Primero, consideremos el caso de una función de dos variables. El extremo condicional de una función $z=f(x,y)$ en el punto $M_0(x_0;y_0)$ es el extremo de esta función, logrado bajo la condición de que las variables $x$ e $y$ en la la vecindad de este punto satisface la ecuación de conexión $\ varphi (x,y)=0$.

El nombre de extremo “condicional” se debe al hecho de que se impone una condición adicional $\varphi(x,y)=0$ a las variables. Si una variable se puede expresar a partir de una ecuación de conexión a través de otra, entonces el problema de determinar el extremo condicional se reduce al problema de determinar el extremo habitual de una función de una variable. Por ejemplo, si la ecuación de conexión implica $y=\psi(x)$, entonces sustituyendo $y=\psi(x)$ en $z=f(x,y)$, obtenemos una función de una variable $z =f\izquierda (x,\psi(x)\derecha)$. EN caso general Sin embargo, este método es de poca utilidad, por lo que es necesaria la introducción de un nuevo algoritmo.

Método del multiplicador de Lagrange para funciones de dos variables.

El método del multiplicador de Lagrange consiste en construir una función de Lagrange para encontrar un extremo condicional: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (el parámetro $\lambda$ se llama el multiplicador de Lagrange). Las condiciones necesarias para el extremo se especifican mediante un sistema de ecuaciones a partir del cual se determinan los puntos estacionarios:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(alineado)\right.

Una condición suficiente a partir de la cual se puede determinar la naturaleza del extremo es el signo $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Si en un punto estacionario $d^2F > 0$, entonces la función $z=f(x,y)$ tiene un mínimo condicional en este punto, pero si $d^2F< 0$, то условный максимум.

Hay otra forma de determinar la naturaleza del extremo. De la ecuación de acoplamiento obtenemos: $\varphi_(x)^()dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^())( \varphi_ (y)^("))dx$, por lo tanto en cualquier punto estacionario tenemos:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^())(\varphi_(y)^())dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^())(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^() \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^())^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \derecha)$$

El segundo factor (ubicado entre paréntesis) se puede representar de esta forma:

Los elementos del determinante $\left| están resaltados en rojo. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, que es el hessiano de la función de Lagrange. Si $H > 0$, entonces $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, es decir tenemos un mínimo condicional de la función $z=f(x,y)$.

Una nota sobre la notación del determinante $H$. mostrar ocultar

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^() & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ fin(matriz) \derecha| $$

En esta situación, la regla formulada anteriormente cambiará de la siguiente manera: si $H > 0$, entonces la función tiene un mínimo condicional, y si $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritmo para estudiar una función de dos variables para un extremo condicional

1. Componer la función de Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Resuelve el sistema $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0.\end(alineado) \right.$
3. Determine la naturaleza del extremo en cada uno de los puntos estacionarios encontrados en el párrafo anterior. Para hacer esto, utilice cualquiera de los siguientes métodos:
   • Componga el determinante de $H$ y encuentre su signo
   • Teniendo en cuenta la ecuación de acoplamiento, calcule el signo de $d^2F$

Método del multiplicador de Lagrange para funciones de n variables

Digamos que tenemos una función de $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $m$ ecuaciones de acoplamiento ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Denotando los multiplicadores de Lagrange como $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, componemos la función de Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Las condiciones necesarias para la presencia de un extremo condicional están dadas por un sistema de ecuaciones a partir del cual se encuentran las coordenadas de los puntos estacionarios y los valores de los multiplicadores de Lagrange:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(alineado) \right.$$

Puedes averiguar si una función tiene un mínimo condicional o un máximo condicional en el punto encontrado, como antes, usando el signo $d^2F$. Si en el punto encontrado $d^2F > 0$, entonces la función tiene un mínimo condicional, pero si $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinante de la matriz $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, resaltado en rojo en la matriz $L$, es el hessiano de la función de Lagrange. Usamos la siguiente regla:

• Si los signos de los menores angulares $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ coinciden con el signo de $(-1)^m$, entonces el punto estacionario bajo estudio es el punto mínimo condicional de la función $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Si los signos de los menores angulares $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternan, y el signo del menor $H_(2m+1)$ coincide con el signo del número $(-1)^(m+1 )$, entonces el punto estacionario es el punto máximo condicional de la función $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Ejemplo No. 1

Encuentra el extremo condicional de la función $z(x,y)=x+3y$ bajo la condición $x^2+y^2=10$.

La interpretación geométrica de este problema es la siguiente: se requiere encontrar los valores mayor y menor de la aplicación del plano $z=x+3y$ para los puntos de su intersección con el cilindro $x^2+y ^2=10$.

