Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante k. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

Seguimos estudiando el tema” resolviendo ecuaciones" Ya nos hemos familiarizado con las ecuaciones lineales y estamos pasando a familiarizarnos con ecuaciones cuadráticas.

Primero veremos qué es una ecuación cuadrática y cómo se escribe en vista general y dar definiciones relacionadas. Después de esto, usaremos ejemplos para examinar en detalle cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas. Pasemos a la solución. ecuaciones completas, obtendremos la fórmula de la raíz, nos familiarizaremos con el discriminante de una ecuación cuadrática y consideraremos soluciones a ejemplos típicos. Finalmente, tracemos las conexiones entre las raíces y los coeficientes.

Navegación de páginas.

¿Qué es una ecuación cuadrática? sus tipos

Primero debes entender claramente qué es una ecuación cuadrática. Por lo tanto, es lógico iniciar una conversación sobre ecuaciones cuadráticas con la definición de ecuación cuadrática, así como las definiciones relacionadas. Después de esto, puedes considerar los principales tipos de ecuaciones cuadráticas: reducidas y no reducidas, así como ecuaciones completas e incompletas.

Definición y ejemplos de ecuaciones cuadráticas.

Definición.

ecuación cuadrática es una ecuación de la forma a x 2 +b x+c=0, donde x es una variable, a, byc son algunos números y a es distinto de cero.

Digamos de inmediato que las ecuaciones cuadráticas a menudo se denominan ecuaciones de segundo grado. Esto se debe a que la ecuación cuadrática es ecuación algebraica segundo grado.

La definición dada nos permite dar ejemplos de ecuaciones cuadráticas. Entonces 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, etc. Estas son ecuaciones cuadráticas.

Definición.

Números a, b y c se llaman coeficientes de la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0, y el coeficiente a se llama el primero, o el más alto, o el coeficiente de x 2, b es el segundo coeficiente, o el coeficiente de x, y c es el término libre .

Por ejemplo, tomemos una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x −3=0, aquí el coeficiente principal es 5, el segundo coeficiente es igual a −2 y el término libre es igual a −3. Tenga en cuenta que cuando los coeficientes b y/o c son negativos, como en el ejemplo que acabamos de dar, entonces forma corta escribir una ecuación cuadrática de la forma 5 x 2 −2 x−3=0, y no 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Vale la pena señalar que cuando los coeficientes a y/o b son iguales a 1 o −1, normalmente no están presentes explícitamente en la ecuación cuadrática, lo que se debe a las peculiaridades de su escritura. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática y 2 −y+3=0 el coeficiente principal es uno y el coeficiente de y es igual a −1.

Ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas.

Dependiendo del valor del coeficiente principal, se distinguen ecuaciones cuadráticas reducidas y no reducidas. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

Una ecuación cuadrática en la que el coeficiente principal es 1 se llama dada la ecuación cuadrática. De lo contrario, la ecuación cuadrática es intacto.

De acuerdo a esta definición, ecuaciones cuadráticas x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, etc. – dado, en cada uno de ellos el primer coeficiente es igual a uno. A 5 x 2 −x−1=0,etc. - ecuaciones cuadráticas no reducidas, sus coeficientes principales son diferentes de 1.

De cualquier ecuación cuadrática no reducida, dividiendo ambos lados por el coeficiente principal, se puede pasar al reducido. Esta acción es una transformación equivalente, es decir, la ecuación cuadrática reducida obtenida de esta manera tiene las mismas raíces que la ecuación cuadrática no reducida original o, como ésta, no tiene raíces.

Veamos un ejemplo de cómo se realiza la transición de una ecuación cuadrática no reducida a una reducida.

Ejemplo.

De la ecuación 3 x 2 +12 x−7=0, pase a la ecuación cuadrática reducida correspondiente.

Solución.

Solo necesitamos dividir ambas partes. ecuación original por el factor principal 3, es distinto de cero, por lo que podemos realizar esta acción. Tenemos (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, que es lo mismo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, y luego (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, de donde . Así obtuvimos la ecuación cuadrática reducida, que es equivalente a la original.

Respuesta:

Ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.

La definición de ecuación cuadrática contiene la condición a≠0. Esta condición es necesaria para que la ecuación a x 2 + b x + c = 0 sea cuadrática, ya que cuando a = 0 en realidad se convierte en una ecuación lineal de la forma b x + c = 0.

En cuanto a los coeficientes b y c, pueden ser iguales a cero, tanto individualmente como juntos. En estos casos, la ecuación cuadrática se llama incompleta.

Definición.

La ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 se llama incompleto, si al menos uno de los coeficientes b, c es igual a cero.

Sucesivamente

Definición.

Ecuación cuadrática completa es una ecuación en la que todos los coeficientes son diferentes de cero.

Estos nombres no fueron dados por casualidad. Esto quedará claro en las siguientes discusiones.

Si el coeficiente b es cero, entonces la ecuación cuadrática toma la forma a·x 2 +0·x+c=0, y es equivalente a la ecuación a·x 2 +c=0. Si c=0, es decir, la ecuación cuadrática tiene la forma a·x 2 +b·x+0=0, entonces se puede reescribir como a·x 2 +b·x=0. Y con b=0 y c=0 obtenemos la ecuación cuadrática a·x 2 =0. Las ecuaciones resultantes difieren de la ecuación cuadrática completa en que sus lados izquierdos no contienen ni un término con la variable x, ni un término libre, ni ambos. De ahí su nombre: ecuaciones cuadráticas incompletas.

Entonces las ecuaciones x 2 +x+1=0 y −2 x 2 −5 x+0.2=0 son ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas, y x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

De la información del párrafo anterior se desprende que existe tres tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

• a·x 2 =0, le corresponden los coeficientes b=0 y c=0;
• a x 2 +c=0 cuando b=0 ;
• y a·x 2 +b·x=0 cuando c=0.

