Algunos problemas de física y matemáticas se pueden resolver utilizando las propiedades de las series numéricas. Las dos secuencias numéricas más simples que se enseñan en las escuelas son la algebraica y la geométrica. En este artículo, analizaremos más de cerca la cuestión de cómo encontrar la suma de una progresión geométrica decreciente infinita.
Progresión geométrica
Estas palabras significan una serie de números reales cuyos elementos a i satisfacen la expresión:
Aquí i es el número del elemento de la serie, r es un número constante llamado denominador.
Esta definición muestra que, conociendo cualquier miembro de la progresión y su denominador, es posible restaurar la serie completa de números. Por ejemplo, si se conoce el décimo elemento, al dividirlo por r se obtendrá el noveno elemento, luego al dividirlo nuevamente se obtendrá el octavo y así sucesivamente. Estos sencillos argumentos nos permiten escribir una expresión que sea válida para la serie de números considerada:
Un ejemplo de progresión con denominador 2 sería la siguiente serie:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Si el denominador es -2, entonces se obtiene una serie completamente diferente:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
La progresión geométrica es mucho más rápida que la progresión algebraica, es decir, sus términos aumentan y disminuyen rápidamente.
Suma de i términos de progresión
Para resolver problemas prácticos, a menudo es necesario calcular la suma de varios elementos de la secuencia numérica considerada. Para este caso es válida la siguiente fórmula:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Se puede ver que para calcular la suma de i términos, solo se necesitan dos números: a 1 y r, lo cual es lógico, ya que determinan de manera única toda la secuencia.
Secuencia decreciente y suma de sus términos.
Ahora consideremos caso especial. Supondremos que el módulo del denominador r no excede uno, es decir -1 Es interesante considerar una progresión geométrica decreciente porque la suma infinita de sus términos tiende a un número real finito. Consigamos la fórmula para la suma. Esto es fácil de hacer si escribes la expresión para S i dada en el párrafo anterior. Tenemos: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Consideremos el caso cuando i->∞. Dado que el módulo del denominador es menor que 1, elevarlo a una potencia infinita dará cero. Esto se puede comprobar usando el ejemplo de r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Como resultado, la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente tomará la forma: Esta fórmula se utiliza a menudo en la práctica, por ejemplo, para calcular las áreas de figuras. También se utiliza para resolver la paradoja de Zenón de Elea con la tortuga y Aquiles. Es obvio que considerar la suma de una progresión geométrica creciente infinita (r>1) conducirá al resultado S ∞ = +∞. Muestremos cómo aplicar las fórmulas anteriores usando un ejemplo de resolución de un problema. Se sabe que la suma de una progresión geométrica infinita es 11. Además, su séptimo término es 6 veces menor que el tercer término. ¿Cuál es el primer elemento de esta serie numérica? Primero, escribamos dos expresiones para determinar el séptimo y tercer elemento. Obtenemos: Dividiendo la primera expresión por la segunda y expresando el denominador, tenemos: un 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Dado que la razón entre los términos séptimo y tercero se da en el enunciado del problema, puedes sustituirla y encontrar r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Calculamos r con cinco decimales. Como el valor resultante es menor que uno, la progresión es decreciente, lo que justifica el uso de la fórmula para su suma infinita. Escribamos la expresión para el primer término mediante la suma S ∞: Sustituimos valores conocidos en esta fórmula y obtenemos la respuesta: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Zenón de Elea es un famoso filósofo griego que vivió en el siglo V a.C. mi. Varios de sus apogeos o paradojas han llegado hasta nuestros días, en los que se formula el problema de lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño en matemáticas. Una de las famosas paradojas de Zenón es la competencia entre Aquiles y la tortuga. Zenón creía que si Aquiles le daba a la tortuga alguna ventaja en distancia, nunca podría alcanzarla. Por ejemplo, dejemos que Aquiles corra 10 veces más rápido que un animal que se arrastra, que, por ejemplo, se encuentra a 100 metros delante de él. Cuando el guerrero corre 100 metros, la tortuga se aleja 10 metros, y después de correr 10 metros nuevamente, Aquiles ve que la tortuga se arrastra 1 metro más. Se puede argumentar de esta manera hasta el infinito: la distancia entre los competidores ciertamente disminuirá, pero la tortuga siempre estará al frente. Llevó a Zenón a la conclusión de que el movimiento no existe y que todos los movimientos de los objetos circundantes son una ilusión. Por supuesto, el antiguo filósofo griego estaba equivocado. La solución a la paradoja radica en el hecho de que una suma infinita de segmentos decrecientes constantemente tiende a un número finito. En el caso anterior, para la distancia que corrió Aquiles, obtenemos: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica infinita, obtenemos: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metros Este resultado muestra que Aquiles alcanzará a la tortuga cuando ésta avance sólo 11,111 metros. Los antiguos griegos no sabían trabajar con cantidades infinitas en matemáticas. Sin embargo, esta paradoja puede resolverse si prestamos atención no al número infinito de brechas que Aquiles debe superar, sino al número finito de pasos que el corredor necesita para alcanzar su meta. Propósito de la lección: presentar a los estudiantes un nuevo tipo de secuencia: una progresión geométrica infinitamente decreciente. Lección sobre el tema. “Progresión geométrica infinitamente decreciente” (álgebra, décimo grado) El propósito de la lección: presentar a los estudiantes un nuevo tipo de secuencia: una progresión geométrica infinitamente decreciente. Tareas: formular una idea inicial del límite de una secuencia numérica; conocimiento de otra forma de convertir infinitas fracciones periódicas en ordinarias utilizando la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente; desarrollo de cualidades intelectuales de la personalidad de los escolares, como el pensamiento lógico, la capacidad de realizar acciones evaluativas y la generalización; fomento de la actividad, la asistencia mutua, el colectivismo y el interés por el tema. Equipo: clase de informática, proyector, pantalla. Tipo de lección: lección: aprender un nuevo tema. durante las clases I. Org. momento. Indique el tema y el propósito de la lección. II. Actualización de conocimientos de los estudiantes. En noveno grado estudiaste progresiones aritméticas y geométricas. Preguntas 1. Definición progresión aritmética.
