Con el mismo número de ecuaciones que el número de incógnitas con el determinante principal de la matriz, que no es igual a cero, los coeficientes del sistema (para tales ecuaciones hay una solución y solo hay una).
Teorema de Cramer.
Cuando el determinante de la matriz de un sistema cuadrado es distinto de cero, significa que el sistema es consistente y tiene una solución y se puede encontrar mediante fórmulas de cramer:
donde Δ - determinante de la matriz del sistema,
Δ i es el determinante de la matriz del sistema, en la que en lugar de i La décima columna contiene la columna de los lados derechos.
Cuando el determinante de un sistema es cero, significa que el sistema puede volverse cooperativo o incompatible.
Este método se suele utilizar para pequeños sistemas con cálculos volumétricos y si es necesario determinar alguna de las incógnitas. La complejidad del método es que es necesario calcular muchos determinantes.
Descripción del método Cramer.
Hay un sistema de ecuaciones:
Un sistema de 3 ecuaciones se puede resolver utilizando el método de Cramer, que se analizó anteriormente para un sistema de 2 ecuaciones.
Componemos un determinante a partir de los coeficientes de las incógnitas:
será determinante del sistema. Cuando D≠0, lo que significa que el sistema es consistente. Ahora creemos 3 determinantes adicionales:
,
,
Resolvemos el sistema por fórmulas de cramer:
Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de Cramer.
Ejemplo 1.
Sistema dado:
Resolvámoslo usando el método de Cramer.
Primero necesitas calcular el determinante de la matriz del sistema:
Porque Δ≠0, lo que significa que según el teorema de Cramer el sistema es consistente y tiene una solución. Calculamos determinantes adicionales. El determinante Δ 1 se obtiene a partir del determinante Δ, sustituyendo su primera columna por una columna de coeficientes libres. Obtenemos:
De la misma forma, obtenemos el determinante de Δ 2 a partir del determinante de la matriz del sistema reemplazando la segunda columna por una columna de coeficientes libres:
2. Resolver sistemas de ecuaciones mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).
3. Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones.
El método de Cramer.
El método de Cramer se utiliza para resolver sistemas de líneas lineales. ecuaciones algebraicas (SLAU).
Fórmulas utilizando el ejemplo de un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
Dado: Resuelve el sistema usando el método de Cramer.
En cuanto a las variables incógnita Y en.
Solución:
Encontremos el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema Cálculo de determinantes. : 
Apliquemos las fórmulas de Cramer y encontremos los valores de las variables: 
Y 
.
Ejemplo 1:
Resuelve el sistema de ecuaciones:
con respecto a las variables incógnita Y en.
Solución:
Reemplacemos la primera columna de este determinante con una columna de coeficientes del lado derecho del sistema y encontremos su valor: 
Vamos a hacerlo acción similar, reemplazando la segunda columna del primer determinante: 
Aplicable fórmulas de cramer y encontrar los valores de las variables:
Y .
Respuesta: 
Comentario: Este método puede resolver sistemas de dimensiones superiores.
Comentario: Si resulta que , pero no se puede dividir por cero, entonces se dice que el sistema no tiene solución única. En este caso, el sistema tiene infinitas soluciones o no tiene solución alguna.
Ejemplo 2(número infinito de soluciones):
Resuelve el sistema de ecuaciones:
con respecto a las variables incógnita Y en.
Solución:
Encontremos el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema: 
Resolución de sistemas mediante el método de sustitución. 
La primera de las ecuaciones del sistema es una igualdad que es verdadera para cualquier valor de las variables (porque 4 siempre es igual a 4). Esto significa que sólo queda una ecuación. Esta es una ecuación para la relación entre variables.
Encontramos que la solución del sistema es cualquier par de valores de variables relacionados entre sí por la igualdad.
solución general se escribirá así: 
Se pueden determinar soluciones particulares eligiendo un valor arbitrario de y y calculando x usando esta igualdad de conexión. 
etc.
