Bernoulliho diferenciální rovnice je rovnice tvaru

kde n≠0,n≠1.

Tuto rovnici lze přeskupit pomocí substituce

do lineární rovnice

V praxi se Bernoulliho diferenciální rovnice většinou neredukuje na lineární, ale rovnou se řeší stejnými metodami jako lineární rovnice – buď Bernoulliho metodou, nebo metodou variace libovolné konstanty.

Podívejme se, jak řešit Bernoulliho diferenciální rovnici pomocí substituce y=uv (Bernoulliho metoda). Schéma řešení je stejné jako u .

Příklady. Řešte rovnice:

1) y’x+y=-xy².

Toto je Bernoulliho diferenciální rovnice. Pojďme to uvést do standardní podoby. Chcete-li to provést, vydělte obě části x: y’+y/x=-y². Zde p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Ale nepotřebujeme to řešit standardní pohled. Budeme pracovat se záznamovým formulářem uvedeným v podmínce.

1) Náhrada y=uv, kde u=u(x) a v=v(x) jsou některé nové funkce x. Pak y’=(uv)’=u’v+v’u. Výsledné výrazy dosadíme do podmínky: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Otevřeme závorky: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Nyní seskupme členy pomocí v: v+v’ux=-xu²v² (I) (nedotýkáme se členu se stupněm v, který je na pravé straně rovnice). Nyní požadujeme, aby se výraz v závorkách rovnal nule: u’x+u=0. A to je rovnice s oddělitelnými proměnnými u a x. Když to vyřešíme, najdeme tě. Dosadíme u=du/dx a oddělíme proměnné: x·du/dx=-u. Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme xu≠0:

(při hledání u C bereme jako rovné nule).

3) V rovnici (I) dosadíme =0 a nalezenou funkci u=1/x. Máme rovnici: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Po zjednodušení: v’=-(1/x)·v². Toto je rovnice s oddělitelnými proměnnými v a x. Nahradíme v’=dv/dx a oddělíme proměnné: dv/dx=-(1/x)·v². Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme v²≠0:

(vzali jsme -C, abychom se vynásobením obou stran -1 mohli zbavit mínusu). Takže vynásobte (-1):

(nelze vzít ne C, ale ln│C│ a v tomto případě by to bylo v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Ujistíme se, že toto je Bernoulliho rovnice. Vydělením obou částí dvěma dostaneme y’+y=(x/2) y². Zde p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Rovnici řešíme Bernoulliho metodou.

1) Náhrada y=uv, y’=u’v+v’u. Tyto výrazy dosadíme do původní podmínky: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Otevřete závorky: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Nyní seskupme výrazy obsahující v: +2v’u=xu²v² (II). Požadujeme, aby se výraz v závorkách rovnal nule: 2u’+2u=0, tedy u’+u=0. Toto je separovatelná rovnice pro u a x. Pojďme to vyřešit a najít tě. Dosadíme u’=du/dx, odkud du/dx=-u. Vynásobením obou stran rovnice dx a dělením u≠0 dostaneme: du/u=-dx. Pojďme integrovat:

3) Dosaďte do (II) =0 a

Nyní dosadíme v’=dv/dx a oddělíme proměnné:

Pojďme integrovat:

Levá strana rovnosti je tabulkový integrál, integrál na pravé straně se najde pomocí vzorce integrace podle částí:

Dosazením nalezených v a du pomocí vzorce integrace podle částí máme:

A od té doby

Udělejme C=-C:

4) Protože y=uv, dosadíme nalezené funkce u a v:

3) Integrujte rovnici x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Vydělme obě strany rovnice x²(x-1)≠0 a přesuňte člen s y² na pravou stranu:

Toto je Bernoulliho rovnice

1) Náhrada y=uv, y’=u’v+v’u. Jako obvykle dosadíme tyto výrazy do původní podmínky: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Proto x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Seskupujeme výrazy obsahující v (v² – nedotýkejte se):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Nyní požadujeme, aby se výraz v závorkách rovnal nule: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, tedy x²(x-1)u’=x(x-2)u. V rovnici oddělíme proměnné u a x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Obě strany rovnice vynásobíme dx a vydělíme x²(x-1)u≠0:

Na levé straně rovnice je tabulkový integrál. Racionální zlomek na pravé straně je třeba rozložit na jednoduché zlomky:

Při x=1: 1-2=A·0+B·1, odkud B=-1.