(Una progresión aritmética es una secuencia en la que cada miembro A partir del segundo, es igual al término anterior sumado al mismo número). 2. Fórmula norte ésimo término de una progresión aritmética 3. Fórmula para la suma del primero. norte términos de una progresión aritmética. ( o ) 4. Definición de progresión geométrica. (Una progresión geométrica es una secuencia de números distintos de cero Cada término del cual, a partir del segundo, es igual al término anterior multiplicado por Mismo número). 5. Fórmula norte ésimo término de la progresión geométrica 6. Fórmula para la suma del primero. norte miembros de una progresión geométrica. 7. ¿Qué otras fórmulas conoces? (, Dónde ; ; ;
,
)
Tareas 1. La progresión aritmética viene dada por la fórmula un norte = 7 – 4norte . Encuentra un 10. (-33) 2. En progresión aritmética un 3 = 7 y un 5 = 1 . Encuentra un 4. (4) 3. En progresión aritmética un 3 = 7 y un 5 = 1 . Encuentra un 17. (-35) 4. En progresión aritmética un 3 = 7 y un 5 = 1 . Encuentra S 17. (-187) 5. Para progresión geométricaEncuentre el quinto término. 6. Para progresión geométrica Encuentra el enésimo término. 7. Exponencialmente segundo 3 = 8 y segundo 5 = 2. Encuentre b 4 . (4) 8. Exponencialmente segundo 3 = 8 y segundo 5 = 2. Encuentre b 1 y q. 9. Exponencialmente segundo 3 = 8 y segundo 5 = 2. Encuentra S5. (62) III. Aprendiendo un nuevo tema(demostración de presentación). Consideremos un cuadrado de lado igual a 1. Dibujemos otro cuadrado cuyo lado sea la mitad del tamaño del primer cuadrado, luego otro cuyo lado sea la mitad del segundo, luego el siguiente, etc. Cada vez el lado del nuevo cuadrado es igual a la mitad del anterior. Como resultado, obtuvimos una secuencia de lados de cuadrados.formando una progresión geométrica con el denominador.
Y, lo que es muy importante, cuanto más construyamos estos cuadrados, más pequeño será el lado del cuadrado. Por ejemplo , Aquellos. A medida que el número n aumenta, los términos de la progresión se acercan a cero. Usando esta figura, puedes considerar otra secuencia. Por ejemplo, la secuencia de áreas de cuadrados: Y, nuevamente, si n aumenta indefinidamente, entonces el área se aproxima a cero tan cerca como desee. Veamos otro ejemplo. Un triángulo equilátero con lados iguales a 1 cm. Construyamos el siguiente triángulo con los vértices en los puntos medios de los lados del primer triángulo, de acuerdo con el teorema sobre la línea media del triángulo: el lado del segundo es igual a la mitad del lado del primero, el lado del tercero es igual a la mitad del lado del 2do, etc. Nuevamente obtenemos una secuencia de longitudes de los lados de triángulos. En . Si consideramos una progresión geométrica con denominador negativo.
Luego, de nuevo, con números cada vez mayores norte Los términos de la progresión tienden a cero. Prestemos atención a los denominadores de estas secuencias. En todas partes los denominadores eran inferiores a 1 en valor absoluto. Podemos concluir: una progresión geométrica será infinitamente decreciente si el módulo de su denominador es menor que 1. Trabajo frontal. Definición: Progresión geométrica se llama infinitamente decreciente si el módulo de su denominador es menor que uno..
Usando la definición, puedes decidir si una progresión geométrica es infinitamente decreciente o no. Tarea ¿Es la secuencia una progresión geométrica infinitamente decreciente si viene dada por la fórmula: Solución: Encontremos q. ;
;
;
.
esta progresión geométrica es infinitamente decreciente. b) esta secuencia no es una progresión geométrica infinitamente decreciente. Consideremos un cuadrado de lado igual a 1. Divídalo por la mitad, una de las mitades por la mitad, etc. Las áreas de todos los rectángulos resultantes forman una progresión geométrica infinitamente decreciente: La suma de las áreas de todos los rectángulos obtenidos de esta forma será igual al área del 1er cuadrado e igual a 1. Pero en el lado izquierdo de esta igualdad está la suma de un número infinito de términos. Consideremos la suma de los primeros n términos. Según la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica, es igual a.
si norte aumenta sin límite, entonces o . Por lo tanto, es decir . Suma de una progresión geométrica infinitamente decrecientehay un límite de secuencia S 1, S 2, S 3,…, S n,…. Por ejemplo, para la progresión,
tenemos Porque La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente.se puede encontrar usando la fórmula.