Es algo difícil expresar una variable a través de otra de la ecuación de acoplamiento y sustituirla en la función $z(x,y)=x+3y$, por lo que usaremos el método de Lagrange.

Denotando $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, componemos la función de Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Escribamos un sistema de ecuaciones para determinar los puntos estacionarios de la función de Lagrange:

$$ \left \( \begin(alineado) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (alineado)\derecha.$$

Si asumimos $\lambda=0$, entonces la primera ecuación se convierte en: $1=0$. La contradicción resultante indica que $\lambda\neq 0$. Bajo la condición $\lambda\neq 0$, de la primera y segunda ecuaciones tenemos: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Sustituyendo los valores obtenidos en la tercera ecuación, obtenemos:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(alineado) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(alineado) \right.\\ \begin(alineado) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(alineado) $$

Entonces, el sistema tiene dos soluciones: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ y $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Averigüemos la naturaleza del extremo en cada punto estacionario: $M_1(1;3)$ y $M_2(-1;-3)$. Para ello, calculamos el determinante de $H$ en cada punto.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^() & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \izquierda| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

En el punto $M_1(1;3)$ obtenemos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, entonces en el punto La función $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ tiene un máximo condicional, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

De manera similar, en el punto $M_2(-1,-3)$ encontramos: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Desde $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Observo que en lugar de calcular el valor del determinante $H$ en cada punto, es mucho más conveniente expandirlo en vista general. Para no saturar el texto con detalles, ocultaré este método debajo de una nota.

Escribiendo el determinante $H$ en forma general. mostrar ocultar

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

En principio, ya es obvio qué signo tiene $H$. Dado que ninguno de los puntos $M_1$ o $M_2$ coincide con el origen, entonces $y^2+x^2>0$. Por lo tanto, el signo de $H$ es opuesto al signo de $\lambda$. Puedes completar los cálculos:

$$ \begin(alineado) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(alineado) $$

La pregunta sobre la naturaleza del extremo en los puntos estacionarios $M_1(1;3)$ y $M_2(-1;-3)$ se puede resolver sin utilizar el determinante $H$. Encontremos el signo de $d^2F$ en cada punto estacionario:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\derecha) $$

Permítanme señalar que la notación $dx^2$ significa exactamente $dx$ elevado a la segunda potencia, es decir $\izquierda(dx \derecha)^2$. Por lo tanto tenemos: $dx^2+dy^2>0$, por lo tanto, con $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ obtenemos $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Respuesta: en el punto $(-1;-3)$ la función tiene un mínimo condicional, $z_(\min)=-10$. En el punto $(1;3)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=10$

Ejemplo No. 2

Encuentra el extremo condicional de la función $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ bajo la condición $x+y=0$.

Primer método (método del multiplicador de Lagrange)

Denotando $\varphi(x,y)=x+y$, componemos la función de Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(alineado) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.

Resuelto el sistema, obtenemos: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ y $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Tenemos dos puntos estacionarios: $M_1(0;0)$ y $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Averigüemos la naturaleza del extremo en cada punto estacionario usando el determinante $H$.

$$H=\izquierda| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^() & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^() & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \izquierda| \begin(array) (ccc) 0 y 1 y 1\\ 1 y 8 y -1 \\ 1 y -1 y 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

En el punto $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, por lo tanto en este punto la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Investigamos la naturaleza del extremo en cada punto usando un método diferente, basado en el signo de $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2$$

De la ecuación de conexión $x+y=0$ tenemos: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Dado que $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, entonces $M_1(0;0)$ es el punto mínimo condicional de la función $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. De manera similar, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Segunda forma

De la ecuación de conexión $x+y=0$ obtenemos: $y=-x$. Sustituyendo $y=-x$ en la función $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, obtenemos alguna función de la variable $x$. Denotemos esta función como $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Por lo tanto, reducimos el problema de encontrar el extremo condicional de una función de dos variables al problema de determinar el extremo de una función de una variable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9 \; y_2=-x_2=-\frac(10)(9);

Obtuvimos los puntos $M_1(0;0)$ y $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Se conocen más investigaciones del curso de cálculo diferencial de funciones de una variable. Examinando el signo de $u_(xx)^("")$ en cada punto estacionario o comprobando el cambio en el signo de $u_(x)^(")$ en los puntos encontrados, obtenemos las mismas conclusiones que cuando resolviendo el primer método, por ejemplo, verificaremos el signo $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Dado que $u_(xx)^("")(M_1)>0$, entonces $M_1$ es el punto mínimo de la función $u(x)$, y $u_(\min)=u(0)=0 $ . Desde $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Los valores de la función $u(x)$ para una condición de conexión dada coinciden con los valores de la función $z(x,y)$, es decir los extremos encontrados de la función $u(x)$ son los extremos condicionales buscados de la función $z(x,y)$.

