Cómo resolver una ecuación diferencial. Ecuaciones diferenciales de primer orden

Institución educativa "Estado bielorruso

Academia Agrícola"

Departamento de Matemáticas Superiores

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Apuntes de conferencias para estudiantes de contabilidad.

forma de educación por correspondencia (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuaciones diferenciales de primer orden

El concepto de ecuación diferencial. Soluciones generales y particulares.

Al estudiar diversos fenómenos, a menudo no es posible encontrar una ley que conecte directamente la variable independiente y la función deseada, pero sí es posible establecer una conexión entre la función deseada y sus derivadas.

La relación que conecta la variable independiente, la función deseada y sus derivadas se llama ecuación diferencial :

Aquí incógnita– variable independiente, y– la función requerida,
- derivadas de la función deseada. En este caso, la relación (1) debe tener al menos una derivada.

El orden de la ecuación diferencial. se llama orden de la derivada más alta incluida en la ecuación.

Considere la ecuación diferencial

. (2)

Como esta ecuación incluye sólo una derivada de primer orden, se llama es una ecuación diferencial de primer orden.

Si la ecuación (2) se puede resolver con respecto a la derivada y escribirse en la forma

, (3)

entonces dicha ecuación se llama ecuación diferencial de primer orden en forma normal.

En muchos casos es aconsejable considerar una ecuación de la forma

que se llama una ecuación diferencial de primer orden escrita en forma diferencial.

Porque
, entonces la ecuación (3) se puede escribir en la forma
o
, donde podemos contar
Y
. Esto significa que la ecuación (3) se convierte en la ecuación (4).

Escribamos la ecuación (4) en la forma
. Entonces
,
,
, donde podemos contar
, es decir. Se obtiene una ecuación de la forma (3). Por tanto, las ecuaciones (3) y (4) son equivalentes.

Resolver una ecuación diferencial (2) o (3) se llama cualquier función
, que al sustituirlo en la ecuación (2) o (3), lo convierte en una identidad:

o
.

El proceso de encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial se llama integración y la gráfica de solución
la ecuación diferencial se llama curva integral esta ecuación.

Si la solución de la ecuación diferencial se obtiene en forma implícita
, entonces se llama integral de esta ecuación diferencial.

solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de funciones de la forma
, dependiendo de una constante arbitraria CON, cada uno de los cuales es una solución a una ecuación diferencial dada para cualquier valor admisible de una constante arbitraria CON. Por tanto, la ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones.

decisión privada La ecuación diferencial es una solución obtenida a partir de la fórmula de solución general para un valor específico de una constante arbitraria. CON, incluido
.

El problema de Cauchy y su interpretación geométrica.

La ecuación (2) tiene un número infinito de soluciones. Para seleccionar una solución de este conjunto, que se denomina privada, es necesario establecer algunas condiciones adicionales.

El problema de encontrar una solución particular a la ecuación (2) en determinadas condiciones se llama problema de cauchy . Este problema es uno de los más importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales.

El problema de Cauchy se formula de la siguiente manera: entre todas las soluciones de la ecuación (2) encuentre tal solución
, en el que la función
toma el valor numérico dado , si la variable independiente incógnita toma el valor numérico dado , es decir.

,
, (5)

Dónde D– dominio de definición de la función
.

Significado llamado el valor inicial de la función , A – valor inicial de la variable independiente . La condición (5) se llama condición inicial o condición de cauchy .

Desde un punto de vista geométrico, el problema de Cauchy para la ecuación diferencial (2) se puede formular de la siguiente manera: del conjunto de curvas integrales de la ecuación (2), seleccione la que pasa por un punto dado
.

Ecuaciones diferenciales con variables separables

Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es una ecuación diferencial de primer orden que no contiene la función deseada:

. (6)

considerando que
, escribimos la ecuación en la forma
o
. Integrando ambos lados de la última ecuación, obtenemos:
o

. (7)

Por tanto, (7) es una solución general de la ecuación (6).

Ejemplo 1 . Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

Solución . Escribamos la ecuación en la forma
o
. Integramos ambos lados de la ecuación resultante:
,
. Finalmente lo escribiremos
.

Ejemplo 2 . Encuentra la solución a la ecuación.
dado que
.

Solución . Encontremos una solución general a la ecuación:
,
,
,
. Por condición
,
. Sustituyamos en la solución general:
o
. Sustituimos el valor encontrado de una constante arbitraria en la fórmula de la solución general:
. Esta es una solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición dada.

Ecuación

(8)

Llamado una ecuación diferencial de primer orden que no contiene una variable independiente . Escribámoslo en la forma
o
. Integramos ambos lados de la última ecuación:
o
- solución general de la ecuación (8).

Ejemplo . Encuentra la solución general de la ecuación.
.

Solución . Escribamos esta ecuación en la forma:
o
. Entonces
,
,
,
. De este modo,
es la solución general de esta ecuación.

Ecuación de la forma

(9)

integra mediante separación de variables. Para hacer esto, escribimos la ecuación en la forma
, y luego usando las operaciones de multiplicación y división lo llevamos a una forma tal que una parte incluye solo la función de incógnita y diferencial dx, y en la segunda parte – la función de en y diferencial dy. Para hacer esto, ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por dx y dividir por
. Como resultado obtenemos la ecuación

, (10)

en el que las variables incógnita Y en apartado. Integramos ambos lados de la ecuación (10):
. La relación resultante es la integral general de la ecuación (9).

Ejemplo 3 . Integrar ecuación
.

Solución . Transformemos la ecuación y separemos las variables:
,
. Integramos:
,
o es la integral general de esta ecuación.
.

Sea la ecuación dada en la forma

Esta ecuación se llama ecuación diferencial de primer orden con variables separables en forma simétrica.

Para separar las variables, necesitas dividir ambos lados de la ecuación entre
:

. (12)

La ecuación resultante se llama ecuación diferencial separada . Integramos la ecuación (12):

.(13)

La relación (13) es la integral general de la ecuación diferencial (11).

Ejemplo 4 . Integrar una ecuación diferencial.

Solución . Escribamos la ecuación en la forma

y dividir ambas partes por
,
. La ecuación resultante:
es una ecuación variable separada. Integremoslo:

,
,

,
. La última igualdad es la integral general de esta ecuación diferencial.

Ejemplo 5 . Encuentra una solución particular a la ecuación diferencial.
, satisfaciendo la condición
.

Solución . considerando que
, escribimos la ecuación en la forma
o
. Separemos las variables:
. Integramos esta ecuación:
,
,
. La relación resultante es la integral general de esta ecuación. Por condición
. Sustituyémoslo en la integral general y encontramos CON:
,CON=1. Entonces la expresión
es una solución parcial de una ecuación diferencial dada, escrita como integral parcial.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Ecuación

(14)

llamado ecuación diferencial lineal de primer orden . Función desconocida
y su derivada entran en esta ecuación linealmente, y las funciones
Y
continuo.

