Tema 1. Matrices y sistemas
Concepto de matriz
Definición 1.Matriz
.
Aquí, a i j (i=1,2,...,metro; j=1,2,...norte) - elementos de la matriz, i- número de línea, j m=n la matriz se llama cuadrado matriz de orden norte.
i¹j son iguales a cero, se llama diagonal:
soltero
nulo y se denota por θ.
- fila de matriz; - columna de matriz.
determinante(o determinante).
Determinantes de segundo orden
Definición 2.
ACERCA DE limitador de segundo orden matrices 
, eso es
. (3)
Otras denominaciones: , .
Así, el concepto de determinante presupone al mismo tiempo un método para su cálculo. Los números se llaman elementos del determinante. La diagonal formada por los elementos se llama principal y los elementos - lado
Ejemplo 1. El determinante de la matriz es igual a
.
Determinantes de tercer orden
Definición 2. ACERCA DE limitador de tercer orden es el número denotado por el símbolo
,
y definido por la igualdad
Números - elementos determinante. Forma de elementos hogar diagonal, elementos - lado.
Al calcular el determinante, para recordar qué términos del lado derecho de la igualdad (4) se toman con el signo “+” y cuáles con el signo “-”, utilice la regla simbólica de los triángulos (regla de Sarrus):
Con el signo “+” se toman los productos de los elementos de la diagonal principal y los elementos ubicados en los vértices de triángulos con bases paralelas a la diagonal principal; seguido del signo “-” – el producto de los elementos de la diagonal secundaria y los elementos ubicados en los vértices de triángulos con bases paralelas a la diagonal secundaria.
Cálculo del determinante mediante la regla de asignación de columnas.
1. Asignamos la primera y segunda columnas secuencialmente a la derecha del determinante.
2. Calculamos los productos de tres elementos en diagonal de izquierda a derecha, de arriba a abajo de A 11 a A 13 y tómalos con el signo “+”. Luego calculamos los productos de tres elementos en diagonal de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba desde A 31 a A 13 y tómalos con el signo “-”.
(-) (-) (-) (+) (+) (+)
Ejemplo 2. Calcule el determinante usando la regla de asignación de columnas.
3. Determinantes norte-ésimo orden. Menores y sumas algebraicas. Cálculo de determinantes por expansión de fila (columna).
Consideremos el concepto de determinante. norte- sin orden. Determinante norte- orden superior es el número asociado con la matriz norte- de cierto orden y calculados según una determinada ley.
,
Aquí están los elementos del determinante. Mostrar la regla por la cual se revela el determinante. norte Primer orden, veamos algunos conceptos.
Definición 4. Menor elemento determinante norte-ésimo orden se llama determinante ( norte- 1) orden obtenido tachando la fila y columna del determinante en cuya intersección se encuentra este elemento.
Definición 5. Complemento algebraico algún elemento del determinante norte El orden ésimo se llama menor de este elemento multiplicado por , es decir 
.
En un determinante de tercer orden se puede considerar, por ejemplo,
, .
, .
Definición 6. Determinante norte- de orden superior es un número igual a la suma de los productos de los elementos de la primera fila del determinante multiplicada por sus complementos algebraicos.
Esta regla para calcular el determinante se llama expansión a lo largo de la primera fila.
Teorema (sobre la expansión del determinante). El determinante se puede calcular expandiendo cualquier fila o columna.
– la suma de los productos de los elementos de la 1.ª columna por los complementos algebraicos de la 2.ª columna.
Ejemplo 3. Calcular el determinante de cuarto orden. 
.
Solución. Multiplicamos la tercera línea por (-1) y la sumamos a la cuarta, luego expandimos el determinante a lo largo de la cuarta línea:
El determinante de tercer orden se expandió a lo largo de la primera fila.
Método de Gauss.
método de gauss es que el sistema original, al eliminar lo desconocido, se transforma en paso a paso mente. En este caso, las transformaciones se realizan en filas de la matriz extendida, ya que las transformaciones que excluyen incógnitas equivalen a transformaciones elementales de filas de la matriz.
