Mostremos un ejemplo de un cálculo detallado de los parámetros de la ecuación de tendencia basado en los siguientes datos (ver tabla) usando una calculadora.
La ecuación de tendencia lineal es y = at + b.
1. Encuentra los parámetros de la ecuación usando el método. mínimos cuadrados
.
Sistema de ecuaciones de mínimos cuadrados:
un 0 norte + un 1 ∑t = ∑y
un 0 ∑t + un 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) | (y-y cp) 2 | (yy(t)) 2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)) : y |
| 1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
| 2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
| 3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
| 4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
| 5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
| 6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
| 7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
| 8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
| 9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
| 10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
| 11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
| 12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
| 78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
Para nuestros datos, el sistema de ecuaciones tiene la forma:
12a 0 + 78a 1 = 567,8
78a 0 + 650a 1 = 4602,3
De la primera ecuación expresamos un 0 y lo sustituimos en la segunda ecuación.
Obtenemos un 0 = 6,37, un 1 = 5,88
Nota: los valores de la columna No. 6 y(t) se calculan con base en la ecuación de tendencia obtenida. Por ejemplo, t = 1: y(1) = 6,37*1 + 5,88 = 12,26
Ecuación de tendencia
y = 6,37 t + 5,88Evaluemos la calidad de la ecuación de tendencia utilizando el error de aproximación absoluto.
Dado que el error es superior al 15%, no es aconsejable utilizar esta ecuación como tendencia.
Valores medios: 
Dispersión 
Desviación estándar
Coeficiente de elasticidad 
El coeficiente de elasticidad es menor que 1. Por lo tanto, si X cambia en un 1%, Y cambiará menos del 1%. En otras palabras, la influencia de X sobre Y no es significativa.
Coeficiente de determinación 
aquellos. en el 82,04% de los casos afecta a cambios de datos. En otras palabras, la precisión al seleccionar la ecuación de tendencia es alta.
2. Análisis de la precisión de determinar las estimaciones de los parámetros de la ecuación de tendencia..
Varianza del error de ecuación.
donde m = 1 es el número de factores que influyen en el modelo de tendencia.
Error estándar de ecuación.
3. Probar hipótesis sobre coeficientes ecuación lineal tendencia.
1) estadístico t. Prueba t de Student.
Usando la tabla de Student encontramos Ttable
Tabla T (n-m-1;α/2) = (10;0,025) = 2,228
>
Se confirma la significación estadística del coeficiente a 0. El parámetro estimado a 0 es significativo y la serie temporal tiene tendencia.
La significación estadística del coeficiente a 1 no está confirmada.
Intervalo de confianza para los coeficientes de la ecuación de tendencia..
Determinemos los intervalos de confianza de los coeficientes de tendencia, que con una confiabilidad del 95% quedarán como sigue:
(a 1 - t obs S a 1 ;a 1 + t obs S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
Dado que el punto 0 (cero) se encuentra dentro intervalo de confianza, entonces la estimación de intervalo del coeficiente a 0 es estadísticamente insignificante.
2) Estadística F. Criterio de Fisher. 
Fkp = 4,84
Dado que F > Fkp, el coeficiente de determinación es estadísticamente significativo
Comprobación de la autocorrelación de residuos.
Un requisito previo importante para la calidad de la construcción modelo de regresión según MCO es la independencia de los valores de las desviaciones aleatorias de los valores de las desviaciones en todas las demás observaciones. De este modo se garantiza que no exista correlación entre desviaciones eventuales y, en particular, entre desviaciones adyacentes.
Autocorrelación (correlación serial) se define como la correlación entre indicadores observados ordenados en el tiempo (series de tiempo) o en el espacio (series cruzadas). La autocorrelación de residuos (varianzas) es común en el análisis de regresión cuando se utilizan datos de series de tiempo y muy rara cuando se utilizan datos transversales.
En problemas económicos es mucho más común autocorrelación positiva, en vez de autocorrelación negativa. En la mayoría de los casos, la autocorrelación positiva es causada por direccionalidad. exposición constante Algunos factores no se tienen en cuenta en el modelo.
Autocorrelación negativa En realidad significa que a una desviación positiva le sigue una negativa y viceversa. Esta situación puede darse si se considera la misma relación entre la demanda de refrescos y los ingresos según datos estacionales (invierno-verano).
Entre razones principales que causan la autocorrelación, se pueden distinguir los siguientes:
1. Errores de especificación. No tener en cuenta alguna variable explicativa importante en el modelo o elegir incorrectamente la forma de dependencia generalmente conduce a desviaciones sistémicas de los puntos de observación de la línea de regresión, lo que puede conducir a una autocorrelación.
2. Inercia. Muchos indicadores económicos(inflación, desempleo, PNB, etc.) tienen un cierto carácter cíclico asociado a la ondulación de la actividad empresarial. Por tanto, el cambio de indicadores no se produce instantáneamente, sino que tiene cierta inercia.
3. Efecto telaraña. En muchas áreas de producción y otras áreas, los indicadores económicos responden a los cambios en las condiciones económicas con retraso (desfase temporal).
4. Suavizado de datos. A menudo, los datos correspondientes a un período de tiempo prolongado se obtienen promediando los datos de sus intervalos constituyentes. Esto puede conducir a una cierta suavización de las fluctuaciones que ocurrieron dentro del período considerado, lo que a su vez puede causar autocorrelación.
Las consecuencias de la autocorrelación son similares a las heterocedasticidad: Las conclusiones de los estadísticos t y F que determinan la importancia del coeficiente de regresión y el coeficiente de determinación pueden ser incorrectas.
Detección de autocorrelación
1. Método gráfico
Hay varias opciones para definir gráficamente la autocorrelación. Uno de ellos vincula las desviaciones e i con los momentos de su recepción i. En este caso, el eje de abscisas muestra el tiempo de obtención de datos estadísticos o número de serie observaciones, y a lo largo de ordenadas: desviaciones e i (o estimaciones de desviaciones).
Es natural suponer que si existe una cierta conexión entre las desviaciones, entonces se produce autocorrelación. La ausencia de dependencia probablemente indicará la ausencia de autocorrelación.
La autocorrelación se vuelve más clara si trazas la dependencia de e i en e i-1
Prueba de Durbin-Watson.