Při x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, odkud A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Podle vlastností logaritmů: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, odkud u=x²/(x-1).

3) V rovnosti (III) dosadíme =0 a u=x²/(x-1). Dostaneme: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, nahradit:

Místo C vezmeme - C, takže vynásobením obou částí (-1) se zbavíme mínusů:

Nyní zredukujeme výrazy na pravé straně na společného jmenovatele a najdeme v:

4) Protože y=uv, dosazením nalezených funkcí u a v dostaneme:

Příklady autotestů:

1) Ujistíme se, že jde o Bernoulliho rovnici. Vydělením obou stran x dostaneme:

1) Náhrada y=uv, odkud y’=u’v+v’u. Tato y a y dosadíme do původního stavu:

2) Seskupte výrazy pomocí v:

Nyní požadujeme, aby se výraz v závorkách rovnal nule a najdeme u z této podmínky:

Pojďme integrovat obě strany rovnice:

3) V rovnici (*) dosadíme =0 a u=1/x²:

Integrujme obě strany výsledné rovnice.

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu
a Bernoulliho rovnice

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je rovnice, která je lineární s ohledem na neznámou funkci a její derivaci. Vypadá to, že

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

kde p(x) a q(x) jsou dané funkce x, spojité v oblasti, ve které je třeba integrovat rovnici (1).

Jestliže q(x)\equiv0 , pak je volána rovnice (1). lineárně homogenní. Je to rovnice s oddělitelnými proměnnými a má společné rozhodnutí

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Společné rozhodnutí Ne homogenní rovnice Může být nalezeno metoda variace libovolné konstanty, která spočívá v tom, že řešení rovnice (1) se hledá ve tvaru

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\vpravo), kde C(x) je nová neznámá funkce x.

Příklad 1 Vyřešte rovnici y"+2xy=2xe^(-x^2).

Řešení. Použijme metodu konstantní variace. Uvažujme homogenní rovnici y"+2xy=0 odpovídající této nehomogenní rovnici. Jedná se o rovnici se separovatelnými proměnnými. Její obecné řešení má tvar y=Ce^(-x^2) .

Hledáme obecné řešení nehomogenní rovnice ve tvaru y=C(x)e^(-x^2), kde C(x) je neznámá funkce x. Dosazením dostaneme C"(x)=2x, odkud C(x)=x^2+C. Takže obecné řešení nehomogenní rovnice bude y=(x^2+C)e^(-x^2), kde C je integrační konstanta.

Komentář. Může se ukázat, že diferenciální rovnice je lineární v x jako funkce y. Normální tvar takové rovnice je

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Příklad 2 Vyřešte rovnici \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Řešení. Tato rovnice je lineární, pokud uvažujeme x jako funkci y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Použijeme metodu variace libovolné konstanty. Nejprve vyřešíme odpovídající homogenní rovnici

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

což je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Jeho obecné řešení má tvar x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(konst).

Hledáme obecné řešení rovnice ve tvaru , kde C(y) je neznámá funkce y. Nahrazení, dostáváme

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y nebo C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Odtud, integrace po částech, máme

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Dosazení této rovnice do x=C(y)e^(\sin(y)), získáme obecné řešení původní rovnice, a tedy této rovnice:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Původní rovnici lze také integrovat následovně. Věříme

y=u(x)v(x),

kde u(x) a v(x) jsou neznámé funkce x, z nichž jednu, například v(x), lze zvolit libovolně.

Dosazením y=u(x)v(x) do , po transformaci dostaneme

vu"+(pv+v")u=q(x).