Respuesta: en el punto $(0;0)$ la función tiene un mínimo condicional, $z_(\min)=0$. En el punto $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Consideremos otro ejemplo en el que aclararemos la naturaleza del extremo determinando el signo de $d^2F$.

Ejemplo No. 3

Encuentre los valores mayor y menor de la función $z=5xy-4$ si las variables $x$ e $y$ son positivas y satisfacen la ecuación de acoplamiento $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Compongamos la función de Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Encontremos los puntos estacionarios de la función de Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(alineado) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0 \; y > 0. \end(alineado) \right.

Todas las transformaciones posteriores se llevan a cabo teniendo en cuenta $x > 0; \; y > 0$ (esto se especifica en el enunciado del problema). De la segunda ecuación expresamos $\lambda=-\frac(5x)(y)$ y sustituimos el valor encontrado en la primera ecuación: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Sustituyendo $x=2y$ en la tercera ecuación, obtenemos: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Dado que $y=1$, entonces $x=2$, $\lambda=-10$. Determinamos la naturaleza del extremo en el punto $(2;1)$ basándonos en el signo de $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Dado que $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, entonces:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

En principio, aquí puedes sustituir inmediatamente las coordenadas del punto estacionario $x=2$, $y=1$ y el parámetro $\lambda=-10$, obteniendo:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Sin embargo, en otros problemas, en un extremo condicional pueden haber varios puntos estacionarios. En tales casos, es mejor representar $d^2F$ en forma general y luego sustituir las coordenadas de cada uno de los puntos estacionarios encontrados en la expresión resultante:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Sustituyendo $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, obtenemos:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Dado que $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Respuesta: en el punto $(2;1)$ la función tiene un máximo condicional, $z_(\max)=6$.

En la siguiente parte consideraremos la aplicación del método de Lagrange para funciones de un mayor número de variables.

Extremos de funciones de varias variables. Una condición necesaria para un extremo. Condición suficiente para un extremo. Extremo condicional. Método del multiplicador de Lagrange. Encontrar los valores más grandes y más pequeños.

Conferencia 5.

Definición 5.1. Punto M 0 (x 0, y 0) llamado punto máximo funciones z = f (x, y), Si f (xo, y o) > f(x,y) para todos los puntos (x,y) M 0.

Definición 5.2. Punto M 0 (x 0, y 0) llamado punto mínimo funciones z = f (x, y), Si f (xo, y o) < f(x,y) para todos los puntos (x,y) desde algún barrio de un punto M 0.

Nota 1. Los puntos máximo y mínimo se denominan puntos extremos funciones de varias variables.

Observación 2. El punto extremo de una función de cualquier número de variables se determina de manera similar.

Teorema 5.1(condiciones necesarias para un extremo). Si M 0 (x 0, y 0)– punto extremo de la función z = f (x, y), entonces en este punto las derivadas parciales de primer orden de esta función son iguales a cero o no existen.

Prueba.

Arreglemos el valor de la variable. en, contando y = y 0. Entonces la función f (x, y 0) será una función de una variable X, para cual x = x 0 es el punto extremo. Por tanto, según el teorema de Fermat, o no existe. La misma afirmación se demuestra de manera similar para .

Definición 5.3. Los puntos que pertenecen al dominio de una función de varias variables en los que las derivadas parciales de la función son iguales a cero o no existen se llaman puntos estacionarios esta función.

Comentario. Así, el extremo sólo puede alcanzarse en puntos estacionarios, pero no necesariamente se observa en cada uno de ellos.

Teorema 5.2(condiciones suficientes para un extremo). Deja entrar algún barrio del punto. M 0 (x 0, y 0), que es un punto estacionario de la función z = f (x, y), esta función tiene derivadas parciales continuas hasta el tercer orden inclusive. Denotemos entonces:

1) f(x,y) tiene en el punto M 0 máximo si AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) tiene en el punto M 0 mínimo si AC–B² > 0, A > 0;

3) no hay extremo en el punto crítico si AC–B² < 0;

4) si AC–B² = 0, se necesita más investigación.

Prueba.