III. Comprensión y consolidación.(completar tareas). №13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Resumiendo. ¿Con qué secuencia te familiarizaste hoy? Defina una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Cómo demostrar que una progresión geométrica es infinitamente decreciente? Da la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. V. Tarea. 2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Para utilizar vistas previas de presentaciones, cree una cuenta de Google e inicie sesión en ella: https://accounts.google.com Todo el mundo debería poder pensar coherentemente, juzgar con pruebas y refutar conclusiones incorrectas: un físico y un poeta, un tractorista y un químico. E. Kolman En matemáticas, no se deben recordar las fórmulas, sino los procesos de pensamiento. V.P. Ermakov Es más fácil encontrar la cuadratura de un círculo que burlar a un matemático. Augustus de Morgan ¿Qué ciencia podría ser más noble, más admirable y más útil para la humanidad que las matemáticas? franklin Progresión geométrica infinitamente decreciente grado 10 I. Progresiones aritméticas y geométricas. Preguntas 1. Definición de progresión aritmética. Una progresión aritmética es una secuencia en la que cada término, a partir del segundo, es igual al término anterior sumado al mismo número. 2. Fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética. 3. Fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. 4. Definición de progresión geométrica. Una progresión geométrica es una secuencia de números distintos de cero, cada término de los cuales, a partir del segundo, es igual al término anterior multiplicado por el mismo número 5. Fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica. 6. Fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica. II. Progresión aritmética. Tareas Una progresión aritmética viene dada por la fórmula a n = 7 – 4 n Encuentra a 10 . (-33) 2. En progresión aritmética, a 3 = 7 y a 5 = 1. Encuentra un 4. (4) 3. En progresión aritmética a 3 = 7 y a 5 = 1. Encuentra un 17. (-35) 4. En progresión aritmética, a 3 = 7 y a 5 = 1. Encuentra S 17. (-187) II. Progresión geométrica. Tareas 5. Para una progresión geométrica, encuentra el quinto término. 6. Para una progresión geométrica, encuentra el enésimo término. 7. En progresión geométrica b 3 = 8 y b 5 = 2. Encuentre b 4 . (4) 8. En progresión geométrica b 3 = 8 y b 5 = 2. Encuentre b 1 y q. 9. En progresión geométrica b 3 = 8 y b 5 = 2. Encuentra S5. (62) definición: Una progresión geométrica se llama infinitamente decreciente si el módulo de su denominador es menor que uno. Problema No. 1 ¿La secuencia es una progresión geométrica infinitamente decreciente si está dada por la fórmula: Solución: a) esta progresión geométrica es infinitamente decreciente. b) esta secuencia no es una progresión geométrica infinitamente decreciente. La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente es el límite de la secuencia S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Por ejemplo, para la progresión tenemos Dado que la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente se puede encontrar usando la fórmula Completar tareas Encuentra la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con el primer término 3 y el segundo 0,3. 2. N° 13; N° 14; libro de texto, página 138 3. No. 15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. N° 19; No 20. ¿Con qué secuencia te familiarizaste hoy? Defina una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Cómo demostrar que una progresión geométrica es infinitamente decreciente? Da la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Preguntas El famoso matemático polaco Hugo Steinhaus afirma en tono de broma que existe una ley que se formula de la siguiente manera: un matemático lo hará mejor. Es decir, si se confía a dos personas, una de las cuales es matemática, la realización de cualquier trabajo que no les resulta familiar, el resultado siempre será el siguiente: el matemático lo hará mejor. Hugo Steinhaus 14/01/1887-25/02/1972 SECUENCIAS NUMERICAS VI § 148. Suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente Hasta ahora, al hablar de sumas, siempre hemos asumido que el número de términos de estas sumas es finito (por ejemplo, 2, 15, 1000, etc.). Pero al resolver algunos problemas (especialmente de matemáticas superiores) uno tiene que lidiar con las sumas de un número infinito de términos. S= a
1 + a
2 + ... + a
norte
+ ... . (1) ¿Cuáles son estas cantidades? priorato la suma de un número infinito de términos a
1 , a
2 , ..., a
norte
, ... se llama límite de la suma S norte
primero PAG
números cuando PAG
-> ∞
: S=S norte
= (a
1 + a
2 + ... + a
norte
). (2) El límite (2), por supuesto, puede existir o no. En consecuencia, dicen que la suma (1) existe o no existe. ¿Cómo podemos saber si la suma (1) existe en cada caso específico? Decisión común Esta cuestión va mucho más allá del alcance de nuestro programa. Sin embargo, hay un caso especial importante que debemos considerar ahora. Hablaremos de sumar los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Dejar a
1 , a
1 q
, a
1 q
2, ... es una progresión geométrica infinitamente decreciente. Esto significa que | q
|< 1. Сумма первых PAG
Los términos de esta progresión son iguales. De los teoremas básicos sobre los límites de las variables (ver § 136) obtenemos: Pero 1 = 1, un qn
= 0. Por lo tanto Entonces, la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente es igual al primer término de esta progresión dividido por uno menos el denominador de esta progresión. 1) La suma de la progresión geométrica 1, 1/3, 1/9, 1/27,... es igual a y la suma de la progresión geométrica es 12; -6; 3; - 3/2 , ... igual 2) Convertir una fracción periódica simple 0,454545 ... en una ordinaria. Para resolver este problema, imagina esta fracción como una suma infinita: parte derecha Esta igualdad es la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, cuyo primer término es igual a 45/100 y el denominador es 1/100. Es por eso Usando el método descrito, también se puede obtener. regla general conversión de fracciones periódicas simples en fracciones ordinarias (ver Capítulo II, § 38): Para convertir una fracción periódica simple en una fracción ordinaria, debe hacer lo siguiente: en el numerador coloque el período de la fracción decimal y en el denominador, un número que consta de nueves, tomados tantas veces como dígitos hay en el período. de la fracción decimal.