Si
, entonces la ecuación

(15)

llamado lineal homogéneo . Si
, entonces la ecuación (14) se llama lineal no homogéneo .

Para encontrar una solución a la ecuación (14) se suele utilizar método de sustitución (Bernoulli) , cuya esencia es la siguiente.

Buscaremos una solución a la ecuación (14) en forma de producto de dos funciones.

, (16)

Dónde
Y
- alguno funciones continuas. sustituyamos
y derivado
en la ecuación (14):

Función v seleccionaremos de tal manera que se cumpla la condición
.
Entonces

. Por tanto, para encontrar una solución a la ecuación (14), es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
,
,
,
,
La primera ecuación del sistema es una ecuación lineal homogénea y se puede resolver mediante el método de separación de variables:
. como una función CON=1:
puedes tomar una de las soluciones parciales de la ecuación homogénea, es decir en
o
. Sustituyamos en la segunda ecuación del sistema:
.Entonces
.

. Por tanto, la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma Ejemplo 6
.

Solución . Resuelve la ecuación
. Entonces
. Buscaremos una solución a la ecuación en la forma.

o
. Sustituyamos en la ecuación: v. Función
. Entonces
elegir de tal manera que se cumpla la igualdad
,
,
,
,. Sustituyamos en la ecuación: v. Resolvamos la primera de estas ecuaciones utilizando el método de separación de variables:
,
,
,
Sustituyamos en la segunda ecuación:
.

. La solución general de esta ecuación es

Preguntas para el autocontrol del conocimiento.

¿Qué es una ecuación diferencial?

¿Cuál es el orden de una ecuación diferencial?

¿Qué ecuación diferencial se llama ecuación diferencial de primer orden?

¿Cómo se escribe una ecuación diferencial de primer orden en forma diferencial?

¿Cuál es la solución de una ecuación diferencial?

¿Qué es una curva integral?

¿Cuál es la solución general de una ecuación diferencial de primer orden?

¿Qué se llama solución parcial de una ecuación diferencial?

¿Cómo se formula el problema de Cauchy para una ecuación diferencial de primer orden?

¿Cuál es la interpretación geométrica del problema de Cauchy?

¿Cómo escribir una ecuación diferencial con variables separables en forma simétrica?

¿Qué ecuación se llama ecuación diferencial lineal de primer orden?

¿Qué método se puede utilizar para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden y cuál es la esencia de este método?

Tareas para trabajo independiente.

Resolver ecuaciones diferenciales con variables separables:
A)
;

;
b)
.

V)

Resolver ecuaciones diferenciales con variables separables:
A)
;
;

GRAMO)
2. Resuelva ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
.

; cantidades fisicas, las derivadas corresponden a las tasas de cambio de estas cantidades y la ecuación determina la relación entre ellas.

Este artículo analiza métodos para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas soluciones se pueden escribir en la forma funciones elementales , es decir, polinomiales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, así como sus funciones inversas. Muchas de estas ecuaciones aparecen en vida real, aunque la mayoría de las otras ecuaciones diferenciales no se pueden resolver con estos métodos, y para ellas la respuesta se escribe en forma de funciones especiales o serie de potencias, o se encuentra mediante métodos numéricos.

Para comprender este artículo, debe dominar el cálculo diferencial e integral, así como también tener algunos conocimientos de derivadas parciales. También se recomienda conocer los conceptos básicos del álgebra lineal aplicada a las ecuaciones diferenciales, especialmente a las ecuaciones diferenciales de segundo orden, aunque para resolverlas son suficientes conocimientos de cálculo diferencial e integral.

Información preliminar

• Ecuaciones diferenciales Tienen una clasificación extensa. Este artículo habla de ecuaciones diferenciales ordinarias, es decir, sobre ecuaciones que incluyen una función de una variable y sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales ordinarias son mucho más fáciles de entender y resolver que ecuaciones diferenciales parciales, que incluyen funciones de varias variables. Este artículo no analiza las ecuaciones diferenciales parciales, ya que los métodos para resolver estas ecuaciones generalmente están determinados por su forma particular.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\parcial y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• Orden de una ecuación diferencial está determinada por el orden de la derivada más alta incluida en esta ecuación. La primera de las ecuaciones diferenciales ordinarias anteriores es de primer orden, mientras que la segunda es una ecuación de segundo orden. Grado de una ecuación diferencial es la potencia más alta a la que se eleva uno de los términos de esta ecuación.
  • Por ejemplo, la siguiente ecuación es de tercer orden y segundo grado.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ derecha)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• La ecuación diferencial es ecuación diferencial lineal en el caso de que la función y todas sus derivadas sean de primer grado. De lo contrario la ecuación es ecuación diferencial no lineal. Las ecuaciones diferenciales lineales se destacan porque sus soluciones se pueden usar para formar combinaciones lineales que también serán soluciones de la ecuación dada.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales.
  • A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales. La primera ecuación no es lineal debido al término seno.
    • d 2 θ d t 2 + g l pecado ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• solución general La ecuación diferencial ordinaria no es única, incluye constantes de integración arbitrarias. En la mayoría de los casos, el número de constantes arbitrarias es igual al orden de la ecuación. En la práctica, los valores de estas constantes se determinan en función de lo dado. condiciones iniciales, es decir, según los valores de la función y sus derivadas en x = 0. (\displaystyle x=0.) El número de condiciones iniciales que son necesarias para encontrar. solución privada ecuación diferencial, en la mayoría de los casos también es igual al orden de la ecuación dada.
  • Por ejemplo, este artículo analizará cómo resolver la siguiente ecuación. Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Su solución general contiene dos constantes arbitrarias. Para encontrar estas constantes es necesario conocer las condiciones iniciales en x (0) (\displaystyle x(0)) Y x′(0) . (\displaystyle x"(0).) Generalmente las condiciones iniciales se especifican en el punto x = 0 , (\displaystyle x=0,), aunque esto no es necesario. Este artículo también discutirá cómo encontrar soluciones particulares para condiciones iniciales dadas.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 porque ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Pasos

Parte 1

Ecuaciones de primer orden

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1. Ecuaciones lineales de primer orden. Esta sección analiza métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en general y casos especiales cuando algunos términos son iguales a cero. Supongamos que y = y (x), (\displaystyle y=y(x),) pag (x) (\displaystyle p(x)) Y q (x) (\displaystyle q(x)) son funciones incógnita. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Según uno de los principales teoremas. análisis matemático, la integral de la derivada de una función también es una función. Por tanto, basta con integrar la ecuación para encontrar su solución. Se debe tener en cuenta que al calcular integral indefinida aparece una constante arbitraria.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Usamos el método separación de variables. Esto mueve diferentes variables a diferentes lados de la ecuación. Por ejemplo, puede mover a todos los miembros de y (\displaystyle y) en uno, y todos los miembros con x (\displaystyle x) al otro lado de la ecuación. Los miembros también pueden ser transferidos. dx (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Y d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), que se incluyen en las expresiones de derivadas, pero conviene recordar que este es solo un símbolo que resulta conveniente a la hora de diferenciar función compleja. La discusión de estos miembros, que se denominan diferenciales, está más allá del alcance de este artículo.

