Distribución uniforme.Valor aleatorio X tiene el significado de las coordenadas de un punto elegido al azar en un segmento

[a, b. Densidad uniforme distribución de variables aleatorias X(Figura 10.5, A) Puede ser definido como:

Arroz. 10.5. Distribución uniforme de una variable aleatoria: A- densidad de distribución; b- función de distribución

Función de distribución de variables aleatorias X tiene la forma:

La gráfica de la función de distribución uniforme se muestra en la Fig. 10.5, b.

Calculamos la transformada de Laplace de una distribución uniforme usando (10.3):

El valor esperado y la varianza se calculan fácilmente directamente a partir de las definiciones correspondientes:

También se pueden obtener fórmulas similares para la expectativa matemática y la dispersión utilizando la transformada de Laplace utilizando las fórmulas (10.8), (10.9).

Consideremos un ejemplo de un sistema de servicios que puede describirse mediante una distribución uniforme.

El tráfico en la intersección está regulado por un semáforo automático, en el que la luz verde está encendida durante 1 minuto y la roja durante 0,5 minutos. Los conductores se acercan a una intersección en momentos aleatorios tiempo con una distribución uniforme no relacionada con el funcionamiento del semáforo. Encontremos la probabilidad de que un automóvil pase la intersección sin detenerse.

El momento en que un automóvil pasa por la intersección se distribuye uniformemente en el intervalo 1 + 0,5 = 1,5 minutos. El automóvil pasará por la intersección sin detenerse si el momento de pasar la intersección cae dentro del intervalo de tiempo. Para una variable aleatoria distribuida uniformemente en un intervalo, la probabilidad de caer en el intervalo es 1/1,5 = 2/3. El tiempo de espera Гож es una variable aleatoria mixta. Con probabilidad 2/3 es igual a cero, y con probabilidad 0,5/1,5 toma cualquier valor entre 0 y 0,5 min. Por lo tanto, el tiempo promedio de espera y la variación en la intersección

Distribución exponencial (exponencial). Para una distribución exponencial, la densidad de distribución de una variable aleatoria se puede escribir como:

donde A se llama parámetro de distribución.

El gráfico de densidad de probabilidad de la distribución exponencial se muestra en la Fig. 10.6, A.

La función de distribución de una variable aleatoria con distribución exponencial tiene la forma

Arroz. 10.6. Distribución exponencial de una variable aleatoria: A- densidad de distribución; b - función de distribución

La gráfica de la función de distribución exponencial se muestra en la Fig. 10.6, 6.

Calculamos la transformada de Laplace de la distribución exponencial usando (10.3):

Demostremos que para una variable aleatoria X, teniendo una distribución exponencial, valor esperado igual a la desviación estándar a e inversamente al parámetro A:

Así, para la distribución exponencial tenemos: También se puede demostrar que

aquellos. La distribución exponencial está completamente caracterizada por la media o parámetro. X .

La distribución exponencial tiene un número. propiedades útiles, que se utilizan en el modelado de sistemas de servicios. Por ejemplo, no tiene memoria. Cuando , Eso

En otras palabras, si la variable aleatoria corresponde al tiempo, entonces la distribución de la duración restante no depende del tiempo que ya pasó. Esta propiedad se ilustra en la Fig. 10.7.

Arroz. 10.7.

Consideremos un ejemplo de un sistema cuyos parámetros operativos pueden describirse mediante una distribución exponencial.

Cuando un dispositivo funciona, se producen fallos de funcionamiento en momentos aleatorios. Tiempo de funcionamiento del dispositivo t desde su encendido hasta que ocurre el mal funcionamiento se distribuye según una ley exponencial con el parámetro X. Si se detecta un mal funcionamiento, el dispositivo entra inmediatamente en reparación, lo que dura un tiempo / 0. Encontremos la función de densidad y distribución del intervalo de tiempo Г entre dos fallas adyacentes, la expectativa matemática y la dispersión, así como la probabilidad de que el tiempo T x habra mas 2t0.

Desde entonces

Distribución normal. Normal es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua, que se describe por la densidad

De (10.48) se sigue que distribución normal determinado por dos parámetros: expectativa matemática t y dispersión a 2. Gráfico de densidad de probabilidad de una variable aleatoria con distribución normal en t= 0 y 2 = 1 se muestra en la Fig. 10.8, A.

Arroz. 10.8. Ley de distribución normal de una variable aleatoria en t= 0, punto 2 = 1: A- densidad de probabilidad; 6 - función de distribución

La función de distribución se describe mediante la fórmula.

Gráfica de la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria distribuida normalmente en t= 0 y 2 = 1 se muestra en la Fig. 10.8, b.

Determinemos la probabilidad de que X tomará un valor perteneciente al intervalo (a, p):

Dónde es la función de Laplace y la probabilidad de que

Qué valor absoluto desviaciones menores que el número positivo 6:

En particular, cuando t= 0 la igualdad es verdadera:

Como puede ver, una variable aleatoria con distribución normal puede tomar valores tanto positivos como negativos. Por tanto, para calcular los momentos es necesario utilizar la transformada de Laplace de dos vías.

Sin embargo, esta integral no necesariamente existe. Si existe, en lugar de (10.50) se suele utilizar la expresión

Lo que es llamado función característica o Función generadora de momentos.

