La expectativa es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.
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La expectativa matemática es la definición.
Uno de los conceptos más importantes en estadística matemática y teoría de la probabilidad, que caracteriza la distribución de valores o probabilidades de una variable aleatoria. Normalmente se expresa como un promedio ponderado de todos los parámetros posibles de una variable aleatoria. Ampliamente utilizado en análisis técnico, estudio de series numéricas y estudio de procesos continuos y de largo plazo. Tiene importante al evaluar riesgos, predecir indicadores de precios al negociar en los mercados financieros, se utiliza en el desarrollo de estrategias y métodos de tácticas de juego en la teoría del juego.
La expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria se considera en la teoría de la probabilidad.
La expectativa matemática es una medida del valor promedio de una variable aleatoria en la teoría de la probabilidad. Expectativa de una variable aleatoria X denotado por M(x).
La expectativa matemática es
La expectativa matemática es en teoría de la probabilidad, el promedio ponderado de todos los valores posibles que esto puede tomar valor aleatorio.
La expectativa matemática es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades de estos valores.
La expectativa matemática es el beneficio promedio de una decisión particular, siempre que dicha decisión pueda considerarse dentro del marco de la teoría números grandes y larga distancia.
La expectativa matemática es En teoría del juego, la cantidad de ganancias que un jugador puede ganar o perder, en promedio, por cada apuesta. En el lenguaje del juego, esto a veces se denomina "ventaja del jugador" (si es positiva para el jugador) o "ventaja de la casa" (si es negativa para el jugador).
La expectativa matemática es el porcentaje de ganancia por ganancia multiplicado por la ganancia promedio, menos la probabilidad de pérdida multiplicada por la pérdida promedio.
Expectativa matemática de una variable aleatoria en teoría matemática
Una de las características numéricas importantes de una variable aleatoria es su expectativa matemática. Introduzcamos el concepto de sistema de variables aleatorias. Consideremos un conjunto de variables aleatorias que son resultados del mismo experimento aleatorio. Si es uno de los posibles valores del sistema, entonces el evento corresponde a una cierta probabilidad que satisface los axiomas de Kolmogorov. Una función definida para cualquier valor posible de variables aleatorias se denomina ley de distribución conjunta. Esta función le permite calcular las probabilidades de cualquier evento. En particular, la ley de distribución conjunta de variables aleatorias y, que toman valores del conjunto y, está dada por probabilidades.
El término “expectativa matemática” fue introducido por Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) y proviene del concepto de “valor esperado de las ganancias”, que apareció por primera vez en el siglo XVII en la teoría del juego en las obras de Blaise Pascal y Christiaan. Huygens. Sin embargo, la primera comprensión y evaluación teórica completa de este concepto la dio Pafnuty Lvovich Chebyshev (mediados del siglo XIX).
La ley de distribución de variables numéricas aleatorias (función de distribución y series de distribución o densidad de probabilidad) describe completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas basta con conocer algunas características numéricas de la cantidad en estudio (por ejemplo, su valor medio y posible desviación de él) para responder a la pregunta planteada. Las principales características numéricas de las variables aleatorias son la expectativa matemática, la varianza, la moda y la mediana.
La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus posibles valores y sus correspondientes probabilidades. A veces, la expectativa matemática se denomina promedio ponderado, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria durante una gran cantidad de experimentos. De la definición expectativa matemática de ello se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de la variable aleatoria ni mayor que el mayor. La expectativa matemática de una variable aleatoria es una variable no aleatoria (constante).
La expectativa matemática tiene una simple significado fisico: si colocas una unidad de masa en una línea recta, colocando algo de masa en algunos puntos (por ejemplo distribución discreta), o “untarlo” con una cierta densidad (para una distribución absolutamente continua), entonces el punto correspondiente a la expectativa matemática será la coordenada del “centro de gravedad” de la línea.
El valor promedio de una variable aleatoria es un número determinado que es, por así decirlo, su "representante" y lo reemplaza en cálculos aproximados. Cuando decimos: "el tiempo medio de funcionamiento de la lámpara es de 100 horas" o "el punto de impacto medio se desplaza 2 m hacia la derecha con respecto al objetivo", estamos indicando una determinada característica numérica de una variable aleatoria que describe su ubicación en el eje numérico, es decir "características de la posición".
De las características de la posición en la teoría de la probabilidad. papel vital Juega la expectativa matemática de una variable aleatoria, que a veces se llama simplemente el valor promedio de la variable aleatoria.
Considere la variable aleatoria X, teniendo valores posibles x1, x2,…, xn con probabilidades p1, p2,…, pn. Necesitamos caracterizar con algún número la posición de los valores de una variable aleatoria en el eje x, teniendo en cuenta que estos valores tienen diferentes probabilidades. Para ello, es natural utilizar el llamado “promedio ponderado” de los valores xi, y cada valor xi durante el promediado debe tenerse en cuenta con un "peso" proporcional a la probabilidad de este valor. Así, calcularemos el promedio de la variable aleatoria. X, que denotamos M |X|:
Este promedio ponderado se llama expectativa matemática de la variable aleatoria. Por lo tanto, presentamos uno de los conceptos más importantes de la teoría de la probabilidad: el concepto de expectativa matemática. La expectativa matemática de una variable aleatoria es la suma de los productos de todos los valores posibles de una variable aleatoria y las probabilidades de estos valores.
X está conectado por una dependencia peculiar con la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria durante una gran cantidad de experimentos. Esta dependencia es del mismo tipo que la dependencia entre frecuencia y probabilidad, a saber: con una gran cantidad de experimentos, la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria se acerca (converge en probabilidad) a su expectativa matemática. De la presencia de una conexión entre frecuencia y probabilidad, se puede deducir como consecuencia la presencia de una conexión similar entre la media aritmética y la expectativa matemática. De hecho, considere la variable aleatoria X, caracterizado por una serie de distribución:
Que se produzca norte experimentos independientes, en cada uno de los cuales el valor X adquiere un valor determinado. Supongamos que el valor x1 apareció m1 tiempos, valor x2 apareció m2 tiempos, significado general xi apareció mi veces. Calculemos la media aritmética de los valores observados del valor X, que, a diferencia de la expectativa matemática M|X| denotamos M*|X|:
Con un número cada vez mayor de experimentos norte frecuencias Pi se acercará (convergirá en probabilidad) a las probabilidades correspondientes. En consecuencia, la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria. M|X| con un aumento en el número de experimentos se acercará (convergirá en probabilidad) a su expectativa matemática. La conexión entre la media aritmética y la expectativa matemática formulada anteriormente constituye el contenido de una de las formas de la ley de los grandes números.
Ya sabemos que todas las formas de la ley de los grandes números establecen el hecho de que algunos promedios son estables durante una gran cantidad de experimentos. Aquí estamos hablando de la estabilidad de la media aritmética a partir de una serie de observaciones de la misma cantidad. Con un número reducido de experimentos, la media aritmética de sus resultados es aleatoria; con un aumento suficiente en el número de experimentos, se vuelve "casi no aleatorio" y, al estabilizarse, se acerca a un valor constante: la expectativa matemática.
