Intensidad del flujo de servicio:
1. Intensidad de carga.
ρ = λ t obs = 120 1/60 = 2
La intensidad de carga ρ=2 muestra el grado de coherencia de los flujos de entrada y salida de solicitudes del canal de servicio y determina la estabilidad del sistema. haciendo cola.
3. Probabilidad de que el canal esté libre(proporción de tiempo de inactividad del canal).
En consecuencia, el 12% del canal estará inactivo en una hora, el tiempo de inactividad es igual a t pr = 7,1 min.
La probabilidad de que el servicio:
1 canal ocupado:
p 1 = ρ 1 /1! p0 = 2 1/1! 0,12 = 0,24
2 canales están ocupados:
p2 = ρ2/2! p0 = 2 2/2! 0,12 = 0,24
3 canales están ocupados:
p3 = ρ3/3! p0 = 2 3/3! 0,12 = 0,16
4. Proporción de solicitudes rechazadas.
Esto significa que el 3% de las solicitudes recibidas no son aceptadas para el servicio.
5. Probabilidad de atender las solicitudes entrantes.
En sistemas con fallas, los eventos de falla y mantenimiento constituyen un grupo completo de eventos, por lo tanto:
p abierto + p obs = 1
Rendimiento relativo: Q = p obs.
p obs = 1 - p abierto = 1 - 0,0311 = 0,97
En consecuencia, se atenderá el 97% de las solicitudes recibidas. Un nivel de servicio aceptable debe estar por encima del 90%.
6. Número medio de canales ocupados por servicio.
n h = ρ p obs = 2 0,97 = 1,9 canales
Número promedio de canales inactivos.
n pr = n - n z = 3 - 1,9 = 1,1 canales
7. Tasa de ocupación del canal de servicio.
En consecuencia, el sistema está ocupado en un 60% con mantenimiento.
8. Rendimiento absoluto.
A = p obs λ = 0,97 120 = 116,3 solicitudes/hora.
.
t pr = p abierto t obs = 0,0311 0,0166 = 0 hora.
10. Número medio de solicitudes en cola.
unidades
(tiempo promedio de espera para que una solicitud sea atendida en la cola). 
hora.
12. Número medio de solicitudes atendidas.
L obs = ρ Q = 2 0,97 = 1,94 unidades.
13. Número medio de solicitudes en el sistema.
L CMO = L och + L obs = 0,51 + 1,94 = 2,45 unidades.
13. Tiempo medio de permanencia de una aplicación en la CMO.
hora.
Número de solicitudes rechazadas en una hora: λ p 1 = 4 solicitudes por hora.
Productividad nominal del QS: 3/0,0166 = 181 aplicaciones por hora.
Rendimiento real del SMO: 116,3 / 181 = 64% de la capacidad nominal.
Además usaremos la siguiente notación para el tiempo de espera promedio en la cola de solicitudes de la clase de prioridad. pag - wp y el tiempo promedio de permanencia en el sistema para requisitos de esta clase - tp:
Nos centraremos en los sistemas con relativa prioridad. Consideremos el proceso desde el momento en que llega una determinada solicitud de la clase de prioridad. pag. Además llamaremos a este requisito etiquetado. El primer componente de la latencia de una solicitud etiquetada está relacionado con la solicitud que llega al servidor. Este componente es igual al tiempo de servicio restante de otra solicitud. Denotemos ahora y usemos más esta notación, el retraso promedio de un requisito etiquetado asociado con la presencia de otro requisito en servicio. W 0. Conocer la distribución horaria entre llegadas adyacentes requisitos de entrada Para cada clase de prioridad, siempre puedes calcular este valor. Bajo nuestro supuesto de una ley de Poisson para el flujo de aplicaciones de cada clase, podemos escribir
.
El segundo componente del tiempo de espera para un requisito etiquetado está determinado por el hecho de que antes del requisito etiquetado, se atienden otras solicitudes cuyo requisito etiquetado está en la cola. Denotemos además el número de requisitos de la clase. i, que captó el requisito marcado en la cola (de la clase pag) y que se sirven antes Cortar. El promedio de este número determinará el valor del promedio de este componente de retraso.
El tercer componente del retraso está asociado con las solicitudes que llegaron después de que llegara la solicitud etiquetada, pero recibieron servicio antes. Denotemos el número de tales requisitos. miip. El valor promedio de este componente de retraso se encuentra de manera similar y es
Al agregar los tres componentes, encontramos que el tiempo promedio de espera en la cola para una solicitud etiquetada está determinado por la fórmula
Es obvio que, independientemente de la disciplina del servicio, el número de requisitos Cortar Y miip en el sistema no puede ser arbitrario, por lo que existe un cierto conjunto de relaciones que interconectan los retrasos para cada clase de prioridad. La importancia de estas relaciones para QS nos permite denominarlas LEYES DE CONSERVACIÓN. La base de las leyes de conservación de los retrasos es el hecho de que el trabajo inacabado en cualquier QS durante cualquier intervalo de tiempo ocupado no depende del orden del servicio si el sistema es conservador (los requisitos no desaparecen dentro del sistema y el servidor no queda inactivo cuando el la cola no está vacía).
La distribución de los tiempos de espera depende significativamente del orden del servicio, pero si una disciplina de servicio selecciona requisitos independientemente de su tiempo de servicio (o cualquier medida que dependa del tiempo de servicio), entonces la distribución del número de demandas y el tiempo de espera en el El sistema es invariante con respecto al orden del servicio.
Para un QS de tipo M/G/1, se puede demostrar que para cualquier disciplina de servicio se debe satisfacer la siguiente igualdad importante:
Esta igualdad significa que la suma ponderada de los tiempos de espera nunca cambia, sin importar cuán compleja o inteligente sea la disciplina del servicio. Si la latencia se puede reducir para algunos requisitos, aumentará inmediatamente para otros.