   • Primero, debes mover las variables a lados opuestos del signo igual.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Integramos ambos lados de la ecuación. Después de la integración, aparecerán constantes arbitrarias en ambos lados, que pueden transferirse a lado derecho ecuaciones
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Ejemplo 1.1. En el último paso utilizamos la regla. mi a + b = mi a mi b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) y reemplazado mi C (\displaystyle e^(C)) en C (\displaystyle C), ya que esta también es una constante de integración arbitraria.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(alineado)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) para encontrar solución general entramos factor integrante en función de x (\displaystyle x) reducir lado izquierdo a la derivada común y así resolver la ecuación.

   • Multiplica ambos lados por μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Para reducir el lado izquierdo a la derivada general, se deben realizar las siguientes transformaciones:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • La última igualdad significa que d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Este es un factor integrante que es suficiente para resolver cualquier ecuación lineal de primer orden. Ahora podemos derivar la fórmula para resolver esta ecuación con respecto a μ , (\displaystyle \mu ,) aunque es útil para el entrenamiento hacer todos los cálculos intermedios.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Ejemplo 1.2. Este ejemplo muestra cómo encontrar una solución particular a una ecuación diferencial con condiciones iniciales dadas.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(alineado)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Resolución de ecuaciones lineales de primer orden (grabadas por Intuit - National Open University).

2. Ecuaciones no lineales de primer orden. Esta sección analiza métodos para resolver algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Aunque no existe un método general para resolver este tipo de ecuaciones, algunas de ellas se pueden resolver utilizando los métodos siguientes.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Si la función f (x, y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) se puede dividir en funciones de una variable, dicha ecuación se llama ecuación diferencial con variables separables. En este caso, puedes utilizar el método anterior:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )incógnita)
   • Ejemplo 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ comenzar(alineado)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(alineado)))

   D y d x = g (x, y) h (x, y). (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).) Supongamos que gramo (x, y) (\displaystyle g(x,y)) Y h (x, y) (\displaystyle h(x,y)) son funciones x (\displaystyle x) Y y. (\displaystyle y.) Entonces ecuación diferencial homogénea es una ecuación en la que gramo (\displaystyle g) Y h (\displaystyle h) son funciones homogéneas en el mismo grado. Es decir, las funciones deben cumplir la condición g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),) Dónde k (\displaystyle k) se llama grado de homogeneidad. Cualquier ecuación diferencial homogénea puede ser utilizada por adecuados sustituciones de variables (v = y / x (\displaystyle v=y/x) o v = x / y (\displaystyle v=x/y)) convertir a una ecuación con variables separables.

   • Ejemplo 1.4. La descripción anterior de homogeneidad puede parecer poco clara. Veamos este concepto con un ejemplo.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • Para empezar, cabe señalar que esta ecuación no es lineal con respecto a y. (\displaystyle y.) También vemos que en en este caso No se pueden separar variables. Al mismo tiempo, esta ecuación diferencial es homogénea, ya que tanto el numerador como el denominador son homogéneos con una potencia de 3. Por lo tanto, podemos hacer un cambio de variables. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • re v re x x = − 1 v 2 . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).) Como resultado, tenemos la ecuación para v (\displaystyle v) con variables separables.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Este Ecuación diferencial de Bernoulli- un tipo especial de ecuación no lineal de primer grado, cuya solución se puede escribir utilizando funciones elementales.

   • Multiplica ambos lados de la ecuación por (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Usamos la regla para derivar una función compleja en el lado izquierdo y transformamos la ecuación en ecuación lineal relativamente y 1 − norte , (\displaystyle y^(1-n),) que se puede resolver utilizando los métodos anteriores.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0.) Este ecuación en diferenciales completos . Es necesario encontrar el llamado. función potencial φ (x, y), (\displaystyle \varphi (x,y),), que satisface la condición d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • para realizar esta condición debe tener derivada total. La derivada total tiene en cuenta la dependencia de otras variables. Para calcular la derivada total φ (\displaystyle\varphi) Por x , (\displaystyle x,) asumimos que y (\displaystyle y) también puede depender de incógnita. (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Comparando los términos nos da M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x))) Y norte (x, y) = ∂ φ ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).) Este es un resultado típico para ecuaciones con varias variables, en las que las derivadas mixtas de funciones suaves son iguales entre sí. A veces este caso se llama teorema de clairaut. En este caso, la ecuación diferencial es una ecuación diferencial total si siguiente condición:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • El método para resolver ecuaciones en diferenciales totales es similar a encontrar funciones potenciales en presencia de varias derivadas, lo cual discutiremos brevemente. primero integremos METRO (\displaystyle M) Por incógnita. (\displaystyle x.) Desde METRO (\displaystyle M) es una función y x (\displaystyle x), Y y , (\displaystyle y,) al integrar obtenemos una función incompleta φ, (\displaystyle \varphi,) designado como φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). El resultado también depende de y (\displaystyle y) constante de integración.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Después de esto, para conseguir c (y) (\displaystyle c(y)) podemos tomar la derivada parcial de la función resultante con respecto a y , (\displaystyle y,) equiparar el resultado norte (x, y) (\displaystyle N(x,y)) e integrar. También puedes integrar primero norte (\displaystyle norte), y luego tomar la derivada parcial con respecto a x (\displaystyle x), que le permitirá encontrar una función arbitraria d(x). (\displaystyle d(x).) Ambos métodos son adecuados y normalmente se elige la función más simple para la integración.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ parcial (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Ejemplo 1.5. Puedes tomar derivadas parciales y ver que la siguiente ecuación es una ecuación diferencial total.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Si la ecuación diferencial no es una ecuación diferencial total, en algunos casos puedes encontrar un factor integrante que te permita convertirla en una ecuación diferencial total. Sin embargo, estas ecuaciones rara vez se utilizan en la práctica y, aunque el factor integrador existe, sucede que lo encuentra no es fácil, por lo tanto estas ecuaciones no se consideran en este artículo.

parte 2

Ecuaciones de segundo orden

1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Estas ecuaciones se utilizan ampliamente en la práctica, por lo que su solución es de primordial importancia. En este caso, no estamos hablando de funciones homogéneas, sino del hecho de que hay 0 en el lado derecho de la ecuación. La siguiente sección mostrará cómo resolver la correspondiente. heterogéneo ecuaciones diferenciales. Abajo un (displaystyle a) Y segundo (\displaystyle b) son constantes.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ecuación característica. Esta ecuación diferencial es notable porque se puede resolver muy fácilmente si se presta atención a las propiedades que deben tener sus soluciones. De la ecuación queda claro que y (\displaystyle y) y sus derivadas son proporcionales entre sí. De ejemplos anteriores, que se discutieron en la sección sobre ecuaciones de primer orden, sabemos que solo función exponencial. Por tanto, es posible proponer ansatz(una suposición fundamentada) sobre cuál será la solución de esta ecuación.