Examinemos en orden cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas de cada uno de estos tipos.

a x 2 = 0

Comencemos resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas en las que los coeficientes b y c son iguales a cero, es decir, con ecuaciones de la forma a x 2 =0. La ecuación a·x 2 =0 es equivalente a la ecuación x 2 =0, que se obtiene de la original dividiendo ambas partes por un número a distinto de cero. Obviamente, la raíz de la ecuación x 2 =0 es cero, ya que 0 2 =0. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se explica por el hecho de que para cualquier número p distinto de cero se cumple la desigualdad p 2 >0, lo que significa que para p≠0 la igualdad p 2 =0 nunca se logra.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 =0 tiene una raíz única x=0.

Como ejemplo, damos la solución a la ecuación cuadrática incompleta −4 x 2 =0. Es equivalente a la ecuación x 2 =0, su única raíz es x=0, por lo tanto, la ecuación original tiene una sola raíz cero.

Una solución breve en este caso se puede escribir de la siguiente manera:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Ahora veamos cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas incompletas en las que el coeficiente b es cero y c≠0, es decir, ecuaciones de la forma a x 2 +c=0. Sabemos que mover un término de un lado de la ecuación al otro con el signo opuesto, así como dividir ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero, da una ecuación equivalente. Por tanto, podemos realizar las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0:

• pasar de a lado derecho, lo que da la ecuación a x 2 = −c,
• y dividimos ambos lados por a, obtenemos .

La ecuación resultante nos permite sacar conclusiones sobre sus raíces. Dependiendo de los valores de a y c, el valor de la expresión puede ser negativo (por ejemplo, si a=1 y c=2, entonces ) o positivo (por ejemplo, si a=−2 y c=6, entonces ), no es igual a cero , ya que por condición c≠0. Veamos los casos por separado.

Si , entonces la ecuación no tiene raíces. Esta afirmación se deriva del hecho de que el cuadrado de cualquier número es un número no negativo. De esto se deduce que cuando , entonces para cualquier número p la igualdad no puede ser verdadera.

Si , entonces la situación con las raíces de la ecuación es diferente. En este caso, si recordamos acerca de , entonces la raíz de la ecuación inmediatamente resulta obvia: es el número, ya que . Es fácil adivinar que el número también es la raíz de la ecuación. Esta ecuación no tiene otras raíces, lo que se puede demostrar, por ejemplo, por contradicción. Hagamos esto.

Denotemos las raíces de la ecuación que acabamos de anunciar como x 1 y −x 1. Supongamos que la ecuación tiene una raíz más x 2, diferente de las raíces indicadas x 1 y −x 1. Se sabe que sustituir sus raíces en una ecuación en lugar de x convierte la ecuación en una igualdad numérica correcta. Para x 1 y −x 1 tenemos , y para x 2 tenemos . Las propiedades de las igualdades numéricas nos permiten realizar restas término por término de igualdades numéricas correctas, por lo que restar las partes correspondientes de las igualdades da x 1 2 −x 2 2 =0. Las propiedades de las operaciones con números nos permiten reescribir la igualdad resultante como (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Sabemos que el producto de dos números es igual a cero si y sólo si al menos uno de ellos es igual a cero. Por lo tanto, de la igualdad resultante se deduce que x 1 −x 2 =0 y/o x 1 +x 2 =0, que es lo mismo, x 2 =x 1 y/o x 2 =−x 1. Entonces llegamos a una contradicción, ya que al principio dijimos que la raíz de la ecuación x 2 es diferente de x 1 y −x 1. Esto prueba que la ecuación no tiene más raíces que y .

Resumamos la información de este párrafo. La ecuación cuadrática incompleta a x 2 +c=0 es equivalente a la ecuación que

• no tiene raíces si,
• tiene dos raíces y , si .

Consideremos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a·x 2 +c=0.

Comencemos con la ecuación cuadrática 9 x 2 +7=0. Después de mover el término libre al lado derecho de la ecuación, tomará la forma 9 x 2 = −7. Dividiendo ambos lados de la ecuación resultante por 9, llegamos a . Dado que el lado derecho tiene un número negativo, esta ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la ecuación cuadrática incompleta original 9 x 2 +7 = 0 no tiene raíces.

Resolvamos otra ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0. Movemos el nueve hacia el lado derecho: −x 2 =−9. Ahora dividimos ambos lados por −1, obtenemos x 2 =9. En el lado derecho hay un número positivo, del cual concluimos que o . Luego escribimos la respuesta final: la ecuación cuadrática incompleta −x 2 +9=0 tiene dos raíces x=3 o x=−3.

ax2+bx=0

Queda por abordar la solución del último tipo de ecuaciones cuadráticas incompletas para c=0. Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma a x 2 + b x = 0 te permiten resolver método de factorización. Evidentemente podemos, ubicado en el lado izquierdo de la ecuación, para lo cual basta con sacar de paréntesis el factor común x. Esto nos permite pasar de la ecuación cuadrática original incompleta a ecuación equivalente de la forma x·(a·x+b)=0 . Y esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones x=0 y a·x+b=0, la última de las cuales es lineal y tiene una raíz x=−b/a.

Entonces, la ecuación cuadrática incompleta a·x 2 +b·x=0 tiene dos raíces x=0 y x=−b/a.

Para consolidar el material, analizaremos la solución a un ejemplo específico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Quitando x de los paréntesis se obtiene la ecuación. Es equivalente a dos ecuaciones x=0 y . Resolvemos la ecuación lineal resultante: y dividimos el número mixto entre fracción común, encontramos . Por tanto, las raíces de la ecuación original son x=0 y .

Después de adquirir la práctica necesaria, las soluciones a tales ecuaciones se pueden escribir brevemente:

Respuesta:

x=0 , .

Discriminante, fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Para resolver ecuaciones cuadráticas, existe una fórmula raíz. vamos a escribirlo fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática: , Dónde D=b 2 −4 a c- llamado discriminante de una ecuación cuadrática. La entrada esencialmente significa eso.

Es útil saber cómo se derivó la fórmula de la raíz y cómo se utiliza para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas. Resolvamos esto.

Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.

