Hoy ella merece ser cantada en poesía.
Teorema de Vieta sobre las propiedades de las raíces.
¿Qué es mejor, dime, una consistencia como esta?
Multiplicaste las raíces y la fracción está lista.
en el numerador Con, en el denominador A.
Y la suma de las raíces de la fracción también es igual.
Incluso con un menos esta fracción
Que problema
En numeradores V, en el denominador A.
(Del folclore escolar)
En el epígrafe, el notable teorema de François Vieta no se describe con total precisión. De hecho, podemos escribir ecuación cuadrática, que no tiene raíces y anota su suma y producto. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 2x + 12 = 0 no tiene raíces reales. Pero, adoptando un enfoque formal, podemos escribir su producto (x 1 · x 2 = 12) y la suma (x 1 + x 2 = -2). Nuestro los versos corresponderán al teorema con la salvedad: “si la ecuación tiene raíces”, es decir D ≥ 0.
La primera aplicación práctica de este teorema es construir una ecuación cuadrática que tenga raíces. En segundo lugar, te permite resolver muchas ecuaciones cuadráticas de forma oral. Los libros de texto escolares se centran principalmente en el desarrollo de estas habilidades.
Aquí consideraremos problemas más complejos resueltos utilizando el teorema de Vieta.
Ejemplo 1.
Una de las raíces de la ecuación 5x 2 – 12x + c = 0 es tres veces mayor que la segunda. Encuentra s.
Solución.
Sea la segunda raíz x 2.
Entonces la primera raíz x1 = 3x 2.
Según el teorema de Vieta, la suma de las raíces es 12/5 = 2,4.
Creemos la ecuación 3x 2 + x 2 = 2,4.
Por tanto x 2 = 0,6. Por lo tanto x 1 = 1,8.
Respuesta: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
Ejemplo 2.
Se sabe que x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación x 2 – 8x + p = 0, siendo 3x 1 + 4x 2 = 29. Encuentra p.
Solución.
Según el teorema de Vieta, x 1 + x 2 = 8, y por condición 3x 1 + 4x 2 = 29.
Habiendo resuelto el sistema de estas dos ecuaciones, encontramos el valor x 1 = 3, x 2 = 5.
Y por tanto p = 15.
Respuesta: p = 15.
Ejemplo 3.
Sin calcular las raíces de la ecuación 3x 2 + 8 x – 1 = 0, encuentre x 1 4 + x 2 4
Solución.
Tenga en cuenta que según el teorema de Vieta x 1 + x 2 = -8/3 y x 1 x 2 = -1/3 y transforme la expresión
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Respuesta: 4898/9.
Ejemplo 4.
¿A qué valores del parámetro a es la diferencia entre las raíces más grande y más pequeña de la ecuación?
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 es igual a su producto.
Solución.
Esta es una ecuación cuadrática. Tendrá 2 raíces diferentes si D > 0. En otras palabras, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 o (a – 3) 2 > 0. Por lo tanto, tenemos 2 raíces para todo a, excepto para a = 3.
Para ser más precisos, asumiremos que x 1 > x 2 y obtendremos x 1 + x 2 = (a + 1)/2 y x 1 x 2 = (a – 1)/2. Basado en las condiciones del problema x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Las tres condiciones deben cumplirse simultáneamente. Consideremos la primera y última ecuaciones como un sistema. Se puede resolver fácilmente mediante suma algebraica.
Obtenemos x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Comprobemos en qué A se cumplirá la segunda igualdad: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Sustituimos los valores obtenidos y tendremos: a/4 = (a – 1)/2. Entonces a = 2. Es obvio que si a = 2, entonces se cumplen todas las condiciones.
Respuesta: cuando a = 2.
Ejemplo 5.
¿Qué es igual a valor más pequeño a, en el cual la suma de las raíces de la ecuación
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 es igual a la suma de los cuadrados de sus raíces.
Solución.
