Como ejemplo concreto de un cuerpo que gira alrededor de un eje, consideremos el movimiento de los péndulos.
Un péndulo físico se llama sólido, teniendo un eje de rotación horizontal alrededor del cual realiza movimientos oscilatorios bajo la influencia de su peso (Fig. 119).
La posición del péndulo está completamente determinada por el ángulo de su desviación de la posición de equilibrio y, por lo tanto, para determinar la ley del movimiento del péndulo, basta con encontrar la dependencia de este ángulo con el tiempo.
Ecuación de la forma:
se llama ecuación (ley) del movimiento de un péndulo. Depende de las condiciones iniciales, es decir, del ángulo y de la velocidad angular.
El caso límite de un péndulo físico es el péndulo matemático, que representa (como se indicó anteriormente, capítulo 2, § 3) un punto material conectado al eje horizontal alrededor del cual gira mediante una varilla rígida e ingrávida (Fig. 120). La distancia de un punto material al eje de rotación se llama longitud de un péndulo matemático.
Ecuaciones de movimiento de péndulos físicos y matemáticos.
Elijamos un sistema de ejes de coordenadas de modo que el plano xy pase por el centro de gravedad del cuerpo C y coincida con el plano de oscilación del péndulo, como se muestra en el dibujo (Fig. 119). Dirijamos el eje perpendicular al plano de dibujo hacia nosotros. Luego, con base en los resultados del párrafo anterior, escribimos la ecuación de movimiento de un péndulo físico en la forma:
donde a través denota el momento de inercia del péndulo con respecto a su eje de rotación y
Por lo tanto puedes escribir:
La fuerza activa que actúa sobre el péndulo es su peso, cuyo momento con respecto al eje del peso será:
donde es la distancia desde el eje de rotación del péndulo a su centro de masa C.
En consecuencia, llegamos a la siguiente ecuación de movimiento de un péndulo físico:
Dado que un péndulo matemático es un caso especial de uno físico, lo escrito anteriormente ecuación diferencial Esto también es válido para un péndulo matemático. Si la longitud de un péndulo matemático es igual a y su peso, entonces su momento de inercia con respecto al eje de rotación es igual a
Dado que la distancia del centro de gravedad de un péndulo matemático al eje es igual, la ecuación diferencial final de movimiento de un péndulo matemático se puede escribir en la forma:
Longitud reducida de un péndulo físico.
Comparando las ecuaciones (16.8) y (16.9), podemos concluir que si los parámetros de los péndulos físicos y matemáticos están relacionados por la relación
entonces las leyes del movimiento de los péndulos físicos y matemáticos son las mismas (en las mismas condiciones iniciales).
La última relación indica la longitud que debe tener un péndulo matemático para poder moverse de la misma manera que el correspondiente péndulo físico. Esta longitud se llama longitud reducida del péndulo físico. El significado de este concepto es que el estudio del movimiento de un péndulo físico puede ser sustituido por el estudio del movimiento de un péndulo matemático, que es un circuito mecánico simple.
La primera integral de la ecuación de movimiento de un péndulo.
Las ecuaciones de movimiento de los péndulos físicos y matemáticos tienen la misma forma, por lo tanto, la ecuación de su movimiento será
Dado que la única fuerza que se tiene en cuenta en esta ecuación es la fuerza de gravedad perteneciente al campo de fuerza potencial, se cumple la ley de conservación de la energía mecánica.
Este último se puede obtener truco sencillo, multipliquemos la ecuación (16.10) por entonces
Integrando esta ecuación obtenemos
Determinando la constante de integración Cu a partir de las condiciones iniciales, encontramos
Resolviendo la última ecuación para relativo obtenemos
Esta relación representa la primera integral de la ecuación diferencial (16.10).
Determinación de reacciones de apoyo de péndulos físicos y matemáticos.