Calculemos la función generadora de los momentos de la distribución normal usando la fórmula (10.51):

Después de transformar el numerador de la expresión subexponencial a la forma obtenemos

Integral

ya que es la integral de la densidad de probabilidad normal con los parámetros t + entonces 2 y un 2. Por eso,

Derivando (10.52), obtenemos

De estas expresiones se pueden encontrar los siguientes puntos:

La distribución normal se usa ampliamente en la práctica, ya que, según el teorema del límite central, si una variable aleatoria es la suma de un número muy grande de variables aleatorias mutuamente independientes, la influencia de cada una de las cuales en la suma total es insignificante, entonces Tiene una distribución cercana a la normal.

Consideremos un ejemplo de un sistema cuyos parámetros pueden describirse mediante una distribución normal.

La empresa produce una pieza de un tamaño determinado. La calidad de una pieza se evalúa midiendo su tamaño. Los errores de medición aleatorios están sujetos a la ley normal con desviación estándar. A - Mmmmm. Encontremos la probabilidad de que el error de medición no supere los 15 micrones.

De (10.49) encontramos

Para facilitar el uso de las distribuciones consideradas, resumimos las fórmulas obtenidas en la Tabla. 10.1 y 10.2.

Tabla 10.1. Características básicas de las distribuciones continuas.

Tabla 10.2. Generando funciones de distribuciones continuas.

PREGUNTAS DE CONTROL

• 1. ¿Qué distribuciones de probabilidad se consideran continuas?
• 2. ¿Qué es la transformada de Laplace-Stieltjes? ¿Para qué se usa esto?
• 3. ¿Cómo calcular los momentos de variables aleatorias utilizando la transformada de Laplace-Stieltjes?
• 4. ¿Qué es la transformada de Laplace de una suma de variables aleatorias independientes?
• 5. ¿Cómo calcular el tiempo promedio y la varianza del tiempo que un sistema pasa de un estado a otro usando gráficos de señales?
• 6. Indique las principales características de la distribución uniforme. Dé ejemplos de su uso en tareas de servicio.
• 7. Da las principales características de la distribución exponencial. Dé ejemplos de su uso en tareas de servicio.
• 8. Dé las principales características de una distribución normal. Dé ejemplos de su uso en tareas de servicio.

Capítulo 6. Variables aleatorias continuas.

§ 1. Función de densidad y distribución de una variable aleatoria continua.

El conjunto de valores de una variable aleatoria continua es incontable y suele representar algún intervalo finito o infinito.

Una variable aleatoria x(w) definida en un espacio de probabilidad (W, S, P) se llama continuo(absolutamente continua) W, si existe una función no negativa tal que para cualquier x la función de distribución Fx(x) se pueda representar como una integral

La función se llama función. densidades de distribución de probabilidad.

La definición implica las propiedades de la función de densidad de distribución:

1..gif" ancho="97" alto="51">

3. En puntos de continuidad, la densidad de distribución es igual a la derivada de la función de distribución: .

4. La densidad de distribución determina la ley de distribución de una variable aleatoria, ya que determina la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el intervalo:

5. La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor específico es cero: . Por tanto, son válidas las siguientes igualdades:

La gráfica de la función de densidad de distribución se llama curva de distribución, y el área delimitada por la curva de distribución y el eje x es igual a la unidad. Entonces, geométricamente, el valor de la función de distribución Fx(x) en el punto x0 es el área limitada por la curva de distribución y el eje x y que se encuentra a la izquierda del punto x0.

Tarea 1. La función de densidad de una variable aleatoria continua tiene la forma:

Determine la constante C, construya la función de distribución Fx(x) y calcule la probabilidad.

Solución. La constante C se encuentra a partir de la condición Tenemos:

de donde C=3/8.

Para construir la función de distribución Fx(x), tenga en cuenta que el intervalo divide el rango de valores del argumento x (eje numérico) en tres partes: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" ancho="264 " alto="49">

ya que la densidad x en el semieje es cero. En el segundo caso

Finalmente, en el último caso, cuando x>2,

Dado que la densidad desaparece en el semieje. Entonces, se obtiene la función de distribución.

Probabilidad Calculemos usando la fórmula. De este modo,

§ 2. Características numéricas de una variable aleatoria continua

Valor esperado para variables aleatorias distribuidas continuamente está determinada por la fórmula https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

si la integral de la derecha converge absolutamente.

Dispersión x se puede calcular usando la fórmula , y también, como en el caso discreto, según la fórmula https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Todas las propiedades de expectativa matemática y dispersión dadas en el Capítulo 5 para variables aleatorias discretas también son válidas para variables aleatorias continuas.

Problema 2. Para la variable aleatoria x del problema 1, calcule la expectativa matemática y la varianza .

Solución.

Y eso significa

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Para ver un gráfico de densidad de distribución uniforme, consulte la Fig. .

Fig.6.2. Función de distribución y densidad de distribución. ley uniforme

La función de distribución Fx(x) de una variable aleatoria distribuida uniformemente es igual a

Fx(x)=

Expectativa y variación; .

Distribución exponencial (exponencial). Una variable aleatoria continua x que toma valores no negativos tiene una distribución exponencial con parámetro l>0 si la distribución de densidad de probabilidad de la variable aleatoria es igual a

ðx(x)=

Arroz. 6.3. Función de distribución y densidad de distribución de la ley exponencial.

