donde λ es la intensidad de las solicitudes recibidas por el QS.
Ejemplo.
Calcule los indicadores de servicio para un QS de un solo canal, en el que las solicitudes se reciben a una velocidad de λ = 1,2 solicitudes por hora, tiempo de servicio t obs = 2,5 horas. Calculamos indicadores de servicio para un QS monocanal:
Intensidad de carga.
ρ = λ t obs = 1,2 2,5 = 3
La intensidad de carga ρ=3 muestra el grado de coherencia de los flujos de entrada y salida de solicitudes del canal de servicio y determina la estabilidad del sistema. haciendo cola.
tpr = 15 min.
Proporción de solicitudes rechazadas. p 1 = 1 - p 0 = 1 - 0,25 = 0,75
Esto significa que el 75% de las solicitudes recibidas no son aceptadas para el servicio.
La proporción de solicitudes atendidas recibidas por unidad de tiempo:
Rendimiento absoluto.
A = Q λ = 0,25 1,2 = 0,3 aplicaciones/min.
Tiempo de inactividad promedio de QS.
t pr = p abierto t obs = 0,75 2,5 = 1,88 min.
Número promedio de solicitudes atendidas.
L obs = ρ Q = 3 0,25 = 0,75 unidades
Número de solicitudes rechazadas en minutos: λ p 1 = 0,9 solicitudes por minuto. Productividad nominal del sistema: 1/2,5 = 0,4 aplicaciones por minuto. Rendimiento real del SMO: 0,3 / 0,4 = 75% de la capacidad nominal.
Rendimiento absoluto cm. Solución de ejemplo
a la estacion mantenimiento Se recibe un flujo simple de solicitudes con una intensidad de 1 automóvil cada 2 horas. No puede haber más de 3 automóviles en cola en el patio. El tiempo medio de reparación es de 2 horas. Evaluar el desempeño del CMO y desarrollar recomendaciones para mejorar el servicio.
Solución: Determinar el tipo de QS. La frase "A la estación" habla de un dispositivo de servicio único, es decir. para resolver utilizamos fórmulas para QS monocanal. Determinamos el tipo de QS monocanal. Dado que se menciona una cola, seleccionamos "QS de un solo canal con longitud de cola limitada". El parámetro λ debe expresarse en horas. La intensidad de las aplicaciones es de 1 coche cada 2 horas o 0,5 cada 1 hora.
La intensidad del flujo de servicio μ no se especifica explícitamente. El tiempo de servicio indicado aquí es t obs = 2 horas.
Calculamos indicadores de servicio para un QS monocanal:
Intensidad del flujo de servicio:
Intensidad de carga.
ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1
La intensidad de carga ρ=1 muestra el grado de coherencia de los flujos de entrada y salida de solicitudes del canal de servicio y determina la estabilidad del sistema de colas.
Las solicitudes no se rechazan. Todas las solicitudes recibidas son atendidas, p open = 0.
Ancho de banda relativo.
La proporción de solicitudes atendidas recibidas por unidad de tiempo: Q = 1 - p abierto = 1 - 0 = 1
En consecuencia, se atenderá el 100% de las solicitudes recibidas. Un nivel de servicio aceptable debe estar por encima del 90%.
Número de solicitudes rechazadas en una hora: λ p 1 = 0 solicitudes por hora. Productividad nominal del QS: 1/2 = 0,5 aplicaciones por hora. Rendimiento real del SMO: 0,5 / 0,5 = 100% del rendimiento nominal.
Conclusión: la estación está 100% cargada. En este caso no se observan fallos.