En primer lugar, llevemos la ecuación a su forma canónica: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Tendrá raíces si D/4 ≥ 0. Por lo tanto: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. O (a – 1 ) 2 ≥ 0. Y esta condición es válida para cualquier a.
Apliquemos el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Calculemos
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2 x 1 x 2. O después de la sustitución x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Queda por crear una igualdad que corresponda a las condiciones del problema: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Obtenemos: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Esta ecuación cuadrática tiene 2 raíces: a 1 = 1 y a 2 = 1/2. El más pequeño de ellos es –1/2.
Respuesta: 1/2.
Ejemplo 6.
Encuentra la relación entre los coeficientes de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 si la suma de los cubos de sus raíces es igual al producto de los cuadrados de estas raíces.
Solución.
Supondremos que esta ecuación tiene raíces y, por tanto, se le puede aplicar el teorema de Vieta.
Entonces la condición del problema se escribirá de la siguiente manera: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. O: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
El segundo factor necesita ser convertido. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Obtenemos (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Queda por reemplazar las sumas y productos de las raíces mediante coeficientes.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Esta expresión se puede convertir fácilmente a la forma b(3ac – b 2)/a = c 2. La relación ha sido encontrada.
Comentario. Se debe tener en cuenta que la relación resultante tiene sentido para ser considerada sólo después de que se cumple la otra: D ≥ 0.
Ejemplo 7.
Encuentra el valor de la variable a para el cual la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 es el valor mayor.
Solución.
Si esta ecuación tiene raíces x 1 y x 2, entonces su suma es x 1 + x 2 = -2a, y el producto x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Calculamos x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
Ahora es obvio que esta expresión toma valor más alto en a = 3.
Queda por comprobar si la ecuación cuadrática original realmente tiene raíces en a = 3. Comprobamos por sustitución y obtenemos: x 2 + 6x + 7 = 0 y para ello D = 36 – 28 > 0.
Por tanto, la respuesta es: para a = 3.
Ejemplo 8.
La ecuación 2x 2 – 7x – 3 = 0 tiene raíces x 1 y x 2. Encuentre la suma triplicada de los coeficientes de la ecuación cuadrática dada, cuyas raíces son los números X 1 = 1/x 1 y X 2 = 1/x 2. (*)
Solución.
Obviamente, x 1 + x 2 = 7/2 y x 1 x 2 = -3/2. Compongamos la segunda ecuación a partir de sus raíces en la forma x 2 + px + q = 0. Para hacer esto, usamos el inverso del teorema de Vieta. Obtenemos: p = -(X 1 + X 2) y q = X 1 · X 2.
Habiendo realizado la sustitución en estas fórmulas basándose en (*), entonces: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 y q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
La ecuación requerida tomará la forma: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Ahora podemos calcular fácilmente la suma triplicada de sus coeficientes:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Se recibe la respuesta.
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Primero, formulemos el teorema en sí: Tengamos una ecuación cuadrática reducida de la forma x^2+b*x + c = 0. Digamos que esta ecuación contiene las raíces x1 y x2. Entonces, según el teorema, las siguientes afirmaciones son válidas:
1) La suma de las raíces x1 y x2 será igual al valor negativo del coeficiente b.
2) El producto de estas mismas raíces nos dará el coeficiente c.
Pero ¿cuál es la ecuación dada?
Una ecuación cuadrática reducida es una ecuación cuadrática cuyo coeficiente de mayor grado es igual a uno, es decir esta es una ecuación de la forma x^2 + b*x + c = 0. (y la ecuación a*x^2 + b*x + c = 0 no está reducida). En otras palabras, para llevar la ecuación a la forma dada, debemos dividir esta ecuación por el coeficiente de la potencia más alta (a). La tarea es llevar esta ecuación a la siguiente forma:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Dividiendo cada ecuación por el coeficiente de mayor grado, obtenemos:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Como puedes ver en los ejemplos, incluso las ecuaciones que contienen fracciones se pueden reducir a la forma dada.
