Solución de refuerzo de Slough. Método de Cramer: resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (slau)

2. Resolver sistemas de ecuaciones mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).
3. Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones.

El método de Cramer.

El método de Cramer se utiliza para resolver sistemas de líneas lineales. ecuaciones algebraicas (SLAU).

Fórmulas utilizando el ejemplo de un sistema de dos ecuaciones con dos variables.
Dado: Resuelve el sistema usando el método de Cramer.

En cuanto a las variables X Y en.
Solución:
Encontremos el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema Cálculo de determinantes. :

Apliquemos las fórmulas de Cramer y encontremos los valores de las variables:
Y .
Ejemplo 1:
Resuelve el sistema de ecuaciones:

con respecto a las variables X Y en.
Solución:


Reemplacemos la primera columna de este determinante con una columna de coeficientes del lado derecho del sistema y encontremos su valor:

Vamos a hacerlo acción similar, reemplazando la segunda columna del primer determinante:

Aplicable fórmulas de cramer y encontrar los valores de las variables:
Y .
Respuesta:
Comentario: Este método puede resolver sistemas de dimensiones superiores.

Comentario: Si resulta que , pero no se puede dividir por cero, entonces se dice que el sistema no tiene solución única. En este caso, el sistema tiene infinitas soluciones o no tiene solución alguna.

Ejemplo 2(número infinito de soluciones):

Resuelve el sistema de ecuaciones:

con respecto a las variables X Y en.
Solución:
Encontremos el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema:

Resolución de sistemas mediante el método de sustitución.

La primera de las ecuaciones del sistema es una igualdad que es verdadera para cualquier valor de las variables (porque 4 siempre es igual a 4). Esto significa que sólo queda una ecuación. Esta es una ecuación para la relación entre variables.
Encontramos que la solución del sistema es cualquier par de valores de variables relacionados entre sí por la igualdad.
La solución general se escribirá de la siguiente manera:
Se pueden determinar soluciones particulares eligiendo un valor arbitrario de y y calculando x a partir de esta igualdad de conexión.

etc.
Hay infinitas soluciones de este tipo.
Respuesta: decisión común
Soluciones privadas:

Ejemplo 3(no hay soluciones, el sistema es incompatible):

Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución:
Encontremos el determinante de la matriz, compuesta por los coeficientes del sistema:

No se pueden utilizar las fórmulas de Cramer. Resolvamos este sistema usando el método de sustitución.

La segunda ecuación del sistema es una igualdad que no es cierta para ningún valor de las variables (por supuesto, ya que -15 no es igual a 2). Si una de las ecuaciones del sistema no es cierta para algún valor de las variables, entonces todo el sistema no tiene soluciones.
Respuesta: sin soluciones

Métodos Kramer Y Gauss- uno de los métodos de solución más populares SLAU. Además, en algunos casos es recomendable utilizar métodos específicos. La sesión está cerca y ahora es el momento de repetirlas o dominarlas desde cero. Hoy veremos la solución utilizando el método de Cramer. Después de todo, la solución al sistema. ecuaciones lineales El método de Cramer es una habilidad muy útil.

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.

Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es un sistema de ecuaciones de la forma:

Conjunto de valores X , en el que las ecuaciones del sistema se convierten en identidades, se llama solución del sistema, a Y b son coeficientes reales. Un sistema simple que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver mentalmente o expresando una variable en términos de la otra. Pero puede haber mucho más de dos variables (x) en un SLAE, y aquí las simples manipulaciones escolares no son suficientes. ¿Qué hacer? Por ejemplo, resuelva SLAE utilizando el método de Cramer.

Entonces, dejemos que el sistema consista en norte ecuaciones con norte desconocido.

Un sistema de este tipo se puede reescribir en forma matricial.

Aquí A – la matriz principal del sistema, X Y B , respectivamente, matrices de columnas de variables desconocidas y términos libres.

Resolver SLAE utilizando el método de Cramer

Si el determinante de la matriz principal no es igual a cero (la matriz no es singular), el sistema se puede resolver mediante el método de Cramer.

Según el método de Cramer, la solución se encuentra mediante las fórmulas:

Aquí delta es el determinante de la matriz principal, y deltax enésimo – determinante obtenido del determinante de la matriz principal reemplazando la enésima columna con una columna de términos libres.