QS con fallas (monocanal y multicanal)
El modelo monocanal más simple con un flujo de entrada probabilístico y un procedimiento de servicio es un modelo que "puede caracterizarse por una distribución exponencial de la duración de los intervalos entre la llegada de solicitudes y la distribución de la duración del servicio". En este caso, la densidad de distribución de la duración de los intervalos entre recepciones de solicitudes tiene la forma:
f 1 (t) = l*e (-l*t), (1)
donde l es la intensidad de las aplicaciones que ingresan al sistema (el número promedio de aplicaciones que ingresan al sistema por unidad de tiempo). Densidad de distribución de la duración del servicio:
f 2 (t)=µ*e -µ*t , µ=1/t rev, (2)
donde µ es la intensidad del servicio, t aproximadamente es el tiempo promedio de servicio para un cliente. El rendimiento relativo de las solicitudes atendidas en relación con todas las solicitudes entrantes se calcula mediante la fórmula:
Este valor es igual a la probabilidad de que el canal de servicio esté libre. El rendimiento absoluto (A) es el número promedio de solicitudes que un sistema de colas puede atender por unidad de tiempo:
Este valor de P puede interpretarse como la proporción promedio de aplicaciones no atendidas.
Ejemplo. Supongamos que un QS monocanal con averías representa un puesto de mantenimiento diario para el lavado de coches. A una solicitud (un automóvil que llega en un momento en que el puesto está ocupado) se le niega el servicio. Intensidad del flujo de automóviles l = 1,0 (automóvil por hora). Duración media del servicio t aproximadamente =1,8 horas. Se requiere determinar los valores límite en estado estacionario: rendimiento relativo q;
- - capacidad absoluta A;
- - probabilidad de fallo P.
Determinemos la intensidad del flujo de servicio usando la fórmula 2: Calculemos el rendimiento relativo: q = El valor de q significa que en estado estacionario el sistema atenderá aproximadamente al 35% de los automóviles que lleguen al puesto. Determinamos el rendimiento absoluto mediante la fórmula: A = lHq = 1H0,356 = 0,356. Esto sugiere que el sistema es capaz de realizar una media de 0,356 servicios de vehículos por hora. Probabilidad de fallo: P rechazo =1-q=1-0,356=0,644. Esto significa que aproximadamente al 65% de los vehículos que lleguen al puesto de EO se les negará el servicio. Determinemos la capacidad nominal de este sistema A nom: A nom = (automóviles por hora).
Sin embargo, en la gran mayoría de los casos, el sistema de colas es multicanal, es decir, se pueden atender varias solicitudes en paralelo. El proceso QS descrito por este modelo se caracteriza por la intensidad del flujo de entrada l, mientras que no se pueden atender más de n clientes en paralelo. La duración promedio de atender una solicitud es 1/m. “El modo de funcionamiento del canal de servicio no afecta el modo de funcionamiento de otros canales de servicio del sistema, y la duración del procedimiento de servicio para cada uno de los canales es una variable aleatoria sujeta a la ley de distribución exponencial. El objetivo final de utilizar canales de servicio conectados en paralelo es aumentar la velocidad de atención de las solicitudes atendiendo a n clientes simultáneamente”. La solución a tal sistema es:
Las fórmulas para calcular probabilidades se denominan fórmulas de Erlang. Determinemos las características probabilísticas del funcionamiento de un QS multicanal con fallas en modo estacionario. La probabilidad de falla P falla es igual a:
P abierto =P norte =*P 0 . (7)
Una solicitud se rechaza si llega en un momento en el que todos los canales están ocupados. El valor de P abierto caracteriza la integridad del servicio del flujo entrante; la probabilidad de que la solicitud sea aceptada para el servicio (también es el rendimiento relativo del sistema) complementa P rechazo a uno:
Rendimiento absoluto
El número medio de canales ocupados por servicio () es el siguiente:
El valor caracteriza el grado de carga del sistema de colas. Ejemplo. Sea el QS de canal n un centro de computación con tres (n=3) computadoras intercambiables para resolver problemas entrantes. El flujo de tareas que llegan al centro de cómputo tiene una intensidad de l = 1 tarea por hora. Duración media del servicio t aproximadamente =1,8 horas.
Necesitas calcular los valores:
- - probabilidad del número de canales CC ocupados;
- - probabilidad de negarse a atender una solicitud;
- - capacidad relativa del centro de cómputo;
- - capacidad absoluta del centro de cómputo;
- - el número medio de ordenadores ocupados en el centro de cálculo.