La primera integral de las ecuaciones de movimiento nos permite determinar las reacciones de apoyo de los péndulos. Como se indicó en el párrafo anterior, las reacciones en los apoyos se determinan a partir de las ecuaciones (16.5). En el caso de un péndulo físico, las componentes de la fuerza activa a lo largo de los ejes de coordenadas y sus momentos con respecto a los ejes serán:
Las coordenadas del centro de masa están determinadas por las fórmulas:
Entonces las ecuaciones para determinar las reacciones de los soportes toman la forma:
Se deben conocer los momentos centrífugos de inercia del cuerpo y las distancias entre apoyos según las condiciones del problema. aceleración angular en y velocidad angularñ se determinan a partir de las ecuaciones (16.9) y (16.4) en la forma:
Por tanto, las ecuaciones (16.12) determinan completamente las componentes de las reacciones en los soportes de un péndulo físico.
Las ecuaciones (16.12) se simplifican aún más si consideramos un péndulo matemático. De hecho, dado que el punto material de un péndulo matemático está ubicado en el plano, además, dado que un punto es fijo, entonces, en consecuencia, las ecuaciones (16.12) se convierten en ecuaciones de la forma:
De las ecuaciones (16.13) utilizando la ecuación (16.9) se deduce que la reacción del soporte se dirige a lo largo del hilo I (Fig. 120). Este último es un resultado obvio. En consecuencia, proyectando las componentes de las igualdades (16.13) en la dirección del hilo, encontramos una ecuación para determinar la reacción del soporte de la forma (Fig.120):
Sustituyendo aquí el valor y teniendo en cuenta que escribimos:
La última relación determina la respuesta dinámica de un péndulo matemático. Tenga en cuenta que su reacción estática será
Estudio cualitativo de la naturaleza del movimiento de un péndulo.
La primera integral de la ecuación de movimiento de un péndulo nos permite realizar un estudio cualitativo de la naturaleza de su movimiento. Es decir, escribimos esta integral (16.11) en la forma:
Durante el movimiento, la expresión radical debe ser positiva o desaparecer en algunos puntos. Supongamos que las condiciones iniciales son tales que
En este caso, la expresión radical no desaparece por ningún lado. En consecuencia, al moverse, el péndulo recorrerá todos los valores del ángulo y la velocidad angular del péndulo tiene el mismo signo, que está determinado por la dirección de la velocidad angular inicial, o el ángulo aumentará todos los tiempo o disminuirá todo el tiempo, es decir, el péndulo girará hacia un lado.
Las direcciones de movimiento corresponderán a uno u otro signo en la expresión (16.11). Una condición necesaria La realización de tal movimiento es la presencia de una velocidad angular inicial, ya que de la desigualdad (16.14) se desprende claramente que si en cualquier ángulo de desviación inicial es imposible obtener tal movimiento del péndulo.
Sean ahora las condiciones iniciales tales que
En este caso, existen dos valores de ángulo en los que la expresión radical se vuelve cero. Que correspondan a los ángulos definidos por la igualdad.
Además, estará en algún lugar en el rango de 0 a . Además, es obvio que cuando
la expresión radical (16.11) será positiva y por excederla arbitrariamente poco será negativa.
En consecuencia, cuando el péndulo se mueve, su ángulo cambia en el rango:
Cuando la velocidad angular del péndulo llega a cero y el ángulo comienza a disminuir hasta el valor . En este caso, cambiará el signo de la velocidad angular o el signo delante del radical en la expresión (16.11). Cuando la velocidad angular del péndulo vuelve a llegar a cero y el ángulo comienza nuevamente a aumentar hasta el valor
Así, el péndulo realizará movimientos oscilatorios.
Amplitud de las oscilaciones del péndulo.
Cuando un péndulo oscila, la magnitud máxima de su desviación de la vertical se llama amplitud de oscilación. Es igual a lo que se determina a partir de la igualdad.
Como se desprende de la última fórmula, la amplitud de la oscilación depende de los datos iniciales de las características principales del péndulo o de su longitud reducida.
En el caso particular, cuando el péndulo se desvía de la posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial, entonces será igual a , por lo tanto, la amplitud no depende de la longitud reducida.
Ecuación de movimiento de un péndulo en forma final.
