neudržitelné, protože jejich matematická očekávání a limity, ke kterým konvergují, se liší od m x a kvůli nahrazení všech vzorových hodnot, do kterých spadají i–tý interval, na zástupce intervalu z i.

Všimněte si, že pro velké n, součinitel n/(n – 1) ve výrazech (1.15) a (1.16) se blíží jednotě, lze jej tedy vynechat.

Intervalové odhady.

Nechat přesná hodnota nějaký parametr se rovná A a našel svůj odhad tak jako) podle vzorku S. Posoudit A* odpovídá bodu na číselné ose (obr. 1.5), proto se toto posouzení nazývá směřovat. Všechny odhady uvedené v předchozí části jsou bodové odhady. Téměř vždy, náhodou

a* ¹ a, a můžeme jen doufat, že bod A* je někde poblíž A. Ale jak blízko? Jakýkoli jiný bodový odhad bude mít stejnou nevýhodu – absenci míry spolehlivosti výsledku.

Obr.1.5. Bodový odhad parametru.

Konkrétnější jsou v tomto ohledu intervalové odhady. Intervalové skóre je interval I b \u003d (a, b), ve kterém se s danou pravděpodobností nachází přesná hodnota odhadovaného parametru b. Interval Ib volal interval spolehlivosti a pravděpodobnost b volal úroveň důvěry a lze je považovat za spolehlivost odhadu.

Interval spolehlivosti bude založen na dostupném vzorku S, je náhodný v tom smyslu, že jeho hranice jsou náhodné tak jako) A b(S), kterou vypočítáme z (náhodného) vzorku. Proto b existuje pravděpodobnost, že náhodný interval Ib bude pokrývat nenáhodný bod A. Na Obr. 1.6. interval Ib pokryl bod A, A Ib*- Ne. Není proto zcela správné to říkat A" spadá do intervalu.

Pokud úroveň důvěry b velký (např. b = 0,999), pak téměř vždy přesnou hodnotu A je ve zkonstruovaném intervalu.

Obr.1.6. Intervaly spolehlivosti parametrů A pro různé vzorky.

Zvažte metodu pro konstrukci intervalu spolehlivosti pro matematické očekávání náhodné proměnné X, na základě teorém centrálního limitu.

Nechť náhodnou veličinu X má neznámá matematická očekávání m x A známý rozptyl. Pak na základě centrální limitní věty je aritmetický průměr:

= , (1.17)

Výsledek n nezávislé testy velikosti X je náhodná veličina, jejíž rozdělení pro velké n, blízko k normální distribuce s průměrem m x a standardní odchylka. Takže náhodná veličina

(1.18)

má rozdělení pravděpodobnosti, které lze uvažovat standardní normální s hustotou distribuce j(t), jehož graf je na obr. 1.7 (stejně jako na obr. str. 1.4, příloha 1).

Obr.1.7. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny t.

Nechť je dána pravděpodobnost spolehlivosti b A tb-číslo, které odpovídá rovnici

b \u003d F 0 (t b) - F 0 (-t b) \u003d 2 F 0 (t b),(1.19)

Kde - Laplaceova funkce. Pak pravděpodobnost pádu do intervalu (-t b, t b) se bude rovnat stínovanému na obr. 1.7. plocha a na základě výrazu (1.19) se rovná b. Proto

b = P(-tb< < t b) = P( – tb< m x < + tb) =

=P( – tb< m x < + t b).(1.20)

Jako interval spolehlivosti tedy můžeme brát interval

I b = ( – t b; + tb ) , (1.21)

protože výraz (1.20) znamená, že neznámá přesná hodnota m x je v Ib s danou pravděpodobností spolehlivosti b. Na stavbu Ib potřebné podle b nalézt tb z rovnice (1.19). Zde jsou některé hodnoty tb v budoucnu potřebné :

t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

Při odvozování výrazu (1.21) se předpokládalo, že je známa přesná hodnota střední kvadratické odchylky s x. Ne vždy se to však pozná. Proto použijeme jeho odhad (1.15) a získáme:

I b = ( – t b; + t b). (1.22)

V souladu s tím odhady a získané ze seskupeného vzorku poskytují následující vzorec pro interval spolehlivosti:

I b = ( – t b; + t b). (1.23)

CÍL PŘEDNÁŠKY: představit koncept odhadu neznámého distribučního parametru a podat klasifikaci těchto odhadů; získat bodové a intervalové odhady matematického očekávání a rozptylu.

V praxi je ve většině případů zákon rozdělení náhodné veličiny neznámý a podle výsledků pozorování
je nutné vyhodnotit číselné charakteristiky (například matematické očekávání, rozptyl nebo jiné momenty) nebo neznámý parametr , který definuje distribuční zákon (hustota distribuce)
studovaná náhodná proměnná. Takže pro exponenciální nebo Poissonovo rozdělení stačí vyhodnotit jeden parametr a pro normální rozdělení se už mají vyhodnotit parametry dva - matematické očekávání a rozptyl.

Typy hodnocení

Náhodná hodnota
má hustotu pravděpodobnosti
, Kde je neznámý distribuční parametr. V důsledku experimentu byly získány hodnoty této náhodné proměnné:
. Provést hodnocení v podstatě znamená, že vzorové hodnoty náhodné proměnné musí být spojeny s určitou hodnotou parametru , tedy vytvořit nějakou funkci výsledků pozorování
, jehož hodnota je brána jako odhad parametr . Index udává počet provedených experimentů.

Zavolá se jakákoli funkce, která závisí na výsledcích pozorování statistika. Vzhledem k tomu, že výsledky pozorování jsou náhodné veličiny, bude náhodnou veličinou i statistika. Proto ten odhad
neznámý parametr by měla být považována za náhodnou veličinu a její hodnota se vypočítá z experimentálních dat objemově , – jako jedna z možných hodnot této náhodné veličiny.

Odhady distribučních parametrů (číselné charakteristiky náhodné veličiny) se dělí na bodové a intervalové. Bodový odhad parametr určeno jedním číslem a jeho přesnost je charakterizována rozptylem odhadu. intervalový odhad tzv. odhad, který je určen dvěma čísly, A – podle konců intervalu pokrývajícího odhadovaný parametr s danou úrovní spolehlivosti.

Klasifikace bodových odhadů

Chcete-li provést bodový odhad neznámého parametru
je nejlepší z hlediska přesnosti, musí být konzistentní, nezaujatý a efektivní.

Bohatý tzv. skóre
parametr , pokud konverguje v pravděpodobnosti k odhadovanému parametru, tzn.

. (8.8)

Na základě Čebyševovy nerovnosti to lze ukázat dostatečný stav vztah (8.8) je rovnost

.

Konzistence je asymptotická charakteristika odhadu pro
.

objektivní tzv. skóre
(odhad bez systematické chyby), jehož matematické očekávání se rovná odhadovanému parametru, tzn.

. (8.9)

Pokud rovnost (8.9) není splněna, pak se odhad nazývá vychýlený. Rozdíl
nazývané zkreslení nebo zkreslení odhadu. Je-li rovnost (8.9) splněna pouze pro
, pak se odpovídající odhad nazývá asymptoticky nestranný.

Je třeba poznamenat, že pokud je konzistence téměř povinnou podmínkou pro všechny v praxi používané odhady (nekonzistentní odhady se používají extrémně zřídka), pak je vlastnost nestrannosti pouze žádoucí. Mnoho běžně používaných odhadů nemá nezaujatou vlastnost.