Určením v(x) z podmínky v"+pv=0 pak zjistíme z vu"+(pv+v")u=q(x) funkce u(x) a následně řešení rovnice y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) můžeme vzít libovolné časté řešení rovnice v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Příklad 3 Vyřešte Cauchyho problém: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Řešení. Hledáme obecné řešení rovnice ve tvaru y=u(x)v(x) ; máme y"=u"v+uv". Dosazením výrazu pro yay" do původní rovnice, budu mít

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) nebo x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Najdeme funkci v=v(x) z podmínky x(x-1)v"+v=0. Vezmeme-li jakékoli konkrétní řešení poslední rovnice, například v=\frac(x)(x-1) a jejím dosazením dostaneme rovnici u"=2x-1, ze které najdeme funkci u(x)=x^2-x+C. Proto obecné řešení rovnice x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) vůle

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), nebo y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Pomocí počáteční podmínky y|_(x=2)=4 získáme rovnici pro nalezení C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2 kde C=0; takže řešením uvedeného Cauchyho problému bude funkce y=x^2.

Příklad 4. Je známo, že existuje vztah mezi proudem i a elektromotorickou silou E v obvodu s odporem R a vlastní indukčností L E=Ri+L\frac(di)(dt), kde R a L jsou konstanty. Pokud uvažujeme E jako funkci času t, získáme lineární nehomogenní rovnici pro proudovou sílu i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Najděte aktuální sílu i(t) pro případ, kdy E=E_0=\text(konst) a i(0)=I_0.

Řešení. My máme \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Obecné řešení této rovnice má tvar i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Pomocí počáteční podmínky (13) získáme z C=I_0-\frac(E_0)(R), takže požadované řešení bude

i(t)=\frac(E_0)(R)+\levý(I_0-\frac(E_0)(R)\vpravo)\!e^(-(R/L)t).

To ukazuje, že při t\to+\infty má proudová síla i(t) tendenci ke konstantní hodnotě \frac(E_0)(R) .

Příklad 5. Je dána rodina C_\alfa integrálních křivek lineární nehomogenní rovnice y"+p(x)y=q(x).

Ukažte, že tečny v odpovídajících bodech ke křivkám C_\alpha definovaným lineární rovnicí se protínají v jednom bodě (obr. 13).

Řešení. Uvažujme tečnu k libovolné křivce C_\alfa v bodě M(x,y) Rovnice tečny v bodě M(x,y) má tvar

\eta-q(x)(\xi-x)=y, kde \xi,\eta jsou aktuální souřadnice tečného bodu.

Podle definice je v odpovídajících bodech x konstantní a y je proměnné. Vezmeme-li libovolné dvě tečny k přímkám C_\alpha v odpovídajících bodech, pro souřadnice bodu S jejich průsečíku získáme

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

To ukazuje, že všechny tečny ke křivkám C_\alpha v odpovídajících bodech (x je pevné) se protínají ve stejném bodě

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\vpravo).

Vynecháním argumentu x v soustavě získáme rovnici lokusu bodů S\dvojtečka f(\xi,\eta)=0.

Příklad 6. Najděte řešení rovnice y"-y=\cos(x)-\sin(x), splňující podmínku: y je omezeno na y\to+\infty .

Řešení. Obecné řešení této rovnice je y=Ce^x+\sin(x) . Jakékoli řešení rovnice získané z obecného řešení pro C\ne0 bude neomezené, protože pro x\to+\infty je funkce \sin(x) omezená a e^x\to+\infty . Z toho vyplývá, že tato rovnice má jedinečné řešení y=\sin(x) , ohraničené v x\to+\infty , které je získáno z obecného řešení v C=0 .

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho diferenciální rovnice vypadá jako

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, kde n\ne0;1 (pro n=0 an=1 je tato rovnice lineární).

Použití variabilní náhrady z=\frac(1)(y^(n-1)) Bernoulliho rovnice je redukována na lineární rovnici a integrována jako lineární.

Příklad 7. Vyřešte Bernoulliho rovnici y"-xy=-xy^3.

Řešení. Vydělte obě strany rovnice y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Provedení proměnné změny \frac(1)(y^2)=z\Šipka doprava-\frac(2y")(y^3)=z", kde \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po dosazení se poslední rovnice změní na lineární rovnici

-\frac(z")(2)-xz=-x nebo z"+2xz=2x, jehož obecné řešení je z=1+Ce^(-x^2).

Odtud získáme obecný integrál této rovnice

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) nebo y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komentář. Bernoulliho rovnici lze také integrovat metodou variace konstanty, jako je lineární rovnice, a pomocí substituce y(x)=u(x)v(x) .

Příklad 8. Vyřešte Bernoulliho rovnici xy"+y=y^2\ln(x). .