El método gaussiano consiste en golpe hacia adelante Y contrarrestar. El enfoque directo del método de Gauss es reducir la matriz extendida del sistema (1) a una forma escalonada mediante transformaciones elementales sobre las filas. Después de lo cual se examina el sistema para determinar su coherencia y certeza. Luego se reconstruye el sistema de ecuaciones utilizando la matriz de pasos. La solución a este sistema de ecuaciones por pasos es la inversa del método gaussiano, en el que, a partir de la última ecuación, las incógnitas con grandes número de serie, y sus valores se sustituyen en la ecuación anterior del sistema.
El estudio del sistema al final del movimiento hacia adelante se realiza según el teorema de Kronecker-Capelli comparando los rangos de la matriz del sistema A y la matriz extendida A´. Son posibles los siguientes casos.
1) si 
, entonces el sistema es inconsistente (según el teorema de Kronecker-Capelli).
2) Si , entonces el sistema (1) es definido y viceversa (sin prueba).
3) Si , entonces el sistema (1) es incierto y viceversa (sin prueba).
Desigualdad 
no se cumple, ya que la matriz A es parte de la matriz A´, la desigualdad no se cumple, ya que el número de columnas de la matriz A es igual PAG. Además, para un sistema con una matriz cuadrada, es decir, si PAG = t, las igualdades son equivalentes al hecho de que .
Si el sistema es incierto, es decir, se ejecuta, entonces algunas de sus incógnitas se declaran libres y el resto se expresa a través de ellas. El número de incógnitas libres es 
. Al realizar el método inverso de Gauss, si en la siguiente ecuación, después de sustituir las variables encontradas anteriormente, queda más de una incógnita, entonces todas las incógnitas, excepto una, se declaran incógnitas libres.
Veamos la implementación del método Gauss usando ejemplos.
Ejemplo 4. Resuelve el sistema de ecuaciones. 
Solución. Resolvamos el sistema usando el método gaussiano. Escribamos la matriz extendida del sistema y reduzcámosla a una forma escalonada mediante transformaciones de filas elementales (movimiento directo).
~ 
~ 
~
~ 
~ 
.
Por tanto, el sistema es consistente y tiene una solución única, es decir es seguro.
Creemos un sistema paso a paso y resolvámoslo (al revés).
La verificación se puede realizar fácilmente mediante sustitución.
Respuesta: .
Tema 2. Álgebra vectorial.
Proyección de un vector sobre un eje.
Definición 2. Proyección vectorial por eje yo es un número igual a la longitud del segmento AB este eje, encerrado entre las proyecciones del inicio y final del vector, tomado con el signo “+”, si el segmento AB orientado (contando desde A A EN) V. lado positivo ejes yo y el signo “-” - en caso contrario (ver Fig. 2).
Designación: .
Teorema 1. La proyección de un vector sobre el eje es igual al producto de su módulo por el coseno del ángulo entre el vector y la dirección positiva del eje (Fig.3):
. (1)
  Fig. 3. Fig.4. |
Prueba. De (Fig. 3) obtenemos . La dirección del segmento coincide con la dirección positiva del eje, por lo tanto la igualdad es verdadera. En el caso de la orientación opuesta (Fig. 4) tenemos . El teorema está demostrado.
Consideremos las propiedades de las proyecciones.
Propiedad 1. La proyección de la suma de dos vectores y sobre el eje es igual a la suma de sus proyecciones sobre el mismo eje, es decir.
 Fig.5. |
La prueba en el caso de una de las posibles disposiciones de vectores se desprende de la Figura 5. De hecho, por definición 2
La propiedad 1 es cierta para cualquier número finito de términos de vectores.
