Una progresión geométrica es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero y cada término posterior es igual al término anterior multiplicado por el mismo número distinto de cero.
Concepto de progresión geométrica.
La progresión geométrica se denota b1,b2,b3,…, bn,….
La razón de cualquier término del error geométrico a su término anterior es igual al mismo número, es decir, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Esto se desprende directamente de la definición progresión aritmética. Este número se llama denominador de una progresión geométrica. Normalmente el denominador de una progresión geométrica se denota con la letra q.
La suma de una progresión geométrica infinita para |q|<1
Una de las formas de especificar una progresión geométrica es especificar su primer término b1 y el denominador del error geométrico q. Por ejemplo, b1=4, q=-2. Estas dos condiciones definen la progresión geométrica 4, -8, 16, -32,….
Si q>0 (q no es igual a 1), entonces la progresión es una secuencia monótona. Por ejemplo, la secuencia, 2, 4,8,16,32, ... es una secuencia monótonamente creciente (b1=2, q=2).
Si el denominador del error geométrico es q=1, entonces todos los términos de la progresión geométrica serán iguales entre sí. En tales casos, se dice que la progresión es una secuencia constante.
Para que una secuencia numérica (bn) sea una progresión geométrica, es necesario que cada uno de sus miembros, comenzando por el segundo, sea la media geométrica de los miembros vecinos. Es decir, es necesario cumplir la siguiente ecuación
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para cualquier n>0, donde n pertenece al conjunto de números naturales N.
Ahora pongamos (Xn): una progresión geométrica. El denominador de la progresión geométrica q, y |q|∞).
Si ahora denotamos por S la suma de una progresión geométrica infinita, entonces se aplicará la siguiente fórmula:
S=x1/(1-q).
Veamos un ejemplo sencillo:
Encuentra la suma de la progresión geométrica infinita 2, -2/3, 2/9, - 2/27,….
Para encontrar S, usamos la fórmula de la suma de una progresión aritmética infinita. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Si todos número natural norte coincidir con un número real un , entonces dicen que se da secuencia numérica :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , un , . . . .
Entonces, la secuencia numérica es función del argumento natural.
Número a 1 llamado primer término de la secuencia , número a 2 — segundo término de la secuencia , número a 3 — tercero etcétera. Número un llamado enésimo término secuencias , y un número natural norte — su número .
De dos miembros adyacentes un Y un +1 miembro de secuencia un +1 llamado subsecuente (hacia un ), A un — anterior (hacia un +1 ).
Para definir una secuencia, debe especificar un método que le permita encontrar un miembro de la secuencia con cualquier número.
A menudo la secuencia se especifica usando fórmulas del enésimo término , es decir, una fórmula que le permite determinar un miembro de una secuencia por su número.
Por ejemplo,
una secuencia de números impares positivos puede estar dada por la fórmula
un= 2norte- 1,
y la secuencia de alternancia 1 Y -1 - fórmula
b norte = (-1)norte +1 . ◄
La secuencia se puede determinar fórmula recurrente, es decir, una fórmula que expresa cualquier miembro de la secuencia, comenzando por algunos, pasando por los miembros anteriores (uno o más).
Por ejemplo,
Si a 1 = 1 , A un +1 = un + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Si un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , luego los primeros siete términos de la secuencia numérica se establecen de la siguiente manera:
un 1 = 1,
un 2 = 1,
un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,
un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Las secuencias pueden ser final Y sin fin .
La secuencia se llama último , si tiene un número finito de miembros. La secuencia se llama sin fin , si tiene infinitos miembros.
Por ejemplo,
secuencia de números naturales de dos cifras:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Secuencia de números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
sin fin. ◄
La secuencia se llama creciente , si cada uno de sus miembros, a partir del segundo, es mayor que el anterior.
La secuencia se llama decreciente , si cada uno de sus miembros, a partir del segundo, es menor que el anterior.
Por ejemplo,
2, 4, 6, 8, . . . , 2norte, . . . — secuencia creciente;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /norte, . . . — secuencia decreciente. ◄
Una secuencia cuyos elementos no disminuyen a medida que aumenta el número o, por el contrario, no aumentan, se llama secuencia monótona .
Las secuencias monótonas, en particular, son secuencias crecientes y secuencias decrecientes.
Progresión aritmética
Progresión aritmética es una secuencia en la que cada miembro, a partir del segundo, es igual al anterior, al que se le suma el mismo número.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , un, . . .
es una progresión aritmética si para cualquier número natural norte se cumple la condición:
un +1 = un + d,
Dónde d - un cierto número.
Por tanto, la diferencia entre los términos anterior y posterior de una progresión aritmética dada es siempre constante:
un 2 - a 1 = un 3 - a 2 = . . . = un +1 - un = d.
Número d llamado diferencia de progresión aritmética.
Para definir una progresión aritmética basta con indicar su primer término y diferencia.
Por ejemplo,
Si a 1 = 3, d = 4 , luego encontramos los primeros cinco términos de la secuencia de la siguiente manera:
un 1 =3,
un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,
un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,
un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Para una progresión aritmética con el primer término a 1 y la diferencia d su norte
un = un 1 + (norte- 1)d.
Por ejemplo,
encontrar el trigésimo término de la progresión aritmética
1, 4, 7, 10, . . .
un 1 =1, d = 3,
un 30 = un 1 + (30 - 1)re = 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = un 1 + (norte- 2)d,
un= un 1 + (norte- 1)d,
un +1 = a 1 + Dakota del Norte,
entonces obviamente
| un=
| un n-1 + un n+1
|
| 2
|
Cada miembro de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los miembros anteriores y posteriores.
los números a, b y c son términos sucesivos de alguna progresión aritmética si y sólo si uno de ellos es igual a la media aritmética de los otros dos.
Por ejemplo,
un = 2norte- 7 , es una progresión aritmética.
Usemos la declaración anterior. Tenemos:
un = 2norte- 7,
un n-1 = 2(norte- 1) - 7 = 2norte- 9,
un n+1 = 2(norte+ 1) - 7 = 2norte- 5.
Por eso,
| un n+1 + un n-1
| =
| 2norte- 5 + 2norte- 9
| = 2norte- 7 = un,
|
| 2
| 2
|
◄
Tenga en cuenta que norte El décimo término de una progresión aritmética se puede encontrar no sólo a través de a 1 , pero también cualquier anterior ak
un = ak + (norte- k)d.
