El concepto de polinomio.
Definición de polinomio: Un polinomio es la suma de monomios. Ejemplo de polinomio:
aquí vemos la suma de dos monomios, y este es un polinomio, es decir suma de monomios.
Los términos que forman un polinomio se llaman términos del polinomio.
¿La diferencia de monomios es un polinomio? Sí, lo es, porque la diferencia se reduce fácilmente a una suma, ejemplo: 5a – 2b = 5a + (-2b).
Los monomios también se consideran polinomios. Pero un monomio no tiene suma, entonces ¿por qué se considera un polinomio? Y puedes agregarle cero y obtener su suma con un monomio cero. Entonces, un monomio es un caso especial de polinomio; consta de un término;
El número cero es el polinomio cero.
Forma estándar de polinomio
¿Qué es un polinomio de forma estándar? Un polinomio es la suma de monomios, y si todos estos monomios que componen el polinomio se escriben en forma estándar, y no debe haber ninguno similar entre ellos, entonces el polinomio se escribe en forma estándar.
Un ejemplo de polinomio en forma estándar:
aquí el polinomio consta de 2 monomios, cada uno de los cuales tiene una forma estándar entre los monomios no hay monomios similares.
Ahora un ejemplo de un polinomio que no tiene forma estándar:
aquí dos monomios: 2a y 4a son semejantes. Necesitamos sumarlos, entonces el polinomio tomará la forma estándar:
Otro ejemplo:
Este polinomio se reduce a vista estándar? No, su segundo mandato no está escrito en forma estándar. Escribiéndolo en forma estándar, obtenemos un polinomio de forma estándar:
Grado polinomial
¿Cuál es el grado de un polinomio?
Definición de grado polinomial:
El grado de un polinomio es el grado más alto que tienen los monomios que forman un determinado polinomio de forma estándar.
Ejemplo. ¿Cuál es el grado del polinomio 5h? El grado del polinomio 5h es igual a uno, porque este polinomio contiene solo un monomio y su grado es igual a uno.
Otro ejemplo. ¿Cuál es el grado del polinomio 5a 2 h 3 s 4 +1? El grado del polinomio 5a 2 h 3 s 4 + 1 es igual a nueve, porque este polinomio incluye dos monomios, el primer monomio 5a 2 h 3 s 4 tiene el grado más alto y su grado es 9.
Otro ejemplo. ¿Cuál es el grado del polinomio 5? El grado de un polinomio 5 es cero. Entonces, el grado de un polinomio que consta únicamente de un número, es decir sin letras, es igual a cero.
El último ejemplo. ¿Cuál es el grado del polinomio cero, es decir? ¿cero? El grado del polinomio cero no está definido.
En esta lección, recordaremos las definiciones básicas de este tema y consideraremos algunos problemas típicos, a saber, reducir un polinomio a una forma estándar y calcular un valor numérico para valores dados de variables. Resolveremos varios ejemplos en los que se utilizará la reducción a una forma estándar para resolver varios tipos de problemas.
Sujeto:Polinomios. Operaciones aritméticas sobre monomios
Lección:Reducir un polinomio a su forma estándar. Tareas típicas
Recordemos la definición básica: un polinomio es la suma de monomios. Cada monomio que forma parte de un polinomio como término se llama miembro. Por ejemplo:
Binomio;
Polinomio;
Binomio;
Dado que un polinomio consta de monomios, la primera acción con un polinomio se sigue de aquí: es necesario llevar todos los monomios a una forma estándar. Permítanos recordarle que para hacer esto necesita multiplicar todos los factores numéricos (obtener un coeficiente numérico y multiplicar las potencias correspondientes) obtener la parte alfabética. Además, prestemos atención al teorema sobre el producto de potencias: cuando se multiplican potencias, sus exponentes suman.
consideremos operación importante- llevar el polinomio a su forma estándar. Ejemplo:
Comentario: para llevar un polinomio a una forma estándar, es necesario llevar todos los monomios incluidos en su composición a una forma estándar, después de lo cual, si hay monomios similares, y estos son monomios con la misma parte de letras, realice acciones con ellos. .
Entonces, analizamos el primer problema típico: llevar un polinomio a una forma estándar.
Próximo tarea típica- cálculo de un valor específico de un polinomio para valores numéricos dados de las variables incluidas en él. Sigamos viendo el ejemplo anterior y establezcamos los valores de las variables:
Comentario: recordemos que uno elevado a cualquier potencia natural es igual a uno, y cero elevado a cualquier potencia natural es igual a cero, además, recordamos que al multiplicar cualquier número por cero obtenemos cero.
