Creo que deberíamos comenzar con la historia de una herramienta matemática tan gloriosa como las ecuaciones diferenciales. Como todo cálculo diferencial e integral, estas ecuaciones fueron inventadas por Newton a finales del siglo XVII. Consideró tan importante este descubrimiento suyo que incluso cifró un mensaje que hoy se puede traducir así: "Todas las leyes de la naturaleza se describen mediante ecuaciones diferenciales". Esto puede parecer una exageración, pero es cierto. Cualquier ley de la física, la química o la biología puede describirse mediante estas ecuaciones.

Los matemáticos Euler y Lagrange hicieron una gran contribución al desarrollo y creación de la teoría de las ecuaciones diferenciales. Ya en el siglo XVIII descubrieron y desarrollaron lo que ahora estudian en los cursos universitarios superiores.

Un nuevo hito en el estudio de las ecuaciones diferenciales comenzó gracias a Henri Poincaré. Creó la "teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales", que, combinada con la teoría de funciones de una variable compleja, hizo una contribución significativa a la base de la topología, la ciencia del espacio y sus propiedades.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

Mucha gente tiene miedo de una frase. Sin embargo, en este artículo describiremos en detalle toda la esencia de este útil aparato matemático, que en realidad no es tan complicado como parece por su nombre. Para comenzar a hablar sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, primero debes familiarizarte con los conceptos básicos que están inherentemente asociados con esta definición. Y empezaremos por el diferencial.

Diferencial

Mucha gente conoce este concepto desde la escuela. Sin embargo, veámoslo más de cerca. Imagina la gráfica de una función. Podemos aumentarlo hasta tal punto que cualquier segmento del mismo tome la forma de una línea recta. Tomemos dos puntos que están infinitamente cerca uno del otro. La diferencia entre sus coordenadas (x o y) será infinitesimal. Se llama diferencial y se denota con los signos dy (diferencial de y) y dx (diferencial de x). Es muy importante entender que el diferencial no es una cantidad finita, y ese es su significado y función principal.

Ahora debemos considerar el siguiente elemento, que nos será útil para explicar el concepto de ecuación diferencial. Este es un derivado.

Derivado

Probablemente todos hayamos escuchado este concepto en la escuela. Se dice que la derivada es la velocidad a la que una función aumenta o disminuye. Sin embargo, a partir de esta definición muchas cosas quedan confusas. Intentemos explicar la derivada mediante diferenciales. Volvamos a un segmento infinitesimal de una función con dos puntos que están en distancia minima de cada uno. Pero incluso a esta distancia la función logra cambiar en cierta medida. Y para describir este cambio se les ocurrió una derivada, que de otro modo puede escribirse como una relación de diferenciales: f(x)"=df/dx.

Ahora vale la pena considerar las propiedades básicas de la derivada. Sólo hay tres de ellos:

1. La derivada de una suma o diferencia se puede representar como una suma o diferencia de derivadas: (a+b)"=a"+b" y (a-b)"=a"-b".
2. La segunda propiedad está relacionada con la multiplicación. La derivada de un producto es la suma de los productos de una función y la derivada de otra: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. La derivada de la diferencia se puede escribir como la siguiente igualdad: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Todas estas propiedades nos serán útiles para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden.

También hay derivadas parciales. Digamos que tenemos una función z que depende de las variables xey. Para calcular la derivada parcial de esta función, digamos, con respecto a x, necesitamos tomar la variable y como constante y simplemente derivarla.

Integral

Otro concepto importante es el integral. De hecho, esto es exactamente lo opuesto a una derivada. Hay varios tipos de integrales, pero para resolver las ecuaciones diferenciales más simples necesitamos las más triviales.

Entonces, digamos que tenemos cierta dependencia de f con respecto a x. Tomamos la integral y obtenemos la función F(x) (a menudo llamada antiderivada), cuya derivada es igual a la función original. Por tanto, F(x)"=f(x). También se deduce que la integral de la derivada es igual a la función original.

A la hora de resolver ecuaciones diferenciales es muy importante entender el significado y función de la integral, ya que tendrás que tomarlas muy a menudo para encontrar la solución.

Las ecuaciones varían según su naturaleza. En la siguiente sección, veremos los tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y luego aprenderemos cómo resolverlas.

Clases de ecuaciones diferenciales.

Los "diffurs" se dividen según el orden de los derivados involucrados en ellos. Así, hay orden primero, segundo, tercero y más. También se pueden dividir en varias clases: derivadas ordinarias y parciales.

En este artículo veremos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. También discutiremos ejemplos y formas de resolverlos en las siguientes secciones. Consideraremos sólo las EDO, porque son los tipos de ecuaciones más comunes. Los ordinarios se dividen en subespecies: con variables separables, homogéneas y heterogéneas. A continuación, aprenderá en qué se diferencian entre sí y aprenderá a resolverlos.

Además, estas ecuaciones se pueden combinar de modo que terminemos con un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. También consideraremos dichos sistemas y aprenderemos cómo resolverlos.

¿Por qué solo consideramos el primer orden? Porque es necesario comenzar con algo simple y describir todo lo relacionado con las ecuaciones diferenciales en un solo artículo es simplemente imposible.

Ecuaciones separables

Estas son quizás las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples. Estos incluyen ejemplos que se pueden escribir así: y"=f(x)*f(y). Para resolver esta ecuación, necesitamos una fórmula para representar la derivada como una razón de diferenciales: y"=dy/dx. Usándolo obtenemos la siguiente ecuación: dy/dx=f(x)*f(y). Ahora podemos pasar al método de solución. ejemplos estándar: dividamos las variables en partes, es decir, muevamos todo lo que tenga la variable y a la parte donde se encuentra dy, y hagamos lo mismo con la variable x. Obtenemos una ecuación de la forma: dy/f(y)=f(x)dx, que se resuelve tomando integrales de ambos lados. No te olvides de la constante que se debe establecer después de tomar la integral.