La estabilidad de los promedios en un gran número de experimentos puede verificarse fácilmente experimentalmente. Por ejemplo, al pesar un cuerpo en un laboratorio en balanzas precisas, como resultado del pesaje obtenemos cada vez un nuevo valor; Para reducir el error de observación, pesamos el cuerpo varias veces y utilizamos la media aritmética de los valores obtenidos. Es fácil ver que con un mayor aumento en el número de experimentos (pesajes), la media aritmética reacciona cada vez menos a este aumento y, con un número suficientemente grande de experimentos, prácticamente deja de cambiar.
se debe notar que característica más importante La posición de una variable aleatoria (expectativa matemática) no existe para todas las variables aleatorias. Es posible componer ejemplos de tales variables aleatorias para las cuales no existe la expectativa matemática, ya que la suma o integral correspondiente diverge. Sin embargo, estos casos no son de gran interés para la práctica. Normalmente, las variables aleatorias con las que trabajamos tienen un rango limitado de valores posibles y, por supuesto, tienen una expectativa matemática.
Además de las características más importantes de la posición de una variable aleatoria (la expectativa matemática), en la práctica a veces se utilizan otras características de la posición, en particular, la moda y la mediana de la variable aleatoria.
La moda de una variable aleatoria es su valor más probable. El término "valor más probable" estrictamente hablando sólo se aplica a cantidades discontinuas; Para valor continuo La moda es el valor en el que la densidad de probabilidad es máxima. Las figuras muestran la moda para variables aleatorias discontinuas y continuas, respectivamente.
Si el polígono de distribución (curva de distribución) tiene más de un máximo, la distribución se denomina "multimodal".
A veces hay distribuciones que tienen un mínimo en el medio en lugar de un máximo. Estas distribuciones se denominan “antimodales”.
EN caso general la moda y la expectativa matemática de una variable aleatoria no coinciden. En el caso particular, cuando la distribución es simétrica y modal (es decir, tiene una moda) y existe una expectativa matemática, entonces coincide con la moda y el centro de simetría de la distribución.
A menudo se utiliza otra característica de posición: la llamada mediana de una variable aleatoria. Esta característica suele usarse sólo para variables aleatorias continuas, aunque puede definirse formalmente para una variable discontinua. Geométricamente, la mediana es la abscisa del punto en el que el área encerrada por la curva de distribución se divide por la mitad.
En el caso de una distribución modal simétrica, la mediana coincide con la expectativa matemática y la moda.
La expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria, una característica numérica de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. De la forma más general, la expectativa matemática de una variable aleatoria. X(w) se define como la integral de Lebesgue con respecto a la medida de probabilidad R en el espacio de probabilidad original:
La expectativa matemática también se puede calcular como la integral de Lebesgue de X por distribución de probabilidad píxeles cantidades X:
El concepto de variable aleatoria con expectativa matemática infinita se puede definir de forma natural. Un ejemplo típico sirven como tiempos de regreso en algunos paseos aleatorios.
Con la ayuda de la expectativa matemática, muchos números y características funcionales distribuciones (como la expectativa matemática de funciones correspondientes de una variable aleatoria), por ejemplo, función generadora, función característica, momentos de cualquier orden, en particular dispersión, covarianza.
La expectativa matemática es una característica de la ubicación de los valores de una variable aleatoria (el valor promedio de su distribución). En esta capacidad, la expectativa matemática sirve como un parámetro de distribución "típico" y su papel es similar al papel del momento estático - la coordenada del centro de gravedad de la distribución de masa - en mecánica. De otras características de la ubicación con la ayuda de las cuales se describe la distribución en términos generales (medianas, modas, expectativa matemática) se diferencia en el mayor valor que ella y la característica de dispersión correspondiente (dispersión) tienen en los teoremas límite de la teoría de la probabilidad. El significado de la expectativa matemática se revela más plenamente en la ley de los grandes números (la desigualdad de Chebyshev) y la ley reforzada de los grandes números.
Expectativa de una variable aleatoria discreta
Sea alguna variable aleatoria que pueda tomar uno de varios valores numéricos (por ejemplo, el número de puntos al lanzar un dado puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6). A menudo, en la práctica, para tal valor surge la pregunta: ¿qué valor se toma "en promedio" con una gran cantidad de pruebas? ¿Cuál será nuestro ingreso (o pérdida) promedio de cada una de las transacciones riesgosas?
Digamos que hay algún tipo de lotería. Queremos entender si es rentable o no participar en él (o incluso participar de forma repetida, regular). Digamos que uno de cada cuatro boletos es ganador, el premio será de 300 rublos y el precio de cualquier boleto será de 100 rublos. Con un número infinitamente grande de participaciones, esto es lo que sucede. En tres cuartas partes de los casos perderemos, cada tres pérdidas nos costará 300 rublos. En uno de cada cuatro casos ganaremos 200 rublos. (premio menos costo), es decir, por cuatro participaciones perdemos en promedio 100 rublos, por una, en promedio 25 rublos. En total, el precio medio de nuestra ruina será de 25 rublos por billete.
Arrojamos dado. Si no es hacer trampa (sin cambiar el centro de gravedad, etc.), ¿cuántos puntos tendremos en promedio a la vez? Como cada opción es igualmente probable, simplemente tomamos la media aritmética y obtenemos 3,5. Dado que esto es PROMEDIO, no hay necesidad de indignarse porque ninguna tirada específica dará 3,5 puntos; bueno, ¡este cubo no tiene cara con ese número!
Ahora resumamos nuestros ejemplos:
Miremos la imagen que acabamos de dar. A la izquierda hay una tabla de distribución de una variable aleatoria. El valor X puede tomar uno de n valores posibles (indicados en la línea superior). No puede haber otros significados. Debajo de cada posible significado su probabilidad se escribe a continuación. A la derecha está la fórmula, donde M(X) se llama expectativa matemática. El significado de este valor es que con un gran número de pruebas (con una muestra grande), el valor promedio tenderá a esta misma expectativa matemática.
Volvamos de nuevo al mismo cubo de juego. La expectativa matemática del número de puntos al lanzar es 3,5 (calcula tú mismo usando la fórmula si no me crees). Digamos que lo arrojaste un par de veces. Los resultados fueron 4 y 6. La media fue 5, lo que dista mucho del 3,5. Lo lanzaron una vez más, obtuvieron 3, es decir, en promedio (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... De alguna manera lejos de la expectativa matemática. Ahora haz un experimento loco: ¡haz rodar el cubo 1000 veces! E incluso si el promedio no es exactamente 3,5, estará cerca de eso.
Calculemos la expectativa matemática para la lotería descrita anteriormente. La placa quedará así:
Entonces la expectativa matemática será, como establecimos anteriormente:
Otra cosa es que hacerlo “con los dedos”, sin fórmula, sería difícil si hubiera más opciones. Bueno, digamos que habría un 75% de billetes perdedores, un 20% de billetes ganadores y un 5% de billetes especialmente ganadores.
Ahora algunas propiedades de la expectativa matemática.
Es fácil de demostrar:
El factor constante se puede sacar como signo de la expectativa matemática, es decir:
Este es un caso especial de la propiedad de linealidad de la expectativa matemática.
Otra consecuencia de la linealidad de la expectativa matemática:
es decir, la expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de variables aleatorias.
Sean X, Y variables aleatorias independientes., Entonces:
Esto también es fácil de probar) Trabajo XY en sí es una variable aleatoria, y si los valores iniciales pudieran tomar norte Y metro valores en consecuencia, entonces XY puede tomar valores nm. La probabilidad de cada valor se calcula basándose en el hecho de que se multiplican las probabilidades de eventos independientes. Como resultado, obtenemos esto:
Expectativa de una variable aleatoria continua
Las variables aleatorias continuas tienen una característica como la densidad de distribución (densidad de probabilidad). Básicamente, caracteriza la situación en la que una variable aleatoria toma algunos valores del conjunto de números reales con más frecuencia y otros con menos frecuencia. Por ejemplo, considere este gráfico:
Aquí X- variable aleatoria real, f(x)- densidad de distribución. A juzgar por este gráfico, durante los experimentos el valor X A menudo será un número cercano a cero. Las posibilidades se superan 3 o ser más pequeño -3 más bien puramente teórico.
