En este video analizaremos un conjunto completo de ecuaciones lineales que se resuelven usando el mismo algoritmo; por eso se les llama los más simples.
Primero, definamos: ¿qué es una ecuación lineal y cuál se llama la más simple?
Una ecuación lineal es aquella en la que sólo hay una variable, y sólo de primer grado.
La ecuación más simple significa la construcción:
Todas las demás ecuaciones lineales se reducen a las más simples mediante el algoritmo:
- Amplíe los paréntesis, si los hubiera;
- Mueva los términos que contienen una variable a un lado del signo igual y los términos sin variable al otro;
- Dé términos similares a la izquierda y a la derecha del signo igual;
- Divide la ecuación resultante por el coeficiente de la variable $x$.
Por supuesto, este algoritmo no siempre ayuda. El hecho es que a veces, después de todas estas maquinaciones, el coeficiente de la variable $x$ resulta ser igual a cero. En este caso, son posibles dos opciones:
- La ecuación no tiene ninguna solución. Por ejemplo, cuando resulta algo como $0\cdot x=8$, es decir a la izquierda está el cero y a la derecha un número distinto de cero. En el vídeo a continuación veremos varias razones por las que esta situación es posible.
- La solución son todos los números. El único caso en el que esto es posible es cuando la ecuación se ha reducido a la construcción $0\cdot x=0$. Es bastante lógico que no importa qué $x$ sustituyamos, seguirá resultando “cero es igual a cero”, es decir igualdad numérica correcta.
Ahora veamos cómo funciona todo esto usando ejemplos de la vida real.
Ejemplos de resolución de ecuaciones.
Hoy nos ocupamos de ecuaciones lineales, y solo de las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contiene exactamente una variable y llega solo al primer grado.
Estas construcciones se resuelven aproximadamente de la misma forma:
- En primer lugar, debe ampliar los paréntesis, si los hay (como en nuestro último ejemplo);
- Luego combine similares
- Finalmente, aísle la variable, es decir mueva todo lo relacionado con la variable (los términos en los que está contenida) a un lado, y mueva todo lo que quede sin ella al otro lado.
Luego, como regla general, es necesario dar iguales en cada lado de la igualdad resultante, y luego solo queda dividir por el coeficiente "x", y obtendremos la respuesta final.
En teoría, esto parece bonito y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria experimentados pueden cometer errores ofensivos en ecuaciones lineales bastante simples. Por lo general, se cometen errores al abrir los paréntesis o al calcular los "más" y los "menos".
Además, sucede que una ecuación lineal no tiene solución alguna, o que la solución es la recta numérica entera, es decir cualquier número. Consideraremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendiste, con el mismo tareas simples.
Esquema para resolver ecuaciones lineales simples.
Primero, permítanme escribir una vez más el esquema completo para resolver las ecuaciones lineales más simples:
- Amplíe los corchetes, si los hay.
- Aislamos las variables, es decir Movemos todo lo que contiene “X” a un lado y todo lo que no tiene “X” al otro.
- Presentamos términos similares.
- Dividimos todo por el coeficiente de “x”.
Por supuesto, este esquema no siempre funciona; contiene ciertas sutilezas y trucos, y ahora los conoceremos.
Resolver ejemplos reales de ecuaciones lineales simples.
Tarea número 1
El primer paso requiere que abramos los corchetes. Pero no están en este ejemplo, por lo que nos saltamos este paso. En el segundo paso necesitamos aislar las variables. Tenga en cuenta: estamos hablando sólo de términos individuales. Anotémoslo:
Presentamos términos similares a izquierda y derecha, pero esto ya se ha hecho aquí. Por tanto, pasamos al cuarto paso: dividir por el coeficiente:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Entonces obtuvimos la respuesta.
Tarea número 2
Podemos ver los paréntesis en este problema, así que ampliémoslos:
Tanto a la izquierda como a la derecha vemos aproximadamente el mismo diseño, pero actuemos según el algoritmo, es decir. separando las variables:
Aquí hay algunos similares:
¿En qué raíces funciona esto? Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $x$ es cualquier número.
Tarea número 3
La tercera ecuación lineal es más interesante:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Aquí hay varios paréntesis, pero no se multiplican por nada, simplemente van precedidos de signos diferentes. Vamos a desglosarlos:
Realizamos el segundo paso que ya conocemos:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hagamos los cálculos:
Realizamos el último paso: dividimos todo por el coeficiente "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Cosas para recordar al resolver ecuaciones lineales
Si ignoramos tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:
- Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen solución; a veces simplemente no hay raíces;
- Incluso si hay raíces, puede que no haya ninguna entre ellas; eso no tiene nada de malo.
El cero es el mismo número que los demás; no debes discriminarlo de ninguna manera ni asumir que si obtienes cero, entonces hiciste algo mal.
Otra característica está relacionada con la apertura de corchetes. Tenga en cuenta: cuando hay un "menos" delante de ellos, lo eliminamos, pero entre paréntesis cambiamos los signos a opuesto. Y luego podemos abrirlo usando algoritmos estándar: obtendremos lo que vimos en los cálculos anteriores.
Comprender este simple hecho te ayudará a evitar cometer errores estúpidos e hirientes en la escuela secundaria, cuando hacer esas cosas se da por sentado.
Resolver ecuaciones lineales complejas
Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complejas y al realizar diversas transformaciones aparecerá una función cuadrática. Sin embargo, esto no debe tener miedo, porque si, según el plan del autor, resolvemos una ecuación lineal, durante el proceso de transformación todos los monomios que contienen una función cuadrática necesariamente se cancelarán.
Ejemplo No. 1
Evidentemente, el primer paso es abrir los corchetes. Hagamos esto con mucho cuidado:
Ahora echemos un vistazo a la privacidad:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Aquí hay algunos similares:
Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, así que escribiremos esto en la respuesta:
\[\varnada\]
o no hay raíces.
Ejemplo No. 2
Realizamos las mismas acciones. Primer paso:
Movamos todo con una variable hacia la izquierda y sin ella, hacia la derecha:
Aquí hay algunos similares:
Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, así que la escribiremos de esta manera:
\[\varnada\],
o no hay raíces.
Matices de la solución.
Ambas ecuaciones están completamente resueltas. Usando estas dos expresiones como ejemplo, una vez más nos convencimos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples, todo puede no ser tan simple: puede haber una, ninguna o infinitas raíces. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones, ambas simplemente no tienen raíces.
Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con paréntesis y cómo abrirlos si delante de ellos hay un signo menos. Considere esta expresión:
Antes de abrir, debes multiplicar todo por “X”. Tenga en cuenta: se multiplica cada término individual. En el interior hay dos términos, respectivamente, dos términos y multiplicados.
Y solo después de que se hayan completado estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, se puede abrir el corchete desde el punto de vista del hecho de que detrás de él hay un signo menos. Sí, sí: solo ahora, cuando se completan las transformaciones, recordamos que delante de los corchetes hay un signo menos, lo que significa que todo lo que está debajo simplemente cambia de signo. Al mismo tiempo, los corchetes desaparecen y, lo más importante, también desaparece el "menos" frontal.
Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:
No es casualidad que preste atención a estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Porque la resolución de ecuaciones es siempre una secuencia de transformaciones elementales, donde la incapacidad de realizar acciones simples de manera clara y competente lleva al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y nuevamente aprenden a resolver ecuaciones tan simples.
Por supuesto, llegará el día en que perfeccionarás estas habilidades hasta el punto de la automaticidad. Ya no tendrás que realizar tantas transformaciones cada vez; escribirás todo en una sola línea. Pero mientras recién estás aprendiendo, debes escribir cada acción por separado.
Resolver ecuaciones lineales aún más complejas
Lo que vamos a resolver ahora difícilmente puede considerarse la tarea más sencilla, pero el significado sigue siendo el mismo.
Tarea número 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Multipliquemos todos los elementos de la primera parte:
Hagamos algo de privacidad:
Aquí hay algunos similares:
Completemos el último paso:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar de que en el proceso de resolución teníamos coeficientes con función cuadrática, se cancelaron entre sí, lo que hace que la ecuación sea lineal y no cuadrática.
Tarea número 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Realicemos con cuidado el primer paso: multiplique cada elemento del primer paréntesis por cada elemento del segundo. Debería haber un total de cuatro términos nuevos después de las transformaciones:
Ahora realicemos cuidadosamente la multiplicación en cada término:
Movamos los términos con "X" hacia la izquierda y los que no la tienen, hacia la derecha:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Aquí hay términos similares:
Una vez más hemos recibido la respuesta final.
Matices de la solución.
La nota más importante sobre estas dos ecuaciones es la siguiente: en cuanto comenzamos a multiplicar paréntesis que contienen más de un término, esto se hace según la siguiente regla: tomamos el primer término del primero y multiplicamos con cada elemento de el segundo; luego tomamos el segundo elemento del primero y lo multiplicamos de manera similar con cada elemento del segundo. Como resultado, tendremos cuatro términos.
Sobre la suma algebraica
Con este último ejemplo, me gustaría recordar a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemáticas clásicas, por $1-7$ nos referimos a una construcción simple: restar siete a uno. En álgebra nos referimos a lo siguiente: al número "uno" le sumamos otro número, es decir, "menos siete". Ésta es la diferencia entre una suma algebraica y una suma aritmética ordinaria.
Tan pronto como, al realizar todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comiences a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrás ningún problema en álgebra cuando trabajes con polinomios y ecuaciones.
Finalmente, veamos un par de ejemplos más que serán aún más complejos que los que acabamos de ver, y para resolverlos tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.
Resolver ecuaciones con fracciones
Para resolver tales tareas, tendremos que agregar un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, déjame recordarte nuestro algoritmo:
- Abrir los soportes.
- Variables separadas.
- Trae unos similares.
- Dividir por la proporción.
Por desgracia, este maravilloso algoritmo, a pesar de su eficacia, resulta no del todo apropiado cuando tenemos fracciones frente a nosotros. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción tanto a la izquierda como a la derecha en ambas ecuaciones.
¿Cómo trabajar en este caso? ¡Sí, es muy sencillo! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede realizar tanto antes como después de la primera acción, es decir, deshacerse de las fracciones. Entonces el algoritmo será el siguiente:
- Deshazte de las fracciones.
- Abrir los soportes.
- Variables separadas.
- Trae unos similares.
- Dividir por la proporción.
¿Qué significa "deshacerse de las fracciones"? ¿Y por qué se puede hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas en su denominador, es decir En todas partes el denominador es sólo un número. Por tanto, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por este número, nos libraremos de las fracciones.
Ejemplo No. 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Eliminemos las fracciones en esta ecuación:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Tenga en cuenta: todo se multiplica por “cuatro” una vez, es decir Sólo porque tengas dos paréntesis no significa que tengas que multiplicar cada uno por "cuatro". Anotemos:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Ahora ampliemos:
Aislamos la variable:
Realizamos la reducción de términos similares:
\[-4x=-1\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Tenemos decisión definitiva, pasemos a la segunda ecuación.
Ejemplo No. 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Aquí realizamos las mismas acciones:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
El problema esta resuelto.
Eso, de hecho, es todo lo que quería contaros hoy.
Puntos clave
Los hallazgos clave son:
- Conoce el algoritmo para la resolución de ecuaciones lineales.
- Posibilidad de abrir corchetes.
- No te preocupes si ves funciones cuadráticas Lo más probable es que en el proceso de futuras transformaciones disminuyan.
- Hay tres tipos de raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples: una sola raíz, toda la recta numérica es una raíz y ninguna raíz.
Espero que esta lección te ayude a dominar un tema simple pero muy importante para una mayor comprensión de todas las matemáticas. Si algo no te queda claro, accede al sitio y resuelve los ejemplos allí presentados. ¡Estad atentos que os esperan muchas más cosas interesantes!
Ecuaciones lineales. Solución, ejemplos.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Ecuaciones lineales.
Ecuaciones lineales- no es el tema más difícil de las matemáticas escolares. Pero hay algunos trucos que pueden desconcertar incluso a un estudiante capacitado. ¿Vamos a resolverlo?)
Normalmente una ecuación lineal se define como una ecuación de la forma:
hacha + b = 0 Dónde a y B– cualquier número.
2x + 7 = 0. Aquí a = 2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Aquí a = 0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Aquí a = 12, b=1/2
Nada complicado, ¿verdad? Especialmente si no notas las palabras: "donde a y b son números cualesquiera"... ¿Y si te das cuenta y lo piensas descuidadamente?) Después de todo, si a = 0, b=0(¿algún número es posible?), entonces obtenemos una expresión divertida:
¡Pero eso no es todo! Si, digamos, a = 0, A b=5, Esto resulta ser algo completamente absurdo:
Lo cual es molesto y socava la confianza en las matemáticas, sí...) Especialmente durante los exámenes. ¡Pero entre estas extrañas expresiones también necesitas encontrar X! Que no existe en absoluto. Y, sorprendentemente, esta X es muy fácil de encontrar. Aprenderemos a hacer esto. En esta lección.
