Correlación de índices y pares de divisas. Significado y definición del índice de correlación múltiple

Históricamente, el primer indicador de la cercanía de una conexión fue el coeficiente de correlación por pares propuesto por K. Pearson. Se basa en el indicador de covarianza, que es el valor promedio del producto de las desviaciones de los valores individuales de la resultante y las características de los factores de sus valores promedio. El indicador de covarianza evalúa el cambio conjunto en dos características, el resultado y el factor:

¿Dónde está el valor de la característica del resultado? i-ésima unidad agregados; - el valor del atributo del factor para la i-ésima unidad de la población; - valor medio de la característica del resultado; - valor medio de la característica del factor.

El indicador de covarianza es difícil de interpretar de manera significativa. El valor normalizado del indicador de covarianza es el indicador de correlación por pares de Pearson.

, (53)

o después de transformaciones:

, (54)

Dónde - desviación estándar signo de resultado; - desviación estándar del rasgo del factor.

La ventaja del coeficiente de correlación es que tiene límites de cambio, por lo que su valor puede interpretarse fácilmente. Los valores del indicador varían de -1 a +1. La cercanía del coeficiente a cero indica la ausencia de correlación. La cercanía a la unidad indica una estrecha correlación. El signo del coeficiente de correlación indica una relación directa o inversa. La magnitud de valores específicos se interpreta de la siguiente manera:

- prácticamente no hay conexión;

- la conexión es perceptible;

- la conexión es moderada;

- la conexión es cercana.

El coeficiente de correlación emparejado es un indicador simétrico, es decir . Esto significa que un alto coeficiente de correlación no puede indicar la presencia de una relación de causa y efecto, pero sólo habla de la presencia de variación paralela de características (indicadores). No importa qué es un factor y qué es un resultado. La presencia de una relación causa-efecto se justifica mediante un análisis teórico del objeto en estudio basado en las disposiciones de la teoría económica.

El cálculo del coeficiente de correlación, como la mayoría de los indicadores estadísticos calculados a partir de un volumen limitado de población, va acompañado de una evaluación de su importancia (materialidad). Es necesario confirmar que el valor del coeficiente obtenido no es el resultado de factores aleatorios. Para evaluar la significancia, las estadísticas t se calculan como la proporción de la característica evaluada (en en este caso-r) a su error estándar(). Es decir, se prueba la hipótesis de que no existe correlación entre las variables en estudio, es decir se supone que el coeficiente de correlación en población es igual a cero ( ):

(55)

Siempre que la hipótesis nula sea cierta, la distribución del estadístico t corresponde a la ley de distribución de probabilidad de Student con n-2 grados de libertad. En base a esto, es valor de la tabla Estadísticos t correspondientes al nivel de probabilidad especificado por el analista y el número resultante de grados de libertad. Si el valor calculado de t resulta ser mayor que el tabulado, entonces se debe rechazar la hipótesis sobre la ausencia de una relación (con probabilidad de error = 1 - el nivel de probabilidad aceptado) y se debe rechazar una hipótesis alternativa sobre la importancia de la debe aceptarse el coeficiente de correlación resultante, es decir sobre la presencia de estadísticas conexión significativa entre las características estudiadas.

En la práctica de la investigación y el análisis económicos, a menudo es necesario estudiar correlaciones múltiples, es decir, evaluar la influencia de dos o más factores en un rasgo de resultado. La fuerza de la relación entre un conjunto de factores y la variable dependiente se evalúa utilizando coeficiente múltiple correlación(). Con una dependencia de dos factores, el coeficiente de correlación múltiple se calcula de la siguiente manera:

Dónde - coeficientes de correlación pareados del resultado y de cada uno de los factores, - coeficiente de correlación entre los factores.

El coeficiente de correlación múltiple varía de cero a uno y no puede ser negativo. La interpretación de valores específicos del coeficiente de correlación múltiple es similar a la interpretación de los valores. coeficiente de par con la única diferencia de que se evalúa la cercanía de la correlación entre la característica resultante y todo el conjunto de factores analizados.