Por ejemplo,
Para a 5 se puede escribir
un 5 = un 1 + 4d,
un 5 = un 2 + 3d,
un 5 = un 3 + 2d,
un 5 = un 4 + d. ◄
un = un nk + kd,
un = un n+k - kd,
entonces obviamente
| un=
| a n-k
+ un n+k
|
| 2
|
cualquier miembro de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la mitad de la suma de los miembros igualmente espaciados de esta progresión aritmética.
Además, para cualquier progresión aritmética se cumple la siguiente igualdad:
un metro + un norte = un k + un l,
metro + norte = k + l.
Por ejemplo,
en progresión aritmética
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;
4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, porque
un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,
un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄
sn= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ un,
primero norte términos de una progresión aritmética es igual al producto de la mitad de la suma de los términos extremos por el número de términos:
De aquí, en particular, se deduce que si es necesario sumar los términos
ak, ak +1 , . . . , un,
entonces la fórmula anterior conserva su estructura:
Por ejemplo,
en progresión aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Si se da una progresión aritmética, entonces las cantidades a 1 , un, d, norte YS norte conectado por dos fórmulas:
Por lo tanto, si se dan los valores de tres de estas cantidades, entonces los valores correspondientes de las otras dos cantidades se determinan a partir de estas fórmulas, combinadas en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Una progresión aritmética es una secuencia monótona. Donde:
- Si d > 0 , entonces está aumentando;
- Si d < 0 , entonces está disminuyendo;
- Si d = 0 , entonces la secuencia será estacionaria.
Progresión geométrica
Progresión geométrica es una secuencia en la que cada miembro, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , bn, . . .
es una progresión geométrica si para cualquier número natural norte se cumple la condición:
bn +1 = bn · q,
Dónde q ≠ 0 - un cierto número.
Por tanto, la relación entre el término siguiente de una progresión geométrica dada y el anterior es un número constante:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = bn +1 / bn = q.
Número q llamado denominador de progresión geométrica.
Para definir una progresión geométrica basta con indicar su primer término y denominador.
Por ejemplo,
Si b 1 = 1, q = -3 , luego encontramos los primeros cinco términos de la secuencia de la siguiente manera:
segundo 1 = 1,
segundo 2 = segundo 1 · q = 1 · (-3) = -3,
segundo 3 = segundo 2 · q= -3 · (-3) = 9,
segundo 4 = segundo 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 y denominador q su norte El décimo término se puede encontrar usando la fórmula:
bn = b 1 · qn -1 .
Por ejemplo,
encontrar el séptimo término de la progresión geométrica 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
segundo n-1 = segundo 1 · qn -2 ,
bn = segundo 1 · qn -1 ,
bn +1 = b 1 · qn,
entonces obviamente
bn 2 = bn -1 · bn +1 ,
cada miembro de la progresión geométrica, a partir del segundo, es igual a la media geométrica (proporcional) de los miembros anteriores y posteriores.
Como lo contrario también es cierto, se cumple la siguiente afirmación:
los números a, b y c son términos sucesivos de alguna progresión geométrica si y sólo si el cuadrado de uno de ellos es igual al producto de los otros dos, es decir, uno de los números es la media geométrica de los otros dos.
Por ejemplo,
Demostremos que la secuencia dada por la fórmula bn= -3 2 norte , es una progresión geométrica. Usemos la declaración anterior. Tenemos:
bn= -3 2 norte,
bn -1 = -3 2 norte -1 ,
bn +1 = -3 2 norte +1 .
Por eso,
bn 2 = (-3 2 norte) 2 = (-3 2 norte -1 ) · (-3 · 2 norte +1 ) = bn -1 · bn +1 ,
lo que prueba la afirmación deseada. ◄
Tenga en cuenta que norte El décimo término de una progresión geométrica se puede encontrar no sólo a través de b 1 , pero también cualquier miembro anterior bk , para lo cual basta con utilizar la fórmula
bn = bk · qn - k.
Por ejemplo,
Para b 5 se puede escribir
segundo 5 = segundo 1 · q 4 ,
segundo 5 = segundo 2 · q 3,
segundo 5 = segundo 3 · q 2,
segundo 5 = segundo 4 · q. ◄
bn = bk · qn - k,
bn = bn - k · q k,
entonces obviamente
bn 2 = bn - k· bn + k
el cuadrado de cualquier término de una progresión geométrica, a partir del segundo, es igual al producto de los términos de esta progresión equidistantes de él.
Además, para cualquier progresión geométrica la igualdad es cierta:
b m· bn= bk· bl,
metro+ norte= k+ yo.
Por ejemplo,
en progresión geométrica
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , porque
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + bn
primero norte miembros de una progresión geométrica con denominador q ≠ 0 calculado por la fórmula:
Y cuando q = 1 - según la fórmula
sn= nótese bien 1
Tenga en cuenta que si necesita sumar los términos
bk, bk +1 , . . . , bn,
entonces se utiliza la fórmula:
| sn- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Por ejemplo,
en progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Si se da una progresión geométrica, entonces las cantidades b 1 , bn, q, norte Y sn conectado por dos fórmulas:
Por lo tanto, si se dan los valores de tres de estas cantidades, entonces los valores correspondientes de las otras dos cantidades se determinan a partir de estas fórmulas, combinadas en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Para una progresión geométrica con el primer término b 1 y denominador q ocurre lo siguiente propiedades de la monotonicidad :
- La progresión aumenta si se cumple una de las siguientes condiciones:
b 1 > 0 Y q> 1;
b 1 < 0 Y 0 < q< 1;
- La progresión es decreciente si se cumple una de las siguientes condiciones:
b 1 > 0 Y 0 < q< 1;
b 1 < 0 Y q> 1.
Si q< 0 , entonces la progresión geométrica es alterna: sus términos con números impares tienen el mismo signo que su primer término, y los términos con números pares tienen el signo opuesto. Está claro que una progresión geométrica alterna no es monótona.
Producto de la primera norte Los términos de una progresión geométrica se pueden calcular mediante la fórmula:
pn= segundo 1 · segundo 2 · segundo 3 · . . . · bn = (segundo 1 · bn) norte / 2 .
Por ejemplo,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progresión geométrica infinitamente decreciente
Progresión geométrica infinitamente decreciente llamada progresión geométrica infinita cuyo módulo denominador es menor 1 , eso es
|q| < 1 .
Tenga en cuenta que una progresión geométrica infinitamente decreciente puede no ser una secuencia decreciente. Se adapta a la ocasión
1 < q< 0 .