V obecný případ přesnost odhadu některých parametrů získané na základě experimentálních dat
, je charakterizována střední čtvercovou chybou

,

které lze přivést do formuláře

,

kde je rozptyl,
je druhá mocnina zkreslení odhadu.

Pokud je odhad nestranný, pak

Ve finále odhady se mohou lišit o střední čtverec chyby . Přirozeně, čím menší je tato chyba, tím přesněji jsou hodnoty vyhodnocení seskupeny kolem odhadovaného parametru. Proto je vždy žádoucí, aby chyba odhadu byla co nejmenší, tedy podmínka

. (8.10)

Odhad splnění podmínky (8.10) se nazývá odhad s minimální čtvercovou chybou.

účinný tzv. skóre
, u kterého střední kvadratická chyba není větší než střední kvadratická chyba jakéhokoli jiného odhadu, tzn.

Kde – jakýkoli odhad dalšího parametru .

Je známo, že rozptyl jakéhokoli nestranného odhadu jednoho parametru splňuje Cramer-Raoovu nerovnost

,

Kde
– podmíněná hustota rozdělení pravděpodobnosti získaných hodnot náhodné veličiny se skutečnou hodnotou parametru .

Tedy nezaujatý odhadce
, pro které se Cramer-Rao nerovnost stane rovností, bude efektivní, tj. takový odhad má minimální rozptyl.

Bodové odhady matematického očekávání a rozptylu

Pokud uvažujeme náhodnou veličinu
, která má matematické očekávání a disperze , předpokládá se, že oba tyto parametry jsou neznámé. Proto nad náhodnou veličinou
vyrobeno nezávislé experimenty, které dávají výsledky:
. Je nutné najít konzistentní a nezkreslené odhady neznámých parametrů A .

Podle odhadů A obvykle se volí statistický (výběrový) průměr a statistický (výběrový) rozptyl:

; (8.11)

. (8.12)

Odhad očekávání (8.11) je konzistentní podle zákona velkých čísel (Čebyševova věta):

.

Matematické očekávání náhodné veličiny

.

Proto ten odhad je nezaujatý.

Rozptyl odhadu matematického očekávání:

Pokud náhodná veličina
rozděleno podle normálního zákona, pak odhad je také účinný.

Matematické očekávání odhadu rozptylu

Ve stejný čas

.

Protože
, A
, pak dostaneme

. (8.13)

Tím pádem,
je zkreslený odhad, i když je konzistentní a účinný.

Ze vzorce (8.13) vyplývá, že pro získání nezkresleného odhadu
výběrový rozptyl (8.12) by měl být upraven takto:

což je považováno za „lepší“ než odhad (8.12), i když pro velké tyto odhady jsou téměř stejné.

Metody získávání odhadů distribučních parametrů

V praxi často na základě analýzy fyzikálního mechanismu, který generuje náhodnou veličinu
, můžeme dojít k závěru o zákonu rozdělení této náhodné veličiny. Parametry tohoto rozdělení jsou však neznámé a je třeba je odhadnout z výsledků experimentu, obvykle prezentovaného jako konečný vzorek.
. K řešení takového problému se nejčastěji používají dvě metody: metoda momentů a metoda maximální věrohodnosti.

Metoda momentů. Metoda spočívá ve zrovnoprávnění teoretických momentů s odpovídajícími empirickými momenty stejného řádu.

Empirické počáteční momenty pořadí jsou určeny vzorcem:

,

a odpovídající teoretické počáteční momenty řád - vzorce:

pro diskrétní náhodné proměnné,

pro spojité náhodné proměnné,

Kde je odhadovaný distribuční parametr.

Získat odhady parametrů rozdělení obsahující dva neznámé parametry A , systém se skládá ze dvou rovnic

Kde A jsou teoretické a empirické ústřední momenty druhého řádu.

Řešením soustavy rovnic jsou odhady A neznámé distribuční parametry A .

Porovnáním teoretických empirických počátečních momentů prvního řádu získáme, že odhadem matematického očekávání náhodné veličiny
, který má libovolné rozdělení, bude výběrový průměr, tzn.
. Poté, když přirovnáme teoretické a empirické centrální momenty druhého řádu, získáme, že odhad rozptylu náhodné veličiny
, který má libovolné rozdělení, je určen vzorcem

.

Podobným způsobem lze nalézt odhady teoretických momentů libovolného řádu.

Metoda momentů je jednoduchá a nevyžaduje složité výpočty, ale odhady získané touto metodou jsou často neefektivní.

Metoda maximální pravděpodobnosti. Metoda maximální věrohodnosti bodového odhadu neznámých distribučních parametrů je redukována na nalezení maximální funkce jednoho nebo více odhadovaných parametrů.

Nechat
je spojitá náhodná veličina, která jako výsledek testy nabraly hodnoty
. Chcete-li získat odhad neznámého parametru je potřeba najít hodnotu , při kterém by pravděpodobnost realizace získaného vzorku byla maximální. Protože
jsou vzájemně nezávislé veličiny se stejnou hustotou pravděpodobnosti
, Že pravděpodobnostní funkce zavolejte funkci argument :

Odhad maximální pravděpodobnosti parametru tato hodnota se nazývá , při kterém věrohodnostní funkce dosáhne svého maxima, tj. je řešením rovnice

,

což samozřejmě závisí na výsledcích testů
.

Vzhledem k tomu, funkce
A
dosáhnout maxima při stejných hodnotách
, pak často pro zjednodušení výpočtů používají funkci logaritmické pravděpodobnosti a hledají kořen odpovídající rovnice

,

který se nazývá pravděpodobnostní rovnice.

Pokud potřebujete vyhodnotit několik parametrů
rozdělení
, pak bude pravděpodobnostní funkce záviset na těchto parametrech. Chcete-li najít odhady
distribuční parametry, je nutné systém vyřešit pravděpodobnostní rovnice

.

Metoda maximální věrohodnosti poskytuje konzistentní a asymptoticky účinné odhady. Odhady získané metodou maximální věrohodnosti jsou však někdy vychýlené a k nalezení odhadů je navíc často nutné řešit poměrně složité soustavy rovnic.

Intervalové odhady parametrů

Přesnost bodových odhadů je charakterizována jejich rozptylem. Zároveň neexistují žádné informace o tom, jak blízko jsou získané odhady skutečným hodnotám parametrů. V řadě úloh je potřeba nejen najít pro parametr vhodnou číselnou hodnotu, ale také vyhodnotit její přesnost a spolehlivost. Je třeba zjistit, k jakým chybám může výměna parametrů vést. jeho bodový odhad as jakou mírou jistoty můžeme očekávat, že tyto chyby nepřekročí známé meze.

Takové problémy jsou zvláště důležité pro malý počet experimentů. kdy bodový odhad do značné míry náhodná a přibližná substituce na může vést k významným chybám.

úplnější a spolehlivým způsobem Odhad distribučních parametrů spočívá v určení nikoli jedné bodové hodnoty, ale intervalu, který s danou pravděpodobností pokrývá skutečnou hodnotu odhadovaného parametru.

Nechte výsledky experimentů se získá nezkreslený odhad
parametr . Je třeba vyhodnotit možnou chybu. Je zvolena nějaká dostatečně velká pravděpodobnost
(například), že událost s touto pravděpodobností lze považovat za prakticky jistou událost a taková hodnota se najde , pro který

. (8.15)

V tomto případě je rozsah prakticky možných hodnot chyby, ke které dochází při výměně na , vůle
a velké absolutní chyby se objeví jen s malou pravděpodobností .