La solución a cualquier “diferencia” es una función de la dependencia de x respecto de y (en nuestro caso) o, si está presente una condición numérica, entonces la respuesta en forma de número. Veamos todo el proceso de solución usando un ejemplo específico:

Movamos las variables en diferentes direcciones:

Ahora tomemos las integrales. Todos ellos se pueden encontrar en una tabla especial de integrales. Y obtenemos:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Si es necesario, podemos expresar "y" en función de "x". Ahora podemos decir que nuestra ecuación diferencial se resuelve si no se especifica la condición. Se puede especificar una condición, por ejemplo, y(n/2)=e. Luego simplemente sustituimos los valores de estas variables en la solución y encontramos el valor de la constante. En nuestro ejemplo es 1.

Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden.

Ahora pasemos a la parte más difícil. Las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden se pueden escribir en vista general así: y"=z(x,y). Cabe señalar que función correcta sobre dos variables es homogénea y no se puede dividir en dos dependencias: z sobre x y z sobre y. Comprobar si una ecuación es homogénea o no es bastante sencillo: hacemos la sustitución x=k*x e y=k*y. Ahora reducimos todos los k. Si se reducen todas estas letras, entonces la ecuación es homogénea y puedes comenzar a resolverla con seguridad. De cara al futuro, digamos: el principio para resolver estos ejemplos también es muy simple.

Necesitamos hacer un reemplazo: y=t(x)*x, donde t es una función determinada que también depende de x. Entonces podemos expresar la derivada: y"=t"(x)*x+t. Sustituyendo todo esto en nuestro ecuación original y simplificándolo, obtenemos un ejemplo con variables separables t y x. Lo resolvemos y obtenemos la dependencia t(x). Cuando lo recibimos, simplemente sustituimos y=t(x)*x en nuestro reemplazo anterior. Entonces obtenemos la dependencia de y de x.

Para que quede más claro, veamos un ejemplo: x*y"=y-x*e y/x .

Al comprobar con recambio todo se reduce. Esto significa que la ecuación es verdaderamente homogénea. Ahora hacemos otro reemplazo del que hablamos: y=t(x)*x y y"=t"(x)*x+t(x). Después de la simplificación, obtenemos la siguiente ecuación: t"(x)*x=-e t. Resolvemos el ejemplo resultante con variables separadas y obtenemos: e -t =ln(C*x). Lo único que tenemos que hacer es reemplazar t con y/x (después de todo, si y =t*x, entonces t=y/x), y obtenemos la respuesta: e -y/x =ln(x*C).

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

Es hora de examinar otro tema amplio. Analizaremos ecuaciones diferenciales no homogéneas de primer orden. ¿En qué se diferencian de los dos anteriores? Vamos a resolverlo. Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma general se pueden escribir de la siguiente manera: y" + g(x)*y=z(x). Vale aclarar que z(x) y g(x) pueden ser cantidades constantes.

Y ahora un ejemplo: y" - y*x=x 2 .

Hay dos soluciones y las veremos en orden. El primero es el método de variar constantes arbitrarias.

Para resolver la ecuación de esta manera, primero debes igualar lado derecho a cero y resolver la ecuación resultante, que luego de transferir las partes tomará la forma:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Ahora necesitamos reemplazar la constante C 1 con la función v(x), que tenemos que encontrar.

Reemplacemos la derivada:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Y sustituye estas expresiones en la ecuación original:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Puedes ver que en el lado izquierdo se cancelan dos términos. Si en algún ejemplo esto no sucedió, entonces algo hiciste mal. Continuemos:

v"*e x2/2 = x 2 .

Ahora resolvemos la ecuación habitual en la que necesitamos separar las variables:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Para extraer la integral, aquí tendremos que aplicar la integración por partes. Sin embargo, este no es el tema de nuestro artículo. Si está interesado, puede aprender a realizar este tipo de acciones usted mismo. No es difícil, y con suficiente habilidad y cuidado no lleva mucho tiempo.

Pasemos al segundo método para resolver ecuaciones no homogéneas: el método de Bernoulli. Depende de usted decidir qué enfoque es más rápido y más fácil.

Entonces, al resolver una ecuación usando este método, necesitamos hacer una sustitución: y=k*n. Aquí k y n son algunas funciones dependientes de x. Entonces la derivada se verá así: y"=k"*n+k*n". Sustituimos ambos reemplazos en la ecuación:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Agrupamiento:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Ahora necesitamos igualar a cero lo que está entre paréntesis. Ahora, si combinamos las dos ecuaciones resultantes, obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que debe resolverse:

Resolvemos la primera igualdad como una ecuación ordinaria. Para hacer esto necesitas separar las variables:

Tomamos la integral y obtenemos: ln(n)=x 2 /2. Entonces, si expresamos n:

Ahora sustituimos la igualdad resultante en la segunda ecuación del sistema:

k"*e x2/2 =x 2 .

Y transformando obtenemos la misma igualdad que en el primer método:

dk=x 2 /e x2/2 .

Tampoco desmontaremos otras acciones. Vale la pena decir que al principio la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden plantea importantes dificultades. Sin embargo, a medida que profundizas en el tema, empieza a funcionar cada vez mejor.

¿Dónde se utilizan las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales se utilizan muy activamente en física, ya que casi todas las leyes básicas están escritas en forma diferencial, y las fórmulas que vemos son la solución a estas ecuaciones. En química se utilizan por la misma razón: con su ayuda se derivan leyes fundamentales. En biología, las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de sistemas, como el depredador y la presa. También se pueden utilizar para crear modelos de reproducción de, por ejemplo, una colonia de microorganismos.

¿Cómo pueden ayudarte las ecuaciones diferenciales en la vida?

La respuesta a esta pregunta es sencilla: en absoluto. Si no es científico o ingeniero, es poco probable que le resulten útiles. Sin embargo para desarrollo general No está de más saber qué es una ecuación diferencial y cómo se resuelve. Y entonces la pregunta del hijo o hija es “¿qué es una ecuación diferencial?” No te confundirá. Bueno, si eres científico o ingeniero, entonces comprenderás la importancia de este tema en cualquier ciencia. Pero lo más importante es que ahora la pregunta “¿cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden?” siempre puedes dar una respuesta. De acuerdo, siempre es agradable entender algo que la gente incluso tiene miedo de entender.