Necesitamos resolver la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0. Realicemos algunas transformaciones equivalentes:

• Podemos dividir ambos lados de esta ecuación por un número a distinto de cero, lo que da como resultado la siguiente ecuación cuadrática.
• Ahora seleccione un cuadrado completo en su lado izquierdo: . Después de esto, la ecuación tomará la forma.
• En esta etapa, es posible transferir los dos últimos términos al lado derecho con el signo opuesto, tenemos .
• Y transformemos también la expresión del lado derecho: .

Como resultado, llegamos a una ecuación que es equivalente a la ecuación cuadrática original a·x 2 +b·x+c=0.

Ya hemos resuelto ecuaciones de forma similar en los párrafos anteriores, cuando las examinamos. Esto nos permite sacar las siguientes conclusiones con respecto a las raíces de la ecuación:

• si , entonces la ecuación no tiene soluciones reales;
• si , entonces la ecuación tiene la forma , por lo tanto , desde la cual su única raíz es visible;
• si , entonces o , que es lo mismo que o , es decir, la ecuación tiene dos raíces.

Por tanto, la presencia o ausencia de raíces de la ecuación, y por tanto de la ecuación cuadrática original, depende del signo de la expresión del lado derecho. A su vez, el signo de esta expresión está determinado por el signo del numerador, ya que el denominador 4 a 2 siempre es positivo, es decir, el signo de la expresión b 2 −4 a c. Esta expresión b 2 −4 a c se llamó discriminante de una ecuación cuadrática y designado por la letra D. A partir de aquí, la esencia del discriminante es clara: en función de su valor y signo, concluyen si la ecuación cuadrática tiene raíces reales y, de ser así, cuál es su número: uno o dos.

Volvamos a la ecuación y reescribamosla usando la notación discriminante: . Y sacamos conclusiones:

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D=0, entonces esta ecuación tiene una raíz única;
• finalmente, si D>0, entonces la ecuación tiene dos raíces o, que se pueden reescribir en la forma o, y luego de expandir y llevar las fracciones a un denominador común obtenemos.

Entonces derivamos las fórmulas para las raíces de la ecuación cuadrática, se ven así, donde el discriminante D se calcula mediante la fórmula D=b 2 −4·a·c.

Con su ayuda, con un discriminante positivo, puedes calcular ambas raíces reales de una ecuación cuadrática. Cuando el discriminante es igual a cero, ambas fórmulas dan el mismo valor de la raíz, correspondiente a una solución única de la ecuación cuadrática. Y con un discriminante negativo, al intentar utilizar la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, nos encontramos ante la extracción raíz cuadrada de número negativo, que nos lleva más allá y plan de estudios escolar. Con un discriminante negativo, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales, pero tiene un par conjugado complejo raíces, que se pueden encontrar usando las mismas fórmulas de raíces que obtuvimos.

Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas usando fórmulas de raíz.

En la práctica, al resolver ecuaciones cuadráticas, puedes usar inmediatamente la fórmula raíz para calcular sus valores. Pero esto está más relacionado con encontrar raíces complejas.

Sin embargo, en un curso de álgebra escolar normalmente no hablamos de raíces complejas, sino reales de una ecuación cuadrática. En este caso, es recomendable, antes de utilizar las fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática, encontrar primero el discriminante, asegurarse de que no sea negativo (de lo contrario, podemos concluir que la ecuación no tiene raíces reales), y solo entonces calcular los valores de las raíces.

El razonamiento anterior nos permite escribir algoritmo para resolver una ecuación cuadrática. Para resolver la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0, necesitas:

• utilizando la fórmula discriminante D=b 2 −4·a·c, calcule su valor;
• concluir que una ecuación cuadrática no tiene raíces reales si el discriminante es negativo;
• calcular la única raíz de la ecuación usando la fórmula si D=0;
• encontrar dos raíces reales de una ecuación cuadrática usando la fórmula de la raíz si el discriminante es positivo.

Aquí solo observamos que si el discriminante es igual a cero, también puedes usar la fórmula que dará el mismo valor que .

Puede pasar a ejemplos de uso del algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas.

Consideremos soluciones a tres ecuaciones cuadráticas con un discriminante positivo, negativo y cero. Habiendo descubierto su solución, por analogía será posible resolver cualquier otra ecuación cuadrática. Empecemos.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación x 2 +2·x−6=0.

Solución.

En este caso, tenemos los siguientes coeficientes de la ecuación cuadrática: a=1, b=2 y c=−6. Según el algoritmo, primero es necesario calcular el discriminante, para ello sustituimos los a, b y c indicados en la fórmula del discriminante, tenemos; D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Como 28>0, es decir, el discriminante es mayor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales. Busquémoslos usando la fórmula raíz, obtenemos, aquí puedes simplificar las expresiones resultantes haciendo moviendo el multiplicador más allá del signo raíz seguido de la reducción de la fracción:

Respuesta:

Pasemos al siguiente ejemplo típico.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solución.

Empezamos encontrando el discriminante: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene una única raíz, que encontramos como , es decir,

Respuesta:

x=3,5.

Queda por considerar la resolución de ecuaciones cuadráticas con un discriminante negativo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación 5·y 2 +6·y+2=0.

Solución.

Aquí están los coeficientes de la ecuación cuadrática: a=5, b=6 y c=2. Sustituimos estos valores en la fórmula discriminante, tenemos D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. El discriminante es negativo, por lo tanto, esta ecuación cuadrática no tiene raíces reales.

Si necesita especificar raíces complejas, utilice fórmula bien conocida raíces de una ecuación cuadrática y realizar operaciones con números complejos:

Respuesta:

no existen raíces reales, las raíces complejas son: .

Notemos una vez más que si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo, entonces en la escuela generalmente escriben inmediatamente una respuesta en la que indican que no hay raíces reales y que no se encuentran raíces complejas.

Fórmula raíz para segundos coeficientes pares

La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, donde D=b 2 −4·a·c te permite obtener una fórmula de una forma más compacta, permitiéndote resolver ecuaciones cuadráticas con un coeficiente par para x (o simplemente con un coeficiente de la forma 2·n, por ejemplo, o 14· ln5=2·7·ln5 ). Saquémosla.