3) Convertir la fracción periódica mixta 0,58333.... en una fracción ordinaria. Imaginemos esta fracción como una suma infinita: En el lado derecho de esta igualdad, todos los términos, comenzando desde 3/1000, forman una progresión geométrica infinitamente decreciente, cuyo primer término es igual a 3/1000 y el denominador es 1/10. Es por eso Utilizando el método descrito, se puede obtener una regla general para convertir fracciones periódicas mixtas en fracciones ordinarias (ver Capítulo II, § 38). Deliberadamente no lo presentamos aquí. No es necesario recordar esta engorrosa regla. Es mucho más útil saber que cualquier fracción periódica mixta se puede representar como la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente y un número determinado. y la formula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, por supuesto, debes recordarlo. Como ejercicio, le sugerimos que, además de los problemas No. 995-1000 que se detallan a continuación, pase nuevamente al problema No. 301 § 38. Ejercicios
995. ¿Cómo se llama la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente? 996. Encuentra las sumas de progresiones geométricas infinitamente decrecientes: 997. ¿A qué valores? X
progresión ¿Está infinitamente decreciente? Encuentre la suma de tal progresión. 998. En un triángulo equilátero de lado A
se inscribe un nuevo triángulo conectando los puntos medios de sus lados; de la misma manera se inscribe un nuevo triángulo en este triángulo, y así hasta el infinito. a) la suma de los perímetros de todos estos triángulos; b) la suma de sus áreas. 999. Cuadrado con lado A
se inscribe un nuevo cuadrado conectando los puntos medios de sus lados; un cuadrado se inscribe en este cuadrado de la misma manera, y así hasta el infinito. Encuentra la suma de los perímetros de todos estos cuadrados y la suma de sus áreas. 1000. Componer una progresión geométrica infinitamente decreciente tal que su suma sea igual a 25/4 y la suma de los cuadrados de sus términos sea igual a 625/24. Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo: Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos decir cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica: secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único. Por ejemplo, para nuestra secuencia: El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo. El número con el número se llama el enésimo miembro de la secuencia. Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: . En nuestro caso: Los tipos de progresión más comunes son la aritmética y la geométrica. En este tema hablaremos del segundo tipo: progresión geométrica. Ya en la antigüedad, el monje matemático italiano Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) se ocupaba de las necesidades prácticas del comercio. El monje se enfrentó a la tarea de determinar ¿cuál es el menor número de pesas que se pueden utilizar para pesar un producto? Fibonacci demuestra en sus obras que este sistema de pesos es óptimo: esta es una de las primeras situaciones en las que la gente tuvo que lidiar con una progresión geométrica, de la que probablemente ya habrás oído hablar y al menos habrás oído hablar de ella. concepto general. Una vez que comprenda completamente el tema, piense por qué un sistema de este tipo es óptimo. Actualmente, en la práctica de la vida, la progresión geométrica se manifiesta al invertir dinero en un banco, cuando se acumulan intereses sobre el monto acumulado en la cuenta durante el período anterior. En otras palabras, si deposita dinero en un depósito a plazo en una caja de ahorros, después de un año el depósito aumentará en la cantidad original, es decir, el nuevo monto será igual al aporte multiplicado por. En un año más, esta cantidad aumentará, es decir, la cantidad obtenida en ese momento se volverá a multiplicar por y así sucesivamente. Una situación similar se describe en los problemas de cálculo de los llamados interés compuesto- el porcentaje se deduce cada vez del importe que hay en la cuenta, teniendo en cuenta los intereses anteriores. Hablaremos de estas tareas un poco más adelante. Hay muchos más casos simples en los que se aplica la progresión geométrica. Por ejemplo, la propagación de la gripe: una persona infectó a otra, ella, a su vez, infectó a otra persona y, por tanto, la segunda ola de infección es una persona, y ella, a su vez, infectó a otra... y así sucesivamente. . Por cierto, una pirámide financiera, el mismo MMM, es un cálculo simple y seco basado en las propiedades de una progresión geométrica. ¿Interesante? Vamos a resolverlo. Digamos que tenemos una secuencia numérica: Inmediatamente responderás que esto es fácil y que el nombre de dicha secuencia es una progresión aritmética con la diferencia de sus términos. Qué tal esto: Si restas el número anterior del siguiente, verás que cada vez obtienes una nueva diferencia (y así sucesivamente), pero la secuencia definitivamente existe y es fácil de notar: ¡cada número posterior es veces mayor que el anterior! Este tipo de secuencia numérica se llama progresión geométrica y es designado. La progresión geométrica () es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica. Las restricciones de que el primer término ( ) no es igual y no son aleatorias. Supongamos que no hay ninguno, y el primer término sigue siendo igual, y q es igual a, hmm... déjalo así, entonces resulta: Acepte que esto ya no es una progresión. Como comprenderá, obtendremos los mismos resultados si hay cualquier número distinto de cero, a. En estos casos, simplemente no habrá progresión, ya que toda la serie numérica será todo ceros o un número y el resto serán ceros. Ahora hablemos con más detalle sobre el denominador de la progresión geométrica, es decir, o. Repitamos: - este es el número ¿Cuántas veces cambia cada término subsiguiente? progresión geométrica. ¿Qué crees que podría ser? Así es, positivo y negativo, pero no cero (hablamos de esto un poco más arriba). Supongamos que el nuestro es positivo. Sea en nuestro caso, a. ¿Cuál es el valor del segundo término y? Puedes responder fácilmente a eso: Así es. En consecuencia, si todos los términos posteriores de la progresión tienen el mismo signo: son positivos. ¿Y si es negativo? Por ejemplo, un. ¿Cuál es el valor del segundo término y? Esta es una historia completamente diferente. Intenta contar los términos de esta progresión. ¿Cuanto conseguiste? Tengo. Por tanto, si, entonces se alternan los signos de los términos de la progresión geométrica. Es decir, si ves una progresión con signos alternos para sus miembros, entonces su denominador es negativo. Este conocimiento puede ayudarle a ponerse a prueba al resolver problemas sobre este tema. Ahora practiquemos