Propiedad 2. Cuando un vector se multiplica por un número l, su proyección se multiplica por este número
. (2)
Demostremos la igualdad (2). Cuando los vectores y forman el mismo ángulo con el eje. Por el teorema 1
Cuando los vectores y forman ángulos y con el eje, respectivamente. Teorema 1
Para , obtenemos la igualdad obvia
Corolario de propiedades 1 y 2. La proyección de una combinación lineal de vectores es igual a la misma combinación lineal de las proyecciones de estos vectores, es decir
Tema 1. Matrices y sistemas
Concepto de matriz
Definición 1.Matriz El tamaño es una tabla rectangular de números o expresiones alfabéticas escritas en la forma.
.
Aquí, a i j (i=1,2,...,metro; j=1,2,...norte) - elementos de la matriz, i- número de línea, j- número de columna. Las matrices generalmente se indican con letras mayúsculas. alfabeto latino A, B, C, etc., así como o . En m=n la matriz se llama cuadrado matriz de orden norte.
Una matriz cuadrada en la que todos los elementos tienen índices desiguales. i¹j son iguales a cero, se llama diagonal:
Si todos los elementos distintos de cero de una matriz diagonal son iguales a uno, entonces la matriz se llama soltero. La matriz identidad suele denotarse con la letra E.
Una matriz cuyos elementos son todos cero se llama nulo y se denota por θ.
También hay matrices que constan de una fila o una columna.
- fila de matriz; - columna de matriz.
La característica numérica de una matriz cuadrada es determinante(o determinante).
Determinantes de segundo y tercer orden, sus propiedades.
Determinantes de segundo orden
Definición 2.
ACERCA DE limitador de segundo orden matrices (o simplemente un determinante de segundo orden) es un número denotado por un símbolo y definido por la igualdad , eso es
. (3)
Otras denominaciones: , .
Para encontrar el determinante de una matriz, es necesario utilizar fórmulas que sean válidas para determinantes de segundo y tercer orden.
Fórmula
Sea una matriz de segundo orden $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $. Entonces su determinante se calcula mediante la fórmula:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$
Del producto de los elementos ubicados en la diagonal principal $ a_(11)\cdot a_(22) $ se resta el producto de los elementos ubicados en la diagonal secundaria $ a_(12)\cdot a_(21) $. Esta regla es cierta sólo (!) para un determinante de segundo orden.
Si se da una matriz de tercer orden $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, entonces su determinante debe calcularse usando la fórmula:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatriz) = $$
$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$
Ejemplos de soluciones
| Ejemplo 1 |
| Sea una matriz $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $ Calcule su determinante. |
| Solución |
|
¿Cómo encontrar el determinante de una matriz? Prestemos atención a que la matriz es cuadrada de segundo orden, es decir, el número de columnas es igual al número de filas y contienen 2 elementos cada una. Por tanto, apliquemos la primera fórmula. Multipliquemos los elementos de la diagonal principal y les restemos el producto de los elementos de la diagonal secundaria: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrás ver el progreso del cálculo y obtener información. ¡Esto te ayudará a obtener tu calificación de tu maestro de manera oportuna! |
| Respuesta |
| $$ \Delta = -2 $$ |
| Ejemplo 2 |
| Dada una matriz $ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $. Necesitamos calcular el determinante. |
| Solución |
|
Dado que el problema es una matriz cuadrada de tercer orden, el determinante debe encontrarse utilizando la segunda fórmula. Para simplificar la solución del problema, basta con sustituir los valores de la matriz de nuestro problema en lugar de $ a_(ij) $ variables en la fórmula: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Vale la pena señalar que cuando encontramos los productos de elementos en la diagonal secundaria y similares, se coloca un signo menos delante de los productos. |
| Respuesta |
| $$ \Delta = 31 $$ |
Definición 6. El determinante de tercer orden correspondiente a la matriz del sistema (1.4) es el número D igual a
Para calcular el determinante de tercer orden se utilizan dos esquemas computacionales que permiten calcular los determinantes de tercer orden sin muchos problemas. Estos esquemas se conocen como " regla del triangulo" (o "regla del asterisco") y " regla de sarrus ".