Para más sistema común con una distribución arbitraria del tiempo de llegada de los requisitos G/G/1, la ley de conservación se puede escribir en la forma
.
El significado general de esta relación es que la suma ponderada de los tiempos de retraso permanece constante. Es solo que en el lado derecho está la diferencia entre el trabajo promedio en progreso y el tiempo de servicio restante. Si asumimos la naturaleza de Poisson del flujo de entrada, entonces la expresión del trabajo en progreso se puede escribir como
Sustituyéndola en la expresión anterior, obtenemos inmediatamente la ley de conservación dada anteriormente para QS de tipo M/G/1.
Consideremos ahora el cálculo del tiempo de espera promedio para un QS con servicio en el orden de prioridad especificado por la función de prioridad.
La Figura 1 muestra un diagrama del funcionamiento de un QS con dicha disciplina de servicio: una solicitud entrante se pone en cola a la izquierda de una solicitud con igual o mayor prioridad.
Arroz. 1 CMO con servicio prioritario.
Usemos la fórmula para wp. Según el mecanismo de funcionamiento, podemos escribir inmediatamente
Todas las solicitudes superiores a la prioridad marcada se atenderán antes. Según la fórmula de Little, el número de requisitos de clase i en la cola será igual a:
Las solicitudes de clases de mayor prioridad que ingresan al sistema después de una solicitud etiquetada mientras está en la cola también serán atendidas antes. Dado que el requisito etiquetado estará en la cola en promedio wp segundos, entonces el número de dichas solicitudes será igual a
Directamente de la fórmula (*) obtenemos:
Este sistema de ecuaciones se puede resolver recursivamente a partir de W 1, W 2 etc.
La fórmula resultante le permite calcular las características de calidad del servicio para todas las clases de prioridad. En la Figura 7.2. muestra cómo cambia el tiempo de espera normalizado en la cola para un QS con cinco clases de prioridad con un flujo igual de solicitudes para cada clase de prioridad y un tiempo de servicio promedio igual para las solicitudes de cada clase (la figura inferior detalla las curvas para valores de carga bajos ).
Figura 2. Servicio en orden de prioridad en el caso de prioridades relativas (P=5, l P = l/5, ).
Una tarea especial es determinar las leyes de distribución del tiempo de espera.
Consideremos ahora un sistema con prioridades absolutas y servicio en orden de prioridad con servicio adicional. Utilicemos un enfoque completamente similar al discutido anteriormente. El retraso promedio en el sistema de un requisito etiquetado también consta de tres componentes: el primer componente es el tiempo promedio de servicio, el segundo es el retraso debido al servicio de aquellas solicitudes de igual o mayor prioridad que el requisito etiquetado encontrado en el sistema. El tercer componente de la latencia promedio de un requisito etiquetado es el retraso debido a cualquier solicitud que ingrese al sistema antes de que el requisito etiquetado salga y tenga una prioridad estrictamente más alta. Al describir estos tres componentes del tiempo total invertido en el sistema, obtenemos
.
Una tarea muy interesante es elegir prioridades para las aplicaciones. varias clases. Dado que se cumple la ley de conservación, la optimización sólo tiene sentido cuando se consideran algunos atributos adicionales de cada clase de requisitos. Supongamos que cada segundo de retraso de una aplicación de clase de prioridad p puede estimarse con algún costo Cp. Entonces, el costo promedio de un segundo de retraso para el sistema se puede expresar en términos del número promedio de solicitudes de cada clase presentes en el sistema.
Resolvamos el problema de encontrar una disciplina de servicio con prioridades relativas para el sistema M/G/1 que minimice el coste medio de retraso. do. que haya PAG clases prioritarias de solicitudes con una tasa de llegada determinada y un tiempo de servicio promedio. pasemos a lado izquierdo una suma constante y expresar lado derecho a través de parámetros conocidos
La tarea es minimizar la suma en el lado derecho de esta igualdad eligiendo la disciplina de servicio adecuada, es decir selección de secuencia de índice pag.
denotemos
En esta notación, el problema se ve así: necesitamos minimizar la suma de productos sujetos a
Condición para la independencia de la suma de funciones. gp La elección de la disciplina de servicio está determinada por la ley de conservación. En otras palabras, el problema es minimizar el área bajo la curva del producto de dos funciones, siempre que el área bajo la curva de una de ellas sea constante.
La solución es ordenar primero la secuencia de valores. fp: 
.
Y luego seleccionamos para cada fp su significado gp, para minimizar la suma de sus productos. Es intuitivamente claro que estrategia optima la elección consiste en la selección valor más bajo gp para el mayor fp, luego para los valores restantes debes proceder de la misma manera. Desde gp=Wprp, entonces la minimización se reduce a minimizar los valores de retardo promedio. Así, la solución al problema de optimización considerado es que de todas las disciplinas de servicio posibles con prioridad relativa, el costo promedio mínimo lo proporciona una disciplina con prioridades ordenadas de acuerdo con las desigualdades.
.
Un sistema de cola se denomina sistema de espera si una solicitud que encuentra todos los canales ocupados entra en una cola y espera hasta que algún canal quede libre.
Si el tiempo de espera de una solicitud en la cola es ilimitado, entonces el sistema se denomina "sistema de espera pura". Si está limitado por ciertas condiciones, entonces el sistema se denomina "sistema de tipo mixto". Este es un caso intermedio entre un sistema puro con fallas y un sistema puro con espera.
En la práctica, los sistemas de tipo mixto son los de mayor interés.