un poco: intentemos determinar qué secuencias numéricas son una progresión geométrica y cuáles son una progresión aritmética: ¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas: Volvamos a nuestra última progresión e intentemos encontrar su miembro, como en la aritmética. Como habrás adivinado, hay dos formas de encontrarlo. Multiplicamos sucesivamente cada término por. Entonces, el término de la progresión geométrica descrita es igual a. Como ya habrás adivinado, ahora tú mismo obtendrás una fórmula que te ayudará a encontrar cualquier miembro de la progresión geométrica. ¿O ya lo ha desarrollado usted mismo y describe cómo encontrar el decimoésimo miembro paso a paso? Si es así, compruebe la exactitud de su razonamiento. Ilustremos esto con el ejemplo de encontrar el décimo término de esta progresión: En otras palabras: Encuentra tú mismo el valor del término de la progresión geométrica dada. ¿Sucedió? Comparemos nuestras respuestas: Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando multiplicamos secuencialmente por cada término anterior de la progresión geométrica. La fórmula derivada es válida para todos los valores, tanto positivos como negativos. Compruébalo tú mismo calculando los términos de la progresión geométrica con las siguientes condiciones: , A. ¿Contaste? Comparemos los resultados: Esté de acuerdo en que sería posible encontrar un término de progresión de la misma manera que un término, sin embargo, existe la posibilidad de calcular incorrectamente. Y si ya hemos encontrado el enésimo término de la progresión geométrica, entonces, ¿qué podría ser más sencillo que utilizar la parte “truncada” de la fórmula? Más recientemente hablamos de que puede ser mayor o menor que cero, sin embargo, existen valores especiales para los que se llama progresión geométrica. infinitamente decreciente. ¿Por qué crees que se le da este nombre? Vemos que cada término posterior es menor que el anterior por un factor, pero ¿habrá algún número? Inmediatamente responderá: "no". Por eso es infinitamente decreciente: disminuye y disminuye, pero nunca llega a ser cero. Para entender claramente cómo se ve esto visualmente, intentemos dibujar un gráfico de nuestra progresión. Entonces, para nuestro caso, la fórmula toma la siguiente forma: En gráficos estamos acostumbrados a representar la dependencia, por lo tanto: La esencia de la expresión no ha cambiado: en la primera entrada mostramos la dependencia del valor de un miembro de una progresión geométrica de su número ordinal, y en la segunda entrada simplemente tomamos el valor de un miembro de una progresión geométrica como , y designó el número ordinal no como, sino como. Todo lo que queda por hacer es construir un gráfico. ¿Lo ves? La función decrece, tiende a cero, pero nunca lo cruza, por lo que es infinitamente decreciente. Marquemos nuestros puntos en la gráfica, y al mismo tiempo lo que significa la coordenada y: Intente representar esquemáticamente la gráfica de una progresión geométrica si su primer término también es igual. Analiza ¿cuál es la diferencia con nuestra gráfica anterior? ¿Lograste? Aquí está el gráfico que se me ocurrió: Ahora que has entendido completamente los conceptos básicos del tema de la progresión geométrica: sabes qué es, sabes cómo encontrar su término y también sabes qué es una progresión geométrica infinitamente decreciente, pasemos a su propiedad principal. ¿Recuerdas la propiedad de los términos de una progresión aritmética? Sí, sí, cómo encontrar el valor de un determinado número de una progresión cuando existen valores anteriores y posteriores de los términos de esta progresión. ¿Te acuerdas? Este: Ahora nos enfrentamos exactamente a la misma pregunta para los términos de una progresión geométrica. Para derivar dicha fórmula, comencemos a dibujar y razonar. Ya verás que es muy fácil y si se te olvida lo puedes sacar tú mismo. Tomemos otra progresión geométrica simple, en la que conocemos y. ¿Como encontrar? Con la progresión aritmética es fácil y sencillo, pero ¿y aquí? De hecho, tampoco hay nada complicado en geometría: solo necesita anotar cada valor que se nos da de acuerdo con la fórmula. Quizás te preguntes, ¿qué debemos hacer al respecto ahora? Sí, muy sencillo. Primero, representemos estas fórmulas en la figura y tratemos de hacerlo con ellas. varias manipulaciones para llegar a un valor. Hagamos abstracción de los números que se nos dan, centrémonos solo en su expresión a través de la fórmula. Necesitamos encontrar el valor resaltado en naranja, conociendo los términos adyacentes a él. Intentemos producir con ellos. varias acciones, como resultado de lo cual podemos obtener. Suma. A partir de esta expresión, como puede ver, no podemos expresarla de ninguna manera, por lo tanto, probaremos otra opción: la resta. Sustracción. Como puedes ver, esto tampoco lo podemos expresar, así que intentemos multiplicar estas expresiones entre sí. Multiplicación. Ahora mire detenidamente lo que tenemos al multiplicar los términos de la progresión geométrica que se nos da en comparación con lo que hay que encontrar: ¿Adivina de qué estoy hablando? Así es, para encontrar necesitamos tomar Raíz cuadrada de los números de progresión geométrica adyacentes al deseado multiplicados entre sí: Aquí tienes. Usted mismo dedujo la propiedad de la progresión geométrica. Intente escribir esta fórmula en vista general. ¿Sucedió? ¿Olvidaste la condición? Piense por qué es importante, por ejemplo, intente calcularlo usted mismo. ¿Qué pasará en este caso? Así es, una completa tontería porque la fórmula se ve así: En consecuencia, no olvide esta limitación. Ahora calculemos a qué equivale. Respuesta correcta - ! Si no olvidaste el segundo al calcular posible significado, entonces eres un gran compañero y puedes pasar inmediatamente a entrenar, y si lo olvidaste, lee lo que se comenta a continuación y presta atención a por qué es necesario escribir ambas raíces en la respuesta. Dibujemos nuestras dos progresiones geométricas, una con un valor y la otra con un valor, y comprobemos si ambas tienen derecho a existir: Para comprobar si tal progresión geométrica existe o no, es necesario ver si todos sus términos dados son iguales. Calcule q para el primer y segundo caso. ¿Ves por qué tenemos que escribir dos respuestas? ¡Porque el signo del término que buscas depende de si es positivo o negativo! Y como no sabemos qué es, debemos escribir ambas respuestas con un más y un menos. Ahora que domina los puntos principales y ha obtenido la fórmula de la propiedad de la progresión geométrica, encuentre, conozca y Compara tus respuestas con las correctas: ¿Qué piensas, si no nos dieran los valores de los términos de la progresión