Výraz (8.15) znamená, že s pravděpodobností
neznámá hodnota parametru spadá do intervalu

. (8.16)

Pravděpodobnost
volal úroveň důvěry a interval pokrytí s pravděpodobností je volána skutečná hodnota parametru interval spolehlivosti. Všimněte si, že je nesprávné říkat, že hodnota parametru leží v intervalu spolehlivosti s pravděpodobností . Použité znění (kryty) znamená, že ačkoli je odhadovaný parametr neznámý, má konstantní hodnotu, a proto nemá rozptyl, protože se nejedná o náhodnou veličinu.

Matematické očekávání je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny

Matematické očekávání, definice, matematické očekávání diskrétních a spojitých náhodných veličin, selektivní, podmíněné očekávání, výpočet, vlastnosti, úlohy, odhad očekávání, rozptyl, distribuční funkce, vzorce, příklady výpočtu

Rozbalte obsah

Sbalit obsah

Matematické očekávání je definice

Jeden z nejdůležitějších pojmů v matematické statistice a teorii pravděpodobnosti, charakterizující rozložení hodnot nebo pravděpodobností náhodné veličiny. Obvykle se vyjadřuje jako vážený průměr všech možných parametrů náhodné veličiny. Je široce používán v technické analýze, studiu číselných řad, studiu spojitých a dlouhodobých procesů. Má to důležitost při hodnocení rizik, predikci cenových ukazatelů při obchodování na finančních trzích se využívá při vývoji strategií a metod herní taktiky v teorii hazardu.

Matematické očekávání je střední hodnota náhodné veličiny, rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je uvažováno v teorii pravděpodobnosti.

Matematické očekávání je míra střední hodnoty náhodné veličiny v teorii pravděpodobnosti. Matematické očekávání náhodné veličiny X označené M(x).

Matematické očekávání je

Matematické očekávání je v teorii pravděpodobnosti vážený průměr všech možných hodnot, které může tato náhodná veličina nabývat.

Matematické očekávání je součet součinů všech možných hodnot náhodné veličiny pravděpodobností těchto hodnot.

Matematické očekávání je průměrný prospěch z konkrétního rozhodnutí za předpokladu, že takové rozhodnutí lze uvažovat v rámci teorie velkých čísel a dlouhé vzdálenosti.

Matematické očekávání je v teorii hazardu částka výher, kterou může hráč v průměru vydělat nebo prohrát za každou sázku. V jazyce hazardních hráčů se tomu někdy říká „hráčská hrana“ (pokud je pro hráče kladná) nebo „domová hrana“ (pokud je pro hráče záporná).

Matematické očekávání je Procento zisku na výhru vynásobené průměrným ziskem mínus pravděpodobnost ztráty vynásobená průměrnou ztrátou.

Matematické očekávání náhodné veličiny v matematická teorie

Jednou z důležitých číselných charakteristik náhodné veličiny je matematické očekávání. Představme si koncept systému náhodných veličin. Uvažujme soubor náhodných proměnných, které jsou výsledkem stejného náhodného experimentu. Pokud je jedna z možných hodnot systému, pak událost odpovídá určité pravděpodobnosti, která splňuje Kolmogorovovy axiomy. Funkce definovaná pro jakékoli možné hodnoty náhodných proměnných se nazývá zákon společného rozdělení. Tato funkce vám umožňuje vypočítat pravděpodobnosti jakýchkoli událostí. Zejména společný zákon rozdělení náhodných veličin a, které nabývají hodnot z množiny a je dán pravděpodobnostmi.

Termín „očekávání“ zavedl Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) a vznikl z konceptu „očekávané hodnoty výplaty“, který se poprvé objevil v 17. století v teorii hazardu v dílech Blaise Pascala a Christiana Huygense. . První úplné teoretické pochopení a zhodnocení tohoto konceptu však podal Pafnuty Lvovich Chebyshev (polovina 19. století).

Zákon rozdělení náhodných číselných proměnných (distribuční funkce a distribuční řada nebo hustota pravděpodobnosti) zcela popisuje chování náhodné veličiny. Ale v řadě problémů stačí znát některé číselné charakteristiky zkoumané veličiny (například její průměrnou hodnotu a možná odchylka od něj) odpovědět na otázku. Hlavními numerickými charakteristikami náhodných veličin jsou matematické očekávání, rozptyl, modus a medián.

Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny je součtem součinů jejích možných hodnot a jejich odpovídajících pravděpodobností. Někdy se matematické očekávání nazývá vážený průměr, protože se přibližně rovná aritmetickému průměru pozorovaných hodnot náhodné veličiny během velkého počtu experimentů. Z definice matematického očekávání vyplývá, že jeho hodnota není menší než nejmenší možná hodnota náhodné veličiny a není větší než největší. Matematické očekávání náhodné veličiny je nenáhodná (konstantní) proměnná.

Matematické očekávání má jednoduché fyzický význam: pokud je jednotková hmotnost umístěna na přímce, umístění nějaké hmotnosti do některých bodů (např diskrétní distribuce), neboli „rozmazání“ s určitou hustotou (pro absolutně spojité rozdělení), pak bod odpovídající matematickému očekávání bude souřadnice „těžiště“ přímky.

Průměrná hodnota náhodné veličiny je určité číslo, které je jakoby jejím „reprezentantem“ a nahrazuje jej v hrubých přibližných výpočtech. Když říkáme: „průměrná doba provozu lampy je 100 hodin“ nebo „průměrný bod dopadu je posunut vzhledem k cíli o 2 m doprava“, označujeme tím určitou číselnou charakteristiku náhodné veličiny, která popisuje její umístění na číselné ose, tzn. popis pozice.

Z charakteristiky pozice v teorii pravděpodobnosti zásadní roli hraje matematické očekávání náhodné veličiny, které se někdy říká jednoduše průměrná hodnota náhodné veličiny.

Uvažujme náhodnou veličinu X, který má možné hodnoty x1, x2, …, xn s pravděpodobnostmi p1, p2, …, pn. Potřebujeme charakterizovat nějakým číslem polohu hodnot náhodné veličiny na ose x, s ohledem na skutečnost, že tyto hodnoty mají různé pravděpodobnosti. Pro tento účel je přirozené používat tzv. „vážený průměr“ hodnot xi a každá hodnota xi během průměrování by měla být brána v úvahu s „váhou“ úměrnou pravděpodobnosti této hodnoty. Vypočítáme tedy střední hodnotu náhodné veličiny X, kterou budeme označovat M|X|:

Tento vážený průměr se nazývá matematické očekávání náhodné veličiny. Představili jsme tedy v úvahu jeden z nejdůležitějších konceptů teorie pravděpodobnosti – koncept matematického očekávání. Matematické očekávání náhodné veličiny je součtem součinů všech možných hodnot náhodné veličiny a pravděpodobností těchto hodnot.

Ať se vyrábí N nezávislé experimenty, v každém z nich hodnotu X nabývá určité hodnoty. Předpokládejme hodnotu x1 se objevil m1časy, hodnota x2 se objevil m2časy, obecný význam xi objevilo se mi krát. Vypočítejme aritmetický průměr pozorovaných hodnot X, které na rozdíl od matematického očekávání M|X| budeme označovat M*|X|:

S nárůstem počtu experimentů N frekvence pí se bude blížit (pravděpodobně konvergovat) odpovídajícím pravděpodobnostem. Tedy aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny M|X| s nárůstem počtu experimentů se přiblíží (pravděpodobně sblíží) svému matematickému očekávání. Výše formulovaná souvislost mezi aritmetickým průměrem a matematickým očekáváním tvoří obsah jedné z forem zákona velkých čísel.