El cuadrado del coeficiente de correlación (r 2 ; ) es un indicador llamado coeficiente de determinación. Caracteriza la proporción de la varianza explicada (factorial) de la característica resultante en la varianza total de la característica resultante.

Al estudiar correlaciones múltiples, también se calculan coeficientes de correlación parcial, que caracterizan la cercanía de la relación entre el resultado y un atributo de factor, siempre que se elimine la influencia de otros factores incluidos en el análisis. La eliminación se realiza fijando los valores de los factores (excepto el que se está evaluando) en un nivel constante (generalmente en el promedio).

Con una dependencia de correlación de dos factores, se calculan dos coeficientes de correlación parcial:

, (57)

- dado coeficiente parcial caracteriza el grado de cercanía de la correlación entre el resultado (y) y el factor x 1 al eliminar el factor x 2.

, (58)

Este coeficiente caracteriza la estrecha dependencia del atributo de resultado (y) de signo de factor x 2 al eliminar el factor x 1.

Los coeficientes de correlación son más adecuados para evaluar dependencia lineal entre las características estudiadas. Si la relación no es lineal, entonces se debe dar preferencia a un indicador universal llamado índice de correlación. () . Podría ser:

Ø Empírico, calculado según datos de agrupación analítica, como el ratio de varianza intergrupal ( ) a común():

. (59)

Ø Teórico, calculado a partir de los resultados del análisis de regresión, como el ratio de dispersión factorial ( ) a común():

. (60)

El índice de correlación también varía de cero a uno y se interpreta de manera similar al coeficiente de correlación. El cuadrado del índice de correlación () es el coeficiente de determinación.

Para comprender la esencia de la relación de correlación y el coeficiente de determinación, la regla para sumar varianzas debe formularse en términos de análisis de regresión. Suena así: la varianza total del atributo de resultado es la suma del factor y las varianzas residuales:

. (61)

Varianza de factores ( ) es un análogo de la varianza intergrupal. El indicador caracteriza la variación del atributo resultado debido a la variación de los atributos factoriales incluidos en el análisis.

varianza residual ( ) es un análogo de la varianza intragrupo. Caracteriza la variación del atributo resultado debido a la variación de factores no incluidos en el análisis, es decir quedando fuera de la atención del analista.

La varianza total del atributo resultado () se debe a la variación de todos los factores que influyen objetivamente en el resultado (variable dependiente).

Coeficiente de determinación ( , ) es un indicador analítico importante que caracteriza la proporción de la varianza del factor en la varianza total de la característica resultante, es decir, la proporción de variación explicada en la variable dependiente que puede explicarse por la variación en los factores incluidos en el análisis.

El valor del coeficiente de determinación responde al número de factores incluidos en la ecuación de regresión. Por tanto, para responder a la pregunta de qué parte de la varianza de la característica resultante puede explicarse en cada caso concreto, partimos del valor del coeficiente de determinación ajustado. El coeficiente se ajusta teniendo en cuenta el número de grados de libertad, es decir teniendo en cuenta el tamaño de la población en estudio y la cantidad de factores incluidos en el análisis:

, (62)

Dónde - coeficiente de determinación, ajustado teniendo en cuenta el número de grados de libertad; n – volumen de la población en estudio; k – número de factores incluidos en el análisis.

También se puede evaluar la dependencia de la correlación sobre la base del índice de correlación (- “rho”), que se calcula utilizando el valor de la varianza residual de acuerdo con la siguiente fórmula:

. La esencia de este indicador también se deriva de la regla para sumar variaciones, es decir, - un análogo del coeficiente de correlación, y - el coeficiente de determinación.

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Indicador correlación múltiple caracteriza la cercanía del conjunto considerado de factores con la característica en estudio o, en otras palabras, evalúa la cercanía de la influencia conjunta de los factores en el resultado.