La función de distribución de la distribución exponencial tiene la forma.

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" ancho="17" alto="41">.gif" ancho="13" alto="15"> y si su densidad de distribución es igual a

.

A través denota el conjunto de todas las variables aleatorias distribuidas según una ley normal con parámetros parámetros y .

La función de distribución de una variable aleatoria normalmente distribuida es igual a

.

Arroz. 6.4. Función de distribución y densidad de distribución normal.

Los parámetros de la distribución normal son la expectativa matemática https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

En el caso especial cuando https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> se llama distribución normal estándar, y la clase de dichas distribuciones se indica con https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

y la función de distribución

Una integral de este tipo no se puede calcular analíticamente (no se toma en "cuadraturas") y, por lo tanto, se han compilado tablas para la función. La función está relacionada con la función de Laplace introducida en el Capítulo 4.

,

por la siguiente relación . En el caso de valores de parámetros arbitrarios https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> la función de distribución de una variable aleatoria se relaciona con la función de Laplace mediante la relación:

.

Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria distribuida normalmente caiga en un intervalo se puede calcular mediante la fórmula

.

Una variable aleatoria no negativa x se llama distribución lognormal si su logaritmo h=lnx obedece la ley normal. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria distribuida lognormalmente son Mx= y Dx=.

Tarea 3. Dejemos que se proporcione una variable aleatoria https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Solución. Aquí https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Distribución de Laplace viene dada por la función fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> y la curtosis es gx=3.

Fig.6.5. Función de densidad de distribución de Laplace.

La variable aleatoria x se distribuye sobre ley de weibull, si tiene una función de densidad de distribución igual a https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

La distribución Weibull regula los tiempos de funcionamiento sin fallos de muchos dispositivos técnicos. En tareas de este perfil característica importante es la tasa de fracaso (tasa de mortalidad) l(t) de los elementos estudiados de edad t, determinada por la relación l(t)=. Si a=1, entonces la distribución de Weibull se convierte en una distribución exponencial, y si a=2 - en la llamada distribución Rayleigh.

Expectativa matemática de la distribución de Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, donde Г(а) es Euler función. .

EN varias tareas En la estadística aplicada, a menudo se encuentran las llamadas distribuciones "truncadas". Por ejemplo, las autoridades tributarias están interesadas en la distribución del ingreso de aquellas personas cuyos ingresos anuales exceden un cierto umbral c0 establecido por las leyes tributarias. Estas distribuciones resultan coincidir aproximadamente con la distribución de Pareto. distribución de Pareto dado por funciones

Fx(x)=P(x) .gif" width="44" height="25"> de una variable aleatoria x y una función monotónica diferenciable ..gif" width="200" height="51">

Aquí https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Tarea 4. La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Encuentra la densidad de una variable aleatoria.

Solución. De las condiciones del problema se deduce que

A continuación, la función es una función monótona y diferenciable en un intervalo y tiene una función inversa , cuya derivada es igual a Por lo tanto,

§ 5. Par de variables aleatorias continuas

Sean dadas dos variables aleatorias continuas x y h. Entonces el par (x, h) define un punto "aleatorio" en el plano. El par (x, h) se llama vector aleatorio o variable aleatoria bidimensional.

Función de distribución conjunta variables aleatorias x y h y la función se llama F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. densidad articular La distribución de probabilidad de las variables aleatorias x y h se llama función tal que .

El significado de esta definición de densidad de distribución conjunta es el siguiente. La probabilidad de que un "punto aleatorio" (x, h) caiga en una región de un plano se calcula como el volumen de una figura tridimensional: un cilindro "curvilíneo" delimitado por la superficie https://pandia.ru/ texto/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

El ejemplo más simple de una distribución conjunta de dos variables aleatorias es la distribución bidimensional. distribución uniforme en el setA. Sea un conjunto acotado M con área. Se define como la distribución del par (x, h), definida por la siguiente densidad conjunta:

Tarea 5. Sea un vector aleatorio bidimensional (x, h) distribuido uniformemente dentro del triángulo. Calcula la probabilidad de la desigualdad x>h.

Solución. El área del triángulo indicado es igual a (ver Fig. No.?). En virtud de la definición de una distribución uniforme bidimensional, la densidad conjunta de variables aleatorias x, h es igual a

Un evento corresponde a un conjunto en un plano, es decir, en un semiplano. Entonces la probabilidad

En el semiplano B, la densidad de la junta es cero fuera del conjunto https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Por lo tanto, el el semiplano B se divide en dos conjuntos y https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> y , y la segunda integral es igual a cero, ya que la densidad conjunta allí es igual a cero. Es por eso

Si se da la densidad de distribución conjunta para un par (x, h), entonces las densidades de ambos componentes x y h se llaman densidades privadas y se calculan mediante las fórmulas:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Para variables aleatorias distribuidas continuamente con densidades рx(х), рh(у), la independencia significa que

Tarea 6. En las condiciones del problema anterior, determine si las componentes del vector aleatorio x y h son independientes.

Solución. Calculemos las densidades parciales y . Tenemos:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Obviamente, en nuestro caso https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> es la densidad conjunta de las cantidades x, h, y j( x, y) es una función de dos argumentos, entonces

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Tarea 7. En las condiciones del problema anterior, calcula .