Sea la velocidad inicial del péndulo cero, entonces la primera integral de su ecuación de movimiento será:
Integrando esta ecuación encontramos
Contaremos el tiempo desde la posición del péndulo, correspondiente entonces
Transformemos el integrando usando la fórmula:
Entonces obtenemos:
La integral resultante se llama integral elíptica de primer tipo. No se puede expresar utilizando un número finito de funciones elementales.
La inversión de la integral elíptica (16.15) con respecto a su límite superior representa la ecuación de movimiento del péndulo:
Ésta será la bien estudiada función elíptica de Jacobi.
Período de oscilación del péndulo.
El tiempo necesario para una oscilación completa de un péndulo se llama período de oscilación. Denotémoslo T. Dado que el tiempo de movimiento del péndulo de una posición a otra es el mismo que el tiempo de movimiento desde entonces T estará determinado por la fórmula:
Hagamos un cambio de variables poniendo
Al variar de 0 a cambiará de 0 a . Más,
y por lo tanto
La última integral se llama integral elíptica completa del primer tipo (sus valores se dan en tablas especiales).
Cuando el integrando tiende a la unidad y .
Fórmulas aproximadas para pequeñas oscilaciones de un péndulo.
En el caso de que las oscilaciones del péndulo tengan una amplitud pequeña (prácticamente no deben exceder los 20°), se puede poner
Entonces la ecuación diferencial del movimiento del péndulo toma la forma:
Péndulo matemático
Introducción
Periodo de oscilación
conclusiones
Literatura
Introducción
Ahora ya no es posible verificar la leyenda sobre cómo Galileo, de pie en oración en la catedral, observaba atentamente el balanceo de los candelabros de bronce. Observé y determiné el tiempo que pasaba la lámpara moviéndose hacia adelante y hacia atrás. Este tiempo se denominó más tarde período de oscilación. Galileo no tenía reloj y, para comparar el período de oscilación de los candelabros suspendidos de cadenas de diferentes longitudes, utilizó la frecuencia de su pulso.
Los péndulos se utilizan para ajustar la velocidad de los relojes, ya que cualquier péndulo tiene un período de oscilación muy específico. El péndulo también encuentra aplicación importante en exploración geológica. Se sabe que en diferentes lugares del mundo los valores gramo son diferentes. Se diferencian porque la Tierra no es una esfera completamente regular. Además, en áreas donde se encuentran rocas densas, como algunos minerales metálicos, el valor gramo anormalmente alto. Medidas precisas gramo Con la ayuda de un péndulo matemático a veces es posible detectar dichos depósitos.
Ecuación de movimiento de un péndulo matemático.
Un péndulo matemático es un punto material pesado que se mueve a lo largo de un círculo vertical (péndulo matemático plano) o a lo largo de una esfera (péndulo esférico). En una primera aproximación, un péndulo matemático puede considerarse una pequeña carga suspendida de un hilo flexible inextensible.
Consideremos el movimiento de un péndulo matemático plano a lo largo de un círculo de radio yo centrado en un punto ACERCA DE(Figura 1). Determinaremos la posición del punto. METRO(péndulo) ángulo de desviación j radio om desde la vertical. Dirigir una tangente METRO t hacia el ángulo positivo j, componeremos una ecuación natural de movimiento. Esta ecuación se forma a partir de la ecuación de movimiento.
mW=F+norte, (1)
Dónde F es la fuerza activa que actúa sobre el punto, y norte- reacción de comunicación.
Foto 1
Obtuvimos la ecuación (1) de acuerdo con la segunda ley de Newton, que es la ley fundamental de la dinámica y establece que la derivada del momento del momento de un punto material es igual a la fuerza que actúa sobre él, es decir
Suponiendo que la masa es constante, podemos representar la ecuación anterior en la forma
Dónde W. es la aceleración del punto.
Entonces, la ecuación (1) en proyección sobre el eje t nos dará una de las ecuaciones naturales para el movimiento de un punto a lo largo de una curva suave fija dada:
En nuestro caso, obtenemos en proyección sobre el eje t
,
Dónde metro hay una masa del péndulo.
Desde o , desde aquí encontramos
.