Escribamos la fórmula de Taylor de segundo orden para la función f(x,y), recordando que en un punto estacionario las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero:

Dónde Si el ángulo entre el segmento M 0 M, Dónde m (x 0 +Δ x, y 0 +Δ en), y el eje O X denota φ, entonces Δ x =Δ ρ porque φ, Δ y=Δρsinφ. En este caso, la fórmula de Taylor tomará la forma: . Entonces podemos dividir y multiplicar la expresión entre paréntesis por A. Obtenemos:

Consideremos ahora cuatro posibles casos:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и a un Δρ suficientemente pequeño. Por eso, en algún barrio METRO 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), eso es M 0– punto máximo.

2) dejar AC–B² > 0, A > 0. Entonces , Y M 0– punto mínimo.

3) dejar AC-B² < 0, A> 0. Considere el incremento de argumentos a lo largo del rayo φ = 0. Luego de (5.1) se deduce que , es decir, al moverse a lo largo de este rayo, la función aumenta. Si nos movemos a lo largo de un rayo tal que tg φ 0 = -A/B, Eso , por tanto, al moverse a lo largo de este rayo, la función disminuye. Entonces, punto M 0 No es un punto extremo.

3`) Cuando AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

similar al anterior.

3``) Si AC–B² < 0, A= 0, entonces . Donde. Entonces, para φ suficientemente pequeño, la expresión 2 B cosφ + C senφ está cerca de 2 EN, es decir, conserva un signo constante, pero senφ cambia de signo en las proximidades del punto M 0. Esto significa que el incremento de la función cambia de signo en las proximidades de un punto estacionario, que por tanto no es un punto extremo.

4) si AC–B² = 0, y , , es decir, el signo del incremento está determinado por el signo de 2α 0. Al mismo tiempo, es necesaria más investigación para aclarar la cuestión de la existencia de un extremo.

Ejemplo. Encontremos los puntos extremos de la función. z=x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Para encontrar puntos estacionarios, resolvemos el sistema. . Entonces, el punto estacionario es (-2,-1). Donde Una = 2, EN = -2, CON= 4. Entonces AC–B² = 4 > 0, por lo tanto, en un punto estacionario se alcanza un extremo, es decir, un mínimo (ya que A > 0).

Definición 5.4. Si los argumentos de la función f (x 1 , x 2 ,…, x n ) conectado condiciones adicionales como metro ecuaciones ( metro< n) :

φ1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ metro ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

donde las funciones φ i tienen derivadas parciales continuas, entonces las ecuaciones (5.2) se llaman ecuaciones de conexión.

Definición 5.5. Extremo de la función f (x 1 , x 2 ,…, x n ) cuando se cumplen las condiciones (5.2), se llama extremo condicional.

Comentario. Podemos ofrecer la siguiente interpretación geométrica del extremo condicional de una función de dos variables: sean los argumentos de la función f(x,y) relacionado por la ecuación φ (x,y)= 0, definiendo alguna curva en el plano O xy. Reconstruyendo perpendiculares al plano O desde cada punto de esta curva xy hasta que se cruza con la superficie z = f(x,y), obtenemos una curva espacial que se encuentra en la superficie sobre la curva φ (x,y)= 0. La tarea consiste en encontrar los puntos extremos de la curva resultante, que, por supuesto, en el caso general no coinciden con los puntos extremos incondicionales de la función. f(x,y).

Determinemos las condiciones necesarias para un extremo condicional para una función de dos variables introduciendo primero la siguiente definición:

Definición 5.6. Función L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Dónde λi – algunos son constantes, llamados función de Lagrange y los números λi– multiplicadores de Lagrange indefinidos.

Teorema 5.3(condiciones necesarias para un extremo condicional). Extremo condicional de una función. z = f (x, y) en presencia de la ecuación de acoplamiento φ ( x,y)= 0 sólo se puede alcanzar en puntos estacionarios de la función de Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Prueba. La ecuación de acoplamiento especifica una relación implícita. en de X, por lo tanto asumiremos que en hay una función de X: y = y(x). Entonces z Hay función compleja de X, y sus puntos críticos están determinados por la condición: . (5.4) De la ecuación de acoplamiento se deduce que . (5.5)

Multipliquemos la igualdad (5.5) por algún número λ y sumémoslo a (5.4). Obtenemos:

, o .

La última igualdad debe cumplirse en puntos estacionarios, de lo que se sigue:

(5.6)

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas: x,y y λ, y las dos primeras ecuaciones son las condiciones para el punto estacionario de la función de Lagrange. Eliminando la incógnita auxiliar λ del sistema (5.6), encontramos las coordenadas de los puntos en los que la función original puede tener un extremo condicional.

Observación 1. La presencia de un extremo condicional en el punto encontrado se puede comprobar estudiando las derivadas parciales de segundo orden de la función de Lagrange por analogía con el teorema 5.2.