   • La solución tendrá la forma de una función exponencial. mi r x , (\displaystyle e^(rx),) Dónde r (\displaystyle r) es una constante cuyo valor se debe encontrar. Sustituimos esta función en la ecuación y obtenemos la siguiente expresión
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Esta ecuación indica que el producto de una función exponencial y un polinomio debe ser igual a cero. Se sabe que el exponente no puede ser igual a cero para ningún valor del grado. De esto concluimos que el polinomio es igual a cero. Por lo tanto, hemos reducido el problema de resolver una ecuación diferencial al problema mucho más simple de resolver una ecuación algebraica, que se denomina ecuación característica de una ecuación diferencial dada.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • Tenemos dos raíces. Como esta ecuación diferencial es lineal, su solución general es una combinación lineal de soluciones parciales. Como esta es una ecuación de segundo orden, sabemos que es en realidad solución general, y no hay otras. Una justificación más rigurosa de esto reside en los teoremas sobre la existencia y unicidad de una solución, que se pueden encontrar en los libros de texto.
   • Una forma útil de comprobar si dos soluciones son linealmente independientes es calcular Wronskiána. Vronskiano W (\displaystyle W) es el determinante de una matriz cuyas columnas contienen funciones y sus sucesivas derivadas. El teorema del álgebra lineal establece que las funciones incluidas en el Wronskiano son linealmente dependientes si el Wronskiano es igual a cero. En esta sección podemos comprobar si dos soluciones son linealmente independientes; para ello debemos asegurarnos de que el Wronskiano no sea cero. El Wronskiano es importante para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes mediante el método de parámetros variables.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • En términos de álgebra lineal, el conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferencial dada forma un espacio vectorial cuya dimensión es igual al orden de la ecuación diferencial. En este espacio se puede elegir una base entre linealmente independiente decisiones unos de otros. Esto es posible debido al hecho de que la función y (x) (\displaystyle y(x)) válido operador lineal. Derivado es operador lineal, ya que transforma el espacio de funciones diferenciables en el espacio de todas las funciones. Las ecuaciones se denominan homogéneas en aquellos casos en los que, para algunos operador lineal L (\displaystyle L) necesitamos encontrar una solución a la ecuación L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Pasemos ahora a considerar varios ejemplos específicos. El caso de las raíces múltiples ecuación característica Veremos esto un poco más adelante, en la sección sobre cómo reducir el orden.

   si las raices r ± (\displaystyle r_(\pm )) son números reales distintos, la ecuación diferencial tiene la siguiente solución

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   Dos raíces complejas. Del teorema fundamental del álgebra se deduce que las soluciones a ecuaciones polinómicas con coeficientes reales tienen raíces reales o forman pares conjugados. Por lo tanto, si numero complejo r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta ) es la raíz de la ecuación característica, entonces r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta ) es también la raíz de esta ecuación. Por tanto, podemos escribir la solución en la forma c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alfa -i\beta)x),) sin embargo, es un número complejo y no es deseable para resolver problemas prácticos.

   • En su lugar puedes usar la fórmula de euler mi yo x = porque ⁡ x + yo pecado ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), lo que nos permite escribir la solución en la forma funciones trigonométricas:
     • e α x (c 1 porque ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 porque ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Ahora puedes en lugar de constante c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) anotar c 1 (\displaystyle c_(1)), y la expresión yo (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) reemplazar con c 2 . (\displaystyle c_(2).) Después de esto obtenemos la siguiente solución:
     • y (x) = e α x (c 1 porque ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\pecado\beta x))
   • Hay otra forma de escribir la solución en términos de amplitud y fase, que es más adecuada para problemas de física.
   • Ejemplo 2.1. Encontremos una solución a la ecuación diferencial que se muestra a continuación con las condiciones iniciales dadas. Para hacer esto, debe tomar la solución resultante, así como su derivado y sustituirlos en las condiciones iniciales, lo que nos permitirá determinar constantes arbitrarias.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 porque ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 porque ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t + 31 2 c 2 porque ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_ (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   Resolver ecuaciones diferenciales de enésimo orden con coeficientes constantes (registradas por Intuit - National Open University).

2. Orden decreciente. La reducción de orden es un método para resolver ecuaciones diferenciales cuando se conoce una solución linealmente independiente. Este método consiste en bajar el orden de la ecuación en uno, lo que permite resolver la ecuación utilizando los métodos descritos en el apartado anterior. Que se conozca la solución. La idea principal de la reducción de orden es encontrar una solución en el siguiente formulario, donde es necesario definir la función. v (x) (\displaystyle v(x)), sustituyéndolo en la ecuación diferencial y encontrando v(x). (\displaystyle v(x).) Veamos cómo se puede utilizar la reducción de orden para resolver una ecuación diferencial con coeficientes constantes y raíces múltiples.

   
   

   Múltiples raíces ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Recuerde que una ecuación de segundo orden debe tener dos soluciones linealmente independientes. Si la ecuación característica tiene múltiples raíces, el conjunto de soluciones No forma un espacio ya que estas soluciones son linealmente dependientes. En este caso, es necesario utilizar la reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente.

   • Sea la ecuación característica tener múltiples raíces. r (\displaystyle r). Supongamos que la segunda solución se puede escribir en la forma y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)) y sustitúyalo en la ecuación diferencial. En este caso, la mayoría de los términos, a excepción del término con la segunda derivada de la función v , (\displaystyle v,) se reducirá.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Ejemplo 2.2. Sea la siguiente ecuación que tiene múltiples raíces. r = − 4. (\displaystyle r=-4.) Al sustituir, la mayoría de los términos se reducen.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(alineado)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(alineado )v""e^(-4x)&-(\cancelar (8v"e^(-4x)))+(\cancelar (16ve^(-4x)))\\&+(\cancelar (8v"e ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(alineado)))
   • De manera similar a nuestra ansatz para una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en este caso solo la segunda derivada puede ser igual a cero. Integramos dos veces y obtenemos la expresión deseada para v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Entonces, la solución general de una ecuación diferencial con coeficientes constantes en el caso de que la ecuación característica tenga múltiples raíces se puede escribir de la siguiente forma. Para mayor comodidad, puedes recordar que para obtener independencia lineal simplemente multiplica el segundo término por x (\displaystyle x). Este conjunto de soluciones es linealmente independiente y, por tanto, hemos encontrado todas las soluciones de esta ecuación.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) La reducción del pedido es aplicable si se conoce la solución. y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), que se puede encontrar o dar en el enunciado del problema.

   • Estamos buscando una solución en la forma. y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) y sustituirlo en esta ecuación:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Desde y 1 (\displaystyle y_(1)) es una solución a una ecuación diferencial, todos los términos con v (\displaystyle v) se están reduciendo. Al final queda ecuación lineal de primer orden. Para ver esto más claro hagamos un cambio de variables w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\ frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Si se pueden calcular las integrales, obtenemos la solución general como una combinación de funciones elementales. En caso contrario, la solución se puede dejar en forma integral.