¿Cómo reconocer una ecuación lineal por su apariencia? De qué depende apariencia.) El truco es que las ecuaciones lineales no son sólo ecuaciones de la forma hacha + b = 0 , pero también cualquier ecuación que pueda reducirse a esta forma mediante transformaciones y simplificaciones. ¿Y quién sabe si baja o no?)
En algunos casos se puede reconocer claramente una ecuación lineal. Digamos, si tenemos una ecuación en la que solo hay incógnitas de primer grado y números. Y en la ecuación no hay fracciones divididas por desconocido , ¡es importante! y división por número, o una fracción numérica, ¡bienvenido! Por ejemplo:
Esta es una ecuación lineal. Aquí hay fracciones, pero no hay x en el cuadrado, cubo, etc., ni x en los denominadores, es decir. No división por x. Y aquí está la ecuación.
No se puede llamar lineal. Aquí las X están todas en primer grado, pero hay división por expresión con x. Después de simplificaciones y transformaciones, puedes obtener una ecuación lineal, una ecuación cuadrática o cualquier cosa que quieras.
Resulta que es imposible reconocer la ecuación lineal en algún ejemplo complicado hasta que casi la resuelves. Esto es perturbador. Pero en las tareas, por regla general, no preguntan sobre la forma de la ecuación, ¿verdad? Las tareas piden ecuaciones. decidir. Esto me hace feliz.)
Resolver ecuaciones lineales. Ejemplos.
Toda la solución de ecuaciones lineales consta de transformaciones idénticas de las ecuaciones. Por cierto, estas transformaciones (¡dos de ellas!) son la base de las soluciones. todas las ecuaciones de las matemáticas. En otras palabras, la solución cualquier la ecuación comienza con estas mismas transformaciones. En el caso de ecuaciones lineales, (la solución) se basa en estas transformaciones y termina con una respuesta completa. Tiene sentido seguir el enlace, ¿verdad?) Además, allí también hay ejemplos de resolución de ecuaciones lineales.
Primero, veamos el ejemplo más simple. Sin trampas. Supongamos que necesitamos resolver esta ecuación.
x - 3 = 2 - 4x
Esta es una ecuación lineal. Las X están todas en la primera potencia, no hay división por X. Pero, de hecho, no nos importa qué tipo de ecuación sea. Necesitamos resolverlo. El esquema aquí es simple. Recoge todo lo que tenga X en el lado izquierdo de la ecuación, todo lo que no tenga X (números) en el derecho.
Para hacer esto necesitas transferir - 4x en lado izquierdo, con cambio de signo, por supuesto, y - 3 - A la derecha. Por cierto, esto es la primera transformación idéntica de ecuaciones.¿Sorprendido? Esto significa que no seguiste el enlace, sino en vano...) Obtenemos:
x + 4x = 2 + 3
Aquí hay otros similares, consideramos:
¿Qué necesitamos para la felicidad completa? ¡Sí, para que quede una X pura a la izquierda! Cinco están en camino. Deshacerse de los cinco con la ayuda. la segunda transformación idéntica de ecuaciones. Es decir, dividimos ambos lados de la ecuación entre 5. Obtenemos una respuesta lista:
Un ejemplo elemental, por supuesto. Esto es para calentar.) ¿No está muy claro por qué recordé transformaciones idénticas aquí? DE ACUERDO. Tomemos el toro por los cuernos.) Decidamos algo más sólido.
Por ejemplo, aquí está la ecuación:
¿Donde empezamos? ¿Con X, a la izquierda, sin X, a la derecha? Podría ser así. Pequeños pasos en un largo camino. O puede hacerlo de forma inmediata, universal y de una manera poderosa. A menos, por supuesto, que tengas transformaciones idénticas de ecuaciones en tu arsenal.
Te hago una pregunta clave: ¿Qué es lo que más te disgusta de esta ecuación?
95 de cada 100 personas responderán: fracciones ! La respuesta es correcta. Así que deshagámonos de ellos. Por lo tanto, comenzamos inmediatamente con segunda transformación de identidad. ¿Por qué necesitas multiplicar la fracción de la izquierda para que el denominador se reduzca por completo? Así es, a las 3. ¿Y a la derecha? Por 4. Pero las matemáticas nos permiten multiplicar ambos lados por el mismo numero. ¿Cómo podemos salir? ¡Multipliquemos ambos lados por 12! Aquellos. a un denominador común. Entonces tanto el tres como el cuatro serán reducidos. No olvides que necesitas multiplicar cada parte. enteramente. Así es como se ve el primer paso:
Ampliando los corchetes:
¡Nota! Numerador (x+2)¡Lo puse entre paréntesis! Esto se debe a que al multiplicar fracciones, ¡se multiplica todo el numerador! Ahora puedes reducir fracciones:
Expanda los corchetes restantes:
¡No es un ejemplo, sino puro placer!) Ahora recordemos el hechizo de clases junior: con una X - a la izquierda, sin una X - ¡a la derecha! Y aplica esta transformación:
Aquí hay algunos similares:
Y divide ambas partes por 25, es decir aplicar la segunda transformación nuevamente:
Eso es todo. Respuesta: X=0,16
Tenga en cuenta: para darle una forma agradable a la confusa ecuación original, usamos dos (¡solo dos!) transformaciones de identidad– traducción de izquierda a derecha con cambio de signo y multiplicación-división de una ecuación por el mismo número. ¡Este es un método universal! Trabajaremos de esta manera con cualquier ecuaciones! Absolutamente cualquiera. Por eso sigo repitiendo tediosamente estas transformaciones idénticas.)
Como puedes ver, el principio de resolución de ecuaciones lineales es simple. Tomamos la ecuación y la simplificamos usando transformaciones idénticas hasta obtener la respuesta. Los principales problemas aquí están en los cálculos, no en el principio de solución.
Pero... Hay tales sorpresas en el proceso de resolución de las ecuaciones lineales más elementales que pueden llevarte a un fuerte estupor...) Afortunadamente, sólo puede haber dos de esas sorpresas. Llamémoslos casos especiales.
Casos especiales en la resolución de ecuaciones lineales.
Primera sorpresa.
Supongamos que te encuentras con una ecuación muy básica, algo como:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Un poco aburrido, lo movemos con una X hacia la izquierda, sin una X - hacia la derecha... Con un cambio de signo, todo es perfecto... Obtenemos:
2x-5x+3x=5-2-3
Contamos, y... ¡¡¡ups!!! Obtenemos:
Esta igualdad en sí misma no es objetable. Cero realmente es cero. ¡Pero falta X! Y debemos escribir en la respuesta, ¿A qué es igual x? De lo contrario, la solución no cuenta, ¿verdad...) Punto muerto?