Este criterio es el más conocido para detectar la autocorrelación.
Al analizar estadísticamente ecuaciones de regresión, en la etapa inicial a menudo se comprueba la viabilidad de un requisito previo: las condiciones para la independencia estadística de las desviaciones entre sí. En este caso, se comprueba la falta de correlación de los valores vecinos e i.
| y | y(x) | mi yo = yy(x) | mi 2 | (e i - e i-1) 2 |
| 17.4 | 12.26 | 5.14 | 26.47 | 0 |
| 26.9 | 18.63 | 8.27 | 68.39 | 9.77 |
| 23 | 25 | -2 | 4.02 | 105.57 |
| 23.7 | 31.38 | -7.68 | 58.98 | 32.2 |
| 27.2 | 37.75 | -10.55 | 111.4 | 8.26 |
| 34.5 | 44.13 | -9.63 | 92.72 | 0.86 |
| 50.7 | 50.5 | 0.2 | 0.0384 | 96.53 |
| 61.4 | 56.88 | 4.52 | 20.44 | 18.71 |
| 69.3 | 63.25 | 6.05 | 36.56 | 2.33 |
| 94.4 | 69.63 | 24.77 | 613.62 | 350.63 |
| 61.1 | 76 | -14.9 | 222.11 | 1574.09 |
| 78.2 | 82.38 | -4.18 | 17.46 | 115.03 |
| 1272.21 | 2313.98 |
Para analizar la correlación de desviaciones, utilice Durbin Watson estadísticas:
Los valores críticos d 1 y d 2 se determinan sobre la base de tablas especiales para el nivel de significancia requerido α, el número de observaciones n = 12 y el número de variables explicativas m = 1.
No hay autocorrelación si se cumple la siguiente condición:
re 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Sin consultar tablas, puede utilizar una regla aproximada y suponer que no existe autocorrelación de residuos si 1,5< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков ausente.
Para obtener una conclusión más fiable, es aconsejable consultar los valores tabulares.
Usando la tabla de Durbin-Watson para n=12 y k=1 (nivel de significancia del 5%), encontramos: d 1 = 1,08; d2 = 1,36.
Desde 1.08< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков ausente.
Comprobando la heterocedasticidad.
1) Mediante análisis gráfico de residuos..
En este caso, los valores de la variable explicativa X se trazan a lo largo del eje de abscisas y las desviaciones e i o sus cuadrados e 2 i se trazan a lo largo del eje de ordenadas.
Si existe una cierta conexión entre las desviaciones, entonces se produce heterocedasticidad. La ausencia de dependencia probablemente indicará la ausencia de heterocedasticidad.
2) Usando una prueba correlación de rango Lancero.
Coeficiente de correlación de rangos de Spearman.
Asignemos rangos a la característica Y y al factor X. Encuentre la suma de la diferencia de cuadrados d 2.
Usando la fórmula, calculamos el coeficiente de correlación de rango de Spearman. 
| t | y yo | rango X, dx | rango e i, d y | (d x - d y) 2 |
| 1 | -5.14 | 1 | 4 | 9 |
| 2 | -8.27 | 2 | 2 | 0 |
| 3 | 2 | 3 | 7 | 16 |
| 4 | 7.68 | 4 | 9 | 25 |
| 5 | 10.55 | 5 | 11 | 36 |
| 6 | 9.63 | 6 | 10 | 16 |
| 7 | -0.2 | 7 | 6 | 1 |
| 8 | -4.52 | 8 | 5 | 9 | tabla t (n-m-1;α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
Más a menudo la tendencia parece dependencia lineal del tipo que se está estudiando
donde y es la variable de interés (por ejemplo, productividad) o la variable dependiente;
x es un número que determina la posición (segundo, tercero, etc.) del año en el período de pronóstico o una variable independiente.
Cuando se aproxima linealmente la relación entre dos parámetros, el método de mínimos cuadrados se utiliza con mayor frecuencia para encontrar los coeficientes empíricos de una función lineal. La esencia del método es que función lineal El “mejor ajuste” pasa por los puntos del gráfico correspondientes al mínimo de la suma de las desviaciones al cuadrado del parámetro medido. Esta condición se parece a:
donde n es el volumen de la población en estudio (el número de unidades de observación).
Arroz. 5.3. Construyendo una tendencia usando el método de mínimos cuadrados
Los valores de las constantes b y a o el coeficiente de la variable X y el término libre de la ecuación están determinados por la fórmula:
en la mesa 5.1 muestra un ejemplo de cálculo de una tendencia lineal a partir de datos.
Tabla 5.1. Cálculo de tendencia lineal
Métodos para suavizar las oscilaciones.
Si existen fuertes discrepancias entre valores vecinos, la tendencia obtenida mediante el método de regresión es difícil de analizar. Al pronosticar, cuando una serie contiene datos con una gran variedad de fluctuaciones en los valores vecinos, se deben suavizar de acuerdo con ciertas reglas y luego buscar el significado en el pronóstico. Al método de suavizar las oscilaciones.
Incluye: método de promedio móvil (se calcula el promedio de n puntos), método de suavizado exponencial. Mirémoslos.
Método de media móvil (MAM).
MSS le permite suavizar una serie de valores para resaltar una tendencia. Este método toma el promedio (normalmente la media aritmética) de un número fijo de valores. Por ejemplo, una media móvil de tres puntos. Se toman los primeros tres valores, recopilados a partir de datos de enero, febrero y marzo (10 + 12 + 13), y se determina que el promedio es 35: 3 = 11,67.
El valor resultante de 11,67 se coloca en el centro del rango, es decir según la línea de febrero. Luego nos “deslizamos un mes” y tomamos los segundos tres números, de febrero a abril (12 + 13 + 16), y calculamos el promedio igual a 41: 3 = 13,67, y de esta manera procesamos los datos para el serie entera. Los promedios resultantes representan una nueva serie de datos para construir una tendencia y su aproximación. Cuantos más puntos se toman para calcular la media móvil, más fuerte se suavizan las fluctuaciones. En la tabla se muestra un ejemplo de MBA de construcción de tendencias. 5.2 y en la Fig. 5.4.