Již víme, že všechny formy zákona velkých čísel uvádějí skutečnost, že určité průměry jsou stabilní při velkém počtu experimentů. Zde mluvíme o stabilitě aritmetického průměru ze série pozorování stejné hodnoty. U malého počtu experimentů je aritmetický průměr jejich výsledků náhodný; při dostatečném nárůstu počtu experimentů se stává "téměř ne náhodným" a stabilizujícím se přibližuje konstantní hodnotě - matematickému očekávání.

Vlastnost stability průměrů pro velký počet experimentů je snadno ověřitelná experimentálně. Například při vážení jakéhokoli tělesa v laboratoři na přesných vahách získáme v důsledku vážení pokaždé novou hodnotu; pro snížení chyby pozorování těleso několikrát zvážíme a použijeme aritmetický průměr získaných hodnot. Je snadné vidět, že s dalším nárůstem počtu experimentů (vážení) aritmetický průměr na tento nárůst reaguje stále méně a při dostatečně velkém počtu experimentů se prakticky přestává měnit.

Je třeba poznamenat, že nejdůležitější charakteristika pozice náhodné veličiny - matematické očekávání - neexistuje pro všechny náhodné veličiny. Je možné sestavit příklady takových náhodných veličin, pro které neexistuje matematické očekávání, protože odpovídající součet nebo integrál se rozcházejí. Pro praxi však takové případy nejsou příliš zajímavé. Náhodné proměnné, se kterými se zabýváme, mají obvykle omezený rozsah možných hodnot a samozřejmě mají očekávání.

Kromě nejdůležitější z charakteristik polohy náhodné veličiny - matematického očekávání, se v praxi někdy používají i další charakteristiky polohy, zejména modus a medián náhodné veličiny.

Modus náhodné veličiny je její nejpravděpodobnější hodnota. Termín "nejpravděpodobnější hodnota", přísně vzato, platí pouze pro nespojité veličiny; Pro spojitá hodnota modus je hodnota, při které je hustota pravděpodobnosti maximální. Obrázky ukazují režim pro nespojité a spojité náhodné veličiny.

Pokud má distribuční polygon (distribuční křivka) více než jedno maximum, říká se, že distribuce je „polymodální“.

Někdy existují distribuce, které mají uprostřed ne maximum, ale minimum. Takové distribuce se nazývají "antimodální".

V obecném případě se modus a matematické očekávání náhodné veličiny neshodují. V konkrétním případě, kdy je rozdělení symetrické a modální (tj. má mod) a existuje matematické očekávání, pak se shoduje s modem a středem symetrie rozdělení.

Často se používá další charakteristika pozice – tzv. medián náhodné veličiny. Tato charakteristika se obvykle používá pouze pro spojité náhodné veličiny, i když ji lze formálně definovat i pro nespojitou veličinu. Geometricky je medián úsečkou bodu, ve kterém je oblast ohraničená distribuční křivkou půlena.

V případě symetrického modálního rozdělení se medián shoduje s průměrem a modem.

Matematické očekávání je průměrná hodnota náhodné veličiny – číselná charakteristika rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Nejobecnějším způsobem matematické očekávání náhodné veličiny X(š) je definován jako Lebesgueův integrál s ohledem na míru pravděpodobnosti R v původním pravděpodobnostním prostoru:

Matematické očekávání lze také vypočítat jako Lebesgueův integrál X podle rozdělení pravděpodobnosti px množství X:

Přirozeným způsobem lze definovat koncept náhodné veličiny s nekonečným matematickým očekáváním. Typický příklad jsou časy návratu v některých náhodných procházkách.

Pomocí matematického očekávání, mnoha číselných a funkční charakteristiky rozdělení (jako matematické očekávání odpovídajících funkcí náhodné veličiny), např. generující funkce, charakteristická funkce, momenty libovolného řádu, zejména rozptyl, kovariance.

Matematické očekávání je charakteristikou umístění hodnot náhodné veličiny (průměrná hodnota jejího rozdělení). V této funkci slouží matematické očekávání jako nějaký "typický" distribuční parametr a jeho role je podobná roli statického momentu - souřadnice těžiště rozložení hmoty - v mechanice. Od ostatních lokalizačních charakteristik, pomocí kterých je distribuce popsána obecně - mediány, mody, se matematické očekávání liší větší hodnotou, kterou má ona a odpovídající rozptylová charakteristika - disperze - v limitních větách teorie pravděpodobnosti. S největší úplností smysl matematického očekávání odhaluje zákon velkých čísel (Čebyševova nerovnost) a posílený zákon velkých čísel.

Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny

Nechť existuje nějaká náhodná proměnná, která může nabývat jedné z několika číselných hodnot (například počet bodů v hodu kostkou může být 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6). Často v praxi u takové hodnoty vyvstává otázka: jakou hodnotu má „v průměru“ při velkém počtu testů? Jaký bude náš průměrný výnos (nebo ztráta) z každé z rizikových transakcí?

Řekněme, že existuje nějaký druh loterie. Chceme porozumět tomu, zda je ziskové se jí účastnit (nebo se jí účastnit opakovaně, pravidelně). Řekněme, že každý čtvrtý lístek vyhraje, cena bude 300 rublů a cena jakéhokoli lístku bude 100 rublů. Při nekonečném počtu účastí se tak děje. Ve třech čtvrtinách případů prohrajeme, každé tři ztráty budou stát 300 rublů. V každém čtvrtém případě vyhrajeme 200 rublů. (cena mínus náklady), to znamená, že za čtyři účasti ztratíme v průměru 100 rublů, za jednu - v průměru 25 rublů. Celkově bude průměrná sazba našeho zmaru 25 rublů za lístek.

házíme kostky. Pokud to není podvádění (bez posunutí těžiště atd.), tak kolik bodů budeme mít v průměru najednou? Protože každá možnost je stejně pravděpodobná, vezmeme hloupý aritmetický průměr a dostaneme 3,5. Vzhledem k tomu, že se jedná o PRŮMĚR, není třeba se rozhořčovat, že žádný konkrétní hod nedá 3,5 bodu - no, tahle kostka nemá obličej s takovým číslem!

Nyní si shrňme naše příklady:

Pojďme se podívat na obrázek výše. Vlevo je tabulka rozdělení náhodné veličiny. Hodnota X může nabývat jedné z n možných hodnot (uvedených v horním řádku). Jiné hodnoty být nemohou. Pod každým možná hodnota jeho pravděpodobnost je podepsána níže. Vpravo je vzorec, kde M(X) se nazývá matematické očekávání. Význam této hodnoty je ten, že při velkém počtu pokusů (s velkým vzorkem) bude průměrná hodnota inklinovat k tomuto velmi matematickému očekávání.

Vraťme se ke stejné hrací kostce. Matematické očekávání počtu bodů v hodu je 3,5 (spočítejte si sami pomocí vzorce, pokud tomu nevěříte). Řekněme, že jste to párkrát hodil. Vypadly 4 a 6. V průměru vyšlo 5, tedy zdaleka ne 3,5. Hodili to znovu, vypadly 3, tedy průměrně (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Poněkud daleko od matematického očekávání. Nyní udělejte bláznivý experiment - hoďte kostkou 1000krát! A pokud průměr nebude přesně 3,5, tak se tomu bude blížit.

Spočítejme si matematické očekávání pro výše popsanou loterii. Tabulka bude vypadat takto:

Potom bude matematické očekávání, jak jsme stanovili výše.:

Další věc je, že je to také "na prstech", bez vzorce by to šlo těžko, kdyby bylo více možností. Řekněme, že bylo 75 % ztracených tiketů, 20 % vítězných tiketů a 5 % vítězných tiketů.