Con tal denominador, la secuencia es alterna. Por ejemplo,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. nombra el número al que se aproxima la suma de los primeros sin límite norte miembros de una progresión con un aumento ilimitado en el número norte . Este número es siempre finito y se expresa mediante la fórmula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Por ejemplo,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relación entre progresiones aritméticas y geométricas
Aritmética y progresión geométrica están estrechamente relacionados entre sí. Veamos sólo dos ejemplos.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Eso
b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .
Por ejemplo,
1, 3, 5, . . . - progresión aritmética con diferencia 2 Y
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresión geométrica con denominador 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progresión geométrica con denominador q , Eso
iniciar sesión a b 1, iniciar sesión a b 2, iniciar sesión a b 3, . . . - progresión aritmética con diferencia registrar unq .
Por ejemplo,
2, 12, 72, . . . - progresión geométrica con denominador 6 Y
LG 2, LG 12, LG 72, . . . - progresión aritmética con diferencia LG 6 . ◄
Este número se llama denominador de una progresión geométrica, es decir, cada término difiere del anterior en q veces. (Asumiremos que q ≠ 1, de lo contrario todo es demasiado trivial). No es difícil ver eso formula general enésimo término de la progresión geométrica b n = b 1 q n – 1 ; Los términos con números b n y b m difieren en q n – m veces.Ya estoy en eso Antiguo Egipto No sólo conocía la aritmética, sino también la progresión geométrica. He aquí, por ejemplo, un problema del papiro de Rhind: “Siete caras tienen siete gatos; Cada gato come siete ratones, cada ratón come siete mazorcas de maíz y cada mazorca de cebada puede producir siete medidas de cebada. ¿Qué tan grandes son los números de esta serie y su suma?
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Arroz. 1. Problema de progresión geométrica del Antiguo Egipto |
Esta tarea se repitió muchas veces con distintas variaciones entre otros pueblos en otras épocas. Por ejemplo, escrito en el siglo XIII. “El Libro del Ábaco” de Leonardo de Pisa (Fibonacci) tiene un problema en el que aparecen 7 ancianas camino a Roma (obviamente peregrinas), cada una de las cuales tiene 7 mulas, cada una de las cuales tiene 7 bolsas, cada una de las cuales Contiene 7 panes, cada uno de los cuales tiene 7 cuchillos, cada uno de los cuales tiene 7 vainas. El problema pregunta cuántos objetos hay.
La suma de los primeros n términos de la progresión geométrica S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Esta fórmula se puede demostrar, por ejemplo, así: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Suma el número b 1 q n a S n y obtienes:
|
De aquí S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), obtenemos la fórmula necesaria.
Ya en una de las tablillas de arcilla. Babilonia antigua que data del siglo VI. antes de Cristo e., contiene la suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Es cierto que, como en muchos otros casos, no sabemos cómo los babilonios conocieron este hecho. .
El rápido aumento de la progresión geométrica en varias culturas, en particular en la India, se utiliza repetidamente como símbolo visual de la inmensidad del universo. En la famosa leyenda sobre la aparición del ajedrez, el gobernante le da a su inventor la oportunidad de elegir él mismo la recompensa, y le pregunta el número de granos de trigo que se obtendrán si se coloca uno en la primera casilla del tablero de ajedrez, dos en el segundo, cuatro en el tercero, ocho en el cuarto, y etc., cada vez que el número se duplica. Vladyka pensó que, como mucho, se trataba de unas pocas bolsas, pero calculó mal. Es fácil ver que por las 64 casillas del tablero de ajedrez el inventor tendría que recibir (2 · 64 - 1) granos, lo que se expresa como un número de 20 dígitos; incluso si se sembrara toda la superficie de la Tierra, se necesitarían al menos 8 años para recolectar la cantidad necesaria de granos. A veces se interpreta que esta leyenda indica las posibilidades prácticamente ilimitadas que se esconden en el juego de ajedrez.
Es fácil ver que este número en realidad tiene 20 dígitos:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (un cálculo más preciso da 1,84∙10 19). Pero me pregunto si puedes averiguar con qué dígito termina este número.
Una progresión geométrica puede ser creciente si el denominador es mayor que 1 o decreciente si es menor que uno. En el último caso, el número q n para n suficientemente grande puede volverse arbitrariamente pequeño. Mientras que la progresión geométrica creciente aumenta inesperadamente rápidamente, la progresión geométrica decreciente disminuye con la misma rapidez.
Cuanto mayor es n, más débil se diferencia el número q n de cero y más se acerca la suma de n términos de la progresión geométrica S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) al número S = b 1 / ( 1-q). (Por ejemplo, F. Viet razonó de esta manera). El número S se llama suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Sin embargo, durante muchos siglos la cuestión de cuál es el significado de sumar TODA la progresión geométrica, con su número infinito de términos, no fue lo suficientemente clara para los matemáticos.
Se puede ver una progresión geométrica decreciente, por ejemplo, en las aporías de Zenón “Media división” y “Aquiles y la tortuga”. En el primer caso, se muestra claramente que todo el camino (suponiendo longitud 1) es la suma número infinito segmentos 1/2, 1/4, 1/8, etc. Lo mismo ocurre, por supuesto, desde el punto de vista de las ideas sobre la suma finita de una progresión geométrica infinita. Y, sin embargo, ¿cómo puede ser esto?
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Arroz. 2. Progresión con un coeficiente de 1/2 |
En la aporía sobre Aquiles la situación es un poco más complicada, porque aquí el denominador de la progresión no es 1/2, sino algún otro número. Supongamos, por ejemplo, que Aquiles corre con velocidad v, la tortuga se mueve con velocidad u y la distancia inicial entre ellos es l. Aquiles cubrirá esta distancia en el tiempo l/v, y durante este tiempo la tortuga se moverá una distancia lu/v. Cuando Aquiles recorre este segmento, la distancia entre él y la tortuga será igual a l (u /v) 2, etc. Resulta que alcanzar a la tortuga significa encontrar la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con el primer término. l y el denominador u /v. Esta suma, el segmento que Aquiles finalmente recorrerá hasta el lugar de encuentro con la tortuga, es igual a l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Pero, de nuevo, ¿cómo debería interpretarse este resultado y por qué tiene algún sentido? por mucho tiempo no estaba muy claro.