3. Ecuación de Cauchy-Euler. La ecuación de Cauchy-Euler es un ejemplo de una ecuación diferencial de segundo orden con variables coeficientes, que tiene soluciones exactas. Esta ecuación se utiliza en la práctica, por ejemplo, para resolver la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Ecuación característica. Como puede ver, en esta ecuación diferencial, cada término contiene un factor de potencia, cuyo grado es igual al orden de la derivada correspondiente.

   • Por lo tanto, puede intentar buscar una solución en la forma y (x) = x norte , (\displaystyle y(x)=x^(n),) donde es necesario determinar norte (\ Displaystyle n), justo cuando buscábamos una solución en forma de función exponencial para una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Después de la diferenciación y sustitución obtenemos
     • x norte (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Para utilizar la ecuación característica, debemos suponer que x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Punto x = 0 (\displaystyle x=0) llamado punto singular regular ecuación diferencial. Estos puntos son importantes a la hora de resolver ecuaciones diferenciales utilizando series de potencias. Esta ecuación tiene dos raíces, que pueden ser diferentes y reales, múltiples o conjugadas complejas.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b )))(2)))

   Dos raíces reales diferentes. si las raices norte ± (\displaystyle n_(\pm )) son reales y diferentes, entonces la solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente forma:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Dos raíces complejas. Si la ecuación característica tiene raíces. norte ± = α ± β yo (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), la solución es una función compleja.

   • Para transformar la solución en una función real, hacemos un cambio de variables. x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) eso es t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) y utilice la fórmula de Euler. Anteriormente se realizaron acciones similares al determinar constantes arbitrarias.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Entonces la solución general se puede escribir como
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Múltiples raíces. Para obtener una segunda solución linealmente independiente, es necesario reducir nuevamente el orden.

   • Se necesitan muchos cálculos, pero el principio sigue siendo el mismo: sustituimos y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) en una ecuación cuya primera solución es y 1 (\displaystyle y_(1)). Después de las reducciones, se obtiene la siguiente ecuación:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Esta es una ecuación lineal de primer orden con respecto a v′(x) . (\displaystyle v"(x).) Su solución es v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Por tanto, la solución se puede escribir de la siguiente forma. Esto es bastante fácil de recordar: para obtener la segunda solución linealmente independiente simplemente se requiere un término adicional con ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. Las ecuaciones no homogéneas tienen la forma. L [ y (x) ] = f (x), (\displaystyle L=f(x),) Dónde f (x) (\displaystyle f(x))- el llamado miembro gratis. Según la teoría de ecuaciones diferenciales, la solución general de esta ecuación es una superposición solución privada y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Y solución adicional y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Sin embargo, en este caso, una solución particular no significa una solución dada por las condiciones iniciales, sino una solución determinada por la presencia de heterogeneidad (un término libre). Una solución adicional es una solución de la ecuación homogénea correspondiente en la que f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) La solución general es una superposición de estas dos soluciones, ya que L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), y desde L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) tal superposición es de hecho una solución general.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Método coeficientes inciertos. El método de coeficientes indefinidos se utiliza en los casos en que el término ficticio es una combinación de exponencial, trigonométrica, hiperbólica o funciones de potencia. Sólo se garantiza que estas funciones tendrán un número finito de derivadas linealmente independientes. En esta sección encontraremos una solución particular a la ecuación.

   • Comparemos los términos en f (x) (\displaystyle f(x)) con términos sin prestar atención a factores constantes. Hay tres casos posibles.
     • No hay dos miembros iguales. En este caso, una solución particular y p (\displaystyle y_(p)) será una combinación lineal de términos de y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contiene miembro x norte (\displaystyle x^(n)) y miembro de y c , (\displaystyle y_(c),) Dónde norte (\ Displaystyle n) es cero o un número entero positivo, y este término corresponde a una raíz separada de la ecuación característica. En este caso y p (\displaystyle y_(p)) consistirá en una combinación de la función x norte + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) sus derivadas linealmente independientes, así como otros términos f (x) (\displaystyle f(x)) y sus derivadas linealmente independientes.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) contiene miembro h (x), (\displaystyle h(x),) que es una obra x norte (\displaystyle x^(n)) y miembro de y c , (\displaystyle y_(c),) Dónde norte (\ Displaystyle n) es igual a 0 o un número entero positivo, y este término corresponde a múltiple raíz de la ecuación característica. En este caso y p (\displaystyle y_(p)) es una combinación lineal de la función x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Dónde s (\displaystyle s)- multiplicidad de la raíz) y sus derivadas linealmente independientes, así como otros miembros de la función f (x) (\displaystyle f(x)) y sus derivadas linealmente independientes.
   • vamos a escribirlo y p (\displaystyle y_(p)) como una combinación lineal de los términos enumerados anteriormente. Gracias a estos coeficientes en una combinación lineal. este método llamado "método de coeficientes indeterminados". Cuando aparecen los contenidos yc (\displaystyle y_(c)) Los miembros pueden descartarse debido a la presencia de constantes arbitrarias en yc. (\displaystyle y_(c).) Después de esto sustituimos y p (\displaystyle y_(p)) en la ecuación e igualar términos similares.
   • Determinamos los coeficientes. En esta etapa se obtiene el sistema ecuaciones algebraicas, que generalmente se puede resolver sin problemas especiales. La solución de este sistema nos permite obtener y p (\displaystyle y_(p)) y así resolver la ecuación.
   • Ejemplo 2.3. Consideremos una ecuación diferencial no homogénea cuyo término libre contiene un número finito de derivadas linealmente independientes. Se puede encontrar una solución particular a tal ecuación mediante el método de coeficientes indefinidos.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − porque ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 porque ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A mi 3 t − 25 B porque ⁡ 5 t − 25 C pecado ⁡ 5 t + 6 A mi 3 t + 6 B porque ⁡ 5 t + 6 C pecado ⁡ 5 t = 2 mi 3 t − porque ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(alineado)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ fin (casos)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6 ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Método de Lagrange. El método de Lagrange, o método de variación de constantes arbitrarias, es un método más método general resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas, especialmente en los casos en que el término libre no contiene un número finito de derivadas linealmente independientes. Por ejemplo, con miembros gratuitos bronceado ⁡ x (\displaystyle \tan x) o x − n (\displaystyle x^(-n)) Para encontrar una solución particular es necesario utilizar el método de Lagrange. El método de Lagrange se puede utilizar incluso para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, aunque en este caso, a excepción de la ecuación de Cauchy-Euler, se utiliza con menos frecuencia, ya que la solución adicional no suele expresarse en términos de funciones elementales.