Řešení. Použijme metodu variace libovolné konstanty. Obecné řešení odpovídající homogenní rovnice xy"+y=0 má tvar y=\frac(C)(x). Obecné řešení rovnice hledáme ve tvaru y=\frac(C(x)) (x) , kde C(x) - nová neznámá funkce Dosazením do původní rovnice máme

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Abychom našli funkci C(x), získáme rovnici se separovatelnými proměnnými, ze které separací proměnných a integrací zjistíme

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Takže obecné řešení původní rovnice y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Nějaký Ne lineární rovnice prvního řádu se pomocí úspěšně nalezené změny proměnných redukují na lineární rovnice nebo Bernoulliho rovnice.

Příklad 9. Vyřešte rovnici y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Řešení. Zapišme tuto rovnici ve tvaru y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dělení obou stran rovnice 2\cos^2\frac(y)(2), dostaneme \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\jméno operátora(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Výměna, nahrazení \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje tuto rovnici na lineární \frac(dz)(dx)+z=-x, jehož obecné řešení je z=1-x+Ce^(-x) .

Nahradíme-li z jeho vyjádřením v y, získáme obecný integrál této rovnice \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

V některých rovnicích může být požadovaná funkce y(x) pod znaménkem integrálu. V těchto případech je někdy možné tuto rovnici redukovat na diferenciální rovnici derivací.

Příklad 10. Vyřešte rovnici x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Řešení. Když derivujeme obě strany této rovnice vzhledem k x, dostaneme

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) nebo \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

Když opět derivujeme s ohledem na x, budeme mít lineární homogenní rovnici s ohledem na y(x)\dvojtečku

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x) nebo x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Oddělování proměnných a integrování najdeme y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Toto řešení, jak lze snadno ověřit, splňuje původní rovnici.

Bernoulliho diferenciální rovnice je rovnice ve tvaru:
, kde n ≠ 0 , n ≠ 1 , p a q jsou funkce x.

Řešení Bernoulliho diferenciální rovnice redukcí na lineární rovnici

Zvažte Bernoulliho diferenciální rovnici:
(1) ,
kde n ≠ 0 , n ≠ 1 , p a q jsou funkce x.
Vydělme to y n. Když y ≠ 0 nebo n< 0 my máme:
(2) .
Tuto rovnici lze redukovat na lineární rovnici pomocí změny proměnné:
.
Pojďme to ukázat. Podle pravidla diferenciace komplexní funkce:
;
.
Pojďme se nahradit (2) a transformovat:
;
.
Toto je lineární, vzhledem k z, diferenciální rovnice. Po jeho vyřešení pro n > 0 , měli bychom uvažovat případ y = 0 . Když n > 0 , y = 0 je také řešením rovnice (1) a měl by být součástí odpovědi.

Řešení Bernoulliho metodou

Dotyčná rovnice (1) lze řešit i Bernoulliho metodou. K tomu hledáme řešení původní rovnice ve formě součinu dvou funkcí:
y = u·v,
kde u a v jsou funkce x. Rozlišujte podle x:
y′ = u′ v + u v′ .
Dosaďte do původní rovnice (1) :
;
(3) .
Jako v vezmeme libovolné nenulové řešení rovnice:
(4) .
Rovnice (4) je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Vyřešíme to a najdeme konkrétní řešení v = v (X). Nahradíme konkrétní řešení do (3) . Protože splňuje rovnici (4) , pak výraz v závorkách bude nula. Dostaneme:
;
.
Zde v je již známá funkce x. Toto je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Najdeme její obecné řešení a s ním i řešení původní rovnice y = uv.

Příklad řešení Bernoulliho diferenciální rovnice

Vyřešte rovnici

Řešení

Na první pohled se tato diferenciální rovnice nezdá být podobná Bernoulliho rovnici. Pokud považujeme x za nezávislou proměnnou a y za závisle proměnnou (tedy pokud y je funkcí x), pak je to pravda. Pokud ale považujeme y za nezávislou proměnnou a x za závisle proměnnou, pak je snadné vidět, že jde o Bernoulliho rovnici.

