Aquí podrás resolver el sistema gratis ecuaciones lineales Método de Gauss en línea tallas grandes en números complejos con una solución muy detallada. Nuestra calculadora puede resolver online tanto los habituales sistemas de ecuaciones lineales definidos como indefinidos utilizando el método gaussiano, que tiene un número infinito de soluciones. En este caso, en la respuesta recibirás la dependencia de unas variables a través de otras libres. También puede comprobar la coherencia del sistema de ecuaciones en línea utilizando la solución gaussiana.
Sobre el método
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales. método en línea Gauss se realizan los siguientes pasos.
- Escribimos la matriz extendida.
- De hecho, la solución se divide en pasos hacia adelante y hacia atrás del método gaussiano. El paso directo del método gaussiano es la reducción de una matriz a una forma gradual. Lo contrario del método gaussiano es la reducción de una matriz a una forma especial por pasos. Pero en la práctica, es más conveniente poner a cero inmediatamente lo que se encuentra tanto arriba como debajo del elemento en cuestión. Nuestra calculadora utiliza exactamente este enfoque.
- Es importante tener en cuenta que al resolver mediante el método gaussiano, la presencia en la matriz de al menos una fila cero con NO cero lado derecho(columna de miembros libres) indica la incompatibilidad del sistema. Solución sistema lineal en este caso no existe.
Para comprender mejor cómo funciona el algoritmo gaussiano en línea, ingrese cualquier ejemplo, seleccione "solución muy detallada" y vea su solución en línea.
Método de Gauss, también llamado método eliminación secuencial incógnitas es la siguiente. Mediante transformaciones elementales, un sistema de ecuaciones lineales se lleva a una forma tal que su matriz de coeficientes resulta ser trapezoidal (lo mismo que triangular o escalonado) o cercano al trapezoidal (trazo directo del método gaussiano, en adelante simplemente trazo recto). En la figura anterior se muestra un ejemplo de un sistema de este tipo y su solución.
En tal sistema, la última ecuación contiene solo una variable y su valor se puede encontrar sin ambigüedades. Luego, el valor de esta variable se sustituye en la ecuación anterior ( inverso del método gaussiano , luego todo lo contrario), a partir del cual se encuentra la variable anterior, y así sucesivamente.
En un sistema trapezoidal (triangular), como vemos, la tercera ecuación ya no contiene variables y Y X, y la segunda ecuación es la variable X .
Una vez que la matriz del sistema ha tomado una forma trapezoidal, ya no es difícil comprender la cuestión de la compatibilidad del sistema, determinar el número de soluciones y encontrar las soluciones mismas.
Ventajas del método:
- al resolver sistemas de ecuaciones lineales con más de tres ecuaciones e incógnitas, el método de Gauss no es tan engorroso como el método de Cramer, ya que resolver con el método de Gauss requiere menos cálculos;
- Usando el método de Gauss, puedes resolver sistemas indefinidos de ecuaciones lineales, es decir, teniendo decisión común(y los veremos en esta lección), pero usando el método de Cramer, sólo podemos afirmar que el sistema es incierto;
- puedes resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de incógnitas no es igual al número de ecuaciones (también las analizaremos en esta lección);
- El método se basa en métodos elementales (escolares): el método de sustitución de incógnitas y el método de suma de ecuaciones, que abordamos en el artículo correspondiente.
Para que todos comprendan la simplicidad con la que se resuelven los sistemas trapezoidales (triangulares, escalonados) de ecuaciones lineales, presentamos una solución a dicho sistema utilizando movimiento inverso. decisión rápida Este sistema se muestra en la imagen al comienzo de la lección.
Ejemplo 1. Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando inversa:
Solución. En este sistema trapezoidal la variable z se puede encontrar únicamente a partir de la tercera ecuación. Sustituimos su valor en la segunda ecuación y obtenemos el valor de la variable. y:
Ahora conocemos los valores de dos variables: z Y y. Los sustituimos en la primera ecuación y obtenemos el valor de la variable. X:
De los pasos anteriores escribimos la solución al sistema de ecuaciones:
Para obtener un sistema trapezoidal de ecuaciones lineales que resolvimos de manera muy simple, es necesario utilizar un movimiento hacia adelante asociado con transformaciones elementales del sistema de ecuaciones lineales. Tampoco es muy difícil.
Transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones lineales.
Repitiendo el método escolar de sumar algebraicamente las ecuaciones de un sistema, descubrimos que a una de las ecuaciones del sistema podemos sumar otra ecuación del sistema, y cada una de las ecuaciones se puede multiplicar por algunos números. Como resultado obtenemos un sistema de ecuaciones lineales equivalente a éste. En ella, una ecuación ya contenía solo una variable, sustituyendo cuyo valor en otras ecuaciones llegamos a una solución. Esta suma es uno de los tipos de transformación elemental del sistema. Cuando utilizamos el método gaussiano, podemos utilizar varios tipos de transformaciones.