Digamos que necesitamos resolver una ecuación cuadrática de la forma a x 2 +2 n x+c=0. Encontremos sus raíces usando la fórmula que conocemos. Para ello calculamos el discriminante. D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), y luego usamos la fórmula raíz:

Denotemos la expresión n 2 −a c como D 1 (a veces se denota D "). Entonces la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática considerada con el segundo coeficiente 2 n tomará la forma , donde D 1 =n 2 −a·c.

Es fácil ver que D=4·D 1, o D 1 =D/4. En otras palabras, D 1 es la cuarta parte del discriminante. Está claro que el signo de D 1 es el mismo que el signo de D . Es decir, el signo D 1 también es un indicador de la presencia o ausencia de raíces de una ecuación cuadrática.

Entonces, para resolver una ecuación cuadrática con un segundo coeficiente 2·n, necesitas

• Calcular D 1 =n 2 −a·c ;
• Si D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 =0, entonces calcule la única raíz de la ecuación usando la fórmula;
• Si D 1 >0, entonces encuentre dos raíces reales usando la fórmula.

Consideremos resolver el ejemplo usando la fórmula raíz obtenida en este párrafo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación cuadrática 5 x 2 −6 x −32=0 .

Solución.

El segundo coeficiente de esta ecuación se puede representar como 2·(−3). Es decir, puedes reescribir la ecuación cuadrática original en la forma 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, aquí a=5, n=−3 y c=−32, y calcular la cuarta parte de la discriminante: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Como su valor es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales. Encontrémoslos usando la fórmula raíz adecuada:

Tenga en cuenta que era posible utilizar la fórmula habitual para las raíces de una ecuación cuadrática, pero en este caso sería necesario realizar más trabajo computacional.

Respuesta:

Simplificando la forma de ecuaciones cuadráticas

A veces, antes de empezar a calcular las raíces de una ecuación cuadrática mediante fórmulas, no está de más hacerse la pregunta: “¿Es posible simplificar la forma de esta ecuación?” Acepte que en términos de cálculos será más fácil resolver la ecuación cuadrática 11 x 2 −4 x−6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0.

Normalmente, la simplificación de la forma de una ecuación cuadrática se logra multiplicando o dividiendo ambos lados por un número determinado. Por ejemplo, en el párrafo anterior se pudo simplificar la ecuación 1100 x 2 −400 x −600=0 dividiendo ambos lados entre 100.

Una transformación similar se lleva a cabo con ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes no lo son. En este caso, normalmente dividimos ambos lados de la ecuación por valores absolutos sus coeficientes. Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 12 x 2 −42 x+48=0. valores absolutos de sus coeficientes: MCD(12, 42, 48)= MCD(MCD(12, 42), 48)= MCD(6, 48)=6. Dividiendo ambos lados de la ecuación cuadrática original por 6, llegamos a la ecuación cuadrática equivalente 2 x 2 −7 x+8=0.

Y normalmente se multiplican ambos lados de una ecuación cuadrática para eliminar los coeficientes fraccionarios. En este caso, la multiplicación se realiza por los denominadores de sus coeficientes. Por ejemplo, si ambos lados de la ecuación cuadrática se multiplican por MCM(6, 3, 1)=6, entonces tomará la forma más simple x 2 +4·x−18=0.

Como conclusión de este punto, observamos que casi siempre eliminan el menos en el coeficiente más alto de una ecuación cuadrática cambiando los signos de todos los términos, lo que corresponde a multiplicar (o dividir) ambos lados por −1. Por ejemplo, normalmente uno pasa de la ecuación cuadrática −2 x 2 −3 x+7=0 a la solución 2 x 2 +3 x−7=0 .

Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática

La fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática expresa las raíces de la ecuación a través de sus coeficientes. Con base en la fórmula de la raíz, puedes obtener otras relaciones entre raíces y coeficientes.

Las fórmulas más conocidas y aplicables del teorema de Vieta son de la forma y. En particular, para la ecuación cuadrática dada, la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con el signo opuesto y el producto de las raíces es igual al término libre. Por ejemplo, al observar la forma de la ecuación cuadrática 3 x 2 −7 x + 22 = 0, podemos decir inmediatamente que la suma de sus raíces es igual a 7/3 y el producto de las raíces es igual a 22. /3.

Usando las fórmulas ya escritas, puede obtener otras conexiones entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática. Por ejemplo, puedes expresar la suma de los cuadrados de las raíces de una ecuación cuadrática a través de sus coeficientes: .

Referencias.

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• Mordkovich A.G.Álgebra. 8vo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 institución educativa presupuestaria municipal secundaria Escuela secundaria № 11

El texto de la obra se publica sin imágenes ni fórmulas.
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Historia de las ecuaciones cuadráticas.

Babilonia

La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer grado, sino también de segundo, en la antigüedad fue causada por la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos, con el desarrollo de la astronomía y las matemáticas. Ecuaciones cuadráticas supo resolver alrededor del año 2000 a.C. mi. Babilonios. Las reglas para resolver estas ecuaciones, establecidas en los textos babilónicos, coinciden esencialmente con las modernas, pero en estos textos no existe el concepto de número negativo y métodos generales resolver ecuaciones cuadráticas.

Grecia antigua

La resolución de ecuaciones cuadráticas también se realizó en Grecia antigua científicos como Diofanto, Euclides y Herón. Diofanto Diofanto de Alejandría es un matemático griego antiguo que presumiblemente vivió en el siglo III d.C. La obra principal de Diofanto es la "Aritmética" en 13 libros. Euclides. Euclides es un matemático griego antiguo, autor del primer tratado teórico sobre matemáticas que nos ha llegado, Heron. Garza: matemático e ingeniero griego que llegó por primera vez a Grecia en el siglo I d.C. da una forma puramente algebraica de resolver una ecuación cuadrática

India

Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió regla general soluciones de ecuaciones cuadráticas reducidas a una única forma canónica: ax2 + bx = c, a> 0. (1) En la ecuación (1) los coeficientes pueden ser negativos. El gobierno de Brahmagupta es esencialmente el mismo que el nuestro. En la India eran comunes los concursos públicos para resolver problemas difíciles. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competiciones: “Así como el sol eclipsa las estrellas con su brillo, así hombre instruido eclipsará la gloria en asambleas populares, proponer y resolver problemas algebraicos.” Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.

Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars.

“Una bandada de monos juguetones

Y doce a lo largo de las vides, después de haber comido hasta saciarse, se divirtieron

Comenzaron a saltar, colgando

La octava parte de ellos al cuadrado.

¿Cuántos monos había?

me estaba divirtiendo en el claro

Dime, ¿en este paquete?

La solución de Bhaskara indica que el autor sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores. La ecuación de Bhaskar correspondiente al problema se escribe como x2 - 64x = - 768 y, para complementar lado izquierdo de esta ecuación al cuadrado, suma 322 a ambos lados, obteniendo luego: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024, (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48 .

Ecuaciones cuadráticas en la Europa del siglo XVII

Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas siguiendo las líneas de Al-Khorezmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra, que refleja la influencia de las matemáticas, tanto de los países del Islam como de la antigua Grecia, se distingue por su exhaustividad y claridad de presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos ejemplos algebraicos nuevos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del Libro del Ábaco se utilizaron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y en parte XVIII. La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma general está disponible en Viète, pero Viète solo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las positivas, también se tienen en cuenta las raíces negativas. Sólo en el siglo XVII. Gracias al trabajo de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna.

Definición de una ecuación cuadrática

Una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a, b, c son números, se llama cuadrática.

Coeficientes de ecuación cuadrática

Los números a, b, c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. a es el primer coeficiente (antes de x²), a ≠ 0; b es el segundo coeficiente (antes de x es el término libre).

¿Cuáles de estas ecuaciones no son cuadráticas??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipos de ecuaciones cuadráticas

Nombre	Forma general de la ecuación.	Característica (¿cuáles son los coeficientes)?	Ejemplos de ecuaciones
	hacha 2 + bx + c = 0	a, b, c - números distintos de 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Incompleto
			x2 - 1/5x = 0
Dado	x 2 + bx + c = 0		x2 - 3x + 5 = 0

Reducida es una ecuación cuadrática en la que el coeficiente principal es igual a uno. Tal ecuación se puede obtener dividiendo la expresión completa por el coeficiente principal a:

incógnita 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Una ecuación cuadrática se dice completa si todos sus coeficientes son distintos de cero.

Una ecuación cuadrática se llama incompleta en la que al menos uno de los coeficientes, excepto el principal (ya sea el segundo coeficiente o el término libre), es igual a cero.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

Método I Fórmula general para calcular raíces.

Para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. hacha 2 + b + c = 0 V caso general deberías utilizar el siguiente algoritmo:

Calcular el valor del discriminante de una ecuación cuadrática: esta es la expresión para ello D= b 2 - 4ac

Derivación de la fórmula:

Nota: Es obvio que la fórmula para una raíz de multiplicidad 2 es un caso especial de la fórmula general, que se obtiene sustituyendo en ella la igualdad D=0 y la conclusión sobre la ausencia de raíces reales en D0, y (displaystyle (sqrt ( -1))=yo) = yo.

El método presentado es universal, pero está lejos de ser el único. La resolución de una sola ecuación se puede abordar de varias maneras, y las preferencias generalmente dependen del solucionador. Además, a menudo para este propósito algunos de los métodos resultan ser mucho más elegantes, simples y menos laboriosos que el estándar.

Método II. Raíces de una ecuación cuadrática con coeficiente par b III método. Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Método intravenoso. Usando razones parciales de coeficientes

Hay casos especiales de ecuaciones cuadráticas en los que los coeficientes están relacionados entre sí, lo que los hace mucho más fáciles de resolver.

Raíces de una ecuación cuadrática en la que la suma del coeficiente principal y el término libre es igual al segundo coeficiente

Si en una ecuación cuadrática hacha 2 + bx + c = 0 la suma del primer coeficiente y el término libre es igual al segundo coeficiente: a+b=c, entonces sus raíces son -1 y el número opuesto a la relación entre el término libre y el coeficiente principal ( -California).

Por lo tanto, antes de resolver cualquier ecuación cuadrática, conviene comprobar la posibilidad de aplicarle este teorema: comparar la suma del coeficiente principal y el término libre con el segundo coeficiente.

Raíces de una ecuación cuadrática cuya suma de todos los coeficientes es cero

Si en una ecuación cuadrática la suma de todos sus coeficientes es cero, entonces las raíces de dicha ecuación son 1 y la relación entre el término libre y el coeficiente principal ( California).

Por lo tanto, antes de resolver la ecuación métodos estándar, debes verificar la aplicabilidad de este teorema: suma todos los coeficientes de esta ecuación y mira si esta suma no es igual a cero.

Método V. Factorizar un trinomio cuadrático en factores lineales

Si el trinomio es de la forma (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) de alguna manera se puede representar como un producto de factores lineales (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), entonces podemos encontrar las raíces de la ecuación hacha 2 + bx + c = 0- serán -m/k y n/l, de hecho, después de todo (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, y habiendo resuelto lo indicado ecuaciones lineales, obtenemos lo anterior. Tenga en cuenta que trinomio cuadrático no siempre se descompone en factores lineales con coeficientes reales: esto es posible si la ecuación correspondiente tiene raíces reales.

Consideremos algunos casos especiales.

Usando la fórmula de suma (diferencia) al cuadrado

Si el trinomio cuadrático tiene la forma (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2, entonces, al aplicarle la fórmula anterior, podemos factorizarlo en factores lineales y , por lo tanto, encuentre raíces:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Aislando el cuadrado completo de la suma (diferencia)

La fórmula anterior también se utiliza mediante un método llamado "seleccionar el cuadrado completo de la suma (diferencia)". En relación con la ecuación cuadrática anterior con la notación introducida anteriormente, esto significa lo siguiente:

Nota: si te diste cuenta esta fórmula coincide con lo propuesto en el apartado “Raíces de la ecuación cuadrática reducida”, que, a su vez, se puede obtener de la fórmula general (1) sustituyendo la igualdad a=1. Este hecho no es una simple coincidencia: utilizando el método descrito, aunque con algún razonamiento adicional, es posible deducir fórmula general, y también probar las propiedades del discriminante.