Reducir por metro y creyendo
, (3)
finalmente tendremos:
,
,
,
. (4)
Consideremos primero el caso de pequeñas oscilaciones. Dejar entrar momento inicial el péndulo se desvía de la vertical un ángulo j y baja sin velocidad inicial. Entonces las condiciones iniciales serán:
en t= 0, 
. (5)
De la integral de energía:
, (6)
Dónde V- energía potencial, y h es la constante de integración, se deduce que bajo estas condiciones en cualquier momento el ángulo jЈj 0 . Valor constante h determinado a partir de los datos iniciales. Supongamos que el ángulo j 0 es pequeño (j 0 Ј1); entonces el ángulo j también será pequeño y podremos establecer aproximadamente senj»j. En este caso, la ecuación (4) tomará la forma
. (7)
La ecuación (7) es la ecuación diferencial de una oscilación armónica simple. decisión común esta ecuación tiene la forma
, (8)
Dónde A Y B o a y e son constantes de integración.
A partir de aquí encontramos inmediatamente el período ( t) pequeñas oscilaciones de un péndulo matemático (período: el período de tiempo durante el cual el punto vuelve a su posición anterior con la misma velocidad)
Y 
,
porque sin tiene un período igual a 2p, entonces w t=2p yu
(9)
Para encontrar la ley del movimiento en condiciones iniciales (5), calculamos:
. (10)
Sustituyendo los valores (5) en las ecuaciones (8) y (10), obtenemos:
j 0 = A, 0 = w B,
aquellos. B=0. En consecuencia, la ley del movimiento para pequeñas oscilaciones en las condiciones (5) será:
j = j 0 porque peso. (once)
Encontremos ahora la solución exacta al problema del péndulo matemático plano. Primero determinemos la primera integral de la ecuación de movimiento (4). Porque
,
entonces (4) se puede representar como
.
Por lo tanto, multiplicar ambos lados de la ecuación por d j e integrando obtenemos:
. (12)
Denotemos aquí j 0 el ángulo de máxima desviación del péndulo; entonces para j = j 0 tendremos, de donde C= w 2 cosj 0 . Como resultado, la integral (12) da:
, (13)
donde w está determinado por la igualdad (3).
Esta integral es la integral de energía y se puede obtener directamente de la ecuación
, (14)
¿Dónde está el trabajo de mudanza? METRO 0 METRO fuerza activa F, si tenemos en cuenta que en nuestro caso v 0 =0, y (ver figura).
De la ecuación (13) se desprende claramente que cuando el péndulo se mueve, el ángulo j cambiará entre los valores +j 0 y -j 0 (|j|Јj 0, desde), es decir el péndulo realizará un movimiento oscilatorio. Acordemos contar el tiempo. t desde el momento en que el péndulo pasa por la vertical O.A. cuando se mueve hacia la derecha (ver figura). Entonces tendremos la condición inicial:
en t=0,j=0. (15)
Además, al desplazarse desde un punto A voluntad ; derivando de ambos lados igualdades (13) Raíz cuadrada, obtenemos:
.
Separando las variables aquí, tenemos:
. (16)
, 
,
Eso
.
Sustituyendo este resultado en la ecuación (16), obtenemos.
Movimiento oscilatorio- movimiento periódico o casi periódico de un cuerpo, cuyas coordenadas, velocidad y aceleración, en intervalos de tiempo iguales, adquieren aproximadamente los mismos valores.
Las vibraciones mecánicas ocurren cuando, cuando un cuerpo se saca de una posición de equilibrio, aparece una fuerza que tiende a devolver el cuerpo hacia atrás.
El desplazamiento x es la desviación del cuerpo de la posición de equilibrio.
La amplitud A es el módulo del desplazamiento máximo del cuerpo.
Período de oscilación T - tiempo de una oscilación:
Frecuencia de oscilación
El número de oscilaciones realizadas por un cuerpo por unidad de tiempo: durante las oscilaciones, la velocidad y la aceleración cambian periódicamente. En la posición de equilibrio, la velocidad es máxima y la aceleración es cero. En los puntos de máximo desplazamiento, la aceleración alcanza un máximo y la velocidad se vuelve cero.