Ésta es la esencia del método Cramer. Sustituyendo los valores encontrados usando las fórmulas anteriores X en el sistema deseado, estamos convencidos de la corrección (o viceversa) de nuestra solución. Para ayudarlo a comprender rápidamente la esencia, le brindamos a continuación un ejemplo de una solución detallada de SLAE utilizando el método de Cramer:

Aunque no lo consigas la primera vez, ¡no te desanimes! Con un poco de práctica, empezarás a descifrar SLAU como si fueran nueces. Además, ahora no es absolutamente necesario estudiar minuciosamente un cuaderno, resolver cálculos engorrosos y escribir los núcleos. Puede resolver fácilmente SLAE utilizando el método de Cramer en línea, simplemente sustituyendo formulario listo para usar coeficientes. Intentalo calculadora online Las soluciones basadas en el método de Cramer se pueden encontrar, por ejemplo, en este sitio web.

Y si el sistema resulta terco y no se rinde, siempre puede pedir ayuda a nuestros autores, por ejemplo, a. Si hay al menos 100 incógnitas en el sistema, ¡definitivamente las resolveremos correctamente y a tiempo!

Considere un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas.

Utilizando determinantes de tercer orden, la solución de dicho sistema se puede escribir de la misma forma que para un sistema de dos ecuaciones, es decir,

(2.4)

si 0. Aquí

Está allá regla de cramer resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Ejemplo 2.3. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer:

Solución . Encontrar el determinante de la matriz principal del sistema.

Como 0, entonces para encontrar una solución al sistema podemos aplicar la regla de Cramer, pero primero calculamos tres determinantes más:

Examen:

Por tanto, la solución se encontró correctamente. 

Las reglas de Cramer derivadas para sistemas lineales 2.º y 3.º orden, sugieren que se pueden formular las mismas reglas para sistemas lineales de cualquier orden. realmente sucede

Teorema de Cramer. Sistema cuadrático de ecuaciones lineales con un determinante distinto de cero de la matriz principal del sistema. (0) tiene una y sólo una solución y esta solución se calcula usando las fórmulas

(2.5)

Dónde  – determinante de la matriz principal,  i – determinante de la matriz, obtenido del principal, reemplazandoiª columna columna de miembros gratuitos.

Tenga en cuenta que si =0, entonces la regla de Cramer no se aplica. Esto significa que el sistema no tiene ninguna solución o tiene infinitas soluciones.

Una vez formulado el teorema de Cramer, surge naturalmente la cuestión de calcular los determinantes de órdenes superiores.

2.4. Determinantes de enésimo orden

Menor adicional METRO yo elemento a yo es un determinante que se obtiene de un dado eliminando iª línea y jª columna. Complemento algebraico A yo elemento a yo el menor de este elemento tomado con el signo (–1) se llama i + j, es decir. A yo = (–1) i + j METRO yo .

Por ejemplo, busquemos a los menores y sumas algebraicas elementos a 23 y a 31 clasificados

Obtenemos



Usando el concepto de complemento algebraico podemos formular teorema de expansión determinantenorte-ésimo orden por fila o columna.

Teorema 2.1. Determinante de matrizAes igual a la suma de los productos de todos los elementos de una determinada fila (o columna) por sus complementos algebraicos:

(2.6)

Este teorema subyace a uno de los principales métodos para calcular los determinantes, el llamado. método de reducción de pedidos. Como resultado de la expansión del determinante norte En el orden sobre cualquier fila o columna, obtenemos n determinantes ( norte–1)º orden. Para tener menos determinantes de este tipo, es recomendable seleccionar la fila o columna que tenga más ceros. En la práctica, la fórmula de expansión del determinante suele escribirse como:

aquellos. las adiciones algebraicas se escriben explícitamente en términos de menores.

Ejemplos 2.4. Calcule los determinantes clasificándolos primero en alguna fila o columna. Normalmente, en tales casos, seleccione la columna o fila que tenga más ceros. La fila o columna seleccionada se indicará con una flecha.