Según la regla del triángulo, los elementos conectados por líneas en el diagrama primero se multiplican y suman.
aquellos. obtenemos la suma de los productos: un 11 un 22 un 33 + un 12 un 23 un 31 + un 21 un 13 un 32.
Tenga en cuenta que los elementos conectados por una línea, recta o discontinua, se multiplican y luego se suman los productos resultantes.
Luego los elementos conectados en el diagrama se multiplican y suman.
aquellos. obtenemos otra suma de productos un 13 un 22 un 31 + un 12 un 21 un 33 + un 11 un 23 un 32. Y finalmente, para calcular el determinante, a la primera suma se le resta el segundo. Luego finalmente obtenemos la fórmula para calcular el determinante de tercer orden:
D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).
Según la regla de Sarrus, las dos primeras columnas se suman al determinante de la derecha, y luego se calcula la suma de los productos de los elementos del determinante en una dirección y la suma de los productos de los elementos en la otra dirección. se le resta (ver diagrama):
Puedes estar seguro de que el resultado será el mismo que cuando calculas el determinante usando la regla del triángulo.
Ejemplo. Calcular determinante
Solución. Calculemos el determinante usando la regla del asterisco.
Y según la regla de Sarrus
Aquellos. Obtenemos el mismo resultado para ambos esquemas computacionales, como se esperaba.
Tenga en cuenta que todas las propiedades formuladas para determinantes de segundo orden son válidas para determinantes de tercer orden, como puede comprobarlo usted mismo. Con base en estas propiedades, formulamos propiedades generales para determinantes de cualquier orden.
Determinante una matriz cuadrada es un número que se calcula de la siguiente manera:
a) Si el orden de una matriz cuadrada es 1, es decir consta de 1 número, entonces el determinante es igual a este número;
b) Si el orden de una matriz cuadrada es 2, es decir consta de 4 números, entonces el determinante es igual a la diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de los elementos de la diagonal secundaria;
c) Si el orden de una matriz cuadrada es 3, es decir consta de 9 números, entonces el determinante igual a la suma los productos de los elementos de la diagonal principal y dos triángulos paralelos a esta diagonal, de donde se restó la suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y dos triángulos paralelos a esta diagonal.
Ejemplos
Propiedades de los determinantes
1. El determinante no cambiará si las filas se reemplazan por columnas y las columnas por filas.
- Un determinante que tiene 2 series idénticas es igual a cero.
- El factor común de cualquier fila (fila o columna) del determinante se puede sacar del signo del determinante.
4. Al reorganizar dos series paralelas, el determinante cambia de signo al opuesto
5. Si los elementos de cualquier serie de un determinante son sumas de dos términos, entonces el determinante se puede expandir a la suma de dos determinantes correspondientes.
6. El determinante no cambiará si los elementos correspondientes de una serie paralela se suman a los elementos de una serie, multiplicados por cualquier número.
Elemento menor del determinante y su complemento algebraico
Elemento menor a IJ El determinante de orden n es un determinante de orden n-1 obtenido del original tachando la fila i y la columna j.
Complemento algebraico del elemento a IJ determinante es su menor multiplicado por (-1) i+ j
Ejemplo
matriz inversa
La matriz se llama no degenerado, si su determinante no es igual a cero, en caso contrario, la matriz se llama singular
La matriz se llama Unión, si consta de los complementos algebraicos correspondientes y se transpone
La matriz se llama contrarrestar a una matriz dada si su producto es igual a la matriz identidad del mismo orden que la matriz dada
Teorema de existencia matriz inversa
Cualquier matriz no singular tiene una inversa igual a la matriz aliada dividida por el determinante de esta matriz
Algoritmo para encontrar la matriz inversa A
- Calcular determinante
- Transponer matriz
- Construya una matriz de unión, calcule todos los complementos algebraicos de la matriz transpuesta
- Usa la fórmula:
Matriz menor es un determinante que consta de elementos ubicados en la intersección de k filas y k columnas seleccionadas de una matriz dada de tamaño mxn
rango de matriz es el orden más alto de la matriz menor que es distinto de cero
Notación r(A), rangoA
Rango es igual al número de filas distintas de cero de la matriz de pasos.