La animación de arriba muestra cómo el sistema de ecuaciones se vuelve gradualmente trapezoidal. Es decir, el que viste en la primera animación y te convenciste de que es fácil encontrar los valores de todas las incógnitas en él. Se discutirá más a fondo cómo realizar dicha transformación y, por supuesto, ejemplos.
Al resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones e incógnitas en el sistema de ecuaciones y en la matriz extendida del sistema. Poder:
- reorganizar líneas (esto se mencionó al principio de este artículo);
- si otras transformaciones dan como resultado filas iguales o proporcionales, se pueden eliminar, excepto una;
- eliminar las filas "cero" donde todos los coeficientes son iguales a cero;
- multiplicar o dividir cualquier cadena por un número determinado;
- a cualquier línea agregue otra línea, multiplicada por un número determinado.
Como resultado de las transformaciones obtenemos un sistema de ecuaciones lineales equivalente a este.
Algoritmo y ejemplos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales con una matriz cuadrada del sistema mediante el método de Gauss.
Consideremos primero la resolución de sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. La matriz de dicho sistema es cuadrada, es decir, el número de filas es igual al número de columnas.
Ejemplo 2. Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.
Al resolver sistemas de ecuaciones lineales usando métodos escolares, multiplicamos una de las ecuaciones término por término por un cierto número, de modo que los coeficientes de la primera variable en las dos ecuaciones fueran números opuestos. Al sumar ecuaciones, esta variable se elimina. El método de Gauss funciona de manera similar.
Simplificar apariencia soluciones creemos una matriz extendida del sistema:
En esta matriz, los coeficientes de las incógnitas se ubican a la izquierda antes de la línea vertical y los términos libres se ubican a la derecha después de la línea vertical.
Por la conveniencia de dividir coeficientes por variables (para obtener la división por unidad) Intercambiemos la primera y segunda filas de la matriz del sistema.. Obtenemos un sistema equivalente a este, ya que en un sistema de ecuaciones lineales las ecuaciones se pueden intercambiar:
Usando la nueva primera ecuación eliminar la variable X de la segunda y todas las ecuaciones posteriores. Para hacer esto, a la segunda fila de la matriz sumamos la primera fila multiplicada por (en nuestro caso por ), a la tercera fila, la primera fila multiplicada por (en nuestro caso por ).
Esto es posible porque
Si nuestro sistema de ecuaciones tuviera Mas de tres, entonces sería necesario agregar a todas las ecuaciones posteriores la primera línea, multiplicada por la relación de los coeficientes correspondientes, tomados con un signo menos.
Como resultado, obtenemos una matriz equivalente a este sistema de un nuevo sistema de ecuaciones, en el que todas las ecuaciones, a partir de la segunda no contiene una variable X :
Para simplificar la segunda línea del sistema resultante, multiplíquela por y nuevamente obtenga la matriz de un sistema de ecuaciones equivalente a este sistema:
Ahora, manteniendo sin cambios la primera ecuación del sistema resultante, usando la segunda ecuación eliminamos la variable y de todas las ecuaciones posteriores. Para ello, a la tercera fila de la matriz del sistema le sumamos la segunda fila, multiplicada por (en nuestro caso por ).
Si hubiera más de tres ecuaciones en nuestro sistema, entonces tendríamos que agregar una segunda línea a todas las ecuaciones posteriores, multiplicada por la relación de los coeficientes correspondientes tomados con un signo menos.
Como resultado, obtenemos nuevamente la matriz de un sistema equivalente a este sistema de ecuaciones lineales:
Hemos obtenido un sistema trapezoidal equivalente de ecuaciones lineales:
Si el número de ecuaciones y variables es mayor que en nuestro ejemplo, entonces el proceso de eliminación secuencial de variables continúa hasta que la matriz del sistema se vuelve trapezoidal, como en nuestro ejemplo de demostración.
Encontraremos la solución "desde el final" - el movimiento inverso. Para esto de la última ecuación determinamos z:
.
Sustituyendo este valor en la ecuación anterior, lo encontraremos y:
De la primera ecuación lo encontraremos X:
Respuesta: la solución de este sistema de ecuaciones es 
.
: en este caso se dará la misma respuesta si el sistema tiene una solución única. Si el sistema tiene un número infinito de soluciones, entonces esta será la respuesta, y este es el tema de la quinta parte de esta lección.
Resuelva usted mismo un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método gaussiano y luego observe la solución.