Método VI. Usando el teorema de Vieta directo e inverso

El teorema directo de Vieta (ver más abajo en la sección del mismo nombre) y su teorema inverso le permiten resolver las ecuaciones cuadráticas anteriores de forma oral, sin recurrir a cálculos bastante engorrosos utilizando la fórmula (1).

Según el teorema inverso, cada par de números (número) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, al ser una solución del siguiente sistema de ecuaciones, son las raíces de la ecuación.

En el caso general, es decir, para una ecuación cuadrática no reducida ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Un teorema directo te ayudará a encontrar números que satisfagan estas ecuaciones de forma oral. Con su ayuda, puede determinar los signos de las raíces sin conocer las raíces mismas. Para hacer esto, debes seguir la regla:

1) si el término libre es negativo, entonces las raíces tienen signos diferentes y el módulo de raíces más grande es el signo signo opuesto segundo coeficiente de la ecuación;

2) si el término libre es positivo, entonces ambas raíces tienen el mismo signo, y este es el signo opuesto al signo del segundo coeficiente.

Método VII. Método de transferencia

El llamado método de "transferencia" le permite reducir la solución de ecuaciones no reducidas e irreducibles a la forma de ecuaciones reducidas con coeficientes enteros dividiéndolas por el coeficiente principal para la solución de ecuaciones reducidas con coeficientes enteros. Es el siguiente:

A continuación, la ecuación se resuelve oralmente de la manera descrita anteriormente, luego regresan a la variable original y encuentran las raíces de las ecuaciones (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 = hacha 1 Y y 2 = hacha 2 .(estilo de visualización y_(2)=ax_(2))

Significado geométrico

Cronograma función cuadrática es una parábola. Las soluciones (raíces) de una ecuación cuadrática son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas. Si la parábola descrita por una función cuadrática no corta al eje x, la ecuación no tiene raíces reales. Si una parábola corta el eje x en un punto (en el vértice de la parábola), la ecuación tiene una raíz real (también se dice que la ecuación tiene dos raíces coincidentes). Si la parábola interseca el eje x en dos puntos, la ecuación tiene dos raíces reales (ver imagen a la derecha).

Si coeficiente (estilo de visualización a) a positivo, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba y viceversa. Si el coeficiente (estilo de visualización b) bpositivo (si es positivo (estilo de visualización a) a, si es negativo, viceversa), entonces el vértice de la parábola se encuentra en el semiplano izquierdo y viceversa.

Aplicación de ecuaciones cuadráticas en la vida.

La ecuación cuadrática se usa ampliamente. Se utiliza en muchos cálculos, estructuras, deportes y también a nuestro alrededor.

Consideremos y demos algunos ejemplos de la aplicación de la ecuación cuadrática.

Deporte. Saltos de altura: durante la carrera del saltador, se utilizan cálculos relacionados con la parábola para conseguir el tiro más preciso en la barra de despegue y volar alto.

Además, se necesitan cálculos similares al lanzar. El alcance de vuelo de un objeto depende de la ecuación cuadrática.

Astronomía. La trayectoria de los planetas se puede encontrar mediante una ecuación cuadrática.

Vuelo en avión. El despegue del avión es el componente principal del vuelo. Aquí tomamos el cálculo de baja resistencia y aceleración del despegue.

Las ecuaciones cuadráticas también se utilizan en diversas disciplinas económicas, en programas para procesar audio, video, gráficos vectoriales y rasterizados.

Conclusión

Como resultado del trabajo realizado, resultó que las ecuaciones cuadráticas atrajeron a los científicos en la antigüedad, quienes ya las habían encontrado al resolver algunos problemas y trataron de resolverlos; En vista de varias maneras resolviendo ecuaciones cuadráticas, llegué a la conclusión de que no todas son simples. En mi opinión lo más la mejor manera Resolver ecuaciones cuadráticas es resolver mediante fórmulas. Las fórmulas son fáciles de recordar, este método es universal. Se confirmó la hipótesis de que las ecuaciones se utilizan ampliamente en la vida y en las matemáticas. Después de estudiar el tema, aprendí mucho. hechos interesantes sobre ecuaciones cuadráticas, su uso, aplicación, tipos, soluciones. Y estaré feliz de seguir estudiándolos. Espero que esto me ayude a obtener buenos resultados en mis exámenes.

Lista de literatura usada

Materiales del sitio:

Wikipedia

Lección abierta.rf

Manual de matemáticas elementales Vygodsky M. Ya.

Ecuación cuadrática: ¡fácil de resolver! *En lo sucesivo denominado “KU”. Amigos, parecería que no podría haber nada más sencillo en matemáticas que resolver tal ecuación. Pero algo me dijo que mucha gente tiene problemas con él. Decidí ver cuántas impresiones bajo demanda emite Yandex al mes. Esto es lo que pasó, mira:

¿Qué significa? Esto significa que unas 70.000 personas al mes buscan esta información, ¿qué tiene que ver este verano con eso y qué pasará entre año académico— Habrá el doble de solicitudes. Esto no es sorprendente, porque aquellos chicos y chicas que se graduaron de la escuela hace mucho tiempo y se están preparando para el examen están buscando esta información, y los escolares también se esfuerzan por refrescar su memoria.

A pesar de que hay muchos sitios que te dicen cómo resolver esta ecuación, decidí contribuir y publicar el material también. En primer lugar, quiero que los visitantes visiten mi sitio basándose en esta solicitud; en segundo lugar, en otros artículos, cuando surja el tema "KU", proporcionaré un enlace a este artículo; En tercer lugar, te contaré un poco más sobre su solución de lo que suele publicarse en otros sitios. ¡Empecemos! Contenido del artículo:

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

donde los coeficientes a,byc son números arbitrarios, con a≠0.

En el curso escolar, el material se presenta de la siguiente forma: las ecuaciones se dividen en tres clases:

1. Tienen dos raíces.

2. *Tiene una sola raíz.