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Arroz. 3. Progresión geométrica con un coeficiente de 2/3 |
Arquímedes utilizó la suma de una progresión geométrica para determinar el área de un segmento de parábola. Sea este segmento de la parábola delimitado por la cuerda AB y sea la tangente en el punto D de la parábola paralela a AB. Sea C el punto medio de AB, E el punto medio de AC, F el punto medio de CB. Dibujemos líneas paralelas a DC que pasen por los puntos A, E, F, B; Sea la tangente trazada en el punto D que interseque estas rectas en los puntos K, L, M, N. Dibujemos también los segmentos AD y DB. Dejemos que la recta EL corte a la recta AD en el punto G y a la parábola en el punto H; La recta FM corta a la recta DB en el punto Q y a la parábola en el punto R. Según la teoría general de las secciones cónicas, DC es el diámetro de una parábola (es decir, un segmento paralelo a su eje); él y la tangente en el punto D pueden servir como ejes de coordenadas x e y, en los que la ecuación de la parábola se escribe como y 2 = 2px (x es la distancia desde D a cualquier punto de un diámetro dado, y es la longitud de un segmento paralelo a una tangente dada desde este punto de diámetro hasta algún punto de la propia parábola).
En virtud de la ecuación de la parábola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, y como DK = 2DL, entonces KA = 4LH. Porque KA = 2LG, LH = HG. El área del segmento ADB de una parábola es igual al área del triángulo ΔADB y las áreas de los segmentos AHD y DRB combinados. A su vez, el área del segmento AHD es igualmente igual al área del triángulo AHD y los segmentos restantes AH y HD, con cada uno de los cuales se puede realizar la misma operación: dividir en un triángulo (Δ) y los dos segmentos restantes (), etc.:
El área del triángulo ΔAHD es igual a la mitad del área del triángulo ΔALD (tienen una base común AD y las alturas difieren 2 veces), que, a su vez, es igual a la mitad del área de el triángulo ΔAKD, y por tanto la mitad del área del triángulo ΔACD. Por tanto, el área del triángulo ΔAHD es igual a un cuarto del área del triángulo ΔACD. Asimismo, el área del triángulo ΔDRB es igual a un cuarto del área del triángulo ΔDFB. Entonces, las áreas de los triángulos ΔAHD y ΔDRB, tomadas en conjunto, son iguales a un cuarto del área del triángulo ΔADB. Al repetir esta operación cuando se aplica a los segmentos AH, HD, DR y RB, se seleccionarán triángulos de ellos, cuyo área, en conjunto, será 4 veces menor que el área de los triángulos ΔAHD y ΔDRB, en conjunto, y por tanto 16 veces menor, que el área del triángulo ΔADB. Etcétera:
Así, Arquímedes demostró que “todo segmento comprendido entre una recta y una parábola constituye los cuatro tercios de un triángulo que tiene la misma base y la misma altura”.
Primer nivel
Progresión geométrica. guía completa con ejemplos (2019)
secuencia numérica
Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos decir cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:
secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.
Por ejemplo, para nuestra secuencia:
El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo.
El número con el número se llama el enésimo miembro de la secuencia.
Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .
En nuestro caso:
Los tipos de progresión más comunes son la aritmética y la geométrica. En este tema hablaremos del segundo tipo: progresión geométrica.
¿Por qué es necesaria la progresión geométrica y su historia?
Ya en la antigüedad, el monje matemático italiano Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) se ocupaba de las necesidades prácticas del comercio. El monje se enfrentó a la tarea de determinar ¿cuál es el menor número de pesas que se pueden utilizar para pesar un producto? Fibonacci demuestra en sus obras que este sistema de pesos es óptimo: esta es una de las primeras situaciones en las que la gente tuvo que lidiar con una progresión geométrica, de la que probablemente ya habrás oído hablar y al menos habrás oído hablar de ella. concepto general. Una vez que comprenda completamente el tema, piense por qué un sistema de este tipo es óptimo.
Actualmente, en la práctica de la vida, la progresión geométrica se manifiesta al invertir dinero en un banco, cuando se acumulan intereses sobre el monto acumulado en la cuenta durante el período anterior. En otras palabras, si deposita dinero en un depósito a plazo en una caja de ahorros, después de un año el depósito aumentará en la cantidad original, es decir, el nuevo monto será igual al aporte multiplicado por. En un año más, esta cantidad aumentará, es decir, la cantidad obtenida en ese momento se volverá a multiplicar por y así sucesivamente. Una situación similar se describe en los problemas de cálculo de los llamados interés compuesto- el porcentaje se deduce cada vez del importe que hay en la cuenta, teniendo en cuenta los intereses anteriores. Hablaremos de estas tareas un poco más adelante.
Hay muchos más casos simples en los que se aplica la progresión geométrica. Por ejemplo, la propagación de la gripe: una persona infectó a otra, ella, a su vez, infectó a otra persona y, por tanto, la segunda ola de infección es una persona, y ella, a su vez, infectó a otra... y así sucesivamente. .
Por cierto, una pirámide financiera, el mismo MMM, es un cálculo simple y seco basado en las propiedades de una progresión geométrica. ¿Interesante? Vamos a resolverlo.
Progresión geométrica.
Digamos que tenemos una secuencia numérica:
Inmediatamente responderás que esto es fácil y que el nombre de dicha secuencia es una progresión aritmética con la diferencia de sus términos. Qué tal esto:
Si restas el número anterior del siguiente, verás que cada vez obtienes una nueva diferencia (y así sucesivamente), pero la secuencia definitivamente existe y es fácil de notar: ¡cada número posterior es veces mayor que el anterior!
Este tipo de secuencia numérica se llama progresión geométrica y es designado.
La progresión geométrica () es una secuencia numérica cuyo primer término es diferente de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.
Las restricciones de que el primer término ( ) no es igual y no son aleatorias. Supongamos que no hay ninguno, y el primer término sigue siendo igual, y q es igual a, hmm... déjalo así, entonces resulta:
Acepte que esto ya no es una progresión.
Como comprenderá, obtendremos los mismos resultados si hay cualquier número distinto de cero, a. En estos casos, simplemente no habrá progresión, ya que toda la serie numérica será todo ceros o un número y el resto serán ceros.
Ahora hablemos con más detalle sobre el denominador de la progresión geométrica, es decir, o.
Repitamos: - este es el número ¿Cuántas veces cambia cada término subsiguiente? progresión geométrica.
¿Qué crees que podría ser? Así es, positivo y negativo, pero no cero (hablamos de esto un poco más arriba).
Supongamos que el nuestro es positivo. Sea en nuestro caso, a. ¿Cuál es el valor del segundo término y? Puedes responder fácilmente a eso:
Así es. En consecuencia, si todos los términos posteriores de la progresión tienen el mismo signo: son positivos.
¿Y si es negativo? Por ejemplo, un. ¿Cuál es el valor del segundo término y?