Observación 2. Puntos en los que se puede alcanzar el extremo condicional de la función. f (x 1 , x 2 ,…, x n ) cuando se cumplen las condiciones (5.2), se pueden definir como soluciones del sistema (5.7)

Ejemplo. Encontremos el extremo condicional de la función. z = xy dado que x + y= 1. Compongamos la función de Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). El sistema (5.6) se ve así:

Donde -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Donde L(x,y) se puede representar en la forma L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, por lo tanto en el punto estacionario encontrado L(x,y) tiene un máximo y z = xy – máximo condicional.

Definición1: Se dice que una función tiene un máximo local en un punto si existe una vecindad del punto tal que para cualquier punto METRO con coordenadas (x,y) la desigualdad se cumple: . En este caso, es decir, el incremento de la función.< 0.

Definición2: Se dice que una función tiene un mínimo local en un punto si existe una vecindad del punto tal que para cualquier punto METRO con coordenadas (x,y) la desigualdad se cumple: . En este caso, es decir, el incremento de la función > 0.

Definición 3: Los puntos de mínimo y máximo local se llaman puntos extremos.

Extremos condicionales

Al encontrar los extremos de una función de muchas variables, a menudo surgen problemas relacionados con el llamado extremo condicional. Este concepto se puede explicar usando el ejemplo de una función de dos variables.

Sean dadas una función y una recta. l en la superficie 0xy. La tarea es ponerse en la línea. l encontrar tal punto P(x,y), en el que el valor de una función es el mayor o el menor en comparación con los valores de esta función en puntos de la recta l, ubicado cerca del punto PAG. tales puntos PAG son llamados puntos extremos condicionales funciones en línea l. A diferencia del punto extremo habitual, el valor de la función en el punto extremo condicional se compara con los valores de la función no en todos los puntos de su vecindad, sino solo en aquellos que se encuentran en la recta. l.

Está absolutamente claro que el punto del extremo habitual (también dicen extremo incondicional) también es un punto extremo condicional para cualquier línea que pase por este punto. Lo contrario, por supuesto, no es cierto: el punto extremo condicional puede no ser el punto extremo ordinario. Déjame explicarte lo que dije con un ejemplo sencillo. La gráfica de la función es el hemisferio superior (Apéndice 3 (Fig. 3)).

Esta función tiene un máximo en el origen; el vértice le corresponde METRO hemisferios. si la linea l hay una recta que pasa por los puntos A Y EN(su ecuación x+y-1=0), entonces es geométricamente claro que para los puntos de esta recta valor más alto La función se logra en un punto que se encuentra en el medio entre los puntos. A Y EN. Este es el punto del extremo condicional (máximo) de la función en esta línea; corresponde al punto M 1 del hemisferio, y de la figura se desprende claramente que aquí no se puede hablar de ningún extremo ordinario.

Tenga en cuenta que en la parte final del problema de encontrar los valores mayor y menor de la función en zona cerrada tenemos que encontrar valores extremos de la función en el límite de esta región, es decir en alguna línea, y así resolver el problema del extremo condicional.

Procedamos ahora a la búsqueda práctica de los puntos extremos condicionales de la función Z= f(x, y) siempre que las variables x e y estén relacionadas por la ecuación (x, y) = 0. Llamaremos a esta relación ecuación de conexión. Si a partir de la ecuación de acoplamiento y se puede expresar explícitamente en términos de x: y=(x), obtenemos una función de una variable Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Habiendo encontrado el valor x en el que esta función alcanza un extremo, y luego determinados a partir de la ecuación de conexión los valores correspondientes de y, obtenemos los puntos deseados del extremo condicional.

Entonces, en el ejemplo anterior, de la ecuación de relación x+y-1=0 tenemos y=1-x. De aquí

Es fácil comprobar que z alcanza su máximo en x = 0,5; pero luego de la ecuación de conexión y = 0,5, obtenemos exactamente el punto P, calculado a partir de consideraciones geométricas.

El problema de un extremo condicional se resuelve muy fácilmente incluso cuando la ecuación de conexión se puede representar ecuaciones paramétricas x=x(t), y=y(t). Sustituyendo expresiones para xey en esta función, llegamos nuevamente al problema de encontrar el extremo de una función de una variable.

