Mít standardní pohled$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, ve kterém levá strana představuje celkový diferenciál nějaké funkce $F\left(x,y\right)$, nazývané rovnice v plné diferenciály.

Rovnici v celkových diferenciálech lze vždy přepsat jako $dF\left(x,y\right)=0$, kde $F\left(x,y\right)$ je taková funkce, že $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Pojďme integrovat obě strany rovnice $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; integrál nulové pravé strany je roven libovolné konstantě $C$. Tím pádem, společné rozhodnutí této rovnice v implicitním tvaru má tvar $F\left(x,y\right)=C$.

Aby daná diferenciální rovnice byla rovnicí v totálních diferenciálech, je nutné a postačující, aby podmínka $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ být spokojený. Pokud je zadaná podmínka splněna, pak existuje funkce $F\left(x,y\right)$, pro kterou můžeme napsat: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, z čehož získáme dva vztahy : $\frac(\ částečné F)(\částečné x) =P\vlevo(x,y\vpravo)$ a $\frac(\částečné F)(\částečné y) =Q\vlevo(x,y\vpravo )$.

Integrujeme první vztah $\frac(\částečné F)(\částečné x) =P\left(x,y\vpravo)$ přes $x$ a dostaneme $F\left(x,y\vpravo)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kde $U\left(y\right)$ je libovolná funkce $y$.

Vyberme jej tak, aby byl splněn druhý vztah $\frac(\částečný F)(\částečný y) =Q\levý(x,y\vpravo)$. Abychom to udělali, diferencujeme výsledný vztah pro $F\left(x,y\right)$ vzhledem k $y$ a výsledek přirovnáme k $Q\left(x,y\right)$. Dostaneme: $\frac(\partial )(\částečné y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\vpravo)$.

Další řešení je:

• od poslední rovnosti najdeme $U"\left(y\right)$;
• integrujte $U"\left(y\right)$ a najděte $U\left(y\right)$;
• dosaďte $U\left(y\right)$ do rovnosti $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ a nakonec získáme funkci $F\left(x,y\right)$.

\

Najdeme rozdíl:

Integrujeme $U"\left(y\right)$ přes $y$ a najdeme $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Najděte výsledek: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Obecné řešení zapíšeme ve tvaru $F\left(x,y\right)=C$, a to:

Najděte konkrétní řešení $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kde $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Částečné řešení má tvar: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Definice 8.4. Diferenciální rovnice tvaru

Kde
se nazývá totální diferenciální rovnice.

Všimněte si, že levá strana takové rovnice je totální diferenciál nějaké funkce
.

Obecně lze rovnici (8.4) znázornit jako

Místo rovnice (8.5) můžeme uvažovat rovnici

,

jehož řešením je obecný integrál rovnice (8.4). Pro řešení rovnice (8.4) je tedy nutné najít funkci
. V souladu s definicí rovnice (8.4) máme

(8.6)

Funkce
budeme hledat funkci, která splňuje jednu z těchto podmínek (8.6):

Kde - libovolná funkce nezávislá na .

Funkce
je definována tak, aby byla splněna druhá podmínka výrazu (8.6).

(8.7)

Z výrazu (8.7) je určena funkce
. Dosazením do výrazu pro
a získat obecný integrál původní rovnice.

Problém 8.3. Integrujte rovnici

Tady
.

Proto tato rovnice patří k typu diferenciálních rovnic v totálních diferenciálech. Funkce
budeme hledat ve formuláři

.

Na druhé straně,

.

V některých případech stav
nemusí být splněny.

Pak se takové rovnice redukují na uvažovaný typ násobením tzv. integračním faktorem, který v obecný případ, je pouze funkce nebo .

Má-li některá rovnice integrační faktor, který závisí pouze na , pak se určí podle vzorce

kde je vztah by měla být pouze funkce .

Podobně integrační faktor závisí pouze na , je určen vzorcem

kde je vztah
by měla být pouze funkce .

Absence v daných relacích, v prvním případě, proměnné a ve druhém - proměnná , jsou známkou existence integračního faktoru pro danou rovnici.

Problém 8.4. Redukujte tuto rovnici na rovnici v totálních diferenciálech.

.

Zvažte vztah:

.