Esta es una historia completamente diferente.
Intenta contar los términos de esta progresión. ¿Cuanto conseguiste? Tengo. Por tanto, si, entonces se alternan los signos de los términos de la progresión geométrica. Es decir, si ves una progresión con signos alternos para sus miembros, entonces su denominador es negativo. Este conocimiento puede ayudarle a ponerse a prueba al resolver problemas sobre este tema.
Ahora practiquemos un poco: intentemos determinar qué secuencias numéricas son una progresión geométrica y cuáles son una progresión aritmética:
¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas:
- Progresión geométrica - 3, 6.
- Progresión aritmética - 2, 4.
- No es una progresión aritmética ni geométrica: 1, 5, 7.
Volvamos a nuestra última progresión e intentemos encontrar su miembro, como en la aritmética. Como habrás adivinado, hay dos formas de encontrarlo.
Multiplicamos sucesivamente cada término por.
Entonces, el término de la progresión geométrica descrita es igual a.
Como ya habrás adivinado, ahora tú mismo obtendrás una fórmula que te ayudará a encontrar cualquier miembro de la progresión geométrica. ¿O ya lo ha desarrollado usted mismo y describe cómo encontrar el decimoésimo miembro paso a paso? Si es así, compruebe la exactitud de su razonamiento.
Ilustremos esto con el ejemplo de encontrar el décimo término de esta progresión:
En otras palabras:
Encuentra tú mismo el valor del término de la progresión geométrica dada.
¿Sucedió? Comparemos nuestras respuestas:
Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando multiplicamos secuencialmente por cada término anterior de la progresión geométrica.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula- Pongámoslo en forma general y obtenemos:
La fórmula derivada es válida para todos los valores, tanto positivos como negativos. Compruébalo tú mismo calculando los términos de la progresión geométrica con las siguientes condiciones: , A.
¿Contaste? Comparemos los resultados:
Esté de acuerdo en que sería posible encontrar un término de progresión de la misma manera que un término, sin embargo, existe la posibilidad de calcular incorrectamente. Y si ya hemos encontrado el enésimo término de la progresión geométrica, entonces, ¿qué podría ser más sencillo que utilizar la parte “truncada” de la fórmula?
Progresión geométrica infinitamente decreciente.
Más recientemente hablamos de que puede ser mayor o menor que cero, sin embargo, existen valores especiales para los que se llama progresión geométrica. infinitamente decreciente.
¿Por qué crees que se le da este nombre?
Primero, escribamos una progresión geométrica que consta de términos.
Digamos entonces:
Vemos que cada término posterior es menor que el anterior por un factor, pero ¿habrá algún número? Inmediatamente responderá: "no". Por eso es infinitamente decreciente: disminuye y disminuye, pero nunca llega a ser cero.
Para entender claramente cómo se ve esto visualmente, intentemos dibujar un gráfico de nuestra progresión. Entonces, para nuestro caso, la fórmula toma la siguiente forma:
En gráficos estamos acostumbrados a representar la dependencia, por lo tanto:
La esencia de la expresión no ha cambiado: en la primera entrada mostramos la dependencia del valor de un miembro de una progresión geométrica de su número ordinal, y en la segunda entrada simplemente tomamos el valor de un miembro de una progresión geométrica como , y designó el número ordinal no como, sino como. Todo lo que queda por hacer es construir un gráfico.
Veamos que tienes. Aquí está el gráfico que se me ocurrió:
¿Lo ves? La función decrece, tiende a cero, pero nunca lo cruza, por lo que es infinitamente decreciente. Marquemos nuestros puntos en la gráfica, y al mismo tiempo lo que significa la coordenada y:
Intente representar esquemáticamente la gráfica de una progresión geométrica si su primer término también es igual. Analiza ¿cuál es la diferencia con nuestra gráfica anterior?
¿Lograste? Aquí está el gráfico que se me ocurrió:
Ahora que has entendido completamente los conceptos básicos del tema de la progresión geométrica: sabes qué es, sabes cómo encontrar su término y también sabes qué es una progresión geométrica infinitamente decreciente, pasemos a su propiedad principal.
Propiedad de la progresión geométrica.
¿Recuerdas la propiedad de los términos de una progresión aritmética? Sí, sí, cómo encontrar el valor de un determinado número de una progresión cuando existen valores anteriores y posteriores de los términos de esta progresión. ¿Te acuerdas? Este:
Ahora nos enfrentamos exactamente a la misma pregunta para los términos de una progresión geométrica. Para derivar dicha fórmula, comencemos a dibujar y razonar. Ya verás que es muy fácil y si se te olvida lo puedes sacar tú mismo.
Tomemos otra progresión geométrica simple, en la que conocemos y. ¿Como encontrar? Con la progresión aritmética es fácil y sencillo, pero ¿y aquí? De hecho, tampoco hay nada complicado en geometría: solo necesita anotar cada valor que se nos da de acuerdo con la fórmula.
Quizás te preguntes, ¿qué debemos hacer al respecto ahora? Sí, muy sencillo. Primero, representemos estas fórmulas en la figura y tratemos de hacerlo con ellas. varias manipulaciones para llegar a un valor.
Hagamos abstracción de los números que se nos dan, centrémonos solo en su expresión a través de la fórmula. Necesitamos encontrar el valor resaltado en naranja, conociendo los términos adyacentes a él. Intentemos producir con ellos. varias acciones, como resultado de lo cual podemos obtener.
Suma.
Intentemos sumar dos expresiones y obtenemos:
A partir de esta expresión, como puede ver, no podemos expresarla de ninguna manera, por lo tanto, probaremos otra opción: la resta.
Sustracción.
Como puedes ver, esto tampoco lo podemos expresar, así que intentemos multiplicar estas expresiones entre sí.
Multiplicación.
Ahora mire detenidamente lo que tenemos al multiplicar los términos de la progresión geométrica que se nos da en comparación con lo que hay que encontrar:
¿Adivina de qué estoy hablando? Así es, para encontrar necesitamos tomar Raíz cuadrada de los números de progresión geométrica adyacentes al deseado multiplicados entre sí:
Aquí tienes. Usted mismo dedujo la propiedad de la progresión geométrica. Intente escribir esta fórmula en vista general. ¿Sucedió?
¿Olvidaste la condición? Piense por qué es importante, por ejemplo, intente calcularlo usted mismo. ¿Qué pasará en este caso? Así es, una completa tontería porque la fórmula se ve así:
En consecuencia, no olvide esta limitación.
Ahora calculemos a qué equivale.