Principales problemas al estudiar.

El principal problema para comprender este tema es la escasa habilidad para integrar y diferenciar funciones. Si no se te dan bien las derivadas y las integrales, probablemente valga la pena estudiarlas y dominarlas. diferentes metodos integración y diferenciación, y solo entonces comenzar a estudiar el material que se describe en el artículo.

Algunas personas se sorprenden al saber que dx se puede trasladar, porque anteriormente (en la escuela) se decía que la fracción dy/dx es indivisible. Aquí es necesario leer la literatura sobre la derivada y comprender que es una proporción de cantidades infinitesimales que se pueden manipular al resolver ecuaciones.

Mucha gente no se da cuenta inmediatamente de que resolver ecuaciones diferenciales de primer orden suele ser una función o una integral que no se puede resolver, y esta idea errónea les causa muchos problemas.

¿Qué más puedes estudiar para una mejor comprensión?

Es mejor comenzar una mayor inmersión en el mundo del cálculo diferencial con libros de texto especializados, por ejemplo, sobre Análisis matemático para estudiantes de especialidades no matemáticas. Luego puedes pasar a literatura más especializada.

Vale la pena decir que, además de las ecuaciones diferenciales, también existen ecuaciones integrales, por lo que siempre tendrás algo por lo que esforzarte y algo que estudiar.

Conclusión

Esperamos que después de leer este artículo tengas una idea de qué son las ecuaciones diferenciales y cómo resolverlas correctamente.

En cualquier caso, las matemáticas nos serán útiles en la vida de alguna manera. Desarrolla la lógica y la atención, sin las cuales cada persona se queda sin manos.

Notas de clase sobre

ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales

Introducción

Al estudiar ciertos fenómenos, a menudo surge una situación en la que el proceso no se puede describir utilizando la ecuación y=f(x) o F(x;y)=0. Además de la variable x y la función desconocida, la derivada de esta función entra en la ecuación.

Definición: La ecuación que conecta la variable x, la función desconocida y(x) y sus derivadas se llama ecuación diferencial. En general, la ecuación diferencial se ve así:

F(x;y(x); ;;...;y(n))=0

Definición: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta incluida en ella.

–ecuación diferencial de 1er orden

–ecuación diferencial de 3er orden

Definición: La solución de una ecuación diferencial es una función que, cuando se sustituye en la ecuación, la convierte en una identidad.

Ecuaciones diferenciales 1er pedido

Definición: Ecuación de la forma =f(x;y) o F(x;y; )=0se llama ecuación diferencial de primer orden.

Definición: La solución general de una ecuación diferencial de primer orden es la función y=γ(x;c), donde (c –const), que, cuando se sustituye en la ecuación, la convierte en una identidad. Geométricamente, en el plano, la solución general corresponde a una familia de curvas integrales que dependen del parámetro c.

Definición: La curva integral que pasa por un punto del plano de coordenadas (x 0 ;y 0) corresponde a una solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial:

Teorema sobre la existencia de unicidad de una solución a una ecuación diferencial de primer orden

Dada una ecuación diferencial de primer orden
y la función f(x;y) es continua junto con derivadas parciales en alguna región D del plano XOY, luego por el punto M 0 (x 0 ;y 0) D pasa por la única curva correspondiente a una solución particular de la ecuación diferencial correspondiente a la condición inicial y(x 0)=y 0

Una curva integral pasa por un punto del plano con coordenadas dadas.

Si no puedes conseguir decisión común ecuación diferencial de primer orden en forma explícita, es decir
, entonces se puede obtener implícitamente:

F(x; y; c) =0 – forma implícita

La solución general en esta forma se llama integral general ecuación diferencial.

En relación a la ecuación diferencial de 1er orden se plantean 2 problemas:

1) Encuentra la solución general (integral general)

2) Encuentre una solución particular (integral parcial) que satisfaga la condición inicial dada. Este problema se llama problema de Cauchy para una ecuación diferencial.

Ecuaciones diferenciales con variables separables

Ecuaciones de la forma:
se llama ecuación diferencial con variables separables.

sustituyamos

multiplicar por dx

separemos las variables

dividido por

Nota: es necesario considerar el caso especial cuando

las variables están separadas

integremos ambos lados de la ecuación

- decisión común

Una ecuación diferencial con variables separables se puede escribir como:

Un caso aislado
!

Integramos ambos lados de la ecuación:

1)

2)
comienzo condiciones:

Ecuaciones diferenciales homogéneas de 1er orden.

Definición: Función
se llama homogénea de orden n si

Ejemplo: - función homogénea de ordenn=2

Definición: Una función homogénea de orden 0 se llama homogéneo.

Definición: Ecuación diferencial
se llama homogénea si
- función homogénea, es decir

Por tanto, la ecuación diferencial homogénea se puede escribir como:

Usando reemplazo , donde t es función de la variable x, la ecuación diferencial homogénea se reduce a una ecuación con variables separables.

- sustituir en la ecuación

Variables separadas, integremos ambos lados de la ecuación

Hagamos la sustitución inversa sustituyendo , obtenemos una solución general en forma implícita.

Una ecuación diferencial homogénea se puede escribir en forma diferencial.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, donde M(x;y) y N(x;y) son funciones homogéneas del mismo orden.

Dividir por dx y expresar

1)

Una ecuación de primer orden de la forma a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) se llama ecuación diferencial lineal. Si b(x) ≡ 0 entonces la ecuación se llama homogénea, en caso contrario - heterogéneo. Para una ecuación diferencial lineal, el teorema de existencia y unicidad tiene una forma más específica.

Objeto del servicio. Se puede utilizar una calculadora en línea para comprobar la solución. ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas de la forma y"+y=b(x) .

=

Utilice sustitución de variables y=u*v
Utilice el método de variación de una constante arbitraria.
Encuentre una solución particular para y( ) = .

Para obtener una solución, la expresión original debe reducirse a la forma: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Por ejemplo, para y"-exp(x)=2*y será y"-2 *y=exp(x) .