Hay infinitas soluciones de este tipo.
Respuesta: solución general
Soluciones privadas:
Ejemplo 3(no hay soluciones, el sistema es incompatible):
Resuelve el sistema de ecuaciones:
Solución:
Encontremos el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema: 
No se pueden utilizar las fórmulas de Cramer. Resolvamos este sistema usando el método de sustitución. 
La segunda ecuación del sistema es una igualdad que no es cierta para ningún valor de las variables (por supuesto, ya que -15 no es igual a 2). Si una de las ecuaciones del sistema no es cierta para algún valor de las variables, entonces todo el sistema no tiene soluciones.
Respuesta: sin soluciones
Métodos Kramer Y Gauss- uno de los métodos de solución más populares SLAU. Además, en algunos casos es recomendable utilizar métodos específicos. La sesión está cerca y ahora es el momento de repetirlas o dominarlas desde cero. Hoy veremos la solución utilizando el método de Cramer. Después de todo, la solución al sistema. ecuaciones lineales El método de Cramer es una habilidad muy útil.
Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.
Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un sistema de ecuaciones de la forma:
conjunto de valores incógnita , en el que las ecuaciones del sistema se convierten en identidades, se llama solución del sistema, a Y b son coeficientes reales. Un sistema simple que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver mentalmente o expresando una variable en términos de la otra. Pero puede haber mucho más de dos variables (x) en un SLAE, y aquí las simples manipulaciones escolares no son suficientes. ¿Qué hacer? Por ejemplo, resuelva SLAE utilizando el método de Cramer.
Entonces, dejemos que el sistema consista en norte ecuaciones con norte desconocido.
Un sistema de este tipo se puede reescribir en forma matricial.
Aquí A – la matriz principal del sistema, incógnita Y B , respectivamente, matrices de columnas de variables desconocidas y términos libres.
Resolver SLAE utilizando el método de Cramer
Si el determinante de la matriz principal no es igual a cero (la matriz no es singular), el sistema se puede resolver mediante el método de Cramer.
Según el método de Cramer, la solución se encuentra mediante las fórmulas:
Aquí delta es el determinante de la matriz principal, y deltax n-ésima – determinante obtenido del determinante de la matriz principal reemplazando la enésima columna con una columna de términos libres.
Ésta es la esencia del método Cramer. Sustituyendo los valores encontrados usando las fórmulas anteriores incógnita en el sistema deseado, estamos convencidos de la corrección (o viceversa) de nuestra solución. Para ayudarlo a comprender rápidamente la esencia, le brindamos a continuación un ejemplo de una solución detallada de SLAE utilizando el método de Cramer:
Aunque no lo consigas la primera vez, ¡no te desanimes! Con un poco de práctica, empezarás a descifrar SLAU como si fueran nueces. Además, ahora no es absolutamente necesario estudiar minuciosamente un cuaderno, resolver cálculos engorrosos y escribir los núcleos. Puede resolver fácilmente SLAE utilizando el método de Cramer en línea, simplemente sustituyendo formulario listo para usar coeficientes. Pruébalo calculadora en línea Las soluciones basadas en el método de Cramer se pueden encontrar, por ejemplo, en este sitio web.
Y si el sistema resulta terco y no se rinde, siempre puede pedir ayuda a nuestros autores, por ejemplo, a. Si hay al menos 100 incógnitas en el sistema, ¡definitivamente las resolveremos correctamente y a tiempo!
En la primera parte, analizamos algo de material teórico, el método de sustitución, así como el método de suma término por término de ecuaciones del sistema. Recomiendo a todos los que accedieron al sitio a través de esta página que lean la primera parte. Quizás algunos visitantes encuentren el material demasiado simple, pero en el proceso de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, hice una serie de comentarios y conclusiones muy importantes sobre la solución de problemas matemáticos en general.
