Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones mediante matrices. Cómo resolver un sistema de ecuaciones usando el método matricial

Las ecuaciones en general, las ecuaciones algebraicas lineales y sus sistemas, así como los métodos para resolverlas, ocupan un lugar especial en las matemáticas, tanto teóricas como aplicadas.

Esto se debe al hecho de que la gran mayoría de los problemas físicos, económicos, técnicos e incluso pedagógicos se pueden describir y resolver utilizando una variedad de ecuaciones y sus sistemas. EN Últimamente ha ganado especial popularidad entre investigadores, científicos y profesionales modelado matemático en casi todas las áreas temáticas, lo que se explica por sus obvias ventajas sobre otros métodos conocidos y probados para estudiar objetos de diversas naturalezas, en particular, el llamado sistemas complejos. Existe una gran variedad de definiciones diferentes del modelo matemático dadas por los científicos en tiempos diferentes, pero en nuestra opinión, la más acertada es la siguiente afirmación. Modelo matemático- esta es una idea, expresado por la ecuación. Por tanto, la capacidad de componer y resolver ecuaciones y sus sistemas es una característica integral de un especialista moderno.

Resolver sistemas de lineales. ecuaciones algebraicas Los métodos más utilizados son Cramer, Jordan-Gauss y el método matricial.

El método de solución matricial es un método para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales con un determinante distinto de cero utilizando una matriz inversa.

Si escribimos los coeficientes de las cantidades desconocidas xi en la matriz A, reunimos las cantidades desconocidas en la columna del vector X y los términos libres en la columna del vector B, entonces el sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede escribir en la forma siguiente ecuación matricial A · X = B, que tiene solución única sólo cuando el determinante de la matriz A no es igual a cero. En este caso, la solución al sistema de ecuaciones se puede encontrar de la siguiente manera X = A-1 · B, Dónde A -1 - matriz inversa.

El método de solución matricial es el siguiente.

Deja que el sistema se dé. ecuaciones lineales Con norte desconocido:

Se puede reescribir en forma matricial: HACHA = B, Dónde A- la matriz principal del sistema, B Y X- columnas de términos libres y soluciones del sistema, respectivamente:

multipliquemos esto ecuación matricial dejado en A-1 - matriz inversa de la matriz A: A -1 (HACHA) = A -1 B

Porque A -1 A = mi, obtenemos X= Un -1 B. parte derecha de esta ecuación dará una columna de soluciones al sistema original. Condición de aplicabilidad este método(así como la existencia de una solución en general sistema homogéneo ecuaciones lineales con el número de ecuaciones igual al número de incógnitas) es la no degeneración de la matriz A. Necesario y condición suficiente esto significa que el determinante de la matriz no es igual a cero A:det A≠ 0.

Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, es decir, cuando el vector B = 0 , de hecho, la regla opuesta: el sistema HACHA = 0 tiene una solución no trivial (es decir, distinta de cero) sólo si det A= 0. Esta conexión entre soluciones de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos se denomina alternativa de Fredholm.

Ejemplo soluciones a un sistema no homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales.

Asegurémonos de que el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes de las incógnitas del sistema de ecuaciones algebraicas lineales, no sea igual a cero.

El siguiente paso es calcular sumas algebraicas para elementos de una matriz que consta de coeficientes de incógnitas. Serán necesarios para encontrar la matriz inversa.

(a veces este método también se llama método matricial o el método matricial inverso) requiere una familiarización preliminar con un concepto como la forma matricial de notación SLAE. El método de la matriz inversa está destinado a resolver aquellos sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el determinante de la matriz del sistema es distinto de cero. Naturalmente, esto supone que la matriz del sistema es cuadrada (el concepto de determinante existe sólo para matrices cuadradas). La esencia del método de la matriz inversa se puede expresar en tres puntos:

1. Escribe tres matrices: la matriz del sistema $A$, la matriz de incógnitas $X$, la matriz de términos libres $B$.
2. Encuentra la matriz inversa $A^(-1)$.
3. Usando la igualdad $X=A^(-1)\cdot B$, obtenga una solución al SLAE dado.

Cualquier SLAE se puede escribir en forma matricial como $A\cdot X=B$, donde $A$ es la matriz del sistema, $B$ es la matriz de términos libres, $X$ es la matriz de incógnitas. Dejemos que exista la matriz $A^(-1)$. Multipliquemos ambos lados de la igualdad $A\cdot X=B$ por la matriz $A^(-1)$ de la izquierda:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Dado que $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ es la matriz identidad), la igualdad anterior se convierte en:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Dado que $E\cdot X=X$, entonces:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Ejemplo No. 1

Resuelva el SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ usando la matriz inversa.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 y 7\\ 9 y 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Encontremos la matriz inversa a la matriz del sistema, es decir Calculemos $A^(-1)$. En el ejemplo No. 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Ahora sustituyamos las tres matrices ($X$, $A^(-1)$, $B$) en la igualdad $X=A^(-1)\cdot B$. Luego realizamos la multiplicación de matrices.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

Entonces, obtuvimos la igualdad $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( matriz )\derecha)$. De esta igualdad tenemos: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Respuesta: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Ejemplo No. 2

Resuelva SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ usando el método de matriz inversa.