HORARIO DE VIBRACIÓN ARMÓNICA
Armónico Las vibraciones que se producen según la ley del seno o del coseno se denominan:
donde x(t) es el desplazamiento del sistema en el tiempo t, A es la amplitud, ω es la frecuencia cíclica de las oscilaciones.
Si trazas la desviación del cuerpo desde la posición de equilibrio a lo largo del eje vertical y el tiempo a lo largo del eje horizontal, obtendrás una gráfica de oscilación x = x(t), la dependencia del desplazamiento del cuerpo con el tiempo. Para oscilaciones armónicas libres, es una onda sinusoidal o una onda coseno. La figura muestra gráficas de la dependencia del desplazamiento x, las proyecciones de velocidad V x y la aceleración a x con el tiempo.
Como se puede ver en los gráficos, con el desplazamiento máximo x, la velocidad V del cuerpo oscilante es cero, la aceleración a, y por tanto la fuerza que actúa sobre el cuerpo, es máxima y está dirigida en sentido opuesto al desplazamiento. En la posición de equilibrio, el desplazamiento y la aceleración se vuelven cero y la velocidad es máxima. La proyección de la aceleración siempre tiene el signo opuesto al desplazamiento.
ENERGÍA DEL MOVIMIENTO VIBRACIONAL
La energía mecánica total de un cuerpo oscilante es igual a la suma de sus energías cinética y potencial y, en ausencia de fricción, permanece constante:
En el momento en que el desplazamiento alcanza un máximo x = A, la velocidad y con ella la energía cinética llegan a cero.
En este caso, la energía total es igual a la energía potencial:
La energía mecánica total de un cuerpo oscilante es proporcional al cuadrado de la amplitud de sus oscilaciones.
Cuando el sistema pasa por la posición de equilibrio, el desplazamiento y la energía potencial son cero: x = 0, E p = 0. Por tanto, la energía total es igual a la energía cinética:
La energía mecánica total de un cuerpo oscilante es proporcional al cuadrado de su velocidad en la posición de equilibrio. Por eso:
PÉNDULO MATEMÁTICO
1. Péndulo matemático es un punto material suspendido de un hilo ingrávido e inextensible.
En la posición de equilibrio, la fuerza de gravedad se compensa con la tensión del hilo. Si el péndulo se desvía y se suelta, las fuerzas dejarán de compensarse entre sí y surgirá una fuerza resultante dirigida hacia la posición de equilibrio. Segunda ley de Newton:
Para oscilaciones pequeñas, cuando el desplazamiento x es mucho menor que l, el punto material se moverá casi a lo largo eje horizontal X. Luego del triángulo MAB obtenemos:
Porque sen a = x/l, entonces la proyección de la fuerza resultante R sobre el eje x es igual a
El signo menos muestra que la fuerza R siempre está dirigida en sentido opuesto al desplazamiento x.
2. Entonces, durante las oscilaciones de un péndulo matemático, así como durante las oscilaciones de un péndulo de resorte, la fuerza de recuperación es proporcional al desplazamiento y se dirige en la dirección opuesta.
Comparemos las expresiones para la fuerza restauradora de los péndulos matemáticos y de resorte:
Se puede observar que mg/l es un análogo de k. Reemplazar k por mg/l en la fórmula para el período de un péndulo de resorte
obtenemos la fórmula para el período de un péndulo matemático:
El período de pequeñas oscilaciones de un péndulo matemático no depende de la amplitud.
Un péndulo matemático se utiliza para medir el tiempo y determinar la aceleración de la gravedad en un lugar determinado de la superficie terrestre.
Las oscilaciones libres de un péndulo matemático en pequeños ángulos de desviación son armónicas. Ocurren debido a la fuerza de gravedad resultante y la fuerza de tensión del hilo, así como a la inercia de la carga. La resultante de estas fuerzas es la fuerza restauradora.
Ejemplo. Determine la aceleración debida a la gravedad en un planeta donde un péndulo de 6,25 m de largo tiene un período de oscilación libre de 3,14 s.
El período de oscilación de un péndulo matemático depende de la longitud del hilo y de la aceleración de la gravedad:
Al elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad, obtenemos:
Respuesta: la aceleración de la gravedad es 25 m/s 2 .