Y ahora analizaremos la regla de Cramer, además de resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matriz inversa(método matricial). Todos los materiales se presentan de forma sencilla, detallada y clara; casi todos los lectores podrán aprender a resolver sistemas utilizando los métodos anteriores.
Primero, veremos más de cerca la regla de Cramer para un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ¿Para qué? - Después de todo el sistema más simple se puede resolver metodo escolar, ¡por el método de suma término por término!
El hecho es que, aunque a veces, surge tal tarea: resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando las fórmulas de Cramer. En segundo lugar, un ejemplo más sencillo le ayudará a comprender cómo utilizar la regla de Cramer para obtener más información. caso complejo– sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Además, existen sistemas de ecuaciones lineales con dos variables, ¡que es recomendable resolver utilizando la regla de Cramer!
Considere el sistema de ecuaciones.
En el primer paso, calculamos el determinante, se llama principal determinante del sistema.
Si , entonces el sistema tiene solución única, y para encontrar las raíces debemos calcular dos determinantes más:
Y
En la práctica, los calificativos anteriores también pueden denotarse letra latina.
Encontramos las raíces de la ecuación usando las fórmulas:
,
Ejemplo 7
Resolver un sistema de ecuaciones lineales. 
Solución: Vemos que los coeficientes de la ecuación son bastante grandes, en el lado derecho hay decimales con una coma. La coma es un invitado bastante raro en tareas practicas En matemáticas, tomé este sistema de un problema econométrico.
¿Cómo resolver tal sistema? Puede intentar expresar una variable en términos de otra, pero en este caso probablemente terminará con fracciones terriblemente extravagantes con las que es extremadamente incómodo trabajar, y el diseño de la solución se verá simplemente terrible. Puedes multiplicar la segunda ecuación por 6 y restar término por término, pero aquí también surgirán las mismas fracciones.
¿Qué hacer? En tales casos, las fórmulas de Cramer acuden al rescate.
;
;
Respuesta: ,
Ambas raíces tienen colas infinitas y se encuentran aproximadamente, lo cual es bastante aceptable (e incluso común) para problemas econométricos.
No son necesarios comentarios aquí, ya que el problema se resuelve utilizando fórmulas ya preparadas, pero hay una advertencia. cuando usar este método, obligatorio Un fragmento del diseño de la tarea es el siguiente fragmento: “Esto significa que el sistema tiene una solución única”. De lo contrario, el revisor puede castigarlo por faltarle el respeto al teorema de Cramer.
No sería superfluo comprobar lo que conviene realizar en una calculadora: sustituimos valores aproximados en lado izquierdo cada ecuación del sistema. Como resultado, con un pequeño error, debería obtener números que estén en el lado derecho.
Ejemplo 8
Presenta la respuesta en fracciones impropias ordinarias. Haz un control.
Este es un ejemplo para decisión independiente(ejemplo de finalización y respuesta al final de la lección).
Pasemos a considerar la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 
Encontramos el principal determinante del sistema: 
Si , entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente (no tiene soluciones). En este caso, la regla de Cramer no ayudará, es necesario utilizar método gaussiano.
Si , entonces el sistema tiene solución única y para encontrar las raíces debemos calcular tres determinantes más: 
, 
, 
Y finalmente, la respuesta se calcula mediante las fórmulas: 
Como puede ver, el caso "tres por tres" no es fundamentalmente diferente del caso "dos por dos" la columna de términos libres "camina" secuencialmente de izquierda a derecha a lo largo de las columnas del determinante principal;
Ejemplo 9
Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer. 
Solución: Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer. 
, lo que significa que el sistema tiene una solución única.
Respuesta: 
.
En realidad, aquí tampoco hay nada especial que comentar, debido a que la solución sigue fórmulas ya preparadas. Pero hay un par de comentarios.
Sucede que como resultado de los cálculos se obtienen fracciones irreducibles “malas”, por ejemplo: .