Escribamos la matriz del sistema $A$, la matriz de términos libres $B$ y la matriz de incógnitas $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Ahora es el turno de encontrar la matriz inversa a la matriz del sistema, es decir encontrar $A^(-1)$. En el ejemplo número 3 de la página dedicada a encontrar matrices inversas, ya se encontró la matriz inversa. Usemos el resultado final y escribamos $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 y 37\end(array)\right). $$

Ahora sustituyamos las tres matrices ($X$, $A^(-1)$, $B$) en la igualdad $X=A^(-1)\cdot B$, y luego realicemos la multiplicación de matrices en el lado derecho de esta igualdad.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 y -5 y 1 \\ 8 y 2 y -16 \\ -12 y -3 y 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Entonces, obtuvimos la igualdad $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\right)$. De esta igualdad tenemos: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Consideremos sistema de ecuaciones algebraicas lineales(SLAU) relativamente norte desconocido X 1 , X 2 , ..., X norte :

Este sistema en forma "colapsada" se puede escribir de la siguiente manera:

S norte yo=1 a yo X j = segundo i , i=1,2, ..., norte.

De acuerdo con la regla de multiplicación de matrices, el sistema considerado de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial hacha=b, Dónde

, ,.

Matriz A, cuyas columnas son los coeficientes de las incógnitas correspondientes y las filas son los coeficientes de las incógnitas en la ecuación correspondiente se llama matriz del sistema. Matriz de columnas b, cuyos elementos son los lados derechos de las ecuaciones del sistema, se llama matriz del lado derecho o simplemente lado derecho del sistema. Matriz de columnas X , cuyos elementos son las incógnitas desconocidas, se llama solución del sistema.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales escrito en la forma hacha=b, es ecuación matricial.

Si la matriz del sistema no degenerado, entonces tiene una matriz inversa y luego la solución del sistema es hacha=b viene dada por la fórmula:

x=A -1 b.

Ejemplo resolver el sistema método matricial.

Solución Encontremos la matriz inversa para la matriz de coeficientes del sistema.

Calculemos el determinante expandiendo a lo largo de la primera línea:

Porque el Δ ≠ 0 , Eso A -1 existe.

La matriz inversa se encontró correctamente.

Busquemos una solución al sistema.

Por eso, X 1 = 1,x 2 = 2,x 3 = 3 .

Examen:

7. El teorema de Kronecker-Capelli sobre la compatibilidad de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Sistema de ecuaciones lineales. tiene la forma:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Aquí se dan a i j y b i (i = ; j = ), y x j son números reales desconocidos. Usando el concepto de producto de matrices, podemos reescribir el sistema (5.1) en la forma:

donde A = (a i j) es una matriz que consta de coeficientes para las incógnitas del sistema (5.1), que se denomina matriz del sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m ) T son vectores columna compuestos respectivamente de incógnitas x j y términos libres b i .

recogida ordenada norte los números reales (c 1 , c 2 ,..., c n) se llaman solución del sistema(5.1), si como resultado de sustituir estos números en lugar de las variables correspondientes x 1, x 2,..., x n, cada ecuación del sistema se convierte en una identidad aritmética; es decir, si existe un vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tal que AC  B.

El sistema (5.1) se llama articulación, o soluble, si tiene al menos una solución. El sistema se llama incompatible, o Sin solución, si no tiene soluciones.

,

formado asignando una columna de términos libres a la derecha de la matriz A se llama matriz extendida del sistema.

La cuestión de la compatibilidad del sistema (5.1) se resuelve mediante el siguiente teorema.

Teorema de Kronecker-Capelli . Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si y sólo si los rangos de las matrices A yA coinciden, es decir r(A) = r(A) = r.

Para el conjunto M de soluciones del sistema (5.1) existen tres posibilidades:

1) M =  (en este caso el sistema es inconsistente);

2) M consta de un elemento, es decir el sistema tiene una solución única (en este caso el sistema se llama cierto);

3) M consta de más de un elemento (entonces el sistema se llama incierto). En el tercer caso, el sistema (5.1) tiene un número infinito de soluciones.

El sistema tiene solución única sólo si r(A) = n. En este caso, el número de ecuaciones no es menor que el número de incógnitas (mn); si m>n, entonces m-n ecuaciones son consecuencias de los demás. Si 0

Para resolver un sistema arbitrario de ecuaciones lineales, es necesario poder resolver sistemas en los que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas: el llamado Sistemas tipo Cramer:

un 11 x 1 + un 12 x 2 +... + un 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

un n1 x 1 + un n1 x 2 +... + un nn x n = b n .

Los sistemas (5.3) se resuelven de una de las siguientes formas: 1) el método de Gauss, o el método de eliminación de incógnitas; 2) según las fórmulas de Cramer; 3) método matricial.

Ejemplo 2.12. Explora el sistema de ecuaciones y resuélvelo si es consistente:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0.