Veamos varios ejemplos de operaciones típicas para reducir un polinomio a una forma estándar y calcular su valor:
Ejemplo 1: llevar a la forma estándar:
Comentario: el primer paso es llevar los monomios a la forma estándar, es necesario llevar el primero, el segundo y el sexto; Segunda acción: traemos términos similares, es decir, realizamos las tareas dadas en ellos. operaciones aritméticas: sumamos el primero con el quinto, el segundo con el tercero, el resto se reescriben sin cambios, ya que no tienen similares.
Ejemplo 2: calcule el valor del polinomio del ejemplo 1 dados los valores de las variables:
Comentario: al calcular, debes recordar que una unidad a cualquier potencia natural es uno; si te resulta difícil calcular potencias de dos, puedes utilizar la tabla de potencias.
Ejemplo 3: en lugar de un asterisco, coloque un monomio de modo que el resultado no contenga una variable:
Comentario: independientemente de la tarea, la primera acción es siempre la misma: llevar el polinomio a una forma estándar. En nuestro ejemplo, esta acción se reduce a traer términos similares. Después de esto, debes volver a leer atentamente la condición y pensar en cómo podemos deshacernos del monomio. Obviamente, para esto necesitas agregarle el mismo monomio, pero con signo opuesto- . A continuación, reemplazamos el asterisco con este monomio y nos aseguramos de que nuestra solución sea correcta.
Al estudiar el tema de los polinomios, vale la pena mencionar por separado que los polinomios se presentan tanto en forma estándar como no estándar. En este caso, el polinomio tipo no estándar puede reducirse a una forma estándar. En realidad, esta pregunta se discutirá en este artículo. Reforcemos las explicaciones con ejemplos con una descripción detallada paso a paso.
Yandex.RTB R-A-339285-1
El significado de reducir un polinomio a su forma estándar.
Profundicemos un poco más en el concepto en sí, la acción: "llevar un polinomio a una forma estándar".
Los polinomios, como cualquier otra expresión, se pueden transformar de manera idéntica. Como resultado, en este caso obtenemos expresiones que son idénticamente iguales a la expresión original.
Definición 1
Reducir el polinomio a la forma estándar.– significa reemplazar el polinomio original con un polinomio igual de forma estándar, obtenido del polinomio original mediante transformaciones idénticas.
Un método para reducir un polinomio a su forma estándar.
Especulemos sobre el tema de exactamente qué transformaciones de identidad llevarán al polinomio a la forma estándar.
Definición 2
Según la definición, cada polinomio de forma estándar consta de monomios de forma estándar y no contiene términos similares. Un polinomio de forma no estándar puede incluir monomios de forma no estándar y términos similares. De lo anterior se deduce naturalmente una regla sobre cómo reducir un polinomio a una forma estándar:
- en primer lugar, los monomios que forman un polinomio dado se reducen a su forma estándar;
- entonces los miembros similares se reducen.
Ejemplos y soluciones
Examinemos en detalle ejemplos en los que reducimos el polinomio a su forma estándar. Seguiremos la regla derivada anteriormente.
Tenga en cuenta que a veces los términos de un polinomio en el estado inicial ya tienen una forma estándar, y lo único que queda es traer términos similares. Sucede que después del primer paso de acciones no existen tales términos, luego nos saltamos el segundo paso. EN casos generales es necesario realizar ambas acciones de la regla anterior.
Ejemplo 1
Se dan polinomios:
5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,
0, 8 + 2 un 3 0, 6 − segundo un segundo 4 segundo 5,
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Es necesario llevarlos a una forma estándar.
Solución
Consideremos primero el polinomio 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : sus miembros tienen una forma estándar, no hay términos similares, lo que significa que el polinomio se especifica en una forma estándar y no se requieren acciones adicionales.
Ahora veamos el polinomio 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Incluye monomios no estándar: 2 · a 3 · 0, 6 y − b · a · b 4 · b 5, es decir Necesitamos llevar el polinomio a su forma estándar, para lo cual el primer paso es transformar los monomios a su forma estándar:
2 · un 3 · 0, 6 = 1, 2 · un 3;
− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , así obtenemos el siguiente polinomio:
0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.