Nyní některé vlastnosti matematického očekávání.

Je snadné to dokázat:

Konstantní multiplikátor lze vyjmout ze znamení očekávání, to znamená:

Toto je speciální případ vlastnosti linearity matematického očekávání.

Další důsledek linearity matematického očekávání:

to znamená, že matematické očekávání součtu náhodných proměnných se rovná součtu matematických očekávání náhodných proměnných.

Nechť X, Y jsou nezávislé náhodné veličiny, Pak:

To se také snadno dokazuje) XY sama o sobě je náhodná proměnná, zatímco pokud by počáteční hodnoty mohly nabývat n A m hodnoty, resp XY může nabývat hodnot nm. Pravděpodobnost každé z hodnot se vypočítá na základě skutečnosti, že pravděpodobnosti nezávislých událostí se násobí. Ve výsledku dostaneme toto:

Matematické očekávání spojité náhodné veličiny

Spojité náhodné veličiny mají takovou charakteristiku, jako je hustota rozdělení (hustota pravděpodobnosti). Ve skutečnosti charakterizuje situaci, že náhodná veličina nabývá některé hodnoty z množiny reálných čísel častěji, některé méně často. Zvažte například tento graf:

Tady X- vlastně náhodná proměnná, f(x)- hustota distribuce. Soudě podle tohoto grafu, během experimentů, hodnota X bude často číslo blízké nule. šance překonat 3 nebo být méně -3 spíše čistě teoretické.

Nechť existuje například rovnoměrné rozdělení:

To je zcela v souladu s intuitivním chápáním. Řekněme, jestli dostaneme rovnoměrné rozložení mnoho náhodných reálných čísel, každé z intervalu |0; 1| , pak by aritmetický průměr měl být asi 0,5.

I zde se uplatní vlastnosti matematického očekávání - linearita atd., použitelné pro diskrétní náhodné veličiny.

Vztah matematického očekávání s ostatními statistickými ukazateli

Ve statistické analýze spolu s matematickým očekáváním existuje systém vzájemně závislých ukazatelů, které odrážejí homogenitu jevů a stabilitu procesů. Variační indikátory často nemají samostatný význam a používají se pro další analýzu dat. Výjimkou je variační koeficient, který charakterizuje homogenitu dat, což je cenná statistická charakteristika.

Stupeň variability či stability procesů ve statistice lze měřit pomocí několika ukazatelů.

Většina důležitý ukazatel charakterizující variabilitu náhodné veličiny je Disperze, která nejblíže a bezprostředně souvisí s matematickým očekáváním. Tento parametr je aktivně využíván v jiných typech statistických analýz (testování hypotéz, analýza vztahů příčina-následek atd.). Stejně jako střední lineární odchylka odráží rozptyl také rozsah, v jakém se data rozšířila kolem průměru.

Je užitečné přeložit jazyk znaků do jazyka slov. Ukazuje se, že rozptyl je průměrná druhá mocnina odchylek. To znamená, že se nejprve vypočítá průměrná hodnota, poté se vezme rozdíl mezi každou původní a průměrnou hodnotou, umocní se, sečte a poté se vydělí počtem hodnot v této populaci. Rozdíl mezi individuální hodnotou a průměrem odráží míru odchylky. Je umocněn, aby se zajistilo, že všechny odchylky se stanou výhradně kladnými čísly a aby se zabránilo vzájemnému zrušení kladných a záporných odchylek při jejich sčítání. Potom s ohledem na druhou mocninu odchylek jednoduše vypočítáme aritmetický průměr. Průměr - čtverec - odchylky. Odchylky se umocňují na druhou a bere se v úvahu průměr. Odpověď na kouzelné slovo „rozptyl“ jsou jen tři slova.

Nicméně, v čistá forma, jako je aritmetický průměr nebo index, rozptyl se nepoužívá. Jde spíše o pomocný a mezilehlý ukazatel, který se používá pro jiné typy statistických analýz. Nemá ani normální měrnou jednotku. Soudě podle vzorce se jedná o druhou mocninu původní datové jednotky.

Změřme náhodnou veličinu N krát, například desetkrát změříme rychlost větru a chceme zjistit průměrnou hodnotu. Jak souvisí střední hodnota s distribuční funkcí?

Nebo hodíme kostkou hodněkrát. Počet bodů, které padnou na kostku během každého hodu, je náhodná veličina a může nabývat libovolných přirozených hodnot od 1 do 6. N inklinuje k velmi konkrétnímu číslu – matematickému očekávání Mx. V tento případ Mx = 3,5.

Jak tato hodnota vznikla? Pustit dovnitř N zkoušky n1 jakmile padne 1 bod, n2časy - 2 body a tak dále. Potom počet výsledků, ve kterých padl jeden bod:

Podobně pro výsledky, kdy vypadly 2, 3, 4, 5 a 6 bodů.

Předpokládejme nyní, že známe distribuční zákon náhodné veličiny x, to znamená, že víme, že náhodná veličina x může nabývat hodnot x1, x2, ..., xk s pravděpodobnostmi p1, p2, ... , pk.

Matematické očekávání Mx náhodné veličiny x je:

Matematické očekávání není vždy rozumným odhadem nějaké náhodné veličiny. Tedy odhadnout průměr mzdy rozumnější je použít pojem medián, tedy takovou hodnotu, aby počet lidí, kteří pobírají méně než medián platu a více, byl stejný.

Pravděpodobnost p1, že náhodná proměnná x je menší než x1/2, a pravděpodobnost p2, že náhodná proměnná x je větší než x1/2, jsou stejné a rovna 1/2. Medián není jednoznačně určen pro všechna rozdělení.

Standardní nebo standardní odchylka ve statistice se nazývá míra odchylky observačních dat nebo souborů od hodnoty PRŮMĚR. Označuje se písmeny s nebo s. Malá směrodatná odchylka znamená, že údaje jsou seskupeny kolem průměru, a velká směrodatná odchylka znamená, že počáteční údaje jsou od něj daleko. Standardní odchylka rovná se odmocnina množství zvané disperze. Je to průměr součtu čtverců rozdílů počátečních dat odchylujících se od průměru. Směrodatná odchylka náhodné veličiny je druhá odmocnina rozptylu:

Příklad. Za testovacích podmínek při střelbě na cíl vypočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku náhodné veličiny:

Variace- kolísání, variabilita hodnoty atributu v jednotkách populace. Samostatný číselné hodnoty rysy, které se vyskytují ve studované populaci, se nazývají hodnotové opce. Nedostatek průměrné hodnoty pro kompletní charakteristiky agregát nás nutí doplňovat průměrné hodnoty indikátory, které nám umožňují posoudit typičnost těchto průměrů měřením fluktuace (variace) studovaného znaku. Variační koeficient se vypočítá podle vzorce:

Variace rozpětí(R) je rozdíl mezi maximální a minimální hodnotou znaku ve studované populaci. Tento ukazatel dává nejvíce hlavní myšlenka o kolísání studovaného znaku, protože ukazuje rozdíl pouze mezi limitními hodnotami možností. Závislost na extrémních hodnotách atributu dává rozsahu variací nestabilní, náhodný charakter.

Průměrná lineární odchylka je aritmetický průměr absolutních (modulo) odchylek všech hodnot analyzované populace od jejich průměrné hodnoty:

Matematické očekávání v teorii hazardu

Matematické očekávání je průměrná částka peněz, kterou může hráč vyhrát nebo prohrát na dané sázce. To je pro hráče velmi významný koncept, protože je zásadní pro posouzení většiny herních situací. Matematické očekávání je také nejlepším nástrojem pro analýzu základních rozložení karet a herních situací.