Solución. Escribimos la matriz extendida del sistema:

 .

Calculemos el rango de la matriz principal del sistema. Es obvio que, por ejemplo, el menor de segundo orden en la esquina superior izquierda = 7  0; los menores de tercer orden que lo contienen son iguales a cero:

En consecuencia, el rango de la matriz principal del sistema es 2, es decir r(A) = 2. Para calcular el rango de la matriz extendida A, considere el menor limítrofe

esto significa que el rango de la matriz extendida r(A) = 3. Dado que r(A)  r(A), el sistema es inconsistente.

Tema 2. SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES.

Conceptos básicos.

Definición 1. Sistema metro ecuaciones lineales con norte incógnitas es un sistema de la forma:

donde y son números.

Definición 2. Una solución del sistema (I) es un conjunto de incógnitas en el que cada ecuación de este sistema se convierte en una identidad.

Definición 3. El sistema (I) se llama articulación, si tiene al menos una solución y no conjunto, si no tiene soluciones. El sistema conjunto se llama cierto, si tiene una solución única, y incierto de lo contrario.

Definición 4. Ecuación de la forma

llamado cero, y la ecuación es de la forma

llamado incompatible. Obviamente, un sistema de ecuaciones que contiene una ecuación incompatible es inconsistente.

Definición 5. Dos sistemas de ecuaciones lineales se llaman equivalente, si toda solución de un sistema sirve como solución para otro y, a la inversa, toda solución del segundo sistema es una solución para el primero.

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Consideremos el sistema (I) (ver §1).

Denotemos:

Matriz de coeficientes para incógnitas

Matriz - columna de términos libres

Matriz – columna de incógnitas

.

Definición 1. La matriz se llama matriz principal del sistema(I), y la matriz es la matriz extendida del sistema (I).

Según la definición de igualdad de matrices, el sistema (I) corresponde a la igualdad matricial:

.

El lado derecho de esta igualdad por definición del producto de matrices ( ver definición 3 § 5 capítulo 1) se puede factorizar:

, es decir.

Igualdad (2) llamado notación matricial del sistema (I).

Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer.

Deje entrar el sistema (I) (ver §1) m=n, es decir. el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y la matriz principal del sistema no es singular, es decir . Entonces el sistema (I) del §1 tiene una solución única

donde Δ = det A llamado principal determinante del sistema(yo), Δ i se obtiene del determinante Δ reemplazando i a columna a una columna de miembros libres del sistema (I).

Ejemplo: Resuelva el sistema usando el método de Cramer:

.

Por fórmulas (3) .

Calculamos los determinantes del sistema:

,

,

.

Para obtener el determinante, reemplazamos la primera columna del determinante con una columna de términos libres; reemplazando la segunda columna del determinante con una columna de términos libres, obtenemos ; de manera similar, reemplazando la tercera columna del determinante con una columna de términos libres, obtenemos . Solución del sistema:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matriz inversa.

Deje entrar el sistema (I) (ver §1) m=n y la matriz principal del sistema es no singular. Escribamos el sistema (I) en forma matricial ( ver §2):

porque matriz A no singular, entonces tiene una matriz inversa ( ver Teorema 1 §6 del Capítulo 1). Multipliquemos ambos lados de la igualdad. (2) a la matriz, entonces

Por definición de matriz inversa. Desde la igualdad (3) tenemos

Resuelve el sistema usando la matriz inversa.

.

denotemos

En el ejemplo (§ 3) calculamos el determinante, por lo tanto, la matriz A tiene una matriz inversa. Entonces en efecto (4) , es decir.

. (5)

Encontremos la matriz ( ver §6 capítulo 1)

, , ,

, , ,

,

.

Método de Gauss.

Sea un sistema de ecuaciones lineales dado:

. (I)

Se requiere encontrar todas las soluciones del sistema (I) o asegurarse de que el sistema sea inconsistente.

Definición 1.Llamemos a la transformación elemental del sistema.(I) cualquiera de tres acciones:

1) tachando la ecuación cero;

2) sumar a ambos lados de la ecuación las partes correspondientes de otra ecuación, multiplicadas por el número l;

3) intercambiar términos en las ecuaciones del sistema para que las incógnitas con los mismos números en todas las ecuaciones ocupen los mismos lugares, es decir si, por ejemplo, en la 1ª ecuación cambiamos el 2º y 3º término, entonces se debe hacer lo mismo en todas las ecuaciones del sistema.

El método de Gauss consiste en reducir el sistema (I) mediante transformaciones elementales a un sistema equivalente, cuya solución se encuentra directamente o se establece su insolvencia.

Como se describe en §2, el sistema (I) está determinado únicamente por su matriz extendida y cualquier transformación elemental del sistema (I) corresponde a una transformación elemental de la matriz extendida:

.

La transformación 1) corresponde a eliminar la fila cero en la matriz, la transformación 2) equivale a agregar otra fila a la fila correspondiente de la matriz, multiplicada por el número l, la transformación 3) equivale a reordenar las columnas de la matriz.