Tabla 5.2 Cálculo de tendencias utilizando el método de media móvil de tres puntos
La naturaleza de las fluctuaciones en los datos originales y los datos obtenidos mediante el método de media móvil se ilustra en la Fig. 5.4. Al comparar los gráficos de la serie de valores iniciales (serie 3) y las medias móviles de tres puntos (serie 4), queda claro que las fluctuaciones se pueden suavizar. Cómo numero mayor Cuantos más puntos haya en el rango de cálculo de la media móvil, más claramente surgirá la tendencia (fila 1). Pero el procedimiento de ampliación del rango conduce a una reducción en el número de valores finales y esto reduce la precisión del pronóstico.
Los pronósticos deben realizarse a partir de estimaciones de la línea de regresión basadas en los valores de los datos iniciales o promedios móviles.
Arroz. 5.4. La naturaleza de los cambios en el volumen de ventas por mes del año:
datos iniciales (fila 3); medias móviles (fila 4); suavizado exponencial(fila 2); tendencia construida mediante el método de regresión (fila 1)
Método de suavizado exponencial.
Un enfoque alternativo para reducir la dispersión de los valores de las series es utilizar el método de suavizado exponencial. El método se denomina “suavizado exponencial” debido a que cada valor de los períodos del pasado se reduce en un factor (1 – α).
Cada valor suavizado se calcula utilizando una fórmula de la forma:
St =aYt +(1−α)St−1,
donde St es el valor suavizado actual;
Yt – valor actual de la serie temporal; St – 1 – valor suavizado anterior; α es una constante de suavizado, 0 ≤ α ≤ 1.
Cómo menos valor Cuanto más constante es α, menos sensible es a los cambios de tendencia en una serie de tiempo determinada.
El capítulo 2 analizó el concepto de tendencia de una serie de tiempo, es decir, tendencias en la dinámica de desarrollo del indicador en estudio. El propósito de este capítulo es considerar los principales tipos de tales tendencias, sus propiedades, reflejadas con mayor o menor grado de integridad por la ecuación de la línea de tendencia. Señalemos que, a diferencia de los sistemas mecánicos simples, las tendencias en los cambios en los indicadores de sistemas sociales, económicos, biológicos y técnicos complejos se reflejan sólo con cierta aproximación mediante una u otra ecuación, una línea de tendencia.
Este capítulo no considera todas las rectas y sus ecuaciones conocidas en matemáticas, sino sólo un conjunto de sus formas relativamente simples, que consideramos suficientes para mostrar y analizar la mayoría de las tendencias de series temporales encontradas en la práctica. En este caso, es aconsejable elegir siempre una línea más simple entre varios tipos de líneas que expresen bastante fielmente la tendencia. Este "principio de simplicidad" se justifica por el hecho de que cuanto más compleja es la ecuación de la línea de tendencia, cuanto mayor es el número de parámetros que contiene, más difícil es, con igual grado de aproximación, dar una estimación fiable de estos parámetros. en base a un número limitado de niveles de la serie y cuanto mayor sea el error en la estimación de estos parámetros, mayores serán los errores en los niveles predichos.
4.1. Tendencia en línea recta y sus propiedades.
lo mas tipo simple Una línea de tendencia es una línea recta descrita por una ecuación de tendencia lineal (es decir, de primer grado):
Dónde 
-
alineado, es decir sin fluctuaciones, niveles de tendencia para años con el número i;
A- término libre de la ecuación, numéricamente igual al nivel nivelado promedio para el momento o período de tiempo tomado como origen, es decir Para
t = 0;
b - el cambio promedio en los niveles de la serie por unidad de cambio en el tiempo;
ti - Número de momentos o períodos de tiempo a los que se refieren los niveles de la serie temporal (año, trimestre, mes, fecha).
El cambio promedio en los niveles de la serie por unidad de tiempo es el parámetro principal y constante de la tendencia lineal. Por lo tanto, este tipo de tendencia es adecuado para mostrar una tendencia a cambios aproximadamente uniformes en los niveles: aumentos absolutos promedio iguales o disminuciones absolutas en los niveles durante períodos de tiempo iguales. La práctica demuestra que este tipo de dinámica ocurre con bastante frecuencia. La razón de los cambios absolutos casi uniformes en los niveles de la serie es la siguiente: muchos fenómenos, como los rendimientos agrícolas, la población de una región, ciudad, el monto de los ingresos de la población, el consumo promedio de cualquier producto alimenticio, etc., dependen de una gran cantidad de factores diferentes. Algunos de ellos influyen en el crecimiento acelerado del fenómeno en estudio, otros - el crecimiento más lento, otros - la reducción de niveles, etc. La influencia de fuerzas de factores multidireccionales y diferentemente aceleradas (lentas) se promedia mutuamente, se cancela parcialmente y la resultante de sus influencias adquiere un carácter cercano a una tendencia uniforme. Entonces, una tendencia uniforme de dinámica (o estancamiento) es el resultado de sumar la influencia de una gran cantidad de factores sobre el cambio en el indicador en estudio.
Una representación gráfica de una tendencia rectilínea es una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular con una escala lineal (aritmética) en ambos ejes. Un ejemplo de tendencia lineal se da en la Fig. 4.1.
Los cambios absolutos en los niveles en diferentes años no fueron exactamente los mismos, pero la tendencia general fue una reducción en el número de personas empleadas en economía nacional muy bien reflejado por una tendencia lineal. Sus parámetros se calculan en el Cap. 5 (Tabla 5.3).
Las principales propiedades de una tendencia en forma de línea recta son las siguientes:
Cambios iguales en períodos de tiempo iguales;
Si el aumento absoluto promedio es un valor positivo, entonces los aumentos relativos o las tasas de crecimiento disminuyen gradualmente;
Si el cambio absoluto promedio es negativo, entonces los cambios relativos o la tasa de reducción aumentan gradualmente según valor absoluto disminuir al nivel anterior;
Si la tendencia es hacia una reducción de los niveles y el valor estudiado es por definición positivo, entonces el cambio promedio b no puede ser más que el promedio A;
Con una tendencia lineal, la aceleración, es decir. la diferencia en los cambios absolutos durante períodos sucesivos es igual a cero.