Aquí nuevamente tenemos un ejemplo de un sistema consistente y definido de ecuaciones lineales, en el que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. La diferencia con nuestro ejemplo de demostración del algoritmo es que ya hay cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas.
Ejemplo 4. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss:
Ahora necesitas usar la segunda ecuación para eliminar la variable de las ecuaciones posteriores. llevemos a cabo trabajo de preparatoria. Para que sea más conveniente con la proporción de coeficientes, debe obtener uno en la segunda columna de la segunda fila. Para hacer esto, reste la tercera línea de la segunda línea y multiplique la segunda línea resultante por -1.
Realicemos ahora la eliminación real de la variable de la tercera y cuarta ecuaciones. Para hacer esto, agregue la segunda línea, multiplicada por, a la tercera línea, y la segunda, multiplicada por, a la cuarta línea.
Ahora, usando la tercera ecuación, eliminamos la variable de la cuarta ecuación. Para hacer esto, agregue la tercera línea a la cuarta línea, multiplicada por. Obtenemos una matriz trapezoidal extendida.
Hemos obtenido un sistema de ecuaciones que es equivalente a este sistema:
En consecuencia, los sistemas resultantes y dados son compatibles y definidos. Decisión definitiva encontramos “desde el final”. De la cuarta ecuación podemos expresar directamente el valor de la variable “x-cuatro”:
Sustituimos este valor en la tercera ecuación del sistema y obtenemos
,
,
Finalmente, sustitución de valores.
La primera ecuación da
,
¿Dónde encontramos “x primero”?
Respuesta: este sistema de ecuaciones tiene una solución única. 
.
También puedes comprobar la solución del sistema en una calculadora utilizando el método de Cramer: en este caso, se dará la misma respuesta si el sistema tiene una solución única.
Resolver problemas aplicados utilizando el método de Gauss usando el ejemplo de un problema sobre aleaciones.
Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan para modelar objetos reales en el mundo físico. Resolvamos uno de estos problemas: las aleaciones. Problemas similares: problemas de mezclas, costes o Gravedad específica bienes individuales en un grupo de productos y similares.
Ejemplo 5. Tres piezas de aleación tienen una masa total de 150 kg. La primera aleación contiene un 60% de cobre, la segunda un 30% y la tercera un 10%. Además, en la segunda y tercera aleaciones juntas hay 28,4 kg menos de cobre que en la primera aleación, y en la tercera aleación hay 6,2 kg menos de cobre que en la segunda. Encuentre la masa de cada pieza de la aleación.
Solución. Componemos un sistema de ecuaciones lineales:
Multiplicamos la segunda y tercera ecuaciones por 10, obtenemos un sistema equivalente de ecuaciones lineales:
Creamos una matriz extendida del sistema:
Atención, de frente. Sumando (en nuestro caso restando) una fila multiplicada por un número (lo aplicamos dos veces), se producen las siguientes transformaciones con la matriz extendida del sistema:
El movimiento directo ha terminado. Obtuvimos una matriz trapezoidal expandida.
Aplicamos el movimiento inverso. Encontramos la solución desde el final. Vemos eso.
De la segunda ecuación encontramos
De la tercera ecuación -
También puedes comprobar la solución del sistema en una calculadora utilizando el método de Cramer: en este caso, se dará la misma respuesta si el sistema tiene una solución única.
La simplicidad del método de Gauss se evidencia en el hecho de que al matemático alemán Carl Friedrich Gauss le tomó sólo 15 minutos inventarlo. Además del método que lleva su nombre, en las obras de Gauss se conoce el dicho "No debemos confundir lo que nos parece increíble y antinatural con lo absolutamente imposible", una especie de breves instrucciones para hacer descubrimientos.
En muchos problemas aplicados puede que no exista una tercera restricción, es decir una tercera ecuación, entonces hay que resolver un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas mediante el método gaussiano, o por el contrario, hay menos incógnitas que ecuaciones. Ahora comenzaremos a resolver tales sistemas de ecuaciones.
Utilizando el método gaussiano, se puede determinar si algún sistema es compatible o incompatible norte ecuaciones lineales con norte variables.
El método de Gauss y los sistemas de ecuaciones lineales con infinito número de soluciones.
El siguiente ejemplo es un sistema consistente pero indeterminado de ecuaciones lineales, es decir, que tiene un número infinito de soluciones.
Después de realizar transformaciones en la matriz extendida del sistema (reorganizar filas, multiplicar y dividir filas por un número determinado, agregar otro a una fila), podrían aparecer filas de la forma
Si en todas las ecuaciones que tienen la forma
Los términos libres son iguales a cero, esto significa que el sistema es indefinido, es decir, tiene infinitas soluciones, y las ecuaciones de este tipo son “sobrantes” y las excluimos del sistema.