Sea, por ejemplo, una distribución uniforme:
Esto es bastante consistente con la comprensión intuitiva. Digamos que si obtenemos muchos números reales aleatorios con una distribución uniforme, cada uno de los segmentos |0; 1| , entonces la media aritmética debería ser aproximadamente 0,5.
Las propiedades de la expectativa matemática (linealidad, etc.) aplicables a variables aleatorias discretas también se aplican aquí.
Relación entre expectativa matemática y otros indicadores estadísticos
En el análisis estadístico, junto con la expectativa matemática, existe un sistema de indicadores interdependientes que reflejan la homogeneidad de los fenómenos y la estabilidad de los procesos. Los indicadores de variación a menudo no tienen un significado independiente y se utilizan para análisis de datos adicionales. La excepción es el coeficiente de variación, que caracteriza la homogeneidad de los datos, que es una característica estadística valiosa.
El grado de variabilidad o estabilidad de los procesos en la ciencia estadística se puede medir utilizando varios indicadores.
Mayoría indicador importante, que caracteriza la variabilidad de una variable aleatoria, es Dispersión, que está más estrecha y directamente relacionado con la expectativa matemática. Este parámetro se utiliza activamente en otros tipos de análisis estadístico (prueba de hipótesis, análisis de relaciones causa-efecto, etc.). Al igual que la desviación lineal promedio, la varianza también refleja el grado de dispersión de los datos alrededor del valor medio.
Es útil traducir el lenguaje de signos al lenguaje de palabras. Resulta que la dispersión es el cuadrado promedio de las desviaciones. Es decir, primero se calcula el valor promedio, luego se toma la diferencia entre cada valor original y promedio, se eleva al cuadrado, se suma y luego se divide por el número de valores de la población. La diferencia entre un valor individual y el promedio refleja la medida de desviación. Se eleva al cuadrado para que todas las desviaciones se conviertan en números exclusivamente positivos y para evitar la destrucción mutua de las desviaciones positivas y negativas al sumarlas. Luego, dadas las desviaciones al cuadrado, simplemente calculamos la media aritmética. Promedio - cuadrado - desviaciones. Las desviaciones se elevan al cuadrado y se calcula el promedio. La respuesta a la palabra mágica “dispersión” se encuentra en sólo tres palabras.
Sin embargo, en forma pura, como la media aritmética o índice, no se utiliza la varianza. Es más bien un indicador auxiliar e intermedio que se utiliza para otros tipos de análisis estadístico. Ni siquiera tiene una unidad de medida normal. A juzgar por la fórmula, este es el cuadrado de la unidad de medida de los datos originales.
Medimos una variable aleatoria norte veces, por ejemplo, medimos la velocidad del viento diez veces y queremos encontrar el valor medio. ¿Cómo se relaciona el valor promedio con la función de distribución?
O tiraremos los dados un gran número de veces. El número de puntos que aparecerán en los dados con cada lanzamiento es una variable aleatoria y puede tomar cualquier valor natural de 1 a 6. El promedio aritmético de los puntos caídos calculado para todos los lanzamientos de dados también es una variable aleatoria, pero para grandes norte tiende a un número muy específico - expectativa matemática mx. EN en este caso Mx = 3,5.
¿Cómo obtuviste este valor? Dejar entrar norte pruebas n1 una vez que obtengas 1 punto, n2 una vez - 2 puntos y así sucesivamente. Luego, el número de resultados en los que cayó un punto:
Lo mismo ocurre con los resultados cuando se obtienen 2, 3, 4, 5 y 6 puntos.
Supongamos ahora que conocemos la ley de distribución de la variable aleatoria x, es decir, sabemos que la variable aleatoria x puede tomar valores x1, x2, ..., xk con probabilidades p1, p2, ..., paquete.
La expectativa matemática Mx de una variable aleatoria x es igual a:
La expectativa matemática no siempre es una estimación razonable de alguna variable aleatoria. Entonces, para estimar el promedio salarios es más razonable utilizar el concepto de mediana, es decir, un valor tal que coincida el número de personas que reciben un salario inferior a la mediana y uno mayor.
La probabilidad p1 de que la variable aleatoria x sea menor que x1/2 y la probabilidad p2 de que la variable aleatoria x sea mayor que x1/2 son iguales e iguales a 1/2. La mediana no se determina de forma única para todas las distribuciones.
Desviación estándar o estándar en estadística, se llama el grado de desviación de los datos o conjuntos de observación del valor PROMEDIO. Denotado por las letras s o s. Una desviación estándar pequeña indica que los datos se agrupan alrededor de la media, mientras que una desviación estándar grande indica que los datos iniciales se encuentran lejos de ella. Desviación Estándar es igual raíz cuadrada cantidad llamada dispersión. Es el promedio de la suma de las diferencias al cuadrado de los datos iniciales que se desvían del valor promedio. La desviación estándar de una variable aleatoria es la raíz cuadrada de la varianza:
Ejemplo. En condiciones de prueba, al disparar a un objetivo, calcule la dispersión y la desviación estándar de la variable aleatoria:
Variación- fluctuación, variabilidad del valor de una característica entre unidades de la población. Los valores numéricos individuales de una característica encontrada en la población en estudio se denominan variantes de valores. Valor medio insuficiente para características completas La población nos obliga a complementar los valores promedio con indicadores que permitan evaluar la tipicidad de estos promedios midiendo la variabilidad (variación) de la característica en estudio. El coeficiente de variación se calcula mediante la fórmula:
Rango de variación(R) representa la diferencia entre los valores máximo y mínimo del atributo en la población en estudio. Este indicador da la mayor Idea general sobre la variabilidad de la característica estudiada, ya que muestra la diferencia solo entre los valores límite de las opciones. La dependencia de los valores extremos de una característica le da al alcance de la variación un carácter inestable y aleatorio.
Desviación lineal promedio representa la media aritmética de las desviaciones absolutas (módulo) de todos los valores de la población analizada de su valor promedio:
Expectativa matemática en la teoría del juego.
La expectativa matemática es La cantidad promedio de dinero que un jugador puede ganar o perder en una apuesta determinada. Este es un concepto muy importante para el jugador porque es fundamental para la evaluación de la mayoría de situaciones de juego. La expectativa matemática es también la herramienta óptima para analizar diseños básicos de cartas y situaciones de juego.
Digamos que estás jugando un juego de monedas con un amigo, apostando la misma cantidad de $1 cada vez, sin importar lo que surja. Cruz significa que ganas, cara significa que pierdes. Las probabilidades de que salga cara son de uno a uno, por lo que usted apuesta entre $1 y $1. Por lo tanto, su expectativa matemática es cero, porque Desde un punto de vista matemático, no puedes saber si ganarás o perderás después de dos lanzamientos o después de 200.
Su ganancia por hora es cero. Las ganancias por hora son la cantidad de dinero que esperas ganar en una hora. Puedes lanzar una moneda 500 veces en una hora, pero no ganarás ni perderás porque... tus posibilidades no son ni positivas ni negativas. Si nos fijamos, desde el punto de vista de un jugador serio, este sistema de apuestas no está nada mal. Pero esto es simplemente una pérdida de tiempo.
Pero digamos que alguien quiere apostar $2 contra tu $1 en el mismo juego. Entonces inmediatamente tendrá una expectativa positiva de 50 céntimos por cada apuesta. ¿Por qué 50 centavos? En promedio, se gana una apuesta y se pierde la segunda. Apueste el primer dólar y pierda $1, apueste el segundo y gane $2. Apuestas 1$ dos veces y llevas 1$ de ventaja. Entonces cada una de tus apuestas de un dólar te dio 50 centavos.