geométrica adyacentes al número deseado, sino equidistantes de él? Por ejemplo, necesitamos encontrar, y dado y. ¿Podemos usar la fórmula que derivamos en este caso? Intente confirmar o refutar esta posibilidad de la misma manera, describiendo en qué consiste cada valor, como lo hizo cuando derivó originalmente la fórmula, en. Ahora mira con atención de nuevo. De esto podemos concluir que la fórmula funciona. no sólo con los vecinos con los términos deseados de la progresión geométrica, pero también con equidistante de lo que buscan los miembros. Así, nuestra fórmula inicial toma la forma: Es decir, si en el primer caso decíamos eso, ahora decimos que puede ser igual a cualquier número natural, que es más pequeño. Lo principal es que es igual para ambos números dados. Practica con ejemplos específicos, ¡solo ten mucho cuidado! ¿Decidido? Espero que hayas estado extremadamente atento y hayas notado un pequeño problema. Comparemos los resultados. En los dos primeros casos aplicamos tranquilamente la fórmula anterior y obtenemos los siguientes valores: En el tercer caso, tras un examen más detenido números seriales números que nos dan, entendemos que no son equidistantes del número que buscamos: es el número anterior, pero está eliminado en la posición, por lo que no es posible aplicar la fórmula. ¿Cómo resolverlo? ¡En realidad no es tan difícil como parece! Anotamos en qué consiste cada número que nos dan y el número que buscamos. Entonces tenemos y. ¿Veamos qué podemos hacer con ellos? Sugiero dividir por. Obtenemos: Sustituimos nuestros datos en la fórmula: El siguiente paso que podemos encontrar es: para ello necesitamos sacar la raíz cúbica del número resultante. Ahora echemos un vistazo nuevamente a lo que tenemos. Lo tenemos, pero necesitamos encontrarlo y, a su vez, es igual a: Encontramos todos los datos necesarios para el cálculo. Sustituir en la fórmula: Nuestra respuesta: . Intente resolver usted mismo otro problema similar: ¿Cuanto conseguiste? Tengo - . Como puedes ver, esencialmente necesitas recuerda solo una fórmula- . El resto lo podrás retirar tú mismo sin ninguna dificultad en cualquier momento. Para ello, simplemente escribe en una hoja de papel la progresión geométrica más sencilla y anota a qué equivale cada uno de sus números, según la fórmula descrita anteriormente. Ahora veamos fórmulas que nos permiten calcular rápidamente la suma de los términos de una progresión geométrica en un intervalo dado: Para derivar la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica finita, multiplica todas las partes de la ecuación anterior por. Obtenemos: Mire con atención: ¿qué tienen en común las dos últimas fórmulas? Así es, miembros comunes, por ejemplo, y así sucesivamente, excepto el primer y el último miembro. Intentemos restar la primera de la segunda ecuación. ¿Qué obtuviste? Ahora expresa el término de la progresión geométrica mediante la fórmula y sustituye la expresión resultante en nuestra última fórmula: Agrupa la expresión. Deberías obtener: Todo lo que queda por hacer es expresar: En consecuencia, en este caso. ¿Y si? ¿Qué fórmula funciona entonces? Imagine una progresión geométrica en. ¿Cómo es ella? Una serie de números idénticos es correcta, por lo que la fórmula se verá así: Existen muchas leyendas sobre la progresión tanto aritmética como geométrica. Una de ellas es la leyenda de Set, el creador del ajedrez. Mucha gente sabe que el juego de ajedrez se inventó en la India. Cuando el rey hindú la conoció, quedó encantado con su ingenio y la variedad de posiciones posibles en ella. Al enterarse de que fue inventado por uno de sus súbditos, el rey decidió recompensarlo personalmente. Llamó al inventor y le ordenó que le pidiera todo lo que quisiera, prometiendo cumplir hasta el deseo más hábil. Seta pidió tiempo para pensar, y cuando al día siguiente Seta se presentó ante el rey, lo sorprendió con la modestia sin precedentes de su petición. Pidió que le dieran un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, un grano de trigo por la segunda, un grano de trigo por la tercera, una cuarta, etc. El rey se enojó y echó a Set, diciendo que la petición del sirviente no era digna de la generosidad del rey, pero prometió que el sirviente recibiría sus granos por todas las casillas del tablero. Y ahora la pregunta: usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica, ¿calcula cuántos granos debería recibir Seth? Empecemos a razonar. Dado que, según la condición, Set pidió un grano de trigo para la primera casilla del tablero de ajedrez, para la segunda, para la tercera, para la cuarta, etc., entonces vemos que el problema se trata de una progresión geométrica. ¿A qué equivale en este caso? Casillas totales del tablero de ajedrez. Respectivamente, . Tenemos todos los datos, solo queda introducirlos en la fórmula y calcular. Para imaginar al menos aproximadamente la “escala” de un número dado, transformamos usando las propiedades de grado: Por supuesto, si quieres, puedes coger una calculadora y calcular con qué número terminas, y si no, tendrás que confiar en mi palabra: el valor final de la expresión será. quintillones de billones de billones de millones de miles. Uf) Si quieres imaginar la enormidad de este número, entonces estima el tamaño que se necesitaría para un granero para albergar toda la cantidad de grano. Si el rey fuera fuerte en matemáticas, podría haber invitado al propio científico a contar los granos, porque para contar un millón de granos necesitaría al menos un día de conteo incansable, y dado que es necesario contar quintillones, los granos Habría que contarlo a lo largo de su vida. Ahora resolvamos un problema simple que involucra la suma de términos de una progresión geométrica. Entonces, el primer término de la progresión geométrica es Vasya, es decir, una persona. El décimo término de la progresión geométrica son las dos personas que infectó el primer día de su llegada. cantidad total miembros de la progresión es igual al número de estudiantes en 5A. En consecuencia, hablamos de una progresión en la que: Sustituyamos nuestros datos en la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica: Toda la clase se enfermará en unos días. ¿No crees en fórmulas y números? Intente retratar usted mismo la "infección" de los estudiantes. ¿Sucedió? Mira como me parece: Calcula tú mismo cuántos días tardarían los alumnos en enfermarse de gripe si cada uno contagiara a una persona, y solo hubiera una persona en la clase. ¿Qué valor obtuviste? Resultó que todos empezaron a enfermarse después de un día. Como puede ver, esta tarea y su dibujo se asemejan a una pirámide, en la que cada una de ellas "trae" nuevas personas. Sin embargo, tarde