¡Calma! En casos tan dudosos, las reglas más generales te salvarán. ¿Cómo resolver ecuaciones? ¿Qué significa resolver una ecuación? Esto significa, encuentre todos los valores de x que, cuando se sustituyen en ecuación original, nos dará la verdadera igualdad.
Pero tenemos verdadera igualdad. ya¡sucedió! 0=0, ¿cuánto más preciso? Queda por descubrir en qué x sucede esto. ¿En qué valores de X se pueden sustituir? original ecuación si estas x ¿Seguirán siendo reducidos a cero?¿Vamos?)
¡¡¡Sí!!! Las X se pueden sustituir. ¡cualquier!¿Cuáles quieres? Al menos 5, al menos 0,05, al menos -220. Todavía se encogerán. Si no me cree, puede comprobarlo). Sustituya cualquier valor de X en original ecuación y calcular. Todo el tiempo obtendrás la pura verdad: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 y así sucesivamente.
Aquí está tu respuesta: x - cualquier número.
La respuesta se puede escribir con diferentes símbolos matemáticos, la esencia no cambia. Esta es una respuesta completamente correcta y completa.
Segunda sorpresa.
Tomemos la misma ecuación lineal elemental y cambiemos solo un número en ella. Esto es lo que decidiremos:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Después de las mismas transformaciones idénticas, obtenemos algo intrigante:
Como esto. Resolvimos una ecuación lineal y obtuvimos una extraña igualdad. Discurso lenguaje matemático, tenemos falsa igualdad. y hablando en lenguaje sencillo, esto no es verdad. Delirio. Sin embargo, esta tontería es una muy buena razón para la solución correcta de la ecuación).
Nuevamente pensamos en base a reglas generales. Lo que x, cuando se sustituye en la ecuación original, nos dará verdadero¿igualdad? ¡Sí, ninguno! No existen tales X. No importa lo que pongas, todo se reducirá, solo quedarán tonterías).
Aquí está tu respuesta: no hay soluciones.
Esta también es una respuesta completamente completa. En matemáticas, estas respuestas se encuentran a menudo.
Como esto. Ahora, espero que la desaparición de las X en el proceso de resolver cualquier ecuación (no sólo lineal) no te confunda en absoluto. Este ya es un asunto familiar.)
Ahora que hemos abordado todos los problemas de las ecuaciones lineales, tiene sentido resolverlos.
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
En esta lección veremos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. En un curso de matemáticas superiores, los sistemas de ecuaciones lineales deben resolverse tanto en forma de tareas separadas, por ejemplo, "Resolver el sistema usando las fórmulas de Cramer", como durante la resolución de otros problemas. Los sistemas de ecuaciones lineales deben abordarse en casi todas las ramas de las matemáticas superiores.
Primero, un poco de teoría. Que en en este caso¿Qué significa la palabra matemática "lineal"? Esto significa que las ecuaciones del sistema Todo variables incluidas en primer grado: sin cosas sofisticadas como 
etc., que sólo entusiasman a los participantes en las Olimpíadas de Matemáticas.
En matemáticas superiores, no sólo se utilizan letras familiares desde la infancia para designar variables.
Una opción bastante popular son las variables con índices: .
O letras iniciales alfabeto latino, pequeños y grandes:
No es tan raro encontrar letras griegas: – conocidas por muchos como “alfa, beta, gamma”. Y también un conjunto con índices, digamos, con la letra “mu”:
El uso de uno u otro conjunto de letras depende del apartado de la matemática superior en el que nos encontremos ante un sistema de ecuaciones lineales. Entonces, por ejemplo, en sistemas de ecuaciones lineales que se encuentran al resolver integrales, ecuaciones diferenciales Es tradicional utilizar la notación.
Pero no importa cómo se designen las variables, los principios, métodos y métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales no cambian. Por lo tanto, si te encuentras con algo aterrador como , no te apresures a cerrar el libro de problemas con miedo; después de todo, puedes dibujar el sol, un pájaro y una cara (la maestra). Y, por curioso que parezca, un sistema de ecuaciones lineales con estas notaciones también se puede resolver.
Tengo la sensación de que el artículo resultará bastante largo, por lo que un pequeño índice. Entonces, el “debriefing” secuencial será así:
– Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de sustitución (“ metodo escolar»)
;
– Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.;
– Solución del sistema mediante fórmulas de Cramer.;
– Resolver el sistema usando una matriz inversa.;
– Resolver el sistema mediante el método gaussiano..
Todo el mundo está familiarizado con los sistemas de ecuaciones lineales de los cursos escolares de matemáticas. Básicamente, comenzamos con la repetición.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de sustitución.
Este método También se le puede llamar "método escolar" o método de eliminación de incógnitas. En sentido figurado, también se le puede llamar “un método gaussiano inacabado”.
Ejemplo 1
Aquí se nos da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Tenga en cuenta que los términos libres (números 5 y 7) se encuentran en el lado izquierdo de la ecuación. En general, no importa dónde estén, a la izquierda o a la derecha, lo que pasa es que en los problemas de matemáticas superiores a menudo se ubican de esa manera. Y tal grabación no debería dar lugar a confusión; si es necesario, el sistema siempre se puede escribir “como siempre”: . No olvides que al pasar un término de una parte a otra, es necesario cambiar de signo.
¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones lineales? Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar muchas de sus soluciones. La solución de un sistema es un conjunto de valores de todas las variables incluidas en él, lo que convierte CADA ecuación del sistema en una verdadera igualdad. Además, el sistema puede ser no conjunto (no tengo soluciones).No te preocupes, es definición general=) Tendremos solo un valor “x” y un valor “y”, que satisfacen cada ecuación s-we.
existe método gráfico solución del sistema, que se puede encontrar en clase Los problemas más simples con una línea.. Ahí hablé de sentido geométrico Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Pero ahora estamos en la era del álgebra y de los números-números, de las acciones-acciones.
Vamos a decidir: de la primera ecuación expresamos:
Sustituimos la expresión resultante en la segunda ecuación:
Abrimos los corchetes, sumamos términos similares y encontramos el valor: 
A continuación, recordamos para qué bailamos:
Ya sabemos el valor, solo queda encontrar:
Respuesta:
Después de que CUALQUIER sistema de ecuaciones se haya resuelto de CUALQUIER forma, recomiendo encarecidamente verificar (oralmente, en un borrador o en una calculadora). Afortunadamente, esto se hace fácil y rápidamente.