3. No tienen raíces. Vale la pena señalar aquí especialmente que no tienen raíces reales.

¿Cómo se calculan las raíces? ¡Justo!

Calculamos el discriminante. Debajo de esta palabra “terrible” se esconde una fórmula muy simple:

Las fórmulas raíz son las siguientes:

*Es necesario saberse estas fórmulas de memoria.

Puedes anotar y resolver inmediatamente:

Ejemplo:

1. Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces.

2. Si D = 0, entonces la ecuación tiene una raíz.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Veamos la ecuación:

Por en este caso, cuando el discriminante es igual a cero, el curso escolar dice que el resultado es una raíz, aquí es igual a nueve. Todo es correcto, es así, pero...

Esta idea es algo incorrecta. De hecho, hay dos raíces. Sí, sí, no te sorprendas, obtienes dos raíces iguales y, para ser matemáticamente precisos, entonces la respuesta debería escribir dos raíces:

x 1 = 3 x 2 = 3

Pero esto es así: una pequeña digresión. En la escuela puedes escribirlo y decir que hay una raíz.

Ahora el siguiente ejemplo:

Como sabemos, la raíz de un número negativo no se puede sacar, por lo que las soluciones en en este caso No.

Ese es todo el proceso de decisión.

Función cuadrática.

Esto muestra cómo se ve la solución geométricamente. Es extremadamente importante comprender esto (en el futuro, en uno de los artículos analizaremos en detalle la solución a la desigualdad cuadrática).

Esta es una función de la forma:

donde x e y son variables

a, b, c – números dados, con a ≠ 0

La gráfica es una parábola:

Es decir, resulta que resolviendo una ecuación cuadrática con “y” igual a cero, encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Puede haber dos de estos puntos (el discriminante es positivo), uno (el discriminante es cero) y ninguno (el discriminante es negativo). Detalles sobre la función cuadrática puedes mirar Artículo de Inna Feldman.

Veamos ejemplos:

Ejemplo 1: resolver 2x 2 +8 incógnita–192=0

a=2b=8c= –192

re=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Respuesta: x 1 = 8 x 2 = –12

*Fue posible dividir inmediatamente los lados izquierdo y derecho de la ecuación entre 2, es decir, simplificarla. Los cálculos serán más fáciles.

Ejemplo 2: Decidir x2–22 x+121 = 0

a=1b=–22c=121

D = segundo 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Encontramos que x 1 = 11 y x 2 = 11

Está permitido escribir x = 11 en la respuesta.

Respuesta: x = 11

Ejemplo 3: Decidir x2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = segundo 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

El discriminante es negativo, no hay solución en números reales.

Respuesta: no hay solución

El discriminante es negativo. ¡Hay una solución!

Aquí hablaremos de resolver la ecuación en el caso de que resulte. discriminante negativo. ¿Sabes algo sobre números complejos? No entraré en detalles aquí sobre por qué y dónde surgieron y cuál es su papel específico y su necesidad en matemáticas. Este es un tema para un artículo extenso y separado;

El concepto de número complejo.

Un poco de teoría.

Un número complejo z es un número de la forma

z = a + bi

donde a y b son números reales, i es la llamada unidad imaginaria.

a+bi – este es un NÚMERO ÚNICO, no una suma.

La unidad imaginaria es igual a la raíz de menos uno:

Ahora considere la ecuación:

Obtenemos dos raíces conjugadas.

Ecuación cuadrática incompleta.

Consideremos casos especiales, es decir, cuando el coeficiente “b” o “c” es igual a cero (o ambos son iguales a cero). Se pueden resolver fácilmente sin problemas discriminatorios.

Caso 1. Coeficiente b = 0.

La ecuación se convierte en:

Transformemos:

Ejemplo:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Caso 2. Coeficiente c = 0.

La ecuación se convierte en:

Transformemos y factoricemos:

*El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero.

Ejemplo:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Caso 3. Coeficientes b = 0 y c = 0.

Aquí está claro que la solución de la ecuación siempre será x = 0.

Propiedades útiles y patrones de coeficientes.

Hay propiedades que te permiten resolver ecuaciones con coeficientes grandes.

Aincógnita 2 + bx+ do=0 la igualdad se mantiene

a + b+ c = 0, Eso

- si para los coeficientes de la ecuación Aincógnita 2 + bx+ do=0 la igualdad se mantiene

a+ c =b, Eso

Estas propiedades ayudan a resolver cierto tipo de ecuación.

Ejemplo 1: 5001 incógnita 2 –4995 incógnita – 6=0

La suma de las probabilidades es 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, lo que significa

Ejemplo 2: 2501 incógnita 2 +2507 incógnita+6=0

La igualdad se mantiene a+ c =b, Medio

Regularidades de coeficientes.

1. Si en la ecuación ax 2 + bx + c = 0 el coeficiente “b” es igual a (a 2 +1), y el coeficiente “c” es numéricamente igual al coeficiente “a”, entonces sus raíces son iguales

hacha 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Ejemplo. Considere la ecuación 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Si en la ecuación ax 2 – bx + c = 0 el coeficiente “b” es igual a (a 2 +1), y el coeficiente “c” es numéricamente igual al coeficiente “a”, entonces sus raíces son iguales

hacha 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Ejemplo. Considere la ecuación 15x 2 –226x +15 = 0.

x1 = 15x2 = 1/15.

3. Si en la ecuación. ax 2 + bx – c = 0 coeficiente “b” es igual a (a 2 – 1), y coeficiente “c” numéricamente igual al coeficiente “a”, entonces sus raices son iguales

hacha 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Ejemplo. Considere la ecuación 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Si en la ecuación ax 2 – bx – c = 0 el coeficiente “b” es igual a (a 2 – 1), y el coeficiente c es numéricamente igual al coeficiente “a”, entonces sus raíces son iguales

hacha 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Ejemplo. Considere la ecuación 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorema de Vieta.

El teorema de Vieta lleva el nombre del famoso matemático francés Francois Vieta. Usando el teorema de Vieta, podemos expresar la suma y el producto de las raíces de un KU arbitrario en términos de sus coeficientes.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

En total, el número 14 da solo 5 y 9. Estas son raíces. Con cierta habilidad, utilizando el teorema presentado, podrás resolver oralmente muchas ecuaciones cuadráticas a la vez.