o temprano llega un momento en el que este último no puede atraer a nadie. En nuestro caso, si imaginamos que la clase está aislada, la persona de cierra la cadena (). Por lo tanto, si una persona estuviera involucrada en pirámide financiera, en el que se entregó dinero si traes a otros dos participantes, entonces la persona (o caso general) no habrían traído a nadie y, por lo tanto, habrían perdido todo lo que invirtieron en esta estafa financiera. Todo lo dicho anteriormente se refiere a una progresión geométrica decreciente o creciente, pero, como recordarás, tenemos un tipo especial: una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Cómo calcular la suma de sus miembros? ¿Y por qué este tipo de progresión tiene ciertas características? Resolvámoslo juntos. Entonces, primero, veamos nuevamente este dibujo de una progresión geométrica infinitamente decreciente de nuestro ejemplo: Ahora veamos la fórmula para la suma de una progresión geométrica, derivada un poco antes: ¿Por qué nos esforzamos? Así es, la gráfica muestra que tiende a cero. Es decir, en, será casi igual, respectivamente, al calcular la expresión obtendremos casi. En este sentido, creemos que al calcular la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, este paréntesis se puede descuidar, ya que será igual. - La fórmula es la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma infinito número de miembros. Si se especifica un número específico n, entonces usamos la fórmula para la suma de n términos, incluso si o. Ahora practiquemos. Espero que hayas sido extremadamente cuidadoso. Comparemos nuestras respuestas: Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica y es hora de pasar de la teoría a la práctica. Los problemas de progresión geométrica más comunes que se encuentran en el examen son los problemas de cálculo del interés compuesto. Estos son de los que hablaremos. Probablemente hayas oído hablar de la llamada fórmula del interés compuesto. ¿Entiendes lo que significa? Si no, averigüémoslo, porque una vez que comprendas el proceso en sí, comprenderás inmediatamente qué tiene que ver la progresión geométrica con él. Todos vamos al banco y sabemos que hay diferentes condiciones sobre depósitos: este es el plazo, y el servicio adicional, y el interés con dos diferentes caminos sus cálculos: simples y complejos. CON interés simple Todo está más o menos claro: los intereses se devengan una vez al final del plazo del depósito. Es decir, si decimos que depositamos 100 rublos durante un año, se acreditarán solo al final del año. En consecuencia, al final del depósito recibiremos rublos. Interés compuesto- esta es una opción en la que ocurre capitalización de intereses, es decir. su adición al monto del depósito y el cálculo posterior de los ingresos no del monto del depósito inicial, sino del acumulado. La capitalización no ocurre constantemente, sino con cierta frecuencia. Como regla general, estos períodos son iguales y la mayoría de las veces los bancos utilizan un mes, trimestre o año. Supongamos que depositamos los mismos rublos anualmente, pero con capitalización mensual del depósito. ¿Que estamos haciendo? ¿Entiendes todo aquí? Si no, averigüémoslo paso a paso. Llevamos rublos al banco. Al final del mes, deberíamos tener en nuestra cuenta una cantidad compuesta por nuestros rublos más los intereses sobre ellos, es decir: ¿Aceptar? Podemos quitarlo de paréntesis y luego obtenemos: De acuerdo, esta fórmula ya se parece más a lo que escribimos al principio. Todo lo que queda es calcular los porcentajes. En el planteamiento del problema se nos habla de tasas anuales. Como sabes, no multiplicamos por: convertimos porcentajes a decimales, eso es: ¿Bien? Ahora te preguntarás, ¿de dónde salió el número? ¡Muy simple! ¿Se dio cuenta? Ahora intenta escribir cómo se vería esta parte de la fórmula si dijera que el interés se calcula diariamente. ¡Bien hecho! Volvamos a nuestra tarea: escribir cuánto se acreditará en nuestra cuenta en el segundo mes, teniendo en cuenta que se devengan intereses sobre el monto del depósito acumulado. O, en otras palabras: Creo que ya has notado un patrón y has visto una progresión geométrica en todo esto. Escribe a qué será igual su miembro, o, en otras palabras, qué cantidad de dinero recibiremos a final de mes. Como puede ver, si deposita dinero en un banco durante un año a una tasa de interés simple, recibirá rublos, y si a una tasa de interés compuesta, recibirá rublos. El beneficio es pequeño, pero esto sólo ocurre durante el décimo año, pero por más un largo periodo La capitalización es mucho más rentable: Veamos otro tipo de problema que involucra interés compuesto. Después de lo que hayas descubierto, será elemental para ti. Entonces, la tarea: La empresa Zvezda empezó a invertir en el sector en el año 2000, con capital en dólares. Cada año desde 2001 ha obtenido un beneficio igual al capital del año anterior. ¿Cuántos beneficios obtendrá la empresa "Zvezda" a finales de 2003 si no se retiran de la circulación? Capital de la empresa Zvezda en 2000. O podemos escribir brevemente: Para nuestro caso: 2000, 2001, 2002 y 2003. Respuestas: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) La progresión geométrica ( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica. 2) La ecuación de los términos de la progresión geométrica es. 3) puede tomar cualquier valor excepto y. 4) , con - propiedad de progresión geométrica (términos adyacentes) o Cuando lo encuentres, no lo olvides. debe haber dos respuestas. Por ejemplo, 5) La suma de los términos de la progresión geométrica se calcula mediante la fórmula: Si la progresión es infinitamente decreciente, entonces: ¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma de un número infinito de términos. 6) Los problemas que involucran interés compuesto también se calculan usando la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica, siempre que dinero no fueron retirados de la circulación: Progresión geométrica( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. este numero se llama denominador de una progresión geométrica. Denominador de progresión geométrica puede tomar cualquier valor excepto y. Ecuación de términos de progresión geométrica. - . Suma de términos de una progresión geométrica. calculado por la fórmula: Lección sobre el tema. “Progresión geométrica infinitamente decreciente” (álgebra, décimo grado)
El propósito de la lección: presentar a los estudiantes un nuevo tipo de secuencia: una progresión geométrica infinitamente decreciente. Equipo: proyector, pantalla. Tipo de lección: lección: aprender un nuevo tema. durante las clases I
. Org. momento. Indique el tema y el propósito de la lección. II