Ejemplo 6.
Solución. Creemos una matriz extendida del sistema. Luego, usando la primera ecuación, eliminamos la variable de las ecuaciones posteriores. Para hacer esto, agregue a las líneas segunda, tercera y cuarta la primera, multiplicada por:
Ahora agreguemos la segunda línea a la tercera y cuarta.
Como resultado llegamos al sistema.
Las dos últimas ecuaciones se convirtieron en ecuaciones de la forma. Estas ecuaciones se satisfacen para cualquier valor de las incógnitas y pueden descartarse.
Para satisfacer la segunda ecuación, podemos elegir valores arbitrarios para y, luego el valor de se determinará de forma única: 
. De la primera ecuación, el valor de también se encuentra de forma única: 
.
Tanto el sistema dado como el último son consistentes, pero inciertos, y las fórmulas
para arbitrario y nos da todas las soluciones de un sistema dado.
Método de Gauss y sistemas de ecuaciones lineales sin soluciones.
El siguiente ejemplo es un sistema inconsistente de ecuaciones lineales, es decir, uno que no tiene soluciones. La respuesta a tales problemas se formula de esta manera: el sistema no tiene soluciones.
Como ya se mencionó en relación con el primer ejemplo, después de realizar transformaciones, podrían aparecer filas del formulario en la matriz extendida del sistema.
correspondiente a una ecuación de la forma
Si entre ellas hay al menos una ecuación con un término libre distinto de cero (es decir, ), entonces este sistema de ecuaciones es inconsistente, es decir, no tiene soluciones y su solución es completa.
Ejemplo 7. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss:
Solución. Componemos una matriz extendida del sistema. Usando la primera ecuación, excluimos la variable de las ecuaciones posteriores. Para hacer esto, agregue la primera línea multiplicada por a la segunda línea, la primera línea multiplicada por la tercera línea y la primera línea multiplicada por la cuarta línea.
Ahora necesitas usar la segunda ecuación para eliminar la variable de las ecuaciones posteriores. Para obtener razones enteras de coeficientes, intercambiamos la segunda y tercera filas de la matriz extendida del sistema.
Para excluir las ecuaciones tercera y cuarta, suma la segunda multiplicada por , a la tercera línea, y la segunda multiplicada por , a la cuarta línea.
Ahora, usando la tercera ecuación, eliminamos la variable de la cuarta ecuación. Para hacer esto, agregue la tercera línea a la cuarta línea, multiplicada por.
Por tanto, el sistema dado es equivalente al siguiente:
El sistema resultante es inconsistente, ya que su última ecuación no puede satisfacerse con ningún valor de las incógnitas. Por tanto, este sistema no tiene soluciones.
método de gauss perfecto para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE). Tiene una serie de ventajas respecto a otros métodos:
- en primer lugar, no es necesario examinar primero la coherencia del sistema de ecuaciones;
- en segundo lugar, el método de Gauss puede resolver no solo SLAE en los que el número de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y la matriz principal del sistema no es singular, sino también sistemas de ecuaciones en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o el determinante de la matriz principal es igual a cero;
- En tercer lugar, el método gaussiano produce resultados con un número relativamente pequeño de operaciones computacionales.
Breve reseña del artículo.
Primero, damos las definiciones necesarias e introducimos notaciones.
A continuación, describiremos el algoritmo del método de Gauss para el caso más simple, es decir, para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, cuyo número de ecuaciones coincide con el número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es no igual a cero. Al resolver tales sistemas de ecuaciones, la esencia del método de Gauss, que es la eliminación secuencial de variables desconocidas, es más claramente visible. Por lo tanto, el método gaussiano también se denomina método de eliminación secuencial de incógnitas. Mostraremos soluciones detalladas de varios ejemplos.
En conclusión, consideraremos la solución por el método de Gauss de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, cuya matriz principal es rectangular o singular. La solución a estos sistemas tiene algunas características que examinaremos en detalle mediante ejemplos.
Navegación de páginas.
Definiciones y notaciones básicas.
Considere un sistema de p ecuaciones lineales con n incógnitas (p puede ser igual a n):
Donde son variables desconocidas, son números (reales o complejos) y son términos libres.
Si 
, entonces el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.
El conjunto de valores de variables desconocidas para el cual todas las ecuaciones del sistema se vuelven identidades se llama decisión de la SLAU.
Si existe al menos una solución para un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, entonces se llama articulación, de lo contrario - no conjunto.
Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto. Si hay más de una solución, entonces el sistema se llama incierto.