Definamos el parámetro de flujo de servicio:
La intensidad reducida del flujo de aplicaciones:
Encontramos las probabilidades límite de estados usando las fórmulas de Erlang:
Probabilidad de negativa a atender una solicitud:
Capacidad relativa del CC:
Capacidad absoluta del CC:
Número medio de canales ocupados - PC:
Por lo tanto, en el modo de funcionamiento estable del QS, en promedio, 1,5 computadoras de cada tres estarán ocupadas, la otra y media estará inactiva. El rendimiento del centro de cómputo para l y m dados sólo puede aumentarse aumentando el número de computadoras personales.
El modelo monocanal más simple. Un modelo de este tipo con un flujo de entrada probabilístico y un procedimiento de servicio es un modelo caracterizado por una distribución exponencial tanto de la duración de los intervalos entre llegadas de requisitos como de las duraciones del servicio. En este caso, la densidad de distribución de la duración de los intervalos entre recepciones de solicitudes tiene la forma
(1)
¿Dónde está la intensidad de las aplicaciones que ingresan al sistema?
Densidad de distribución de la duración del servicio:
, (2)
¿Dónde está la intensidad del servicio?
Los flujos de solicitudes y servicios son simples.
Deje que el sistema funcione con negativas. Es necesario determinar el rendimiento absoluto y relativo del sistema.
Imaginemos este sistema de colas en forma de gráfico (Fig.1), que tiene dos estados:
S 0 - canal libre (en espera);
S 1- el canal está ocupado (la solicitud está siendo atendida).
Arroz. 1. Gráfico de estado de un QS monocanal con fallos.
Denotamos las probabilidades de estados:
P 0 (t) - probabilidad del estado "canal libre";
P 1 (t)- probabilidad del estado “canal ocupado”.
Usando el gráfico de estado marcado (Fig.1), creamos un sistema ecuaciones diferenciales Kolmogorov para probabilidades estatales:
(3)
El sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3) tiene solución teniendo en cuenta la condición de normalización = 1. La solución de este sistema se llama inestable, ya que depende directamente de t y se ve así:
(4)
(5)
Es fácil verificar que para un QS monocanal con fallas la probabilidad P 0 (t) no es más que la capacidad relativa del sistema q.
En realidad, P 0- la probabilidad de que en el momento t el canal esté libre y la solicitud que llegó en el momento t , será servido, y por lo tanto para en este momento tiempo t, la relación promedio entre el número de solicitudes atendidas y el número de solicitudes recibidas también es igual a , es decir.
q = . (6)
Después de un largo intervalo de tiempo (), se logra un modo estacionario (estable):
Conociendo el rendimiento relativo, es fácil encontrar el absoluto. Rendimiento absoluto (A)- el número medio que el sistema de colas puede atender por unidad de tiempo:
La probabilidad de negarse a atender una solicitud será igual a la probabilidad del estado "canal ocupado":
Este valor puede interpretarse como la proporción promedio de solicitudes no atendidas entre las presentadas.
Ejemplo 1. Supongamos que un QS monocanal con fallas represente un puesto de mantenimiento (DS) diario para el lavado de autos. A una solicitud (un automóvil que llega en un momento en que el puesto está ocupado) se le niega el servicio. Caudal de vehículos = 1,0 (vehículos por hora). La duración media del servicio es de 1,8 horas. El flujo de vehículos y el flujo de servicios son los más simples.
Se requiere determinar los valores límite en estado estacionario:
capacidad relativa q;
rendimiento absoluto A;
probabilidad de fracaso.
Compare el rendimiento real del centro de servicio con el nominal, que sería si cada vehículo fuera atendido durante exactamente 1,8 horas y los vehículos se sucedieran uno tras otro sin interrupción.
Solución
1. Determinemos la intensidad del flujo de servicios:
2. Calculemos el rendimiento relativo:
Magnitud q significa que en estado estable el sistema atenderá aproximadamente al 35% de los vehículos que lleguen al puesto de EO.
3. El rendimiento absoluto está determinado por la fórmula:
1 0,356 = 0,356.
Esto significa que el sistema (EO post) es capaz de realizar una media de 0,356 servicios de vehículos por hora.
3. Probabilidad de fracaso:
Esto significa que aproximadamente al 65% de los vehículos que lleguen al puesto de EO se les negará el servicio.