Usando el teorema de Vieta
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
obtenemos las raíces: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
como resultado obtenemos las raíces: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
obtenemos las raíces: x1 = −1; x2 = −4.
El significado del teorema de Vieta.
El teorema de Vieta nos permite resolver cualquier ecuación cuadrática reducida en casi segundos. A primera vista, esto parece una tarea bastante difícil, pero después de 5 10 ecuaciones, puedes aprender a ver las raíces de inmediato.
De los ejemplos dados, y usando el teorema, queda claro cómo se puede simplificar significativamente la solución de ecuaciones cuadráticas, porque usando este teorema, puedes resolver una ecuación cuadrática prácticamente sin cálculos complejos y sin calcular el discriminante, y como sabes, el Cuantos menos cálculos, más difícil es cometer un error, lo cual es importante.
En todos los ejemplos, utilizamos esta regla basándonos en dos suposiciones importantes:
La ecuación dada, es decir el coeficiente del grado más alto es igual a uno (esta condición es fácil de evitar. Puede usar la forma no reducida de la ecuación, entonces las siguientes afirmaciones serán válidas x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, pero suele ser más difícil de resolver :))
Cuando la ecuación tiene dos varias raíces. Suponemos que la desigualdad es verdadera y el discriminante es estrictamente mayor que cero.
Por lo tanto, podemos compensar algoritmo general soluciones usando el teorema de Vieta.
Algoritmo de solución general utilizando el teorema de Vieta.
Reducimos una ecuación cuadrática a su forma reducida si la ecuación se nos da en forma no reducida. Cuando los coeficientes de la ecuación cuadrática, que presentamos anteriormente como dados, resultan ser fraccionarios (no decimales), entonces, en este caso, nuestra ecuación debe resolverse mediante el discriminante.
También hay casos en los que volver a la ecuación inicial nos permite trabajar con números “convenientes”.
El teorema de Vieta (más precisamente, el teorema inverso al teorema de Vieta) le permite reducir el tiempo para resolver ecuaciones cuadráticas. Sólo necesitas saber cómo usarlo. ¿Cómo aprender a resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta? No es difícil si lo piensas un poco.
Ahora solo hablaremos de resolver la ecuación cuadrática reducida usando el teorema de Vieta. Una ecuación cuadrática reducida es aquella en la que a, es decir, el coeficiente de x², es igual a uno. También es posible resolver ecuaciones cuadráticas que no están dadas usando el teorema de Vieta, pero al menos una de las raíces no es un número entero. Son más difíciles de adivinar.
El teorema inverso al teorema de Vieta dice: si los números x1 y x2 son tales que
entonces x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática
Al resolver una ecuación cuadrática usando el teorema de Vieta, solo son posibles 4 opciones. Si recuerdas la línea de razonamiento, podrás aprender a encontrar raíces completas muy rápidamente.
I. Si q es un número positivo,
esto significa que las raíces x1 y x2 son números del mismo signo (ya que sólo multiplicar números con el mismo signo produce un número positivo).
I a. Si -p es un número positivo, (respectivamente, pág.<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Si p - un numero negativo, (respectivamente, p>0), entonces ambas raíces son números negativos (sumamos números del mismo signo y obtuvimos un número negativo).
II. Si q es un número negativo,
esto significa que las raíces x1 y x2 tienen signos diferentes (al multiplicar números, se obtiene un número negativo solo cuando los signos de los factores son diferentes). En este caso, x1+x2 ya no es una suma, sino una diferencia (después de todo, al sumar números con diferentes signos restamos el menor del mayor). Por lo tanto, x1+x2 muestra cuánto difieren las raíces x1 y x2, es decir, cuánto es mayor una raíz que la otra (en valor absoluto).
II.a. Si -p es un número positivo, (es decir, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Si -p es un número negativo, (p>0), entonces la raíz más grande (módulo) es un número negativo.