Las propiedades de una tendencia lineal se ilustran en la tabla. 4.1. Ecuación de tendencia: 
= 100 +20 *ti.
Los indicadores de dinámica en presencia de una tendencia hacia niveles decrecientes se dan en la tabla. 4.2.
Tabla 4.1
Indicadores dinámicos con tendencia lineal hacia niveles crecientes. 
= 100 +20 *ti.
|
Número de período ti |
|
Tarifas (cadena), % |
Aceleración |
|
Tabla 4.2
Indicadores dinámicos con tendencia lineal de niveles decrecientes: 
= 200 -20 *ti.
|
Número de período ti |
|
Variación absoluta respecto al período anterior |
Tasa respecto al período anterior, % |
Aceleración |
Según la fórmula (9.29), los parámetros de la tendencia lineal son iguales. un = 1894/11 = 172,2 centavos/ha; b= 486/110 = 4.418 c/ha. La ecuación de tendencia lineal tiene la forma:
y = 172,2 + 4,418t, Dónde t = 0 en 1987. Esto significa que el nivel medio real y nivelado se refiere a la mitad del período, es decir. en 1991, 172 c/ha por año; el aumento medio anual es de 4.418 c/ha por año;
Los parámetros de la tendencia parabólica según (9.23) son iguales a segundo = 4,418; a = 177,75; c =-0,5571. La ecuación de tendencia parabólica tiene la forma у̃ = 177,75 + 4,418t - 0.5571t2; t= 0 en 1991. Esto significa que el aumento absoluto del rendimiento se desacelera en un promedio de 2,0,56 c/ha por año. El crecimiento absoluto en sí ya no es una constante de la tendencia parabólica, sino un valor medio para el período. En el año tomado como punto de partida, es decir 1991, la tendencia pasa por el punto con ordenadas 77,75 c/ha; El término libre de una tendencia parabólica no es el nivel medio del período. Los parámetros de tendencia exponencial se calculan utilizando las fórmulas (9.32) y (9.33) ln A= 56,5658/11 = 5,1423; potenciando, obtenemos A= 171,1; en k= 2,853:110 = 0,025936; potenciando, obtenemos k = 1,02628.
La ecuación de tendencia exponencial es: y= 171,1 1,02628 t.
Esto significa que la tasa de rendimiento anual promedio del período fue de 102,63%. En el punto K tomado como punto de partida, la tendencia pasa por el punto con ordenada 171,1 c/ha.
Los niveles calculados utilizando las ecuaciones de tendencia están escritos en las últimas tres columnas de la tabla. 9.5. Como se desprende de estos datos. Los valores calculados de los niveles para los tres tipos de tendencias no difieren mucho, ya que tanto la aceleración de la parábola como la tasa de crecimiento exponencial son pequeñas. Una parábola tiene una diferencia significativa: el crecimiento de los niveles se ha detenido desde 1995, mientras que con una tendencia lineal los niveles continúan creciendo y con una tendencia exponencial su ritmo se acelera. Por lo tanto, para los pronósticos para el futuro, estas tres tendencias no son iguales: al extrapolar la parábola a años futuros, los niveles divergirán marcadamente de la línea recta y la exponencial, como se puede ver en la tabla. 9.6. Esta tabla muestra una copia impresa de la solución en una PC usando el programa Statgraphics para las mismas tres tendencias. La diferencia entre sus términos libres y los indicados anteriormente se explica por el hecho de que el programa numera los años no desde el medio, sino desde el principio, de modo que los términos libres de las tendencias se refieren a 1986, para lo cual t = 0. La ecuación exponencial en la impresión se deja en forma logarítmica. La previsión se realiza con 5 años de antelación, es decir. hasta 2001. Cuando cambia el origen de las coordenadas (referencia de tiempo) en la ecuación de la parábola, el aumento absoluto promedio, el parámetro b. ya que, como resultado de la aceleración negativa, el crecimiento disminuye todo el tiempo, y su máximo es al inicio del período. La única constante de una parábola es la aceleración.
La línea “Datos” muestra los niveles de la serie original; "Resumen de previsión" significa un resumen de los datos de previsión. En las siguientes líneas hay ecuaciones de línea recta, parábolas, exponentes, en forma logarítmica. La columna ME significa la diferencia promedio entre los niveles de la serie original y los niveles de tendencia (alineados). Para una línea recta y una parábola, esta discrepancia es siempre cero. Los niveles de exponente son en promedio 0,48852 más bajos que los niveles de la serie original. Es posible una coincidencia exacta si la verdadera tendencia es exponencial; V en este caso No hay coincidencia, pero la diferencia es pequeña. La gráfica MAE es la varianza. t 2 - una medida de la variabilidad de los niveles reales en relación con la tendencia, como se analiza en el párrafo 9.7. Columna MAE: desviación lineal promedio de los niveles con respecto a la tendencia en valor absoluto (ver párrafo 5.8); columna MARE: desviación lineal relativa como porcentaje. Aquí se presentan como indicadores de la idoneidad del tipo de tendencia seleccionado. La parábola tiene un módulo de dispersión y desviación menor: para el período 1986 - 1996. más cerca de los niveles reales. Pero la elección del tipo de tendencia no puede reducirse únicamente a este criterio. De hecho, la desaceleración del crecimiento es el resultado de una gran desviación negativa, es decir, una mala cosecha en 1996.
La segunda mitad del cuadro es un pronóstico de los niveles de rendimiento para tres tipos de tendencias durante años; t = 12, 13, 14, 15 y 16 desde el origen (1986). Los niveles previstos para la exponencial hasta el año 16 no son mucho más altos que para la línea recta. Los niveles de la tendencia parabólica están disminuyendo, divergiendo cada vez más de otras tendencias.
Como se puede observar en la tabla. 9.4, al calcular los parámetros de tendencia, los niveles de la serie original se incluyen con diferentes pesos - valores tp y sus plazas. Por lo tanto, la influencia de las fluctuaciones de nivel en los parámetros de tendencia depende de si se trata de un año de cosecha o de escasez. Si se produce una desviación pronunciada en un año con un número cero ( t i = 0), entonces no tendrá ningún efecto sobre los parámetros de tendencia, pero si llega al principio y al final de la serie, tendrá un fuerte efecto. En consecuencia, una única alineación analítica no libera completamente los parámetros de tendencia de la influencia de las fluctuaciones y, en caso de fuertes fluctuaciones, pueden distorsionarse enormemente, como sucedió con la parábola de nuestro ejemplo. Para eliminar aún más la influencia distorsionante de las fluctuaciones en los parámetros de tendencia, se debe aplicar método de alineación deslizante múltiple.