Si una moneda aparece 500 veces en una hora, tus ganancias por hora ya serán de $250, porque... En promedio, perdiste un dólar 250 veces y ganaste dos dólares 250 veces. $500 menos $250 equivalen a $250, que son las ganancias totales. Tenga en cuenta que el valor esperado, que es la cantidad promedio que gana por apuesta, es de 50 centavos. Ganaste $250 apostando un dólar 500 veces, lo que equivale a 50 centavos por apuesta.
La expectativa matemática no tiene nada que ver con resultados a corto plazo. Tu oponente, que decidió apostar $2 contra ti, podría ganarte en los primeros diez lanzamientos seguidos, pero tú, teniendo una ventaja de apuesta de 2 a 1, en igualdad de condiciones, ganarás 50 centavos por cada $1 apostado en cualquier circunstancias. No importa si ganas o pierdes una o varias apuestas, siempre y cuando tengas suficiente dinero en efectivo para cubrir cómodamente los costes. Si continúas apostando de la misma manera, entonces por un largo periodo Con el tiempo, tus ganancias se aproximarán a la suma de los valores esperados en las tiradas individuales.
Cada vez que haces una mejor apuesta (una apuesta que puede resultar rentable a largo plazo), cuando las probabilidades están a tu favor, estás obligado a ganar algo con ella, sin importar si lo pierdes o no en el futuro. mano dada. Por el contrario, si haces una apuesta no favorita (una apuesta que no es rentable a largo plazo) cuando las probabilidades están en tu contra, perderás algo independientemente de si ganas o pierdes la mano.
Realiza una apuesta con el mejor resultado si sus expectativas son positivas y será positiva si las probabilidades están de su lado. Cuando haces una apuesta con el peor resultado, tienes una expectativa negativa, lo que ocurre cuando las probabilidades están en tu contra. Los jugadores serios sólo apuestan por el mejor resultado; si sucede lo peor, se retiran. ¿Qué significan las probabilidades a tu favor? Es posible que acabe ganando más de lo que aportan las probabilidades reales. Las probabilidades reales de conseguir cara son de 1 a 1, pero obtienes 2 a 1 debido a la relación de probabilidades. En este caso, las probabilidades están a tu favor. Definitivamente obtendrás el mejor resultado con una expectativa positiva de 50 centavos por apuesta.
Aquí hay un ejemplo más complejo de expectativa matemática. Un amigo escribe los números del uno al cinco y apuesta $5 contra tu $1 a que no adivinarás el número. ¿Deberías aceptar tal apuesta? ¿Cuál es la expectativa aquí?
En promedio te equivocarás cuatro veces. En base a esto, las probabilidades en contra de que adivine el número son de 4 a 1. Las probabilidades en contra de que pierda un dólar en un solo intento. Sin embargo, ganas 5 a 1, con posibilidad de perder 4 a 1. Entonces las probabilidades están a tu favor, puedes aceptar la apuesta y esperar el mejor resultado. Si haces esta apuesta cinco veces, en promedio perderás $1 cuatro veces y ganarás $5 una vez. En base a esto, por los cinco intentos ganarás $1 con una expectativa matemática positiva de 20 centavos por apuesta.
Un jugador que va a ganar más de lo que apuesta, como en el ejemplo anterior, se arriesga. Por el contrario, arruina sus posibilidades cuando espera ganar menos de lo que apuesta. Un apostador puede tener una expectativa positiva o negativa, lo que depende de si gana o arruina las cuotas.
Si apuestas $50 para ganar $10 con una probabilidad de ganar de 4 a 1, obtendrás una expectativa negativa de $2 porque En promedio, ganará $10 cuatro veces y perderá $50 una vez, lo que demuestra que la pérdida por apuesta será de $10. Pero si apuestas $30 para ganar $10, con las mismas probabilidades de ganar 4 a 1, entonces en este caso tienes una expectativa positiva de $2, porque nuevamente gana $10 cuatro veces y pierde $30 una vez, obteniendo una ganancia de $10. Estos ejemplos muestran que la primera apuesta es mala y la segunda es buena.
La expectativa matemática es el centro de cualquier situación de juego. Cuando una casa de apuestas anima a los aficionados al fútbol a apostar 11 dólares para ganar 10 dólares, tiene una expectativa positiva de 50 centavos por cada 10 dólares. Si el casino paga dinero parejo desde la línea de pase en los dados, entonces la expectativa positiva del casino será de aproximadamente $1,40 por cada $100, porque Este juego está estructurado para que quien apueste en esta línea pierda un 50,7% de media y gane un 49,3% del tiempo total. Sin duda, es esta expectativa positiva aparentemente mínima la que genera enormes beneficios a los propietarios de casinos de todo el mundo. Como señaló el propietario del casino Vegas World, Bob Stupak, “una probabilidad negativa de una milésima de uno por ciento en una distancia lo suficientemente larga arruinará hombre mas rico en el mundo".
Expectativa al jugar al Poker
El juego de póquer es el ejemplo más ilustrativo e ilustrativo desde el punto de vista del uso de la teoría y las propiedades de la expectativa matemática.
El valor esperado en el póquer es el beneficio promedio de una decisión particular, siempre que dicha decisión pueda considerarse dentro del marco de la teoría de los grandes números y la larga distancia. Un juego de póquer exitoso consiste en aceptar siempre movimientos con un valor esperado positivo.
El significado matemático de la expectativa matemática al jugar al póquer es que a menudo nos encontramos con variables aleatorias al tomar decisiones (no sabemos qué cartas tiene el oponente en sus manos, qué cartas aparecerán en las siguientes rondas de apuestas). Debemos considerar cada una de las soluciones desde el punto de vista de la teoría de grandes números, que establece que con una muestra suficientemente grande, el valor promedio de una variable aleatoria tenderá a su expectativa matemática.
Entre las fórmulas particulares para calcular la expectativa matemática, la siguiente es la más aplicable en el póquer:
Al jugar al póquer, el valor esperado se puede calcular tanto para las apuestas como para las apuestas. En el primer caso, se debe tener en cuenta el fold Equity, en el segundo, las propias probabilidades del banco. Al evaluar la expectativa matemática de un movimiento en particular, debes recordar que un pliegue siempre tiene una expectativa cero. Así, descartar cartas siempre será una decisión más rentable que cualquier movimiento negativo.
La expectativa le dice lo que puede esperar (ganancias o pérdidas) por cada dólar que arriesga. Los casinos ganan dinero porque la expectativa matemática de todos los juegos que se juegan en ellos favorece al casino. Con una serie de juegos lo suficientemente larga, se puede esperar que el cliente pierda su dinero, ya que las "probabilidades" están a favor del casino. Sin embargo, los jugadores de casino profesionales limitan sus juegos a períodos de tiempo cortos, aumentando así las probabilidades a su favor. Lo mismo ocurre con la inversión. Si sus expectativas son positivas, puede ganar más dinero realizando muchas operaciones en un corto período de tiempo. La expectativa es su porcentaje de ganancia por ganancia multiplicado por su ganancia promedio, menos su probabilidad de pérdida multiplicada por su pérdida promedio.