Consideremos resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta usando ejemplos.
Resuelve la ecuación cuadrática dada usando el teorema de Vieta:
Aquí q=12>0, entonces las raíces x1 y x2 son números del mismo signo. Su suma es -p=7>0, por lo que ambas raíces son números positivos. Seleccionamos números enteros cuyo producto es igual a 12. Estos son 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4. La suma es 7 para el par 3 y 4. Esto significa que 3 y 4 son las raíces de la ecuación.
En este ejemplo, q=16>0, lo que significa que las raíces x1 y x2 son números del mismo signo. Su suma es -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Aquí q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, entonces el número mayor es positivo. Entonces las raíces son 5 y -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática, además de las fórmulas de raíces, existen otras relaciones útiles que se dan teorema de vieta. En este artículo daremos una formulación y demostración del teorema de Vieta para una ecuación cuadrática. A continuación consideramos el teorema inverso al teorema de Vieta. Después de esto, analizaremos las soluciones a los ejemplos más típicos. Finalmente, anotamos las fórmulas de Vieta que definen la relación entre las raíces reales ecuación algebraica grado n y sus coeficientes.
Navegación de páginas.
Teorema de Vieta, formulación, demostración.
De las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática a·x 2 +b·x+c=0 de la forma, donde D=b 2 −4·a·c, se siguen las siguientes relaciones: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Estos resultados se confirman teorema de vieta:
Teorema.
Si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0, entonces la suma de las raíces es igual a la razón de los coeficientes b y a, tomados con el signo opuesto, y el producto de las raíces es igual a la relación de los coeficientes c y a, es decir, .
Prueba.
Realizaremos la demostración del teorema de Vieta según el siguiente esquema: componemos la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática usando fórmulas de raíces conocidas, luego transformamos las expresiones resultantes y nos aseguramos de que sean iguales a −b/ a y c/a, respectivamente.
Empecemos por la suma de las raíces y completémoslas. Ahora llevamos las fracciones a un denominador común, tenemos. En el numerador de la fracción resultante, después del cual:. Finalmente, después de 2, obtenemos. Esto prueba la primera relación del teorema de Vieta para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática. Pasemos al segundo.
Componemos el producto de las raíces de la ecuación cuadrática: . Según la regla de multiplicar fracciones, el último producto se puede escribir como . Ahora multiplicamos un paréntesis por un paréntesis en el numerador, pero es más rápido colapsar este producto por fórmula de diferencia cuadrada, Entonces . Luego, recordando, realizamos la siguiente transición. Y como el discriminante de la ecuación cuadrática corresponde a la fórmula D=b 2 −4·a·c, entonces en lugar de D en la última fracción podemos sustituir b 2 −4·a·c, obtenemos. Después de abrir los paréntesis y traer términos similares, llegamos a la fracción , y su reducción en 4·a da . Esto prueba la segunda relación del teorema de Vieta para el producto de raíces.
Si omitimos las explicaciones, la demostración del teorema de Vieta adoptará una forma lacónica:
,
.
Sólo queda señalar que si el discriminante es igual a cero, la ecuación cuadrática tiene una raíz. Sin embargo, si asumimos que la ecuación en este caso tiene dos raíces idénticas, entonces las igualdades del teorema de Vieta también se cumplen. En efecto, cuando D=0 la raíz de la ecuación cuadrática es igual a , entonces y , y como D=0, es decir, b 2 −4·a·c=0, de donde b 2 =4·a·c, entonces .
En la práctica, el teorema de Vieta se utiliza con mayor frecuencia en relación con la ecuación cuadrática reducida (con el coeficiente principal a igual a 1) de la forma x 2 +p·x+q=0. En ocasiones se formula para ecuaciones cuadráticas precisamente de este tipo, lo que no limita la generalidad, ya que cualquier ecuación cuadrática puede ser reemplazada por una ecuación equivalente dividiendo ambos lados por un número a distinto de cero. Demos la formulación correspondiente del teorema de Vieta:
Teorema.