Las limitaciones impuestas a la espera pueden ser varios tipos. A menudo sucede que se impone una limitación al tiempo de espera de una solicitud en la cola; Se cree que está limitado desde arriba por algún período, que puede ser estrictamente definido o aleatorio. En este caso, solo se limita el tiempo de espera en la cola y se completa el servicio que ha comenzado, independientemente de cuánto haya durado la espera (por ejemplo, un cliente en una peluquería, habiéndose sentado en una silla, normalmente no dejar hasta el final del servicio). En otros problemas, es más natural imponer un límite no al tiempo de espera en la cola, sino al tiempo total que la solicitud permanece en el sistema (por ejemplo, un objetivo aéreo puede permanecer en la zona de tiro solo por un tiempo limitado). y lo abandona independientemente de si el bombardeo ha terminado o no). Finalmente, podemos considerar un sistema mixto (es el más cercano al tipo de empresas comerciales que venden artículos no esenciales), cuando una aplicación ingresa a la cola solo si la longitud de la cola no es demasiado larga. Aquí, se impone una limitación al número de solicitudes en la cola.
En los sistemas de espera, la llamada "disciplina de colas" juega un papel importante. Las solicitudes pendientes se pueden llamar para recibir servicio por orden de llegada (los que llegan temprano son atendidos por orden de llegada) o de manera aleatoria y no organizada. Existen sistemas de colas “con ventajas”, donde unas solicitudes se atienden preferentemente sobre otras (“generales y coroneles fuera de turno”).
Cada tipo de sistema de espera tiene sus propias características y teoría matemática. Muchos de ellos se describen, por ejemplo, en el libro de V.V. Gnedenko "Conferencias sobre la teoría de las colas".
Aquí nos centraremos sólo en el caso más simple de un sistema mixto, que es una generalización natural del problema de Erlang para un sistema con fallas. Para este caso derivaremos ecuaciones diferenciales similares a las ecuaciones de Erlang y fórmulas para las probabilidades de estados en estado estacionario similares a las fórmulas de Erlang.
Consideremos un sistema de colas mixto con canales en siguientes condiciones. La entrada del sistema recibe el flujo más simple de solicitudes con densidad. El tiempo de atención para una solicitud es orientativo, con el parámetro. Una solicitud que encuentra todos los canales ocupados se pone en cola y espera servicio; el tiempo de espera está limitado a un período determinado; Si la solicitud no es aceptada para el servicio antes de la expiración de este período, sale de la cola y permanece sin atender. El período de espera se considerará aleatorio y se distribuirá según la ley exponencial.
donde el parámetro es el inverso del tiempo medio de espera:
; 
.
El parámetro es completamente similar a los parámetros tanto del flujo de solicitud como del "flujo de liberación". Puede interpretarse como la densidad del “flujo de salidas” de la aplicación que se encuentra en la cola. De hecho, imaginemos una aplicación que no hace más que unirse a la cola y esperar en ella hasta que finalice el período de espera, después de lo cual sale e inmediatamente se une nuevamente a la cola. Entonces el "flujo de salidas" de dicha aplicación de la cola tendrá una densidad de .
Evidentemente, cuando un sistema de tipo mixto se convierte en un sistema puro con fallas; cuando se convierte en un sistema puro con espera.
Tenga en cuenta que con una ley de distribución exponencial para el tiempo de espera, la capacidad del sistema no depende de si las solicitudes se atienden en cola o en orden aleatorio: para cada aplicación, la ley de distribución para el tiempo de espera restante no depende de cuánto tiempo la aplicación ya ha estado en la cola.
Gracias al supuesto de la naturaleza de Poisson de todos los flujos de eventos que conducen a cambios en los estados del sistema, el proceso que tendrá lugar en él será markoviano. Escribamos ecuaciones para las probabilidades de estados del sistema. Para ello, en primer lugar, enumeramos estos estados. Los numeraremos no por la cantidad de canales ocupados, sino por la cantidad de aplicaciones asociadas al sistema. Llamaremos a una solicitud "asociada con el sistema" si se encuentra en estado de mantenimiento o está esperando en la fila. Los posibles estados del sistema serán:
Ningún canal está ocupado (no hay cola),
Exactamente un canal está ocupado (sin cola),
Exactamente los canales están ocupados (sin cola),
Todos los canales están ocupados (sin cola),
Todos los canales están ocupados, una aplicación está en cola,
Todos los canales están ocupados, las solicitudes están en cola,
El número de solicitudes en cola en nuestras condiciones puede ser tan grande como se desee. Por tanto, el sistema tiene un conjunto infinito (aunque contable) de estados. En consecuencia, el número de quienes lo describen ecuaciones diferenciales también será infinito.
Obviamente, las primeras ecuaciones diferenciales no diferirán en nada de las correspondientes ecuaciones de Erlang:
La diferencia entre las nuevas ecuaciones y las ecuaciones de Erlang comenzará en. De hecho, un sistema con fallas sólo puede pasar del Estado al Estado; En cuanto al sistema de espera, puede pasar al estado no solo desde , sino también desde (todos los canales están ocupados, una solicitud está en la cola).
Creemos una ecuación diferencial para . Fijemos el momento y encontremos la probabilidad de que el sistema esté en el estado en este momento. Esto se puede hacer de tres maneras:
1) en ese momento el sistema ya estaba en estado, pero durante el tiempo no salió (no llegó ni una sola solicitud y ninguno de los canales quedó libre);
2) en ese momento el sistema estaba en el estado y con el tiempo cambió al estado (llegó una solicitud);
3) en el momento en que el sistema estaba en un estado (todos los canales están ocupados, una solicitud está en la cola) y durante el tiempo que estuvo en (o un canal quedó libre y la solicitud que estaba en la cola lo ocupó, o el solicitar permanecer en la cola dejada por finalizar el plazo).
Calculemos ahora para cualquiera: la probabilidad de que en este momento todos los canales estén ocupados y haya exactamente la cantidad de aplicaciones en la cola. Este evento nuevamente puede ocurrir de tres maneras:
1) en ese momento el sistema ya estaba en el estado, y durante este tiempo este estado no cambió (esto significa que ni una sola aplicación llegó, ni una sola gota fue liberada y ni una sola de las aplicaciones en la cola izquierda);
2) en ese momento el sistema estaba en el estado y con el tiempo cambió al estado (es decir, llegó una solicitud);
3) en el momento en que el sistema estaba en el estado y durante el tiempo que cambió al estado (para esto, cualquiera de los canales debe quedar libre, y luego lo tomará una de las aplicaciones que están en la cola, o una de las solicitudes que se encuentren en cola deberán salir por finalización del plazo).