Dicen que el sistema está escrito en forma coordinada, si tiene la forma
.
Este sistema en forma matricial registros tiene la forma , donde 
- la matriz principal de la SLAE, - la matriz de la columna de variables desconocidas, - la matriz de términos libres.
Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Normalmente, una matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada por una línea vertical de las columnas restantes, es decir, 
La matriz cuadrada A se llama degenerar, si su determinante es cero. Si , entonces la matriz A se llama no degenerado.
Cabe señalar el siguiente punto.
Si actuamos con un sistema de ecuaciones algebraicas lineales las siguientes acciones
- intercambiar dos ecuaciones,
- multiplicar ambos lados de cualquier ecuación por un número real (o complejo) arbitrario y distinto de cero k,
- a ambos lados de cualquier ecuación sume las partes correspondientes de otra ecuación, multiplicadas por un número arbitrario k,
entonces obtienes un sistema equivalente que tiene las mismas soluciones (o, al igual que el original, no tiene soluciones).
Para una matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, estas acciones supondrán realizar transformaciones elementales con las filas:
- intercambiando dos líneas,
- multiplicar todos los elementos de cualquier fila de la matriz T por un número k distinto de cero,
- sumando a los elementos de cualquier fila de una matriz los elementos correspondientes de otra fila, multiplicados por un número arbitrario k.
Ahora podemos proceder a la descripción del método de Gauss.
Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, en los que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y la matriz principal del sistema es no singular, mediante el método de Gauss.
¿Qué haríamos en la escuela si nos dieran la tarea de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones? 
.
Algunos harían eso.
Tenga en cuenta que sumar al lado izquierdo de la segunda ecuación lado izquierdo primero, y en el lado derecho, el derecho, puede deshacerse de las variables desconocidas x 2 y x 3 e inmediatamente encontrar x 1: 
Sustituimos el valor encontrado x 1 =1 en la primera y tercera ecuaciones del sistema: 
Si multiplicamos ambos lados de la tercera ecuación del sistema por -1 y los sumamos a las partes correspondientes de la primera ecuación, nos deshacemos de la variable desconocida x 3 y podemos encontrar x 2: 
Sustituimos el valor resultante x 2 = 2 en la tercera ecuación y encontramos la variable desconocida restante x 3: 
Otros hubieran hecho lo contrario.
Resolvamos la primera ecuación del sistema con respecto a la variable desconocida x 1 y sustituimos la expresión resultante en la segunda y tercera ecuaciones del sistema para excluir esta variable de ellas: 
Ahora resolvamos la segunda ecuación del sistema para x 2 y sustituyamos el resultado resultante en la tercera ecuación para eliminar la variable desconocida x 2: 
De la tercera ecuación del sistema queda claro que x 3 =3. De la segunda ecuación encontramos 
, y de la primera ecuación obtenemos .
Soluciones familiares, ¿verdad?
Lo más interesante aquí es que el segundo método de solución es esencialmente el método de eliminación secuencial de incógnitas, es decir, el método gaussiano. Cuando expresamos las variables desconocidas (primero x 1, en la siguiente etapa x 2) y las sustituimos en las ecuaciones restantes del sistema, las excluimos. Realizamos eliminación hasta que solo quedó una variable desconocida en la última ecuación. El proceso de eliminación secuencial de incógnitas se llama método gaussiano directo. Despues de terminar golpe hacia adelante ahora tenemos la oportunidad de calcular la variable desconocida en la última ecuación. Con su ayuda, encontramos la siguiente variable desconocida de la penúltima ecuación, y así sucesivamente. El proceso de encontrar secuencialmente variables desconocidas mientras se pasa de la última ecuación a la primera se llama inverso del método gaussiano.
Cabe señalar que cuando expresamos x 1 en términos de x 2 y x 3 en la primera ecuación, y luego sustituimos la expresión resultante en la segunda y tercera ecuaciones, las siguientes acciones conducen al mismo resultado:
De hecho, este procedimiento también permite eliminar la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema: 
Los matices con la eliminación de variables desconocidas mediante el método gaussiano surgen cuando las ecuaciones del sistema no contienen algunas variables.
Por ejemplo, en SLAU 
en la primera ecuación no hay ninguna variable desconocida x 1 (en otras palabras, el coeficiente delante de ella es cero). Por lo tanto, no podemos resolver la primera ecuación del sistema para x 1 para eliminar esta variable desconocida de las ecuaciones restantes. La salida a esta situación es intercambiar las ecuaciones del sistema. Dado que estamos considerando sistemas de ecuaciones lineales cuyos determinantes de las matrices principales son diferentes de cero, siempre hay una ecuación en la que está presente la variable que necesitamos y podemos reorganizar esta ecuación en la posición que necesitamos. Para nuestro ejemplo, basta con intercambiar la primera y la segunda ecuaciones del sistema. 