El póquer también puede considerarse desde el punto de vista de la expectativa matemática. Puede suponer que un determinado movimiento es rentable, pero en algunos casos puede que no sea el mejor porque otro movimiento es más rentable. Digamos que obtienes un full en un póquer de cinco cartas. Tu oponente hace una apuesta. Sabes que si subes la apuesta, él responderá. Por tanto, subir parece ser la mejor táctica. Pero si aumentas la apuesta, los dos jugadores restantes definitivamente se retirarán. Pero si igualas, tienes plena confianza en que los otros dos jugadores detrás de ti harán lo mismo. Cuando aumentas tu apuesta, obtienes una unidad y cuando simplemente igualas, obtienes dos. Por lo tanto, igualar le brinda un valor esperado positivo más alto y será la mejor táctica.
La expectativa matemática también puede dar una idea de qué tácticas de póquer son menos rentables y cuáles son más rentables. Por ejemplo, si juegas una determinada mano y crees que tu pérdida promediará 75 centavos, incluido el ante, entonces deberías jugar esa mano porque esto es mejor que retirarse cuando la apuesta inicial es de 1 dólar.
Otro razón importante entender la esencia de la expectativa matemática es que te da una sensación de paz tanto si ganas la apuesta como si no: si hiciste una buena apuesta o la retiraste en el momento adecuado, sabrás que has ganado o ahorrado una cierta cantidad de dinero que el jugador más débil no pudo ahorrar. Es mucho más difícil retirarse si estás molesto porque tu oponente sacó una mano más fuerte. Con todo esto, el dinero que ahorras al no jugar en lugar de apostar se suma a tus ganancias de la noche o del mes.
Sólo recuerda que si cambiaras de mano, tu oponente te habría igualado y, como verás en el artículo del Teorema fundamental del póquer, esta es solo una de tus ventajas. Deberías estar feliz cuando esto suceda. Incluso puedes aprender a disfrutar perdiendo una mano porque sabes que otros jugadores en tu posición habrían perdido mucho más.
Como se analizó en el ejemplo del juego de monedas al principio, la tasa de ganancia por hora está relacionada con la expectativa matemática, y este concepto Especialmente importante para los jugadores profesionales. Cuando vayas a jugar al poker, debes estimar mentalmente cuánto puedes ganar en una hora de juego. En la mayoría de los casos necesitarás confiar en tu intuición y experiencia, pero también puedes usar algunas matemáticas. Por ejemplo, estás jugando draw lowball y ves que tres jugadores apuestan $10 y luego intercambian dos cartas, lo cual es una táctica muy mala, puedes darte cuenta de que cada vez que apuestan $10 pierden alrededor de $2. Cada uno de ellos hace esto ocho veces por hora, lo que significa que los tres pierden aproximadamente $48 por hora. Usted es uno de los cuatro jugadores restantes que son aproximadamente iguales, por lo que estos cuatro jugadores (y usted entre ellos) deben dividir $48, cada uno obteniendo una ganancia de $12 por hora. Tus probabilidades por hora en este caso son simplemente iguales a tu parte de la cantidad de dinero perdida por tres malos jugadores en una hora.
Durante un largo período de tiempo, las ganancias totales del jugador son la suma de sus expectativas matemáticas en manos individuales. Cuantas más manos juegues con expectativas positivas, más ganarás y, a la inversa, cuantas más manos juegues con expectativas negativas, más perderás. Como resultado, debes elegir un juego que pueda maximizar tu anticipación positiva o anular tu anticipación negativa para que puedas maximizar tus ganancias por hora.
Expectativa matemática positiva en la estrategia de juego.
Si sabes contar cartas, puedes tener ventaja sobre el casino, siempre y cuando no se den cuenta y te echen. A los casinos les encantan los jugadores borrachos y no toleran a los jugadores que cuentan cartas. Una ventaja te permitirá ganar más veces de las que pierdes con el tiempo. Buena administracion El capital al utilizar cálculos del valor esperado puede ayudarle a obtener más beneficios de su ventaja y reducir sus pérdidas. Sin una ventaja, es mejor donar el dinero a una organización benéfica. En el juego en bolsa, la ventaja la da el sistema de juego, que genera mayores ganancias que pérdidas, diferencias de precios y comisiones. Ninguna cantidad de administración de dinero puede salvar un mal sistema de juego.
Una expectativa positiva se define como un valor mayor que cero. Cuanto mayor sea este número, más fuerte será la expectativa estadística. Si el valor es menor que cero, entonces la expectativa matemática también será negativa. Cuanto mayor sea el módulo del valor negativo, peor será la situación. Si el resultado es cero, entonces la espera es un punto de equilibrio. Sólo puedes ganar cuando tienes una expectativa matemática positiva y un sistema de juego razonable. Jugar por intuición conduce al desastre.
Expectativa matemática y negociación de acciones.
La expectativa matemática es un indicador estadístico bastante utilizado y popular cuando se realizan operaciones cambiarias en los mercados financieros. En primer lugar, este parámetro se utiliza para analizar el éxito del comercio. No es difícil adivinar que cuanto mayor sea este valor, más razones habrá para considerar exitosa la operación en estudio. Por supuesto, el análisis del trabajo de un comerciante no se puede realizar utilizando únicamente este parámetro. Sin embargo, el valor calculado, en combinación con otros métodos para evaluar la calidad del trabajo, puede aumentar significativamente la precisión del análisis.
La expectativa matemática a menudo se calcula en los servicios de monitoreo de cuentas comerciales, lo que le permite evaluar rápidamente el trabajo realizado en el depósito. Las excepciones incluyen estrategias que utilizan operaciones no rentables "dejadas de lado". Un comerciante puede tener suerte durante algún tiempo y, por lo tanto, es posible que no haya ninguna pérdida en su trabajo. En este caso, no será posible guiarse únicamente por la expectativa matemática, porque no se tendrán en cuenta los riesgos utilizados en el trabajo.
En el comercio de mercado, la expectativa matemática se utiliza con mayor frecuencia al predecir la rentabilidad de cualquier estrategia comercial o al predecir los ingresos de un operador basándose en datos estadísticos de sus operaciones anteriores.
Con respecto a la administración del dinero, es muy importante comprender que cuando se realizan operaciones con expectativas negativas, no existe ningún esquema de administración del dinero que pueda generar definitivamente altas ganancias. Si continúa jugando en el mercado de valores en estas condiciones, independientemente de cómo administre su dinero, perderá toda su cuenta, sin importar cuán grande fuera al principio.
Este axioma es válido no sólo para juegos o intercambios con expectativas negativas, sino que también lo es para juegos con iguales oportunidades. Por lo tanto, la única vez que tiene la oportunidad de obtener ganancias a largo plazo es si realiza operaciones con un valor esperado positivo.
La diferencia entre expectativas negativas y expectativas positivas es la diferencia entre la vida y la muerte. No importa cuán positiva o negativa sea la expectativa; Lo único que importa es si es positivo o negativo. Por lo tanto, antes de considerar la administración del dinero, debes encontrar un juego con expectativas positivas.
Si no tienes ese juego, toda la administración de dinero del mundo no te salvará. Por otro lado, si tienes una expectativa positiva, puedes, mediante una adecuada gestión del dinero, convertirla en una función de crecimiento exponencial. ¡No importa cuán pequeña sea la expectativa positiva! En otras palabras, no importa cuán rentable sea un sistema comercial basado en un único contrato. Si tiene un sistema que gana $10 por contrato por operación (después de las comisiones y el deslizamiento), puede utilizar técnicas de administración de dinero para hacerlo más rentable que un sistema que promedia $1,000 por operación (después de la deducción de las comisiones y el deslizamiento).
Lo que importa no es cuán rentable fue el sistema, sino qué tan seguro se puede decir que mostrará al menos ganancias mínimas en el futuro. Por lo tanto, la preparación más importante que puede hacer un comerciante es asegurarse de que el sistema muestre un valor esperado positivo en el futuro.