Předpokládáme tedy, že x je funkcí y. Dosadíme a vynásobíme:
;
;
(str. 1) .
Toto je Bernoulliho rovnice s n = 2 . Liší se od výše uvedené rovnice (1) , pouze zápisem proměnných (x místo y). Řešíme Bernoulliho metodou. Udělejme náhradu:
x = u v,
kde u a v jsou funkce y. Rozlišujte s ohledem na y:
.
Pojďme se nahradit (str. 1):
;
(str. 2) .
Hledáme jakoukoli nenulovou funkci v (y), splňující rovnici:
(str. 3) .
Oddělujeme proměnné:
;
;
.
Položme C = 0 , protože potřebujeme nějaké řešení rovnice (str. 3).
;
.
Pojďme se nahradit (str. 2) vzhledem k tomu, že výraz v závorkách je roven nule (kvůli (str. 3)):
;
;
.
Oddělme proměnné. Když u ≠ 0 my máme:
;
(str. 4) ;
.
Ve druhém integrálu provedeme substituci:
;
.

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je rovnice, která je lineární s ohledem na neznámou funkci a její derivaci. Vypadá to, že

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

kde p(x) a q(x) jsou dané funkce x, spojité v oblasti, ve které je třeba integrovat rovnici (1).

Jestliže q(x)\equiv0 , pak je volána rovnice (1). lineárně homogenní. Je to separovatelná rovnice a má obecné řešení

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Obecné řešení nehomogenní rovnice lze nalézt metoda variace libovolné konstanty, která spočívá v tom, že řešení rovnice (1) se hledá ve tvaru

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\vpravo), kde C(x) je nová neznámá funkce x.

Příklad 1 Vyřešte rovnici y"+2xy=2xe^(-x^2) .

Řešení. Použijme metodu konstantní variace. Uvažujme homogenní rovnici y"+2xy=0 odpovídající této nehomogenní rovnici. Jedná se o rovnici se separovatelnými proměnnými. Její obecné řešení má tvar y=Ce^(-x^2) .

Hledáme obecné řešení nehomogenní rovnice ve tvaru y=C(x)e^(-x^2), kde C(x) je neznámá funkce x. Dosazením dostaneme C"(x)=2x, odkud C(x)=x^2+C. Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy bude y=(x^2+C)e^(-x^ 2), kde C - integrační konstanta.

Komentář. Může se ukázat, že diferenciální rovnice je lineární v x jako funkce y. Normální tvar takové rovnice je

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Příklad 2 Vyřešte rovnici \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Řešení. Tato rovnice je lineární, pokud uvažujeme x jako funkci y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Použijeme metodu variace libovolné konstanty. Nejprve vyřešíme odpovídající homogenní rovnici

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

což je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Jeho obecné řešení má tvar x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(konst).

Obecné řešení rovnice hledáme ve tvaru x=C(y)e^(\sin(y)), kde C(y) je neznámá funkce y. Nahrazení, dostáváme

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y nebo C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Odtud, integrace po částech, máme

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(aligned)

Tak,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Dosazením této rovnice do x=C(y)e^(\sin(y)) získáme obecné řešení původní rovnice, a tedy i této rovnice:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Původní rovnici lze také integrovat následovně. Věříme

Y=u(x)v(x),

kde u(x) a v(x) jsou neznámé funkce x, z nichž jednu, například v(x), lze zvolit libovolně.

Dosazením y=u(x)v(x) do , po transformaci dostaneme

Vu"+(pv+v")u=q(x).

Určením v(x) z podmínky v"+pv=0 pak z vu"+(pv+v")u=q(x) najdeme funkci u(x) a následně řešení y=uv rovnice \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Jako v(x) můžeme vzít libovolné časté řešení rovnice v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Příklad 3 Vyřešte Cauchyho problém: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Řešení. Hledáme obecné řešení rovnice ve tvaru y=u(x)v(x) ; máme y"=u"v+uv". Dosazením výrazu pro yay" do původní rovnice budeme mít

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) nebo x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Najdeme funkci v=v(x) z podmínky x(x-1)v"+v=0. Vezmeme-li jakékoli konkrétní řešení poslední rovnice, například v=\frac(x)(x-1) a jejím dosazením dostaneme rovnici u"=2x-1, ze které najdeme funkci u(x)=x^2-x+C. Proto obecné řešení rovnice x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) vůle

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), nebo y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Pomocí počáteční podmínky y|_(x=2)=4 získáme rovnici pro nalezení C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2 kde C=0; takže řešením uvedeného Cauchyho problému bude funkce y=x^2.