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¿Qué es un péndulo matemático?
De lecciones anteriores ya deberías saber que por péndulo, por regla general, se entiende un cuerpo que oscila bajo la influencia de la interacción gravitacional. Es decir, podemos decir que en física generalmente se considera por este concepto a un cuerpo sólido que, bajo la influencia de la gravedad, realiza movimientos oscilatorios que se producen alrededor de un punto o eje fijo.
Principio de funcionamiento de un péndulo matemático.
Ahora veamos el principio de funcionamiento de un péndulo matemático y descubramos qué es.
El principio de funcionamiento de un péndulo matemático es que cuando un punto material se desvía de la posición de equilibrio en un pequeño ángulo a, es decir, un ángulo en el que se cumpliría la condición sina=a, entonces se aplica una fuerza F = -mgsina = - mga actuará sobre el cuerpo.
Tú y yo vemos que la fuerza F tiene indicador negativo, y de esto se deduce que el signo menos nos dice que esta fuerza está dirigida en la dirección opuesta al desplazamiento. Y dado que la fuerza F es proporcional al desplazamiento S, se deduce que bajo la influencia de tal fuerza el punto material realizará oscilaciones armónicas.
Propiedades de un péndulo
Si tomamos cualquier otro péndulo, su período de oscilación depende de muchos factores. Estos factores incluyen:
En primer lugar, el tamaño y la forma del cuerpo;
En segundo lugar, la distancia que existe entre el punto de suspensión y el centro de gravedad;
En tercer lugar, también la distribución del peso corporal con respecto a un punto determinado.
En relación con estas diversas circunstancias de los péndulos, determinar el período de un cuerpo suspendido es bastante difícil.
Y si tomamos un péndulo matemático, entonces tiene todas esas propiedades que se pueden probar utilizando métodos conocidos. leyes fisicas y su período se puede calcular fácilmente mediante la fórmula.
Después de haber realizado muchas observaciones diferentes de estos sistemas mecánicos, los físicos pudieron determinar patrones tales como:
En primer lugar, el período del péndulo no depende de la masa de la carga. Es decir, si con la misma longitud del péndulo suspendemos pesos que tienen diferentes masas, entonces el período de sus oscilaciones seguirá siendo el mismo, incluso si sus masas tienen diferencias bastante notables.
En segundo lugar, si al iniciar el sistema desviamos el péndulo en ángulos pequeños pero diferentes, entonces sus oscilaciones tendrán el mismo período, pero las amplitudes serán diferentes. Con pequeñas desviaciones del centro de equilibrio, las vibraciones en su forma tendrán un carácter casi armónico. Es decir, podemos decir que el período de dicho péndulo no depende de la amplitud de las oscilaciones. Traducido del griego, esta propiedad de este sistema mecánico se llama isocronismo, donde "isos" significa igual y "chronos" significa tiempo.
Uso práctico de las oscilaciones del péndulo.
Péndulo matemático para varios estudios utilizado por físicos, astrónomos, topógrafos y otros científicos. Con la ayuda de un péndulo de este tipo buscan minerales. Observando la aceleración de un péndulo matemático y contando el número de sus oscilaciones, se pueden encontrar depósitos de carbón y minerales en las entrañas de nuestra Tierra.
K. Flammarion, el famoso astrónomo y naturalista francés, afirmó que con la ayuda de un péndulo matemático logró lograr muchos descubrimientos importantes, incluida la aparición del meteorito Tunguska y el descubrimiento de un nuevo planeta.
Hoy en día, muchos psíquicos y ocultistas utilizan este sistema mecánico para buscar personas desaparecidas y hacer predicciones proféticas.
Definición
Péndulo matemático- Este caso especial un péndulo físico cuya masa se encuentra en un punto.
Normalmente, se considera que un péndulo matemático es una pequeña bola (punto material) que tiene una gran masa, suspendida de un hilo largo e inextensible (suspensión). Este es un sistema idealizado que oscila bajo la influencia de la gravedad. Sólo para ángulos del orden de 50-100, un péndulo matemático es un oscilador armónico, es decir, realiza oscilaciones armónicas.