Para tener un valor esperado positivo en el futuro, es muy importante no limitar los grados de libertad de su sistema. Esto se logra no sólo eliminando o reduciendo el número de parámetros a optimizar, sino también reduciendo tantas reglas del sistema como sea posible. Cada parámetro que agrega, cada regla que establece, cada pequeño cambio que realiza en el sistema reduce la cantidad de grados de libertad. Idealmente, necesitas construir un sistema bastante primitivo y sistema sencillo, que generará constantemente pequeñas ganancias en casi cualquier mercado. Nuevamente, es importante que comprenda que no importa cuán rentable sea el sistema, siempre que sea rentable. El dinero que gane con el comercio se obtendrá a través de gestión eficaz dinero.
Un sistema de comercio es simplemente una herramienta que le brinda un valor esperado positivo para que pueda utilizar la administración del dinero. Los sistemas que funcionan (muestran al menos ganancias mínimas) en sólo uno o unos pocos mercados, o que tienen diferentes reglas o parámetros para diferentes mercados, probablemente no funcionarán en tiempo real durante el tiempo suficiente. El problema de la mayoría de los traders con orientación técnica es que dedican demasiado tiempo y esfuerzo a la optimización. reglas diferentes y valores de los parámetros del sistema comercial. Esto da resultados completamente opuestos. En lugar de desperdiciar energía y tiempo de computadora en aumentar las ganancias del sistema comercial, dirija su energía a aumentar el nivel de confiabilidad para obtener una ganancia mínima.
Sabiendo que la gestión del dinero es sólo un juego de números que requiere el uso de expectativas positivas, un operador puede dejar de buscar el "santo grial" del comercio de acciones. En su lugar, puede empezar a probar su método de negociación, descubrir qué tan lógico es este método y si genera expectativas positivas. Métodos correctos La gestión del dinero, aplicada a cualquier método de negociación, incluso a los más mediocres, hará el resto del trabajo por sí misma.
Para que cualquier comerciante tenga éxito en su trabajo, necesita resolver los tres más tareas importantes: . Garantizar que el número de transacciones exitosas supere los inevitables errores y errores de cálculo; Configure su sistema de comercio para que tenga la oportunidad de ganar dinero con la mayor frecuencia posible; Logre resultados positivos estables en sus operaciones.
Y aquí, para nosotros, los traders que trabajamos, las expectativas matemáticas pueden ser de gran ayuda. Este término es uno de los claves en la teoría de la probabilidad. Con su ayuda, puedes dar una estimación promedio de algún valor aleatorio. La expectativa matemática de una variable aleatoria es similar al centro de gravedad, si imagina todas las probabilidades posibles como puntos con diferentes masas.
En relación con una estrategia comercial, la expectativa matemática de ganancia (o pérdida) se utiliza con mayor frecuencia para evaluar su efectividad. Este parámetro se define como la suma de los productos de niveles dados de pérdidas y ganancias y la probabilidad de que ocurran. Por ejemplo, la estrategia comercial desarrollada supone que el 37% de todas las transacciones generarán ganancias y la parte restante (63%) no será rentable. Al mismo tiempo, el ingreso promedio de una transacción exitosa será de $7 y la pérdida promedio será de $1,4. Calculemos la expectativa matemática de operar usando este sistema:
¿Qué significa este número? Dice que, siguiendo las reglas de este sistema, en promedio recibiremos $1,708 por cada transacción cerrada. Dado que el índice de eficiencia resultante es mayor que cero, dicho sistema se puede utilizar para el trabajo real. Si como resultado del cálculo la expectativa matemática resulta negativa, esto ya indica una pérdida promedio y dicha negociación conducirá a la ruina.
La cantidad de beneficio por transacción también se puede expresar como un valor relativo en forma de%. Por ejemplo:
– porcentaje de ingresos por 1 transacción - 5%;
– porcentaje de operaciones comerciales exitosas: 62%;
– porcentaje de pérdida por 1 transacción - 3%;
– porcentaje de transacciones fallidas: 38%;
Es decir, el comercio medio arrojará un 1,96%.
Es posible desarrollar un sistema que, a pesar del predominio de operaciones no rentables, proporcione resultado positivo, ya que su MO>0.
Sin embargo, esperar por sí solo no es suficiente. Es difícil ganar dinero si el sistema da muy pocas señales comerciales. En este caso, su rentabilidad será comparable a los intereses bancarios. Supongamos que cada operación produzca en promedio sólo 0,5 dólares, pero ¿qué pasa si el sistema implica 1000 operaciones por año? Esta será una cantidad muy significativa en un tiempo relativamente corto. De esto se deduce lógicamente que otro contraste Se puede considerar un buen sistema de comercio. Corto plazo ocupando posiciones.
Fuentes y enlaces
dic.academic.ru – diccionario académico en línea
math.ru – sitio web educativo en matemáticas
nsu.ru – sitio web educativo de Novosibirsk Universidad Estatal
webmath.ru – portal educativo para estudiantes, solicitantes y escolares.
exponenta.ru sitio web educativo matemático
ru.tradimo.com – escuela de comercio online gratuita
crypto.hut2.ru – multidisciplinario recurso de información
poker-wiki.ru – enciclopedia gratuita del póquer
sernam.ru – Biblioteca de Ciencias publicaciones seleccionadas de ciencias naturales
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unfx.ru – Forex en UNFX: formación, señales comerciales, gestión de confianza
slovopedia.com – Grande diccionario enciclopédico Eslovopedia
pokermansion.3dn.ru – Tu guía en el mundo del poker
statanaliz.info – blog informativo “Análisis de datos estadísticos”
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Distribución de una variable aleatoria (distribución población) suele caracterizarse por una serie de características numéricas:
- para una distribución normal N(a, σ) es la expectativa matemática a y la desviación estándar σ;
- Para distribución uniforme R(a,b) son los límites del intervalo en el que se observan los valores de esta variable aleatoria.
Cuando una puntuación está determinada por un solo número, se llama punto estimado. Punto estimado, en función de la muestra, es una variable aleatoria y varía de una muestra a otra con experimentos repetidos.
Las estimaciones puntuales tienen requisitos que deben satisfacer para ser “benignas” en algún sentido. Este no desplazado, eficiencia Y poder.
Estimaciones de intervalo están determinados por dos números: los extremos del intervalo que cubre el parámetro estimado. A diferencia de las estimaciones puntuales, que no dan una idea de qué tan lejos puede estar el parámetro estimado de ellas, las estimaciones de intervalo nos permiten establecer la precisión y confiabilidad de las estimaciones.
Como estimaciones puntuales de la expectativa matemática, la dispersión y la desviación estándar, se utilizan las características de la muestra, respectivamente, la media muestral, la dispersión muestral y la desviación estándar muestral.
Propiedad de estimación insesgada.
Un requisito deseable para la evaluación es la ausencia de error sistemático, es decir cuando se usa repetidamente en lugar del parámetro θ su estimación, el valor promedio del error de aproximación es cero; esto es propiedad de la estimación insesgada.
Definición. Una estimación se denomina insesgada si su expectativa matemática es igual al valor real del parámetro estimado:
La media aritmética muestral es una estimación insesgada de la expectativa matemática y la varianza muestral 
- estimación sesgada de la varianza general D. Una estimación insesgada de la varianza general es la estimación
Propiedad de coherencia de la evaluación..
El segundo requisito para una estimación, su coherencia, significa que la estimación mejora al aumentar el tamaño de la muestra.
Definición. Calificación 
se llama consistente si converge en probabilidad al parámetro estimado θ como n→∞.