Solución. Según la fórmula anterior tenemos:

.

Representando el triángulo como

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" ancho="479" alto="59">

§ 5. Densidad de la suma de dos variables aleatorias continuas

Sean x y h variables aleatorias independientes con densidades https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. La densidad de la variable aleatoria x + h se calcula mediante la fórmula circunvolución

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Calcula la densidad de la suma.

Solución. Dado que x y h se distribuyen según la ley exponencial con el parámetro , sus densidades son iguales

Por eso,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" ancho="339 altura=51" altura="51">

si x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">es negativo y por lo tanto . Por lo tanto, si https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Así obtuvimos la respuesta:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> se distribuye normalmente con los parámetros 0 y 1. Las variables aleatorias x1 y x2 son independientes y tienen valores normales. distribuciones con parámetros a1 y a2, respectivamente. Demuestre que x1 + x2 tiene una distribución normal. Las variables aleatorias x1, x2, ... xn están distribuidas y son independientes y tienen la misma función de densidad de distribución.

.

Encuentre la función de distribución y la densidad de distribución de valores:

a) h1 = mín (x1, x2, ...xn); b) h(2) = máx (x1,x2, ... xn)

Las variables aleatorias x1, x2, ... xn son independientes y están distribuidas uniformemente en el intervalo [a, b]. Encuentre funciones de distribución y funciones de densidad de distribuciones de cantidades.

x(1) = mín (x1,x2, ... xn) y x(2)= máx(x1, x2, ...xn).

Demuestre que Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

La variable aleatoria se distribuye según la ley de Cauchy Encuentre: a) coeficiente a; b) función de distribución; c) la probabilidad de caer en el intervalo (-1, 1). Demuestre que la expectativa matemática de x no existe. La variable aleatoria está sujeta a la ley de Laplace con el parámetro l (l>0): Encuentre el coeficiente a; construir gráficos de densidad de distribución y funciones de distribución; encontrar Mx y Dx; encuentre las probabilidades de eventos (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Escriba una fórmula para la densidad de distribución, encuentre Mx y Dx.

Tareas computacionales.

Un punto aleatorio A tiene una distribución uniforme en un círculo de radio R. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de la distancia r del punto al centro del círculo. Demuestre que el valor r2 está distribuido uniformemente en el segmento.

La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma:

Calcule la constante C, la función de distribución F(x) y la probabilidad. La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma:

Calcule la constante C, la función de distribución F(x) y la probabilidad. La densidad de distribución de una variable aleatoria tiene la forma:
Calcule la constante C, la función de distribución F(x), la varianza y la probabilidad. Una variable aleatoria tiene una función de distribución.

Calcular la densidad de una variable aleatoria, expectativa matemática, varianza y probabilidad. Comprobar que la función =
puede ser una función de distribución de una variable aleatoria. Encuentra las características numéricas de esta cantidad: Mx y Dx. La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Anota la densidad de distribución. Encuentra la función de distribución. Encuentre la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en el segmento y en el segmento. La densidad de distribución x es igual a

.

Encuentre la constante c, la densidad de distribución h = y la probabilidad

P (0,25

El tiempo de funcionamiento sin fallos de una computadora se distribuye según una ley exponencial con el parámetro l = 0,05 (fallos por hora), es decir, tiene una función de densidad

pag(x) = .

Resolver un determinado problema requiere un funcionamiento sin problemas de la máquina durante 15 minutos. Si se produce una falla al resolver un problema, el error se detecta solo después de que se completa la solución y el problema se resuelve nuevamente. Encuentre: a) la probabilidad de que durante la solución del problema no ocurra ni una sola falla; b) el tiempo promedio en que se resolverá el problema.

Una varilla de 24 cm de largo se parte en dos partes; Supondremos que el punto de rotura se distribuye uniformemente a lo largo de toda la varilla. ¿Cuál es la longitud promedio de la mayor parte de la varilla? Un trozo de 12 cm de largo se corta al azar en dos partes. El punto de corte se distribuye uniformemente a lo largo de todo el segmento. ¿Cuál es la longitud promedio de la pequeña parte del segmento? La variable aleatoria se distribuye uniformemente en el segmento. Encuentre la densidad de distribución de la variable aleatoria a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Demuestre que si x tiene una función de distribución continua