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0 es igual al coeficiente de x tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre, es decir, x 1 +x 2 = −p, x 1 x 2 = q.
Teorema inverso al teorema de Vieta
La segunda formulación del teorema de Vieta, dada en el párrafo anterior, indica que si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0, entonces las relaciones x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Por otro lado, de las relaciones escritas x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q se deduce que x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática x 2 +p x+q=0. En otras palabras, lo contrario del teorema de Vieta es cierto. Formulémoslo en forma de teorema y probémoslo.
Teorema.
Si los números x 1 y x 2 son tales que x 1 +x 2 =−p y x 1 · x 2 =q, entonces x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p · x+q =0.
Prueba.
Después de reemplazar los coeficientes p y q en la ecuación x 2 +p·x+q=0 con sus expresiones hasta x 1 y x 2, se transforma en una ecuación equivalente.
Sustituyamos el número x 1 en lugar de x en la ecuación resultante, y tenemos la igualdad x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, que para cualquier x 1 y x 2 representa la igualdad numérica correcta 0=0, ya que x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Por tanto, x 1 es la raíz de la ecuación. x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, lo que significa que x 1 es la raíz de la ecuación equivalente x 2 +p·x+q=0.
Si en la ecuación x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 sustituyendo el número x 2 en lugar de x, obtenemos la igualdad x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Esta es una verdadera igualdad, ya que x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Por lo tanto, x 2 también es raíz de la ecuación x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, y por lo tanto las ecuaciones x 2 +p·x+q=0.
Esto completa la demostración del teorema inverso al teorema de Vieta.
Ejemplos de uso del teorema de Vieta
Es hora de hablar de la aplicación práctica del teorema de Vieta y su teorema inverso. En esta sección analizaremos soluciones a varios de los ejemplos más típicos.
Comencemos aplicando el teorema inverso al teorema de Vieta. Es conveniente utilizarlo para comprobar si dos números dados son raíces de una ecuación cuadrática determinada. En este caso, se calcula su suma y diferencia, tras lo cual se comprueba la validez de las relaciones. Si se satisfacen ambas relaciones, entonces, en virtud del teorema inverso al teorema de Vieta, se concluye que estos números son las raíces de la ecuación. Si al menos una de las relaciones no se cumple, entonces estos números no son las raíces de la ecuación cuadrática. Este enfoque se puede utilizar al resolver ecuaciones cuadráticas para verificar las raíces encontradas.
Ejemplo.
¿Cuál de los pares de números 1) x 1 =−5, x 2 =3, o 2) o 3) es un par de raíces de la ecuación cuadrática 4 x 2 −16 x+9=0?
Solución.
Los coeficientes de la ecuación cuadrática dada 4 x 2 −16 x+9=0 son a=4, b=−16, c=9. Según el teorema de Vieta, la suma de las raíces de una ecuación cuadrática debe ser igual a −b/a, es decir, 16/4=4, y el producto de las raíces debe ser igual a c/a, es decir, 9 /4.
Ahora calculemos la suma y el producto de los números de cada uno de los tres pares dados y compárelos con los valores que acabamos de obtener.
En el primer caso tenemos x 1 +x 2 =−5+3=−2. El valor resultante es diferente de 4, por lo que no se pueden realizar más comprobaciones, pero utilizando el teorema inverso al teorema de Vieta, se puede concluir inmediatamente que el primer par de números no es un par de raíces de la ecuación cuadrática dada.
Pasemos al segundo caso. Aquí, es decir, se cumple la primera condición. Comprobamos la segunda condición: el valor resultante es diferente de 9/4. En consecuencia, el segundo par de números no es un par de raíces de la ecuación cuadrática.
Queda un último caso. Aquí y . Se cumplen ambas condiciones, por lo que estos números x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática dada.