El teorema de Vieta, además. Es conveniente porque después de resolver una ecuación cuadrática de la forma habitual (mediante un discriminante), se pueden verificar las raíces resultantes. Recomiendo hacer esto siempre.

MÉTODO DE TRANSPORTE

Con este método, el coeficiente “a” se multiplica por el término libre, como si se le “arrojara”, por eso se llama método de "transferencia". Este método se utiliza cuando puedes encontrar fácilmente las raíces de la ecuación usando el teorema de Vieta y, lo más importante, cuando el discriminante es un cuadrado exacto.

Si A± b+c≠ 0, entonces se utiliza la técnica de transferencia, por ejemplo:

2incógnita 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => incógnita 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Usando el teorema de Vieta en la ecuación (2), es fácil determinar que x 1 = 10 x 2 = 1

Las raíces resultantes de la ecuación deben dividirse por 2 (ya que las dos fueron “arrojadas” de x 2), obtenemos

x1 = 5x2 = 0,5.

¿Cuál es el fundamento? Mira lo que está pasando.

Los discriminantes de las ecuaciones (1) y (2) son iguales:

Si miras las raíces de las ecuaciones, solo obtienes diferentes denominadores, y el resultado depende precisamente del coeficiente de x 2:

El segundo (modificado) tiene raíces que son 2 veces más grandes.

Por tanto, dividimos el resultado por 2.

*Si volvemos a tirar los tres, dividiremos el resultado entre 3, etc.

Respuesta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Cuadrados. ur-ie y examen estatal unificado.

Te contaré brevemente su importancia: DEBES PODER DECIDIR rápidamente y sin pensar, necesitas saber de memoria las fórmulas de raíces y discriminantes. Muchos de los problemas incluidos en las tareas del Examen Estatal Unificado se reducen a resolver una ecuación cuadrática (incluidas las geométricas).

¡Algo digno de mención!

1. La forma de escribir una ecuación puede ser “implícita”. Por ejemplo, es posible la siguiente entrada:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Necesitas traerlo a vista estándar(para no confundirse a la hora de decidir).

2. Recuerde que x es una cantidad desconocida y puede denotarse con cualquier otra letra: t, q, p, h y otras.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 o x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Habiendo aprendido a resolver ecuaciones de primer grado, por supuesto, querrás trabajar con otras, en particular, con ecuaciones de segundo grado, que también se llaman cuadráticas.

Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones como ax² + bx + c = 0, donde la variable es x, los números son a, b, c, donde a no es igual a cero.

Si en una ecuación cuadrática uno u otro coeficiente (c o b) es igual a cero, entonces esta ecuación se clasificará como una ecuación cuadrática incompleta.

¿Cómo resolver una ecuación cuadrática incompleta si hasta ahora los estudiantes solo han podido resolver ecuaciones de primer grado? Considere ecuaciones cuadráticas incompletas diferentes tipos y formas sencillas de resolverlos.

a) Si el coeficiente c es igual a 0 y el coeficiente b no es igual a cero, entonces ax² + bx + 0 = 0 se reduce a una ecuación de la forma ax² + bx = 0.

Para resolver dicha ecuación es necesario conocer la fórmula para resolver una ecuación cuadrática incompleta, que consiste en factorizar el lado izquierdo de la misma y luego usar la condición de que el producto sea igual a cero.

Por ejemplo, 5x² - 20x = 0. Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación, mientras realizamos la operación matemática habitual: sacar el factor común de entre paréntesis.

5x (x - 4) = 0

Usamos la condición de que los productos sean iguales a cero.

5 x = 0 o x - 4 = 0

La respuesta será: la primera raíz es 0; la segunda raíz es 4.

b) Si b = 0, y el término libre no es igual a cero, entonces la ecuación ax² + 0x + c = 0 se reduce a una ecuación de la forma ax² + c = 0. Las ecuaciones se resuelven de dos maneras. : a) factorizando el polinomio de la ecuación del lado izquierdo; b) utilizar las propiedades de la raíz cuadrada aritmética. Una ecuación de este tipo se puede resolver utilizando uno de los métodos, por ejemplo:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. La respuesta será: la primera raíz es 5/2; la segunda raíz es igual a - 5/2.

c) Si b es igual a 0 y c es igual a 0, entonces ax² + 0 + 0 = 0 se reduce a una ecuación de la forma ax² = 0. En tal ecuación x será igual a 0.

Como puedes ver, las ecuaciones cuadráticas incompletas no pueden tener más de dos raíces.

La transformación de una ecuación cuadrática completa en una incompleta se ve así (para el caso \(b=0\)):

Para los casos cuando \(c=0\) o cuando ambos coeficientes son iguales a cero, todo es similar.

Tenga en cuenta que no se trata de que \(a\) sea igual a cero, no puede ser igual a cero, ya que en este caso se convertirá en:

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

En primer lugar, debes comprender que una ecuación cuadrática incompleta sigue siendo a y, por lo tanto, se puede resolver de la misma manera que una ecuación cuadrática ordinaria (a través de ). Para hacer esto, simplemente sumamos el componente faltante de la ecuación con un coeficiente cero.

Ejemplo : Encuentra las raíces de la ecuación \(3x^2-27=0\)
Solución :

		Tenemos una ecuación cuadrática incompleta con coeficiente \(b=0\). Es decir, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		De hecho, esta es la misma ecuación que al principio, pero ahora se puede resolver como una ecuación cuadrática ordinaria. Primero escribimos los coeficientes.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Calculemos el discriminante usando la fórmula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Encontremos las raíces de la ecuación usando las fórmulas. \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) y \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) (2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Escribe la respuesta

Respuesta : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Ejemplo : Encuentra las raíces de la ecuación \(-x^2+x=0\)
Solución :

		De nuevo una ecuación cuadrática incompleta, pero ahora el coeficiente \(c\) es igual a cero. Escribimos la ecuación como completa.