Por eso:
Así, hemos obtenido el sistema de probabilidades estatales. numero infinito ecuaciones diferenciales:
(19.10.1)
Las ecuaciones (19.10.1) son una generalización natural de las ecuaciones de Erlang para el caso de un sistema de tipo mixto con tiempo de espera limitado. Los parámetros en estas ecuaciones pueden ser constantes o variables. Al integrar el sistema (19.10.1), es necesario tener en cuenta que si bien teóricamente el número de estados posibles del sistema es infinito, en la práctica las probabilidades se vuelven despreciables a medida que aumentan, pudiendo descartarse las ecuaciones correspondientes.
Derivemos fórmulas similares a las fórmulas de Erlang para las probabilidades de estados del sistema en un modo de servicio de estado estacionario (en). De las ecuaciones (19.10.1), suponiendo que todas las constantes y todas las derivadas sean iguales a cero, obtenemos el sistema ecuaciones algebraicas:
(19.10.2)
Debes agregarles una condición:
Encontremos una solución al sistema (19.10.2).
Para ello aplicamos la misma técnica que utilizamos en el caso de un sistema con fallas: resolvamos relativamente la primera ecuación, la sustituimos en la segunda, etc. Para cualquiera, como en el caso de un sistema con fallas, obtener:
Pasemos a las ecuaciones para 
. De la misma manera obtenemos:
,
,
y en general para cualquier
. (19.10.5)
Ambas fórmulas (19.10.4) y (19.10.5) incluyen la probabilidad como factor. Determinemoslo a partir de la condición (19.10.3). Sustituyendo las expresiones (19.10.4) y (19.10.5) por y en él, obtenemos:
,
. (19.10.6)
Transformemos las expresiones (19.10.4), (19.10.5) y (19.10.6), introduciendo en ellas densidades “reducidas” en lugar de densidades:
(19.10.7)
Los parámetros y expresan, respectivamente, el número medio de solicitudes y el número medio de salidas de una aplicación en cola por tiempo medio de servicio para una aplicación.
En la nueva notación, las fórmulas (19.10.4), (19.10.5) y (19.10.6) tomarán la forma:
; (19.10.9)
. (19.10.10)
Sustituyendo (19.10.10) en (19.10.8) y (19.10.9), obtenemos las expresiones finales para las probabilidades de los estados del sistema:
; (19.10.11)
. (19.10.12)
Conociendo las probabilidades de todos los estados del sistema, podemos determinar fácilmente otras características que nos interesan, en particular, la probabilidad de que una solicitud deje el sistema sin atender. Vamos a determinarlo a partir de las siguientes consideraciones: en un estado estable, la probabilidad de que una aplicación deje el sistema sin servicio no es más que la relación entre el número promedio de aplicaciones que salen de la cola por unidad de tiempo y el número promedio de aplicaciones que llegan. por unidad de tiempo. Encontremos el número promedio de aplicaciones que salen de la cola por unidad de tiempo. Para hacer esto, primero calculamos la expectativa matemática del número de aplicaciones en la cola:
. (19.10.13)
Para obtener , debe multiplicar por la “densidad de salidas” promedio de una aplicación y dividir por la densidad promedio de aplicaciones, es decir, multiplicar por el coeficiente
Estudiemos el funcionamiento de un QS de n canales (n > 1) con espera, cuya entrada recibe el flujo de solicitudes más simple. PAG aporte con intensidad. También se supone que el flujo de servicio de cada canal es el más simple con intensidad µ. No hay restricciones en cuanto a la longitud de la cola, pero el tiempo de espera para cada aplicación en la cola está limitado por un período aleatorio. t Frío con un valor promedio, después del cual la solicitud deja el sistema sin atender. Intervalo de tiempo t Frío es una variable aleatoria continua que puede tomar cualquier valor positivo y expectativa matemática cual.
Si este flujo es Poisson, entonces el proceso que ocurre en el QS será Markoviano.
En la práctica se encuentran a menudo sistemas de este tipo. A veces se les llama sistemas de ofertas "ansiosos".
Numeremos los estados del QS por el número de aplicaciones en el sistema, tanto en servicio como en cola: S k (k = 0,1,…n) - k aplicaciones bajo servicio (k los canales están ocupados, no hay cola), S n+r (r = 1,2,…) - norte aplicaciones bajo servicio (todas norte los canales están ocupados) y r aplicaciones en cola.
Por tanto, un QS puede estar en uno de un número infinito de estados.
El gráfico de estado etiquetado se muestra en la Fig. 1.
Arroz. 1.
El QS pasa de un estado a otro, de izquierda a derecha, bajo la influencia del mismo flujo entrante de aplicaciones. PAG aporte con intensidad. En consecuencia, las densidades de probabilidad de estas transiciones
k-1,k = , k = 1,2,… (1)
Transición del QS del estado sin cola S k , k = 1,…,norte, al estado adyacente a la izquierda S k-1 , (k = 1,…,norte)(en el que tampoco habrá cola) se produce bajo la influencia del flujo total que consta de k flujos de servicio de canales ocupados, cuya intensidad, que es la suma de las intensidades de los flujos de servicio sumados, es igual a kμ. Por lo tanto, debajo de las flechas a la izquierda del estado s n al estado s 0, se indican las densidades de probabilidad de transición.
k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)
En el sistema en un estado con cola S n+r , r = 1,2,…, el flujo total es efectivo: el resultado de la superposición de n flujos de servicios y r flujos de atención. Por lo tanto, la intensidad del flujo total es igual a la suma de las intensidades de los flujos componentes. nµ+rш. Este flujo total genera una transición del QS de derecha a izquierda del estado S n+r ,(r = 1,2,…) promediar S n+r-1 ,(r = 1,2,…) y así
k,k-1 =nµ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)
Entonces, las densidades de probabilidad de las transiciones del sistema de derecha a izquierda, teniendo en cuenta (2) y (3), se pueden escribir en forma combinada
La estructura del gráfico sugiere que el proceso que ocurre en el QS es un proceso de muerte y reproducción.