Příklad 4. Je známo, že existuje vztah mezi proudem i a elektromotorickou silou E v obvodu s odporem R a vlastní indukčností L E=Ri+L\frac(di)(dt), kde R a L jsou konstanty. Pokud považujeme E za funkci času t, získáme lineární nehomogenní rovnici pro proud i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Najděte aktuální sílu i(t) pro případ, kdy E=E_0=\text(konst) a i(0)=I_0.

Řešení. My máme \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Obecné řešení této rovnice má tvar i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Pomocí počáteční podmínky (13) získáme z C=I_0-\frac(E_0)(R), takže požadované řešení bude

I(t)=\frac(E_0)(R)+\levý(I_0-\frac(E_0)(R)\vpravo)\!e^(-(R/L)t).

To ukazuje, že při t\to+\infty má proudová síla i(t) tendenci ke konstantní hodnotě \frac(E_0)(R) .

Příklad 5. Je dána rodina C_\alfa integrálních křivek lineární nehomogenní rovnice y"+p(x)y=q(x).

Ukažte, že tečny v odpovídajících bodech ke křivkám C_\alpha definovaným lineární rovnicí se protínají v jednom bodě (obr. 13).

Řešení. Uvažujme tečnu k libovolné křivce C_\alfa v bodě M(x,y) Rovnice tečny v bodě M(x,y) má tvar

\eta-q(x)(\xi-x)=y, kde \xi,\eta jsou aktuální souřadnice tečného bodu.

Podle definice je v odpovídajících bodech x konstantní a y je proměnné. Vezmeme-li libovolné dvě tečny k přímkám C_\alpha v odpovídajících bodech, pro souřadnice bodu S jejich průsečíku získáme

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

To ukazuje, že všechny tečny ke křivkám C_\alpha v odpovídajících bodech (x je pevné) se protínají ve stejném bodě

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\vpravo).

Vynecháním argumentu x v soustavě získáme rovnici lokusu bodů S\dvojtečka f(\xi,\eta)=0.

Příklad 6. Najděte řešení rovnice y"-y=\cos(x)-\sin(x), splňující podmínku: y je omezeno na y\to+\infty .

Řešení. Obecné řešení této rovnice je y=Ce^x+\sin(x) . Jakékoli řešení rovnice získané z obecného řešení pro C\ne0 bude neomezené, protože pro x\to+\infty je funkce \sin(x) omezená a e^x\to+\infty . Z toho vyplývá, že tato rovnice má jedinečné řešení y=\sin(x) , ohraničené v x\to+\infty , které je získáno z obecného řešení v C=0 .

Bernoulliho rovnice

Bernoulliho diferenciální rovnice vypadá jako

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, kde n\ne0;1 (pro n=0 an=1 je tato rovnice lineární).

Použití variabilní náhrady z=\frac(1)(y^(n-1)) Bernoulliho rovnice je redukována na lineární rovnici a integrována jako lineární.

Příklad 7. Vyřešte Bernoulliho rovnici y"-xy=-xy^3.

Řešení. Vydělte obě strany rovnice y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Provedení proměnné změny \frac(1)(y^2)=z\Šipka doprava-\frac(2y")(y^3)=z", kde \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Po dosazení se poslední rovnice změní na lineární rovnici

-\frac(z")(2)-xz=-x nebo z"+2xz=2x, jehož obecné řešení je z=1+Ce^(-x^2).

Odtud získáme obecný integrál této rovnice

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) nebo y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Komentář. Bernoulliho rovnici lze také integrovat metodou variace konstanty, jako je lineární rovnice, a pomocí substituce y(x)=u(x)v(x) .

Příklad 8. Vyřešte Bernoulliho rovnici xy"+y=y^2\ln(x). .