Esta técnica consiste en que los parámetros de tendencia no se calculan inmediatamente para toda la serie, sino método deslizante, primero por primero t periodos de tiempo o momentos, luego para el periodo del 2º al t+ 1, del 3 al (t + 2) nivel, etc. Si el número de niveles iniciales de la serie es igual a pag, y la longitud de cada base deslizante para el cálculo de parámetros es igual a T, entonces el número de dichas bases móviles t o valores de parámetros individuales que se determinarán a partir de ellas será:
l = norte + 1 - T.
La aplicación de la técnica de alineación múltiple deslizante, como puede verse en los cálculos anteriores, sólo es posible con un número suficientemente grande de niveles en la serie, normalmente 15 o más. Consideremos esta técnica usando los datos de la Tabla 1 como ejemplo. 9.4 - dinámica de los precios de bienes distintos de los combustibles países en desarrollo, que nuevamente permite al lector participar en una pequeña investigación científica. Usando el mismo ejemplo, continuaremos con la técnica de pronóstico en la Sección 9.10.
Si calculamos los parámetros de nuestra serie en períodos de 11 años (en 11 niveles), entonces t= 17 + 1 - 11 = 7. El significado de alineación deslizante múltiple es que con cambios sucesivos de la base para calcular los parámetros, en los extremos y en el medio habrá diferentes niveles con desviaciones de la tendencia de diferente signo y magnitud. Por lo tanto, con algunos cambios en la base, los parámetros se sobreestimarán, con otros, se subestimarán y con el posterior promedio de los valores de los parámetros sobre todos los cambios de la base de cálculo, habrá una mayor cancelación mutua de distorsiones. en los parámetros de tendencia por fluctuaciones en los niveles.
La alineación deslizante múltiple no solo le permite obtener una estimación más precisa y confiable de los parámetros de tendencia, sino también controlar la elección correcta del tipo de ecuación de tendencia. Si resulta que el parámetro de tendencia principal, su constante cuando se calcula utilizando bases móviles, no fluctúa aleatoriamente, sino que cambia sistemáticamente su valor de manera significativa, entonces el tipo de tendencia se eligió incorrectamente, este parámetro no es una constante .
En cuanto al término libre durante la ecualización múltiple, no es necesario y, además, es simplemente incorrecto calcular su valor como el promedio de todos los cambios de base, porque con este método los niveles individuales de la serie original se incluirían en el cálculo. del promedio con pesos diferentes, y la suma de los niveles igualados divergiría con la suma de los términos de la serie original. El término libre de la tendencia es el valor promedio del nivel para el período, siempre que el tiempo se cuente desde la mitad del período. Al contar desde el principio, si el primer nivel yo= 1, el término libre será igual a: a 0 = у̅ - b((N-1)/2). Se recomienda que la longitud de la base móvil para calcular los parámetros de tendencia sea de al menos 9-11 niveles para amortiguar suficientemente las fluctuaciones de niveles. Si la fila inicial es muy larga, la base puede tener hasta 0,7 - 0,8 de su longitud. Para eliminar la influencia de las fluctuaciones periódicas (cíclicas) largas en los parámetros de tendencia, el número de cambios de base debe ser igual o múltiplo de la duración del ciclo de oscilación. Luego, el principio y el final de la base "recorrerán" secuencialmente todas las fases del ciclo y, al promediar el parámetro en todos los cambios, sus distorsiones por oscilaciones cíclicas se cancelarán entre sí. Otra forma es tomar la longitud de la base móvil igual a la longitud del ciclo, de modo que el inicio y el final de la base siempre caigan en la misma fase del ciclo de oscilación.
Ya que según la tabla. 9.4, ya se ha establecido que la tendencia tiene forma lineal, calculamos el aumento absoluto anual promedio, es decir, el parámetro b ecuaciones de tendencia lineal de forma móvil sobre bases de 11 años (ver Tabla 9.7). También contiene el cálculo de los datos necesarios para el posterior estudio de variabilidad en el apartado 9.7. Echemos un vistazo más de cerca a la técnica de alineación múltiple utilizando bases deslizantes. Calculemos el parámetro. b para todas las bases de datos:
Tomando la recta como función hipotética de los niveles teóricos, determinamos los parámetros de estos últimos:
Este sistema se puede resolver mediante las fórmulas:
De ahí la ecuación de tendencia deseada: 
. Sustituyendo los valores 1, 2, 3, 4, 5 en la ecuación resultante, determinamos los niveles teóricos de la serie (ver la penúltima columna de la Tabla 4.3). Comparando los valores de los niveles empírico y teórico, vemos que están cerca, es decir podemos decir que la ecuación encontrada caracteriza con mucho éxito la tendencia principal de cambios de nivel precisamente como una función lineal.
El sistema de ecuaciones normales se simplifica si se cuenta el tiempo desde la mitad de la serie. Por ejemplo, cuando número impar de niveles el punto medio (año, mes) se toma como cero. Luego, los períodos anteriores se denominan -1, -2, -3, etc., respectivamente, y los siguientes al promedio – +1, +2, +3, etc., respectivamente. Con un número par de niveles, los dos momentos (períodos) intermedios de tiempo se designan −1 y +1, y todos los posteriores y anteriores, respectivamente, en dos intervalos: 
etc.
Con este orden de conteo del tiempo (desde la mitad de la fila), el sistema de ecuaciones normales se simplifica a las siguientes dos ecuaciones, cada una de las cuales se resuelve de forma independiente:
Importante Al construir un modelo de series temporales, se tienen en cuenta las fluctuaciones estacionales y cíclicas. El enfoque más sencillo para tener en cuenta las fluctuaciones estacionales y cíclicas en el modelo es calcular los valores del componente estacional/cíclico y construir un modelo de series temporales aditivas y multiplicativas.