F(x) = P(x

Encuentre la función de densidad y la función de distribución de la suma de dos cantidades independientes x y h con leyes de distribución uniforme en los segmentos y, respectivamente. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y, respectivamente. Calcula la densidad de la suma x+h. Las variables aleatorias son independientes y tienen una distribución exponencial con densidad. . Encuentre la densidad de distribución de su suma. Encuentre la distribución de la suma de las variables aleatorias independientes x y h, donde x tiene una distribución uniforme en el intervalo y h tiene una distribución exponencial con parámetro l. Encuentra P , si x tiene: a) distribución normal con parámetros a y s2; b) distribución exponencial con parámetro l; c) distribución uniforme en el segmento [-1;1]. La distribución conjunta de x, h es uniforme al cuadrado.
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). encontrar probabilidad . ¿Son x y h independientes? Un par de variables aleatorias x y h están distribuidas uniformemente dentro del triángulo K=. Calcule las densidades x y h. ¿Son independientes estas variables aleatorias? Encuentra la probabilidad. Las variables aleatorias x y h son independientes y están distribuidas uniformemente en los segmentos y [-1,1]. Encuentra la probabilidad. Una variable aleatoria bidimensional (x, h) está distribuida uniformemente en un cuadrado con vértices (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Encuentre el valor de la función de distribución conjunta en el punto (1, -1). Un vector aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente dentro de un círculo de radio 3 con centro en el origen. Escribe una expresión para la densidad de distribución conjunta. Determine si estas variables aleatorias son dependientes. Calcular la probabilidad. Un par de variables aleatorias x y h están distribuidas uniformemente dentro de un trapezoide con vértices en los puntos (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Encuentre la densidad de distribución conjunta para este par de variables aleatorias y la densidad de los componentes. ¿Son x y h dependientes? Un par aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente dentro de un semicírculo. Encuentre las densidades x y h, investigue la cuestión de su dependencia. La densidad conjunta de dos variables aleatorias x y h es igual a .
Encuentre las densidades x, h. Investigue la cuestión de la dependencia de x y h. Un par aleatorio (x, h) está distribuido uniformemente en el conjunto. Encuentre las densidades x y h, investigue la cuestión de su dependencia. Encuentre M(xh). Las variables aleatorias x y h son independientes y se distribuyen según la ley exponencial con el parámetro Encontrar

Con cuya ayuda se simulan muchos procesos reales. Y el ejemplo más común es el horario del transporte público. Supongamos que un determinado autobús (trolebús/tranvía) sale cada 10 minutos y te detienes en un momento aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que el autobús llegue en 1 minuto? Obviamente 1/10. ¿Cuál es la probabilidad de que tengas que esperar de 4 a 5 minutos? Mismo . ¿Cuál es la probabilidad de que tengas que esperar más de 9 minutos por un autobús? ¡Un décimo!

Consideremos algunos finito intervalo, dejemos que sea un segmento. Si valor aleatorio tiene constante densidad de distribución de probabilidad en un segmento dado y densidad cero fuera de él, entonces dicen que está distribuido igualmente. En este caso, la función de densidad quedará estrictamente definida:

De hecho, si la longitud del segmento (ver dibujo) es , entonces el valor es inevitablemente igual, de modo que se obtiene la unidad de área del rectángulo y se observa propiedad conocida:


Comprobémoslo formalmente:
, etc. Desde un punto de vista probabilístico, esto significa que la variable aleatoria seguramente tomará uno de los valores del segmento..., eh, poco a poco me estoy volviendo un viejo aburrido =)

La esencia de la uniformidad es que cualquier brecha interna longitud fija no hemos considerado (recuerde los minutos del “autobús”)– la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor de este intervalo será la misma. En el dibujo he sombreado las tres de tales probabilidades; una vez más enfatizo que están determinados por áreas, ¡no valores de función!

Consideremos una tarea típica:

Ejemplo 1

Una variable aleatoria continua se especifica por su densidad de distribución:

Encuentre la constante, calcule y componga la función de distribución. Construir gráficos. Encontrar

En otras palabras, todo lo que puedas soñar :)

Solución: desde en el intervalo (intervalo finito) , entonces la variable aleatoria tiene una distribución uniforme y el valor de "ce" se puede encontrar usando la fórmula directa . Pero es mejor en términos generales, usando una propiedad:

...¿por qué es mejor? Para que no haya preguntas innecesarias;)

Entonces la función de densidad es:

Hagamos el dibujo. Valores imposible , y por lo tanto los puntos en negrita se colocan debajo:


Como comprobación rápida, calculemos el área del rectángulo:
, etc.

Encontremos valor esperado, y probablemente ya puedas adivinar a qué equivale. Recuerda el autobús de “10 minutos”: si aleatoriamente acercándose a la parada durante muchos, muchos días, luego promedio Tendrás que esperarlo durante 5 minutos.

Sí, así es: la expectativa debe estar exactamente en el medio del intervalo del "evento":
, como se esperaba.

Calculemos la varianza usando fórmula . Y aquí necesitas ojo y ojo a la hora de calcular la integral:

De este modo, dispersión:

vamos a componer función de distribución . Nada nuevo aquí:

1) si , entonces y ;

2) si , entonces y:

3) y finalmente, cuando , Es por eso:

Como resultado:

Hagamos el dibujo:


En el intervalo “vivo”, la función de distribución creciente lineal, y esta es otra señal de que tenemos una variable aleatoria distribuida uniformemente. Bueno, por supuesto, después de todo. derivado función lineal- hay una constante.

La probabilidad requerida se puede calcular de dos maneras, utilizando la función de distribución encontrada:

o usando una cierta integral de densidad:

A quien le guste.

Y aquí también puedes escribir respuesta: ,
, las gráficas se construyen a lo largo de la solución.

... “es posible” porque normalmente no hay castigo por su ausencia. Generalmente;)

Existen fórmulas especiales para calcular una variable aleatoria uniforme, que le sugiero que obtenga usted mismo:

Ejemplo 2

Una variable aleatoria continua está dada por la densidad. .

Calcule la expectativa matemática y la varianza. Simplifica los resultados tanto como sea posible. (fórmulas de multiplicación abreviadas ayudar).

Las fórmulas resultantes son convenientes para verificar; en particular, verifique el problema que acaba de resolver sustituyéndolas por valores específicos de “a” y “b”. Breve solución al final de la página.