1) Sustituye la respuesta encontrada en la primera ecuación:
– se obtiene la igualdad correcta.
2) Sustituye la respuesta encontrada en la segunda ecuación: 
– se obtiene la igualdad correcta.
O, para decirlo más simplemente, “todo salió bien”.
El método de solución considerado no es el único; a partir de la primera ecuación se pudo expresar , y no .
Puedes hacer lo contrario: expresar algo de la segunda ecuación y sustituirlo en la primera ecuación. Por cierto, tenga en cuenta que el más desventajoso de los cuatro métodos es expresar a partir de la segunda ecuación:
El resultado son fracciones, pero ¿por qué? Hay una solución más racional.
Sin embargo, en algunos casos todavía no puedes prescindir de las fracciones. En este sentido, me gustaría llamar su atención sobre CÓMO escribí la expresión. No así: y en ningún caso así: 
.
Si en matemáticas superiores estás tratando con números fraccionarios, luego intenta realizar todos los cálculos en fracciones impropias ordinarias.
¡Exactamente, y no o!
La coma sólo se puede utilizar a veces, en particular, si es la respuesta final a algún problema y no es necesario realizar más acciones con este número.
Muchos lectores probablemente pensaron “¿por qué hacer esto? explicación detallada, como para una clase de corrección, así que todo está claro”. Nada de eso, parece tan simple. ejemplo de escuela¡Y cuántas conclusiones MUY importantes! Aqui hay otro más:
Debes esforzarte por completar cualquier tarea de la manera más racional.. Aunque sólo sea porque ahorra tiempo y nervios, y también reduce la probabilidad de cometer un error.
Si en un problema de matemáticas superiores te encuentras con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, siempre puedes utilizar el método de sustitución (a menos que se indique que el sistema debe resolverse mediante otro método, ni un solo profesor pensará). que eres un tonto y te bajarán la nota por usar el “método escolar””
Además, en algunos casos es recomendable utilizar el método de sustitución con un mayor número de variables.
Ejemplo 2
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
A menudo surge un sistema similar de ecuaciones cuando se utiliza el llamado método coeficientes inciertos cuando encontramos la integral de una función racional fraccionaria. El sistema en cuestión lo tomé yo desde allí.
Al encontrar la integral, el objetivo es rápido encontrar los valores de los coeficientes, y no recurrir a las fórmulas de Cramer, el método matriz inversa etc. Por tanto, en este caso, el método de sustitución es apropiado.
Cuando se da cualquier sistema de ecuaciones, en primer lugar es deseable saber si es posible simplificarlo de alguna manera INMEDIATAMENTE. Analizando las ecuaciones del sistema, notamos que la segunda ecuación del sistema se puede dividir por 2, que es lo que hacemos:
Referencia: el signo matemático significa "de esto se sigue aquello" y se utiliza a menudo en la resolución de problemas.
Ahora analicemos las ecuaciones; necesitamos expresar alguna variable en términos de las demás. ¿Qué ecuación debo elegir? Probablemente ya hayas adivinado que la forma más sencilla de lograr este propósito es tomar la primera ecuación del sistema:
Aquí, no importa qué variable expresar, uno podría expresar con la misma facilidad o .
A continuación, sustituimos la expresión for en la segunda y tercera ecuaciones del sistema: 
Abrimos los corchetes y presentamos términos similares: 
Divide la tercera ecuación por 2: 
De la segunda ecuación expresamos y sustituimos en la tercera ecuación:
Casi todo está listo, de la tercera ecuación encontramos:
De la segunda ecuación: 
De la primera ecuación:
Verificar: Sustituir los valores encontrados de las variables en el lado izquierdo de cada ecuación del sistema:
1)
2)
3)
Se obtienen los lados derechos correspondientes de las ecuaciones, por lo que la solución se encuentra correctamente.
Ejemplo 3
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con 4 incógnitas.
Este es un ejemplo para decisión independiente(respuesta al final de la lección).
Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema
Al resolver sistemas de ecuaciones lineales, debe intentar utilizar no el "método escolar", sino el método de suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema. ¿Por qué? Esto ahorra tiempo y simplifica los cálculos, sin embargo, ahora todo quedará más claro.
Ejemplo 4
Resolver un sistema de ecuaciones lineales: 
Tomé el mismo sistema que en el primer ejemplo.
Al analizar el sistema de ecuaciones, notamos que los coeficientes de la variable son idénticos en magnitud y de signo opuesto (–1 y 1). En tal situación, las ecuaciones se pueden sumar término por término: 
Las acciones marcadas en rojo se realizan MENTALMENTE.
Como puede ver, como resultado de la suma término por término, perdimos la variable. Esto, de hecho, es lo que la esencia del método es deshacerse de una de las variables.
Las ecuaciones lineales son un tema bastante inofensivo y comprensible en las matemáticas escolares. Pero, curiosamente, la cantidad de errores inesperados al resolver ecuaciones lineales es solo un poco menor que en otros temas. ecuaciones cuadráticas, logaritmos, trigonometría y otros. Las causas de la mayoría de los errores son transformaciones banales idénticas de ecuaciones. En primer lugar, se trata de confusión de signos al transferir términos de una parte de la ecuación a otra, así como errores al trabajar con fracciones y coeficientes fraccionarios. ¡Sí Sí! ¡Las fracciones también aparecen en ecuaciones lineales! Todo al rededor. A continuación definitivamente analizaremos esas ecuaciones malvadas).
Bueno, no jalemos al gato por la cola y empecemos a resolverlo, ¿vale? Luego lo leemos y profundizamos).
¿Qué es una ecuación lineal? Ejemplos.
Normalmente la ecuación lineal se ve así:
hacha + b = 0,
Donde a y b son números cualesquiera. De cualquier tipo: enteros, fraccionarios, negativos, irracionales: ¡puede haber cualquiera!
Por ejemplo:
7x + 1 = 0 (aquí a = 7, b = 1)
x – 3 = 0 (aquí a = 1, b = -3)
x/2 – 1,1 = 0 (aquí a = 1/2, b = -1,1)
En general, espero que lo entiendas). Todo es simple, como en un cuento de hadas. Por el momento... ¿Y si miras más de cerca la notación general ax+b=0 y piensas un poco? Después de todo, a y b son cualquier numero! Y si tenemos, digamos, a = 0 y b = 0 (¡se puede tomar cualquier número!), entonces ¿qué obtendremos?