4. Determinemos el rendimiento nominal del sistema:
(vehículos por hora).
Resulta que es 1,5 veces mayor que el rendimiento real, calculado teniendo en cuenta la naturaleza aleatoria del flujo de solicitudes y el tiempo de servicio.
QS monocanal con espera. El sistema de colas tiene un canal. El flujo entrante de solicitudes de servicio es el flujo más simple con intensidad. La intensidad del flujo de servicio es igual (es decir, en promedio, un canal continuamente ocupado emitirá solicitudes de servicio). Duración del servicio - variable aleatoria, sujeto a la ley de distribución exponencial. El flujo de servicios es el flujo de eventos de Poisson más simple. Una solicitud recibida cuando el canal está ocupado se pone en cola y espera servicio.
Supongamos que no importa cuántas demandas lleguen a la entrada del sistema de servicio, este sistema(cola + clientes atendidos) no puede acomodar más de N requisitos (aplicaciones), es decir, los clientes que no están esperando se ven obligados a ser atendidos en otro lugar. Finalmente, la fuente que genera solicitudes de servicio tiene una capacidad ilimitada (infinitamente grande).
El gráfico de estado del QS en este caso tiene la forma que se muestra en la Fig. 2.
Arroz. 2. Gráfico de estado de un QS monocanal con espera
(esquema de muerte y reproducción)
Los estados QS tienen la siguiente interpretación:
S 0 - el canal está libre;
S 1 - canal ocupado (sin cola);
S 2: el canal está ocupado (hay una solicitud en cola);
……………………
s n - el canal está ocupado (n - 1 solicitudes están en cola);
…………………...
S N - el canal esta ocupado (NORTE- 1 solicitudes están en cola).
Se describirá un proceso estacionario en este sistema. el siguiente sistema ecuaciones algebraicas:
norte- número de estado.
La solución al sistema de ecuaciones (10) anterior para nuestro modelo QS tiene la forma
(11)
Cabe señalar que el cumplimiento de la condición de estacionariedad para un QS determinado no es necesario, ya que el número de solicitudes admitidas en el sistema de servicio se controla mediante la introducción de un límite en la longitud de la cola (que no puede exceder norte- 1), y no la relación entre las intensidades del flujo de entrada, es decir, no la relación
definamos Características de un QS monocanal. con espera y longitud de cola limitada igual a (NORTE- 1):
probabilidad de negarse a atender una aplicación:
(13)
capacidad relativa del sistema:
(14)
rendimiento absoluto:
A = q 𝝀; (15)
Número medio de aplicaciones en el sistema:
(16)
Tiempo promedio que una aplicación permanece en el sistema:
duración media estancia del cliente (aplicación) en la cola:
número promedio de aplicaciones (clientes) en la cola (longitud de la cola):
lq= (1 - P N)W q .(19)
Consideremos un ejemplo de QS de un solo canal con espera.
Ejemplo 2. El puesto de diagnóstico especializado es un QS monocanal. El número de plazas de aparcamiento para vehículos en espera de diagnóstico es limitado y equivale a 3 [ (NORTE- 1) = 3]. Si todos los estacionamientos están ocupados, es decir, ya hay tres automóviles en la cola, el siguiente automóvil que llegue para diagnóstico no se colocará en la cola para recibir servicio. El flujo de automóviles que llegan para diagnóstico se distribuye según la ley de Poisson y tiene una intensidad de 𝝀 = 0,85 (automóviles por hora). El tiempo de diagnóstico del vehículo se distribuye según una ley exponencial y tiene un promedio de 1,05 horas.
Necesidad de determinar Características probabilísticas de una estación de diagnóstico que funciona en modo estacionario.
Solución
1. Parámetro de flujo de servicio del automóvil:
.
2. La intensidad reducida del flujo de automóviles se define como la relación de las intensidades 𝝀 y µ, es decir
3. Calculemos las probabilidades finales del sistema:
4. Probabilidad de falla en el servicio del automóvil:
5. Rendimiento relativo de la estación de diagnóstico:
6. Rendimiento absoluto de la estación de diagnóstico
A= 𝝀 q= 0,85 0,842 = 0,716 (vehículos por hora).