2.5. Propiedades básicas de los determinantes.

Al expandir el determinante sobre cualquier fila o columna, obtenemos n determinantes ( norte–1)º orden. Entonces cada uno de estos determinantes ( norte–1)º orden también se puede descomponer en una suma de determinantes ( norte–2)º orden. Continuando con este proceso, se puede llegar a los determinantes de primer orden, es decir a los elementos de la matriz cuyo determinante se calcula. Entonces, para calcular los determinantes de segundo orden, tendrás que calcular la suma de dos términos, para los determinantes de tercer orden, la suma de 6 términos, para los determinantes de cuarto orden, 24 términos. El número de términos aumentará drásticamente a medida que aumente el orden del determinante. Esto significa que calcular determinantes de orden muy alto se convierte en una tarea bastante laboriosa, más allá de las capacidades incluso de una computadora. Sin embargo, los determinantes se pueden calcular de otra manera, utilizando las propiedades de los determinantes.

Propiedad 1 . El determinante no cambiará si se intercambian las filas y columnas, es decir, al transponer una matriz:

.

Esta propiedad indica la igualdad de las filas y columnas del determinante. En otras palabras, cualquier afirmación sobre las columnas de un determinante también es cierta para sus filas y viceversa.

Propiedad 2 . El determinante cambia de signo cuando se intercambian dos filas (columnas).

Consecuencia . Si el determinante tiene dos filas (columnas) idénticas, entonces es igual a cero.

Propiedad 3 . El factor común de todos los elementos de cualquier fila (columna) se puede sacar del signo determinante.

Por ejemplo,

Consecuencia . Si todos los elementos de una determinada fila (columna) de un determinante son iguales a cero, entonces el determinante en sí es igual a cero.

Propiedad 4 . El determinante no cambiará si los elementos de una fila (columna) se suman a los elementos de otra fila (columna), multiplicados por cualquier número..

Por ejemplo,

Propiedad 5 . El determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes de matrices:

Con el mismo número de ecuaciones que el número de incógnitas con el determinante principal de la matriz, que no es igual a cero, los coeficientes del sistema (para tales ecuaciones hay una solución y solo hay una).

Teorema de Cramer.

Cuando el determinante de la matriz de un sistema cuadrado es distinto de cero, significa que el sistema es consistente y tiene una solución y se puede encontrar mediante fórmulas de cramer:

donde Δ - determinante de la matriz del sistema,

Δ i es el determinante de la matriz del sistema, en la que en lugar de i La décima columna contiene la columna de los lados derechos.

Cuando el determinante de un sistema es cero, significa que el sistema puede volverse cooperativo o incompatible.

Este método se suele utilizar para pequeños sistemas con cálculos volumétricos y si es necesario determinar una de las incógnitas. La complejidad del método es que es necesario calcular muchos determinantes.

Descripción del método Cramer.

Hay un sistema de ecuaciones:

Un sistema de 3 ecuaciones se puede resolver utilizando el método de Cramer, que se analizó anteriormente para un sistema de 2 ecuaciones.

Componemos un determinante a partir de los coeficientes de las incógnitas:

Será determinante del sistema. Cuando D≠0, lo que significa que el sistema es consistente. Ahora creemos 3 determinantes adicionales:

,,

Resolvemos el sistema por fórmulas de cramer:

Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de Cramer.

Ejemplo 1.

Sistema dado:

Resolvámoslo usando el método de Cramer.

Primero necesitas calcular el determinante de la matriz del sistema:

Porque Δ≠0, lo que significa que según el teorema de Cramer el sistema es consistente y tiene una solución. Calculamos determinantes adicionales. El determinante Δ 1 se obtiene del determinante Δ reemplazando su primera columna por una columna de coeficientes libres. Obtenemos:

De la misma forma, obtenemos el determinante de Δ 2 a partir del determinante de la matriz del sistema reemplazando la segunda columna por una columna de coeficientes libres:

Deje que el sistema de ecuaciones lineales contenga tantas ecuaciones como el número de variables independientes, es decir parece

Estos sistemas de ecuaciones lineales se denominan cuadráticos. Un determinante compuesto de coeficientes para independientes. variables del sistema(1.5) se denomina determinante principal del sistema. Lo denotaremos con la letra griega D. Así,

. (1.6)

Si el determinante principal contiene un arbitrario ( jª) columna, reemplácela con una columna de términos gratuitos del sistema (1.5), luego podrá obtener norte calificadores auxiliares:

(j = 1, 2, …, norte). (1.7)

regla de cramer resolver sistemas cuadráticos de ecuaciones lineales es el siguiente. Si el determinante principal D del sistema (1.5) es diferente de cero, entonces el sistema tiene una solución única, que se puede encontrar mediante las fórmulas:

(1.8)

Ejemplo 1.5. Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de Cramer.

