Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrazce, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úloha „vypočítat plochu pomocí určitý integrál„vždy zahrnuje konstrukci výkresu, mnohem víc aktuální problém budou vaše znalosti a dovednosti v kreslení. V tomto ohledu je užitečné osvěžit si paměť grafů základních elementárních funkcí a minimálně umět sestrojit přímku a hyperbolu.
Zakřivený lichoběžník je plochá postava omezeno osou, přímky a graf funkce spojité na intervalu, který na tomto intervalu nemění znaménko. Nechte toto číslo najít ne méně osa x:
Pak plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam.
Z hlediska geometrie je určitým integrálem PLOCHA.
to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše určitého obrazce. Uvažujme například určitý integrál. Integrand definuje křivku v rovině umístěné nad osou (kdo chce, může si nakreslit) a samotný určitý integrál je numerický rovná ploše odpovídající zakřivený lichoběžník.
Příklad 1
Toto je typický příkaz k zadání. První a nejdůležitější momentřešení - kresba kresba. Kromě toho musí být výkres vytvořen ŽE JO.
Při konstrukci výkresu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší konstruovat všechny přímky (pokud existují) a pouze Pak- paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Výhodnější je vytvářet grafy funkcí bod po bodu.
V tomto problému může řešení vypadat takto.
Nakreslíme výkres (všimněte si, že rovnice definuje osu):
Na segmentu je umístěn graf funkce nad osou, Proto:
Odpovědět:
Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V v tomto případě„okem“ spočítáme počet buněk na výkresu - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je zcela jasné, že pokud bychom dostali řekněme odpověď: 20 čtvercové jednotky, pak je evidentní, že se někde stala chyba - 20 buněk se do dotyčného čísla zjevně nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.
Příklad 3
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.
Řešení: Uděláme kresbu:
Pokud je umístěn zakřivený lichoběžník pod nápravou(nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak lze její plochu najít pomocí vzorce:
V tomto případě:
Pozornost! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:
1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrický význam, pak může být negativní.
2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.
V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.
Příklad 4
Najít oblast plochá postava, ohraničený čarami , .
Řešení: Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická. Řešíme rovnici:
To znamená, že spodní hranice integrace je , horní hranice integrace je .
Pokud je to možné, je lepší tuto metodu nepoužívat..
Mnohem výnosnější a rychlejší je konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A budeme také uvažovat o takovém příkladu.
Vraťme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:
A nyní pracovní vzorec: Pokud je na segmentu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějaký kontinuální funkce, pak oblast obrázku omezenou grafy těchto funkcí a čarami , lze najít pomocí vzorce: 
Zde již nemusíte přemýšlet o tom, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno, záleží, který graf je VYŠŠÍ(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.
V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od
Hotové řešení může vypadat takto:
Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou dole.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:
Odpovědět:
Příklad 4
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .
Řešení: Nejprve si uděláme kresbu:
Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře(podívejte se pozorně na stav - jak je počet omezen!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často objeví „závada“, že musíte najít oblast obrázku, která je zastíněna zelená!
Tento příklad je také užitečný v tom, že počítá plochu obrazce pomocí dvou určitých integrálů.
Opravdu:
1) Na segmentu nad osou je graf přímky;
2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.
Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:
Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku
Přejděme k aplikacím integrálního počtu. V této lekci analyzujeme typický a nejběžnější úkol - jak použít určitý integrál k výpočtu plochy rovinného obrazce. Konečně ti, kteří hledají smysl ve vyšší matematice – ať ho najdou. Nikdy nevíš. Budeme si to muset v životě přiblížit venkovská chatová oblast elementární funkce a najít její obsah pomocí určitého integrálu.
Pro úspěšné zvládnutí materiálu musíte:
1) Pochopit neurčitý integrál alespoň na průměrné úrovni. Takže figuríny by si měly lekci nejprve přečíst Ne.
2) Umět použít Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. S určitými integrály na stránce můžete navázat vřelé přátelské vztahy Určitý integrál. Příklady řešení.
Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrazce, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úloha „vypočítat plochu pomocí určitého integrálu“ vždy zahrnuje vytvoření výkresu, takže vaše znalosti a dovednosti v kreslení budou mnohem palčivějším problémem. V tomto ohledu je užitečné osvěžit si paměť grafů základních elementárních funkcí a minimálně umět sestrojit přímku, parabolu a hyperbolu. To lze provést (pro mnohé je to nutné) pomocí metodický materiál a články o geometrických transformacích grafů.