Teorema. Sean a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) continuas en el intervalo [α,β], a 1 ≠0 para ∀x∈[α,β]. Entonces, para cualquier punto (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], existe una solución única a la ecuación que satisface la condición y(x 0) = y 0 y está definida en todo el intervalo [α ,β].
Considere la ecuación diferencial lineal homogénea a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0.
Separando las variables obtenemos , o integrando ambos lados, La última relación, teniendo en cuenta la notación exp(x) = e x , se escribe en la forma

Intentemos ahora encontrar una solución a la ecuación en la forma indicada, en la que en lugar de la constante C se sustituye la función C(x), es decir, en la forma

Sustituyendo esta solución por la original, después de las transformaciones necesarias obtenemos Integrando este último tenemos

donde C 1 es una nueva constante. Sustituyendo la expresión resultante por C(x), finalmente obtenemos la solución a la ecuación lineal original.
.

Ejemplo. Resuelva la ecuación y" + 2y = 4x. Considere la ecuación homogénea correspondiente y" + 2y = 0. Resolviendolo, obtenemos y = Ce -2 x. Ahora estamos buscando una solución a la ecuación original en la forma y = C(x)e -2 x. Sustituyendo y e y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x en la ecuación original, tenemos C"(x) = 4xe 2 x, de donde C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 y y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x es la solución general de la ecuación original. esta solución, y 1 (. x) = 2x-1 - movimiento del objeto bajo la influencia de la fuerza b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - movimiento propio del objeto.

Ejemplo No. 2. Encuentre la solución general a la ecuación diferencial de primer orden y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sen 2 2x.
Esta no es una ecuación homogénea. Hagamos un cambio de variables: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x o u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
La solución consta de dos etapas:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sen 2 2x
1. Equivale u=0, encuentre una solución para 3v tan(3x)+v" = 0
Presentémoslo en la forma: v" = -3v tg(3x)

Integrando obtenemos:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Conociendo v, encuentre u a partir de la condición: u"v = 2cos(3x)/sen 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sen 2 2x
u" = 2/sen 2 2x
Integrando obtenemos:
De la condición y=u v, obtenemos:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) o y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

Institución educativa "Estado bielorruso

Academia Agrícola"

Departamento de Matemáticas Superiores

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Apuntes de conferencias para estudiantes de contabilidad.

forma de educación por correspondencia (NISPO)

Gorki, 2013

Ecuaciones diferenciales de primer orden

El concepto de ecuación diferencial. Soluciones generales y particulares.

Al estudiar diversos fenómenos, a menudo no es posible encontrar una ley que conecte directamente la variable independiente y la función deseada, pero sí es posible establecer una conexión entre la función deseada y sus derivadas.

La relación que conecta la variable independiente, la función deseada y sus derivadas se llama ecuación diferencial :

Aquí X- variable independiente, y– la función requerida,
- derivadas de la función deseada. En este caso, la relación (1) debe tener al menos una derivada.

El orden de la ecuación diferencial. se llama orden de la derivada más alta incluida en la ecuación.

Considere la ecuación diferencial

. (2)

Como esta ecuación incluye sólo una derivada de primer orden, se llama es una ecuación diferencial de primer orden.

Si la ecuación (2) se puede resolver con respecto a la derivada y escribirse en la forma

, (3)

entonces dicha ecuación se denomina ecuación diferencial de primer orden en forma normal.

En muchos casos es aconsejable considerar una ecuación de la forma

Lo que es llamado una ecuación diferencial de primer orden escrita en forma diferencial.

Porque
, entonces la ecuación (3) se puede escribir en la forma
o
, donde podemos contar
Y
. Esto significa que la ecuación (3) se convierte en la ecuación (4).

Escribamos la ecuación (4) en la forma
. Entonces
,
,
, donde podemos contar
, es decir. Se obtiene una ecuación de la forma (3). Por tanto, las ecuaciones (3) y (4) son equivalentes.

Resolver una ecuación diferencial (2) o (3) se llama cualquier función
, que al sustituirlo en la ecuación (2) o (3), lo convierte en una identidad:

o
.

El proceso de encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial se llama integración y la gráfica de solución
la ecuación diferencial se llama curva integral esta ecuación.

Si la solución de la ecuación diferencial se obtiene en forma implícita
, entonces se llama integral de esta ecuación diferencial.

solución general de una ecuación diferencial de primer orden es una familia de funciones de la forma
, dependiendo de una constante arbitraria CON, cada una de las cuales es una solución a una ecuación diferencial dada para cualquier valor admisible de una constante arbitraria CON. Por tanto, la ecuación diferencial tiene un número infinito de soluciones.

decisión privada La ecuación diferencial es una solución obtenida a partir de la fórmula de solución general para un valor específico de una constante arbitraria. CON, incluido
.

El problema de Cauchy y su interpretación geométrica.

La ecuación (2) tiene un número infinito de soluciones. Para seleccionar una solución de este conjunto, que se denomina privada, es necesario establecer algunas condiciones adicionales.

El problema de encontrar una solución particular a la ecuación (2) en determinadas condiciones se llama problema de cauchy . Este problema es uno de los más importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales.

El problema de Cauchy se formula de la siguiente manera: entre todas las soluciones de la ecuación (2) encuentre tal solución
, en el que la función
toma el valor numérico dado , si la variable independiente X toma el valor numérico dado , es decir.

,
, (5)

Dónde D– dominio de definición de la función
.

Significado llamado el valor inicial de la función , A – valor inicial de la variable independiente . La condición (5) se llama condición inicial o condición de cauchy .

Desde un punto de vista geométrico, el problema de Cauchy para la ecuación diferencial (2) se puede formular de la siguiente manera: del conjunto de curvas integrales de la ecuación (2), seleccione la que pasa por un punto dado
.

Ecuaciones diferenciales con variables separables

Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es una ecuación diferencial de primer orden que no contiene la función deseada:

. (6)

Teniendo en cuenta que
, escribimos la ecuación en la forma
o
. Integrando ambos lados de la última ecuación, obtenemos:
o

. (7)

Por tanto, (7) es una solución general de la ecuación (6).