Si la ecuación de acoplamiento tiene más de mirada compleja y no podemos expresar explícitamente una variable en términos de otra, ni reemplazarla con ecuaciones paramétricas, entonces la tarea de encontrar un extremo condicional se vuelve más difícil. Continuaremos asumiendo que en la expresión de la función z= f(x, y) la variable (x, y) = 0. La derivada total de la función z= f(x, y) es igual a:

Donde la derivada y` se encuentra usando la regla de derivación de la función implícita. En los puntos del extremo condicional, la derivada total encontrada debe ser igual a cero; esto da una ecuación que relaciona xey. Como también deben satisfacer la ecuación de acoplamiento, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Transformemos este sistema en uno mucho más conveniente escribiendo la primera ecuación en forma de proporción e introduciendo una nueva incógnita auxiliar:

(El signo menos al frente es para mayor comodidad). A partir de estas igualdades es fácil pasar al siguiente sistema:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

que, junto con la ecuación de conexión (x, y) = 0, forma un sistema de tres ecuaciones con incógnitas x, y y.

Estas ecuaciones (*) son más fáciles de recordar usando la siguiente regla: para encontrar puntos que puedan ser puntos del extremo condicional de la función

Z= f(x, y) con la ecuación de conexión (x, y) = 0, necesitas formar una función auxiliar

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

¿Dónde hay una constante y crea ecuaciones para encontrar los puntos extremos de esta función?

El sistema de ecuaciones indicado proporciona, por regla general, sólo las condiciones necesarias, es decir No todos los pares de valores xey que satisfacen este sistema son necesariamente un punto extremo condicional. No daré condiciones suficientes para los puntos del extremo condicional; muy a menudo el contenido específico del problema mismo sugiere cuál es el punto encontrado. La técnica descrita para resolver problemas en un extremo condicional se llama método del multiplicador de Lagrange.

Ejemplo

Encuentre el extremo de la función siempre que X Y en están relacionados por la relación: . Geométricamente, el problema significa lo siguiente: en una elipse
avión
.

Este problema se puede resolver de esta manera: a partir de la ecuación
encontramos
X:

siempre que
, reducido al problema de encontrar el extremo de una función de una variable en el intervalo
.

Geométricamente, el problema significa lo siguiente: en una elipse , obtenido cruzando el cilindro
avión
, necesita encontrar el valor máximo o mínimo de la aplicación (Figura 9). Este problema se puede resolver de esta manera: a partir de la ecuación
encontramos
. Sustituyendo el valor encontrado de y en la ecuación del plano, obtenemos una función de una variable X:

Por tanto, el problema de encontrar el extremo de la función.
siempre que
, reducido al problema de encontrar el extremo de una función de una variable en un intervalo.

Entonces, el problema de encontrar un extremo condicional– este es el problema de encontrar el extremo de la función objetivo
, siempre que las variables X Y en sujeto a restricción
, llamado ecuación de conexión.

digamos que punto
, satisfaciendo la ecuación de acoplamiento, es el punto del máximo condicional local (mínimo), si hay un barrio
tal que para cualquier punto
, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de conexión, se satisface la desigualdad.

Si a partir de la ecuación de acoplamiento se puede encontrar una expresión para en, luego, al sustituir esta expresión en la función original, convertimos esta última en una función compleja de una variable X.

El método general para resolver el problema del extremo condicional es Método del multiplicador de Lagrange. Creemos una función auxiliar, donde ─ algún número. Esta función se llama función de Lagrange, A ─ Multiplicador de Lagrange. Por tanto, la tarea de encontrar un extremo condicional se ha reducido a encontrar puntos extremos locales para la función de Lagrange. Para encontrar posibles puntos extremos, necesitas resolver un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas. x,y Y.

Entonces deberías usar la siguiente condición suficiente para un extremo.

TEOREMA. Sea el punto un posible punto extremo de la función de Lagrange. Supongamos que en las proximidades del punto
hay derivadas parciales continuas de segundo orden de las funciones Y . denotemos

Entonces sí
, Eso
─ punto extremo condicional de la función
con la ecuación de acoplamiento
en este caso, si
, Eso
─ punto mínimo condicional, si
, Eso
─ punto máximo condicional.

§8. Derivada gradiente y direccional.

Deja que la función
definido en alguna región (abierta). Considere cualquier punto
esta área y cualquier línea recta dirigida (eje) , pasando por este punto (Fig. 1). Dejar
- algún otro punto en este eje,
– longitud del segmento entre
Y
, tomado con un signo más, si la dirección
coincide con la dirección del eje , y con signo menos si sus direcciones son opuestas.

Dejar
se acerca indefinidamente
. Límite

llamado derivada de una función
hacia (o a lo largo del eje ) y se denota de la siguiente manera:

.

Esta derivada caracteriza la “tasa de cambio” de la función en el punto
hacia . En particular, las derivadas parciales ordinarias ,También se pueden considerar como derivados "con respecto a la dirección".