Téma 8.2. Lineární diferenciální rovnice

Definice 8.5. Diferenciální rovnice
se nazývá lineární, pokud je lineární vzhledem k požadované funkci , jeho derivát a neobsahuje součin požadované funkce a její derivace.

Obecný tvar lineární diferenciální rovnice je reprezentován následujícím vztahem:

(8.8)

Je-li ve vztahu (8.8) pravá strana
, pak se taková rovnice nazývá lineární homogenní. V případě pravá část
, pak se taková rovnice nazývá lineární nehomogenní.

Ukažme, že rovnici (8.8) lze integrovat do kvadratur.

V první fázi uvažujeme lineární homogenní rovnici.

Taková rovnice je rovnice s oddělitelnými proměnnými. Opravdu,

;

/

Poslední vztah určuje obecné řešení lineární homogenní rovnice.

K nalezení obecného řešení lineární nehomogenní rovnice se používá metoda změny derivace konstanty. Myšlenka metody spočívá v tom, že obecné řešení lineární nehomogenní rovnice má stejnou formu jako řešení odpovídající homogenní rovnice, ale libovolná konstanta nahrazena nějakou funkcí
být odhodlán. Takže máme:

(8.9)

Dosazením odpovídajících výrazů do vztahu (8.8).
A
, dostaneme

Dosazením posledního výrazu do vztahu (8.9) získáme obecný integrál lineární nehomogenní rovnice.

Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice je tedy určeno dvěma kvadraturami: obecným řešením lineární homogenní rovnice a konkrétním řešením lineární nehomogenní rovnice.

Problém 8.5. Integrujte rovnici

Původní rovnice tedy patří k typu lineárních nehomogenních diferenciálních rovnic.

V první fázi najdeme obecné řešení lineární homogenní rovnice.

;

Ve druhé fázi určíme obecné řešení lineární nehomogenní rovnice, která se nachází ve tvaru

,

Kde
- funkce, která má být určena.

Takže máme:

Nahrazení vztahů za A do původní lineární nehomogenní rovnice dostaneme:

;

;

.

Obecné řešení lineární nehomogenní rovnice bude mít tvar:

.

V tomto tématu se podíváme na způsob obnovy funkce z jejího totálního diferenciálu, uvedeme příklady problémů s úplná analýzařešení.

Stává se, že diferenciální rovnice (DE) tvaru P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 mohou obsahovat úplné diferenciály některých funkcí na levé straně. Potom můžeme najít obecný integrál diferenciální rovnice, pokud nejprve zrekonstruujeme funkci z jejího totálního diferenciálu.

Příklad 1

Uvažujme rovnici P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Levá strana obsahuje diferenciál určité funkce U(x, y) = 0. K tomu musí být splněna podmínka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Celkový diferenciál funkce U (x, y) = 0 má tvar d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Vezmeme-li v úvahu podmínku ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, získáme:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformací první rovnice z výsledné soustavy rovnic můžeme získat:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkci φ (y) můžeme najít z druhé rovnice dříve získaného systému:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y d y

Takto jsme našli požadovanou funkci U (x, y) = 0.

Příklad 2

Najděte obecné řešení diferenciální rovnice (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Řešení

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Zkontrolujeme, zda je splněna podmínka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Naše podmínka je splněna.

Na základě výpočtů můžeme dojít k závěru, že levá strana původní diferenciální rovnice je celkovým diferenciálem nějaké funkce U (x, y) = 0. Tuto funkci musíme najít.

Protože (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y je celkový diferenciál funkce U (x, y) = 0, pak

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Pojďme integrovat první rovnici systému vzhledem k x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Nyní rozlišíme výsledný výsledek vzhledem k y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Transformací druhé rovnice soustavy získáme: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Znamená to, že
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

kde C je libovolná konstanta.

Dostaneme: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Obecný integrál původní rovnice je x33 - xy2 + C = 0.

Podívejme se na další metodu hledání funkce pomocí známého totálního diferenciálu. Zahrnuje použití křivočarého integrálu z pevného bodu (x 0, y 0) do bodu s proměnnými souřadnicemi (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

V takových případech hodnota integrálu nijak nezávisí na cestě integrace. Jako integrační cestu můžeme vzít lomenou čáru, jejíž spojnice jsou umístěny rovnoběžně se souřadnicovými osami.