Y al final de la lección, veremos un par de problemas de “texto”:

Ejemplo 3

El valor de división de escala del dispositivo de medición es 0,2. Las lecturas del instrumento se redondean a la división entera más cercana. Suponiendo que los errores de redondeo se distribuyen uniformemente, encuentre la probabilidad de que en la siguiente medición no supere 0,04.

Para un mejor entendimiento soluciones Imaginemos que se trata de una especie de dispositivo mecánico con una flecha, por ejemplo, una balanza con un valor de división de 0,2 kg, y tenemos que pesar un cerdo de un tirón. Pero no para descubrir su gordura; ahora será importante DÓNDE se detiene la flecha entre dos divisiones adyacentes.

Consideremos una variable aleatoria: distancia flechas de más cercano división izquierda. O desde el más cercano a la derecha, no importa.

Compongamos la función de densidad de probabilidad:

1) Como la distancia no puede ser negativa, entonces en el intervalo . Lógico.

2) De la condición se deduce que la flecha de la balanza con igual probabilidad puede detenerse en cualquier lugar entre divisiones * , incluidas las propias divisiones y, por tanto, en el intervalo:

* Esta es una condición esencial. Así, por ejemplo, al pesar trozos de algodón o paquetes de un kilogramo de sal, la uniformidad se mantendrá en intervalos mucho más estrechos.

3) Y dado que la distancia desde la división izquierda MÁS CERCANA no puede ser mayor que 0,2, entonces at también es igual a cero.

De este modo:

Cabe señalar que nadie nos preguntó sobre la función de densidad y presenté su construcción completa exclusivamente en cadenas cognitivas. Al finalizar la tarea, basta con anotar solo el segundo punto.

Ahora respondamos la pregunta del problema. ¿Cuándo el error al redondear a la división más cercana no excederá 0,04? Esto sucederá cuando la flecha se detenga a no más de 0,04 de la división izquierda a la derecha o no más de 0,04 de la división derecha izquierda. En el dibujo sombreé las áreas correspondientes:

Queda por encontrar estas áreas. usando integrales. En principio, se pueden calcular “al estilo escolar” (como las áreas de los rectángulos), pero no siempre se entiende la simplicidad;)

Por el teorema de la suma de probabilidades de eventos incompatibles:

– la probabilidad de que el error de redondeo no supere 0,04 (40 gramos para nuestro ejemplo)

Es fácil ver que el máximo error de redondeo posible es 0,1 (100 gramos) y por tanto probabilidad de que el error de redondeo no supere 0,1 igual a uno.

Respuesta: 0,4

Hay explicaciones/formulaciones alternativas de este problema en otras fuentes de información, y elegí la opción que me pareció más comprensible. Atención especial Es necesario prestar atención al hecho de que en la condición podemos hablar de errores NO de redondeo, sino de aleatorio errores de medición, que generalmente son (pero no siempre), DISTRIBUIDO por ley normal. De este modo, ¡Solo una palabra puede cambiar radicalmente tu decisión! Esté alerta y comprenda el significado.

Y en cuanto todo da vueltas, nuestros pies nos llevan a la misma parada de autobús:

Ejemplo 4

Los autobuses de una determinada ruta circulan estrictamente según lo previsto y cada 7 minutos. Formule una función de densidad de una variable aleatoria: el tiempo de espera para el siguiente autobús por parte de un pasajero que se acercó aleatoriamente a la parada. Calcula la probabilidad de que espere el autobús no más de tres minutos. Encuentre la función de distribución y explique su significado.

Como se mencionó anteriormente, ejemplos de distribuciones de probabilidad. variable aleatoria continua X son:

• distribución de probabilidad uniforme de una variable aleatoria continua;
• distribución de probabilidad exponencial de una variable aleatoria continua;
• distribución normal probabilidades de una variable aleatoria continua.

Demos el concepto de leyes de distribución uniforme y exponencial, fórmulas de probabilidad y características numéricas de las funciones consideradas.

Índice	Ley de distribución uniforme	Ley de distribución exponencial
Definición	llamado uniforme distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, cuya densidad permanece constante en el segmento y tiene la forma	Exponencial (exponencial) se llama distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, que se describe mediante una densidad que tiene la forma
		donde λ es un valor positivo constante
Función de distribución
Probabilidad cayendo en el intervalo
Valor esperado
Dispersión
Desviación Estándar

Ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "Leyes de distribución uniforme y exponencial"

Tarea 1.

Los autobuses circulan estrictamente según lo previsto. Intervalo de movimiento 7 min. Encuentre: a) la probabilidad de que un pasajero que llega a una parada espere menos de dos minutos por el siguiente autobús; b) la probabilidad de que un pasajero que llegue a una parada espere al menos tres minutos hasta el siguiente autobús; c) expectativa matemática y desviación estándar de la variable aleatoria X - tiempo de espera de los pasajeros.

Solución. 1. Según las condiciones del problema, una variable aleatoria continua X = (tiempo de espera de los pasajeros) Distribuidos equitativamente entre las llegadas de dos autobuses. La longitud del intervalo de distribución de la variable aleatoria X es igual a b-a=7, donde a=0, b=7.