   • Supongamos que la solución tiene la siguiente forma. Su derivada se da en la segunda línea.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Dado que la solución propuesta contiene dos cantidades desconocidas, es necesario imponer adicional condición. Elijamos esta condición adicional de la siguiente forma:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Ahora podemos obtener la segunda ecuación. Después de la sustitución y redistribución de miembros, puede agrupar miembros con v 1 (\displaystyle v_(1)) y miembros con v 2 (\displaystyle v_(2)). Estos plazos se reducen porque y 1 (\displaystyle y_(1)) Y y 2 (\displaystyle y_(2)) son soluciones de la ecuación homogénea correspondiente. Como resultado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(alineado)))
   • Este sistema se puede convertir en ecuación matricial amable A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) cuya solución es x = A - 1 segundo . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).) Para matriz 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) matriz inversa se encuentra dividiendo por el determinante, reordenando los elementos diagonales y cambiando el signo de los elementos no diagonales. De hecho, el determinante de esta matriz es un Wronskiano.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • Expresiones para v 1 (\displaystyle v_(1)) Y v 2 (\displaystyle v_(2)) se dan a continuación. Como en el método de reducción de orden, en este caso, durante la integración aparece una constante arbitraria, que incluye una solución adicional en la solución general de la ecuación diferencial.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Conferencia de la Universidad Nacional Abierta Intuit titulada "Ecuaciones diferenciales lineales de enésimo orden con coeficientes constantes".

Aplicación práctica

Las ecuaciones diferenciales establecen una relación entre una función y una o más de sus derivadas. Dado que tales conexiones son extremadamente comunes, las ecuaciones diferenciales han encontrado una amplia aplicación en la mayoría de los casos. diferentes áreas, y dado que vivimos en cuatro dimensiones, estas ecuaciones suelen ser ecuaciones diferenciales en privado derivados. Esta sección cubre algunas de las ecuaciones más importantes de este tipo.

• Crecimiento y decadencia exponencial. Decaimiento radiactivo. Interés compuesto. Velocidad reacciones quimicas. Concentración de fármacos en la sangre. Crecimiento demográfico ilimitado. Ley de Newton-Richmann. En el mundo real, hay muchos sistemas en los que la tasa de crecimiento o decadencia en un momento dado es proporcional a la cantidad en en este momento tiempo o puede ser bien aproximado por el modelo. Esto se debe a que la solución de esta ecuación diferencial, la función exponencial, es una de las más funciones importantes en matemáticas y otras ciencias. en más caso general con un crecimiento demográfico controlado, el sistema puede incluir miembros adicionales que limiten el crecimiento. En la siguiente ecuación, la constante k (\displaystyle k) puede ser mayor o menor que cero.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Vibraciones armónicas. Tanto en la mecánica clásica como en la cuántica, el oscilador armónico es uno de los más importantes. sistemas fisicos gracias a su sencillez y amplia aplicación para aproximarse más sistemas complejos, como un péndulo simple. En la mecánica clásica, las vibraciones armónicas se describen mediante una ecuación que relaciona la posición de un punto material con su aceleración mediante la ley de Hooke. En este caso también se pueden tener en cuenta las fuerzas de amortiguación y motrices. En la siguiente expresión x ˙ (\displaystyle (\dot (x)))- derivada temporal de x , (\displaystyle x,) β (\ Displaystyle \ beta)- parámetro que describe la fuerza de amortiguación, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- frecuencia angular del sistema, F (t) (\displaystyle F(t))- dependiente del tiempo fuerza motriz. El oscilador armónico también está presente en circuitos oscilatorios electromagnéticos, donde puede implementarse con mayor precisión que en los sistemas mecánicos.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• La ecuación de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel se utiliza en muchas áreas de la física, incluida la resolución de la ecuación de onda, la ecuación de Laplace y la ecuación de Schrödinger, especialmente en presencia de simetría cilíndrica o esférica. Esta ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables no es una ecuación de Cauchy-Euler, por lo que sus soluciones no pueden escribirse como funciones elementales. Las soluciones de la ecuación de Bessel son las funciones de Bessel, que están bien estudiadas debido a su aplicación en muchos campos. En la siguiente expresión α (\displaystyle \alpha )- una constante que corresponde en orden Funciones de Bessel.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) y=0)
• Las ecuaciones de Maxwell. Junto con la fuerza de Lorentz, las ecuaciones de Maxwell forman la base de la electrodinámica clásica. Estas son las cuatro ecuaciones diferenciales parciales para la electricidad. mi (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) y magnético B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) campos. En las siguientes expresiones ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- densidad de carga, J = J (r , t) (\displaystyle (\mathbf (J) )=(\mathbf (J) )((\mathbf (r) ),t))- densidad de corriente, y ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Y μ 0 (\displaystyle \mu _(0))- constantes eléctricas y magnéticas, respectivamente.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) ))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) ))(\partial t))\end(aligned)))
• Ecuación de Schrödinger. En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental del movimiento, que describe el movimiento de las partículas según un cambio en la función de onda. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) con el tiempo. La ecuación de movimiento se describe por el comportamiento. hamiltoniano H^(\displaystyle (\sombrero (H))) - operador, que describe la energía del sistema. Uno de los ampliamente ejemplos famosos La ecuación de Schrödinger en física es una ecuación para una sola partícula no relativista sobre la que actúa un potencial. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Muchos sistemas se describen mediante la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, y en el lado izquierdo de la ecuación está mi Ψ , (\displaystyle E\Psi ,) Dónde mi (\ Displaystyle E)- energía de partículas. En las siguientes expresiones ℏ (\displaystyle \hbar )- constante de Planck reducida.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• Ecuación de onda. La física y la tecnología no se pueden imaginar sin las ondas; están presentes en todo tipo de sistemas. En general, las ondas se describen mediante la siguiente ecuación, en la que tu = tu (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) es la función deseada, y c (displaystyle c)- constante determinada experimentalmente. d'Alembert fue el primero en descubrir que para el caso unidimensional la solución de la ecuación de onda es cualquier función con argumento x − c t (\displaystyle x-ct), que describe una onda de forma arbitraria que se propaga hacia la derecha. La solución general para el caso unidimensional es una combinación lineal de esta función con una segunda función con argumento x + c t (\displaystyle x+ct), que describe una onda que se propaga hacia la izquierda. Esta solución se presenta en la segunda línea.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • tu (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de fluidos. Debido a que los fluidos están presentes prácticamente en todos los campos de la ciencia y la tecnología, estas ecuaciones son extremadamente importantes para predecir el clima, diseñar aviones, estudiar las corrientes oceánicas y resolver muchos otros problemas aplicados. Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales y, en la mayoría de los casos, son muy difíciles de resolver, ya que la no linealidad conduce a turbulencias y para obtener una solución estable mediante métodos numéricos es necesario dividirlas en celdas muy pequeñas, lo que requiere una potencia de cálculo significativa. Para fines prácticos en hidrodinámica, se utilizan métodos como el promediado de tiempo para simular flujos turbulentos. Cuestiones aún más básicas como la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones no lineales en derivadas parciales, y demostrar la existencia y unicidad de una solución para las ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones es uno de los problemas matemáticos del milenio. A continuación se muestran la ecuación de flujo de fluido incompresible y la ecuación de continuidad.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Muchas ecuaciones diferenciales simplemente no se pueden resolver utilizando los métodos anteriores, especialmente los mencionados en la última sección. Esto se aplica a los casos en los que la ecuación contiene coeficientes variables y no es una ecuación de Cauchy-Euler, o cuando la ecuación no es lineal, excepto en unos pocos casos muy raros. Sin embargo, los métodos anteriores pueden resolver muchas ecuaciones diferenciales importantes que a menudo se encuentran en diversos campos de la ciencia.
• A diferencia de la derivación, que permite encontrar la derivada de cualquier función, la integral de muchas expresiones no se puede expresar en funciones elementales. Por tanto, no pierdas el tiempo intentando calcular una integral donde es imposible. Mira la tabla de integrales. Si la solución de una ecuación diferencial no se puede expresar en términos de funciones elementales, a veces se puede representar en forma integral y en este caso no importa si esta integral se puede calcular analíticamente.