.

Calculemos el determinante principal del sistema:

Desde D¹0, el sistema tiene una solución única, que se puede encontrar usando las fórmulas (1.8):

De este modo,

Acciones sobre matrices

1. Multiplicar una matriz por un número. La operación de multiplicar una matriz por un número se define de la siguiente manera.

2. Para multiplicar una matriz por un número, debes multiplicar todos sus elementos por este número. Eso es

. (1.9)

Ejemplo 1.6. .

Suma de matrices.

Esta operación se introduce sólo para matrices del mismo orden.

Para sumar dos matrices, es necesario sumar los elementos correspondientes de otra matriz a los elementos de una matriz:

(1.10)
La operación de suma de matrices tiene las propiedades de asociatividad y conmutatividad.

Ejemplo 1.7. .

Multiplicación de matrices.

Si el número de columnas de la matriz A coincide con el número de filas de la matriz EN, entonces para tales matrices se introduce la operación de multiplicación:

2

Así, al multiplicar una matriz A dimensiones metro´ norte a la matriz EN dimensiones norte´ k obtenemos una matriz CON dimensiones metro´ k. En este caso, los elementos de la matriz. CON se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

Problema 1.8. Encuentre, si es posible, el producto de matrices. AB Y LICENCIADO EN LETRAS.:

Solución. 1) Para encontrar trabajo AB, necesitas filas de matriz A multiplicar por columnas de matriz B:

2) Trabajo LICENCIADO EN LETRAS. no existe, porque el número de columnas de la matriz B no coincide con el número de filas de la matriz A.

Matriz inversa. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método matricial.

Matriz A- 1 se llama la inversa de una matriz cuadrada A, si se cumple la igualdad:

donde a través I denota la matriz identidad del mismo orden que la matriz A:

.

Para que una matriz cuadrada tenga inversa es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero. La matriz inversa se encuentra mediante la fórmula:

, (1.13)

Dónde A ij- adiciones algebraicas a elementos un ij matrices A(tenga en cuenta que las adiciones algebraicas a las filas de la matriz A se ubican en la matriz inversa en forma de columnas correspondientes).

Ejemplo 1.9. Encuentra la matriz inversa A- 1 a matriz

.

Encontramos la matriz inversa usando la fórmula (1.13), que para el caso norte= 3 tiene la forma:

.

Encontremos a Det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Dado que el determinante de la matriz original es distinto de cero, existe la matriz inversa.

1) Encuentra complementos algebraicos A ij:

Para facilitar la ubicación matriz inversa, colocamos las sumas algebraicas a las filas de la matriz original en las columnas correspondientes.

A partir de las sumas algebraicas obtenidas componemos una nueva matriz y la dividimos por el determinante det A. Así obtenemos la matriz inversa:

Los sistemas cuadráticos de ecuaciones lineales con un determinante principal distinto de cero se pueden resolver utilizando la matriz inversa. Para ello, el sistema (1.5) se escribe en forma matricial:

Dónde

Multiplicando ambos lados de la igualdad (1.14) desde la izquierda por A- 1, obtenemos la solución al sistema:

, dónde

Por lo tanto, para encontrar una solución a un sistema cuadrado, es necesario encontrar la matriz inversa de la matriz principal del sistema y multiplicarla a la derecha por la matriz de columnas de términos libres.

Problema 1.10. Resolver un sistema de ecuaciones lineales.

usando la matriz inversa.

Solución. Escribamos el sistema en forma matricial: ,

Dónde - la matriz principal del sistema, - la columna de incógnitas y - la columna de términos libres. Dado que el principal determinante del sistema , entonces la matriz principal del sistema A tiene una matriz inversa A-1. Para encontrar la matriz inversa A-1, calculamos los complementos algebraicos de todos los elementos de la matriz. A:

A partir de los números obtenidos haremos una matriz (y adiciones algebraicas a las filas de la matriz A escríbelo en las columnas correspondientes) y divídelo por el determinante D. Así, hemos encontrado la matriz inversa:

Encontramos la solución al sistema usando la fórmula (1.15):

De este modo,

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación ordinario de Jordan.