Ejemplo 1 . Encuentra la solución general a la ecuación diferencial.
.

Solución . Escribamos la ecuación en la forma
o
. Integramos ambos lados de la ecuación resultante:
,
. Finalmente lo escribiremos
.

Ejemplo 2 . Encuentra la solución a la ecuación.
dado que
.

Solución . Encontremos una solución general a la ecuación:
,
,
,
. Por condición
,
. Sustituyamos en la solución general:
o
. Sustituimos el valor encontrado de una constante arbitraria en la fórmula de la solución general:
. Esta es una solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición dada.

La ecuacion

(8)

Llamado una ecuación diferencial de primer orden que no contiene una variable independiente . Escribámoslo en la forma
o
. Integramos ambos lados de la última ecuación:
o
- solución general de la ecuación (8).

Ejemplo . Encuentra la solución general de la ecuación.
.

Solución . Escribamos esta ecuación en la forma:
o
. Entonces
,
,
,
. De este modo,
es la solución general de esta ecuación.

Ecuación de la forma

(9)

integra mediante separación de variables. Para hacer esto, escribimos la ecuación en la forma
, y luego usando las operaciones de multiplicación y división lo llevamos a una forma tal que una parte incluye solo la función de X y diferencial dx, y en la segunda parte – la función de en y diferencial dy. Para hacer esto, ambos lados de la ecuación deben multiplicarse por dx y dividir por
. Como resultado obtenemos la ecuación

, (10)

en el que las variables X Y en apartado. Integramos ambos lados de la ecuación (10):
. La relación resultante es la integral general de la ecuación (9).

Ejemplo 3 . Integrar ecuación
.

Solución . Transformemos la ecuación y separemos las variables:
,
. Integramos:
,
o es la integral general de esta ecuación.
.

Sea la ecuación dada en la forma

Esta ecuación se llama ecuación diferencial de primer orden con variables separables en forma simétrica.

Para separar las variables, necesitas dividir ambos lados de la ecuación entre
:

. (12)

La ecuación resultante se llama ecuación diferencial separada . Integramos la ecuación (12):

.(13)

La relación (13) es la integral general de la ecuación diferencial (11).

Ejemplo 4 . Integrar una ecuación diferencial.

Solución . Escribamos la ecuación en la forma

y dividir ambas partes por
,
. La ecuación resultante:
es una ecuación variable separada. Integremoslo:

,
,

,
. La última igualdad es la integral general de esta ecuación diferencial.

Ejemplo 5 . Encuentra una solución particular a la ecuación diferencial.
, satisfaciendo la condición
.

Solución . Teniendo en cuenta que
, escribimos la ecuación en la forma
o
. Separemos las variables:
. Integramos esta ecuación:
,
,
. La relación resultante es la integral general de esta ecuación. Por condición
. Sustituyémoslo en la integral general y encontramos CON:
,CON=1. Entonces la expresión
es una solución parcial de una ecuación diferencial dada, escrita como integral parcial.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

La ecuacion

(14)

llamado ecuación diferencial lineal de primer orden . Función desconocida
y su derivada entran en esta ecuación linealmente, y las funciones
Y
continuo.

Si
, entonces la ecuación

(15)

llamado lineal homogéneo . Si
, entonces la ecuación (14) se llama lineal no homogéneo .

Para encontrar una solución a la ecuación (14) se suele utilizar método de sustitución (Bernoulli) , cuya esencia es la siguiente.

Buscaremos una solución a la ecuación (14) en forma de producto de dos funciones.

, (16)

Dónde
Y
- alguno funciones continuas. sustituyamos
y derivado
en la ecuación (14):

Función v seleccionaremos de tal manera que se cumpla la condición
. Entonces
. Por tanto, para encontrar una solución a la ecuación (14), es necesario resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

La primera ecuación del sistema es una ecuación lineal homogénea y se puede resolver mediante el método de separación de variables:
,
,
,
,
. Como una función
puedes tomar una de las soluciones parciales de la ecuación homogénea, es decir en CON=1:
. Sustituyamos en la segunda ecuación del sistema:
o
.Entonces
. Por tanto, la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma
.

Ejemplo 6 . Resuelve la ecuación
.

Solución . Buscaremos una solución a la ecuación en la forma.
. Entonces
. Sustituyamos en la ecuación:

o
. Función v elegir de tal manera que se cumpla la igualdad
. Entonces
. Resolvamos la primera de estas ecuaciones utilizando el método de separación de variables:
,
,
,
,. Función v Sustituyamos en la segunda ecuación:
,
,
,
. La solución general de esta ecuación es
.

Preguntas para el autocontrol del conocimiento.

¿Qué es una ecuación diferencial?

¿Cuál es el orden de una ecuación diferencial?

¿Qué ecuación diferencial se llama ecuación diferencial de primer orden?

¿Cómo se escribe una ecuación diferencial de primer orden en forma diferencial?

¿Cuál es la solución de una ecuación diferencial?

¿Qué es una curva integral?

¿Cuál es la solución general de una ecuación diferencial de primer orden?

¿Qué se llama solución parcial de una ecuación diferencial?

¿Cómo se formula el problema de Cauchy para una ecuación diferencial de primer orden?

¿Cuál es la interpretación geométrica del problema de Cauchy?

¿Cómo escribir una ecuación diferencial con variables separables en forma simétrica?

¿Qué ecuación se llama ecuación diferencial lineal de primer orden?

¿Qué método se puede utilizar para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden y cuál es la esencia de este método?

Tareas para el trabajo independiente.

Resolver ecuaciones diferenciales con variables separables:

A)
; b)
;

V)
; GRAMO)
.

2. Resuelva ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

A)
; b)
; V)
;

GRAMO)
; d)
.

Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplos de soluciones.
Ecuaciones diferenciales con variables separables

Ecuaciones diferenciales (DE). Estas dos palabras suelen aterrorizar a la persona promedio. Las ecuaciones diferenciales parecen ser algo prohibitivo y difícil de dominar para muchos estudiantes. Uuuuuu... ecuaciones diferenciales, ¡¿cómo puedo sobrevivir a todo esto?!