La convergencia en probabilidad significa que con un tamaño de muestra grande, la probabilidad de que se produzcan grandes desviaciones de la estimación respecto del valor real es pequeña.
Propiedad de estimación efectiva.
El tercer requisito le permite seleccionar la mejor estimación entre varias estimaciones del mismo parámetro.
Definición. Un estimador insesgado es eficiente si tiene la varianza más pequeña entre todos los estimadores insesgados.
Esto significa que la estimación efectiva tiene una dispersión mínima en relación con el valor real del parámetro. Tenga en cuenta que no siempre existe una estimación efectiva, pero entre dos estimaciones generalmente es posible elegir la más efectiva, es decir con menos variación. Por ejemplo, para un parámetro desconocido a de una población normal N(a,σ), tanto la media aritmética muestral como la mediana muestral pueden tomarse como una estimación insesgada. Pero la varianza de la mediana muestral es aproximadamente 1,6 veces mayor que la varianza de la media aritmética. Por tanto, una estimación más eficaz es la media aritmética muestral.
Ejemplo No. 1. Encuentre una estimación insesgada de la varianza de las mediciones de alguna variable aleatoria utilizando un dispositivo (sin errores sistemáticos), cuyos resultados de medición (en mm): 13,15,17.
Solución. Tabla de cálculo de indicadores.
| X | |x - x av | | (x - x promedio) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
media aritmética simple(estimación imparcial de la expectativa matemática)
Dispersión- caracteriza la medida de dispersión alrededor de su valor promedio (una medida de dispersión, es decir, desviación del promedio - estimación sesgada).
Estimador de varianza insesgado- estimación consistente de la varianza (varianza corregida).
Ejemplo No. 2. Encuentre una estimación insesgada de la expectativa matemática de las mediciones de una determinada variable aleatoria mediante un dispositivo (sin errores sistemáticos), cuyos resultados de medición (en mm): 4,5,8,9,11.
Solución. metro = (4+5+8+9+11)/5 = 7,4
Ejemplo No. 3. Encuentre la varianza corregida S2 para un tamaño de muestra de n=10 si la varianza de la muestra es D = 180.
Solución. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
Deje que la muestra aleatoria sea generada por la variable aleatoria observada ξ, la expectativa matemática y la varianza 
que son desconocidos. Se propuso utilizar el promedio muestral como estimaciones para estas características.
y varianza muestral
. (3.14)
Consideremos algunas propiedades de las estimaciones de expectativa y dispersión matemática.
1. Calcule la expectativa matemática del promedio muestral:
Por lo tanto, la media muestral es un estimador insesgado para .
2. Recuerda que los resultados 
Las observaciones son variables aleatorias independientes, cada una de las cuales tiene la misma ley de distribución que el valor, lo que significa 
, 
, . Supondremos que la varianza es finita. Entonces, según el teorema de Chebyshev sobre la ley de los grandes números, para cualquier ε > 0 se cumple la igualdad 
,
que se puede escribir así: 
. (3.16) Comparando (3.16) con la definición de la propiedad de consistencia (3.11), vemos que la estimación es una estimación consistente de la expectativa matemática.
3. Encuentre la varianza de la media muestral:
. (3.17)
Por tanto, la varianza de la estimación de la expectativa matemática disminuye en proporción inversa al tamaño de la muestra.
Se puede demostrar que si la variable aleatoria ξ tiene una distribución normal, entonces la media muestral es una estimación efectiva de la expectativa matemática, es decir, la varianza toma valor más pequeño en comparación con cualquier otra estimación de expectativa matemática. Para otras leyes de distribución ξ este puede no ser el caso.
La varianza muestral es una estimación sesgada de la varianza porque 
. (3.18)
De hecho, utilizando las propiedades de la expectativa matemática y la fórmula (3.17), encontramos
.
Para obtener una estimación insesgada de la varianza, se debe corregir la estimación (3.14), es decir, multiplicar por . Luego obtenemos la varianza muestral insesgada.
. (3.19)
Tenga en cuenta que las fórmulas (3.14) y (3.19) difieren solo en el denominador y, para valores grandes, las varianzas muestrales e insesgadas difieren poco. Sin embargo, con un tamaño de muestra pequeño, se debe utilizar la relación (3.19).
Para estimar la desviación estándar de una variable aleatoria se utiliza la denominada desviación estándar “corregida”, que es igual a la raíz cuadrada de la varianza insesgada: .
Estimaciones de intervalo
En estadística, existen dos enfoques para estimar parámetros desconocidos de distribuciones: puntual e intervalo. De acuerdo con la estimación puntual, que se analizó en la sección anterior, solo se indica el punto alrededor del cual se ubica el parámetro estimado. Sin embargo, es deseable saber qué tan lejos puede estar realmente este parámetro de las posibles realizaciones de las estimaciones en diferentes series de observaciones.
La respuesta a esta pregunta, también aproximada, viene dada por otro método de estimación de parámetros: el intervalo. De acuerdo con este método de estimación se encuentra un intervalo que, con una probabilidad cercana a la unidad, cubre la incógnita. valor numérico parámetro.
El concepto de estimación de intervalo.
Punto estimado 
es una variable aleatoria y para posibles implementaciones de muestra toma valores solo aproximadamente iguales al valor verdadero del parámetro. Cuanto menor sea la diferencia, más precisa será la estimación. Por lo tanto, un número positivo para el cual 
, caracteriza la precisión de la estimación y se llama error de estimación (o error marginal).
probabilidad de confianza(o confiabilidad) llamada probabilidad β
, con el que se realiza la desigualdad , es decir.
. (3.20)
Reemplazo de la desigualdad doble desigualdad equivalente 
, o 
, obtenemos
Intervalo 
, cubriendo con probabilidad β
, , parámetro desconocido, se llama intervalo de confianza
(o estimación de intervalo), probabilidad de confianza correspondiente β
.
Una variable aleatoria no es sólo una estimación, sino también un error: su valor depende de la probabilidad. β y, por regla general, de la muestra. Por lo tanto, el intervalo de confianza es aleatorio y la expresión (3.21) debe leerse de la siguiente manera: “El intervalo cubrirá el parámetro con probabilidad β ”, y no así: “El parámetro caerá en el intervalo con probabilidad β ”.
Significado intervalo de confianza es que al repetir un volumen de muestra muchas veces en una proporción relativa de casos igual a β , intervalo de confianza correspondiente a la probabilidad de confianza β , cubre el valor real del parámetro estimado. De este modo, probabilidad de confianza β caracteriza fiabilidad Evaluación de confianza: cuanto más β , más probable es que la implementación del intervalo de confianza contenga un parámetro desconocido.
Para que las estimaciones estadísticas proporcionen una buena aproximación de los parámetros estimados, deben ser imparciales, eficientes y consistentes.
Imparcial se llama estimación de parámetro estadístico 
, cuya expectativa matemática es igual al parámetro estimado para cualquier tamaño de muestra.
Desplazado llamada estimación estadística 
parámetro 
, cuya expectativa matemática no es igual al parámetro estimado.
Eficaz llamada estimación estadística 
parámetro 
, que para un tamaño de muestra dado 
tiene la menor dispersión.
Adinerado llamada estimación estadística 
parámetro 
, que en 
tiende en probabilidad al parámetro estimado.
es decir, para cualquier 
.
Para muestras de diferentes tamaños se obtienen diferentes valores de la media aritmética y de la dispersión estadística. Por lo tanto, la media aritmética y la varianza estadística son variables aleatorias para las cuales existe una expectativa y varianza matemática.