Advertencias

• Apariencia La ecuación diferencial puede ser engañosa. Por ejemplo, a continuación se muestran dos ecuaciones diferenciales de primer orden. La primera ecuación se puede resolver fácilmente utilizando los métodos descritos en este artículo. A primera vista, un cambio menor. y (\displaystyle y) en y 2 (\displaystyle y^(2)) en la segunda ecuación la hace no lineal y se vuelve muy difícil de resolver.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

En algunos problemas de física, no es posible establecer una conexión directa entre las cantidades que describen el proceso. Pero es posible obtener una igualdad que contenga las derivadas de las funciones en estudio. Es así como surgen las ecuaciones diferenciales y la necesidad de resolverlas para encontrar una función desconocida.

Este artículo está destinado a quienes se enfrentan al problema de resolver una ecuación diferencial en la que la función desconocida es función de una variable. La teoría está estructurada de tal manera que sin ningún conocimiento de ecuaciones diferenciales podrá afrontar su tarea.

Cada tipo de ecuación diferencial está asociado con un método de solución con explicaciones detalladas y soluciones a ejemplos y problemas típicos. Todo lo que tienes que hacer es determinar el tipo de ecuación diferencial de tu problema, encontrar un ejemplo analizado similar y llevar a cabo acciones similares.

Para resolver con éxito ecuaciones diferenciales, también necesitarás la capacidad de encontrar conjuntos de antiderivadas (integrales indefinidas) varias funciones. Si es necesario, le recomendamos que consulte la sección.

Primero, consideraremos los tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que se pueden resolver con respecto a la derivada, luego pasaremos a las EDO de segundo orden, luego nos detendremos en ecuaciones de orden superior y terminaremos con sistemas de ecuaciones diferenciales.

Recuerde que si y es función del argumento x.

Ecuaciones diferenciales de primer orden.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples de la forma.

Anotemos algunos ejemplos de este tipo de control remoto. .

Ecuaciones diferenciales se puede resolver con respecto a la derivada dividiendo ambos lados de la igualdad por f(x) . En este caso llegamos a una ecuación que será equivalente a la original para f(x) ≠ 0. Ejemplos de tales EDO son .

Si hay valores del argumento x en los que las funciones f(x) y g(x) desaparecen simultáneamente, entonces aparecen soluciones adicionales. Soluciones adicionales a la ecuación. dada x son las funciones definidas para estos valores de argumento. Ejemplos de tales ecuaciones diferenciales incluyen:

Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

LDE con coeficientes constantes es un tipo muy común de ecuación diferencial. Su solución no es particularmente difícil. Primero, se encuentran las raíces de la ecuación característica. . Para diferentes p y q, son posibles tres casos: las raíces de la ecuación característica pueden ser reales y diferentes, reales y coincidentes. o conjugados complejos. Dependiendo de los valores de las raíces de la ecuación característica, la solución general de la ecuación diferencial se escribe como , o , o respectivamente.

Por ejemplo, considere una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Las raíces de su ecuación característica son k 1 = -3 y k 2 = 0. Las raíces son reales y diferentes, por lo tanto, la solución general del LOD con coeficientes constantes tiene la forma


Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

La solución general de un LDDE de segundo orden con coeficientes constantes y se busca en la forma de la suma de la solución general del LDDE correspondiente. y una solución particular al original ecuación no homogénea, eso es, . El párrafo anterior está dedicado a encontrar una solución general a una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Y una solución particular se determina mediante el método de coeficientes indefinidos para una determinada forma de la función f(x) en el lado derecho de la ecuación original, o mediante el método de variación de constantes arbitrarias.

Como ejemplos de LDDE de segundo orden con coeficientes constantes, damos


Para comprender la teoría y familiarizarse con soluciones detalladas de ejemplos, le ofrecemos en la página ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (LODE) y ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (LNDE) de segundo orden.

Un caso especial de ecuaciones diferenciales de este tipo son LODE y LDDE con coeficientes constantes.

La solución general de LODE en un segmento determinado está representada por una combinación lineal de dos soluciones parciales linealmente independientes y 1 e y 2 de esta ecuación, es decir, .

La principal dificultad radica precisamente en encontrar soluciones parciales linealmente independientes a una ecuación diferencial de este tipo. Normalmente, las soluciones particulares se seleccionan entre los siguientes sistemas lineal funciones independientes:


Sin embargo, las soluciones privadas no siempre se presentan de esta forma.

Un ejemplo de LOD es .

La solución general del LDDE se busca en la forma , donde es la solución general del LDDE correspondiente y es la solución particular de la ecuación diferencial original. Acabamos de hablar de encontrarlo, pero se puede determinar mediante el método de variación de constantes arbitrarias.

Se puede dar un ejemplo de LNDU. .

Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores.

Ecuaciones diferenciales que permiten una reducción en el orden.

Orden de la ecuación diferencial , que no contiene la función deseada y sus derivadas hasta el orden k-1, se puede reducir a n-k reemplazando .

En este caso, la ecuación diferencial original se reducirá a . Después de encontrar su solución p(x), queda volver al reemplazo y determinar la función desconocida y.

Por ejemplo, la ecuación diferencial después del reemplazo, se convertirá en una ecuación con variables separables y su orden se reducirá de tercero a primero.

Ya se han resuelto con respecto a la derivada o se pueden resolver con respecto a la derivada. .

Solución general de ecuaciones diferenciales del tipo en el intervalo. incógnita, que está dado, se puede encontrar tomando la integral de ambos lados de esta igualdad.

obtenemos .

Si observamos las propiedades de la integral indefinida, encontramos la solución general deseada:

y = F(x) + C,

Dónde F(x)- una de las funciones primitivas f(x) entre incógnita, A CON- constante arbitraria.