Esta opinión y esta actitud son fundamentalmente erróneas, porque de hecho ECUACIONES DIFERENCIALES: ES SIMPLE E INCLUSO DIVERTIDO. ¿Qué necesitas saber y poder hacer para aprender a resolver ecuaciones diferenciales? Para estudiar con éxito los difusos, debes ser bueno integrando y diferenciando. Cuanto mejor se estudian los temas Derivada de una función de una variable Y Integral indefinida, más fácil será entender las ecuaciones diferenciales. Diré más, si tienes habilidades de integración más o menos decentes, ¡entonces el tema casi está dominado! Cuantas más integrales varios tipos sabes cómo decidir, mucho mejor. ¿Por qué? Tendrás que integrarte mucho. Y diferenciar. También altamente recomendado aprende a encontrar.

En el 95% de los casos en pruebas Hay 3 tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden: ecuaciones separables que veremos en esta lección; ecuaciones homogéneas Y ecuaciones lineales no homogéneas. Para aquellos que comienzan a estudiar difusores, les aconsejo que lean las lecciones exactamente en este orden y, después de estudiar los dos primeros artículos, no les vendrá mal consolidar sus habilidades en un taller adicional: ecuaciones que se reducen a homogéneas.

Hay tipos de ecuaciones diferenciales aún más raros: ecuaciones diferenciales totales, ecuaciones de Bernoulli y algunas otras. Las más importantes de los dos últimos tipos son las ecuaciones en diferenciales completos, ya que además de este mando a distancia estoy considerando nuevo material – integración parcial.

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Entonces, los puntos de referencia están establecidos: vamos:

Primero, recordemos las ecuaciones algebraicas habituales. Contienen variables y números. El ejemplo más simple: . ¿Qué significa resolver una ecuación ordinaria? Esto significa encontrar conjunto de números, que satisfacen esta ecuación. Es fácil notar que la ecuación de los niños tiene una única raíz: . Sólo por diversión, verifiquemos y sustituyamos la raíz encontrada en nuestra ecuación:

– se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución se encontró correctamente.

¡Los difusores están diseñados de forma muy similar!

Ecuación diferencial primer orden V caso general contiene:
1) variable independiente;
2) variable dependiente (función);
3) la primera derivada de la función: .

En algunas ecuaciones de primer orden puede que no haya “x” y/o “y”, pero esto no es significativo. importante ir a la sala de control era primera derivada y no tenía derivados de orden superior – , etc.

Que significa ? Resolver una ecuación diferencial significa encontrar conjunto de todas las funciones, que satisfacen esta ecuación. Un conjunto de funciones de este tipo suele tener la forma (– una constante arbitraria), que se denomina solución general de la ecuación diferencial.

Ejemplo 1

Resolver ecuación diferencial

Munición completa. Dónde empezar solución?

En primer lugar, debes reescribir la derivada en una forma ligeramente diferente. Recordamos la engorrosa designación, que a muchos de ustedes probablemente les pareció ridícula e innecesaria. ¡Esto es lo que manda en los difusores!

En el segundo paso, veamos si es posible. variables separadas?¿Qué significa separar variables? Mas o menos, En el lado izquierdo tenemos que irnos sólo "griegos", A en el lado derecho organizar solo "X". La división de variables se realiza mediante manipulaciones “escolares”: sacarlas entre paréntesis, transferir términos de una parte a otra con cambio de signo, transferir factores de una parte a otra según la regla de proporción, etc.

Diferenciales y son plenos multiplicadores y participantes activos en las hostilidades. En el ejemplo que estamos considerando, las variables se separan fácilmente arrojando los factores según la regla de proporción:

Las variables están separadas. En el lado izquierdo sólo hay "Y", en el lado derecho, sólo "X".

Siguiente etapa - integración de la ecuación diferencial. Es simple, ponemos integrales a ambos lados:

Por supuesto, necesitamos tomar integrales. EN en este caso son tabulares:

Como recordamos, a cualquier antiderivada se le asigna una constante. Aquí hay dos integrales, pero basta con escribir la constante una vez. (ya que constante + constante sigue siendo igual a otra constante). En la mayoría de los casos se coloca en el lado derecho.

En sentido estricto, una vez tomadas las integrales, la ecuación diferencial se considera resuelta. Lo único es que nuestra “y” no se expresa mediante “x”, es decir, se presenta la solución en forma implícita forma. La solución de una ecuación diferencial en forma implícita se llama integral general de la ecuación diferencial. Es decir, esta es una integral general.

La respuesta de esta forma es bastante aceptable, pero ¿existe una mejor opción? Intentemos conseguir decisión común.

Por favor, Recuerda la primera técnica., es muy común y se utiliza a menudo en tareas practicas: Si después de la integración aparece un logaritmo en el lado derecho, en muchos casos (¡pero no siempre!) también es aconsejable escribir la constante debajo del logaritmo..

Eso es, EN LUGAR DE Las entradas generalmente están escritas. .

¿Por qué es necesario esto? Y para que sea más fácil expresar “juego”. Usando la propiedad de los logaritmos . En este caso:

Ahora se pueden eliminar logaritmos y módulos:

La función se presenta explícitamente. Esta es la solución general.

Respuesta: decisión común: .

Las respuestas a muchas ecuaciones diferenciales son bastante fáciles de comprobar. En nuestro caso esto se hace de forma muy sencilla, tomamos la solución encontrada y la diferenciamos:

Luego sustituimos la derivada en la ecuación original:

– se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución general satisface la ecuación, que es lo que había que comprobar.

Al dar valores diferentes a una constante, se puede obtener un número infinito de soluciones privadas ecuación diferencial. Está claro que cualquiera de las funciones , , etc. satisface la ecuación diferencial.

A veces la solución general se llama familia de funciones. En este ejemplo, la solución general - esta es una familia funciones lineales, o mejor dicho, una familia de proporcionalidad directa.