Es fácil ver que, por el contrario, cada transformación elemental de la matriz corresponde a una transformación elemental del sistema (I). Debido a lo anterior, en lugar de operaciones con el sistema (I), trabajaremos con la matriz extendida de este sistema.

En la matriz, la primera columna consta de coeficientes para x1, 2da columna - de los coeficientes para x2 etc. Si se reorganizan las columnas, se debe tener en cuenta que se viola esta condición. Por ejemplo, si intercambiamos la primera y la segunda columna, ahora la primera columna contendrá los coeficientes para x2, y en la segunda columna, los coeficientes para x1.

Resolveremos el sistema (I) usando el método gaussiano.

1. Tache todas las filas cero de la matriz, si las hay (es decir, tache todas las ecuaciones cero en el sistema (I).

2. Comprobemos si entre las filas de la matriz hay una fila en la que todos los elementos excepto el último sean iguales a cero (llamemos a dicha fila inconsistente). Obviamente, dicha recta corresponde a una ecuación inconsistente en el sistema (I), por lo tanto, el sistema (I) no tiene soluciones y aquí es donde termina el proceso.

3. Que la matriz no contenga filas inconsistentes (el sistema (I) no contiene ecuaciones inconsistentes). Si un 11 =0, luego encontramos en la 1ª fila algún elemento (excepto el último) distinto de cero y reorganizamos las columnas para que en la 1ª fila no haya cero en el 1er lugar. Ahora asumiremos que (es decir, intercambiaremos los términos correspondientes en las ecuaciones del sistema (I)).

4. Multiplique la primera línea por y sume el resultado con la segunda línea, luego multiplique la primera línea por y sume el resultado con la tercera línea, etc. Evidentemente, este proceso equivale a eliminar lo desconocido. x1 de todas las ecuaciones del sistema (I), excepto la 1ª. En la nueva matriz obtenemos ceros en la primera columna debajo del elemento un 11:

.

5. Tachemos todas las filas cero de la matriz, si las hay, y verifiquemos si hay una fila inconsistente (si hay una, entonces el sistema es inconsistente y la solución termina ahí). Comprobemos si habrá un 22 / =0, en caso afirmativo, buscamos en la segunda fila un elemento distinto de cero y reorganizamos las columnas de modo que . A continuación, multiplica los elementos de la segunda fila por y sumamos con los elementos correspondientes de la 3ª línea, luego - los elementos de la 2ª línea y sumamos con los elementos correspondientes de la 4ª línea, etc., hasta que obtengamos ceros debajo un 22/

.

Las acciones tomadas equivalen a eliminar lo desconocido. x2 de todas las ecuaciones del sistema (I), excepto la 1ª y 2ª. Dado que el número de filas es finito, después de un número finito de pasos obtenemos que el sistema es inconsistente o terminamos con una matriz de pasos ( ver definición 2 §7 capítulo 1) :

,

Escribamos el sistema de ecuaciones correspondiente a la matriz. Este sistema es equivalente al sistema (I)

.

De la última ecuación expresamos; sustituir en la ecuación anterior, encontrar, etc., hasta obtener .

Nota 1. Así, al resolver el sistema (I) mediante el método gaussiano, llegamos a uno de los siguientes casos.

1. El sistema (I) es inconsistente.

2. El sistema (I) tiene solución única si el número de filas de la matriz es igual al número de incógnitas ().

3. El sistema (I) tiene un número infinito de soluciones si el número de filas de la matriz es menor que el número de incógnitas ().

Por tanto, se cumple el siguiente teorema.

Teorema. Un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente, tiene una solución única o tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplos. Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss o demuestra su inconsistencia:

b) ;

a) Reescribamos el sistema dado en la forma:

.

Hemos intercambiado la primera y segunda ecuaciones del sistema original para simplificar los cálculos (en lugar de fracciones, solo operaremos con números enteros usando este reordenamiento).

Creemos una matriz extendida:

.

No hay líneas nulas; no hay líneas incompatibles, ; Excluyamos la primera incógnita de todas las ecuaciones del sistema excepto la primera. Para ello multiplica los elementos de la 1ª fila de la matriz por “-2” y súmalos con los elementos correspondientes de la 2ª fila, lo que equivale a multiplicar la 1ª ecuación por “-2” y sumarla con la 2ª ecuación. Luego multiplicamos los elementos de la 1ª línea por “-3” y los sumamos con los elementos correspondientes de la tercera línea, es decir multiplica la segunda ecuación del sistema dado por “-3” y súmala a la tercera ecuación. Obtenemos

.

La matriz corresponde a un sistema de ecuaciones). - (ver definición 3§7 del Capítulo 1).

El método de la matriz inversa es un caso especial. ecuación matricial

Resolver el sistema usando el método matricial.

Solución: Escribimos el sistema en forma matricial Encontramos la solución del sistema usando la fórmula (ver la última fórmula)

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:
, donde es la matriz transpuesta de complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz.

Primero, veamos el determinante:

Aquí el determinante se expande en la primera línea.