Respuesta:
Lo inverso del teorema de Vieta se puede utilizar en la práctica para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Por lo general, se seleccionan raíces enteras de las ecuaciones cuadráticas dadas con coeficientes enteros, ya que en otros casos esto es bastante difícil de hacer. En este caso, utilizan el hecho de que si la suma de dos números es igual al segundo coeficiente de una ecuación cuadrática, tomado con signo menos, y el producto de estos números es igual al término libre, entonces estos números son el raíces de esta ecuación cuadrática. Entendamos esto con un ejemplo.
Tomemos la ecuación cuadrática x 2 −5 x+6=0. Para que los números x 1 y x 2 sean raíces de esta ecuación, se deben satisfacer dos igualdades: x 1 + x 2 =5 y x 1 · x 2 =6. Todo lo que queda es seleccionar esos números. EN en este caso esto es bastante sencillo de hacer: dichos números son 2 y 3, ya que 2+3=5 y 2·3=6. Por tanto, 2 y 3 son las raíces de esta ecuación cuadrática.
El teorema inverso al teorema de Vieta es especialmente conveniente para encontrar la segunda raíz de una ecuación cuadrática dada cuando una de las raíces ya es conocida o es obvia. En este caso, la segunda raíz se puede encontrar a partir de cualquiera de las relaciones.
Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 512 x 2 −509 x −3=0. Aquí es fácil ver que la unidad es la raíz de la ecuación, ya que la suma de los coeficientes de esta ecuación cuadrática es igual a cero. Entonces x 1 = 1. La segunda raíz x 2 se puede encontrar, por ejemplo, a partir de la relación x 1 ·x 2 =c/a. Tenemos 1 x 2 = −3/512, de donde x 2 = −3/512. Así determinamos ambas raíces de la ecuación cuadrática: 1 y −3/512.
Está claro que la selección de raíces es aconsejable sólo en los casos más simples. En otros casos, para encontrar raíces, puedes usar fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática a través de un discriminante.
Otra aplicación práctica del inverso del teorema de Vieta es construir ecuaciones cuadráticas dadas las raíces x 1 y x 2. Para ello basta con calcular la suma de las raíces, que da el coeficiente de x de signo opuesto a la ecuación cuadrática dada, y el producto de las raíces, que da el término libre.
Ejemplo.
Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean −11 y 23.
Solución.
Denotemos x 1 = −11 y x 2 =23. Calculamos la suma y el producto de estos números: x 1 +x 2 =12 y x 1 ·x 2 =−253. Por tanto, los números indicados son las raíces de la ecuación cuadrática reducida con un segundo coeficiente de −12 y un término libre de −253. Es decir, x 2 −12·x−253=0 es la ecuación requerida.
Respuesta:
x 2 −12·x−253=0 .
El teorema de Vieta se utiliza con mucha frecuencia para resolver problemas relacionados con los signos de las raíces de ecuaciones cuadráticas. ¿Cómo se relaciona el teorema de Vieta con los signos de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p·x+q=0? Aquí hay dos declaraciones relevantes:
- Si la intersección q es un número positivo y si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces ambas son positivas o ambas negativas.
- Si el término libre q es un número negativo y si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces sus signos son diferentes, es decir, una raíz es positiva y la otra es negativa.
Estas afirmaciones se derivan de la fórmula x 1 · x 2 =q, así como de las reglas para multiplicar números positivos, negativos y números con diferentes signos. Veamos ejemplos de su aplicación.
Ejemplo.
R es positivo. Usando la fórmula discriminante encontramos D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, el valor de la expresión r 2 +8 es positivo para cualquier r real, por lo tanto D>0 para cualquier r real. En consecuencia, la ecuación cuadrática original tiene dos raíces para cualquier valor real del parámetro r.