. Actualización de conocimientos de los estudiantes. En noveno grado estudiaste progresiones aritméticas y geométricas. Preguntas 1. Definición de progresión aritmética. (Una progresión aritmética es una secuencia en la que cada miembro, a partir del segundo, es igual al miembro anterior sumado al mismo número). 2. Fórmula norteésimo término de la progresión aritmética ( 3. Fórmula para la suma del primero. norte términos de una progresión aritmética. ( 4. Definición de progresión geométrica. (Una progresión geométrica es una secuencia de números distintos de cero, cada término de los cuales, a partir del segundo, es igual al término anterior multiplicado por el mismo número). 5. Fórmula norteésimo término de la progresión geométrica ( 6. Fórmula para la suma del primero. norte miembros de una progresión geométrica. ( 7. ¿Qué otras fórmulas conoces? ( 5. Para progresión geométrica 6. Para progresión geométrica 7. Exponencialmente b
3
= 8
Y b
5
= 2
. Encontrar b
4
. (4) 8. Exponencialmente b
3
= 8
Y b
5
= 2
. Encontrar b
1
Y
q
. 9. Exponencialmente b
3
= 8
Y b
5
= 2
. Encontrar S
5
. (62) III
. Aprendiendo un nuevo tema(demostración de presentación). Consideremos un cuadrado de lado igual a 1. Dibujemos otro cuadrado cuyo lado sea la mitad del tamaño del primer cuadrado, luego otro cuyo lado sea la mitad del segundo, luego el siguiente, etc. Cada vez el lado del nuevo cuadrado es igual a la mitad del anterior. Como resultado, obtuvimos una secuencia de lados de cuadrados. Y, lo que es muy importante, cuanto más construyamos estos cuadrados, más pequeño será el lado del cuadrado. Por ejemplo, Aquellos. A medida que el número n aumenta, los términos de la progresión se acercan a cero. Usando esta figura, puedes considerar otra secuencia. Por ejemplo, la secuencia de áreas de cuadrados: Veamos otro ejemplo. Un triángulo equilátero con lados iguales a 1 cm. Construyamos el siguiente triángulo con los vértices en los puntos medios de los lados del primer triángulo, de acuerdo con el teorema sobre la línea media del triángulo: el lado del segundo es igual a la mitad del lado del primero, el lado del tercero es igual a la mitad del lado del 2do, etc. Nuevamente obtenemos una secuencia de longitudes de los lados de triángulos. Si consideramos una progresión geométrica con denominador negativo. Luego, de nuevo, con números cada vez mayores norte Los términos de la progresión tienden a cero. Prestemos atención a los denominadores de estas secuencias. En todas partes los denominadores eran inferiores a 1 en valor absoluto. Podemos concluir: una progresión geométrica será infinitamente decreciente si el módulo de su denominador es menor que 1. Definición:
Se dice que una progresión geométrica es infinitamente decreciente si el módulo de su denominador es menor que uno. Usando la definición, puedes decidir si una progresión geométrica es infinitamente decreciente o no. Tarea ¿Es la secuencia una progresión geométrica infinitamente decreciente si viene dada por la fórmula: Solución: esta progresión geométrica es infinitamente decreciente. b) esta secuencia no es una progresión geométrica infinitamente decreciente. Consideremos un cuadrado de lado igual a 1. Divídalo por la mitad, una de las mitades por la mitad, etc. Las áreas de todos los rectángulos resultantes forman una progresión geométrica infinitamente decreciente: La suma de las áreas de todos los rectángulos obtenidos de esta forma será igual al área del 1er cuadrado e igual a 1.
La tarea de encontrar el primer término de una progresión.
La famosa paradoja de Zenón con el rápido Aquiles y la lenta tortuga
Tareas:
formular una idea inicial del límite de una secuencia numérica;
conocimiento de otra forma de convertir infinitas fracciones periódicas en ordinarias utilizando la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente;
desarrollo de cualidades intelectuales de la personalidad de los escolares, como el pensamiento lógico, la capacidad de realizar acciones evaluativas y la generalización;
fomento de la actividad, la asistencia mutua, el colectivismo y el interés por el tema.Descargar:
Avance:
Avance:
Títulos de diapositivas:
Progresión geométrica. guía completa con ejemplos (2019)
secuencia numérica
¿Por qué es necesaria la progresión geométrica y su historia?
Progresión geométrica.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula- Pongámoslo en forma general y obtenemos:Progresión geométrica infinitamente decreciente.
Primero, escribamos una progresión geométrica que consta de términos.
Digamos entonces:
Veamos que tienes. Aquí está el gráfico que se me ocurrió:
Propiedad de la progresión geométrica.
Intentemos sumar dos expresiones y obtenemos:
¿Qué obtuviste?
y correspondientemente:
Dado: ,
Encontrar:La suma de los términos de una progresión geométrica.
Bien.
Eso es:
Si el granero tiene m de alto y m de ancho, su longitud debería extenderse por km, es decir el doble de distancia que la que hay entre la Tierra y el Sol.
Vasya, estudiante de la clase 5A, enfermó de gripe, pero continúa yendo a la escuela. Cada día Vasya infecta a dos personas, quienes, a su vez, infectan a dos personas más, y así sucesivamente. Sólo hay personas en la clase. ¿En cuántos días toda la clase estará enferma de gripe?
o
Problemas al calcular el interés compuesto.
Repito: el enunciado del problema dice acerca de ANUAL interés que se acumula MENSUAL. Como sabes, en un año de meses, respectivamente, el banco nos cobrará una parte del interés anual por mes:
¿Lograste? Comparemos los resultados:
Esto es lo que obtuve:
¿Hizo? ¡Vamos a revisar!
- capital de la empresa Zvezda en 2001.
- capital de la empresa Zvezda en 2002.
- capital de la empresa Zvezda en 2003.
Respectivamente:
rublos
Tenga en cuenta que en este problema no tenemos división ni por ni por, ya que el porcentaje se da ANUALMENTE y se calcula ANUALMENTE. Es decir, al leer un problema de interés compuesto, preste atención a qué porcentaje se da y en qué período se calcula, y solo entonces proceda a los cálculos.
Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica.Capacitación.
Compañía de capital MDM:
- aumenta en un 100%, es decir, 2 veces.
Respectivamente:
rublos
Compañía de flujos de efectivo MSK:
- aumenta en, es decir, en tiempos.
Respectivamente:
rublos
rublosResumamos.
, en (términos equidistantes)
o
oPROGRESIÓN GEOMÉTRICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
o
)
o 
)
)
)
, Dónde 
; 
; 
; 
, 
)
Encuentre el quinto término. 
encontrar norteº miembro. 
formando una progresión geométrica con el denominador.
. Y, de nuevo, si norte aumenta indefinidamente, entonces el área se aproxima a cero tan cerca como desee.
en 
.
.
; 
.. Lo encontraremos q
.
; 
; 
; 
.