Příklad 3

Najděte obecné řešení diferenciální rovnice (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Řešení

Zkontrolujeme, zda je splněna podmínka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ukazuje se, že levou stranu diferenciální rovnice představuje celkový diferenciál nějaké funkce U (x, y) = 0. Abychom tuto funkci našli, je nutné vypočítat liniový integrál bodu (1 ; 1) před (x, y). Vezměme si jako cestu integrace lomenou čáru, jejíž úseky budou procházet přímkou y = 1 z bodu (1, 1) do (x, 1) a poté z bodu (x, 1) do (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x, 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Získali jsme obecné řešení diferenciální rovnice ve tvaru x y - x y 2 + C = 0.

Příklad 4

Určete obecné řešení diferenciální rovnice y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Řešení

Zkontrolujme, zda je splněna podmínka ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Protože ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, pak podmínka nebude splněna. To znamená, že levá strana diferenciální rovnice není úplným diferenciálem funkce. Jedná se o diferenciální rovnici se separovatelnými proměnnými a pro její řešení jsou vhodná i jiná řešení.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Definice: Rovnice formuláře

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

kde levá strana je úplný diferenciál nějaké funkce dvou proměnných, se nazývá totální diferenciální rovnice.

Označme tuto funkci dvou proměnných F(x,y). Potom lze rovnici (9) přepsat jako dF(x,y) = 0 a tato rovnice má obecné řešení F(x,y) = C.

Nechť je dána rovnice tvaru (9). Abyste zjistili, zda se jedná o totální diferenciální rovnici, musíte zkontrolovat, zda se jedná o výraz

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

totální diferenciál nějaké funkce dvou proměnných. Chcete-li to provést, musíte zkontrolovat rovnost

Předpokládejme, že pro daný výraz (10) je splněna rovnost (11) v nějaké jednoduše spojené oblasti (S), a proto výraz (10) je celkovým diferenciálem nějaké funkce F(x,y) v (S). ).

Podívejme se na následující metodu nalezení tohoto primitivního derivátu. Je potřeba najít funkci F(x,y) takovou, že

kde funkce (y) bude definována níže. Ze vzorce (12) pak vyplývá, že

na všech místech regionu (S). Nyní vybereme funkci (y), aby platila rovnost

K tomu přepíšeme potřebnou rovnost (14) a místo F(x,y) dosadíme její výraz podle vzorce (12):

Dělejme derivaci podle y pod znaménkem integrálu (to lze udělat, protože P(x,y) a - spojité funkce dvě proměnné):

Protože podle (11), nahrazením znakem pod integrálem v (16), máme:

Po integraci přes y najdeme samotnou funkci (y), která je konstruována tak, že je splněna rovnost (14). Pomocí rovnosti (13) a (14) to vidíme

v oblasti (S). (18)

Příklad 5. Zkontrolujte, zda je daná diferenciální rovnice totální diferenciální rovnicí a vyřešte ji.

Toto je diferenciální rovnice totálních diferenciálů. Vlastně tím, že jsme označili, jsme o tom přesvědčeni

a to je nutnou a postačující podmínkou toho, že výraz

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

je totální diferenciál nějaké funkce U(x,y). Navíc se jedná o funkce, které jsou v R spojité.

Proto, abyste integrovali tuto diferenciální rovnici, musíte najít funkci, pro kterou je levá strana diferenciální rovnice totální diferenciál. Nechť pak taková funkce je U(x,y).

Integrací levé a pravé strany přes x dostaneme:

K nalezení q(y) použijeme skutečnost, že

Dosazením nalezené hodnoty μ(y) do (*) nakonec získáme funkci U(x,y):

Obecný integrál původní rovnice má tvar

Základní typy diferenciálních rovnic prvního řádu (pokračování).

Lineární diferenciální rovnice

Definice: Lineární rovnice prvního řádu je rovnice tvaru

y" + P(x)y = f(x), (21)

kde P(x) a f(x) jsou spojité funkce.

Název rovnice je vysvětlen tím, že derivace y“ je lineární funkce z y, tedy pokud rovnici (21) přepíšeme ve tvaru y" = - P(x) + f(x), pak pravá strana obsahuje y pouze k první mocnině.