, entonces puedes resolver la primera ecuación para x 1 y excluirla de las ecuaciones restantes del sistema (aunque x 1 ya no está presente en la segunda ecuación).
Esperamos que entiendas la esencia.
describamos Algoritmo del método gaussiano.
Supongamos que necesitamos resolver un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas. variables de la forma 
, y sea el determinante de su matriz principal distinto de cero.
Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo reordenando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma 
dónde y 
.
Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.
A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura. 
Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , a la cuarta ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma 
dónde y 
. Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.
A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, mientras actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura. 
Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma 
A partir de este momento comenzamos lo contrario del método gaussiano: calculamos x n de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .
Veamos el algoritmo con un ejemplo.
Ejemplo.
Método de Gauss.
Solución.
El coeficiente a 11 es distinto de cero, por lo que procedemos a la progresión directa del método gaussiano, es decir, a la exclusión de la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema excepto la primera. Para hacer esto, a los lados izquierdo y derecho de la segunda, tercera y cuarta ecuaciones, suma los lados izquierdo y derecho de la primera ecuación, multiplicados por, respectivamente. 
Y : 
La variable desconocida x 1 ha sido eliminada, pasemos a eliminar x 2. A los lados izquierdo y derecho de la tercera y cuarta ecuaciones del sistema sumamos los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por respectivamente 
Y 
:
Para completar la progresión directa del método gaussiano, necesitamos eliminar la variable desconocida x 3 de la última ecuación del sistema. Sumemos a los lados izquierdo y derecho de la cuarta ecuación, respectivamente, los lados izquierdo y derecho de la tercera ecuación, multiplicados por 
:
Puede comenzar a la inversa del método gaussiano.
De la última ecuación tenemos 
,
de la tercera ecuación obtenemos,
desde el segundo,
desde el primero.
Para comprobarlo, puede sustituir los valores obtenidos de las variables desconocidas en el sistema de ecuaciones original. Todas las ecuaciones se convierten en identidades, lo que indica que la solución utilizando el método de Gauss se encontró correctamente.
Respuesta:
Ahora demos una solución al mismo ejemplo usando el método gaussiano en notación matricial.
Ejemplo.
Encuentra la solución al sistema de ecuaciones. Método de Gauss.
Solución.
La matriz extendida del sistema tiene la forma 
. En la parte superior de cada columna están las variables desconocidas que corresponden a los elementos de la matriz.
El enfoque directo del método gaussiano implica aquí reducir la matriz extendida del sistema a una forma trapezoidal mediante transformaciones elementales. Este proceso es similar a la eliminación de variables desconocidas que hicimos con el sistema en forma de coordenadas. Ahora verás esto.
Transformemos la matriz para que todos los elementos de la primera columna, comenzando por la segunda, se vuelvan cero. Para ello, a los elementos de la segunda, tercera y cuarta línea le sumamos los elementos correspondientes de la primera línea multiplicados por , y, en consecuencia: 
A continuación, transformamos la matriz resultante para que en la segunda columna todos los elementos, comenzando por la tercera, se vuelvan cero. Esto correspondería a eliminar la variable desconocida x 2. Para ello, a los elementos de la tercera y cuarta fila sumamos los elementos correspondientes de la primera fila de la matriz, multiplicados por respectivamente Y :
Queda por excluir la variable desconocida x 3 de la última ecuación del sistema. Para ello, a los elementos de la última fila de la matriz resultante le sumamos los elementos correspondientes de la penúltima fila, multiplicados por :
Cabe señalar que esta matriz corresponde a un sistema de ecuaciones lineales 
que se obtuvo anteriormente después de un movimiento hacia adelante.
Es hora de dar marcha atrás. En notación matricial, lo inverso del método gaussiano implica transformar la matriz resultante de modo que la matriz marcada en la figura 
se volvió diagonal, es decir, tomó la forma 
¿Dónde están algunos números?
Estas transformaciones son similares a las transformaciones directas del método gaussiano, pero no se realizan desde la primera línea hasta la última, sino desde la última hasta la primera.
Suma a los elementos de la tercera, segunda y primera línea los elementos correspondientes de la última línea, multiplicados por 
, incesantemente 
respectivamente: 
Ahora suma a los elementos de la segunda y primera línea los elementos correspondientes de la tercera línea, multiplicados por y por, respectivamente: 
En el último paso del método gaussiano inverso, a los elementos de la primera fila sumamos los elementos correspondientes de la segunda fila, multiplicados por: 
La matriz resultante corresponde al sistema de ecuaciones. 