S úkolem najít oblast pomocí určitého integrálu je vlastně každý obeznámen již od školy a nebudeme se od toho o moc dál školní osnovy. Tento článek by možná vůbec neexistoval, ale faktem je, že problém nastává v 99 případech ze 100, kdy student trpí nenáviděnou školou a s nadšením zvládá kurz vyšší matematiky.
Materiály tohoto workshopu jsou prezentovány jednoduše, podrobně as minimem teorie.
Začněme zakřiveným lichoběžníkem.
Křivočarý lichoběžník je plochý obrazec ohraničený osou, přímkami a grafem funkce spojité na intervalu, který na tomto intervalu nemění znaménko. Nechte toto číslo najít ne méně osa x:
Pak plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Na lekci Určitý integrál. Příklady řešeníŘekl jsem, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést ještě jednu užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem PLOCHA.
to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše určitého obrazce. Uvažujme například určitý integrál. Integrand definuje křivku v rovině umístěné nad osou (kdo si přeje, může kreslit) a samotný určitý integrál je číselně roven ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.
Příklad 1
Toto je typický příkaz k zadání. Prvním a nejdůležitějším bodem při rozhodování je konstrukce výkresu. Kromě toho musí být výkres vytvořen ŽE JO.
Při konstrukci výkresu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší konstruovat všechny přímky (pokud existují) a pouze Pak– paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Výhodnější je vytvářet grafy funkcí bod po bodu, techniku výstavby bod po bodu lze nalézt v referenčním materiálu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít velmi užitečný materiál pro naši lekci - jak rychle postavit parabolu.
V tomto problému může řešení vypadat takto.
Nakreslíme výkres (všimněte si, že rovnice definuje osu):
Nebudu stínit zakřivený lichoběžník, zde je zřejmé, o jaké oblasti mluvíme. Řešení pokračuje takto:
Na segmentu je umístěn graf funkce nad osou, Proto:
Odpovědět:
Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newton-Leibnizova vzorce 
, viz přednáška Určitý integrál. Příklady řešení.
Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě počítáme počet buněk ve výkresu „okem“ - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.
Příklad 2
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami, a osou
Toto je příklad pro nezávislé rozhodnutí. Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.
Co dělat, když se nachází zakřivený lichoběžník pod nápravou?
Příklad 3
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.
Řešení: Uděláme kresbu: 
Pokud je umístěn zakřivený lichoběžník pod nápravou(nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak lze její plochu najít pomocí vzorce:
V tomto případě: 
Pozornost! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:
1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.
2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.
V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.
Příklad 4
Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami , .
Řešení: Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická. Řešíme rovnici:
To znamená, že spodní hranice integrace je , horní hranice integrace je .
Pokud je to možné, je lepší tuto metodu nepoužívat..
Mnohem výnosnější a rychlejší je konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Technika konstrukce bod po bodu pro různé grafy je podrobně popsána v nápovědě Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A budeme také uvažovat o takovém příkladu.
Vraťme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres: 
Opakuji, že při bodové konstrukci se hranice integrace nejčastěji zjišťují „automaticky“.
A nyní pracovní vzorec: Pokud je na segmentu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějakou spojitou funkci , pak oblast obrázku ohraničenou grafy těchto funkcí a čarami , lze najít pomocí vzorce: 
Zde již nemusíte přemýšlet o tom, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno, záleží, který graf je VYŠŠÍ(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.
V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od
Hotové řešení může vypadat takto:
Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou dole.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:
Odpovědět:
Ve skutečnosti je školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz jednoduchý příklad č. 3) speciální případ vzorce 
. Protože osa je určena rovnicí a graf funkce je umístěn ne vyšší osy tedy 
A nyní pár příkladů pro vlastní řešení
Příklad 5
Příklad 6
Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami , .
Při řešení úloh týkajících se výpočtu plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Kresba byla provedena správně, výpočty byly správné, ale kvůli neopatrnosti... byla nalezena oblast nesprávného obrázku, přesně takhle to tvůj skromný sluha několikrát podělal. Tady skutečný případ ze života:
Příklad 7
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .
Řešení: Nejprve si uděláme kresbu: 
...Eh, kresba vypadla, ale vše se zdá být čitelné.
Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře(podívejte se pozorně na stav - jak je počet omezen!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte najít oblast obrázku, která je vystínovaná zeleně!
Tento příklad je také užitečný v tom, že počítá plochu obrazce pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:
1) Na segmentu nad osou je graf přímky;
2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.
Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:
Odpovědět:
Přejděme k dalšímu smysluplnému úkolu.
Příklad 8
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami,
Představme rovnice ve „školní“ podobě a nakreslime bod po bodu: 
Z nákresu je zřejmé, že naše horní hranice je „dobrá“: .
Ale jaká je spodní hranice?! Je jasné, že to není celé číslo, ale co to je? Možná ? Ale kde je záruka, že je kresba provedena s dokonalou přesností, může se klidně ukázat, že... Nebo kořen. Co když jsme graf sestavili špatně?
V takových případech musíte věnovat více času a analyticky ujasnit limity integrace.
Najdeme průsečíky přímky a paraboly.
Za tímto účelem vyřešíme rovnici: 
,
Opravdu, .
Další řešení je triviální, hlavní je nenechat se zmást v substitucích a znaménkách, výpočty zde nejsou nejjednodušší.
Na segmentu 
, podle odpovídajícího vzorce: 
Odpovědět: 
Na závěr lekce se podívejme na dva obtížnější úkoly.
Příklad 9
Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , ,
Řešení: Znázorněme tuto postavu na výkresu. 
Sakra, zapomněl jsem podepsat rozvrh a promiň, nechtěl jsem ten obrázek předělat. Není den kreslení, zkrátka dnes je ten den =)
Pro stavbu bod po bodu musíte vědět vzhled sinusoidy (a obecně užitečné vědět grafy všech elementárních funkcí), stejně jako některé sinusové hodnoty, lze je nalézt v trigonometrická tabulka. V některých případech (jako v tomto případě) je možné sestrojit schematický výkres, na kterém by měly být grafy a limity integrace zásadně správně zobrazeny.
S limity integrace zde nejsou žádné problémy, vyplývají přímo z podmínky: „x“ se mění z nuly na „pi“. Udělejme další rozhodnutí:
Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:
V tomto článku se dozvíte, jak najít plochu obrázku ohraničenou čarami pomocí integrálních výpočtů. Poprvé se s formulací takového problému setkáváme na střední škole, kdy jsme právě ukončili studium určitých integrálů a je čas začít s geometrickou interpretací získaných poznatků v praxi.
Co je tedy potřeba k úspěšnému vyřešení problému nalezení oblasti obrázku pomocí integrálů:
- Schopnost vytvářet kompetentní výkresy;
- Schopnost řešit určitý integrál pomocí slavná formule Newton-Leibniz;
- Schopnost „vidět“ výnosnější variantu řešení – tzn. chápete, jak bude v tom či onom případě pohodlnější provést integraci? Podél osy x (OX) nebo osy y (OY)?
- No, kde bychom byli bez správných výpočtů?) To zahrnuje pochopení toho, jak vyřešit tento jiný typ integrálů a správné numerické výpočty.
Algoritmus pro řešení problému výpočtu plochy obrázku ohraničeného čarami:
1. Stavíme výkres. Je vhodné to udělat na kostkovaném papíru ve velkém měřítku. Název této funkce podepisujeme tužkou nad každým grafem. Podepisování grafů se provádí pouze pro usnadnění dalších výpočtů. Po obdržení grafu požadovaného čísla bude ve většině případů okamžitě jasné, které limity integrace budou použity. Takto řešíme problém grafická metoda. Stává se však, že hodnoty limitů jsou zlomkové nebo iracionální. Proto můžete provést další výpočty, přejděte ke druhému kroku.
2. Pokud nejsou meze integrace výslovně specifikovány, pak najdeme průsečíky grafů mezi sebou a uvidíme, zda naše grafické řešení s analytickým.
3. Dále musíte analyzovat výkres. V závislosti na tom, jak jsou grafy funkcí uspořádány, existují různé přístupy najít oblast obrázku. Uvažujme různé příklady o nalezení plochy obrazce pomocí integrálů.