Pokud f(x) = 0, pak rovnice

yґ+ P(x) y = 0 (22)

nazývané lineární homogenní rovnice. Je zřejmé, že homogenní lineární rovnice je rovnice s oddělitelnými proměnnými:

y" + P(x)y = 0; ,

Pokud f(x) ? 0, pak rovnice

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

se nazývá lineární nehomogenní rovnice.

Obecně platí, že proměnné v rovnici (21) nelze oddělit.

Rovnice (21) je řešena následovně: budeme hledat řešení v podobě součinu dvou funkcí U(x) a V(x):

Pojďme najít derivát:

y" = U"V + UV" (25)

a dosaďte tyto výrazy do rovnice (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Seskupíme termíny na levé straně:

U"V + U = f(x). (26)

Položme podmínku na jeden z faktorů (24), totiž předpokládáme, že funkce V(x) je taková, že otočí výraz v hranatých závorkách v (26) shodně na nulu, tzn. že je řešením diferenciální rovnice

V" + P(x)V = 0. (27)

Toto je rovnice s oddělitelnými proměnnými, najdeme z ní V(x):

Nyní najdeme funkci U(x) takovou, že s již nalezenou funkcí V(x) je součin U V řešením rovnice (26). K tomu je nutné, aby U(x) bylo řešením rovnice

Toto je oddělitelná rovnice, takže

Dosazením nalezených funkcí (28) a (30) do vzorce (4) získáme obecné řešení rovnice (21):

Uvažovaná metoda (Bernoulliho metoda) tedy redukuje řešení lineární rovnice(21) k řešení dvou rovnic se separovatelnými proměnnými.

Příklad 6. Najděte obecný integrál rovnice.

Tato rovnice není lineární vzhledem k y a y", ale ukáže se být lineární, pokud považujeme x za požadovanou funkci a y za argument. Přejdeme-li k, získáme

K řešení výsledné rovnice použijeme substituční metodu (Bernoulli). Budeme hledat řešení rovnice ve tvaru x(y)=U(y)V(y), tedy. Dostaneme rovnici:

Zvolme funkci V(y) tak, že. Pak

Diferenciální rovnice prvního řádu v totálních diferenciálech je rovnice ve tvaru:
(1) ,
kde levá strana rovnice je totální diferenciál nějaké funkce U (x, y) z proměnných x, y:
.
V čem .

Pokud je taková funkce U nalezena (x, y), pak má rovnice tvar:
dU (x, y) = 0.
Jeho obecný integrál je:
U (x, y) = C,
kde C je konstanta.

Pokud je diferenciální rovnice prvního řádu napsána z hlediska její derivace:
,
pak je snadné jej uvést do tvaru (1) . Chcete-li to provést, vynásobte rovnici dx. Pak . Výsledkem je rovnice vyjádřená pomocí diferenciálů:
(1) .

Vlastnost diferenciální rovnice v totálních diferenciálech

Aby byla rovnice (1) byla rovnice v totálních diferenciálech, je nutné a postačující, aby vztah platil:
(2) .

Důkaz

Dále předpokládáme, že všechny funkce použité v důkazu jsou definovány a mají odpovídající derivace v nějakém rozsahu hodnot proměnných x a y. Bod x 0, y 0 patří také do této oblasti.

Dokažme nutnost podmínky (2).
Nechte levou stranu rovnice (1) je diferenciál nějaké funkce U (x, y):
.
Pak
;
.
Protože druhá derivace nezávisí na řádu derivace, pak
;
.
Z toho vyplývá, že . Nutnost podmínkou (2) osvědčený.

Dokažme dostatečnost podmínky (2).
Ať je podmínka splněna (2) :
(2) .
Ukažme, že je možné takovou funkci U najít (x, y)že jeho rozdíl je:
.
To znamená, že existuje taková funkce U (x, y), který splňuje rovnice:
(3) ;
(4) .
Pojďme najít takovou funkci. Pojďme integrovat rovnici (3) podle x od x 0 na x, za předpokladu, že y je konstanta:
;
;
(5) .
Derivujeme podle y za předpokladu, že x je konstanta a platí (2) :

.
Rovnice (4) bude proveden, pokud
.
Integrujte přes y od y 0 k y:
;
;
.
Vystřídejte v (5) :
(6) .
Našli jsme tedy funkci, jejíž diferenciál
.
Dostatečnost byla prokázána.