¡Atención! Si, entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema usando el método matricial. En este caso, el sistema se resuelve mediante el método de eliminación de incógnitas (método gaussiano).

Ahora necesitamos calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores.

Referencia: Es útil conocer el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de la línea en la que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento:

Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna y, por ejemplo, el elemento está en 3 filas, 2 columnas.

Durante la solución, es mejor describir en detalle el cálculo de los menores, aunque con algo de experiencia podrás acostumbrarte a calcularlos con errores de forma oral.

El orden en el que se calculan los menores no tiene ninguna importancia; aquí los calculé de izquierda a derecha línea por línea. Fue posible calcular los menores por columnas (esto es aún más conveniente).

De este modo:

– matriz de menores de los elementos correspondientes de la matriz.

– matriz de sumas algebraicas.

– matriz transpuesta de sumas algebraicas.

Repito, discutimos los pasos realizados en detalle en la lección. ¿Cómo encontrar la inversa de una matriz?

Ahora escribimos la matriz inversa:

Bajo ninguna circunstancia debemos ingresarlo en la matriz, esto complicará seriamente los cálculos posteriores.. La división debería realizarse si todos los números de la matriz fueran divisibles por 60 sin resto. Pero en este caso es muy necesario agregar un signo menos a la matriz; de lo contrario, esto simplificará los cálculos adicionales;

Todo lo que queda es realizar la multiplicación de matrices. Puedes aprender a multiplicar matrices en clase. Acciones con matrices. Por cierto, allí se analiza exactamente el mismo ejemplo.

Tenga en cuenta que la división por 60 se realiza último de todos.
A veces es posible que no se separe por completo, es decir. puede resultar en fracciones “malas”. Ya te dije qué hacer en tales casos cuando analizamos la regla de Cramer.

Respuesta:

Ejemplo 12

Resuelve el sistema usando la matriz inversa.

Este es un ejemplo de una solución independiente (una muestra del diseño final y la respuesta al final de la lección).

La forma más universal de resolver el sistema es método de eliminación de incógnitas (método gaussiano). No es tan fácil explicar claramente el algoritmo, ¡pero lo intenté!

¡Te deseo éxito!

Respuestas:

Ejemplo 3:

Ejemplo 6:

Ejemplo 8: , . Puede ver o descargar una solución de muestra para este ejemplo (enlace a continuación).

Ejemplos 10, 12:

Seguimos considerando sistemas de ecuaciones lineales. Esta lección es la tercera sobre el tema. Si tienes una idea vaga de lo que es un sistema de ecuaciones lineales en general, si te apetece una tetera, te recomiendo comenzar con lo básico en la página siguiente, es útil estudiar la lección.

¡El método gaussiano es fácil!¿Por qué? El famoso matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, durante su vida, recibió el reconocimiento como el mayor matemático de todos los tiempos, un genio e incluso el apodo de "Rey de las Matemáticas". ¡Y todo lo ingenioso, como sabes, es sencillo! Por cierto, no sólo los tontos obtienen dinero, sino también los genios: el retrato de Gauss estaba en el billete de 10 marcos alemanes (antes de la introducción del euro), y Gauss todavía sonríe misteriosamente a los alemanes desde los sellos postales comunes.

El método Gauss es simple en el sentido de que EL CONOCIMIENTO DE UN ALUMNO DE QUINTO GRADO ES SUFICIENTE para dominarlo. ¡Debes saber sumar y multiplicar! No es casualidad que los profesores consideren a menudo el método de exclusión secuencial de incógnitas en las asignaturas optativas de matemáticas escolares. Es una paradoja, pero los estudiantes encuentran el método gaussiano el más difícil. Nada sorprendente: todo es cuestión de metodología, e intentaré hablar sobre el algoritmo del método de forma accesible.

Primero, sistematicemos un poco de conocimiento sobre sistemas de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales puede:

1) Tener una solución única.
2) Tener infinitas soluciones.
3) No tener soluciones (ser no conjunto).

El método Gauss es la herramienta más poderosa y universal para encontrar una solución. cualquier sistemas de ecuaciones lineales. Como recordamos, Regla de Cramer y método matricial. no son adecuados en los casos en que el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente. Y el método de eliminación secuencial de incógnitas. De todos modos¡Nos llevará a la respuesta! En esta lección, consideraremos nuevamente el método de Gauss para el caso No. 1 (la única solución al sistema), el artículo está dedicado a las situaciones de los puntos No. 2-3. Observo que el algoritmo del método en sí funciona igual en los tres casos.

Volvamos al sistema más simple de la lección. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales?
y resolverlo usando el método gaussiano.

El primer paso es escribir matriz del sistema extendido:
. Creo que todos pueden ver según qué principio se escriben los coeficientes. La línea vertical dentro de la matriz no tiene ningún significado matemático; es simplemente un tachado para facilitar el diseño.

Referencia: te recomiendo que recuerdestérminos álgebra lineal.Matriz del sistema es una matriz compuesta únicamente por coeficientes para incógnitas, en este ejemplo la matriz del sistema: . Matriz del sistema extendido – esta es la misma matriz del sistema más una columna de términos libres, en este caso: . Para abreviar, cualquiera de las matrices puede denominarse simplemente matriz.