En el polinomio resultante, todos los términos son estándar, no hay términos similares, lo que significa que nuestras acciones para llevar el polinomio a la forma estándar están completas.
Considere el tercer polinomio dado: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8
Llevemos a sus miembros a la forma estándar y obtengamos:
2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .
Vemos que el polinomio contiene miembros similares, traigamos miembros similares:
2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1
Por lo tanto, el polinomio dado 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 toma la forma estándar − x y + 1 .
Respuesta:
5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- el polinomio está establecido como estándar;
0, 8 + 2 un 3 0, 6 − segundo un segundo 4 segundo 5 = 0, 8 + 1, 2 un 3 − un segundo 10;
2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .
En muchos problemas, la acción de reducir un polinomio a una forma estándar es intermedia cuando se busca una respuesta a pregunta hecha. Consideremos este ejemplo.
Ejemplo 2
Se da el polinomio 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Es necesario llevarlo a una forma estándar, indicar su grado y ordenar los términos de un polinomio dado en grados descendentes de la variable.
Solución
Reduzcamos los términos del polinomio dado a la forma estándar:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .
Siguiente paso Aquí hay algunos términos similares:
11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2
Hemos obtenido un polinomio de forma estándar, que nos permite designar el grado del polinomio (igual al grado más alto de sus monomios constituyentes). Evidentemente, el grado requerido es 5.
Todo lo que queda es ordenar los términos en potencias decrecientes de las variables. Para ello, simplemente reorganizamos los términos en el polinomio resultante de forma estándar, teniendo en cuenta el requisito. Así, obtenemos:
z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .
Respuesta:
11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, mientras que el grado de el polinomio – 5; como resultado de ordenar los términos del polinomio en potencias decrecientes de las variables, el polinomio tomará la forma: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
Cualquier fracción decimal se puede escribir como a,bc...·10 k. Estos registros se encuentran a menudo en cálculos científicos. Se cree que trabajar con ellos es incluso más conveniente que con la notación decimal ordinaria.
Hoy aprenderemos cómo convertir cualquier fracción decimal a esta forma. Al mismo tiempo, nos aseguraremos de que dicha entrada ya sea "exagerada" y, en la mayoría de los casos, no proporcione ninguna ventaja.
Primero, una pequeña repetición. Como sabes, las fracciones decimales se pueden multiplicar no solo entre sí, sino también por números enteros ordinarios (ver lección ""). De particular interés es la multiplicación por potencias de diez. Échale un vistazo:
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: 25,81 10; 0,00005 1000; 8,0034 100.
La multiplicación se realiza según el esquema estándar, asignando la parte significativa a cada factor. Describamos brevemente estos pasos:
Para la primera expresión: 25,81 10.
- Partes significativas: 25,81 → 2581 (desplazamiento a la derecha 2 dígitos); 10 → 1 (desplazamiento a la izquierda 1 dígito);
- Multiplicar: 2581 · 1 = 2581;
- Desplazamiento total: a la derecha de 2 − 1 = 1 dígito. Realizamos un desplazamiento inverso: 2581 → 258.1.
Para la segunda expresión: 0,00005 1000.
- Partes significativas: 0,00005 → 5 (desplazamiento a la derecha 5 dígitos); 1000 → 1 (desplazamiento a la izquierda 3 dígitos);
- Multiplicar: 5 · 1 = 5;
- Desplazamiento total: a la derecha de 5 − 3 = 2 dígitos. Realizamos el desplazamiento inverso: 5 → .05 = 0.05.
Última expresión: 8,0034 100.
- Partes importantes: 8.0034 → 80034 (desplazamiento a la derecha 4 dígitos); 100 → 1 (desplazamiento a la izquierda 2 dígitos);
- Multiplicar: 80.034 · 1 = 80.034;
- Desplazamiento total: a la derecha de 4 − 2 = 2 dígitos. Realizamos un desplazamiento inverso: 80.034 → 800,34.
Reescribamos un poco los ejemplos originales y compárelos con las respuestas:
- 25,81 · 10 1 = 258,1;
- 0,00005·10·3 = 0,05;
- 8,0034 · 10 2 = 800,34.
¿Lo que está sucediendo? Resulta que multiplicar una fracción decimal por el número 10 k (donde k > 0) equivale a desplazar la coma decimal hacia la derecha k lugares. A la derecha, porque el número aumenta.