7. Número promedio de automóviles en servicio y en cola (es decir, en el sistema de colas):
8. Tiempo promedio que un auto permanece en el sistema:
9. Tiempo promedio que una solicitud permanece en la cola de servicio:
10. Número promedio de solicitudes en cola (longitud de la cola):
lq= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.
El trabajo del puesto de diagnóstico considerado puede considerarse satisfactorio, ya que el puesto de diagnóstico no atiende a los automóviles en promedio en el 15,8% de los casos. (PAG otk = 0,158).
QS monocanal con espera sin limitación de la capacidad del bloque de espera(es decir.). Las restantes condiciones de funcionamiento del QS se mantienen sin cambios.
El modo de operación estacionario de este QS existe para cualquier n = 0, 1, 2,... y cuando 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого norte=0,1,2,…, tiene la forma
La solución de este sistema de ecuaciones tiene la forma
Las características de un QS monocanal con espera, sin restricciones de longitud de cola, son las siguientes:
número promedio de clientes (solicitudes) de servicio en el sistema:
(22)
Duración media de la estancia de un cliente en el sistema:
(23)
Número promedio de clientes en cola para recibir servicio:
Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola:
Ejemplo 3. Recordemos la situación considerada en el ejemplo 2, donde estamos hablando del funcionamiento de un puesto de diagnóstico. Que el puesto de diagnóstico en cuestión tenga un número ilimitado de áreas de estacionamiento para los vehículos que llegan para el servicio, es decir, la longitud de la cola no está limitada.
Se requiere determinar los valores finales de las siguientes características probabilísticas:
Probabilidades de estados del sistema (estación de diagnóstico);
Número promedio de autos en el sistema (en servicio y en cola);
La duración promedio de la permanencia de un vehículo en el sistema (para servicio y en cola);
Número promedio de automóviles en cola para recibir servicio;
4. Duración media de la estancia de un cliente en el sistema:
5. Número promedio de autos en cola para recibir servicio:
6. Tiempo medio que pasa un coche en la cola:
7. Rendimiento relativo del sistema:
es decir, todas las aplicaciones que ingresan al sistema serán atendidas.
8 . Rendimiento absoluto:
A = q = 0,85 1 = 0,85.
Cabe señalar que una empresa que realiza diagnósticos de automóviles está interesada principalmente en la cantidad de clientes que visitarán el puesto de diagnóstico cuando se elimine la restricción en la longitud de la cola.
Digamos que en la versión original el número de plazas de aparcamiento para los coches que llegaban era igual a tres (ver ejemplo 2). Frecuencia t Surgen situaciones en las que un automóvil que llega a un puesto de diagnóstico no puede unirse a la cola:
t= λP norte .
En nuestro ejemplo, con N=3 + 1= 4 y ρ = 0,893,
t = λ P 0ρ 4 = 0,85 0,248 0,8934 = 0,134 coches por hora.
Con un modo de funcionamiento de 12 horas de la estación de diagnóstico, esto equivale al hecho de que la estación de diagnóstico perderá 12 0,134 = 1,6 vehículos en promedio por turno (día).
Eliminar la restricción en la longitud de la cola nos permite aumentar el número de clientes atendidos en nuestro ejemplo en un promedio de 1,6 automóviles por turno (12 horas de trabajo) en la estación de diagnóstico. Es evidente que la decisión de ampliar la zona de aparcamiento para los vehículos que llegan a la estación de diagnóstico debe basarse en una evaluación del daño económico que se produce por la pérdida de clientes cuando sólo existen tres plazas de aparcamiento para estos vehículos.
Información relacionada.
Rendimiento absoluto caracteriza la intensidad del flujo saliente de aplicaciones atendidas.
Ejemplo. La estación de servicio recibe un flujo simple de solicitudes con una intensidad de 1 automóvil cada 2 horas. No puede haber más de 3 automóviles en cola en el patio. El tiempo medio de reparación es de 2 horas. Evaluar el desempeño del CMO y desarrollar recomendaciones para mejorar el servicio.