Después de una revisión exhaustiva del primer ejemplo, conviene responder varias preguntas ingenuas sobre ecuaciones diferenciales:

1)En este ejemplo, pudimos separar las variables. ¿Se puede hacer esto siempre? No, no siempre. Y aún más a menudo, las variables no se pueden separar. Por ejemplo, en ecuaciones homogéneas de primer orden, primero debes reemplazarlo. En otros tipos de ecuaciones, por ejemplo, en una ecuación lineal no homogénea de primer orden, es necesario utilizar varias técnicas y métodos para encontrar una solución general. Ecuaciones con variables separables, que consideramos en la primera lección: tipo más simple ecuaciones diferenciales.

2) ¿Siempre es posible integrar una ecuación diferencial? No, no siempre. Es muy fácil llegar a una ecuación “elegante” que no se puede integrar; además, hay integrales que no se pueden tomar. Pero DE similares se pueden resolver aproximadamente usando métodos especiales. D'Alembert y Cauchy garantizan... ...uf, lurkmore. Para leer mucho hace un momento, casi agrego "del otro mundo".

3) En este ejemplo, obtuvimos una solución en forma de integral general . ¿Es siempre posible encontrar una solución general a partir de una integral general, es decir, expresar la “y” explícitamente? No, no siempre. Por ejemplo: . Bueno, ¿cómo puedes expresar “griego” aquí? En tales casos, la respuesta debe escribirse como una integral general. Además, a veces es posible encontrar una solución general, pero está escrita de forma tan engorrosa y torpe que es mejor dejar la respuesta en forma de integral general.

4) ...quizás sea suficiente por ahora. En el primer ejemplo nos encontramos Otro punto importante , pero para no cubrir a los “tontos” con una avalancha nueva información, Lo dejaré para la próxima lección.

No nos apresuremos. Otro mando a distancia sencillo y otra solución típica:

Ejemplo 2

Encuentre una solución particular a la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial.

Solución: según la condición, necesitas encontrar solución privada DE que satisface una condición inicial dada. Esta formulación de la pregunta también se llama problema de cauchy.

Primero encontramos una solución general. No hay ninguna variable “x” en la ecuación, pero esto no debe confundir, lo principal es que tiene primera derivada.

Reescribimos la derivada en la forma requerida:

Obviamente las variables se pueden separar, los niños a la izquierda, las niñas a la derecha:

Integramos la ecuación:

Se obtiene la integral general. Aquí he dibujado una constante con un asterisco, lo cierto es que muy pronto se convertirá en otra constante.

Ahora intentamos transformar la integral general en una solución general (expresa la “y” explícitamente). Recordemos las cosas buenas de la escuela: . En este caso:

La constante en el indicador parece de alguna manera poco kosher, por lo que generalmente se baja a la tierra. En detalle, así es como sucede. Usando la propiedad de los grados, reescribimos la función de la siguiente manera:

Si es una constante, entonces también lo es, redesignémosla con la letra:

Recuerde que “demoler” una constante es segunda técnica, que se utiliza a menudo al resolver ecuaciones diferenciales.

Entonces, la solución general es: . Esta es una buena familia de funciones exponenciales.

En la etapa final, es necesario encontrar una solución particular que satisfaga la condición inicial dada. Esto también es sencillo.

¿Cuál es la tarea? Necesito recoger semejante el valor de la constante para que se cumpla la condición.

Se puede formatear de diferentes maneras, pero esta será probablemente la más clara. En la solución general, en lugar de la “X” sustituimos un cero, y en lugar de la “Y” sustituimos un dos:



Eso es,

Versión de diseño estándar:

Ahora sustituimos el valor encontrado de la constante en la solución general:
– esta es la solución particular que necesitamos.

Respuesta: solución privada:

Vamos a revisar. La verificación de una solución privada incluye dos etapas:

Primero es necesario comprobar si la solución particular encontrada realmente satisface la condición inicial. En lugar de la “X” sustituimos un cero y vemos qué pasa:
- Sí, efectivamente, se recibió un dos, lo que significa que se cumple la condición inicial.

La segunda etapa ya nos resulta familiar. Tomamos la solución particular resultante y encontramos la derivada:

Sustituimos en la ecuación original:

– se obtiene la igualdad correcta.

Conclusión: la solución particular se encontró correctamente.

Pasemos a ejemplos más significativos.

Ejemplo 3

Resolver ecuación diferencial

Solución: Reescribimos la derivada en la forma que necesitamos:

¿Evaluamos si es posible separar las variables? Poder. Movemos el segundo término hacia el lado derecho con un cambio de signo:

Y transferimos los multiplicadores según la regla de proporción:

Las variables están separadas, integremos ambas partes:

Debo advertirles que el día del juicio final se acerca. Si no has estudiado bien Integrales indefinidas, has resuelto algunos ejemplos, entonces no hay adónde ir; tendrás que dominarlos ahora.

La integral del lado izquierdo es fácil de encontrar; tratamos la integral de la cotangente usando la técnica estándar que vimos en la lección. Integrando funciones trigonométricas el año pasado:

En el lado derecho tenemos un logaritmo y, según mi primera recomendación técnica, la constante también debería escribirse debajo del logaritmo.

Ahora intentamos simplificar la integral general. Como sólo tenemos logaritmos, es muy posible (y necesario) deshacernos de ellos. Mediante el uso propiedades conocidas"Empaquetamos" los logaritmos tanto como sea posible. Lo escribiré con gran detalle:

El embalaje está acabado de manera bárbara:

¿Es posible expresar “juego”? Poder. Es necesario cuadrar ambas partes.

Pero no es necesario que hagas esto.

Tercer consejo técnico: si para obtener una solución general es necesario elevar a una potencia o echar raíces, entonces En la mayoría de los casos debes abstenerte de estas acciones y dejar la respuesta en forma de integral general. El hecho es que la solución general se verá simplemente terrible: con raíces grandes, carteles y otra basura.