, de donde encontramos las variables desconocidas.
Respuesta:
NOTA.
Cuando se utiliza el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, se deben evitar los cálculos aproximados, ya que esto puede conducir a resultados completamente incorrectos. Recomendamos no redondear decimales. mejor de decimales ir a fracciones ordinarias.
Ejemplo.
Resolver un sistema de tres ecuaciones usando el método de Gauss. 
.
Solución.
Tenga en cuenta que en este ejemplo las variables desconocidas tienen una designación diferente (no x 1, x 2, x 3, sino x, y, z). Pasemos a las fracciones ordinarias: 
Excluimos la incógnita x de la segunda y tercera ecuaciones del sistema: 
En el sistema resultante, la variable desconocida y está ausente en la segunda ecuación, pero y está presente en la tercera ecuación, por lo tanto, intercambiemos la segunda y la tercera ecuación: 
Esto completa la progresión directa del método de Gauss (no es necesario excluir y de la tercera ecuación, ya que esta variable desconocida ya no existe).
Comencemos el movimiento inverso.
De la última ecuación encontramos 
,
desde el penúltimo 
de la primera ecuación tenemos 
Respuesta:
X = 10, y = 5, z = -20.
Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de incógnitas o la matriz principal del sistema es singular, mediante el método de Gauss.
Los sistemas de ecuaciones, cuya matriz principal es rectangular o cuadrada singular, pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener un número infinito de soluciones.
Ahora entenderemos cómo el método de Gauss nos permite establecer la compatibilidad o inconsistencia de un sistema de ecuaciones lineales, y en el caso de su compatibilidad, determinar todas las soluciones (o una sola solución).
En principio, el proceso de eliminación de variables desconocidas en el caso de tales SLAE sigue siendo el mismo. Sin embargo, vale la pena entrar en detalle sobre algunas situaciones que pueden surgir.
Pasemos a la etapa más importante.
Entonces, supongamos que el sistema de ecuaciones algebraicas lineales, después de completar la progresión directa del método de Gauss, toma la forma 
y no se redujo ni una sola ecuación (en este caso concluiríamos que el sistema es incompatible). Surge una pregunta lógica: "¿Qué hacer a continuación"?
Anotemos las variables desconocidas que aparecen primero en todas las ecuaciones del sistema resultante: 
En nuestro ejemplo, estos son x 1, x 4 y x 5. En los lados izquierdos de las ecuaciones del sistema dejamos solo aquellos términos que contienen las variables desconocidas escritas x 1, x 4 y x 5, los términos restantes se transfieren al lado derecho de las ecuaciones con el signo opuesto: 
Démosle valores arbitrarios a las variables desconocidas que están en el lado derecho de las ecuaciones, donde 
- números arbitrarios: 
Después de esto, los lados derechos de todas las ecuaciones de nuestro SLAE contienen números y podemos proceder a la inversa del método gaussiano.
De la última ecuación del sistema tenemos, de la penúltima ecuación encontramos, de la primera ecuación obtenemos 
La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de variables desconocidas. 
Dando números diferentes valores, obtendremos diferentes soluciones al sistema de ecuaciones. Es decir, nuestro sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.
Respuesta:
Dónde - números arbitrarios.
Para consolidar el material, analizaremos en detalle las soluciones de varios ejemplos más.
Ejemplo.
Decidir sistema homogéneo ecuaciones algebraicas lineales 
Método de Gauss.
Solución.
Excluyamos la variable desconocida x de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para hacer esto, a los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, sumamos, respectivamente, los lados izquierdo y derecho de la primera ecuación, multiplicados por, y a los lados izquierdo y derecho de la tercera ecuación, sumamos los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, respectivamente. lados derechos de la primera ecuación, multiplicados por: 
Ahora excluyamos y de la tercera ecuación del sistema de ecuaciones resultante: 
El SLAE resultante es equivalente al sistema 
.
Dejamos en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema solo los términos que contienen las variables desconocidas x e y, y movemos los términos con la variable desconocida z al lado derecho: 
Dos sistemas de ecuaciones lineales se llaman equivalentes si el conjunto de todas sus soluciones coincide.
Las transformaciones elementales de un sistema de ecuaciones son:
- Eliminar ecuaciones triviales del sistema, es decir aquellos para los cuales todos los coeficientes son iguales a cero;
- Multiplicar cualquier ecuación por un número distinto de cero;
- Sumar a cualquier ecuación i-ésima cualquier ecuación j-ésima multiplicada por cualquier número.
Una variable x i se llama libre si esta variable no está permitida, pero sí se permite todo el sistema de ecuaciones.