0 = 0
¡Pero eso no es todo lo divertido! ¿Qué pasa si, digamos, a = 0, b = -10? Entonces resulta ser una especie de tontería:
0 = 10.
Lo cual es muy, muy molesto y socava la confianza en las matemáticas que hemos ganado con sudor y sangre... Especialmente durante las pruebas y exámenes. Pero a partir de estas igualdades extrañas e incomprensibles, ¡también necesitas encontrar X! ¡Que no existe en absoluto! Y aquí, incluso los estudiantes bien preparados a veces pueden caer en lo que se llama un estupor... ¡Pero no te preocupes! En esta lección también veremos todas esas sorpresas. Y definitivamente también encontraremos una X a partir de tales igualdades). Además, esta misma X se puede encontrar de manera muy, muy simple. ¡Sí Sí! Sorprendente pero cierto.)
Vale, eso es comprensible. Pero, ¿cómo puedes saber por la apariencia de la tarea que se trata de una ecuación lineal y no de otra ecuación? Desafortunadamente, no siempre es posible reconocer el tipo de ecuación simplemente por su apariencia. La cuestión es que no sólo se llaman lineales las ecuaciones de la forma ax+b=0, sino también cualquier otra ecuación que, mediante transformaciones idénticas, se reduzca, de una forma u otra, a esta forma. ¿Cómo saber si suma o no? Hasta que apenas puedas resolver el ejemplo, casi nada. Esto es perturbador. Pero para algunos tipos de ecuaciones, se puede saber inmediatamente con certeza de un vistazo si es lineal o no.
Para ello, veamos una vez más la estructura general de cualquier ecuación lineal:
hacha + b = 0
Tenga en cuenta: en la ecuación lineal Siempre sólo la variable x está presente en primer grado¡y algunos números! ¡Eso es todo! Nada más. Al mismo tiempo, no hay X en el cuadrado, en el cubo, debajo de la raíz, debajo del logaritmo y otras cosas exóticas. Y (¡lo más importante!) no hay fracciones con X en los denominadores! Pero las fracciones con números en los denominadores o división por numero- ¡fácilmente!
Por ejemplo:
Esta es una ecuación lineal. La ecuación contiene sólo X a la primera potencia y números. Y no hay X en potencias superiores: al cuadrado, al cubo, etc. Sí, aquí hay fracciones, pero al mismo tiempo los denominadores de las fracciones contienen sólo números. Es decir, dos y tres. En otras palabras, no hay división por x.
Y aquí está la ecuación.
Ya no se puede llamar lineal, aunque aquí también sólo hay números y X a la primera potencia. Porque, entre otras cosas, también hay fracciones. con x en los denominadores. Y después de simplificaciones y transformaciones, dicha ecuación puede convertirse en cualquier cosa: lineal, cuadrática, cualquier cosa.
¿Cómo resolver ecuaciones lineales? Ejemplos.
Entonces, ¿cómo se resuelven ecuaciones lineales? Sigue leyendo y sorpréndete.) La solución completa de ecuaciones lineales se basa solo en dos cosas principales. Enumerémoslos.
1) Un conjunto de acciones y reglas elementales de las matemáticas.
Estos son usar paréntesis, abrir paréntesis, trabajar con fracciones, trabajar con números negativos, tablas de multiplicar, etc. Estos conocimientos y habilidades son necesarios no sólo para resolver ecuaciones lineales, sino para todas las matemáticas en general. Y, si tienes problemas con esto, recuerda los grados inferiores. De lo contrario, lo pasarás mal...
2)
Sólo hay dos de ellos. ¡Sí Sí! Además, estas transformaciones de identidad muy básicas son la base de la solución no solo de ecuaciones lineales, sino también de cualquier ecuación matemática. En una palabra, la solución de cualquier otra ecuación: cuadrática, logarítmica, trigonométrica, irracional, etc. – por regla general, comienza con estas transformaciones muy básicas. Pero la solución de ecuaciones lineales, de hecho, termina con ellas (transformaciones). Respuesta lista.) Así que no seas perezoso y echa un vistazo al enlace.) Además, allí también se analizan en detalle las ecuaciones lineales.
Bueno, creo que es hora de empezar a mirar ejemplos.
Para empezar, a modo de calentamiento, veamos algunas cosas básicas. Sin fracciones ni otras campanas y silbidos. Por ejemplo, esta ecuación:
x – 2 = 4 – 5x
Esta es una ecuación lineal clásica. Todas las X están como máximo en la primera potencia y no hay división por X en ninguna parte. El esquema de solución en este tipo de ecuaciones es siempre el mismo y terriblemente simple: todos los términos con X deben colocarse a la izquierda y todos los términos sin X (es decir, números) deben colocarse a la derecha. Entonces comencemos a coleccionar.
Para ello, lanzamos la primera transformación de identidad. Necesitamos movernos -5x hacia la izquierda y -2x hacia la derecha. Con un cambio de signo, por supuesto.) Entonces transferimos:
x + 5x = 4 + 2
Aquí tienes. La mitad de la batalla está terminada: las X se han reunido en una pila, al igual que los números. Ahora presentamos los similares a la izquierda y los contamos a la derecha. Obtenemos:
6x = 6
¿Qué nos falta ahora para la felicidad completa? ¡Sí, para que la X pura quede a la izquierda! Y los seis se interponen en el camino. Cómo deshacerse de él? Ahora ejecutamos la segunda transformación de identidad: dividimos ambos lados de la ecuación entre 6. Y ¡listo! La respuesta está lista.)
x = 1
Por supuesto, el ejemplo es completamente primitivo. Para tener una idea general. Bueno, decidamos algo más significativo. Por ejemplo, veamos esta ecuación:
Veámoslo en detalle.) Esta también es una ecuación lineal, aunque parecería que aquí hay fracciones. Pero en fracciones hay división entre dos y hay división entre tres, ¡pero no hay división entre una expresión con X! Así que decidamos. Usando las mismas transformaciones idénticas, sí.)
¿Que deberiamos hacer primero? ¿Con X, a la izquierda, sin X, a la derecha? En principio esto es posible. Vuele a Sochi a través de Vladivostok). O puede tomar la ruta más corta, inmediatamente utilizando un método universal y poderoso. Si conoces las transformaciones de identidad, por supuesto).