Independientemente de la forma de la relación, el índice de correlación múltiple se puede encontrar como índice de correlación múltiple:

donde s 2 y es la varianza total de la característica resultante;

s resto 2 – varianza residual de la ecuación y = ¦(x 1, x 2,….,x p).

La técnica para construir un índice de correlación múltiple es similar a construir un índice de correlación para la dependencia por pares. Los límites de su cambio son los mismos: de 0 a 1. Cuanto más cerca esté su valor de 1, más estrecha será la conexión entre la característica efectiva y todo el conjunto de factores en estudio. El valor del índice de correlación múltiple debe ser mayor o igual al índice máximo de correlación por pares:

Con la correcta inclusión de factores en análisis de regresión el valor del índice de correlación múltiple diferirá significativamente del índice de correlación por pares. Si además se incluye en la ecuación regresión múltiple Si los factores son de importancia terciaria, entonces el índice de correlación múltiple puede prácticamente coincidir con el índice de correlación de pares.

Con una dependencia lineal de las características, la fórmula del índice de correlación se puede representar mediante la siguiente expresión:

(3.8)

Dónde - coeficientes estandarizados regresión;

Coeficientes de correlación pareados del resultado con cada factor.

Índice de correlación - indicador normalizado de cercanía de la conexión. El coeficiente del índice de correlación muestra la proporción de la variación total en la variable dependiente debido a la regresión o variabilidad en la variable explicativa. Cuanto más cercano esté el índice de correlación a 1, más estrecha será la conexión entre las características consideradas y más confiable será el resultado. ecuación de regresión.

La varianza total del atributo resultante y,

Varianza residual determinada por la ecuación de regresión no lineal.

t come Box-Coke. Al comparar modelos que utilizan y y ln y como variable dependiente, se lleva a cabo una transformación de la escala de observaciones y de tal manera que la desviación estándar en los modelos lineal y logarítmico se puede comparar directamente. En curso próximos pasos:

Se calcula la media geométrica de los valores de y en la muestra. Coincide con el exponente de la media aritmética de los logaritmos y.

Todos los valores de y se recalculan dividiendo por la media geométrica para obtener los valores de y*.

Se estiman dos regresiones:

Para un modelo lineal que utiliza y* como variable dependiente;

Para un modelo logarítmico, use ln y * en lugar de ln y.

En todos los demás aspectos, los modelos deberían permanecer sin cambios. Los valores de MSE para las dos regresiones ahora son comparables y el modelo con el MSE residual más pequeño proporciona un mejor ajuste a los datos originales.

Para comprobar si uno de los modelos proporciona un ajuste significativamente mejor, se puede calcular el valor (n/2)lnz,

donde z es la relación de los valores de la desviación estándar residual en las regresiones enumeradas.

Esta estadística tiene una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad. si excede valor crítico en el nivel de significancia seleccionado α, entonces se concluye que existe una diferencia significativa en la calidad de la evaluación. El valor del coeficiente de elasticidad muestra en qué porcentaje cambiará el atributo efectivo Y si el atributo del factor cambia en un 1%.

En el caso de dependencias no lineales pareadas, los índices de correlación y determinación se utilizan para determinar la cercanía de la conexión entre las características efectivas y factoriales y para evaluar el grado de influencia de la característica factorial sobre la efectiva.

TAREA 1: Estudiemos la relación entre X (valor medio anual de los activos fijos de producción, miles de millones de rublos) e Y (valor neto medio de los trabajadores, personas) (Tabla 2).

Tabla 2

Tabla 3

Tabla 4

Dado que con una conexión de tipo parabólica j = 1,23, no consideraremos este tipo de conexión (j debe ser menor o igual a 1).