Tenga en cuenta que en la mayoría de los problemas el intervalo incógnita no indicar. Esto significa que hay que encontrar una solución para todos. incógnita, para el cual y la función deseada y, Y ecuación original tener sentido.

Si necesita calcular una solución particular a una ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial y(x 0) = y 0, luego de calcular la integral general y = F(x) + C, aún es necesario determinar el valor de la constante C = C 0, utilizando la condición inicial. Es decir, una constante C = C 0 determinado a partir de la ecuación F(x 0) + C = y 0, y la solución parcial deseada de la ecuación diferencial tomará la forma:

y = F(x) + C 0.

Veamos un ejemplo:

Encontremos una solución general a la ecuación diferencial y verifiquemos la exactitud del resultado. Encontremos una solución particular a esta ecuación que satisfaga la condición inicial.

Solución:

Después de integrar la ecuación diferencial dada, obtenemos:

.

Tomemos esta integral usando el método de integración por partes:

Eso., es una solución general de la ecuación diferencial.

Para asegurarnos de que el resultado sea correcto, hagamos una verificación. Para hacer esto, sustituimos la solución que encontramos en la ecuación dada:

.

Es decir, cuando la ecuación original se convierte en una identidad:

por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial se determinó correctamente.

La solución que encontramos es una solución general a la ecuación diferencial para cada valor real del argumento. incógnita.

Queda por calcular una solución particular de la EDO que satisfaga la condición inicial. En otras palabras, es necesario calcular el valor de la constante. CON, en el que la igualdad será verdadera:

.

.

Luego, sustituyendo C = 2 en la solución general de la EDO, obtenemos una solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial:

.

Ecuación diferencial ordinaria La derivada se puede resolver dividiendo los 2 lados de la ecuación entre f(x). Esta transformación será equivalente si f(x) no llega a cero bajo ninguna circunstancia incógnita del intervalo de integración de la ecuación diferencial incógnita.

Hay situaciones probables en las que, para algunos valores del argumento incógnita ∈ incógnita funciones f(x) Y gramo(x) simultáneamente se vuelven cero. Para valores similares incógnita la solución general de una ecuación diferencial es cualquier función y, que está definido en ellos, porque .

Si para algunos valores de argumento incógnita ∈ incógnita la condición se cumple, lo que significa que en este caso la EDO no tiene soluciones.

Para todos los demás incógnita desde el intervalo incógnita la solución general de la ecuación diferencial se determina a partir de la ecuación transformada.

Veamos ejemplos:

Ejemplo 1.

Busquemos una solución general a la ODE: .

Solución.

De las propiedades de las funciones elementales básicas se desprende claramente que la función logaritmo natural se define para valores de argumentos no negativos, por lo que el alcance de la expresión es en(x+3) hay un intervalo incógnita > -3 . Esto significa que la ecuación diferencial dada tiene sentido para incógnita > -3 . Para estos valores de argumento, la expresión x+3 no desaparece, por lo que puedes resolver la EDO para la derivada dividiendo las 2 partes entre x + 3.

obtenemos .

A continuación integramos la ecuación diferencial resultante resuelta respecto de la derivada: . Para tomar esta integral, utilizamos el método de subsumirla bajo el signo diferencial.

Este artículo es un punto de partida en el estudio de la teoría de ecuaciones diferenciales. Aquí están las definiciones y conceptos básicos que aparecerán constantemente en el texto. Para una mejor asimilación y comprensión, las definiciones se proporcionan con ejemplos.

Ecuación diferencial (DE) es una ecuación que incluye una función desconocida bajo el signo diferencial o derivado.

Si la función desconocida es función de una variable, entonces la ecuación diferencial se llama común(EDO abreviada - ecuación diferencial ordinaria). Si la función desconocida es función de muchas variables, entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial parcial.

El orden máximo de la derivada de una función desconocida que entra en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación diferencial.

A continuación se muestran ejemplos de EDO de primer, segundo y quinto orden, respectivamente.

Como ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, damos

Además, consideraremos solo ecuaciones diferenciales ordinarias de enésimo orden de la forma o , donde Ф(x, y) = 0 es una función desconocida especificada implícitamente (cuando sea posible, la escribiremos en representación explícita y = f(x)).

El proceso de encontrar soluciones a una ecuación diferencial se llama integrando la ecuación diferencial.

Resolver una ecuación diferencial es una función especificada implícitamente Ф(x, y) = 0 (en algunos casos, la función y se puede expresar explícitamente mediante el argumento x), que convierte la ecuación diferencial en una identidad.

TENGA EN CUENTA.

La solución de una ecuación diferencial siempre se busca en un intervalo predeterminado X.

¿Por qué hablamos de esto por separado? Sí, porque en muchos problemas no se menciona el intervalo X. Es decir, normalmente la condición de los problemas se formula de la siguiente manera: “encontrar una solución a la ecuación diferencial ordinaria " En este caso, se implica que se debe buscar la solución para todo x para el cual tanto la función deseada y como la ecuación original tienen sentido.

La solución de una ecuación diferencial a menudo se llama integral de la ecuación diferencial.

Funciones o se puede llamar solución de una ecuación diferencial.

Una de las soluciones de la ecuación diferencial es la función. De hecho, sustituyendo esta función en la ecuación original, obtenemos la identidad . Es fácil ver que otra solución a esta EDO es, por ejemplo, . Por tanto, las ecuaciones diferenciales pueden tener muchas soluciones.

Solución general de una ecuación diferencial. es un conjunto de soluciones que contiene todas, sin excepción, las soluciones de esta ecuación diferencial.

La solución general de una ecuación diferencial también se llama integral general de la ecuación diferencial.

Volvamos al ejemplo. La solución general de la ecuación diferencial tiene la forma o, donde C es una constante arbitraria. Arriba indicamos dos soluciones a esta EDO, que se obtienen a partir de la integral general de la ecuación diferencial sustituyendo C = 0 y C = 1, respectivamente.

Si la solución de la ecuación diferencial satisface el requisito inicialmente especificado. condiciones adicionales, entonces se llama solución parcial de la ecuación diferencial.

Una solución parcial de la ecuación diferencial que satisface la condición y(1)=1 es. En realidad, Y .

Los principales problemas de la teoría de ecuaciones diferenciales son los problemas de Cauchy, los problemas de valores en la frontera y los problemas de encontrar una solución general a una ecuación diferencial en cualquier intervalo X dado.

problema de cauchy es el problema de encontrar una solución particular a una ecuación diferencial que satisfaga la condición dada condiciones iniciales, donde están los números.

Problema de valor límite es el problema de encontrar una solución particular a una ecuación diferencial de segundo orden que satisfaga condiciones adicionales en los puntos límite x 0 y x 1:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, donde f 0 y f 1 reciben números.

El problema del valor límite a menudo se llama problema de límites.

Una ecuación diferencial ordinaria de enésimo orden se llama lineal, si tiene la forma , y los coeficientes son funciones continuas del argumento x en el intervalo de integración.