Primero, hago una pregunta clave: ¿qué es lo que más te llama la atención y lo que más te disgusta de esta ecuación? 99 de cada 100 personas dirán: fracciones! Y tendrán razón.) Así que deshagámonos de ellos primero. Seguro para la ecuación en sí). Por lo tanto, comencemos de inmediato con segunda transformación de identidad- de la multiplicación. ¿Por qué debemos multiplicar el lado izquierdo para que el denominador se reduzca con éxito? Así es, un dos. A lado derecho? ¡Para tres! Pero... Las matemáticas son una dama caprichosa. Ella, como ves, requiere multiplicar solo ambos lados. ¡Por el mismo número! Multiplicar cada parte por su propio número no funciona... ¿Qué vamos a hacer? Algo... Busque un compromiso. Para satisfacer nuestros deseos (deshacernos de las fracciones) y no ofender a las matemáticas.) ¡Multipliquemos ambas partes por seis!) Es decir, por el denominador común de todas las fracciones incluidas en la ecuación. ¡Entonces, de un solo golpe, tanto los dos como los tres se reducirán!)
Así que multipliquemos. ¡Todo el lado izquierdo y todo el lado derecho! Por lo tanto, utilizamos paréntesis. Así es como se ve el procedimiento en sí:
Ahora abrimos estos mismos corchetes:
Ahora, representando 6 como 6/1, multipliquemos seis por cada una de las fracciones de la izquierda y de la derecha. Esta es la multiplicación habitual de fracciones, pero que así sea, la describiré en detalle:
Y aquí - ¡atención! ¡Puse el numerador (x-3) entre paréntesis! Todo esto se debe a que al multiplicar fracciones, el numerador se multiplica por completo, ¡por completo! Y la expresión x-3 debe trabajarse como una estructura integral. Pero si escribes el numerador así:
6x – 3,
Pero lo tenemos todo bien y necesitamos finalizarlo. ¿Qué hacer a continuación? ¿Abrir los paréntesis en el numerador de la izquierda? ¡En ningún caso! Tú y yo multiplicamos ambos lados por 6 para deshacernos de las fracciones y no preocuparnos por abrir paréntesis. En esta etapa necesitamos reducir nuestras fracciones. Con un sentimiento de profunda satisfacción, reducimos todos los denominadores y obtenemos una ecuación sin fracciones, en una recta:
3(x-3) + 6x = 30 – 4x
Y ahora se pueden abrir los corchetes restantes:
3x – 9 + 6x = 30 – 4x
¡La ecuación sigue mejorando cada vez más! Ahora recordemos nuevamente la primera transformación idéntica. Con cara seria repetimos el hechizo de las clases junior: con X - a la izquierda, sin X - a la derecha. Y aplica esta transformación:
3x + 6x + 4x = 30 + 9
Presentamos similares a la izquierda y contamos a la derecha:
13x = 39
Queda por dividir ambas partes entre 13. Es decir, volver a aplicar la segunda transformación. Dividimos y obtenemos la respuesta:
x = 3
El trabajo está hecho. Como puedes ver, en esta ecuación tuvimos que aplicar la primera transformación una vez (transfiriendo términos) y la segunda dos veces: al principio de la solución usamos la multiplicación (por 6) para deshacernos de las fracciones, y al final de la solución usamos la división (entre 13), para deshacernos del coeficiente delante de la X. Y la solución a cualquier (sí, ¡cualquiera!) ecuación lineal consiste en una combinación de estas mismas transformaciones en una secuencia u otra. Por dónde empezar exactamente depende de la ecuación específica. En algunos lugares es más rentable empezar con la transferencia, y en otros (como en este ejemplo) con la multiplicación (o división).
Trabajamos de lo simple a lo complejo. Consideremos ahora la crueldad absoluta. Con un montón de fracciones y paréntesis. Y te diré cómo no esforzarte demasiado).
Por ejemplo, aquí está la ecuación:
Miramos la ecuación por un minuto, nos horrorizamos, ¡pero aun así nos recuperamos! El principal problema es ¿por dónde empezar? Puedes sumar fracciones en el lado derecho. Puedes restar fracciones entre paréntesis. Puedes multiplicar ambas partes por algo. O dividir... Entonces, ¿qué es todavía posible? Respuesta: ¡todo es posible! Las matemáticas no prohíben ninguna de las acciones enumeradas. Y no importa qué secuencia de acciones y transformaciones elijas, la respuesta siempre será la misma: la correcta. A menos, por supuesto, que en algún momento violes la identidad de sus transformaciones y, por lo tanto, cometan errores...
Y, para no cometer errores, en ejemplos tan sofisticados como este, siempre es más útil evaluar su apariencia y pensar en lo que se puede hacer en el ejemplo para que máximo¿Simplificarlo en un solo paso?
Así que averigüémoslo. A la izquierda hay seises en los denominadores. Personalmente no me gustan y son muy fáciles de quitar. ¡Déjame multiplicar ambos lados de la ecuación por 6! Entonces los seis de la izquierda se reducirán con éxito, las fracciones entre paréntesis aún no irán a ninguna parte. Bueno, está bien. Nos ocuparemos de ellos un poco más adelante.) Pero a la derecha, tendremos los denominadores 2 y 3 cancelados. ¡Es con esta acción (multiplicar por 6) que logramos las máximas simplificaciones en un solo paso!
Después de la multiplicación, toda nuestra ecuación del mal queda así:
Si no entiendes exactamente cómo surgió esta ecuación, entonces no has entendido bien el análisis del ejemplo anterior. Y lo intenté, por cierto...
Entonces, revelemos:
Ahora el paso más lógico sería aislar las fracciones del lado izquierdo y enviar 5x al lado derecho. Al mismo tiempo, presentaremos otros similares en el lado derecho. Obtenemos:
Mucho mejor ya. Ahora el lado izquierdo se ha preparado para la multiplicación. ¿Por qué debemos multiplicar el lado izquierdo para que tanto el cinco como el cuatro se reduzcan a la vez? ¡El 20! Pero también tenemos desventajas en ambos lados de la ecuación. Por lo tanto, lo más conveniente será multiplicar ambos lados de la ecuación no por 20, sino por -20. Luego, de un solo golpe, tanto los menos como las fracciones desaparecerán.
Entonces multiplicamos:
Quien todavía no entienda este paso quiere decir que el problema no está en las ecuaciones. ¡Los problemas están en lo básico! recordemos de nuevo regla de oro paréntesis de apertura:
Si un número se multiplica por alguna expresión entre paréntesis, entonces este número debe multiplicarse secuencialmente por cada término de esta misma expresión. Además, si el número es positivo, los signos de las expresiones se conservan después de la expansión. Si es negativo, cambie a lo contrario:
a(b+c) = ab+ac
-a(b+c) = -ab-ac
Nuestros contras desaparecieron después de multiplicar ambos lados por -20. Y ahora multiplicamos los paréntesis con fracciones de la izquierda por bastante numero positivo 20. Por tanto, al abrir estos corchetes se conservan todos los signos que había en su interior. Pero de dónde vienen los corchetes en los numeradores de fracciones, ya lo expliqué en detalle en el ejemplo anterior.