3.1. Nejklasičtější a nejjednodušší verze problému je, když potřebujete najít oblast zakřiveného lichoběžníku. Co je to zakřivený lichoběžník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), rovný x = a, x = b a jakákoli křivka spojitá na intervalu od A před b. Navíc toto číslo není záporné a nenachází se pod osou x. V tomto případě je plocha křivočarého lichoběžníku číselně rovna určitému integrálu, vypočítanému pomocí vzorce Newton-Leibniz:
Příklad 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Jakými čarami je obrazec ohraničen? Máme parabolu y = x2 – 3x + 3, která se nachází nad osou ACH, je nezáporné, protože všechny body této paraboly mají kladné hodnoty. Dále, dané rovné čáry x = 1 A x = 3, které probíhají rovnoběžně s osou OU, jsou hraniční čáry obrázku vlevo a vpravo. Studna y = 0, je to také osa x, která omezuje obrázek zespodu. Výsledný obrázek je stínovaný, jak je patrné z obrázku vlevo. V takovém případě můžete problém okamžitě začít řešit. Před námi je jednoduchý příklad zakřiveného lichoběžníku, který následně řešíme pomocí Newton-Leibnizova vzorce.
3.2. V předchozím odstavci 3.1 jsme zkoumali případ, kdy se nad osou x nachází zakřivený lichoběžník. Nyní zvažte případ, kdy jsou podmínky problému stejné, kromě toho, že funkce leží pod osou x. Ke standardnímu Newton-Leibnizovu vzorci je přidáno mínus. Níže zvážíme, jak takový problém vyřešit.
Příklad 2 . Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
V tomto příkladu máme parabolu y = x2 + 6x + 2, který vychází z os ACH, rovný x = -4, x = -1, y = 0. Tady y = 0 omezuje požadované číslo shora. Přímo x = -4 A x = -1 to jsou hranice, ve kterých se bude vypočítat určitý integrál. Princip řešení problému nalezení oblasti obrazce se téměř úplně shoduje s příkladem číslo 1. Jediný rozdíl je v tom, že daná funkce není kladná a je také spojitá na intervalu [-4; -1] . Co tím myslíš, že není pozitivní? Jak je vidět z obrázku, obrazec, který leží v daném x, má výhradně „záporné“ souřadnice, což je to, co potřebujeme vidět a zapamatovat si při řešení problému. Hledáme oblast obrázku pomocí vzorce Newton-Leibniz, pouze se znaménkem mínus na začátku.
Článek není dokončen.
A)
Řešení.
Prvním a nejdůležitějším bodem rozhodnutí je konstrukce výkresu.
Udělejme nákres:
Rovnice y=0 nastaví osu „x“;
- x=-2 A x=1 - rovné, rovnoběžné s osou OU;
- y=x 2 +2 - parabola, jejíž větve směřují vzhůru, s vrcholem v bodě (0;2).
Komentář. Pro sestrojení paraboly stačí najít body jejího průsečíku se souřadnicovými osami, tzn. uvedení x=0 najít průsečík s osou OU a podle toho se rozhodovat kvadratická rovnice, najděte průsečík s osou Ach .
Vrchol paraboly lze najít pomocí vzorců: 
Můžete také vytvářet čáry bod po bodu.
Na intervalu [-2;1] graf funkce y=x2+2 nachází se nad osou Vůl , Proto:
Odpovědět: S = 9 čtverečních jednotek
Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ počítáme počet buněk na výkresu - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.
Co dělat, když se nachází zakřivený lichoběžník pod nápravou Ach?
b) Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y=-e x , x=1 a souřadnicové osy.
Řešení.
Udělejme nákres.
Pokud zakřivený lichoběžník zcela umístěn pod osou Ach , pak jeho oblast lze najít pomocí vzorce:
Odpovědět: S=(e-1) jednotek čtverečních" 1,72 jednotek čtverečních
Pozornost! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:
1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.
2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.
V praxi se nejčastěji postava nachází jak v horní, tak v dolní polorovině.
S) Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami y=2x-x2, y=-x.
Řešení.
Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Pojďme najít průsečíky paraboly 
a rovný 
To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická.
Řešíme rovnici:
To znamená, že spodní hranice integrace a=0 , horní hranice integrace b=3 .
|
Postavíme dané úsečky: 1. Parabola - vrchol v bodě (1;1); průsečík os Ach - body (0;0) a (0;2). 2. Přímka - os 2. a 4. souřadnicového úhlu. A teď Pozor! Pokud na segmentu [ a;b] nějakou spojitou funkci f(x) větší nebo rovno nějaké spojité funkci g(x), pak lze oblast odpovídajícího obrázku najít pomocí vzorce: A nezáleží na tom, kde se obrázek nachází - nad osou nebo pod osou, ale důležité je, který graf je VYŠŠÍ (vzhledem k jinému grafu) a který je POD. V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od |
.Můžete konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální).
Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou dole.
Na segmentu 
, podle odpovídajícího vzorce:
Odpovědět: S = 4,5 čtverečních jednotek
V předchozí části věnované analýze geometrického významu určitého integrálu jsme dostali řadu vzorců pro výpočet plochy křivočarého lichoběžníku:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nezápornou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nekladnou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b].
Tyto vzorce jsou použitelné pro řešení jednoduché úkoly. Ve skutečnosti budeme muset často pracovat se složitějšími figurami. V tomto ohledu budeme tuto část věnovat analýze algoritmů pro výpočet plochy obrazců, které jsou omezeny funkcemi v explicitní podobě, tzn. jako y = f(x) nebo x = g(y).
TeorémNechť jsou funkce y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definovány a spojité na intervalu [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pro jakoukoli hodnotu x z [ a ; b]. Pak vzorec pro výpočet plochy obrázku G, ohraničeného přímkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) bude vypadat jako S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.
Podobný vzorec bude platit pro plochu obrazce ohraničenou úsečkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Důkaz
Podívejme se na tři případy, pro které bude vzorec platit.
V prvním případě, s ohledem na vlastnost aditivity plochy, se součet ploch původního obrázku G a křivočarého lichoběžníku G 1 rovná ploše obrázku G 2. Znamená to, že
Proto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Poslední přechod můžeme provést pomocí třetí vlastnosti určitého integrálu.
Ve druhém případě platí rovnost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafické znázornění bude vypadat takto:
Pokud jsou obě funkce kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornění bude vypadat takto:
Pojďme k úvahám obecný případ, když y = f 1 (x) a y = f 2 (x) protínají osu O x.
Průsečíky označíme jako x i, i = 1, 2, . . . , n-1. Tyto body rozdělují segment [a; b ] na n dílů x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. . . , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Proto,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Poslední přechod můžeme provést pomocí páté vlastnosti určitého integrálu.
Ukažme si obecný případ na grafu.
Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lze považovat za prokázaný.
Nyní přejdeme k analýze příkladů výpočtu plochy obrazců, které jsou omezeny úsečkami y = f (x) a x = g (y).
Uvažování o kterémkoli z příkladů začneme sestrojením grafu. Obrázek nám umožní reprezentovat složité postavy jako svazky jednodušších postav. Pokud vám sestavení grafů a obrázků na nich dělá potíže, můžete si prostudovat část Základní elementární funkce, geometrická transformace grafů funkcí, stejně jako konstrukce grafů při studiu funkce.
Příklad 1
Je nutné určit plochu obrázku, která je omezena parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a přímkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Řešení
Nakreslete čáry do grafu v kartézské soustavě souřadnic.
Na segmentu [1; 4 ] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 je umístěn nad přímkou y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohledu k získání odpovědi použijeme vzorec získaný dříve, stejně jako metodu výpočtu určitého integrálu pomocí Newton-Leibnizova vzorce:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Odpověď: S(G) = 13
Podívejme se na složitější příklad.
Příklad 2
Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x + 2, y = x, x = 7.
Řešení
V tomto případě máme pouze jednu přímku umístěnou rovnoběžně s osou x. Toto je x = 7. To vyžaduje, abychom sami našli druhou hranici integrace.
Sestavme graf a nakreslete do něj čáry uvedené v zadání problému.
Když máme graf před očima, snadno určíme, že spodní hranicí integrace bude úsečka průsečíku grafu přímky y = x a semiparaboly y = x + 2. K nalezení úsečky použijeme rovnosti:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Ukazuje se, že úsečka průsečíku je x = 2.
Upozorňujeme na skutečnost, že v obecný příklad na výkrese se přímky y = x + 2, y = x protínají v bodě (2; 2), takže se tak podrobné výpočty mohou zdát zbytečné. Takto podrobné řešení jsme zde uvedli jen proto, že ve více těžké případyřešení nemusí být tak jednoznačné. To znamená, že je vždy lepší vypočítat souřadnice průsečíku čar analyticky.