Řekněme, že hrajete s kamarádem coin a pokaždé vsadíte stejný $1, bez ohledu na to, co přijde. Ocasy - vyhraješ, hlavy - prohraješ. Pravděpodobnost, že to přijde na konec, je jedna ku jedné a vy sázíte $ 1 až $ 1. Vaše matematické očekávání je tedy nulové, protože Matematicky vzato, nemůžete vědět, jestli povedete nebo prohrajete po dvou hodech nebo po 200.

Váš hodinový zisk je nula. Hodinová výplata je částka, kterou očekáváte, že vyhrajete za hodinu. Během hodiny můžete hodit mincí 500krát, ale nevyhrajete ani neprohrajete vaše šance nejsou ani kladné, ani záporné. Pokud se podíváte, z pohledu seriózního hráče není takový systém sázek špatný. Ale je to jen ztráta času.

Předpokládejme však, že někdo chce ve stejné hře vsadit 2 dolary proti vašemu 1 dolaru. Pak máte okamžitě pozitivní očekávání 50 centů z každé sázky. Proč 50 centů? V průměru jednu sázku vyhrajete a druhou prohrajete. Vsaďte první dolar a prohrajte 1 dolar, vsaďte druhý a vyhrajte 2 dolary. Dvakrát jste vsadili 1 $ a máte náskok o 1 $. Takže každá vaše sázka za jeden dolar vám dala 50 centů.

Pokud mince padne 500krát za hodinu, váš hodinový zisk bude již 250 $, protože. v průměru jste prohráli 1 250 krát a vyhráli 2 250 krát. 500 $ mínus 250 $ se rovná 250 $, což je celková výhra. Všimněte si, že očekávaná hodnota, což je částka, kterou v průměru vyhrajete na jednu sázku, je 50 centů. Vyhráli jste 250 $ vsazením dolaru 500krát, což se rovná 50 centům vaší sázky.

Matematické očekávání nemá nic společného s krátkodobými výsledky. Váš soupeř, který se rozhodl proti vám vsadit 2 dolary, by vás mohl porazit v prvních deseti hodech v řadě, ale vy s výhodou sázek 2 ku 1 za stejných podmínek vyděláte 50 centů z každé sázky 1 dolar za jakoukoli okolnosti. Nezáleží na tom, zda vyhrajete nebo prohrajete jednu sázku nebo několik sázek, ale pouze za podmínky, že máte dostatek hotovosti, abyste mohli snadno kompenzovat náklady. Pokud budete nadále sázet stejným způsobem, pak pro dlouhé obdobíčasem se vaše výhry dostanou na součet očekávaných hodnot v jednotlivých hodech.

Pokaždé, když uzavřete lepší sázku (sázka, která může být dlouhodobě zisková), když je kurz ve váš prospěch, musíte na ní něco vyhrát, ať už ji v dané hře prohrajete nebo ne. Naopak, pokud jste vsadili s horším výsledkem (sázka, která je z dlouhodobého hlediska ztrátová), když vám kurz není nakloněn, něco ztrácíte, bez ohledu na to, zda jste v této hře vyhráli nebo prohráli.

Sázíte s nejlepším výsledkem, pokud je vaše očekávání pozitivní, a je pozitivní, pokud jsou kurzy ve váš prospěch. Tím, že sázíte na nejhorší výsledek, máte negativní očekávání, což se stane, když je kurz proti vám. Vážní hráči sázejí pouze na nejlepší výsledek, na nejhorší - zahazují. Co znamená šance ve váš prospěch? Můžete nakonec vyhrát více, než přinášejí skutečné kurzy. Skutečná šance, že trefíte ocasy, je 1 ku 1, ale díky poměru sázení dostanete 2 ku 1. V tomto případě jsou šance ve váš prospěch. Nejlepší výsledek rozhodně získáte s pozitivním očekáváním 50 centů za sázku.

Zde je složitější příklad matematického očekávání. Přítel si zapíše čísla od jedné do pěti a vsadí 5 USD proti vašemu 1 USD, že si číslo nevyberete. Souhlasíte s takovou sázkou? Jaké je zde očekávání?

V průměru se zmýlíte čtyřikrát. Na základě toho bude pravděpodobnost, že uhodnete číslo, 4 ku 1. Pravděpodobně přijdete o dolar na jeden pokus. Vyhráváte však 5 ku 1 s možností prohry 4 ku 1. Kurz je tedy ve váš prospěch, můžete vzít sázku a doufat v nejlepší výsledek. Pokud tuto sázku provedete pětkrát, v průměru čtyřikrát prohrajete 1 $ a jednou vyhrajete 5 $. Na základě toho za všech pět pokusů vyděláte 1 $ s kladným matematickým očekáváním 20 centů na sázku.

Hráč, který vyhraje více, než vsadí, jako ve výše uvedeném příkladu, chytá kurz. Naopak kazí šance, když očekává, že vyhraje méně, než vsadí. Sázející může mít buď pozitivní nebo negativní očekávání v závislosti na tom, zda chytá nebo maří kurzy.

Pokud vsadíte 50 $ na výhru 10 $ s šancí na výhru 4 ku 1, dostanete negativní očekávání 2 $, protože v průměru vyhrajete čtyřikrát 10 USD a jednou prohrajete 50 USD, což ukazuje, že ztráta na sázku bude 10 USD. Ale pokud vsadíte 30 $ na výhru 10 $, se stejným kurzem na výhru 4:1, pak v tomto případě máte pozitivní očekávání 2 $, protože opět vyhrajete čtyřikrát 10 USD a jednou prohrajete 30 USD, se ziskem 10 USD. Tyto příklady ukazují, že první sázka je špatná a druhá dobrá.

Matematické očekávání je středem každé herní situace. Když bookmaker vybízí fotbalové fanoušky, aby vsadili 11 dolarů na výhru 10 dolarů, mají pozitivní očekávání 50 centů za každých 10 dolarů. Pokud kasino vyplácí sudé peníze z řady Craps pass, pak pozitivní očekávání domu je přibližně 1,40 $ za každých 100 $; tato hra je strukturována tak, že každý, kdo vsadí na tuto řadu, prohraje v průměru 50,7 % a vyhraje 49,3 % případů. Je to nepochybně toto zdánlivě minimální pozitivní očekávání, které přináší majitelům kasin po celém světě obrovské zisky. Jak poznamenal majitel kasina Vegas World Bob Stupak: „Jedna tisícina procenta negativní pravděpodobnosti na dostatečně dlouhou vzdálenost zničí nejbohatší muž ve světě".

Matematické očekávání při hraní pokeru

Hra Poker je nejnázornějším a nejnázornějším příkladem z hlediska využití teorie a vlastností matematického očekávání.

Očekávaná hodnota v pokeru je průměrný prospěch z konkrétního rozhodnutí, za předpokladu, že takové rozhodnutí lze uvažovat v rámci teorie velkých čísel a dlouhé vzdálenosti. Úspěšný poker znamená vždy přijímat tahy s pozitivním matematickým očekáváním.

Matematický význam matematického očekávání při hraní pokeru spočívá v tom, že se při rozhodování často setkáváme s náhodnými proměnnými (nevíme, jaké karty má soupeř v ruce, jaké karty přijdou v následujících kolech sázek). Každé z řešení musíme uvažovat z pohledu teorie velkých čísel, která říká, že při dostatečně velkém vzorku bude mít průměrná hodnota náhodné veličiny tendenci k jejímu matematickému očekávání.