Sea un sistema arbitrario (no necesariamente cuadrático) de ecuaciones lineales:

(1.16)

Se requiere encontrar una solución al sistema, es decir tal conjunto de variables que satisface todas las igualdades del sistema (1.16). EN caso general El sistema (1.16) puede tener no sólo una solución, sino también innumerables soluciones. Es posible que tampoco tenga solución alguna.

Al resolver este tipo de problemas, el conocido curso escolar el método de eliminación de incógnitas, que también se denomina método de eliminación de Jordan ordinario. La esencia este método radica en que en una de las ecuaciones del sistema (1.16) una de las variables se expresa en términos de otras variables. Luego, esta variable se sustituye en otras ecuaciones del sistema. El resultado es un sistema que contiene una ecuación y una variable menos que el sistema original. Se recuerda la ecuación a partir de la cual se expresó la variable.

Este proceso se repite hasta que quede una última ecuación en el sistema. Mediante el proceso de eliminación de incógnitas, algunas ecuaciones pueden convertirse en identidades verdaderas, p. Estas ecuaciones están excluidas del sistema, ya que se satisfacen para cualquier valor de las variables y, por tanto, no afectan la solución del sistema. Si, en el proceso de eliminación de incógnitas, al menos una ecuación se convierte en una igualdad que no puede satisfacerse para ningún valor de las variables (por ejemplo), entonces concluimos que el sistema no tiene solución.

Si no surgen ecuaciones contradictorias durante la solución, entonces una de las variables restantes se encuentra a partir de la última ecuación. Si solo queda una variable en la última ecuación, entonces se expresa como un número. Si quedan otras variables en la última ecuación, entonces se consideran parámetros, y la variable expresada a través de ellos será función de estos parámetros. Entonces el llamado “ trazo inverso" La variable encontrada se sustituye en la última ecuación recordada y se encuentra la segunda variable. Luego las dos variables encontradas se sustituyen en la penúltima ecuación memorizada y se encuentra la tercera variable, y así sucesivamente, hasta la primera ecuación memorizada.

Como resultado, obtenemos una solución al sistema. Esta solución será única si las variables encontradas son números. Si la primera variable encontrada, y luego todas las demás, dependen de los parámetros, entonces el sistema tendrá un número infinito de soluciones (cada conjunto de parámetros corresponde a una nueva solución). Las fórmulas que permiten encontrar una solución a un sistema en función de un conjunto particular de parámetros se denominan solución general del sistema.

Ejemplo 1.11.

X

Después de memorizar la primera ecuación y trayendo términos similares en la segunda y tercera ecuaciones llegamos al sistema:

vamos a expresar y de la segunda ecuación y sustitúyalo en la primera ecuación:

Recordemos la segunda ecuación, y de la primera encontramos z:

Trabajando hacia atrás, encontramos consistentemente y Y z. Para hacer esto, primero sustituimos en la última ecuación recordada, de donde encontramos y:

.

Luego lo sustituiremos en la primera ecuación memorizada. donde podemos encontrarlo X:

Problema 1.12. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales eliminando incógnitas:

. (1.17)

Solución. Expresemos la variable de la primera ecuación. X y sustitúyalo en la segunda y tercera ecuaciones:

.

Recordemos la primera ecuación.

En este sistema, la primera y la segunda ecuaciones se contradicen entre sí. De hecho, expresando y , obtenemos que 14 = 17. Esta igualdad no se cumple para ningún valor de las variables X, y, Y z. En consecuencia, el sistema (1.17) es inconsistente, es decir no tiene solución.

Invitamos a los lectores a comprobar por sí mismos que el determinante principal del sistema original (1.17) es igual a cero.

Consideremos un sistema que difiere del sistema (1.17) solo en un término libre.

Problema 1.13. Resuelve un sistema de ecuaciones lineales eliminando incógnitas:

. (1.18)

Solución. Como antes, expresamos la variable de la primera ecuación. X y sustitúyalo en la segunda y tercera ecuaciones:

.

