Objetivos:
- Sistematizar y generalizar conocimientos y habilidades sobre el tema: Soluciones de ecuaciones de tercer y cuarto grado.
- Profundice sus conocimientos completando una serie de tareas, algunas de las cuales no le resultan familiares ni en tipo ni en método de solución.
- Formar el interés por las matemáticas a través del estudio de nuevos capítulos de las matemáticas, alimentando una cultura gráfica a través de la construcción de gráficas de ecuaciones.
tipo de lección: combinado.
Equipo: proyector gráfico.
Visibilidad: tabla "Teorema de Viete".
durante las clases
1. Conteo oral
a) ¿Cuál es el resto de la división del polinomio p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 por el binomio x-a?
b) ¿Cuántas raíces puede tener una ecuación cúbica?
c) ¿Cómo resolvemos ecuaciones de tercer y cuarto grado?
d) Si b es un número par en una ecuación cuadrática, entonces ¿cuál es el valor de D y x 1?
2. Trabajo independiente (en grupos)
Escribe una ecuación si se conocen las raíces (las respuestas a las tareas están codificadas) Se utiliza el “Teorema de Vieta”
1 grupo
Raíces: x 1 = 1; x2 = -2; x3 = -3; x4 = 6
Haz una ecuación:
B=1-2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c=-23
d=6-12+36-18=12; re= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x4-2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(esta ecuación luego la resuelve el grupo 2 en la pizarra)
Solución . Buscamos raíces enteras entre los divisores del número 36.
ð = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 El número 1 satisface la ecuación, por lo tanto =1 es la raíz de la ecuación. Según el esquema de Horner
pag 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
pag 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
pag 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 = -3, x 4 = 6
Respuesta: 1;-2;-3;6 suma de raíces 2 (P)
2do grupo
Raíces: x 1 = -1; x2 = x3 =2; x4=5
Haz una ecuación:
B=-1+2+2+5-8; segundo= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; re=4
mi=2(-1)2*5=-20;mi=-20
8+15+4x-20=0 (el grupo 3 resuelve esta ecuación en la pizarra)
ð = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
pag 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
ð 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
pag 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
pag 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x2=5
Respuesta: -1;2;2;5 suma de raíces 8(P)
3 grupo
Raíces: x 1 = -1; x2 =1; x3 = -2; x 4 = 3
Haz una ecuación:
В=-1+1-2+3=1; В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; re=1
mi=-1*1*(-2)*3=6
x4 - x3- 7x 2 + x + 6 = 0(el grupo 4 resuelve esta ecuación más adelante en la pizarra)
Solución. Buscamos raíces enteras entre los divisores del número 6.
ð = ±1;±2;±3;±6
pag 4 (1)=1-1-7+1+6=0
pag 3 (x) = x 3 - 7x -6
ð 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x1 = -2; x2=3
Respuesta: -1;1;-2;3 Suma de raíces 1(O)
4 grupo
Raíces: x 1 = -2; x2 = -2; x3 = -3; x4 = -3
Haz una ecuación:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
mi=-2*(-2)*(-3)*3=-36;mi=-36
x4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(esta ecuación luego la resuelve el grupo 5 en la pizarra)
Solución. Buscamos raíces enteras entre los divisores del número -36
ð = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
pag 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
pag 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Respuesta: -2; -2; -3; 3 Suma de raíces-4 (F)
5 grupo
Raíces: x 1 = -1; x2 = -2; x3 = -3; x4 = -4
Escribe una ecuación
x4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(esta ecuación luego la resuelve el grupo 6 en la pizarra)
Solución . Buscamos raíces enteras entre los divisores del número 24.
ð = ±1;±2;±3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
pag 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
pag 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Respuesta: -1;-2;-3;-4 suma-10 (I)
6 grupo
Raíces: x 1 = 1; x2 = 1; x3 = -3; x4 = 8
Escribe una ecuación
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; re=43
x4-7x3- 13x 2 + 43X - 24 = 0 (esta ecuación luego la resuelve el grupo 1 en la pizarra)
Solución . Buscamos raíces enteras entre los divisores del número -24.
pag 4 (1)=1-7-13+43-24=0
pag 3 (1)=1-6-19+24=0
pag 2 (x) = x 2 -5x - 24 = 0
x 3 = -3, x 4 = 8
Respuesta: 1;1;-3;8 suma 7 (L)
3. Resolver ecuaciones con un parámetro.
1. Resuelve la ecuación x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; si una de las raíces es igual a (-1)
Escribe la respuesta en orden ascendente.