Solución:
Determinar el tipo de QS. La frase "A la estación" habla de un único dispositivo de servicio, es decir. Para comprobar la solución utilizamos el servicio Servicio de consulta monocanal.
Determinamos el tipo de QS monocanal. Dado que se menciona una cola, seleccionamos "QS de un solo canal con longitud de cola limitada".
El parámetro λ debe expresarse en horas. La intensidad de las aplicaciones es de 1 coche cada 2 horas o 0,5 cada 1 hora.
La intensidad del flujo de servicio μ no se especifica explícitamente. El tiempo de servicio indicado aquí es t obs = 2 horas.
Calculamos indicadores de servicio para un QS monocanal:
Intensidad del flujo de servicio:
1. Intensidad de carga.
ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1
La intensidad de carga ρ=1 muestra el grado de coherencia de los flujos de entrada y salida de solicitudes del canal de servicio y determina la estabilidad del sistema de colas.
3. Probabilidad de que el canal esté libre(proporción de tiempo de inactividad del canal). 
En consecuencia, el 20% del canal estará inactivo en una hora, el tiempo de inactividad es igual a t pr = 12 minutos.
4. Proporción de solicitudes rechazadas.
Las solicitudes no se rechazan. Todas las solicitudes recibidas son atendidas, p open = 0.
5. Rendimiento relativo.
La proporción de solicitudes atendidas recibidas por unidad de tiempo:
Q = 1 - p abierto = 1 - 0 = 1
En consecuencia, se atenderá el 100% de las solicitudes recibidas. Un nivel de servicio aceptable debe estar por encima del 90%.
6. Rendimiento absoluto.
A = Q λ = 1 0,5 = 0,5 solicitudes/hora.
8. Número medio de solicitudes en cola(longitud promedio de la cola). 
unidades
9. Tiempo medio de inactividad del QS(tiempo promedio de espera para que una solicitud sea atendida en la cola). 
hora.
10. Número medio de solicitudes atendidas.
L obs = ρ Q = 1 1 = 1 unidad.
12. Número medio de solicitudes en el sistema.
L CMO = L och + L obs = 1,2 + 1 = 2,2 unidades.
13. Tiempo medio de permanencia de una aplicación en la CMO.
hora.
Número de solicitudes rechazadas en una hora: λ p 1 = 0 solicitudes por hora.
Productividad nominal del QS: 1/2 = 0,5 aplicaciones por hora.
Rendimiento real del SMO: 0,5 / 0,5 = 100% del rendimiento nominal.
Conclusión: la estación está 100% cargada. En este caso no se observan fallos.
Como indicadores de la efectividad de un QS con fallas consideraremos:
1) A - capacidad absoluta del QS, es decir. número medio de solicitudes atendidas por unidad de tiempo;
2) Q - rendimiento relativo, es decir. la proporción promedio de aplicaciones entrantes atendidas por el sistema;
3) P_(\text(otk)) - probabilidad de falla, es decir. que la aplicación dejará el QS sin atender;
4) \overline(k) - número promedio de canales ocupados(para un sistema multicanal).
Sistema monocanal (SMS) con fallos
Consideremos el problema. Hay un canal que recibe un flujo de solicitudes con intensidad \lambda. El flujo de servicio tiene una intensidad de \mu. Encuentre las probabilidades límite de los estados del sistema y los indicadores de su eficiencia.
Nota. Aquí y en lo que sigue, se supone que todos los flujos de eventos que transfieren el QS de un estado a otro serán los más simples. Estos también incluyen un flujo de servicio: un flujo de solicitudes atendidas por un canal continuamente ocupado. El tiempo medio de servicio se mide inversamente por la intensidad \mu, es decir \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.
El sistema S (SMO) tiene dos estados: S_0: el canal está libre, S_1: el canal está ocupado. El gráfico de estado etiquetado se muestra en la Fig. 6.