Recomiendo el siguiente algoritmo de "tratamiento". Si no tienes una computadora a mano, haz esto:
1) Puede haber un error en los cálculos. Tan pronto como encuentre una fracción "mala", debe verificarla inmediatamente ¿Se reescribe la condición correctamente?. Si la condición se reescribe sin errores, entonces es necesario recalcular los determinantes mediante la expansión en otra fila (columna).
2) Si no se identifican errores como resultado de la verificación, lo más probable es que haya un error tipográfico en las condiciones de la tarea. En este caso, trabaje con calma y CUIDADO en la tarea hasta el final, y luego asegúrese de comprobar y lo redactamos en blanco después de la decisión. Por supuesto, verificar una respuesta fraccionaria es una tarea desagradable, pero será un argumento convincente para el maestro, a quien realmente le gusta dar un menos por cualquier tontería como . Cómo manejar fracciones se describe en detalle en la respuesta al Ejemplo 8.
Si tiene una computadora a mano, use un programa automatizado para verificar, que puede descargar de forma gratuita al comienzo de la lección. Por cierto, es más rentable utilizar el programa de inmediato (incluso antes de iniciar la solución, verá inmediatamente el paso intermedio en el que cometió un error); La misma calculadora calcula automáticamente la solución al sistema. método matricial.
Segunda observación. De vez en cuando hay sistemas en cuyas ecuaciones faltan algunas variables, por ejemplo: 
Aquí en la primera ecuación no hay variable, en la segunda no hay variable. En tales casos, es muy importante anotar correcta y CUIDADOSAMENTE el determinante principal: 
– Se colocan ceros en lugar de las variables que faltan.
Por cierto, es racional abrir determinantes con ceros según la fila (columna) en la que se encuentra el cero, ya que hay notablemente menos cálculos.
Ejemplo 10
Resuelva el sistema usando las fórmulas de Cramer. 
Este es un ejemplo de una solución independiente (una muestra del diseño final y la respuesta al final de la lección).
Para el caso de un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, las fórmulas de Cramer se escriben según principios similares. Puedes ver un ejemplo en vivo en la lección. Propiedades del determinante. Reducir el orden del determinante.– cinco determinantes de cuarto orden son bastante solucionables. Aunque la tarea ya recuerda mucho al zapato de un profesor en el pecho de un estudiante afortunado.
Resolver el sistema usando una matriz inversa.
El método de la matriz inversa es esencialmente caso especial ecuación matricial (Ver Ejemplo No. 3 de la lección especificada).
Para estudiar esta sección, debes poder expandir determinantes, encontrar la inversa de una matriz y realizar multiplicaciones de matrices. Se proporcionarán enlaces relevantes a medida que avancen las explicaciones.
Ejemplo 11
Resolver el sistema usando el método matricial. 
Solución: Escribamos el sistema en forma matricial:
, Dónde 
Mire el sistema de ecuaciones y matrices. Creo que todo el mundo comprende el principio mediante el cual escribimos elementos en matrices. El único comentario: si faltaran algunas variables en las ecuaciones, entonces habría que colocar ceros en los lugares correspondientes de la matriz.
Encontramos la matriz inversa usando la fórmula:
, donde está la matriz transpuesta sumas algebraicas elementos de la matriz correspondientes.
Primero, veamos el determinante:
Aquí el determinante se expande en la primera línea.
¡Atención! Si , entonces la matriz inversa no existe y es imposible resolver el sistema utilizando el método matricial. En este caso el sistema está resuelto. método de eliminación de incógnitas (método de Gauss).
Ahora necesitamos calcular 9 menores y escribirlos en la matriz de menores. 
Referencia: Es útil conocer el significado de los subíndices dobles en álgebra lineal. El primer dígito es el número de la línea en la que se encuentra el elemento. El segundo dígito es el número de la columna en la que se encuentra el elemento: 
Es decir, un subíndice doble indica que el elemento está en la primera fila, tercera columna y, por ejemplo, el elemento está en 3 filas, 2 columnas.