Respuesta correcta - ! Si no olvidaste el segundo al calcular posible significado, entonces eres un gran compañero y puedes pasar inmediatamente a entrenar, y si lo olvidaste, lee lo que se comenta a continuación y presta atención a por qué es necesario escribir ambas raíces en la respuesta.
Dibujemos nuestras dos progresiones geométricas, una con un valor y la otra con un valor, y comprobemos si ambas tienen derecho a existir:
Para comprobar si tal progresión geométrica existe o no, es necesario ver si todos sus términos dados son iguales. Calcule q para el primer y segundo caso.
¿Ves por qué tenemos que escribir dos respuestas? ¡Porque el signo del término que buscas depende de si es positivo o negativo! Y como no sabemos qué es, debemos escribir ambas respuestas con un más y un menos.
Ahora que domina los puntos principales y ha obtenido la fórmula de la propiedad de la progresión geométrica, encuentre, conozca y
Compara tus respuestas con las correctas:
¿Qué piensas, si no nos dieran los valores de los términos de la progresión geométrica adyacentes al número deseado, sino equidistantes de él? Por ejemplo, necesitamos encontrar, y dado y. ¿Podemos usar la fórmula que derivamos en este caso? Intente confirmar o refutar esta posibilidad de la misma manera, describiendo en qué consiste cada valor, como lo hizo cuando derivó originalmente la fórmula, en.
¿Qué obtuviste?
Ahora mira con atención de nuevo.
y correspondientemente:
De esto podemos concluir que la fórmula funciona. no sólo con los vecinos con los términos deseados de la progresión geométrica, pero también con equidistante de lo que buscan los miembros.
Así, nuestra fórmula inicial toma la forma:
Es decir, si en el primer caso decíamos eso, ahora decimos que puede ser igual a cualquier número natural que sea menor. Lo principal es que es igual para ambos números dados.
Practica con ejemplos específicos, ¡solo ten mucho cuidado!
- , . Encontrar.
- , . Encontrar.
- , . Encontrar.
¿Decidido? Espero que hayas estado extremadamente atento y hayas notado un pequeño problema.
Comparemos los resultados.
En los dos primeros casos aplicamos tranquilamente la fórmula anterior y obtenemos los siguientes valores:
En el tercer caso, tras un examen más detenido números seriales números que nos dan, entendemos que no son equidistantes del número que buscamos: es el número anterior, pero está eliminado en la posición, por lo que no es posible aplicar la fórmula.
¿Cómo resolverlo? ¡En realidad no es tan difícil como parece! Anotamos en qué consiste cada número que nos dan y el número que buscamos.
Entonces tenemos y. ¿Veamos qué podemos hacer con ellos? Sugiero dividir por. Obtenemos:
Sustituimos nuestros datos en la fórmula:
El siguiente paso que podemos encontrar es: para ello necesitamos sacar la raíz cúbica del número resultante.
Ahora echemos un vistazo nuevamente a lo que tenemos. Lo tenemos, pero necesitamos encontrarlo y, a su vez, es igual a:
Encontramos todos los datos necesarios para el cálculo. Sustituir en la fórmula:
Nuestra respuesta: .
Intente resolver usted mismo otro problema similar:
Dado: ,
Encontrar:
¿Cuanto conseguiste? Tengo - .
Como puedes ver, esencialmente necesitas recuerda solo una fórmula- . El resto lo podrás retirar tú mismo sin ninguna dificultad en cualquier momento. Para ello, simplemente escribe en una hoja de papel la progresión geométrica más sencilla y anota a qué equivale cada uno de sus números, según la fórmula descrita anteriormente.
La suma de los términos de una progresión geométrica.
Ahora veamos fórmulas que nos permiten calcular rápidamente la suma de los términos de una progresión geométrica en un intervalo dado:
Para derivar la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica finita, multiplica todas las partes de la ecuación anterior por. Obtenemos:
Mire con atención: ¿qué tienen en común las dos últimas fórmulas? Así es, miembros comunes, por ejemplo, y así sucesivamente, excepto el primer y el último miembro. Intentemos restar la primera de la segunda ecuación. ¿Qué obtuviste?
Ahora expresa el término de la progresión geométrica mediante la fórmula y sustituye la expresión resultante en nuestra última fórmula:
Agrupa la expresión. Deberías obtener:
Todo lo que queda por hacer es expresar:
En consecuencia, en este caso.
¿Y si? ¿Qué fórmula funciona entonces? Imagine una progresión geométrica en. ¿Cómo es ella? Una serie de números idénticos es correcta, por lo que la fórmula se verá así:
Existen muchas leyendas sobre la progresión tanto aritmética como geométrica. Una de ellas es la leyenda de Set, el creador del ajedrez.
Mucha gente sabe que el juego de ajedrez se inventó en la India. Cuando el rey hindú la conoció, quedó encantado con su ingenio y la variedad de posiciones posibles en ella. Al enterarse de que fue inventado por uno de sus súbditos, el rey decidió recompensarlo personalmente. Llamó al inventor y le ordenó que le pidiera todo lo que quisiera, prometiendo cumplir hasta el deseo más hábil.
Seta pidió tiempo para pensar, y cuando al día siguiente Seta se presentó ante el rey, lo sorprendió con la modestia sin precedentes de su petición. Pidió que le dieran un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, un grano de trigo por la segunda, un grano de trigo por la tercera, una cuarta, etc.
El rey se enojó y echó a Set, diciendo que la petición del sirviente no era digna de la generosidad del rey, pero prometió que el sirviente recibiría sus granos por todas las casillas del tablero.
Y ahora la pregunta: usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica, ¿calcula cuántos granos debería recibir Seth?
Empecemos a razonar. Dado que, según la condición, Set pidió un grano de trigo para la primera casilla del tablero de ajedrez, para la segunda, para la tercera, para la cuarta, etc., entonces vemos que el problema se trata de una progresión geométrica. ¿A qué equivale en este caso?
Bien.
Casillas totales del tablero de ajedrez. Respectivamente, . Tenemos todos los datos, solo queda introducirlos en la fórmula y calcular.
Para imaginar al menos aproximadamente la “escala” de un número dado, transformamos usando las propiedades de grado:
Por supuesto, si quieres, puedes coger una calculadora y calcular con qué número terminas, y si no, tendrás que confiar en mi palabra: el valor final de la expresión será.
Eso es:
quintillones de billones de billones de millones de miles.
Uf) Si quieres imaginar la enormidad de este número, entonces estima el tamaño que se necesitaría para un granero para albergar toda la cantidad de grano.