En el modo estacionario límite, el sistema de ecuaciones algebraicas para las probabilidades de estados tiene la forma (ver arriba la regla para componer tales ecuaciones)
\begin(casos)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end(casos)
aquellos. el sistema degenera en una ecuación. Teniendo en cuenta la condición de normalización p_0+p_1=1, encontramos en (18) las probabilidades límite de estados
P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu),\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,
que expresan el tiempo relativo medio que el sistema permanece en el estado S_0 (cuando el canal está libre) y S_1 (cuando el canal está ocupado), es decir determine, respectivamente, la capacidad relativa Q del sistema y la probabilidad de falla P_(\text(otk)):
Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,
P_(\text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.
Encontramos el rendimiento absoluto multiplicando el rendimiento relativo Q por el caudal de falla
A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.
Ejemplo 5. Se sabe que las solicitudes de conversación telefónica en un estudio de televisión se reciben con una intensidad \lambda igual a 90 solicitudes por hora, y la duración media de una conversación telefónica es mín. Determinar los indicadores de desempeño del QS (comunicación telefónica) con un número de teléfono.
Solución. Tenemos \lambda=90 (1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=2 mín. Tasa de flujo de servicio \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/min) =30 (1/h). Según (20), la capacidad relativa del QS Q=\frac(30)(90+30)=0,\!25, es decir. en promedio, sólo el 25% de las solicitudes entrantes se negociarán por teléfono. En consecuencia, la probabilidad de denegación del servicio será P_(\text(otk))=0,\!75(ver (21)). Rendimiento absoluto de QS según (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5, es decir. En promedio, se atenderán 22,5 solicitudes de negociación por hora. Evidentemente, si sólo hay un número de teléfono, la OCM no podrá afrontar bien el flujo de solicitudes.
Sistema multicanal (MSS) con fallas
Consideremos el clásico. problema de erlang. Hay n canales que reciben un flujo de solicitudes con intensidad \lambda. El flujo de servicio tiene una intensidad de \mu. Encuentre las probabilidades límite de los estados del sistema y los indicadores de su eficiencia.
El Sistema S (SMO) tiene los siguientes estados (los numeramos según la cantidad de aplicaciones en el sistema): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n, donde S_k es el estado del sistema cuando hay k aplicaciones en él, es decir k canales están ocupados.
El gráfico de estado del QS corresponde al proceso de muerte y reproducción y se muestra en la Fig. 7.
El flujo de solicitudes transfiere secuencialmente el sistema desde cualquier estado izquierdo al adyacente derecho con la misma intensidad \lambda. La intensidad del flujo de servicio que transfiere el sistema desde cualquier estado derecho al estado izquierdo adyacente cambia constantemente según el estado. De hecho, si el QS está en el estado S_2 (dos canales están ocupados), entonces puede pasar al estado S_1 (un canal está ocupado) cuando el primer o el segundo canal terminan de dar servicio, es decir. la intensidad total de sus flujos de servicios será de 2\mu. De manera similar, el flujo de servicio total que transfiere el QS del estado S_3 (tres canales están ocupados) a S_2 tendrá una intensidad de 3\mu, es decir cualquiera de los tres canales puede quedar libre, etc.
En la fórmula (16) para el esquema de muerte y reproducción obtenemos para la probabilidad límite del estado
P_0=(\left(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\ mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\right)\^{-1}, !}
¿Dónde están los términos de expansión? \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k),\,\ldots,\, \frac(\lambda^n)(n!\mu^n), representará los coeficientes para p_0 en las expresiones de las probabilidades marginales p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. Magnitud
\rho=\frac(\lambda)(\mu)
llamado dada la intensidad del flujo de aplicaciones o intensidad de carga del canal. Expresa el número promedio de solicitudes recibidas durante el tiempo promedio de atención de una solicitud. Ahora
P_0=(\left(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}
P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}
Las fórmulas (25) y (26) para las probabilidades límite se denominan Fórmulas de Erlang en honor al fundador de la teoría de colas.
La probabilidad de falla de QS es la probabilidad máxima de que todos los i canales del sistema estén ocupados, es decir
P_(\text(otk))= \frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}
Rendimiento relativo: la probabilidad de que se atienda una solicitud:
Q=1- P_(\text(otk))=1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}
Rendimiento absoluto:
A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}
El número promedio de canales ocupados \overline(k) es expectativa matemática número de canales ocupados:
\overline(k)=\sum_(k=0)^(n)(k\cdot p_k),
donde p_k son las probabilidades límite de estados determinados por las fórmulas (25), (26).