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Por condición x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x2 = -1-4 = -5;
x3 = -1 + 4 = 3;
Respuesta: - 1; -5; 3
En orden ascendente: -5;-1;3. (b NS)
2. Encuentra todas las raíces del polinomio x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, si los restos de su división en los binomios x-1 y x +2 son iguales.
Solución: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x2-6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x2 =0; x 4 = 0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. Escribe una ecuación
1 grupo. Raíces: -4; -2; 1; 7;
2do grupo. Raíces: -3; -2; 1; 2;
3 grupo. Raíces: -1; 2; 6; 10;
4 grupo. Raíces: -3; 2; 2; 5;
5 grupo. Raíces: -5; -2; 2; 4;
6 grupo. Raíces: -8; -2; 6; 7.
En este artículo aprenderemos a resolver ecuaciones bicuadráticas.
Entonces, ¿qué tipo de ecuaciones se llaman bicuadráticas?
Todo ecuaciones de la forma ah 4 +
bx
2
+
C
= 0
, Dónde un ≠ 0, que son cuadrados con respecto a x 2, y se llaman bicuadráticos ecuaciones. Como puedes ver, esta entrada es muy similar a la entrada para una ecuación cuadrática, por lo que resolveremos ecuaciones bicuadráticas usando las fórmulas que usamos para resolver la ecuación cuadrática.
Sólo necesitaremos introducir una nueva variable, es decir, denotamos x2 otra variable, por ejemplo en o t (o cualquier otra letra del alfabeto latino).
Por ejemplo, resolvamos la ecuación x 4 + 4 x 2 ‒ 5 = 0.
denotemos x2
a través de en
(x2 = y
) y obtenemos la ecuación y 2 + 4y – 5 = 0.
Como puedes ver, ya sabes cómo resolver este tipo de ecuaciones.
Resolvemos la ecuación resultante:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,
y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Volvamos a nuestra variable x.
Encontramos que x 2 = ‒ 5 y x 2 = 1.
Observamos que la primera ecuación no tiene soluciones y la segunda da dos soluciones: x 1 = 1 y x 2 = ‒1. Tenga cuidado de no perder la raíz negativa (la mayoría de las veces obtienen la respuesta x = 1, pero esto no es correcto).
Respuesta:- 1 y 1.
Para comprender mejor el tema, veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 2x4 ‒ 5x2 + 3 = 0.
Sea x 2 = y, entonces 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.
D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.
Entonces x 2 = 1 y x 2 = 1,5.
Obtenemos x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1.5, x 4 = √1.5.
Respuesta: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Ejemplo 2. Resuelve la ecuación 2x4 + 5x2 + 2 = 0.
2y 2 + 5y + 2 =0.
D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.
Entonces x 2 = - 2 y x 2 = - 0,5. Tenga en cuenta que ninguna de estas ecuaciones tiene solución.
Respuesta: no hay soluciones.
Ecuaciones bicuadráticas incompletas- es cuando b = 0 (ax 4 + c = 0) o C = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) se resuelven como ecuaciones cuadráticas incompletas.
Ejemplo 3. Resuelve la ecuación x 4 ‒ 25 x 2 = 0
Factoricemos, saquemos x 2 entre paréntesis y luego x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.
Obtenemos x 2 = 0 o x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.
Entonces tenemos raíces 0; 5 y – 5.
Respuesta: 0; 5; – 5.
Ejemplo 4. Resuelve la ecuación 5x 4 ‒ 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (no tiene soluciones)
x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.
Como puedes ver, si puedes resolver ecuaciones cuadráticas, también puedes resolver ecuaciones bicuadráticas.
Si aún tienes dudas, inscríbete en mis lecciones. Tutora Valentina Galinevskaya.
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El concepto de ecuaciones con dos variables se forma por primera vez en el curso de matemáticas de séptimo grado. Se consideran problemas específicos cuyo proceso de resolución conduce a este tipo de ecuaciones.
Sin embargo, se estudian de forma bastante superficial. El programa se centra en sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.
Esta fue la razón por la que prácticamente no se consideran los problemas en los que se imponen ciertas restricciones a los coeficientes de la ecuación. No se presta suficiente atención a los métodos para resolver tareas como "Resolver una ecuación en números naturales o enteros". Se sabe que los materiales del Examen Estatal Unificado y los boletos del examen de ingreso a menudo contienen ejercicios de este tipo.