Ejemplo
Sistemas ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales que contiene m ecuaciones yn incógnitas se llama sistema de la forma
donde estan los numeros a IJ - coeficientes del sistema, números b i - términos libres
Formulario de grabación matricial sistemas de ecuaciones lineales
Solución del sistema Se llaman n valores de incógnitas c 1, c 2,…, c n, al sustituirlos en el sistema, todas las ecuaciones del sistema se convierten en verdaderas igualdades. La solución del sistema se puede escribir como un vector columna.
El sistema de ecuaciones se llama articulación, si tiene al menos una solución, y no conjunto, si no hay soluciones.
Teorema de Kronecker-Capelli
Un sistema LU es consistente si y sólo si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida
Métodos para resolver un sistema LU.
1. método de gauss(usando transformaciones elementales, reduzca la matriz extendida a una matriz escalonada y luego a una canónica)
Las transformaciones elementales incluyen:
Reorganizar filas (columnas)
Sumar a una fila (columna) otra, multiplicada por un número distinto de 0.
Creemos una matriz expandida:
Seleccionemos el elemento principal en la primera columna y la primera fila, elemento 1, y llamémoslo principal. La línea que contiene el elemento principal no cambiará. Restablezcamos los elementos debajo de la diagonal principal. Para hacer esto, agregue la primera línea a la segunda línea, multiplicada por (-2). Sumamos la primera línea a la tercera línea, multiplicada por (-1), obtenemos:
Intercambiemos la segunda y tercera línea. Tacha mentalmente la primera columna y la primera fila y continúa el algoritmo para la matriz restante. A la tercera línea le sumamos la 2da, multiplicada por 5.
Llevamos la matriz extendida a una forma escalonada. Volviendo a las ecuaciones del sistema, comenzando desde la última línea y subiendo, determinamos las incógnitas una por una.
2. método matricial (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; matriz inversa a la matriz principal multiplicada por la columna de términos libres)
3. El método de Cramer.
La solución del sistema se encuentra mediante la fórmula:
¿Dónde está el determinante de la matriz principal modificada, en la que la i-ésima columna se cambia a una columna de términos libres, y es el determinante principal, formado por los coeficientes de las incógnitas?
Vectores.
Vector es un segmento dirigido
Cualquier vector viene dado por la longitud (módulo) y la dirección.
Designación: o
donde A es el comienzo del vector, B es el final del vector y es la longitud del vector.
Clasificación de vectores
vector cero es un vector cuya longitud es cero
Vector unitario es un vector cuya longitud es igual a uno
Vectores iguales– estos son dos vectores que tienen la misma longitud y dirección
Vectores opuestos– estos son dos vectores cuyas longitudes son iguales y direcciones opuestas
Vectores colineales– estos son dos vectores que se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas
Codireccional Los vectores son dos vectores colineales con la misma dirección.
dirigido opuestamente los vectores son dos vectores colineales con direcciones opuestas
coplanar Los vectores son tres vectores que se encuentran en el mismo plano o en planos paralelos.
Sistema rectangular Las coordenadas en un plano son dos líneas mutuamente perpendiculares con una dirección y origen seleccionados, con la línea horizontal llamada eje de abscisas y la línea vertical llamada eje de ordenadas.
A cada punto de un sistema de coordenadas rectangular le asignamos dos números: la abscisa y la ordenada.
Sistema rectangular Las coordenadas en el espacio son tres líneas rectas mutuamente perpendiculares con una dirección y origen elegidos, mientras que la línea recta horizontal dirigida hacia nosotros se llama eje de abscisas, la línea recta horizontal dirigida a nuestra derecha es el eje de ordenadas y la línea recta vertical. Dirigido hacia arriba se llama eje de aplicación.
A cada punto de un sistema de coordenadas rectangular le asignamos tres números: abscisa, ordenada y aplicación.