Una vez escrito el sistema matricial extendido, es necesario realizar algunas acciones con él, que también se denominan transformaciones elementales.

Existen las siguientes transformaciones elementales:

1) Instrumentos de cuerda matrices se puede reorganizar en algunos lugares. Por ejemplo, en la matriz que estamos considerando, puede reorganizar sin problemas la primera y la segunda fila:

2) Si hay (o han aparecido) filas proporcionales (como caso especial, idénticas) en la matriz, entonces debería borrar Todas estas filas son de la matriz excepto una. Consideremos, por ejemplo, la matriz . En esta matriz, las últimas tres filas son proporcionales, por lo que basta con dejar solo una de ellas: .

3) Si aparece una fila cero en la matriz durante las transformaciones, entonces también debería ser borrar. No dibujaré, por supuesto, la línea cero es la línea en la que todos ceros.

4) La fila de la matriz puede ser multiplicar (dividir) a cualquier número distinto de cero. Consideremos, por ejemplo, la matriz. Aquí es recomendable dividir la primera línea por –3 y multiplicar la segunda línea por 2: . Esta acción es muy útil porque simplifica futuras transformaciones de la matriz.

5) Esta transformación es la que causa más dificultades, pero en realidad tampoco hay nada complicado. A una fila de una matriz puedes agregar otra cadena multiplicada por un número, diferente de cero. Veamos nuestra matriz desde un ejemplo práctico: . Primero describiré la transformación con gran detalle. Multiplica la primera línea por –2: , Y a la segunda línea le sumamos la primera línea multiplicada por –2: . Ahora la primera línea se puede dividir “atrás” por –2: . Como puedes ver, la línea que está AGREGADA LI – no ha cambiado. Siempre la línea A LA QUE SE AGREGA cambia Utah.

En la práctica, por supuesto, no lo escriben con tanto detalle, pero lo escriben brevemente:

Una vez más: a la segunda línea. agregó la primera línea multiplicada por –2. Una línea generalmente se multiplica oralmente o en un borrador, y el proceso de cálculo mental es más o menos así:

“Reescribo la matriz y reescribo la primera línea: “

"Primera columna. En la parte inferior necesito obtener cero. Por lo tanto, multiplico el de arriba por –2:, y sumo el primero a la segunda línea: 2 + (–2) = 0. Escribo el resultado en la segunda línea: »

“Ahora la segunda columna. En la parte superior, multiplico -1 por -2: . Agrego el primero a la segunda línea: 1 + 2 = 3. Escribo el resultado en la segunda línea: "

“Y la tercera columna. En la parte superior multiplico -5 por -2: . Agrego el primero a la segunda línea: –7 + 10 = 3. Escribo el resultado en la segunda línea: »

Comprenda cuidadosamente este ejemplo y comprenda el algoritmo de cálculo secuencial; si comprende esto, entonces el método gaussiano está prácticamente en su bolsillo. Pero, por supuesto, seguiremos trabajando en esta transformación.

Las transformaciones elementales no cambian la solución del sistema de ecuaciones.

! ATENCIÓN: manipulaciones consideradas no se puede usar, si le ofrecen una tarea en la que las matrices se dan "por sí mismas". Por ejemplo, con "clásico" operaciones con matrices¡Bajo ninguna circunstancia debes reorganizar nada dentro de las matrices!

Volvamos a nuestro sistema. Ya casi está solucionado.

Escribimos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la reducimos a vista escalonada:

(1) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –2. Por cierto, ¿por qué multiplicamos la primera línea por –2? Para obtener cero en la parte inferior, significa deshacerse de una variable en la segunda línea.

(2) Divida la segunda línea por 3.

El propósito de las transformaciones elementales.– reducir la matriz a la forma paso a paso: . Al diseñar la tarea, simplemente marcan las "escaleras" con un simple lápiz y también encierran en un círculo los números que se encuentran en los "escalones". El término "visión escalonada" en sí no es del todo teórico; en la literatura científica y educativa se lo denomina a menudo; vista trapezoidal o vista triangular.

Como resultado de transformaciones elementales, obtuvimos equivalente sistema original de ecuaciones:

Ahora es necesario "desenrollar" el sistema en la dirección opuesta: de abajo hacia arriba, este proceso se llama inverso del método gaussiano.

En la ecuación inferior ya tenemos un resultado listo: .

Consideremos la primera ecuación del sistema y sustituyamos en ella el valor ya conocido de "y":

Consideremos la situación más común, cuando el método gaussiano requiere resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejemplo 1

Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss:

Escribamos la matriz extendida del sistema:

Ahora dibujaré inmediatamente el resultado al que llegaremos durante la solución:

Y repito, nuestro objetivo es llevar la matriz a una forma escalonada mediante transformaciones elementales. ¿Donde empezar?