¿Qué ecuaciones se definen como ecuaciones con dos variables?
xy = 8, 7x + 3y = 13 o x 2 + y = 7 son ejemplos de ecuaciones con dos variables.
Considere la ecuación x – 4y = 16. Si x = 4 e y = -3, será una ecuación correcta. Esto significa que este par de valores es la solución de esta ecuación.
La solución a cualquier ecuación con dos variables es el conjunto de pares de números (x; y) que satisfacen esta ecuación (convierten la misma en una verdadera igualdad).
A menudo, la ecuación se transforma para que pueda usarse para obtener un sistema para encontrar incógnitas.
Ejemplos
Resuelve la ecuación: xy – 4 = 4x – y.
En este ejemplo, puede utilizar el método de factorización. Para hacer esto, necesitas agrupar los términos y quitar el factor común de entre paréntesis:
xy – 4 = 4x – y;
xy – 4 – 4x + y = 0;
(xy + y) – (4x + 4) = 0;
y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 4) = 0.
Respuesta: Todos los pares (x; 4), donde x es cualquier número racional y (-1; y), donde y es cualquier número racional.
Resuelve la ecuación: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).
El primer paso es agrupar.
4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;
4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;
(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.
Aplicando la fórmula de la diferencia al cuadrado, obtenemos:
(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.
Al sumar dos expresiones no negativas, se obtendrá cero solo si 2x – 1 = 0 e y + 1 = 0. Se deduce: x = ½ e y = -1.
Respuesta: (1/2; -1).
Resuelve la ecuación (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.
Es racional aplicar el método de estimación, destacando entre paréntesis los cuadrados completos.
((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.
En este caso (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, y (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Entonces el lado izquierdo de la ecuación es siempre al menos 4. La igualdad es posible en el caso
(x - 3) 2 + 1 = 1 y (y + 5) 2 + 4 = 4. Por lo tanto, x = 3, y = -5.
Respuesta: (3; -5).
Resuelve la ecuación en números enteros: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.
Esta ecuación se puede escribir de la siguiente manera:
x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Si el lado derecho de la igualdad se divide por 5, entonces 3 es el resto. De esto se deduce que x 2 no es divisible por 5. Se sabe que el cuadrado de un número que no es divisible por 5 debe dejar un resto de 1 o 4. Esto significa que la ecuación no tiene raíces.
Respuesta: No hay soluciones.
No te desanimes por la dificultad de encontrar la solución correcta para una ecuación con dos variables. La perseverancia y la práctica definitivamente darán frutos.
Le ofrecemos una cómoda y gratuita Calculadora en línea para resolver ecuaciones cuadráticas. Puede obtener y comprender rápidamente cómo se resuelven utilizando ejemplos claros.
Para producir resolver ecuaciones cuadráticas en línea, primero lleve la ecuación a su forma general:
hacha 2 + bx + c = 0
Complete los campos del formulario en consecuencia:
Cómo resolver una ecuación cuadrática
| Cómo resolver una ecuación cuadrática: | Tipos de raíces: |
|
1.
Reducir la ecuación cuadrática a su forma general: Vista general Аx 2 +Bx+C=0 Ejemplo: 3x - 2x 2 +1=-1 Reducir a -2x 2 +3x+2=0 2.
Encuentre el discriminante D. 3.
Encontrar las raíces de la ecuación. |
1.
Raíces reales. Además. x1 no es igual a x2 La situación ocurre cuando D>0 y A no es igual a 0. 2.
Las verdaderas raíces son las mismas. x1 es igual a x2 3.
Dos raíces complejas. x1=d+ei, x2=d-ei, donde i=-(1) 1/2 5.
La ecuación tiene innumerables soluciones. 6.
La ecuación no tiene soluciones. |
Para consolidar el algoritmo, aquí hay algunos más. ejemplos ilustrativos de soluciones a ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 1. Resolver una ecuación cuadrática ordinaria con diferentes raíces reales.
x 2 + 3 x -10 = 0
En esta ecuación
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
¡Denotaremos la raíz cuadrada como el número 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
Para comprobarlo, sustituyamos:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Ejemplo 2. Resolver una ecuación cuadrática con raíces reales coincidentes.
x2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – CA = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
sustituyamos
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Ejemplo 3. Resolver una ecuación cuadrática con raíces complejas.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B=-4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
El discriminante es negativo: las raíces son complejas.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, donde I es la raíz cuadrada de -1
En realidad, estos son todos los casos posibles de resolución de ecuaciones cuadráticas.
Esperamos que nuestro calculadora online te será de mucha utilidad.
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