Tabla 5

incógnita	Tipo de ecuación
Datos teóricos	Datos empíricos
lineal	parabólico	hiperbólico
	340,32	-	311,82
2,7	354,29	-	359,31
	356,76	-	362,11
3,1	357,58	-	362,92
3,1	357,58	-	362,92
3,1	357,58	-	362,92
3,3	359,23	-	364,39
3,5	360,87	-	365,70
3,5	360,87	-	365,70
	364,98	-	368,39
4,5	369,09	-	370,49
4,7	370,73	-	371,20
4,9	372,38	-	371,86
5,6	378,13	-	373,78
	389,64	-	376,47

1. Según los datos de la tabla (Tabla 1), el gráfico de dependencia hiperbólica está cerca de los datos empíricos, porque la relación de correlación en este caso es 0,14 > 0,11 la relación de correlación para una dependencia lineal, lo que significa que su valor es cercano. a 1.

2. Una correlación más estrecha se indica mediante el coeficiente de correlación, r = 0,14

3. El coeficiente de determinación muestra la proporción de influencia del factor, D=0,02.

4. El gráfico atestigua las conclusiones anteriores: si la característica efectiva no aumenta indefinidamente con un aumento en la característica del factor, sino que tiende a un límite finito, entonces se utiliza la ecuación de hipérbola para analizar dicha característica.

5. Por tanto, se aplica el tipo de dependencia hiperbólica.

TAREA 2: Examinemos la relación entre X (valor medio anual de los activos fijos de producción, miles de millones de rublos) e Y (productos básicos, miles de millones de rublos) (Tabla 6).

Tabla 6

Costo promedio anual de los activos fijos de producción, miles de millones de rublos.	Productos comerciales, miles de millones de rublos.
	1,6
2,7	2,3
	1,4
3,1	2,5
3,1
3,1	3,6
3,3	1,3
3,5	2,5
3,5	7,9
	2,8
4,5	5,6
4,7	3,5
4,9	4,4
5,6
	12,9

Tabla 7

Tabla 8

Dado que con una conexión de tipo parabólica j = 1,81, no consideraremos este tipo de conexión (j debe ser menor o igual a 1).

Tabla 9

incógnita	Tipo de ecuación
Datos teóricos	Datos empíricos
lineal	parabólico	hiperbólico
	-0,83	-	-0,66	1,6
2,7	2,25	-	14,87	2,3
	2,79	-	17,09	1,4
3,1	2,97	-	17,81	2,5
3,1	2,97	-	17,81
3,1	2,97	-	17,81	3,6
3,3	3,33	-	19,25	1,3
3,5	3,70	-	20,67	2,5
3,5	3,70	-	20,67	7,9
	4,60	-	24,17	2,8
4,5	5,51	-	27,62	5,6
4,7	5,87	-	28,98	3,5
4,9	6,23	-	30,34	4,4
5,6	7,50	-	35,07
	10,03	-	44,41	12,9

1. Según los datos de la tabla (Tabla 6), el gráfico de dependencia lineal se acerca a los datos empíricos, porque la relación de correlación en este caso es 0,80 > 0,45 la relación de correlación para una dependencia hiperbólica, lo que significa que su valor es; cerca de 1.

3. El coeficiente de determinación muestra la proporción de influencia del factor, D=0,63.

4. El gráfico atestigua las conclusiones anteriores: si con un aumento en la característica del factor la característica efectiva aumenta uniformemente, entonces dicha dependencia es lineal y se expresa mediante una ecuación lineal.

5. Por tanto, se aplica el tipo de dependencia lineal.

TAREA 3: Examinemos la relación entre X (SSN de empleados, personas) e Y (productos básicos, miles de millones de rublos) (Tabla 10).