Vista general El modelo aditivo es el siguiente: Y=T+S+E. Este modelo supone que cada nivel de tiempo de la serie se puede representar como la suma de la tendencia. t, estacional S y un componente aleatorio. La apariencia general del modelo multiplicativo es la siguiente: Y=T∙S∙E.
La elección de uno de los dos modelos se basa en un análisis de la estructura de las fluctuaciones estacionales. Si la amplitud de las oscilaciones es aproximadamente constante, se construye un modelo aditivo de series temporales en el que se supone que los valores del componente estacional son constantes para diferentes ciclos. Si la amplitud de las fluctuaciones estacionales aumenta o disminuye, se construye un modelo de serie temporal multiplicativo, que hace que los niveles de la serie dependan de los valores del componente estacional.
La construcción de modelos aditivos y multiplicativos se reduce al cálculo. T, S, E para cada nivel de fila. Las etapas de construcción de un modelo incluyen los siguientes pasos:
1. Alineación de la serie original mediante el método de media móvil
2. Cálculo de los valores de los componentes estacionales. S.
3. Eliminación del componente estacional de los niveles iniciales de la serie y obtención de datos alineados en aditivo ( T+E) o multiplicativo ( T∙E) modelos.
4. Nivelación analítica ( T+E) o ( T∙E) y cálculo de valores t utilizando la ecuación de tendencia resultante.
5. Cálculo de valores obtenidos del modelo ( T+E) o ( T∙E).
6. Cálculo de valores absolutos y/o errores relativos. Si los valores obtenidos no contienen autocorrelación, pueden reemplazar los niveles originales de la serie y posteriormente utilizar la serie temporal de errores. mi analizar la relación entre la serie original y otras series temporales.
Consideremos otros métodos para analizar las relaciones, suponiendo que la serie de tiempo que se está estudiando no contiene fluctuaciones periódicas. Supongamos que estamos estudiando la dependencia entre las series. incógnita Y en. Para caracterizar cuantitativamente esta dependencia, utilizamos coeficiente lineal correlaciones. Si las series temporales en cuestión tienen tendencia, el coeficiente de correlación en valor absoluto será alto. Sin embargo, esto no significa que incógnita causa en. El alto coeficiente de correlación en este caso es el resultado del hecho de que incógnita Y en Depender del tiempo o contener una tendencia. En este caso, series que no tienen ninguna relación entre sí por la dependencia de causa y efecto pueden tener la misma tendencia o la opuesta. Por ejemplo, el coeficiente de correlación entre el número de graduados universitarios y el número de viviendas de vacaciones en la Federación de Rusia en el período 1970-1990 fue de 0,8. Sin embargo, esto no significa que el número de viviendas de vacaciones contribuya a un aumento del número de titulados o viceversa.
Para obtener coeficientes de correlación que caractericen la relación causa-efecto entre las series en estudio, es necesario deshacerse de la llamada correlación falsa provocada por la presencia de una tendencia en cada serie, que se elimina por uno. de los métodos.
Supongamos que para dos series de tiempo x t Y y t se construye una ecuación de regresión de pares regresión lineal tipo: 
. la presencia de una tendencia en cada una de estas series de tiempo significa que el dependiente y t e independiente x t Las variables del modelo están influenciadas por el factor tiempo, que no se tiene en cuenta directamente en el modelo. La influencia del factor tiempo se expresará en la correlación entre los valores de los residuales para el momento actual y anterior, lo que se denomina autocorrelación en los residuos.
La autocorrelación en los residuos es una violación de una de las premisas principales de MCO: el supuesto de que los residuos obtenidos de la ecuación de regresión son aleatorios. uno de formas posibles La solución a este problema es utilizar un método de mínimos cuadrados generalizado.
Para eliminar la tendencia se utilizan dos grupos de métodos:
Métodos basados en transformar los niveles de la serie original en nuevas variables que no contienen tendencias (método de diferencias sucesivas y método de desviación de tendencias);
Métodos basados en el estudio de la relación entre los niveles iniciales de series de tiempo al eliminar el impacto del factor tiempo sobre las variables dependientes e independientes del modelo (inclusión del factor tiempo en el modelo de regresión para series de tiempo).
Sean dos series de tiempo y , cada una de las cuales contiene un componente de tendencia t y un componente aleatorio. El alineamiento analítico de cada una de estas series nos permite encontrar los parámetros de las ecuaciones de tendencia correspondientes y determinar los niveles calculados por la tendencia y las correspondientes. Estos valores calculados se pueden tomar como una estimación del componente de tendencia. t cada fila. Por tanto, la influencia de la tendencia se puede eliminar restando los valores calculados de los niveles de la serie de los reales. Este procedimiento se realiza para cada serie temporal del modelo. Se lleva a cabo un análisis más detallado de la relación entre series utilizando no niveles iniciales, sino desviaciones de la tendencia y . Esto es exactamente lo que es método de desviación de tendencia.
En algunos casos, en lugar de alinear analíticamente una serie temporal para eliminar una tendencia, se puede utilizar un método más sencillo. – método de diferencias sucesivas. Si una serie temporal contiene una fuerte tendencia lineal, se puede eliminar reemplazando los niveles iniciales de la serie con incrementos absolutos encadenados (primeras diferencias).
Coeficiente b– una constante que no depende del tiempo. En presencia de una fuerte tendencia lineal, las renuncias son bastante pequeñas y, de acuerdo con los supuestos de MCO, son de naturaleza aleatoria. Por tanto, las primeras diferencias entre los niveles de las series no dependen de la variable tiempo y pueden utilizarse para análisis posteriores.
Si una serie de tiempo contiene una tendencia en forma de parábola de segundo orden, entonces, para eliminarla, se pueden reemplazar los niveles iniciales de la serie con diferencias de segundo orden: .
Si la tendencia de la serie temporal sigue una tendencia exponencial o de ley de potencia, el método de diferencias sucesivas no debe aplicarse a niveles iniciales series, sino a sus logaritmos.