Ve vzorci (6) , U (x 0, y 0) je konstanta - hodnota funkce U (x, y) v bodě x 0, y 0. Lze mu přiřadit libovolnou hodnotu.

Jak rozpoznat diferenciální rovnici v totálních diferenciálech

Zvažte diferenciální rovnici:
(1) .
Chcete-li zjistit, zda je tato rovnice v celkových diferenciálech, musíte zkontrolovat podmínku (2) :
(2) .
Pokud platí, pak je tato rovnice v totálních diferenciálech. Pokud ne, pak se nejedná o totální diferenciální rovnici.

Příklad

Zkontrolujte, zda je rovnice v celkových diferenciálech:
.

Řešení

Tady
, .
Rozlišujeme s ohledem na y s ohledem na konstantu x:


.
Pojďme rozlišovat


.
Protože:
,
pak je daná rovnice v totálních diferenciálech.

Metody řešení diferenciálních rovnic v totálních diferenciálech

Metoda sekvenční diferenciální extrakce

Většina jednoduchá metodařešení rovnice v totálních diferenciálech je metodou sekvenčního výběru diferenciálu. K tomu používáme diferenciační vzorce napsané v diferenciálním tvaru:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
V těchto vzorcích jsou u a v libovolné výrazy složené z libovolné kombinace proměnných.

Příklad 1

Řešte rovnici:
.

Řešení

Dříve jsme zjistili, že tato rovnice je v totálních diferenciálech. Pojďme to transformovat:
(P1) .
Rovnici řešíme postupným izolováním diferenciálu.
;
;
;
;

.
Vystřídejte v (P1):
;
.

Odpovědět

Metoda postupné integrace

V této metodě hledáme funkci U (x, y), splňující rovnice:
(3) ;
(4) .

Pojďme integrovat rovnici (3) v x, s ohledem na konstantu y:
.
Zde φ (y)- libovolná funkce y, kterou je třeba určit. Je to konstanta integrace. Dosaďte do rovnice (4) :
.
Odtud:
.
Integrací zjistíme φ (y) a tedy U (x, y).

Příklad 2

Řešte rovnici v totálních diferenciálech:
.

Řešení

Dříve jsme zjistili, že tato rovnice je v totálních diferenciálech. Představme si následující zápis:
, .
Hledám funkci U (x, y), jehož diferenciál je levá strana rovnice:
.
Pak:
(3) ;
(4) .
Pojďme integrovat rovnici (3) v x, s ohledem na konstantu y:
(P2)
.
Rozlišujte s ohledem na y:

.
Pojďme se nahradit (4) :
;
.
Pojďme integrovat:
.
Pojďme se nahradit (P2):

.
Obecný integrál rovnice:
U (x, y) = konst.
Spojíme dvě konstanty do jedné.

Odpovědět

Metoda integrace podél křivky

Funkce U definovaná vztahem:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
lze nalézt integrací této rovnice podél křivky spojující body (x 0, y 0) A (x, y):
(7) .
Protože
(8) ,
pak integrál závisí pouze na souřadnicích iniciály (x 0, y 0) a konečná (x, y) bodů a nezávisí na tvaru křivky. Z (7) A (8) shledáváme:
(9) .
Tady x 0 a y 0 - trvalé. Proto U (x 0, y 0)- také konstantní.

Příklad takové definice U byl získán v důkazu:
(6) .
Zde se integrace provádí nejprve podél segmentu rovnoběžného s osou y z bodu (x 0, y 0) do té míry (x 0, y). Poté se provede integrace podél segmentu rovnoběžného s osou x z bodu (x 0, y) do té míry (x, y) .

Obecněji řečeno, musíte znázornit rovnici křivky spojující body (x 0, y 0) A (x, y) v parametrické podobě:
X 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
X 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
a integrovat přes t 1 od t 0 do t.

Nejjednodušší způsob, jak provést integraci, je přes spojovací body segmentu (x 0, y 0) A (x, y). V tomto případě:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) ti;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Po dosazení získáme integrál přes t of 0 před 1 .
Tato metoda, však vede k poměrně těžkopádným výpočtům.

Reference:
V.V. Stepanov, Kurz diferenciálních rovnic, "LKI", 2015.