Sustituyamos (1) y (4) por k=1,…,n+m en la fórmula
Introduzcamos un valor que se puede llamar intensidad reducida del flujo de salidas y que muestra el número promedio de salidas de la cola de aplicaciones no atendidas durante el tiempo promedio de atención de una aplicación. Sustituyendo en (5) obtenemos:
Dado que en el QS considerado no hay restricciones en la longitud de la cola, se aceptará la solicitud recibida en el flujo entrante; en el sistema, es decir La solicitud no es rechazada por el sistema. Por lo tanto, para QS con solicitudes “impaciente”, la probabilidad de ser aceptado en el sistema es pag hermana =1, y la probabilidad de negarse a ser aceptado en el sistema pag abierto =0 . El concepto de “no aceptación en el sistema” no debe confundirse con el concepto de “denegación de servicio”, ya que, debido a la “impaciencia”, no todas las solicitudes recibidas (aceptadas) en el sistema serán atendidas. Por tanto, tiene sentido hablar de la probabilidad de que una aplicación abandone la cola. pag xy y la probabilidad de que se entregue la solicitud, pag acerca de. Al mismo tiempo, la probabilidad pag acerca de representa el rendimiento relativo q Y pag xy =1-p acerca de .
Calculemos el número promedio de solicitudes en la cola. Para hacer esto, considere una variable aleatoria discreta. norte muy bien que representa el número de solicitudes en la cola. variable aleatoria norte muy bien puede tomar cualquier valor entero no negativo y su ley de distribución tiene la forma
|
norte muy bien |
||||||
|
pag n+1 |
pag n+2 |
pag n+r |
Dónde pag= pag 0 +p 1 +…+ p norte. Por eso,
o sustituyendo (7) aquí, obtenemos
Cada solicitud en la cola está sujeta a un flujo de “salidas” Pooh con la intensidad de La cola media, formada por solicitudes, estará sujeta a un flujo total formado por flujos de “salidas” y que tengan una intensidad. Esto significa que del número promedio de solicitudes en la cola, en promedio, las solicitudes por unidad de tiempo saldrán sin esperar servicio y las solicitudes restantes serán atendidas. En consecuencia, el número medio de solicitudes atendidas por unidad de tiempo, es decir capacidad absoluta del QS
Entonces, por definición de capacidad relativa,
Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),
donde u/ = muestra el número promedio de salidas de la cola de aplicaciones no atendidas durante el tiempo promedio entre las llegadas de dos aplicaciones vecinas en el flujo entrante PAG aporte .
El número medio de canales ocupados (el número medio de solicitudes bajo servicio) se puede obtener como la relación entre la capacidad absoluta A y el rendimiento de un canal µ. Usando la igualdad (11), tendremos:
El número promedio de canales ocupados se puede calcular independientemente del número promedio de solicitudes en la cola, es decir, como la expectativa matemática de un canal discreto. variable aleatoria A, que representa el número de canales ocupados, cuya ley de distribución tiene la forma
|
pag 0 |
pag 1 |
pag 2 |
pag n-1 |
Dónde pag = pag norte +p n+1 +…+ p n+1+…. Pero dado que el evento de que todos los n canales estén ocupados es opuesto al evento de que no todos los n canales estén ocupados, la probabilidad último evento igual a
pag 0 +p 1 +p 2 +…+ p n-1, Eso p = 1 - (p 0 +p 1 +p 2 +…+ p n-1) .
Pero luego de (11) obtenemos:
Usando las fórmulas (11) y (13), obtenemos una fórmula para el número promedio de aplicaciones en el sistema:
Derivemos una fórmula para el tiempo de espera promedio de una aplicación en la cola. Dependerá del tiempo promedio dado que limita la duración de la permanencia de la aplicación en la cola, para lo cual
o habrá número natural i > 2 tal que
Multiplicando las desigualdades (14) y (15) por obtenemos, respectivamente, las desigualdades
Consideremos el caso (14) y las hipótesis inconsistentes consistentes en que el sistema se encuentra en un estado. Probabilidades de estas hipótesis.
Si la solicitud es recibida por la OCM bajo hipothet.e. cuando el sistema se encuentra en uno de los estados en cada uno de los cuales no todos los canales están ocupados, la solicitud no tendrá que esperar en la cola; inmediatamente pasará al servicio del canal libre. Por lo tanto, la expectativa matemática condicional del valor aleatorio del tiempo de espera para una aplicación en la cola según la hipótesis, que es el tiempo de espera promedio para la aplicación en la cola según la hipótesis, es igual a cero:
Si la solicitud ingresa al sistema bajo hipotet.e. cuando el QS se encuentra en uno de los estados en los que todo norte k-p aplicaciones (si A= norte no hay aplicaciones en la cola), entonces el tiempo promedio para liberar una de norte los canales ocupados son iguales y el tiempo promedio de servicio k-p Las aplicaciones que se encuentran en la cola antes de que la solicitud sea recibida en el sistema es igual a. Por lo tanto, el tiempo promedio requerido para que la cola atienda una solicitud entrante es igual a. Dado que, debido a la desigualdad correcta (14),
Por lo tanto, el tiempo promedio requerido para que una solicitud recibida en el sistema sea aceptada para el servicio es mayor que el tiempo que limita la permanencia de la solicitud en la cola. Por lo tanto, la solicitud recibida quedará retrasada en la cola durante un tiempo medio y dejará el sistema sin servicio. En consecuencia, la expectativa matemática condicional del valor bajo la hipótesis
Consideremos ahora las mismas hipótesis en el caso (15). En este caso también son válidas las igualdades (16).