Sin embargo, el número medio de canales ocupados se puede encontrar más fácilmente si consideramos que la capacidad absoluta del sistema A no es más que la intensidad flujo de servido sistema de aplicación (por unidad de tiempo). Dado que cada canal ocupado atiende en promedio \mu solicitudes (por unidad de tiempo), entonces el número promedio de canales ocupados
\overline(k)=\frac(A)(\mu)
O, dado (29), (24):
\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}
Ejemplo 6. En las condiciones del ejemplo 5, determine el número óptimo de números telefónicos en un estudio de televisión, si se considera que la condición de optimización es la satisfacción en promedio de al menos 90 solicitudes de negociación de cada 100 solicitudes.
Solución. Intensidad de carga del canal según fórmula (25) \rho=\frac(90)(30)=3, es decir. durante el tiempo promedio (en duración) conversación telefónica \overline(t)_(\text(ob.))=2 mín. Se reciben una media de 3 solicitudes de negociación.
Aumentaremos gradualmente el número de canales (números de teléfono) n=2,3,4,\ldots y determinaremos las características del servicio para el QS de n canales resultante utilizando las fórmulas (25), (28), (29). Por ejemplo, con n=2 tenemos
З_0=(\left(1+3+ \frac(3^2)(2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !} etc.
Resumimos los valores de las características del QS en la Tabla. 1.
De acuerdo con la condición de optimización Q\geqslant0,\!9, por lo tanto, es necesario instalar 5 números de teléfono en el estudio de televisión (en este caso, Q = 0,\!9 - ver Tabla 1). En este caso, se atenderá un promedio de 80 solicitudes (A=80,\!1) por hora, y el número promedio de números de teléfono (canales) ocupados según la fórmula (30) \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.
Ejemplo 7. Un centro informático compartido con tres ordenadores recibe pedidos de empresas para trabajos informáticos. Si las tres computadoras funcionan, el pedido recién recibido no se acepta y la empresa se ve obligada a comunicarse con otro centro informático. El tiempo medio de trabajo con un pedido es de 3 horas. La intensidad del flujo de aplicaciones es de 0,25 (1/hora). Encuentre las probabilidades límite de estados e indicadores de desempeño del centro de cómputo.
Solución. Por condición n=3,~\lambda=0,\!25(1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=3(h). Tasa de flujo de servicio \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. Intensidad de carga de la computadora según la fórmula (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. Encontremos las probabilidades límite de estados:
– según la fórmula (25) p_0=(\left(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};
– según la fórmula (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};
aquellos. en el modo de funcionamiento estacionario del centro de computación, en promedio el 47,6% del tiempo no hay ninguna solicitud, el 35,7% hay una solicitud (una computadora está ocupada), el 13,4% - dos solicitudes (dos computadoras), el 3,3% de el tiempo: tres solicitudes (tres computadoras están ocupadas).
La probabilidad de falla (cuando las tres computadoras están ocupadas) es, por tanto, P_(\text(otk))=p_3=0,\!033.
Según la fórmula (28), la capacidad relativa del centro Q=1-0,\!033=0,\!967, es decir. En promedio, de cada 100 solicitudes, el centro de cómputo atiende 96,7 solicitudes.
Según la fórmula (29), la capacidad absoluta del centro A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242, es decir. en promedio servido en una hora. 0,242 aplicaciones.
Según la fórmula (30), el número medio de ordenadores ocupados \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725, es decir. cada una de las tres computadoras estará ocupada atendiendo solicitudes en promedio durante solo \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..
Al evaluar la eficiencia de un centro de computación, es necesario comparar los ingresos por la ejecución de solicitudes con las pérdidas por el tiempo de inactividad de computadoras costosas (por un lado, tenemos un alto rendimiento del QS, y por otro lado , hay un tiempo de inactividad significativo de los canales de servicio) y elegir una solución de compromiso.
Javascript está deshabilitado en su navegador.Para realizar cálculos, debe habilitar los controles ActiveX.