Calculemos la expectativa matemática de la media aritmética y la varianza. Denotemos por 
expectativa matemática de una variable aleatoria 
Aquí se consideran variables aleatorias las siguientes: 
– S.V., cuyos valores son iguales a los primeros valores obtenidos para varias muestras de volumen 
de la población general, 
–S.V., cuyos valores son iguales a los segundos valores obtenidos para varias muestras de volumen 
de la población general, ..., 
– S.V., cuyos valores son iguales 
-ésimos valores obtenidos para varias muestras de volumen 
de la población general. Todas estas variables aleatorias se distribuyen según la misma ley y tienen la misma expectativa matemática.
De la fórmula (1) se deduce que la media aritmética es una estimación insesgada de la expectativa matemática, ya que la expectativa matemática de la media aritmética es igual a la expectativa matemática de la variable aleatoria. Esta valoración también es válida. La efectividad de esta estimación depende del tipo de distribución de la variable aleatoria. 
. Si, por ejemplo, 
se distribuye normalmente, será eficaz estimar la expectativa matemática utilizando la media aritmética.
Encontremos ahora una estimación estadística de la dispersión.
La expresión de la varianza estadística se puede transformar de la siguiente manera
(2)
Encontremos ahora la expectativa matemática de la dispersión estadística.
.
(3)
Teniendo en cuenta que 
(4)
obtenemos de (3) -
De la fórmula (6) queda claro que la expectativa matemática de la dispersión estadística difiere en un factor de la dispersión, es decir es una estimación sesgada de la varianza poblacional. Esto se debe a que en lugar del valor real 
, que se desconoce, se utiliza la media estadística para estimar la varianza 
.
Por lo tanto, introducimos la varianza estadística corregida.
(7)
Entonces la expectativa matemática de la varianza estadística corregida es igual a
aquellos. la varianza estadística corregida es una estimación insesgada de la varianza poblacional. La estimación resultante también es consistente.
La necesidad de estimar la expectativa matemática a partir de los resultados de las pruebas aparece en problemas cuando el resultado de un experimento se describe mediante una variable aleatoria y la expectativa matemática de esta variable aleatoria se toma como un indicador de la calidad del objeto en estudio. Por ejemplo, como indicador de confiabilidad, se puede tomar la expectativa matemática del tiempo de funcionamiento sin fallas de un sistema, y al evaluar la eficiencia de la producción de productos, la expectativa matemática del número de productos utilizables, etc.
El problema de estimar la expectativa matemática se formula de la siguiente manera. Supongamos que para determinar valor desconocido Se supone que la variable aleatoria X es n independiente y libre de errores sistemáticos. X contra X 2 ,..., X pág. Debe elegir la mejor estimación de la expectativa matemática.
La mejor y más común estimación de la expectativa matemática en la práctica es la media aritmética de los resultados de la prueba.
también llamado estadístico o muestra promedio.
Demostremos que la estimación tx satisface todos los requisitos para evaluar cualquier parámetro.
1. De la expresión (5.10) se deduce que
es decir, evaluación t"x- estimación imparcial.
2. Según el teorema de Chebyshev, la media aritmética de los resultados de la prueba converge en probabilidad a la expectativa matemática, es decir
En consecuencia, la estimación (5.10) es una estimación consistente de la expectativa matemática.
3. Varianza de estimación tx, igual
A medida que aumenta el tamaño de la muestra, n disminuye sin límite. Se ha demostrado que si una variable aleatoria X está sujeta a la ley de distribución normal, entonces para cualquier PAG La dispersión (5.11) será mínima y la estimación tx- estimación efectiva de la expectativa matemática. Conocer la varianza de una estimación permite emitir un juicio sobre la precisión de determinar el valor desconocido de la expectativa matemática utilizando esta estimación.
La media aritmética se utiliza como estimación de la expectativa matemática si los resultados de la medición son igualmente precisos (varianzas D, i = 1, 2, ..., PAG iguales en todas las dimensiones). Sin embargo, en la práctica hay que lidiar con problemas en los que los resultados de las mediciones son desiguales (por ejemplo, durante las pruebas, las mediciones se realizan con diferentes instrumentos). En este caso, la estimación de la expectativa matemática tiene la forma
Dónde 
- peso de la z-ésima dimensión.
En la fórmula (5.12), el resultado de cada medición se incluye con su propio peso. CON.. Por lo tanto, la evaluación de los resultados de la medición. tx llamado peso promedio.
Se puede demostrar que la estimación (5.12) es una estimación insesgada, consistente y eficiente de la expectativa matemática. La varianza mínima de la estimación está dada por
Al realizar experimentos con modelos en una computadora, surgen problemas similares cuando se obtienen estimaciones a partir de los resultados de varias series de pruebas y el número de pruebas en cada serie es diferente. Por ejemplo, se realizaron dos series de pruebas con un volumen n 1 y p 2, en base a cuyos resultados se obtuvieron estimaciones t xi y tx_. Para aumentar la precisión y confiabilidad de la determinación de la expectativa matemática, se combinan los resultados de esta serie de pruebas. Para hacer esto, use la expresión (5.12)
Al calcular los coeficientes C, en lugar de las varianzas D, se sustituyen sus estimaciones obtenidas de los resultados de las pruebas en cada serie.
Se utiliza un enfoque similar para determinar la probabilidad de que ocurra un evento aleatorio en función de los resultados de una serie de pruebas.
Para estimar la expectativa matemática de una variable aleatoria X, además del promedio muestral, se pueden utilizar otras estadísticas. Los miembros se utilizan con mayor frecuencia para estos fines. serie de variación, es decir, estadísticas ordinales, a partir de las cuales se basan las estimaciones,
satisfaciendo los requisitos principales, a saber, coherencia e imparcialidad.
Supongamos que la serie de variación contiene norte = 2k miembros. Entonces cualquiera de los promedios puede tomarse como estimación de la expectativa matemática:
Donde k-e promedio
no es más que la mediana estadística de la distribución de la variable aleatoria X, ya que existe una igualdad obvia
La ventaja de la mediana estadística es que está libre de la influencia de resultados de observación anómalos, lo cual es inevitable cuando se utiliza el primer promedio, es decir, el promedio del número más pequeño y más grande de series de variación.
Para un tamaño de muestra impar PAG = 2k- 1 mediana estadística es su elemento medio, es decir Aº miembro de la serie de variación Yo = xk.
Hay distribuciones para las cuales la media aritmética no es una estimación efectiva de la expectativa matemática, por ejemplo, la distribución de Laplace. Se puede demostrar que para la distribución de Laplace, una estimación efectiva de la expectativa matemática es la mediana muestral.
Se ha demostrado que si la variable aleatoria X tiene una distribución normal, entonces con un tamaño de muestra suficientemente grande la ley de distribución de la mediana estadística es cercana a la normalidad con características numéricas.
De una comparación de las fórmulas (5.11) y (5.14) se deduce que la dispersión de la mediana estadística es 1,57 veces mayor que la dispersión de la media aritmética. En consecuencia, la media aritmética como estimación de la expectativa matemática es muchas veces más eficaz que la mediana estadística. Sin embargo, debido a la simplicidad de los cálculos y la insensibilidad a los resultados anómalos de las mediciones (“contaminación” de la muestra), en la práctica, la mediana estadística se utiliza no obstante como estimación de la expectativa matemática.
Cabe señalar que para distribuciones simétricas continuas la expectativa matemática y la mediana son las mismas. Por lo tanto, la mediana estadística puede servir como una buena estimación de la expectativa matemática sólo si la distribución de la variable aleatoria es simétrica.
Para distribuciones asimétricas, la mediana estadística A mí tiene un sesgo significativo en relación con la expectativa matemática, por lo que no es adecuado para su evaluación.