Si el granero tiene m de alto y m de ancho, su longitud debería extenderse por km, es decir el doble de distancia que la que hay entre la Tierra y el Sol.
Si el rey fuera fuerte en matemáticas, podría haber invitado al propio científico a contar los granos, porque para contar un millón de granos necesitaría al menos un día de conteo incansable, y dado que es necesario contar quintillones, los granos Habría que contarlo a lo largo de su vida.
Ahora resolvamos un problema simple que involucra la suma de términos de una progresión geométrica.
Vasya, estudiante de la clase 5A, enfermó de gripe, pero continúa yendo a la escuela. Cada día Vasya infecta a dos personas, quienes, a su vez, infectan a dos personas más, y así sucesivamente. Sólo hay personas en la clase. ¿En cuántos días toda la clase estará enferma de gripe?
Entonces, el primer término de la progresión geométrica es Vasya, es decir, una persona. El décimo término de la progresión geométrica son las dos personas que infectó el primer día de su llegada. cantidad total miembros de la progresión es igual al número de estudiantes en 5A. En consecuencia, hablamos de una progresión en la que:
Sustituyamos nuestros datos en la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica:
Toda la clase se enfermará en unos días. ¿No crees en fórmulas y números? Intente retratar usted mismo la "infección" de los estudiantes. ¿Sucedió? Mira como me parece:
Calcula tú mismo cuántos días tardarían los alumnos en enfermarse de gripe si cada uno contagiara a una persona, y solo hubiera una persona en la clase.
¿Qué valor obtuviste? Resultó que todos empezaron a enfermarse después de un día.
Como puede ver, esta tarea y su dibujo se asemejan a una pirámide, en la que cada una de ellas "trae" nuevas personas. Sin embargo, tarde o temprano llega un momento en el que este último no puede atraer a nadie. En nuestro caso, si imaginamos que la clase está aislada, la persona de cierra la cadena (). Por lo tanto, si una persona estuviera involucrada en pirámide financiera, en el que se entregó dinero si traes a otros dos participantes, entonces la persona (o caso general) no habrían traído a nadie y, por lo tanto, habrían perdido todo lo que invirtieron en esta estafa financiera.
Todo lo dicho anteriormente se refiere a una progresión geométrica decreciente o creciente, pero, como recordarás, tenemos un tipo especial: una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Cómo calcular la suma de sus miembros? ¿Y por qué este tipo de progresión tiene ciertas características? Resolvámoslo juntos.
Entonces, primero, veamos nuevamente este dibujo de una progresión geométrica infinitamente decreciente de nuestro ejemplo:
Ahora veamos la fórmula para la suma de una progresión geométrica, derivada un poco antes:
o
¿Por qué nos esforzamos? Así es, la gráfica muestra que tiende a cero. Es decir, en, será casi igual, respectivamente, al calcular la expresión obtendremos casi. En este sentido, creemos que al calcular la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, este paréntesis se puede descuidar, ya que será igual.
- La fórmula es la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente.
¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma infinito número de miembros.
Si se especifica un número específico n, entonces usamos la fórmula para la suma de n términos, incluso si o.
Ahora practiquemos.
- Encuentra la suma de los primeros términos de la progresión geométrica con y.
- Encuentra la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente con y.
Espero que hayas sido extremadamente cuidadoso. Comparemos nuestras respuestas:
Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica y es hora de pasar de la teoría a la práctica. Los problemas de progresión geométrica más comunes que se encuentran en el examen son los problemas de cálculo del interés compuesto. Estos son de los que hablaremos.
Problemas al calcular el interés compuesto.
Probablemente hayas oído hablar de la llamada fórmula del interés compuesto. ¿Entiendes lo que significa? Si no, averigüémoslo, porque una vez que comprendas el proceso en sí, comprenderás inmediatamente qué tiene que ver la progresión geométrica con él.
Todos vamos al banco y sabemos que hay diferentes condiciones sobre depósitos: este es el plazo, y el servicio adicional, y el interés con dos diferentes caminos sus cálculos: simples y complejos.
CON interés simple Todo está más o menos claro: los intereses se devengan una vez al final del plazo del depósito. Es decir, si decimos que depositamos 100 rublos durante un año, se acreditarán solo al final del año. En consecuencia, al final del depósito recibiremos rublos.
Interés compuesto- esta es una opción en la que ocurre capitalización de intereses, es decir. su adición al monto del depósito y el cálculo posterior de los ingresos no del monto del depósito inicial, sino del acumulado. La capitalización no ocurre constantemente, sino con cierta frecuencia. Como regla general, estos períodos son iguales y la mayoría de las veces los bancos utilizan un mes, trimestre o año.
Supongamos que depositamos los mismos rublos anualmente, pero con capitalización mensual del depósito. ¿Que estamos haciendo?
¿Entiendes todo aquí? Si no, averigüémoslo paso a paso.
Llevamos rublos al banco. Al final del mes, deberíamos tener en nuestra cuenta una cantidad compuesta por nuestros rublos más los intereses sobre ellos, es decir:
¿Aceptar?
Podemos quitarlo de paréntesis y luego obtenemos:
De acuerdo, esta fórmula ya se parece más a lo que escribimos al principio. Todo lo que queda es calcular los porcentajes.
En el planteamiento del problema se nos habla de tasas anuales. Como sabes, no multiplicamos por: convertimos porcentajes a decimales, eso es:
¿Bien? Ahora te preguntarás, ¿de dónde salió el número? ¡Muy simple!
Repito: el enunciado del problema dice acerca de ANUAL interés que se acumula MENSUAL. Como sabes, en un año de meses, respectivamente, el banco nos cobrará una parte del interés anual por mes:
¿Se dio cuenta? Ahora intenta escribir cómo se vería esta parte de la fórmula si dijera que el interés se calcula diariamente.
¿Lograste? Comparemos los resultados:
¡Bien hecho! Volvamos a nuestra tarea: escribir cuánto se acreditará en nuestra cuenta en el segundo mes, teniendo en cuenta que se devengan intereses sobre el monto del depósito acumulado.
Esto es lo que obtuve:
O, en otras palabras:
Creo que ya has notado un patrón y has visto una progresión geométrica en todo esto. Escribe a qué será igual su miembro, o, en otras palabras, qué cantidad de dinero recibiremos a final de mes.
¿Hizo? ¡Vamos a revisar!