Teorema. Las transformaciones elementales transforman un sistema de ecuaciones en uno equivalente.
El significado del método gaussiano es transformar el sistema de ecuaciones original y obtener un sistema equivalente resuelto o equivalente inconsistente.
Entonces, el método gaussiano consta de los siguientes pasos:
- Veamos la primera ecuación. Elijamos el primer coeficiente distinto de cero y dividamos toda la ecuación por él. Obtenemos una ecuación en la que entra alguna variable x i con coeficiente 1;
- Restemos esta ecuación de todas las demás, multiplicándola por números tales que los coeficientes de la variable x i en las ecuaciones restantes se reduzcan a cero. Obtenemos un sistema resuelto respecto de la variable x i y equivalente al original;
- Si surgen ecuaciones triviales (rara vez, pero sucede; por ejemplo, 0 = 0), las tachamos del sistema. Como resultado, hay una ecuación menos;
- Repetimos los pasos anteriores no más de n veces, donde n es el número de ecuaciones del sistema. Cada vez seleccionamos una nueva variable para “procesar”. Si surgen ecuaciones inconsistentes (por ejemplo, 0 = 8), el sistema es inconsistente.
Como resultado, tras unos pocos pasos obtendremos un sistema resuelto (posiblemente con variables libres) o uno inconsistente. Los sistemas permitidos se dividen en dos casos:
- El número de variables es igual al número de ecuaciones. Esto significa que el sistema está definido;
- Número de variables mas numero ecuaciones. Recopilamos todas las variables libres a la derecha; obtenemos fórmulas para las variables permitidas. Estas fórmulas están escritas en la respuesta.
¡Eso es todo! ¡Sistema de ecuaciones lineales resuelto! Este es un algoritmo bastante simple y para dominarlo no es necesario contactar a un tutor de matemáticas superior. Veamos un ejemplo:
Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:
Descripción de pasos:
- Reste la primera ecuación de la segunda y la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
- Multiplicamos la segunda ecuación por (−1) y dividimos la tercera ecuación por (−3); obtenemos dos ecuaciones en las que la variable x 2 entra con un coeficiente de 1;
- Sumamos la segunda ecuación a la primera y restamos de la tercera. Obtenemos la variable permitida x 2 ;
- Finalmente, restamos la tercera ecuación de la primera: obtenemos la variable permitida x 3;
- Hemos recibido un sistema aprobado, anota la respuesta.
La solución general de un sistema simultáneo de ecuaciones lineales es nuevo sistema, equivalente al original, en el que todas las variables permitidas se expresan en términos de libres.
¿Cuándo podría ser necesaria una solución general? Si tienes que hacer menos pasos que k (k es cuántas ecuaciones hay). Sin embargo, las razones por las que el proceso termina en algún paso l< k , может быть две:
- Después del paso l, obtuvimos un sistema que no contiene una ecuación con el número (l + 1). De hecho, esto es bueno, porque... El sistema autorizado todavía se obtiene, incluso unos pasos antes.
- Después del paso l, obtuvimos una ecuación en la que todos los coeficientes de las variables son iguales a cero y el coeficiente libre es diferente de cero. Esta es una ecuación contradictoria y, por tanto, el sistema es inconsistente.
Es importante comprender que la aparición de una ecuación inconsistente utilizando el método gaussiano es base suficiente para la inconsistencia. Al mismo tiempo, observamos que, como resultado del décimo paso, no pueden quedar ecuaciones triviales: todas se tachan en el proceso.
Descripción de pasos:
- Resta la primera ecuación, multiplicada por 4, de la segunda. También sumamos la primera ecuación a la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
- Resta la tercera ecuación, multiplicada por 2, de la segunda: obtenemos la ecuación contradictoria 0 = −5.
Entonces, el sistema es inconsistente porque se ha descubierto una ecuación inconsistente.
Tarea. Explore la compatibilidad y encuentre una solución general para el sistema:
Descripción de pasos:
- Restamos la primera ecuación de la segunda (después de multiplicarla por dos) y la tercera: obtenemos la variable permitida x 1;
- Resta la segunda ecuación de la tercera. Como todos los coeficientes de estas ecuaciones son iguales, la tercera ecuación se volverá trivial. Al mismo tiempo, multiplica la segunda ecuación por (−1);
- Reste la segunda de la primera ecuación: obtenemos la variable permitida x 2. Ahora también está resuelto todo el sistema de ecuaciones;
- Como las variables x 3 y x 4 son libres, las movemos hacia la derecha para expresar las variables permitidas. Esta es la respuesta.
Entonces, el sistema es consistente e indeterminado, ya que hay dos variables permitidas (x 1 y x 2) y dos libres (x 3 y x 4).