Mezi konkrétními vzorci pro výpočet matematického očekávání se v pokeru nejvíce hodí následující:

Při hraní pokeru lze vypočítat matematické očekávání jak pro sázky, tak pro call. V prvním případě je třeba vzít v úvahu fold equity, ve druhém pak vlastní odds potu. Při vyhodnocování matematického očekávání určitého tahu je třeba mít na paměti, že fold má vždy nulové matematické očekávání. Zahození karet tak bude vždy výnosnějším rozhodnutím než jakýkoli negativní krok.

Očekávání vám říká, co můžete očekávat (zisk nebo ztráta) za každý dolar, který riskujete. Kasina vydělávají peníze, protože matematické očekávání všech her, které se v nich provozují, je ve prospěch kasina. U dostatečně dlouhé série her lze očekávat, že klient o své peníze přijde, protože „pravděpodobnost“ je ve prospěch kasina. Profesionální hráči kasin však omezují své hry na krátké časové úseky, čímž zvyšují šance ve svůj prospěch. Totéž platí pro investování. Pokud je vaše očekávání pozitivní, můžete vydělat více peněz provedením mnoha obchodů v krátkém časovém období. Očekávání je vaše procento zisku na výhru krát váš průměrný zisk mínus vaše pravděpodobnost ztráty krát vaše průměrná ztráta.

O pokeru lze uvažovat i z hlediska matematického očekávání. Můžete předpokládat, že určitý tah je ziskový, ale v některých případech nemusí být nejlepší, protože jiný tah je ziskovější. Řekněme, že jste trefili full house v pokeru s pěti kartami. Váš soupeř sází. Víte, že když zvýšíte ante, dorovná se. Zvyšování tedy vypadá jako nejlepší taktika. Pokud ale navýšíte, zbývající dva hráči s jistotou zahodí. Pokud ale sázku dorovnáte, budete si zcela jisti, že další dva hráči po vás udělají totéž. Když zvýšíte sázku, získáte jednu jednotku a pouhým dorovnáním získáte dvě. Volání vám tedy dává vyšší kladnou očekávanou hodnotu a je tou nejlepší taktikou.

Matematické očekávání může také poskytnout představu o tom, které pokerové taktiky jsou méně ziskové a které jsou ziskovější. Pokud například hrajete konkrétní handu a myslíte si, že vaše průměrná ztráta je 75 centů včetně ante, pak byste měli hrát tuto handu, protože je to lepší než skládání, když je ante 1 $.

Dalším důležitým důvodem pro pochopení očekávané hodnoty je to, že vám dává pocit klidu, ať už sázku vyhrajete nebo ne: pokud uděláte dobrou sázku nebo postoupíte včas, budete vědět, že jste udělali nebo ušetřili určitou částku peníze, které slabší hráč nemohl ušetřit. Je mnohem těžší složit karty, pokud jste frustrovaní, že váš soupeř má lepší karty na draw. To znamená, že peníze, které ušetříte tím, že nebudete hrát, místo sázení, se přidají k vašim výhrám přes noc nebo měsíčně.

Pamatujte, že pokud byste si vyměnili ruce, váš soupeř by vás dorovnal, a jak uvidíte v článku Základní věta pokeru, je to jen jedna z vašich výhod. Měli byste se radovat, když se to stane. Můžete se dokonce naučit užívat si ztrátu handy, protože víte, že ostatní hráči ve vaší kůži by prohráli mnohem více.

Jak je uvedeno v příkladu hry s mincemi na začátku, hodinová míra návratnosti souvisí s očekávanou hodnotou a tento koncept zvláště důležité pro profesionální hráče. Když se chystáte hrát poker, musíte v duchu odhadnout, kolik můžete vyhrát za hodinu hry. Ve většině případů se budete muset spolehnout na svou intuici a zkušenosti, ale můžete použít i nějaké matematické výpočty. Pokud například hrajete draw lowball a vidíte, že tři hráči vsadili 10 $ a pak si lízli dvě karty, což je velmi špatná taktika, můžete si sami spočítat, že pokaždé, když vsadí 10 $, prohrají asi 2 $. Každý z nich to dělá osmkrát za hodinu, což znamená, že všichni tři ztratí asi 48 dolarů za hodinu. Jste jedním ze zbývajících čtyř hráčů, kteří jsou si přibližně rovni, takže tito čtyři hráči (a vy mezi nimi) si musí rozdělit 48 $ a každý bude mít zisk 12 $ za hodinu. Vaše hodinová sazba je v tomto případě jednoduše vaším podílem na množství peněz, které prohráli tři špatní hráči za hodinu.

Po dlouhou dobu jsou celkové výhry hráče součtem jeho matematických očekávání v oddělených distribucích. Čím více hrajete s pozitivním očekáváním, tím více vyhráváte, a naopak, čím více hand hrajete s negativním očekáváním, tím více prohráváte. V důsledku toho byste měli upřednostňovat hru, která může maximalizovat vaše pozitivní očekávání nebo negovat vaše negativní očekávání, abyste mohli maximalizovat svůj hodinový zisk.

Pozitivní matematické očekávání v herní strategii

Pokud umíte počítat karty, můžete mít oproti kasinu výhodu, pokud si vás nevšimnou a vykopnou vás. Kasina milují opilé gamblery a nesnesou počítání karet. Výhoda vám umožní vyhrát v průběhu času více krát než prohrát. dobré řízení kapitál pomocí výpočtů očekávání vám může pomoci zhodnotit vaši výhodu a snížit vaše ztráty. Bez výhody je lepší dát peníze na charitu. Ve hře na burze je výhoda dána systémem hry, který vytváří větší zisk než ztráty, cenové rozdíly a provize. Žádná správa peněz špatný herní systém nezachrání.

Pozitivní očekávání je definováno hodnotou větší než nula. Čím větší je toto číslo, tím silnější je statistické očekávání. Pokud je hodnota menší než nula, pak bude matematické očekávání také záporné. Čím větší je modul záporné hodnoty, tím horší je situace. Pokud je výsledek nula, pak je očekávání zlomové. Vyhrát můžete pouze tehdy, když máte pozitivní matematické očekávání, rozumný herní systém. Hra na intuici vede ke katastrofě.

Matematické očekávání a obchodování s akciemi

Matematické očekávání je poměrně široce žádaným a oblíbeným statistickým ukazatelem při obchodování na burzách na finančních trzích. V první řadě se tento parametr používá k analýze úspěšnosti obchodování. Není těžké uhodnout, že čím větší tato hodnota, tím větší důvod považovat zkoumaný obchod za úspěšný. Rozbor práce obchodníka samozřejmě nelze provádět pouze pomocí tohoto parametru. Vypočtená hodnota však v kombinaci s dalšími metodami hodnocení kvality práce může výrazně zvýšit přesnost rozboru.

Matematické očekávání se často počítá ve službách sledování obchodních účtů, což umožňuje rychle vyhodnotit práci vykonanou na vkladu. Jako výjimky můžeme uvést strategie využívající „overstaying“ ztrátových obchodů. Obchodník může mít nějakou dobu štěstí, a proto v jeho práci nemusí docházet k žádným ztrátám. V tomto případě se nebude možné orientovat pouze podle očekávání, protože nebudou zohledněna rizika použitá při práci.

V obchodování na trhu se matematické očekávání nejčastěji používá při predikci ziskovosti obchodní strategie nebo při predikci příjmů obchodníka na základě statistik jeho předchozích obchodů.