Primero, mira el número superior izquierdo:

Casi siempre debería estar aquí. unidad. En términos generales, –1 (y a veces otros números) bastará, pero de alguna manera ha sucedido tradicionalmente que normalmente se coloca uno allí. ¿Cómo organizar una unidad? Miramos la primera columna: ¡tenemos una unidad terminada! Transformación uno: intercambie la primera y tercera línea:

Ahora la primera línea permanecerá sin cambios hasta el final de la solución.. Ahora bien.

La unidad en la esquina superior izquierda está organizada. Ahora necesitas obtener ceros en estos lugares:

Obtenemos ceros mediante una transformación "difícil". Primero nos ocupamos de la segunda línea (2, –1, 3, 13). ¿Qué hay que hacer para conseguir cero en la primera posición? Necesitar a la segunda línea agregue la primera línea multiplicada por –2. Mentalmente o en un borrador, multiplica la primera línea por –2: (–2, –4, 2, –18). Y realizamos consistentemente (nuevamente mentalmente o en un borrador) sumas, a la segunda línea le sumamos la primera línea, ya multiplicada por –2:

Escribimos el resultado en la segunda línea:

Tratamos la tercera línea de la misma manera (3, 2, –5, –1). Para obtener un cero en la primera posición, necesitas a la tercera línea agregue la primera línea multiplicada por –3. Mentalmente o en un borrador, multiplica la primera línea por –3: (–3, –6, 3, –27). Y a la tercera línea le sumamos la primera línea multiplicada por –3:

Escribimos el resultado en la tercera línea:

En la práctica, estas acciones suelen realizarse de forma oral y escritas en un solo paso:

No es necesario contar todo de una vez y al mismo tiempo.. El orden de los cálculos y la “inscripción” de los resultados. coherente y por lo general es así: primero reescribimos la primera línea y lentamente inhalamos, CONSISTENTE y ATENTAMENTE:

Y ya he hablado anteriormente del proceso mental de los cálculos.

En este ejemplo, esto es fácil de hacer; dividimos la segunda línea por –5 (ya que todos los números son divisibles por 5 sin resto). Al mismo tiempo, dividimos la tercera línea entre –2, porque cuanto más pequeños sean los números, más sencilla será la solución:

En la etapa final de las transformaciones elementales, aquí debes obtener otro cero:

Para esto a la tercera línea le sumamos la segunda línea multiplicada por –2:

Intente descubrir esta acción usted mismo: multiplique mentalmente la segunda línea por –2 y realice la suma.

La última acción realizada es el peinado del resultado, divide la tercera línea entre 3.

Como resultado de transformaciones elementales, se obtuvo un sistema equivalente de ecuaciones lineales:

Fresco.

Ahora entra en juego lo contrario del método gaussiano. Las ecuaciones se “desenrollan” de abajo hacia arriba.

En la tercera ecuación ya tenemos un resultado listo:

Veamos la segunda ecuación: . El significado de "zet" ya se conoce, así:

Y por último, la primera ecuación: . "Igrek" y "zet" son conocidos, es sólo una cuestión de pequeñas cosas:

Respuesta:

Como ya se ha señalado varias veces, para cualquier sistema de ecuaciones es posible y necesario comprobar la solución encontrada, afortunadamente esto es fácil y rápido.

Ejemplo 2

Este es un ejemplo de una solución independiente, una muestra del diseño final y una respuesta al final de la lección.

Cabe señalar que su progreso de la decisión puede no coincidir con mi proceso de decisión, y esta es una característica del método de Gauss.. ¡Pero las respuestas deben ser las mismas!

Ejemplo 3

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.

Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:

Nos fijamos en el “paso” superior izquierdo. Deberíamos tener uno allí. El problema es que no hay ninguna unidad en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no resolverá nada. En tales casos, la unidad debe organizarse mediante una transformación elemental. Por lo general, esto se puede hacer de varias maneras. Yo hice esto: (1) A la primera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –1. Es decir, multiplicamos mentalmente la segunda línea por –1 y sumamos la primera y la segunda línea, mientras que la segunda línea no cambió.

Ahora en la parte superior izquierda está –1, lo que nos viene muy bien. Cualquiera que quiera obtener +1 puede realizar un movimiento adicional: multiplicar la primera línea por –1 (cambiar su signo).

(2) La primera línea multiplicada por 5 se agregó a la segunda línea. La primera línea multiplicada por 3 se agregó a la tercera línea.

(3) La primera línea se multiplicó por –1, en principio, esto es por belleza. También se cambió el signo de la tercera línea y se pasó al segundo lugar, de modo que en el segundo “escalón” tuviéramos la unidad requerida.

(4) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por 2.

(5) La tercera línea se dividió por 3.

Una mala señal que indica un error en los cálculos (más raramente, un error tipográfico) es un resultado final “malo”. Es decir, si tenemos algo como , a continuación y, en consecuencia, , entonces con un alto grado de probabilidad podemos decir que se cometió un error durante las transformaciones elementales.

Afirmamos lo contrario: en el diseño de ejemplos a menudo no reescriben el sistema en sí, sino que las ecuaciones se “toman directamente de la matriz dada”. El movimiento inverso, les recuerdo, funciona, de abajo hacia arriba:
Sí, aquí tienes un regalo:

Respuesta: .