Al estudiar la oscilación de una lámpara de araña suspendida de una larga cadena, Galileo estudió las propiedades de un péndulo matemático. Se dio cuenta de que el período de oscilación de un sistema dado no depende de la amplitud en pequeños ángulos de desviación.
Fórmula para el período de oscilación de un péndulo matemático.
Sea estacionario el punto de suspensión del péndulo. Una carga suspendida de un hilo de péndulo se mueve a lo largo de un arco circular (Fig. 1(a)) con aceleración y actúa sobre ella una cierta fuerza restauradora ($\overline(F)$). Esta fuerza cambia a medida que la carga se mueve. Como resultado, el cálculo del movimiento se vuelve complejo. Introduzcamos algunas simplificaciones. Deje que el péndulo oscile no en un plano, sino que describa un cono (Fig. 1 (b)). En este caso, la carga se mueve en círculo. El periodo de las oscilaciones que nos interesan coincidirá con el periodo del movimiento cónico de la carga. El período de revolución de un péndulo cónico alrededor de un círculo es igual al tiempo que tarda la carga en una vuelta alrededor del círculo:
donde $L$ es la circunferencia; $v$ es la velocidad de movimiento de la carga. Si los ángulos de desviación del hilo con respecto a la vertical son pequeños (pequeñas amplitudes de vibración), entonces se supone que la fuerza de recuperación ($F_1$) se dirige a lo largo del radio del círculo que describe la carga. Entonces esta fuerza es igual a la fuerza centrípeta:
Consideremos triangulos semejantes: AOB y DBC (Fig. 1 (b)).
Igualamos los lados derechos de las expresiones (2) y (3), expresando la velocidad de movimiento de la carga:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\left(4\right).\]
Sustituimos la velocidad resultante en la fórmula (1), tenemos:
\ \
De la fórmula (5) vemos que el período de un péndulo matemático depende únicamente de la longitud de su suspensión (la distancia desde el punto de suspensión al centro de gravedad de la carga) y la aceleración de caída libre. La fórmula (5) para el período de un péndulo matemático se llama fórmula de Huygens y se cumple cuando el punto de suspensión del péndulo no se mueve.
Utilizando la dependencia del período de oscilación de un péndulo matemático de la aceleración de la gravedad, se determina la magnitud de esta aceleración. Para ello, mida la longitud del péndulo, considerando un gran número de oscilaciones, encuentre el período $T$ y luego calcule la aceleración de la gravedad.
Ejemplos de problemas con soluciones.
Ejemplo 1
Ejercicio. Como es sabido, la magnitud de la aceleración de la gravedad depende de la latitud. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la latitud de Moscú si el período de oscilación de un péndulo matemático de longitud $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m es igual a T=1 s?\textit()
Solución. Como base para resolver el problema tomamos la fórmula del período de un péndulo matemático:
Expresemos a partir de (1.1) la aceleración de caída libre:
Calculemos la aceleración requerida:
Respuesta.$g=9.81\frac(m)(s^2)$
Ejemplo 2
Ejercicio.¿Cuál será el período de oscilación de un péndulo matemático si el punto de su suspensión se mueve verticalmente hacia abajo 1) con velocidad constante? 2) con aceleración $a$? La longitud del hilo de este péndulo es $l.$
Solución. Hagamos un dibujo.
1) El período de un péndulo matemático cuyo punto de suspensión se mueve uniformemente es igual al período de un péndulo con un punto de suspensión fijo:
2) La aceleración del punto de suspensión del péndulo se puede considerar como la aparición de una fuerza adicional igual a $F=ma$, que se dirige contra la aceleración. Es decir, si la aceleración se dirige hacia arriba, entonces la fuerza adicional se dirige hacia abajo, lo que significa que se suma a la fuerza de gravedad ($mg$). Si el punto de suspensión se mueve con una aceleración hacia abajo, entonces la fuerza adicional se resta de la fuerza de gravedad.
Encontramos el período de un péndulo matemático que oscila y cuyo punto de suspensión se mueve con aceleración como:
Respuesta. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