Pokud jde o správu peněz, je velmi důležité pochopit, že při obchodování s negativním očekáváním neexistuje žádný systém správy peněz, který by rozhodně mohl přinést vysoké zisky. Pokud budete pokračovat v hraní burzy za těchto podmínek, pak bez ohledu na to, jak se svými penězi nakládáte, přijdete o celý svůj účet, bez ohledu na to, jak velký byl na začátku.

Tento axiom neplatí pouze pro hry s negativním očekáváním nebo obchody, ale také pro hry se sudými kurzy. Jediný případ, kdy máte šanci dlouhodobě těžit, je tedy uzavírání obchodů s pozitivním matematickým očekáváním.

Rozdíl mezi negativním očekáváním a pozitivním očekáváním je rozdíl mezi životem a smrtí. Nezáleží na tom, jak pozitivní nebo negativní je očekávání; důležité je, zda je pozitivní nebo negativní. Proto před zvažováním money managementu musíte najít hru s pozitivním očekáváním.

Pokud tu hru nemáte, pak vás žádný money management na světě nezachrání. Na druhou stranu, pokud máte pozitivní očekávání, pak je možné je pomocí správného hospodaření s penězi přeměnit na funkci exponenciálního růstu. Nezáleží na tom, jak malé je pozitivní očekávání! Jinými slovy, nezáleží na tom, jak ziskový je obchodní systém založený na jednom kontraktu. Pokud máte systém, který vyhrává 10 USD za kontrakt na jeden obchod (po poplatcích a skluzu), můžete použít techniky řízení peněz, aby byl ziskovější než systém, který vykazuje průměrný zisk 1 000 USD na obchod (po odečtení provizí a uklouznutí).

Není důležité, jak byl systém ziskový, ale s jakou jistotou lze říci, že systém bude v budoucnu vykazovat alespoň minimální zisk. Nejdůležitější přípravou, kterou může obchodník udělat, je proto zajistit, aby systém v budoucnu vykazoval kladnou očekávanou hodnotu.

Abyste měli v budoucnu kladnou očekávanou hodnotu, je velmi důležité neomezovat stupně volnosti vašeho systému. Toho je dosaženo nejen odstraněním nebo snížením počtu parametrů, které mají být optimalizovány, ale také snížením co největšího počtu systémových pravidel. Každý parametr, který přidáte, každé pravidlo, které uděláte, každá drobná změna, kterou v systému provedete, snižuje počet stupňů volnosti. V ideálním případě chcete vybudovat poměrně primitivní a jednoduchý systém, který bude neustále přinášet malý zisk na téměř jakémkoli trhu. Opět je důležité, abyste pochopili, že nezáleží na tom, jak ziskový systém je, pokud je ziskový. Peníze, které vyděláte obchodováním, budou vydělány prostřednictvím efektivní řízení peníze.

Obchodní systém je jednoduše nástroj, který vám dává pozitivní matematické očekávání, aby bylo možné použít money management. Systémy, které fungují (vykazují alespoň minimální zisk) pouze na jednom nebo pár trzích, nebo mají různá pravidla či parametry pro různé trhy, s největší pravděpodobností nebudou fungovat v reálném čase ještě dlouho. Problém většiny technických obchodníků je, že tráví příliš mnoho času a úsilí optimalizací. jiná pravidla a hodnoty parametrů obchodního systému. To dává zcela opačné výsledky. Namísto plýtvání energií a počítačového času na zvyšování zisků obchodního systému nasměrujte svou energii na zvýšení úrovně spolehlivosti získání minimálního zisku.

S vědomím, že money management je jen hra s čísly, která vyžaduje použití pozitivních očekávání, může obchodník přestat hledat „svatý grál“ obchodování s akciemi. Místo toho může začít testovat svou obchodní metodu, zjistit, jak je tato metoda logicky správná, zda dává pozitivní očekávání. Správné metody money management, aplikovaný na jakékoli, i velmi průměrné obchodní metody, udělá zbytek práce.

Každý obchodník pro úspěch ve své práci potřebuje vyřešit tři nejdůležitější úkoly: . Zajistit, že počet úspěšných transakcí překročí nevyhnutelné chyby a chybné výpočty; Nastavte svůj obchodní systém tak, aby příležitost vydělávat peníze byla co nejčastější; Dosáhněte stabilního pozitivního výsledku vašich operací.

A zde nám, pracujícím obchodníkům, může dobře pomoci matematické očekávání. Tento termín v teorii pravděpodobnosti je jedním z klíčových. S ním můžete dát průměrný odhad nějaké náhodné hodnoty. Matematické očekávání náhodné veličiny je jako těžiště, pokud si všechny možné pravděpodobnosti představíme jako body s různou hmotností.

Ve vztahu k obchodní strategii se pro hodnocení její účinnosti nejčastěji používá matematické očekávání zisku (nebo ztráty). Tento parametr je definován jako součet součinů daných úrovní zisku a ztráty a pravděpodobnosti jejich výskytu. Například rozvinutá obchodní strategie předpokládá, že 37 % všech operací přinese zisk a zbývající část – 63 % – bude ztrátová. Průměrný příjem z úspěšné transakce přitom bude 7 USD a průměrná ztráta 1,4 USD. Pojďme vypočítat matematické očekávání obchodování pomocí následujícího systému:

Co toto číslo znamená? Říká, že podle pravidel tohoto systému v průměru obdržíme 1,708 dolaru z každé uzavřené transakce. Vzhledem k tomu, že výsledné skóre efektivity je větší než nula, lze takový systém použít pro skutečnou práci. Pokud se v důsledku výpočtu matematické očekávání ukáže jako záporné, znamená to již průměrnou ztrátu a takové obchodování povede ke krachu.

Výši zisku na obchod lze také vyjádřit jako relativní hodnotu ve tvaru %. Například:

– procento příjmu na 1 transakci – 5 %;

– procento úspěšných obchodních operací – 62 %;

– procento ztráty na 1 obchod – 3 %;

- procento neúspěšných transakcí - 38 %;

To znamená, že průměrná transakce přinese 1,96 %.

Je možné vyvinout systém, který i přes převahu ztrátových obchodů dá pozitivní výsledek, protože jeho MO>0.

Samotné čekání však nestačí. Je obtížné vydělat peníze, pokud systém dává velmi málo obchodních signálů. V tomto případě bude jeho ziskovost srovnatelná s bankovním úrokem. Ať každá operace přinese v průměru pouze 0,5 dolaru, ale co když systém předpokládá 1000 transakcí za rok? To bude v relativně krátké době velmi vážná částka. Z toho logicky vyplývá, že lze uvažovat o dalším znaku dobrého obchodního systému krátkodobý držení pozic.

Zdroje a odkazy

dic.academic.ru - akademický online slovník

mathematics.ru - vzdělávací stránka o matematice

nsu.ru je vzdělávací webová stránka Novosibirsku státní univerzita

webmath.ru vzdělávací portál pro studenty, uchazeče a školáky.

vzdělávací matematické stránky exponenta.ru

ru.tradimo.com - bezplatná online obchodní škola

crypto.hut2.ru - multidisciplinární informační zdroj

poker-wiki.ru - bezplatná encyklopedie pokeru

sernam.ru Vědecká knihovna vybrané přírodovědné publikace

reshim.su - webová stránka ŘEŠIT úkoly ovládání kurzu

unfx.ru – Forex na UNFX: vzdělávání, obchodní signály, správa důvěry

slovopedia.com - Velký encyklopedický slovník Slovopedie

pokermansion.3dn.ru - Váš průvodce světem pokeru

statanaliz.info - informační blog "Statistická analýza dat"

forex-trader.rf - portál Forex-Trader

megafx.ru - aktuální Forexová analytika

fx-by.com - vše pro obchodníka