De manera similar, la multiplicación por 10 −k (donde k > 0) es equivalente a la división por 10 k, es decir desplazamiento de k dígitos hacia la izquierda, lo que conduce a una disminución en el número. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentra el valor de la expresión: 2,73 10; 25.008:10; 1,447:100;
En todas las expresiones, el segundo número es una potencia de diez, por lo que tenemos:
- 2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
- 25,008: 10 = 25,008: 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
- 1,447: 100 = 1,447: 10 2 = 1,447 10 −2 = 0,01447 = 0,01447.
De ello se deduce que la misma fracción decimal se puede escribir numero infinito maneras. Por ejemplo: 137,25 = 13,725 10 1 = 1,3725 10 2 = 0,13725 10 3 = ...
La forma estándar de un número son expresiones de la forma a ,bc ... · 10 k , donde a , b , c , ... son números ordinarios y a ≠ 0. El número k es un número entero.
- 8,25 · 10 4 = 82.500;
- 3,6 10-2 = 0,036;
- 1,075 · 10 6 = 1.075.000;
- 9,8 10−6 = 0,0000098.
Para cada número escrito en forma estándar, junto a él se indica la fracción decimal correspondiente.
Cambiar a vista estándar
El algoritmo para pasar de una fracción decimal ordinaria a una forma estándar es muy simple. Pero antes de usarlo, asegúrese de repasar cuál es la parte significativa de un número (consulte la lección “Multiplicación y división de decimales”). Entonces, el algoritmo:
- Escriba la parte significativa del número original y coloque un punto decimal después del primer dígito significativo;
- Encuentre el desplazamiento resultante, es decir ¿Cuántos lugares se ha movido la coma decimal respecto a la fracción original? Sea este el número k;
- Compara la parte significativa que anotamos en el primer paso con el número original. Si la parte significativa (incluido el punto decimal) es menor que el número original, agregue un factor de 10 k. Si es más, agregue un factor de 10 −k. Esta expresión será la vista estándar.
Tarea. Escribe el número en forma estándar:
- 9280;
- 125,05;
- 0,0081;
- 17 000 000;
- 1,00005.
- 9280 → 9.28. Mueva el punto decimal 3 lugares a la izquierda, el número disminuye (obviamente 9,28< 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
- 125,05 → 1,2505. Desplazamiento: 2 dígitos a la izquierda, el número ha disminuido (1,2505< 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
- 0,0081 → 8,1. Esta vez el desplazamiento fue hacia la derecha de 3 dígitos, por lo que el número aumentó (8,1 > 0,0081). Resultado: 8,1 · 10 −3 ;
- 17000000 → 1,7. El desplazamiento es de 7 dígitos hacia la izquierda, el número ha disminuido. Resultado: 1,7 · 10 7 ;
- 1,00005 → 1,00005. No hay desplazamiento, entonces k = 0. Resultado: 1.00005 · 10 0 (¡esto también sucede!).
Como puede ver, no solo se representan fracciones decimales en forma estándar, sino también números enteros ordinarios. Por ejemplo: 812.000 = 8,12 · 10 5 ; 6.500.000 = 6,5 10 6.
Cuándo utilizar la notación estándar
En teoría, la notación numérica estándar debería facilitar aún más los cálculos fraccionarios. Pero en la práctica, se obtiene una ganancia notable solo cuando se realiza una operación de comparación. Porque comparar números escritos en forma estándar se hace así:
- Compara potencias de diez. El mayor número será el que tenga este grado mayor;
- Si los grados son iguales, comenzamos a comparar. cifras significativas- como en las fracciones decimales ordinarias. La comparación va de izquierda a derecha, del más significativo al menos significativo. El número mayor será aquel en el que el siguiente dígito sea mayor;
- Si las potencias de diez son iguales y todos los dígitos son iguales, entonces las fracciones también son iguales.
Por supuesto, todo esto es cierto sólo para los números positivos. Para números negativos, todos los signos se invierten.
Una propiedad notable de las fracciones escritas en forma estándar es que se puede asignar cualquier número de ceros a su parte significativa, tanto a la izquierda como a la derecha. Existe una regla similar para otras fracciones decimales (consulte la lección “Decimales”), pero tienen sus propias limitaciones.
Tarea. Compara los números:
- 8,0382 10 6 y 1,099 10 25;
- 1,76 · 10 3 y 2,5 · 10 −4 ;
- 2,215 · 10 11 y 2,64 · 10 11 ;
- −1,3975 · 10 3 y −3,28 · 10 4 ;
- −1,0015 · 10 −8 y −1,001498 · 10 −8 .