Řešení. Použijme metodu variace libovolné konstanty. Obecné řešení odpovídající homogenní rovnice xy"+y=0 má tvar y=\frac(C)(x). Obecné řešení rovnice hledáme ve tvaru y=\frac(C(x)) (x) , kde C(x) - nová neznámá funkce Dosazením do původní rovnice máme

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

Abychom našli funkci C(x), získáme rovnici se separovatelnými proměnnými, ze které separací proměnných a integrací zjistíme

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Takže obecné řešení původní rovnice y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Některé nelineární rovnice prvního řádu lze redukovat na lineární rovnice nebo Bernoulliho rovnice pomocí úspěšně nalezené změny proměnných.

Příklad 9. Vyřešte rovnici y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Řešení. Zapišme tuto rovnici ve tvaru y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Dělení obou stran rovnice 2\cos^2\frac(y)(2), dostaneme \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\jméno operátora(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Výměna, nahrazení \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) redukuje tuto rovnici na lineární \frac(dz)(dx)+z=-x, jehož obecné řešení je z=1-x+Ce^(-x) .

Nahradíme-li z jeho vyjádřením v y, získáme obecný integrál této rovnice \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

V některých rovnicích může být požadovaná funkce y(x) pod znaménkem integrálu. V těchto případech je někdy možné tuto rovnici redukovat na diferenciální rovnici derivací.

Příklad 10. Vyřešte rovnici x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Řešení. Když derivujeme obě strany této rovnice vzhledem k x, dostaneme

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) nebo Zdroj informací

Bernoulliho rovnice je jedním z nejznámějších nelineární diferenciální rovnice 1. řádu. Píše se ve formuláři

Kde A(X) A b(X) jsou spojité funkce. Li m= 0, pak se Bernoulliho rovnice stane lineární diferenciální rovnicí. V případě kdy m= 1, rovnice se stane separovatelnou rovnicí. Obecně, kdy m≠ 0,1, Bernoulliho rovnice se pomocí substituce redukuje na lineární diferenciální rovnici

Nová diferenciální rovnice pro funkci z(X) má tvar

a lze je řešit pomocí metod popsaných na stránce Lineární diferenciální rovnice prvního řádu.

BERNOULIHO METODA.

Uvažovanou rovnici lze vyřešit Bernoulliho metodou. K tomu hledáme řešení původní rovnice ve formě součinu dvou funkcí: kde u, v- funkce od X. Diferencujte: Dosaďte do původní rovnice (1): (2) As proti Vezměme libovolné nenulové řešení rovnice: (3) Rovnice (3) je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Poté, co jsme našli jeho konkrétní řešení v = v(x), nahraďte jej do (2). Protože splňuje rovnici (3), výraz v závorkách bude nulový. Dostaneme: Toto je také oddělitelná rovnice. Najdeme její obecné řešení a s ním i řešení původní rovnice y = UV.

64. Rovnice v totálních diferenciálech. Integrační faktor. Metody řešení

Diferenciální rovnice prvního řádu tvaru

volal rovnice v plné diferenciály Pokud si to levá strana představuje celkový diferenciál nějaké funkce, tzn.

Teorém. K tomu, aby rovnice (1) byla rovnicí totálních diferenciálů, je nutné a postačující, aby v nějaké jednoduše spojené oblasti změny proměnných byla splněna podmínka

Obecný integrál rovnice (1) má tvar nebo

Příklad 1 Řešte diferenciální rovnici.

Řešení. Zkontrolujeme, že tato rovnice je totální diferenciální rovnice:

tak to je podmínka (2) je splněna. Tato rovnice je tedy rovnicí v totálních diferenciálech a

tedy kde je stále nedefinovaná funkce.

Integrací, dostaneme . Parciální derivace nalezené funkce se musí rovnat, což dává odkud tak, že Tedy,.

Obecný integrál původní diferenciální rovnice.

Při integraci některých diferenciálních rovnic lze členy seskupit takovým způsobem, že se získají snadno integrovatelné kombinace.

65. Obyčejné diferenciální lineární rovnice vyšších řádů: homogenní a nehomogenní. Lineární diferenciální operátor, jeho vlastnosti (s důkazem).

Lineární diferenciální operátor a jeho vlastnosti. Množina funkcí majících na intervalu ( A , b ) Neméně n derivace, tvoří lineární prostor. Zvažte operátora L n (y ), který zobrazuje funkci y (X ), mající derivace, na funkci mající k - n deriváty.