Supongamos ahora que la función
tiene derivadas parciales continuas en la región considerada. deja que el eje forma ángulos con los ejes coordenados
Y . Bajo los supuestos realizados, la derivada direccional existe y se expresa mediante la fórmula

.

si el vector
dada por sus coordenadas
, entonces la derivada de la función
en la dirección del vector
se puede calcular usando la fórmula:

.

Vector con coordenadas
llamado vector gradiente funciones
en el punto
. El vector gradiente indica la dirección del aumento más rápido de la función en un punto determinado.

Ejemplo

Dada una función, punto A(1, 1) y vector
. Encuentre: 1)grad z en el punto A; 2) derivada en el punto A en la dirección del vector .

Derivadas parciales de una función dada en un punto
:

;
.

Entonces el vector gradiente de la función en este punto es:
. El vector gradiente también se puede escribir mediante descomposición vectorial. Y :

. Derivada de una función en la dirección del vector :

Entonces,
,
.◄

Extremo condicional.

Extremos de una función de varias variables.

Método de mínimos cuadrados.

Extremo local FNP

Sea dada la función Y= F(P), РÎDÌR norte y deja que el punto P 0 ( A 1 , A 2 , ..., una p) –interno punto del conjunto D.

Definición 9.4.

1) Se llama el punto P 0 punto máximo funciones Y= F(P), si existe una vecindad de este punto U(P 0) М D tal que para cualquier punto P( X 1 , X 2 , ..., xp)О U(P 0) , Р¹Р 0 , se cumple la condición F(P)€ F(P0). Significado F(P 0) la función en el punto máximo se llama máximo de la función y es designado F(P0) = máx. F(PAG) .

2) Se llama el punto P 0 punto mínimo funciones Y= F(P), si existe una vecindad de este punto U(P 0)Ì D tal que para cualquier punto P( X 1 , X 2 , ..., xp)ОU(P 0), Р¹Р 0 , se cumple la condición F(P)³ F(P0). Significado F(P 0) la función en el punto mínimo se llama función mínima y es designado F(P 0) = mín. F(PAG).

Los puntos mínimo y máximo de una función se llaman puntos extremos, los valores de la función en los puntos extremos se llaman extremos de la función.

Como se desprende de la definición, las desigualdades F(P)€ F(P 0), F(P)³ F(P 0) debe cumplirse solo en una determinada vecindad del punto P 0, y no en todo el dominio de definición de la función, lo que significa que la función puede tener varios extremos del mismo tipo (varios mínimos, varios máximos) . Por lo tanto, los extremos definidos anteriormente se llaman local extremos (locales).

Teorema 9.1.( condición necesaria extremo del FNP)

Si la función Y= F(X 1 , X 2 , ..., xp) tiene un extremo en el punto P 0 , entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero o no existen.

Prueba. Dejemos en el punto P 0 ( A 1 , A 2 , ..., una p) función Y= F(P) tiene un extremo, por ejemplo, un máximo. Arreglemos los argumentos X 2 , ..., xp, poniendo X 2 =A 2 ,..., xp = una p. Entonces Y= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., una p) es una función de una variable X 1 . Dado que esta función tiene X 1 = A 1 extremo (máximo), luego F 1 ¢=0o no existe cuando X 1 =A 1 (una condición necesaria para la existencia de un extremo de una función de una variable). Pero eso significa que existe o no en el punto P 0, el punto extremo. De manera similar, podemos considerar derivadas parciales con respecto a otras variables. CTD.

Los puntos en el dominio de una función en los que las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero o no existen se llaman puntos críticos esta función.

Como se desprende del teorema 9.1, los puntos extremos del FNP deben buscarse entre los puntos críticos de la función. Pero, en cuanto a una función de una variable, no todo punto crítico es un punto extremo.

Teorema 9.2 (condición suficiente para el extremo del FNP)

Sea P 0 el punto crítico de la función. Y= F(P) y es el diferencial de segundo orden de esta función. Entonces

y si d 2 tu(P 0) > 0 en , entonces P 0 es un punto mínimo funciones Y= F(PAG);

b) si d 2 tu(P0)< 0 при , то Р 0 – точка máximo funciones Y= F(PAG);

c) si d 2 tu(P 0) no está definido por el signo, entonces P 0 no es un punto extremo;

Consideraremos este teorema sin prueba.

Tenga en cuenta que el teorema no considera el caso cuando d 2 tu(P 0) = 0 o no existe. Esto significa que la cuestión de la presencia de un extremo en el punto P 0 en tales condiciones permanece abierta: necesitamos investigación adicional, por ejemplo, estudiando el incremento de una función en este punto.