Ejemplo 4

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta, es algo más complicado. Está bien si alguien se confunde. Solución completa y diseño de muestra al final de la lección. Su solución puede ser diferente de mi solución.

En la última parte veremos algunas características del algoritmo gaussiano.
La primera característica es que a veces faltan algunas variables en las ecuaciones del sistema, por ejemplo:

¿Cómo escribir correctamente la matriz del sistema extendido? Ya hablé de este punto en clase. La regla de Cramer. método matricial. En la matriz extendida del sistema, colocamos ceros en lugar de las variables faltantes:

Por cierto, este es un ejemplo bastante sencillo, ya que la primera columna ya tiene un cero y hay menos transformaciones elementales que realizar.

La segunda característica es esta. En todos los ejemplos considerados, colocamos –1 o +1 en los “pasos”. ¿Podría haber otros números allí? En algunos casos pueden hacerlo. Considere el sistema: .

Aquí en el “paso” superior izquierdo tenemos un dos. Pero notamos el hecho de que todos los números de la primera columna son divisibles por 2 sin resto, y la otra es dos y seis. ¡Y los dos de arriba a la izquierda nos vendrán bien! En el primer paso, debes realizar las siguientes transformaciones: suma la primera línea multiplicada por –1 a la segunda línea; a la tercera línea agregue la primera línea multiplicada por –3. De esta forma obtendremos los ceros requeridos en la primera columna.

U otro ejemplo convencional: . Aquí también nos conviene el tres del segundo “paso”, ya que 12 (el lugar donde tenemos que sacar el cero) es divisible por 3 sin resto. Es necesario realizar la siguiente transformación: suma la segunda línea a la tercera línea, multiplicada por –4, como resultado de lo cual obtendremos el cero que necesitamos.

El método de Gauss es universal, pero tiene una peculiaridad. Puedes aprender con confianza a resolver sistemas utilizando otros métodos (método de Cramer, método matricial) literalmente la primera vez; tienen un algoritmo muy estricto. Pero para tener confianza en el método gaussiano, debes “meterte en el diente” y resolver al menos entre 5 y 10 diez sistemas. Por lo tanto, al principio puede haber confusión y errores en los cálculos, y esto no tiene nada de inusual o trágico.

Clima lluvioso de otoño afuera de la ventana.... Por lo tanto, para todos los que quieran un ejemplo más complejo para resolver por su cuenta:

Ejemplo 5

Resuelve un sistema de 4 ecuaciones lineales con cuatro incógnitas utilizando el método de Gauss.

Esta tarea no es tan rara en la práctica. Creo que incluso una tetera que haya estudiado a fondo esta página comprenderá el algoritmo para resolver dicho sistema de forma intuitiva. Básicamente todo es igual, sólo que hay más acciones.

En la lección se analizan los casos en los que el sistema no tiene soluciones (inconsistente) o tiene infinitas soluciones. Sistemas incompatibles y sistemas con una solución común.. Allí puede arreglar el algoritmo considerado del método gaussiano.

¡Te deseo éxito!

Soluciones y respuestas:

Ejemplo 2: Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada.

Transformaciones elementales realizadas:
(1) La primera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –2. La primera línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –1.¡Atención! Aquí puede verse tentado a restar la primera línea de la tercera; le recomiendo no restarla; el riesgo de error aumenta considerablemente. ¡Solo dóblalo!
(2) Se cambió el signo de la segunda línea (multiplicado por –1). Se han intercambiado la segunda y tercera línea.nota , que en los “escalones” nos conformamos no solo con uno, sino también con –1, lo cual es aún más conveniente.
(3) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por 5.
(4) Se cambió el signo de la segunda línea (multiplicado por –1). La tercera línea fue dividida por 14.

Contrarrestar:


Respuesta: .

Ejemplo 4: Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma paso a paso:

Conversiones realizadas:
(1) Se agregó una segunda línea a la primera línea. Así, la unidad deseada se organiza en el “escalón” superior izquierdo.
(2) La primera línea multiplicada por 7 se agregó a la segunda línea. La primera línea multiplicada por 6 se agregó a la tercera línea.

Con el segundo “paso” todo empeora , los “candidatos” son los números 17 y 23, y necesitamos uno o –1. Las transformaciones (3) y (4) estarán encaminadas a obtener la unidad deseada

(3) La segunda línea se agregó a la tercera línea, multiplicada por –1.
(4) La tercera línea se agregó a la segunda línea, multiplicada por –3.
Se ha recibido el artículo requerido en el segundo paso. .
(5) La segunda línea se sumó a la tercera línea, multiplicada por 6.
(6) La segunda línea se multiplicó por –1, la tercera línea se dividió por -83. Es obvio que el plano está definido únicamente por tres puntos diferentes que no se encuentran en la misma recta. Por lo tanto, las designaciones de aviones de tres letras son bastante populares: por los puntos que les pertenecen, por ejemplo, ; .Si miembros libres