2. El tiempo de espera será inferior a dos minutos si la variable aleatoria X cae en el intervalo (5;7). Encontramos la probabilidad de caer en un intervalo dado usando la fórmula: P(x1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. El tiempo de espera será de al menos tres minutos (es decir, de tres a siete minutos) si la variable aleatoria X cae en el intervalo (0;4). Encontramos la probabilidad de caer en un intervalo dado usando la fórmula: P(x1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. La expectativa matemática de una variable aleatoria X continua y distribuida uniformemente (el tiempo de espera del pasajero) se encontrará mediante la fórmula: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. La desviación estándar de una variable aleatoria continua X distribuida uniformemente (el tiempo de espera del pasajero) se encontrará mediante la fórmula: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

Tarea 2.

La distribución exponencial viene dada para x ≥ 0 por la densidad f(x) = 5e – 5x. Se requiere: a) escribir una expresión para la función de distribución; b) encontrar la probabilidad de que, como resultado de la prueba, X caiga en el intervalo (1;4); c) encontrar la probabilidad de que, como resultado de la prueba, X ≥ 2; d) calcular M(X), D(X), σ(X).

Solución. 1. Dado que se da la condición. distribución exponencial , entonces de la fórmula para la densidad de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X obtenemos λ = 5. Entonces la función de distribución tendrá la forma:

2. La probabilidad de que, como resultado de la prueba, X caiga en el intervalo (1;4) se obtendrá mediante la fórmula:
Pensilvania< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. La probabilidad de que, como resultado de la prueba, X ≥ 2 se encuentre mediante la fórmula: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Encuentre la distribución exponencial:

• expectativa matemática según la fórmula M(X) = 1/λ = 1/5 = 0,2;
• varianza según la fórmula D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• desviación estándar según la fórmula σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Esta cuestión se ha estudiado en detalle durante mucho tiempo, y el método más utilizado es el método de coordenadas polares, propuesto por George Box, Mervyn Muller y George Marsaglia en 1958. Este método le permite obtener un par de variables aleatorias independientes distribuidas normalmente con expectativa matemática 0 y varianza 1 de la siguiente manera:

Donde Z 0 y Z 1 son los valores deseados, s = u 2 + v 2, y u y v son variables aleatorias distribuidas uniformemente en el intervalo (-1, 1), seleccionadas de tal manera que se cumple la condición 0.< s < 1.
Muchas personas utilizan estas fórmulas sin siquiera pensarlo, y muchas ni siquiera sospechan de su existencia, ya que utilizan implementaciones ya preparadas. Pero hay gente que tiene dudas: “¿De dónde viene esta fórmula? ¿Y por qué recibes un par de cantidades a la vez? A continuación intentaré dar una respuesta clara a estas preguntas.

Para empezar, déjame recordarte qué son la densidad de probabilidad, la función de distribución de una variable aleatoria y la función inversa. Supongamos que existe una determinada variable aleatoria, cuya distribución está especificada por la función de densidad f(x), que tiene la siguiente forma:

Esto significa que la probabilidad de que el valor de una determinada variable aleatoria esté en el intervalo (A, B) es igual al área del área sombreada. Y como consecuencia, el área de toda el área sombreada debe ser igual a uno, ya que en cualquier caso el valor de la variable aleatoria caerá en el dominio de definición de la función f.
La función de distribución de una variable aleatoria es la integral de la función de densidad. Y en este caso su aspecto aproximado será así:

El significado aquí es que el valor de la variable aleatoria será menor que A con probabilidad B. Y como consecuencia, la función nunca disminuye y sus valores se encuentran en el intervalo.

Una función inversa es una función que devuelve un argumento a la función original si se le pasa el valor de la función original. Por ejemplo, para la función x 2 la inversa es la función de extraer la raíz, para sin(x) es arcsin(x), etc.

Dado que la mayoría de los generadores de números pseudoaleatorios sólo producen una distribución uniforme como salida, a menudo es necesario convertirla en otra distribución. En este caso, al gaussiano normal:

La base de todos los métodos para transformar una distribución uniforme en cualquier otra es el método de transformación inversa. Funciona de la siguiente manera. Se encuentra una función que es inversa a la función de la distribución requerida y se le pasa como argumento una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo (0, 1). En la salida obtenemos un valor con la distribución requerida. Para mayor claridad, proporciono la siguiente imagen.

De este modo, un segmento uniforme se extiende, por así decirlo, según la nueva distribución y se proyecta sobre otro eje mediante una función inversa. Pero el problema es que la integral de la densidad de una distribución gaussiana no es fácil de calcular, por lo que los científicos mencionados anteriormente tuvieron que hacer trampa.

Existe una distribución chi-cuadrado (distribución de Pearson), que es la distribución de la suma de cuadrados de k variables aleatorias normales independientes. Y en el caso de k = 2, esta distribución es exponencial.

Esto significa que si un punto en un sistema de coordenadas rectangular tiene coordenadas aleatorias X e Y distribuidas normalmente, luego de convertir estas coordenadas al sistema polar (r, θ), el cuadrado del radio (la distancia desde el origen al punto) se distribuirá según la ley exponencial, ya que el cuadrado del radio es la suma de los cuadrados de las coordenadas (según la ley de Pitágoras). La densidad de distribución de dichos puntos en el plano se verá así:

Como es igual en todas las direcciones, el ángulo θ tendrá una distribución uniforme en el rango de 0 a 2π. Lo contrario también es cierto: si define un punto en el sistema de coordenadas polares utilizando dos variables aleatorias independientes (un ángulo distribuido uniformemente y un radio distribuido exponencialmente), entonces las coordenadas rectangulares de este punto serán variables aleatorias normales independientes. Y es mucho más fácil obtener una distribución exponencial a partir de una uniforme utilizando el mismo método de transformación inversa. Ésta es la esencia del método polar de Box-Muller.
Ahora derivemos las fórmulas.