Tabla 10

Tabla 11

Tabla 12

Tabla 13

incógnita	Tipo de ecuación
Datos teóricos	Datos empíricos
lineal	parabólico	hiperbólico
	3,55	8,72	3,53	2,3
	3,55	8,72	3,87	1,3
	3,55	8,72	3,92	12,9
	3,55	8,72	4,09	2,5
	3,55	8,72	4,13	1,4
	3,55	8,72	4,13	3,6
	3,55	8,72	4,20	1,6
	3,55	8,72	4,23	3,5
	3,55	8,72	4,26	2,8
	3,55	8,72	4,38	7,9
	3,55	8,72	4,40
	3,55	8,72	4,45	5,6
	3,55	8,72	4,47
	3,55	8,72	4,55	4,4
	3,55	8,72	4,66	2,5

1. Según los datos de la tabla (Tabla 6), el gráfico de dependencia parabólica se acerca a los datos empíricos. Debido a que la relación de correlación en este caso es 0,90 > 0,09 y >0,06, la relación de correlación para dependencias hiperbólicas y lineales, lo que significa que su valor es cercano a 1.

2. Una correlación más estrecha está indicada por el coeficiente de correlación, r = 0,80

3. El coeficiente de determinación muestra la proporción de influencia del factor, D=0,80.

4. El gráfico atestigua las conclusiones anteriores: si la relación entre las características no es lineal y con un aumento en la característica del factor hay un aumento o disminución acelerado en la característica resultante, entonces la dependencia de la correlación se puede expresar mediante una relación de segundo orden. parábola.

5. Así, se utiliza el tipo de dependencia parabólica.

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Fecha de creación de la página: 2016-08-20

El coeficiente de correlación presentado anteriormente, como ya se señaló, es un indicador completo de la cercanía de la relación sólo en el caso de una relación lineal entre las variables. Sin embargo, a menudo se necesita un indicador fiable de la intensidad de la conexión para cualquier forma de dependencia.

Para obtener dicho indicador, recuerde la regla para sumar variaciones:

¿Dónde está la varianza total de la variable?

Promedio de varianzas de grupo o varianza residual

Varianza intergrupal

La varianza residual mide la parte de la variación en Y que surge debido a la variabilidad de factores no contabilizados que no dependen de X. La varianza entre grupos expresa la parte de la variación en Y que se debe a la variabilidad de X. Valor

Se denomina relación de correlación empírica entre Y y X. Cuanto más estrecha sea la relación, mayor será el impacto en la variación de la variable Y por la variabilidad de X en comparación con factores no contabilizados, mayor. Una cantidad llamada coeficiente empírico de determinación muestra qué parte de la variación total en Y se debe a la variación en X. La relación de correlación empírica entre X e Y se introduce de manera similar:

Nota propiedades básicas de las relaciones de correlación(con un tamaño de muestra n suficientemente grande).

• 1. El índice de correlación es un valor no negativo que no excede uno: 0
• 2. Si = 0, entonces conexión de correlación ausente.
• 3. Si = 1, entonces existe una relación funcional entre las variables.

4. ? aquellos. a diferencia del coeficiente de correlación r (para el cual), al calcular el índice de correlación, es importante qué variable se considera independiente y cuál es dependiente.

Relación de correlación empírica es un indicador de la dispersión de puntos del campo de correlación con respecto a la línea de regresión empírica, expresada por una línea discontinua que conecta los valores. Sin embargo, debido al hecho de que el cambio natural se ve interrumpido por zigzags aleatorios de la línea discontinua, que surgen como resultado de la acción residual de factores no contabilizados, se exagera la cercanía de la conexión. Por lo tanto, además, consideramos el indicador de cercanía de la conexión, que caracteriza la dispersión de puntos del campo de correlación con respecto a la línea de regresión (1.3). El indicador se llama índice de correlación teórica o índice de correlación Y por X.

donde las varianzas y están determinadas por las fórmulas (1.54)--(1.56), en las que las medias grupales y se reemplazan por medias condicionales y, calculadas utilizando la ecuación de regresión (1.16).

El índice de correlación X por Y se introduce de manera similar:

La ventaja de los indicadores considerados y R es que se pueden calcular para cualquier forma de conexión entre variables. Aunque sobreestima la cercanía de la conexión en comparación con R, no es necesario conocer la ecuación de regresión para calcularla. Los ratios de correlación y R están relacionados con el coeficiente de correlación r de la siguiente manera.