Si una aplicación ingresa al sistema bajo una de las hipótesis, es decir, cuando el QS se encuentra en uno de los estados en los que todos norte Los canales están ocupados y ya hay colas frente a la solicitud recibida. k-p aplicaciones (si A- n no hay solicitudes en la cola), entonces, al igual que en el caso (14), el tiempo promedio requerido para que el turno de esta solicitud entre en servicio es igual al límite de permanencia de la solicitud. Entonces, de alguna manera, debido a la desigualdad izquierda (15),
Por lo tanto, el tiempo promedio requerido para que una solicitud que ingresa al sistema sea aceptada para el servicio no es mayor que el tiempo promedio que limita la permanencia de la solicitud en la cola. Por lo tanto, la solicitud recibida no abandonará la cola y esperará a ser aceptada para el servicio, pasando el tiempo promedio esperando en la cola. Por lo tanto, la expectativa matemática condicional de la variable aleatoria T och bajo la hipótesis.
Dejemos ahora que la aplicación ingrese al sistema bajo una de las hipótesis. norte yu k = n+i- es decir, cuando el QS estaba en uno de los estados..., en el que todo norte Los canales están ocupados y ya en cola. k-p aplicaciones. Dado que esto proviene de la desigualdad (15):
y por lo tanto la aplicación entrante se retrasará en la cola por un tiempo promedio. Por lo tanto, la expectativa matemática condicional de la variable aleatoria T och bajo la hipótesis.
Usando la fórmula para la expectativa matemática total, obtenemos:
En el caso (15), la solicitud recibida será aceptada para servicio si solo en el momento de su recepción el QS se encuentra en uno de los estados, entonces la probabilidad de que la solicitud sea atendida es
Cuando / = 1, la fórmula (25) se convierte en (24), por lo que para la probabilidad de servicio podemos escribir una fórmula:
Conociendo la probabilidad de servicio, se puede calcular la probabilidad de que una solicitud salga de la cola sin atender:
El tiempo promedio que una aplicación permanece en el sistema se puede calcular usando la fórmula
¿Dónde está el tiempo de servicio promedio para una solicitud, en relación con todas las solicitudes, tanto atendidas como las que abandonaron la cola, que se puede calcular mediante la fórmula?
6. Construcción y análisis de un modelo de sistemas de colas.
Consideremos un problema práctico de utilizar un QS sin restricción en la longitud de la cola, pero con restricción en el tiempo de espera en la cola.
Para aumentar la gama de vuelos sin escalas, los aviones se repostan en el aire. En la zona de repostaje hay dos aviones de repostaje constantemente de servicio. El repostaje de combustible de un avión dura una media de unos 10 minutos. Si ambos aviones de reabastecimiento de combustible están ocupados, entonces el avión que necesita repostar puede "esperar" (volar en círculos en el área de repostaje) durante algún tiempo. El tiempo medio de espera es de 20 minutos. El avión, que no podía esperar para repostar, se ve obligado a aterrizar en un aeropuerto alternativo. La intensidad de los vuelos es tal que una media de 12 aviones llegan a la zona de repostaje cada hora. Definir:
La probabilidad de que el avión sea repostado.
Número medio de repostadores empleados.
Número medio de aviones en cola.
Número medio de aeronaves en servicio.
Es necesario calcular las principales características de eficiencia de este QS, siempre que se especifiquen los siguientes parámetros de entrada:
- · número de canales de servicio;
- · intensidad del flujo entrante de solicitudes;
- · intensidad del flujo de servicios;
- · el tiempo medio que limita la permanencia de las solicitudes en la cola.
El QS en cuestión es sistema multicanal Hacer cola sin límite de longitud, pero con límite de tiempo de espera. Se especifica el número de canales, la intensidad del flujo entrante de solicitudes, la intensidad del flujo de servicios y el número de lugares en la cola.
En este QS, cada canal atiende una solicitud en cada momento. Si en el momento de recibir una nueva solicitud al menos un canal está libre, entonces se recibe la solicitud entrante de servicio; si no hay solicitudes, entonces el sistema está inactivo;
Determinemos qué sucede cuando, cuando llega una solicitud, todos los canales están ocupados: se pone en cola y espera a que uno de los canales quede libre. Si en el momento de recibir una solicitud todos los lugares de la cola están ocupados, esta solicitud sale del sistema.
Criterios para la eficacia del funcionamiento del QS:
- · Probabilidad de tiempo de inactividad del sistema;
- · Probabilidad de fallo del sistema;
- · Rendimiento relativo.
- · Tiempo medio que pasa una aplicación en la cola.
Este sistema está modelado como un QS multicanal con solicitudes “impaciente”.
Parámetros del sistema:
número de canales de servicio norte=2;
intensidad del flujo entrante de aplicaciones = 12 (aviones por hora);
intensidad del flujo de servicio µ = 6(aviones por hora);
el tiempo medio que limita la permanencia de una solicitud en la cola, por tanto, la intensidad del flujo de salidas = 1/= 3 (aviones) por hora.
Los cálculos se realizaron mediante un programa desarrollado en Turbo Pascal. El lenguaje Turbo-Pascal es uno de los lenguajes de programación de computadoras más comunes. Las ventajas importantes del lenguaje Turbo-Pascal incluyen el pequeño tamaño del compilador, alta velocidad traducción, compilación y montaje de programas. Además, la comodidad y alta calidad Diseño de shell de diálogo, hace que escribir y depurar programas sea más conveniente en comparación con lenguajes alternativos de nueva generación.
Para analizar el funcionamiento del QS es necesario estudiar el comportamiento de este sistema para diversos parámetros de entrada.