Como puede ver, si deposita dinero en el banco durante un año a una tasa de interés simple, recibirá rublos, y si a una tasa de interés compuesta, recibirá rublos. El beneficio es pequeño, pero esto sólo ocurre durante el décimo año, pero por más un largo periodo La capitalización es mucho más rentable:
Veamos otro tipo de problema que involucra interés compuesto. Después de lo que hayas descubierto, será elemental para ti. Entonces, la tarea:
La empresa Zvezda empezó a invertir en el sector en el año 2000, con capital en dólares. Cada año desde 2001 ha obtenido un beneficio igual al capital del año anterior. ¿Cuántos beneficios obtendrá la empresa "Zvezda" a finales de 2003 si no se retiran de la circulación?
Capital de la empresa Zvezda en 2000.
- capital de la empresa Zvezda en 2001.
- capital de la empresa Zvezda en 2002.
- capital de la empresa Zvezda en 2003.
O podemos escribir brevemente:
Para nuestro caso:
2000, 2001, 2002 y 2003.
Respectivamente:
rublos
Tenga en cuenta que en este problema no tenemos división ni por ni por, ya que el porcentaje se da ANUALMENTE y se calcula ANUALMENTE. Es decir, al leer un problema de interés compuesto, preste atención a qué porcentaje se da y en qué período se calcula, y solo entonces proceda a los cálculos.
Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica.
Capacitación.
- Encuentre el término de la progresión geométrica si se sabe que, y
- Encuentre la suma de los primeros términos de la progresión geométrica si se sabe que, y
- La empresa MDM Capital comenzó a invertir en la industria en 2003, con capital en dólares. Cada año desde 2004 ha obtenido un beneficio igual al capital del año anterior. La empresa MSK Cash Flows comenzó a invertir en la industria en 2005 por un monto de $10,000, comenzando a obtener ganancias en 2006 por un monto de. ¿En cuántos dólares es mayor el capital de una empresa que el de otra a finales de 2007, si los beneficios no se retiran de la circulación?
Respuestas:
- Dado que el planteamiento del problema no dice que la progresión sea infinita y se requiere encontrar la suma de un número específico de sus términos, el cálculo se realiza de acuerdo con la fórmula:
Compañía de capital MDM:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- aumenta en un 100%, es decir, 2 veces.
Respectivamente:
rublos
Compañía de flujos de efectivo MSK:2005, 2006, 2007.
- aumenta en, es decir, en tiempos.
Respectivamente:
rublos
rublos
Resumamos.
1) La progresión geométrica ( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.
2) La ecuación de los términos de la progresión geométrica es.
3) puede tomar cualquier valor excepto y.
- si, entonces todos los términos subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo: son positivos;
- si, entonces todos los términos subsiguientes de la progresión signos alternativos;
- cuando - la progresión se llama infinitamente decreciente.
4) , con - propiedad de progresión geométrica (términos adyacentes)
o
, en (términos equidistantes)
Cuando lo encuentres, no lo olvides. debe haber dos respuestas.
Por ejemplo,
5) La suma de los términos de la progresión geométrica se calcula mediante la fórmula:
o
Si la progresión es infinitamente decreciente, entonces:
o
¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma de un número infinito de términos.
6) Los problemas que involucran interés compuesto también se calculan usando la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica, siempre que dinero no fueron retirados de la circulación:
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
Progresión geométrica( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. este numero se llama denominador de una progresión geométrica.
Denominador de progresión geométrica puede tomar cualquier valor excepto y.
- Si entonces todos los términos subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo, son positivos;
- si, entonces todos los miembros posteriores de la progresión alternan signos;
- cuando - la progresión se llama infinitamente decreciente.
Ecuación de términos de progresión geométrica. - .
Suma de términos de una progresión geométrica. calculado por la fórmula:
o
Progresión geométrica No menos importante en matemáticas en comparación con la aritmética. Una progresión geométrica es una secuencia de números b1, b2,..., b[n], cada uno de los siguientes términos se obtiene multiplicando el anterior por un número constante. Este número, que también caracteriza la tasa de crecimiento o disminución de la progresión, se llama denominador de progresión geométrica y denotar
Para especificar completamente una progresión geométrica, además del denominador, es necesario conocer o determinar su primer término. Para un valor positivo del denominador, la progresión es una secuencia monótona, y si esta secuencia de números es monótonamente decreciente y si es monótonamente creciente. El caso en el que el denominador es igual a uno no se considera en la práctica, ya que tenemos una secuencia de números idénticos y su suma no tiene ningún interés práctico.
Término general de progresión geométrica. calculado por la fórmula
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica determinado por la fórmula
Veamos soluciones a problemas clásicos de progresión geométrica. Empecemos por los más sencillos de entender.
Ejemplo 1. El primer término de una progresión geométrica es 27 y su denominador es 1/3. Encuentra los primeros seis términos de la progresión geométrica.
Solución: escribamos la condición del problema en la forma
Para los cálculos utilizamos la fórmula del enésimo término de una progresión geométrica.
En base a esto, encontramos los términos desconocidos de la progresión.
Como puedes ver, calcular los términos de una progresión geométrica no es difícil. La progresión en sí se verá así.
Ejemplo 2. Se dan los primeros tres términos de la progresión geométrica: 6; -12; 24. Encuentra el denominador y su séptimo término.
Solución: Calculamos el denominador de la progresión geomítrica en función de su definición.
Hemos obtenido una progresión geométrica alterna cuyo denominador es igual a -2. El séptimo término se calcula mediante la fórmula
Esto resuelve el problema.
Ejemplo 3. Una progresión geométrica está dada por dos de sus términos 
. Encuentra el décimo término de la progresión.
Solución:
Escribamos los valores dados usando fórmulas.
Según las reglas, habría que encontrar el denominador y luego buscar valor deseado, pero para el décimo término tenemos
Se puede obtener la misma fórmula basándose en manipulaciones simples con los datos de entrada. Dividimos el sexto término de la serie por otro y como resultado obtenemos
Si el valor resultante se multiplica por el sexto término, obtenemos el décimo
Por lo tanto, para tales tareas, usar transformaciones simples para de manera rápida puedes encontrar la solución adecuada.
Ejemplo 4. La progresión geométrica viene dada por fórmulas recurrentes.
Encuentra el denominador de la progresión geométrica y la suma de los primeros seis términos.
Solución:
Escribamos los datos dados en forma de un sistema de ecuaciones.
Expresa el denominador dividiendo la segunda ecuación por la primera.
Encontremos el primer término de la progresión de la primera ecuación.
Calculemos los siguientes cinco términos para encontrar la suma de la progresión geométrica.