Por tanto, escribimos la respuesta en forma de integral general. Se considera una buena práctica presentarlo en el formato , es decir, en el lado derecho, si es posible dejar solo una constante. No es necesario hacerlo, pero siempre es beneficioso complacer al profesor ;-)

Respuesta: integrales generales:

! Nota: La integral general de cualquier ecuación se puede escribir de más de una forma. Por lo tanto, si tu resultado no coincide con la respuesta conocida previamente, esto no significa que hayas resuelto la ecuación incorrectamente.

La integral general también es bastante fácil de comprobar, lo principal es poder encontrar derivada de una función especificada implícitamente. Diferenciamos la respuesta:

Multiplicamos ambos términos por:

Y dividir por:

La ecuación diferencial original se ha obtenido exactamente, lo que significa que la integral general se ha encontrado correctamente.

Ejemplo 4

Encuentre una solución particular a la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial. Realizar verificación.

Este es un ejemplo para decisión independiente.

Permítanme recordarles que el algoritmo consta de dos etapas:
1) encontrar una solución general;
2) encontrar la solución particular requerida.

La verificación también se realiza en dos pasos (ver ejemplo en el Ejemplo No. 2), es necesario:
1) asegurarse de que la solución particular encontrada satisfaga la condición inicial;
2) comprobar que una solución particular generalmente satisface la ecuación diferencial.

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Ejemplo 5

Encuentra una solución particular a la ecuación diferencial. , satisfaciendo la condición inicial. Realizar verificación.

Solución: Primero, encontremos una solución general. Esta ecuación ya contiene diferenciales ya preparados y, lo que significa que la solución está simplificada. Separamos las variables:

Integramos la ecuación:

La integral de la izquierda es tabular, la integral de la derecha se toma método de subsumir una función bajo el signo diferencial:

Se ha obtenido la integral general; ¿es posible expresar con éxito la solución general? Poder. Colgamos logaritmos en ambos lados. Como son positivos, los signos del módulo son innecesarios:

(Espero que todos entiendan la transformación, esas cosas ya deberían saberse)

Entonces, la solución general es:

Encontremos una solución particular correspondiente a la condición inicial dada.
En la solución general, en lugar de “X” sustituimos cero, y en lugar de “Y” sustituimos el logaritmo de dos:

Diseño más familiar:

Sustituimos el valor encontrado de la constante en la solución general.

Respuesta: solución privada:

Verificar: Primero, verifiquemos si se cumple la condición inicial:
- todo es bueno.

Ahora comprobemos si la solución particular encontrada satisface la ecuación diferencial. Encontrar la derivada:

Veamos la ecuación original: – se presenta en diferenciales. Hay dos formas de comprobarlo. Es posible expresar el diferencial de la derivada encontrada:

Sustituyamos la solución particular encontrada y el diferencial resultante en la ecuación original. :

Usamos la identidad logarítmica básica:

Se obtiene la igualdad correcta, lo que significa que la solución particular se encontró correctamente.

El segundo método de verificación es similar y más familiar: a partir de la ecuación Expresemos la derivada, para ello dividimos todas las piezas entre:

Y en el DE transformado sustituimos la solución parcial obtenida y la derivada encontrada. Como resultado de las simplificaciones, también debería obtenerse la igualdad correcta.

Ejemplo 6

Resolver ecuación diferencial. Presente la respuesta en forma de integral general.

Este es un ejemplo para que usted lo resuelva por su cuenta, complete la solución y responda al final de la lección.

¿Qué dificultades acechan al resolver ecuaciones diferenciales con variables separables?

1) No siempre es obvio (especialmente para una “tetera”) que las variables se puedan separar. Consideremos ejemplo condicional: . Aquí debes sacar los factores entre paréntesis: y separar las raíces: . Está claro qué hacer a continuación.

2) Dificultades con la propia integración. Las integrales a menudo no son las más simples, y si hay fallas en las habilidades para encontrar integral indefinida, entonces será difícil con muchos difusores. Además, la lógica "dado que la ecuación diferencial es simple, al menos dejemos que las integrales sean más complicadas" es popular entre los compiladores de colecciones y manuales de capacitación.

3) Transformaciones con constante. Como todo el mundo ha notado, la constante en las ecuaciones diferenciales se puede manejar con bastante libertad y algunas transformaciones no siempre son claras para un principiante. Veamos otro ejemplo condicional: . Es recomendable multiplicar todos los términos por 2: . La constante resultante también es algún tipo de constante, que puede denotarse por: . Sí, y dado que hay un logaritmo en el lado derecho, es recomendable reescribir la constante en forma de otra constante: .

El problema es que a menudo no se preocupan por los índices y utilizan la misma letra. Como resultado, el registro de decisión toma la siguiente forma:

¿Qué tipo de herejía? ¡Hay errores ahí mismo! Estrictamente hablando, sí. Sin embargo, desde un punto de vista sustantivo, no hay errores, porque como resultado de transformar una constante variable, todavía se obtiene una constante variable.

U otro ejemplo, supongamos que al resolver la ecuación se obtiene una integral general. Esta respuesta parece fea, por lo que es recomendable cambiar el signo de cada término: . Formalmente, aquí hay otro error: debería escribirse a la derecha. Pero informalmente se da a entender que “menos ce” sigue siendo una constante ( ¡que fácilmente puede tomar cualquier significado!), por lo que poner un “menos” no tiene sentido y puedes usar la misma letra.

Intentaré evitar un enfoque descuidado y seguiré asignando índices diferentes a las constantes al convertirlas.

Ejemplo 7

Resolver ecuación diferencial. Realizar verificación.

Solución: Esta ecuación permite la separación de variables. Separamos las variables:

Integramos:

No es necesario definir aquí la constante como un logaritmo, ya que de esto no resultará nada útil.

Respuesta: integrales generales:

Verificar: derivar la respuesta (función implícita):

Nos deshacemos de las fracciones multiplicando ambos términos por:

Se ha obtenido la ecuación diferencial original, lo que significa que se ha encontrado correctamente la integral general.

Ejemplo 8

Encuentre una solución particular del DE.
,

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La única pista es que aquí obtendrá una integral general y, más correctamente, debe esforzarse por encontrar no una solución particular, sino integral parcial. Solución completa y respuesta al final de la lección.