Ahora averigüemos cuándo las raíces tienen signos diferentes. Si los signos de las raíces son diferentes, entonces su producto es negativo y, según el teorema de Vieta, el producto de las raíces de la ecuación cuadrática reducida es igual al término libre. Por tanto, nos interesan aquellos valores de r para los cuales el término libre r−1 es negativo. Por tanto, para encontrar los valores de r que nos interesan, necesitamos resolver desigualdad lineal r-1<0 , откуда находим r<1 .
Respuesta:
en r<1 .
Fórmulas vieta
Arriba hablamos sobre el teorema de Vieta para una ecuación cuadrática y analizamos las relaciones que afirma. Pero existen fórmulas que conectan las raíces reales y los coeficientes no solo de ecuaciones cuadráticas, sino también de ecuaciones cúbicas, ecuaciones de cuarto grado y, en general, ecuaciones algebraicas grado n. Se les llama Las fórmulas de Vieta.
Escribamos la fórmula de Vieta para una ecuación algebraica de grado n de la forma, y supondremos que tiene n raíces reales x 1, x 2, ..., x n (entre ellas pueden haber coincidencias): 
Se pueden obtener las fórmulas de Vieta. teorema sobre la descomposición de un polinomio en factores lineales, así como la definición de polinomios iguales mediante la igualdad de todos sus coeficientes correspondientes. Entonces el polinomio y su expansión en factores lineales de la forma son iguales. Abriendo los paréntesis del último producto e igualando los coeficientes correspondientes, obtenemos las fórmulas de Vieta.
En particular, para n=2 tenemos las ya familiares fórmulas de Vieta para una ecuación cuadrática.
Para una ecuación cúbica, las fórmulas de Vieta tienen la forma 
Sólo queda señalar que en el lado izquierdo de las fórmulas de Vieta se encuentran las llamadas elementales. polinomios simétricos.
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El primer enunciado establece que la suma de las raíces de esta ecuación es igual al valor del coeficiente de la variable x (en este caso es b), pero con signo opuesto. Visualmente se ve así: x1 + x2 = −b.
La segunda afirmación ya no está relacionada con la suma, sino con el producto de estas mismas dos raíces. Este producto se equipara al coeficiente libre, es decir C. O bien, x1 * x2 = c. Ambos ejemplos se resuelven en el sistema.
El teorema de Vieta simplifica enormemente la solución, pero tiene una limitación. Se debe reducir una ecuación cuadrática cuyas raíces se puedan encontrar usando esta técnica. En la ecuación anterior, el coeficiente a, el que está delante de x2, es igual a uno. Cualquier ecuación se puede llevar a una forma similar dividiendo la expresión por el primer coeficiente, pero esta operación no siempre es racional.
Prueba del teorema
Para empezar, conviene recordar cómo tradicionalmente se acostumbra buscar las raíces de una ecuación cuadrática. Se encuentran las raíces primera y segunda, a saber: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. En general es divisible por 2a, pero, como ya se mencionó, el teorema sólo se puede aplicar cuando a=1.Del teorema de Vieta se sabe que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo menos. Esto significa que x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Lo mismo ocurre con el producto de raíces desconocidas: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. A su vez, D = b2-4c (nuevamente con a=1). Resulta que el resultado es: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
De la sencilla demostración dada sólo se puede sacar una conclusión: el teorema de Vieta está completamente confirmado.
Segunda formulación y prueba.
El teorema de Vieta tiene otra interpretación. Para ser más precisos, no se trata de una interpretación, sino de una formulación. El caso es que si se cumplen las mismas condiciones que en el primer caso: hay dos raíces reales diferentes, entonces el teorema se puede escribir mediante otra fórmula.Esta igualdad se ve así: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Si la función P(x) se cruza en dos puntos x1 y x2, entonces se puede escribir como P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). En el caso de que P tenga un segundo grado, y así es exactamente como se ve la expresión original, entonces R es un número primo, es decir, 1. Esta afirmación es cierta porque de lo contrario la igualdad no se cumplirá. El coeficiente x2 al abrir los corchetes no debe ser mayor que uno y la expresión debe permanecer cuadrada.