Recordemos la primera ecuación. y presentar términos similares en la segunda y tercera ecuaciones. Llegamos al sistema:

expresando y de la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda ecuación , obtenemos la identidad 14 = 14, lo que no afecta la solución del sistema y, por tanto, puede excluirse del sistema.

En la última igualdad recordada, la variable z lo consideraremos un parámetro. Creemos. Entonces

sustituyamos y Y z en la primera igualdad recordada y encontrar X:

.

Por tanto, el sistema (1.18) tiene un número infinito de soluciones, y cualquier solución se puede encontrar utilizando las fórmulas (1.19), eligiendo un valor arbitrario del parámetro. t:

(1.19)
Entonces, las soluciones del sistema, por ejemplo, son los siguientes conjuntos de variables (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Las fórmulas (1.19) expresan la solución general (cualquiera) del sistema (1.18 ).

En el caso de que el sistema original (1.16) tenga un número suficientemente grande de ecuaciones e incógnitas, el método indicado de eliminación de Jordan ordinaria parece engorroso. Sin embargo, no lo es. Es suficiente derivar un algoritmo para recalcular los coeficientes del sistema en un paso del proceso. vista general y formular la solución al problema en forma de tablas especiales de Jordan.

Sea un sistema de formas lineales (ecuaciones):

, (1.20)
Dónde xj- variables independientes (buscadas), un ij- probabilidades constantes
(yo = 1, 2,…, metro; j = 1, 2,…, norte). Partes correctas del sistema. y yo (yo = 1, 2,…, metro) pueden ser variables (dependientes) o constantes. Es necesario encontrar soluciones a este sistema eliminando las incógnitas.

Consideremos la siguiente operación, denominada en adelante “un paso de eliminaciones ordinarias de Jordania”. De arbitrario ( r th) igualdad expresamos una variable arbitraria ( xs) y sustituir en todas las demás igualdades. Por supuesto, esto sólo es posible si una rs¹ 0. Coeficiente una rs llamado elemento resolutivo (a veces guía o principal).

Obtendremos el siguiente sistema:

. (1.21)

De s- igualdad del sistema (1.21), posteriormente encontramos la variable xs(después de que se hayan encontrado las variables restantes). S La -ésima línea se recuerda y posteriormente se excluye del sistema. El sistema restante contendrá una ecuación y una variable independiente menos que el sistema original.

Calculemos los coeficientes del sistema resultante (1.21) a través de los coeficientes del sistema original (1.20). Empecemos con r aésima ecuación, que luego de expresar la variable xs a través de las variables restantes se verá así:

Así, los nuevos coeficientes r Las ecuaciones se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

(1.23)
Calculemos ahora los nuevos coeficientes. b ij(i¹ r) ecuación arbitraria. Para ello sustituimos la variable expresada en (1.22) xs V i aésima ecuación del sistema (1.20):

Después de traer términos similares, obtenemos:

(1.24)
De la igualdad (1.24) obtenemos fórmulas mediante las cuales se calculan los coeficientes restantes del sistema (1.21) (con excepción de résima ecuación):

(1.25)
La transformación de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Jordan ordinaria se presenta en forma de tablas (matrices). Estas mesas se denominan “mesas Jordan”.

Así, el problema (1.20) está asociado con la siguiente tabla de Jordan:

Tabla 1.1

	X 1	X 2	…	xj	…	xs	…	xn
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1norte
…………………………………………………………………..
y yo=	un yo 1	un yo 2		un ij		un es		una en
…………………………………………………………………..
año=	una r 1	una r 2		un rj		una rs		arn
………………………………………………………………….
y norte=	soy 1	soy 2		un mj		una señora		un minuto

La tabla Jordan 1.1 contiene una columna de encabezado izquierda en la que se escriben las partes derechas del sistema (1.20) y una fila de encabezado superior en la que se escriben las variables independientes.