Ahora puedes reducir fracciones:
4(3-5x)-5(3x-2) = 20
Abra los corchetes restantes. Nuevamente lo revelamos correctamente. Los primeros paréntesis se multiplican por el número positivo 4 y, por tanto, todos los signos se conservan al abrirlos. Pero los segundos corchetes se multiplican por negativo el número es -5 y, por tanto, todos los signos están invertidos:
12 - 20x - 15x + 10 = 20
Quedan meras bagatelas. Con X a la izquierda, sin X a la derecha:
-20x – 15x = 20 – 10 – 12
-35x = -2
Eso es casi todo. A la izquierda necesitas una X pura, pero el número -35 está en el camino. Entonces dividimos ambos lados por (-35). Permítanme recordarles que la segunda transformación de identidad nos permite multiplicar y dividir ambos lados por lo que número. Incluidos los negativos.) ¡Siempre que no sea cero! Siéntete libre de dividir y obtener la respuesta:
X = 2/35
Esta vez la X resultó ser fraccionaria. Está bien. Un ejemplo así.)
Como vemos, el principio de resolución de ecuaciones lineales (incluso las más complicadas) es bastante sencillo: tomamos la ecuación original y, mediante transformaciones idénticas, la simplificamos sucesivamente hasta obtener la respuesta. ¡Con lo básico, por supuesto! Los principales problemas aquí son precisamente el incumplimiento de los conceptos básicos (por ejemplo, delante de los paréntesis hay un menos y se olvidaron de cambiar los signos al expandir), así como la aritmética banal. ¡Así que no descuides lo básico! ¡Son la base de todas las demás matemáticas!
Algunas cosas divertidas para hacer al resolver ecuaciones lineales. O ocasiones especiales.
Todo estaría bien. Sin embargo... Entre las ecuaciones lineales también hay perlas tan divertidas que, en el proceso de resolverlas, pueden llevarte a un fuerte estupor. Incluso un excelente estudiante.)
Por ejemplo, aquí hay una ecuación que parece inocua:
7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2
Bostezando ampliamente y un poco aburridos, recogemos todas las X de la izquierda y todos los números de la derecha:
7x-4x-3x = 5-2-3
Presentamos otros similares, contamos y obtenemos:
0 = 0
¡Eso es todo! ¡Te di un truco de muestra! Esta igualdad en sí misma no plantea ninguna objeción: cero es realmente igual a cero. ¡Pero falta X! ¡Sin dejar rastro! Y debemos escribir en la respuesta, ¿A qué es x igual?. De lo contrario, la decisión no cuenta, eso sí.) ¿Qué hacer?
¡No entrar en pánico! En casos tan atípicos, la mayoría conceptos generales y principios de las matemáticas. ¿Qué es una ecuación? ¿Cómo resolver ecuaciones? ¿Qué significa resolver una ecuación?
Resolver una ecuación significa encontrar Todo valores de la variable x, que, al sustituirse en original¡La ecuación nos dará la igualdad (identidad) correcta!
Pero tenemos verdadera igualdad. ya ha sucedido! 0=0, o mejor dicho, ¡en ninguna parte!) Sólo podemos adivinar en qué X obtenemos esta igualdad. ¿Qué tipo de X se pueden sustituir en original ecuación, si al sustituirlos todos ¿Seguirán siendo reducidos a cero?¿Aún no lo has descubierto?
¡Seguramente! Las X se pueden sustituir. cualquier!!! Absolutamente cualquiera. Envía lo que quieras. Al menos 1, al menos -23, al menos 2,7, ¡lo que sea! Seguirán siendo reducidos y, como resultado, la pura verdad permanecerá. Pruébelo, sustitúyalo y compruébelo usted mismo).
Aquí está tu respuesta:
x – cualquier número.
EN registro científico esta igualdad se escribe así:
Esta entrada dice así: "X es cualquier número real".
O de otra forma, a intervalos:
Diseñalo como más te guste. ¡Esta es una respuesta correcta y completamente completa!
Ahora voy a cambiar solo un número en nuestra ecuación original. Ahora resolvamos esta ecuación:
7x + 2 = 4x + 5 + 3x – 2
Nuevamente transferimos los términos, contamos y obtenemos:
7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2
0 = 1
¿Y qué opinas de este chiste? Había una ecuación lineal ordinaria, pero se convirtió en una igualdad incomprensible.
0 = 1…
Científicamente hablando, tenemos falsa igualdad. Pero en ruso esto no es cierto. Mierda. Tonterías.) ¡Porque cero no es de ninguna manera igual a uno!
Y ahora averigüemos nuevamente qué tipo de X, cuando se sustituyen en la ecuación original, nos dará verdadera igualdad?¿Cual? ¡Pero ninguno! No importa qué X sustituyas, todo se acortará y todo seguirá siendo una mierda).
Aquí está la respuesta: sin soluciones.
EN notación matemática dicha respuesta tiene el formato siguiente:
Dice: "X pertenece al conjunto vacío".
Este tipo de respuestas también ocurren con bastante frecuencia en matemáticas: no siempre las ecuaciones tienen raíces en principio. Es posible que algunas ecuaciones no tengan raíz alguna. En absoluto.
Aquí hay dos sorpresas. Espero que ahora la repentina desaparición de las X de la ecuación no os deje perplejos para siempre. Esto es bastante familiar.)
Y luego escucho una pregunta lógica: ¿estarán en la OGE o en el Examen Estatal Unificado? Sobre el Examen Estatal Unificado en sí mismo como tarea, no. Demasiado simple. Pero en la OGE o en problemas planteados, ¡fácilmente! Así que ahora entrenemos y decidamos:
Respuestas (en desorden): -2; -1; cualquier número; 2; sin soluciones; 13/7.
¿Todo salió bien? ¡Excelente! Tienes buenas posibilidades en el examen.
¿Algo no cuadra? Hm... Tristeza, por supuesto. Esto significa que todavía hay lagunas en alguna parte. Ya sea en lo básico o en transformaciones idénticas. O es simplemente una cuestión de simple falta de atención. Lea la lección nuevamente. Porque este no es un tema del que se pueda prescindir tan fácilmente en matemáticas...
¡Buena suerte! Ella definitivamente te sonreirá, ¡créeme!)