(1)

Para obtener r y θ, es necesario generar dos variables aleatorias distribuidas uniformemente en el intervalo (0, 1) (llamémoslas u y v), cuya distribución de una de las cuales (digamos v) debe convertirse a exponencial a obtener el radio. La función de distribución exponencial se ve así:

Su función inversa es:

Dado que la distribución uniforme es simétrica, la transformación funcionará de manera similar con la función

De la fórmula de distribución chi-cuadrado se deduce que λ = 0,5. Sustituye λ, v en esta función y obtienes el cuadrado del radio, y luego el radio mismo:

Obtenemos el ángulo estirando el segmento unitario a 2π:

Ahora sustituimos r y θ en las fórmulas (1) y obtenemos:

(2)

Estas fórmulas ya están listas para usar. X e Y serán independientes y se distribuirán normalmente con una varianza de 1 y una expectativa matemática de 0. Para obtener una distribución con otras características, basta con multiplicar el resultado de la función por la desviación estándar y sumar la expectativa matemática.
Pero es posible deshacerse de las funciones trigonométricas especificando el ángulo no directamente, sino indirectamente a través de las coordenadas rectangulares de un punto aleatorio en el círculo. Luego, a través de estas coordenadas, será posible calcular la longitud del radio vector, y luego encontrar el coseno y el seno dividiendo x e y por él, respectivamente. ¿Cómo y por qué funciona?
Elijamos un punto aleatorio entre los distribuidos uniformemente en un círculo de radio unitario y denotemos el cuadrado de la longitud del vector de radio de este punto con la letra s:

La selección se realiza especificando coordenadas rectangulares aleatorias x e y, distribuidas uniformemente en el intervalo (-1, 1), y descartando los puntos que no pertenecen al círculo, así como el punto central en el que se forma el ángulo del vector radio. no está definido. Es decir, se debe cumplir la condición 0.< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Obtenemos las fórmulas como al principio del artículo. La desventaja de este método es que descarta puntos que no están incluidos en el círculo. Es decir, utilizando sólo el 78,5% de las variables aleatorias generadas. En las computadoras más antiguas, la falta de funciones trigonométricas seguía siendo una gran ventaja. Ahora, cuando un comando de procesador calcula tanto el seno como el coseno en un instante, creo que estos métodos aún pueden competir.

Personalmente todavía tengo dos preguntas:

• ¿Por qué el valor de s se distribuye uniformemente?
• ¿Por qué la suma de los cuadrados de dos variables aleatorias normales está distribuida exponencialmente?

Dado que s es el cuadrado del radio (para simplificar, llamo radio a la longitud del vector de radio que especifica la posición de un punto aleatorio), primero descubrimos cómo se distribuyen los radios. Como el círculo se llena uniformemente, es obvio que el número de puntos con radio r es proporcional a la longitud del círculo de radio r. Y la circunferencia de un círculo es proporcional al radio. Esto significa que la densidad de distribución de los radios aumenta uniformemente desde el centro del círculo hasta sus bordes. Y la función de densidad tiene la forma f(x) = 2x en el intervalo (0, 1). Coeficiente 2 para que el área de la figura debajo de la gráfica sea igual a uno. Cuando dicha densidad se eleva al cuadrado, se vuelve uniforme. Ya que teóricamente en este caso es necesario dividir la función de densidad por su derivada de la función de transformación (es decir, x 2). Y claramente sucede así:

Si se realiza una transformación similar para una variable aleatoria normal, entonces la función de densidad de su cuadrado resultará similar a una hipérbola. Y la suma de dos cuadrados de variables aleatorias normales es un proceso mucho más complejo asociado con la doble integración. Y el hecho de que el resultado será una distribución exponencial, personalmente solo tengo que comprobarlo mediante un método práctico o aceptarlo como axioma. Y para aquellos que estén interesados, les sugiero que analicen más de cerca el tema, adquiriendo conocimientos de estos libros:

• Ventzel E.S. Teoría de probabilidad
• Knut D.E. El arte de programar, volumen 2

En conclusión, aquí hay un ejemplo de implementación de un generador de números aleatorios distribuidos normalmente en JavaScript:

Función Gauss() ( var listo = falso; var segundo = 0.0; this.next = función(media, dev) ( media = media == indefinido ? 0.0: media; dev = dev == indefinido ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; devuelve this.segundo * dev + media; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. aleatorio() - 1.0; s = u * u + v * v; mientras (s > 1.0 || s == 0.0); media ) ) g = nuevo Gauss(); // crea un objeto a = g.next(); // genera un par de valores y obtiene el primero b = g.next(); // obtenemos el segundo c = g.next(); // generamos un par de valores nuevamente y obtenemos el primero
Los parámetros media (expectativa matemática) y dev (desviación estándar) son opcionales. Llamo su atención sobre el hecho de que el logaritmo es natural.