Na intervalu [ 2 ; 7] nad grafem funkce y = x + 2 je umístěn graf funkce y = x. Pro výpočet plochy použijeme vzorec:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Odpověď: S (G) = 59 6
Příklad 3
Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena grafy funkcí y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.
Řešení
Nakreslíme čáry do grafu.
Definujme hranice integrace. Za tímto účelem určíme souřadnice průsečíků přímek tak, že dáme rovnítko mezi výrazy 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za předpokladu, že x není nula, se rovnost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 stane ekvivalentní rovnici třetího stupně - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficienty. Chcete-li si osvěžit paměť na algoritmus pro řešení takových rovnic, můžeme se podívat na část „Řešení kubických rovnic“.
Kořen této rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Vydělením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomem x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0
Zbývající kořeny můžeme najít z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Našli jsme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, ve kterém je číslice G obsažena nad modrou a pod červenou čarou. To nám pomáhá určit oblast obrázku:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Odpověď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Příklad 4
Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena křivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou úsečky.
Řešení
Vynesme všechny čáry do grafu. Graf funkce y = - log 2 x + 1 získáme z grafu y = log 2 x, pokud jej umístíme symetricky kolem osy x a posuneme o jednotku nahoru. Rovnice na ose x je y = 0.
Označme průsečíky čar.
Jak je z obrázku patrné, grafy funkcí y = x 3 a y = 0 se protínají v bodě (0; 0). To se děje proto, že x = 0 je jediný skutečný kořen rovnice x 3 = 0.
x = 2 je jediný kořen rovnice - log 2 x + 1 = 0, takže grafy funkcí y = - log 2 x + 1 a y = 0 se protínají v bodě (2; 0).
x = 1 je jediným kořenem rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto ohledu se grafy funkcí y = x 3 a y = - log 2 x + 1 protínají v bodě (1; 1). Poslední tvrzení nemusí být zřejmé, ale rovnice x 3 = - log 2 x + 1 nemůže mít více než jeden kořen, protože funkce y = x 3 je striktně rostoucí a funkce y = - log 2 x + 1 je přísně klesající.
Další řešení zahrnuje několik možností.
Možnost 1
Obrázek G si můžeme představit jako součet dvou křivočarých lichoběžníků umístěných nad osou x, z nichž první je umístěn pod střední osou na úsečce x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha bude rovna S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Možnost č. 2
Obrázek G lze znázornit jako rozdíl dvou obrázků, z nichž první je umístěn nad osou x a pod modrou čarou na segmentu x ∈ 0; 2 a druhá mezi červenou a modrou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To nám umožňuje najít oblast následovně:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
V tomto případě k nalezení oblasti budete muset použít vzorec ve tvaru S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Ve skutečnosti mohou být čáry, které spojují obrazec, reprezentovány jako funkce argumentu y.
Vyřešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhledem k x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Získáme požadovanou oblast:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Odpověď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Příklad 5
Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Řešení
Červenou čarou vyneseme čáru definovanou funkcí y = x. Čáru y = - 1 2 x + 4 nakreslíme modře a čáru y = 2 3 x - 3 černě.
Označme průsečíky.
Najděte průsečíky grafů funkcí y = x a y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrola: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ne Je řešením rovnice x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je řešení rovnice ⇒ (4; 2) průsečík i y = x a y = - 1 2 x + 4
Najdeme průsečík grafů funkcí y = x a y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je řešení rovnice ⇒ (9 ; 3) bod a s y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rovnice nemá řešení
Najděte průsečík přímek y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) průsečík y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3
Metoda č. 1
Představme si plochu požadovaného obrazce jako součet ploch jednotlivých obrazců.
Pak je plocha obrázku:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metoda č. 2
Oblast původního obrázku může být reprezentována jako součet dvou dalších obrázků.
Poté vyřešíme rovnici přímky vzhledem k x a teprve poté použijeme vzorec pro výpočet plochy obrázku.
y = x ⇒ x = y 2 červená čára y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 černá čára y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Oblast je tedy:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Jak vidíte, hodnoty jsou stejné.
Odpověď: S (G) = 11 3
Výsledek
Abychom našli oblast obrázku, která je omezena danými čarami, musíme sestrojit čáry v rovině, najít jejich průsečíky a použít vzorec k nalezení oblasti. V této části jsme zkoumali nejběžnější varianty úloh.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