En la primera versión, l=12, µ=6, n=3, número de canales n=2.
En la segunda opción, l=12, µ=6, n=3, número de canales n=3.
En la tercera opción, l=12, µ=6, n=4, número de canales n=2.
Todos los resultados del cálculo se dan en el Apéndice 2.
Como resultado del análisis de los datos obtenidos (Apéndice 2), se llegaron a las siguientes conclusiones.
A medida que aumenta el número de canales, la probabilidad de que el sistema esté fuera de servicio y la probabilidad de reabastecimiento de combustible aumenta en un 50%.
Al cambiar solo el tiempo que la solicitud permaneció en la cola, sin aumentar el número de canales, la intensidad del flujo de salidas cambió, como resultado, disminuyó la cantidad de aviones atendidos y el número de aviones en la cola.
En mi opinión, es necesario contratar y formar a más personal de servicio, para aumentar la intensidad del flujo de salidas, se dedicará menos tiempo a las paradas de los repostadores y no será necesario un canal adicional.
Si bien, a la hora de elegir los parámetros más óptimos bajo los cuales el funcionamiento del servicio de salud será más efectivo, también es necesario tener en cuenta factores técnicos y económicos, desde la adquisición de un canal de servicio adicional o un cambio en la intensidad. del flujo de atención requiere ciertos costos de materiales y costos de capacitación del personal.
1. QS monocanal con espera y límite de longitud de cola. En la práctica, los proveedores de servicios médicos de un solo canal con cola son bastante comunes (un médico que atiende a los pacientes; un cajero que emite los salarios). En la teoría de colas, los QS de un solo canal con cola también ocupan un lugar especial: la mayoría de las fórmulas analíticas obtenidas hasta ahora para sistemas que no son de Markov pertenecen a dichos QS.
Consideremos un QS de un solo canal, cuya entrada recibe el flujo más simple de solicitudes con una intensidad λ . Supongamos que el flujo de servicios también es el más simple con intensidad. μ . Esto significa que un canal continuamente ocupado sirve en promedio μ Aplicaciones por unidad de tiempo. Una solicitud recibida por el QS en un momento en que el canal está ocupado, a diferencia del QS con fallas, no sale del sistema, sino que se pone en cola y espera servicio.
A continuación, asumimos que en este sistema hay un límite en la longitud de la cola, lo que significa el número máximo de lugares en la cola, es decir, asumimos que puede haber un máximo de metro≥1 aplicaciones. Por tanto, una aplicación que llega a la entrada del QS, en el momento en que ya hay personas en la cola metro solicita, es rechazado y deja el sistema sin servicio.
Por tanto, el QS considerado pertenece a sistemas de tipo mixto con limitación en la longitud de la cola.
Numeremos los estados del QS según el número de aplicaciones en el sistema, es decir en servicio y en cola:
S 0 – el canal está libre (por lo tanto, no hay cola);
S 1 – el canal está ocupado y no hay cola, es decir hay una aplicación (en servicio) en la CMO;
S 2 – el canal está ocupado y hay una solicitud en la cola;
……………………………………………………..
S metro +1 – el canal está ocupado y en cola metro aplicaciones.
El gráfico de estado de este QS se muestra en la Fig. 6 y coincide con el gráfico que describe el proceso de muerte y reproducción, con la diferencia de que si hay un solo canal de servicio, todas las intensidades de flujo de servicios son iguales μ .
Arroz. 6. Diagrama de estado en un sistema monocanal con cola.
Para describir el modo de funcionamiento límite del QS, puede utilizar las reglas y fórmulas indicadas. Anotemos inmediatamente las expresiones que determinan las probabilidades límite de estados:
Dónde ρ = λ/μ
– intensidad de carga del canal.
Si λ = μ , entonces obtenemos .
Déjalo ahora 
. Expresión para pag 0
posible en en este caso Es más fácil de escribir, usando el hecho de que el denominador contiene la suma metro+ 2
miembros progresión geométrica con denominador ρ
:
.
Tenga en cuenta que cuando metro= 0 Pasamos al QS monocanal ya considerado con fallos. En este caso.
Determinemos las características principales de un QS de un solo canal con espera: rendimiento relativo y absoluto, probabilidad de falla, así como la longitud promedio de la cola y el tiempo de espera promedio para una aplicación en la cola.
Una solicitud recibida a la entrada del QS se rechaza si y sólo si el canal está ocupado y está esperando en la cola. metro aplicaciones, es decir cuando el sistema está en un estado S metro +1 . Por lo tanto, la probabilidad de falla está determinada por la probabilidad de que ocurra la condición. S metro +1 :
El rendimiento relativo, o la proporción de solicitudes atendidas que llegan por unidad de tiempo, está determinado por la expresión:
Tenga en cuenta que el rendimiento relativo q coincide con la proporción promedio de solicitudes aceptadas (es decir, no rechazadas) en el sistema entre todas las recibidas, ya que una solicitud que ingresa a la cola ciertamente será atendida.
Rendimiento absoluto del sistema
.
Número medio de solicitudes l muy bien La cola para recibir servicio se define como la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta. k– número de solicitudes en cola:
.
variable aleatoria k toma valores 0, 1, 2,…, metro, cuyas probabilidades están determinadas por las probabilidades de los estados del sistema. pag k . Por tanto, la ley de distribución de una variable aleatoria discreta. k tiene la siguiente forma:
Por lo tanto, al definir la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta (teniendo en cuenta fórmulas para probabilidades de estado), obtenemos:
(16)
Supongamos que ρ ≠ 1 . Obviamente tenemos:
pero la cantidad 
es la suma de la primera metro términos de progresión geométrica
.
(17)
Sustituyendo la expresión (17) en (16), encontramos:
o, usando la igualdad 
(obtenido con ρ ≠
1
), tenemos
Si ρ =
1
, entonces de la igualdad (16) 
y dado que en este caso 
Y 
(suma metro términos de una progresión aritmética), finalmente obtenemos
.