Vista del modelo: 
También se refiere al grupo de modelos que incluyen el factor tiempo. La ventaja de este modelo sobre los métodos de desviaciones de tendencias y diferencias secuenciales es que nos permite tener en cuenta toda la información contenida en los datos originales, ya que los valores y son los niveles de la serie temporal original. Además, el modelo se construye utilizando todo el conjunto de datos para el período considerado, a diferencia del método de diferencias secuenciales, que conduce a una pérdida del número de observaciones. Los parámetros de este modelo están determinados por mínimos cuadrados ordinarios.
Ejemplo. Construyamos una ecuación de tendencia basada en los datos iniciales de la Tabla 4.4.
Tabla 4.4
Gastos en consumo final e ingresos totales (unidades convencionales)
El sistema de ecuaciones normales tiene la forma:
Utilizando los datos iniciales, calculamos los valores necesarios y los sustituimos en el sistema:
La ecuación de regresión tiene la forma: .
La interpretación de los parámetros de la ecuación es la siguiente: caracteriza que con un aumento del ingreso total en 1 unidad. Los gastos de consumo final aumentarán en un promedio de 0,49 u.m., suponiendo una tendencia constante. El parámetro significa que el impacto de todos los factores, excepto el ingreso total, sobre los gastos de consumo final conducirá a un aumento absoluto anual promedio de 0,63 pies cúbicos.
Considere una ecuación de regresión de la forma: 
. Para cada momento en el tiempo, el valor de los componentes se define como o. Considerando una secuencia de residuos como una serie de tiempo, se puede trazar su dependencia del tiempo. Según los supuestos de MCO, los residuos deberían ser aleatorios (Figura 4.4).
Arroz. 4.4 Residuos aleatorios
Sin embargo, al modelar series de tiempo, a menudo hay situaciones en las que los residuos contienen una tendencia o fluctuaciones cíclicas (Fig. 4.5). Esto sugiere que cada valor posterior de los residuos depende de los anteriores. En este caso se habla de presencia de autocorrelación en los residuales.
a) b)
Arroz. 4.5 Tendencia a la baja ( A) y fluctuaciones cíclicas ( b)
en las sobras
Autocorrelación del componente aleatorio.- dependencia de la correlación de los valores actuales y anteriores del componente aleatorio. Consecuencias de la autocorrelación de componentes aleatorios:
Los coeficientes de regresión se vuelven ineficaces;
Los errores estándar de los coeficientes de regresión se subestiman y los valores t– los criterios están sobreestimados.
Para determinar la autocorrelación de residuos, se conocen dos métodos más comunes para determinar la autocorrelación de residuos. El primer método consiste en trazar los residuos frente al tiempo y determinar visualmente la presencia o ausencia de autocorrelación. El segundo método es el uso de la prueba de Durbin-Watson, que se reduce a probar la hipótesis:
H0 (hipótesis principal): no hay autocorrelación;
H1 y H2 (hipótesis alternativas): existe una autocorrelación positiva o negativa en los residuos, respectivamente.
Para probar la hipótesis principal se utiliza la estadística de la prueba de Durbin-Watson:
Dónde .
En muestras grandes d≈2(1-), Dónde - Coeficiente de autocorrelación de 1er orden.
.
Si existe una autocorrelación positiva completa en los residuos y =1, entonces d=0; Si existe una autocorrelación negativa completa en los residuos, entonces = -1 y d=4; si no hay autocorrelación de residuos, entonces = 0, entonces d=2. Por lo tanto, 0.
Existen tablas estadísticas especiales para determinar los límites críticos superior e inferior. d-estadística –dL Y du. Se determinan en función de norte, número de variables independientes k y nivel de significancia.
Si dob ‹d L , entonces se acepta la hipótesis H1: autocorrelación positiva.
Si d y ‹d obs.
Si 2 ‹d obs ‹4-d y, entonces se acepta la hipótesis H0: no hay autocorrelación.
Si re obs ›4-d L , entonces se acepta la hipótesis H2: autocorrelación negativa.
Si 4-d y ‹d obs ‹4-d L , Y d L ‹d obs ‹d y, entonces hay un caso de incertidumbre.
0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4
Arroz. 4.6 Algoritmo para probar la hipótesis sobre la presencia de autocorrelación de residuos
Existen limitaciones para la aplicación de la prueba de Durbin-Watson. No es aplicable para modelos que incluyen valores rezagados de la característica resultante como variables independientes, es decir, a modelos autorregresivos. La técnica tiene como objetivo únicamente identificar la autocorrelación de residuos de primer orden. Los resultados son más fiables cuando se trabaja con muestras más grandes.
En los casos en que exista autocorrelación de residuos, para determinar estimaciones de parámetros a, b utilizar un método generalizado MNC, que consiste en la secuencia próximos pasos:
1. Convertir variables originales y t Y xt a la mente
2. Aplicar el método habitual de mínimos cuadrados a la ecuación. 
, Dónde 
determinar estimaciones de parámetros y b.
4. Escribe ecuación original .
Entre los modelos econométricos construidos a partir de datos temporales, se distinguen los modelos dinámicos.
El modelo econométrico es dinámica , si en en este momento tiempo t tiene en cuenta los valores de sus variables constituyentes relacionados tanto con el momento actual como con el anterior, es decir, este modelo refleja la dinámica de las variables estudiadas en cada momento.
Hay dos tipos principales de modelos econométricos dinámicos. El primer tipo de modelo incluye modelos autorregresivos y modelos de rezago distribuido, en los que el valor de una variable durante períodos de tiempo pasados (variables rezagadas) se incluye directamente en el modelo. Los modelos del segundo tipo tienen en cuenta implícitamente la información dinámica. Estos modelos incluyen variables que caracterizan el nivel esperado y deseado del resultado, o uno de los factores en un momento dado. t.
Modelo de retraso distribuido tiene la forma:
La construcción de modelos autorregresivos y de retardo distribuido tiene sus propias particularidades. En primer lugar, la estimación de los parámetros de los modelos autorregresivos y, en la mayoría de los casos, de los modelos de rezagos distribuidos, no se puede realizar utilizando MCO convencionales debido a la violación de sus premisas y requiere métodos estadísticos especiales. En segundo lugar, los investigadores deben resolver los problemas de elegir el valor de retraso óptimo y determinar su estructura. Finalmente, en tercer lugar, existe cierta relación entre los modelos de rezagos distribuidos y los modelos autorregresivos, y en algunos casos es necesario realizar una transición de un tipo de modelo a otro.