- 8,0382 10 6 y 1,099 10 25. Ambos números son positivos, y el primero tiene menor grado diez que el segundo (6< 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
- 1,76 · 10 3 y 2,5 · 10 −4. Los números vuelven a ser positivos, y el grado diez para el primero de ellos es mayor que para el segundo (3 > −4). Por lo tanto, 1,76 · 10 3 > 2,5 · 10 −4 ;
- 2,215 10 11 y 2,64 10 11. Los números son positivos, las potencias de diez son iguales. Nos fijamos en la parte significativa: los primeros dígitos también coinciden (2 = 2). La diferencia comienza en el segundo dígito: 2< 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
- −1,3975 · 10 3 y −3,28 · 10 4 . Este números negativos. El primero tiene un grado diez menos (3< 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 >−3,28 · 10 4 ;
- −1,0015 · 10 −8 y −1,001498 · 10 −8 . Números negativos nuevamente y las potencias de diez son las mismas. Los primeros 4 dígitos de la parte significativa también son iguales (1001 = 1001). En el quinto dígito comienza la diferencia, es decir: 5 > 4. Como los números originales son negativos, concluimos: −1,0015 10 −8< −1,001498 · 10 −8 .
Observamos que cualquier monomio puede ser llevar a la forma estándar. En este artículo entenderemos cómo se llama llevar un monomio a su forma estándar, qué acciones permiten llevar a cabo este proceso y consideraremos soluciones a ejemplos con explicaciones detalladas.
Navegación de páginas.
¿Qué significa reducir un monomio a su forma estándar?
Es conveniente trabajar con monomios cuando están escritos en forma estándar. Sin embargo, muy a menudo los monomios se especifican en una forma diferente a la estándar. En estos casos, siempre se puede pasar del monomio original a un monomio de la forma estándar realizando transformaciones de identidad. El proceso de llevar a cabo tales transformaciones se llama reducir un monomio a una forma estándar.
Resumamos los argumentos anteriores. Reducir el monomio a la forma estándar.- Esto significa realizar transformaciones idénticas con él para que adopte una forma estándar.
¿Cómo llevar un monomio a su forma estándar?
Es hora de descubrir cómo reducir monomios a su forma estándar.
Como se sabe por la definición, los monomios de forma no estándar son productos de números, variables y sus potencias, y posiblemente repetidos. Y un monomio de forma estándar puede contener en su notación solo un número y variables no repetidas o sus potencias. Ahora queda por entender cómo acercar los productos del primer tipo al tipo del segundo.
Para hacer esto necesitas usar lo siguiente la regla para reducir un monomio a su forma estándar que consta de dos pasos:
- Primero se realiza una agrupación de factores numéricos, así como de variables idénticas y sus potencias;
- En segundo lugar, se calcula y aplica el producto de los números.
Como resultado de la aplicación de la regla establecida, cualquier monomio se reducirá a una forma estándar.
Ejemplos, soluciones
Solo queda aprender a aplicar la regla del párrafo anterior a la hora de resolver ejemplos.
Ejemplo.
Reducir el monomio 3 x 2 x 2 a la forma estándar.
Solución.
Agrupemos factores numéricos y factores con variable x. Después de agrupar, el monomio original tomará la forma (3·2)·(x·x 2) . El producto de los números del primer paréntesis es igual a 6, y la regla para multiplicar potencias con las mismas bases permite representar la expresión del segundo paréntesis como x 1 +2 = x 3. Como resultado, obtenemos un polinomio de la forma estándar 6 x 3.
Aquí hay un breve resumen de la solución: 3x2x2 =(3 2) (xx2)=6x3.
Respuesta:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Entonces, para llevar un monomio a una forma estándar, debes poder agrupar factores, multiplicar números y trabajar con potencias.
Para consolidar el material, resolvamos un ejemplo más.
Ejemplo.
Presente el monomio en forma estándar e indique su coeficiente.
Solución.
El monomio original tiene un único factor numérico en su notación −1, movámoslo al principio. Después de esto agruparemos los factores por separado con la variable a, por separado con la variable b, y no hay nada con qué agrupar la variable m, lo dejaremos como está, tenemos 
. Después de realizar operaciones con grados entre paréntesis, el monomio tomará la forma estándar que necesitamos, de la cual podemos ver el coeficiente del monomio igual a −1. Menos uno se puede reemplazar con un signo menos: .