Los elementos restantes de la tabla forman la matriz principal de coeficientes del sistema (1.20). Si multiplicas la matriz A a la matriz que consta de los elementos de la fila de título superior, se obtiene una matriz que consta de los elementos de la columna de título izquierda. Es decir, esencialmente, la tabla de Jordan es una forma matricial de escribir un sistema de ecuaciones lineales: . El sistema (1.21) corresponde a la siguiente tabla de Jordan:

Tabla 1.2

	X 1	X 2	…	xj	…	año	…	xn
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 norte
…………………………………………………………………..
y yo =	b yo 1	b yo 2		b ij		b es		papelera
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y norte =	b m 1	b m 2		b mj		bms		bmn

elemento permisivo una rs Los resaltaremos en negrita. Recordemos que para implementar un paso de la eliminación de Jordania, el elemento de resolución debe ser distinto de cero. La fila de la tabla que contiene el elemento habilitante se denomina fila habilitante. La columna que contiene el elemento de habilitación se denomina columna de habilitación. Al pasar de una tabla determinada a la siguiente, una variable ( xs) de la fila superior del encabezado de la tabla se mueve a la columna del encabezado izquierdo y, a la inversa, uno de los miembros libres del sistema ( año) pasa de la columna principal izquierda de la tabla a la fila principal superior.

Describamos el algoritmo para recalcular los coeficientes al pasar de la tabla de Jordan (1.1) a la tabla (1.2), que se deriva de las fórmulas (1.23) y (1.25).

1. El elemento resolutivo se sustituye por el número inverso:

2. Los elementos restantes de la cadena de resolución se dividen por el elemento de resolución y se cambia el signo al contrario:

3. Los restantes elementos de la columna de resolución se dividen en el elemento de resolución:

4. Los elementos que no están incluidos en la fila de permisos y en la columna de permisos se recalculan utilizando las fórmulas:

La última fórmula es fácil de recordar si notas que los elementos que componen la fracción , están en la intersección i-Oh y r-ésima línea y j th y sésima columnas (fila de resolución, columna de resolución y la fila y columna en cuya intersección se encuentra el elemento recalculado). Más precisamente, al memorizar la fórmula. Puedes utilizar el siguiente diagrama:

-21 -26 -13 -37

Al realizar el primer paso de excepciones de Jordania, se puede seleccionar cualquier elemento de la Tabla 1.3 ubicado en las columnas como elemento resolutivo. X 1 ,…, X 5 (todos los elementos especificados no son cero). No debería seleccionar simplemente el elemento habilitante en la última columna, porque necesitas encontrar variables independientes X 1 ,…, X 5 . Por ejemplo, elegimos el coeficiente 1 con variable X 3 en la tercera línea del Cuadro 1.3 (el elemento habilitante se muestra en negrita). Al pasar al cuadro 1.4, la variable X El 3 de la fila superior del encabezado se intercambia con el 0 constante de la columna del encabezado izquierdo (tercera fila). En este caso, la variable X 3 se expresa a través del resto de variables.

Cadena X 3 (Tabla 1.4) puede, después de recordarlo de antemano, excluirse de la Tabla 1.4. La tercera columna con un cero en la línea superior del título también está excluida del Cuadro 1.4. El punto es que independientemente de los coeficientes de una columna determinada b yo 3 todos los términos correspondientes de cada ecuación 0 b yo 3 sistemas serán iguales a cero. Por lo tanto, no es necesario calcular estos coeficientes. Eliminando una variable X 3 y recordando una de las ecuaciones, llegamos a un sistema correspondiente a la Tabla 1.4 (con la línea tachada X 3). Seleccionar en la tabla 1.4 como elemento resolutivo b 14 = -5, vaya a la tabla 1.5. En la Tabla 1.5, recuerde la primera fila y exclúyala de la tabla junto con la cuarta columna (con un cero en la parte superior).

Cuadro 1.5 Cuadro 1.6

De la última tabla 1.7 encontramos: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Sustituyendo constantemente las variables ya encontradas en las líneas recordadas, encontramos las variables restantes:

Así, el sistema tiene innumerables soluciones. Variable X 5, se pueden asignar valores arbitrarios. Esta variable actúa como parámetro. X 5 = t. Probamos la compatibilidad del sistema y encontramos su solución general:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Dando parámetro t valores diferentes, obtendremos una infinidad de soluciones al sistema original. Entonces, por ejemplo, la solución del sistema es el siguiente conjunto de variables (- 3; - 1; - 2; 4; 0).