Consideremos un modelo con un rezago distribuido bajo el supuesto de que el valor máximo del rezago es finito:
Este modelo dice que si en algún momento t la variable independiente cambia incógnita, entonces este cambio afectará los valores de la variable y para yo próximos momentos en el tiempo.
Coeficiente de regresión segundo 0 con variable xt caracteriza el cambio absoluto promedio y t al cambiar xt por 1 unidad de su medición en algún punto fijo en el tiempo t, sin tener en cuenta el impacto de los valores rezagados del factor incógnita. Este coeficiente se llama multiplicador de corto plazo.
En este momento t+1 influencia de la variable factorial xt en el resultado y t será ( segundo 0 + segundo 1) unidades convencionales; en un momento dado t+2 este impacto se puede caracterizar por la suma ( segundo 0 + segundo 1 + segundo 2) etc. Las cantidades así obtenidas se denominan multiplicadores intermedios.
Teniendo en cuenta el valor finito del rezago, podemos decir que el cambio en la variable xt en un momento dado t por 1 unidad convencional conducirá a un cambio general en el resultado a través de yo momentos en el tiempo (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l).
Introduzcamos la siguiente notación: b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l). Tamaño b llamado multiplicador a largo plazo, que muestra el cambio absoluto en el largo plazo t+l resultado y influenciado por un cambio de 1 unidad. factor incógnita.
Cantidades 
son llamados probabilidades relativas Modelos de retardo distribuido. Si todos los coeficientes bj tienen los mismos signos
Eso .
Los coeficientes relativos son ponderaciones para los coeficientes correspondientes. bj. Cada uno de ellos mide la proporción del cambio total en la característica resultante en un momento dado. t+j.
Conociendo las cantidades, utilizando fórmulas estándar puedes determinar dos más características importantes modelos regresión múltiple: el valor de los rezagos promedio y mediano.
Retraso promedio calculado utilizando la fórmula de la media aritmética ponderada:
y representa el período promedio durante el cual el resultado cambiará bajo la influencia de un cambio en el factor incógnita en este momento t. Si el valor de retraso promedio es pequeño, esto indica una respuesta bastante rápida. y para el cambio incógnita. Un valor alto del rezago promedio indica que el impacto del factor en el resultado se sentirá dentro de largo periodo tiempo.
Retraso mediano (L Me) – este es el valor de retraso para el cual el período durante el cual. Este es el período de tiempo durante el cual desde el momento del tiempo t Se realizará la mitad del impacto total del factor en el resultado.
Los métodos descritos anteriormente para analizar los parámetros de un modelo con un rezago distribuido son válidos solo bajo el supuesto de que todos los coeficientes de los valores actuales y rezagados del factor en estudio tienen los mismos signos. Este supuesto está completamente justificado desde el punto de vista económico: el impacto de un mismo factor en el resultado debe ser unidireccional, independientemente del desfase temporal con el que se mida la fuerza o cercanía de la relación entre estas características. Sin embargo, en la práctica, obtener un modelo estadísticamente significativo cuyos parámetros tendrían los mismos signos, especialmente con un gran rezago yo, extremadamente difícil.
La aplicación de mínimos cuadrados convencionales a tales modelos es en la mayoría de los casos difícil debido a las siguientes razones:
Los valores actuales y rezagados de una variable independiente, por regla general, están estrechamente relacionados entre sí, por lo que la estimación de los parámetros del modelo se lleva a cabo en condiciones de alta multicolinealidad;
Con un gran retraso, el número de observaciones sobre las que se construye el modelo disminuye y el número de sus características factoriales aumenta, lo que conduce a una pérdida del número de grados de libertad en el modelo;
Los modelos de rezagos distribuidos a menudo enfrentan el problema de la autocorrelación de residuos.
Como en el modelo de retardo distribuido, segundo 0 en este modelo caracteriza el cambio a corto plazo y t bajo la influencia del cambio xt por 1 unidad Sin embargo, los multiplicadores de mediano y largo plazo en el modelo autorregresivo son algo diferentes. Para el momento t+1 resultado y t cambiado bajo la influencia de cambios en el factor que se está estudiando en un momento dado t en segundo 0 unidades, y y t +1– bajo la influencia de su cambio en el momento inmediatamente anterior en de 1 unidades. Por lo tanto, el cambio absoluto total en el resultado en ese momento t+1 será segundo 0 s 1 . Así mismo en su momento t+2 cambio absoluto en el resultado será b 0 s 1 2 unidades, etc Por lo tanto, el multiplicador de largo plazo en el modelo autorregresivo se puede calcular como la suma de los multiplicadores de corto plazo e intermedio:
Esta interpretación de los coeficientes del modelo autorregresivo y el cálculo del multiplicador de largo plazo se basan en la premisa de que existe un rezago infinito en el impacto del valor actual de la variable dependiente sobre sus valores futuros.
Ejemplo. Supongamos que, a partir de datos sobre la dinámica de los indicadores de consumo e ingresos en la región, se obtuvo un modelo de autorregresión que describe la dependencia del volumen de consumo promedio per cápita para el año (C, millones de rublos) del total promedio per cápita. ingreso anual (Y, millones de rublos) y el volumen de consumo del año anterior :
.
El multiplicador a corto plazo es 0,85. En este modelo, representa la propensión marginal a consumir en el corto plazo. En consecuencia, se produce un aumento del ingreso total medio per cápita de 1 millón de rublos. conduce a un aumento del consumo en el mismo año en un promedio de 850 mil rublos. La propensión marginal a consumir a largo plazo en este modelo se puede definir como
.
A largo plazo, un aumento del ingreso total per cápita promedio de 1 millón de rublos. conducirá a un aumento del consumo de una media de 944 mil rublos. Los indicadores intermedios de la propensión marginal al consumo se pueden determinar calculando las cantidades parciales necesarias para los períodos de tiempo correspondientes. Por ejemplo, para un momento determinado t+1 obtenemos:
Esto significa que un aumento en el ingreso total promedio per cápita en periodo actual por 1 millón de rublos. conduce a un aumento del consumo en un promedio de 935 mil rublos. en el próximo periodo.