Entonces, el número promedio de solicitudes en la cola.
(18)
Una característica importante de un QS con espera es el tiempo de espera promedio de una aplicación en la cola. 
. Dejar t muy bien
– una variable aleatoria continua que representa el tiempo de espera de una aplicación en la cola. Calculamos el tiempo de espera promedio para una aplicación en la cola como la expectativa matemática de esta variable aleatoria:
.
Para calcular la expectativa matemática, usamos la fórmula para la expectativa matemática total: si podemos hacer con las condiciones del experimento norte(por pares) hipótesis inconsistentes 
entonces la expectativa matemática total de la variable aleatoria incógnita se puede calcular usando la fórmula
Dónde METRO (incógnita | h k ) – expectativa matemática condicional del valor incógnita bajo hipótesis h k .
consideremos metro+ 2 hipótesis inconsistentes h k , k= 0,1,..., metro+ 1 , consistente en que el QS se encuentra respectivamente en los estados S k , k= 0,1,..., metro+ 1 . Probabilidades de estas hipótesis. pag (h k ) = pag k , k= 0,1,..., metro+1 .
Si la solicitud llega al QS bajo la hipótesis h 0
S 0
, en el que el canal está libre, entonces la solicitud no tendrá que hacer cola y, por tanto, la expectativa matemática condicional METRO
(
|
h 0
)
variable aleatoria 
bajo hipótesis h 0
, coincidiendo con el tiempo medio de espera de una solicitud en la cola según la hipótesis h 0
, es igual a cero.
Para una solicitud recibida por el QS bajo la hipótesis h 1
, es decir. cuando el QS está en un estado S 1
, en el que el canal está ocupado, pero no hay cola, expectativa matemática condicional METRO
(
| h 1
)
variable aleatoria 
bajo hipótesis h 1
, coincidiendo con el tiempo medio de espera de una solicitud en la cola según la hipótesis h 1
, será igual al tiempo promedio de atención de una solicitud 
.
Expectativa matemática condicional METRO
(
| h 2
)
variable aleatoria 
bajo hipótesis h 2
, es decir. siempre que la solicitud haya sido recibida por una OCM en el estado de S 2
, en el que el canal está ocupado y una solicitud ya está esperando en la cola, es igual a 2/
μ
(el doble del tiempo promedio de atención, ya que es necesario atender dos solicitudes: la que está en el canal de atención y la que está esperando en la cola). Etcétera.
Si una aplicación ingresa al sistema bajo la hipótesis h metro, es decir. cuando el canal está ocupado y están esperando en la fila metro−
1
aplicaciones, entonces METRO
(
| h metro).
Finalmente, la aplicación que llegó al QS bajo la hipótesis h metro +1
, es decir. cuando el canal está ocupado, metro las solicitudes están en una cola y no quedan más lugares libres en la cola, son rechazadas y abandonan el sistema. Por lo tanto en este caso METRO
(
| h metro +1
)
= 0.
Por lo tanto, según la fórmula para la expectativa matemática total, el tiempo de espera promedio para una aplicación en la cola es
Sustituyendo aquí las expresiones de las probabilidades. pag k
(k=1,2,...,metro), obtenemos: 
(19)
Si la intensidad de carga del canal ρ ≠ 1 , luego de la igualdad (19) teniendo en cuenta las fórmulas (17), (18), así como la expresión para pag 0 encontramos:
Si ρ =
1
, entonces, sustituyendo en la igualdad (19) la expresión pag 0
= 1/(metro+2), valor del importe 
, usando la fórmula (18) con ρ
=
1
y considerando que en este caso μ
= λ
, tendremos 
Entonces, para cualquier ρ obtenemos una fórmula para el tiempo promedio que una aplicación permanece en la cola, que se llama fórmula de Little: 
aquellos. tiempo promedio de espera para una solicitud en cola
igual al número promedio de solicitudes en la cola l muy bien, dividido por intensidad
λ flujo entrante de solicitudes .
Ejemplo. En una gasolinera (gasolinera) hay una bomba. El área de la estación donde los automóviles esperan para repostar no puede acomodar a más de tres automóviles a la vez; si está ocupada, el siguiente automóvil que llega a la estación no hace cola, sino que se dirige a la gasolinera vecina. De media, los coches llegan a la estación cada 2 minutos. El proceso de repostar un coche dura una media de 2,5 minutos. Determinar las principales características del sistema.
Solución. El modelo matemático de esta gasolinera es un QS de un solo canal con espera y un límite en la longitud de la cola ( metro= 3). Se supone que el flujo de coches que se acercan a la gasolinera para repostar y el flujo de servicios son simples.
Dado que los automóviles llegan en promedio cada 2 minutos, la intensidad del flujo entrante es igual a λ
=1/2 = 0,5 (máquinas por minuto). Tiempo medio de servicio por máquina 
= 2,5 min, por lo tanto, la intensidad del flujo de servicio μ
=1/2,5 = 0,4 (coches por minuto).
Determinamos la intensidad de carga del canal: ρ = λ/ μ = 0,5/0,4 = 1,25.
Calcular la probabilidad de falla 
¿De dónde viene el ancho de banda relativo?
y rendimiento absoluto A= λ
q≈ 0,5⋅0,703
≈ 0,352.
Número medio de coches esperando en cola para repostar
Calculamos el tiempo medio de espera de un coche en cola utilizando la fórmula de Little 
= l muy bien/λ ≈1,559/0,5 = 3,118.
Así, del análisis del trabajo del QS se desprende que de cada 100 coches que se acercan, 30 son rechazados ( PAG abierto≈ 29,7%), es decir Se atienden 2/3 de las aplicaciones. Por lo tanto, es necesario reducir el tiempo de servicio de una máquina (aumentar la intensidad del flujo de servicio), aumentar el número de bombas o aumentar el área de espera.