En cursos de matemáticas más detallados se demuestra que, en particular para la función z = f(X,y) de dos variables, cuyo diferencial de segundo orden es una suma de la forma

se puede simplificar el estudio de la presencia de un extremo en el punto crítico P 0.

Denotemos , , . Compongamos un determinante

.

Resulta:

d 2 z> 0 en el punto P 0, es decir P 0 – punto mínimo, si A(P 0) > 0 y D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

si D(P 0)< 0, то d 2 z en las proximidades del punto P 0 cambia de signo y no hay extremo en el punto P 0;

si D(Р 0) = 0, entonces también se requieren estudios adicionales de la función en las proximidades del punto crítico Р 0.

Así, para la función z = f(X,y) de dos variables tenemos el siguiente algoritmo (llamémoslo “algoritmo D”) para encontrar un extremo:

1) Encuentra el dominio de definición D( F) funciones.

2) Encontrar puntos críticos, es decir. puntos de D( F), para los cuales y son iguales a cero o no existen.

3) En cada punto crítico P 0, verificar las condiciones suficientes para el extremo. Para hacer esto, encuentre , donde , , y calcular D(P 0) y A(P 0). Entonces:

si D(P 0) >0, entonces en el punto P 0 hay un extremo, y si A(P 0) > 0 – entonces este es el mínimo, y si A(P 0)< 0 – максимум;

si D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Si D(P 0) = 0, entonces se necesita investigación adicional.

4) En los puntos extremos encontrados, calcule el valor de la función.

Ejemplo 1.

Encuentra el extremo de la función. z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

Solución. El dominio de definición de esta función es todo el plano coordenado. Busquemos puntos críticos.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Comprobemos si se cumplen las condiciones suficientes para el extremo. Lo encontraremos

6X, = -3, = 48en Y = 288xy – 9.

Entonces D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – en el punto Р 1 hay un extremo, y dado que A(P 1) = 3 >0, entonces este extremo es un mínimo. tan min z=z(P 1) = .

Ejemplo 2.

Encuentra el extremo de la función. .

Solución: D( F) =R2. Puntos críticos: ; no existe cuando en= 0, lo que significa que P 0 (0,0) es el punto crítico de esta función.

2, = 0, = , = , pero D(P 0) no está definido, por lo que estudiar su signo es imposible.

Por la misma razón, es imposible aplicar directamente el teorema 9.2: d 2 z no existe en este momento.

Consideremos el incremento de la función. F(X, y) en el punto P 0 . Si D F =F(PAG) - F(P 0)>0 "P, entonces P 0 es el punto mínimo, pero si D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

En nuestro caso tenemos

D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

En D X= 0,1 y D y= -0.008 obtenemos D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 y D y= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, es decir en las proximidades del punto P 0 no se cumple ninguna de las condiciones D F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) y por tanto P 0 no es un punto máximo), ni condición D F>0 (es decir F(X, y) > F(0, 0) y entonces P 0 no es un punto mínimo). Entonces, por definición de extremo, esta función no tiene extremos.

Extremo condicional.

El extremo considerado de la función se llama incondicional, ya que no se imponen restricciones (condiciones) a los argumentos de la función.

Definición 9.2. Extremo de la función Y = F(X 1 , X 2 , ... , xp), concluyó bajo la condición de que sus argumentos X 1 , X 2 , ... , xp satisfacer las ecuaciones j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xp) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , xp) = 0, donde P ( X 1 , X 2 , ... , xp) О D( F), llamado extremo condicional .

Ecuaciones j k(X 1 , X 2 , ... , xp) = 0 , k = 1, 2,..., metro, son llamados ecuaciones de conexión.

Veamos las funciones. z = f(X,y) dos variables. Si la ecuación de conexión es uno, es decir , entonces encontrar un extremo condicional significa que el extremo no se busca en todo el dominio de definición de la función, sino en alguna curva que se encuentra en D( F) (es decir, no son los puntos más altos o más bajos de la superficie los que se buscan z = f(X,y), y los puntos más altos o más bajos entre los puntos de intersección de esta superficie con el cilindro, Fig. 5).

Extremo condicional de una función. z = f(X,y) de dos variables se puede encontrar de la siguiente manera ( método de eliminación). A partir de la ecuación, exprese una de las variables en función de otra (por ejemplo, escriba ) y, sustituyendo este valor de la variable en la función, escriba esta última en función de una variable (en el caso considerado ). Encuentra el extremo de la función resultante de una variable.